1

222/3

2exp

24)( v

Tkvm

Tkmvf

BB

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=π

π

Maxwell fordelingen

Planck fordelingen

1exp

18),( 3

3

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Tkhc

hTP

B

ννπν

TkB 8,3Planck

44

31 aTPaTu rR ==

2

44

31 aTPaTu rR ==

rR Pu 3=

.. for ekstremt relativistiske partikler

Lav temperatur og/eller høj tæthed:

Kvantemekanik bliver vigtigt for beskrivelsenaf gassen

Pauli’s udelukkelsesprincip:

Højst 2 fermioner kan være i samme tilstand

Elektroner, Protoner, NeutronerNeutrinoer, Tau, Myoner, Quarks

3

Fermi-Dirac fordeling (p: moment)

Degenereret stof….

p (moment)E (Energi)

F(p) E(F): Fermi energi

F

F

EnP

EnP

⋅=

⋅=

41

52

Ikke-relativistisk degenereret

Relativistisk degenereret

3/513(deg) 100036,1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

eeP

μρ

For elektroner (ikke-relativistisk)

(cgs-enheder)

Middel molekylvægt pr. elektron

4

2/38104,2 Te

⋅⋅> −

μρ

(cgs-enheder)

4

31 aTPr =

3/513(deg) 100036,1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

eeP

μρ

Tilstandsligningen…..

u

B

mTkP

⋅⋅⋅=

μρ

eμMiddel molekylvægt

pr. elektron

5

log ρ g/cm³

log

TK

4

9

8

7

6

5

-2 0 2 64 8

Tilstandsligningen…..

Strålingstryk

Ideal gas

33 Tmak

u

B <μ

ρ

T∝

4T∝

log ρ g/cm³

log

TK

4

9

8

7

6

5

-2 0 2 64 8

Tilstandsligningen…..

Strålingstryk

Ideal gas Degen

erered

e elek

trone

r

2/38104,2 Te

⋅⋅> −

μρ

6

log ρ g/cm³

log

TK

4

9

8

7

6

5

-2 0 2 64 8

Tilstandsligningen…..

Strålingstryk

Ideal gas Degen

erered

e elek

trone

rIk

ke re

lativ

istis

k

Rel

ativ

istis

k

Krystalliseret

Solmodel

log ρ g/cm³

log

TK

4

9

8

7

6

5

-2 0 2 64 8

Tilstandsligningen…..

Strålingstryk

Ideal gas Degen

erered

e elek

trone

rIk

ke re

lativ

istis

k

Rel

ativ

istis

k

Krystalliseret

Solmodel

1γ32

lnln

id.g −==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

S

Tρ

7

log ρ g/cm³

log

TK

4

9

8

7

6

5

-2 0 2 64 8

Tilstandsligningen…..

Strålingstryk

Ideal gas

Ikke

rela

tivis

tisk

Rel

ativ

istis

k

Krystalliseret

Solmodel

Jordens indre

Degen

erered

e elek

trone

r

Centrum iHovedseriestjerner

Hydrostatisk ligevægt

gFdPFd

Pg FF dd =

GravityTyngde

PressureTryk

8

Hydrostatisk ligevægt

gFdPFd

r

2

)(r

rGm−

)(rm

Hydrostatisk ligevægt

gFdPFd

r

Arrr

rGmFg d d )()(d 2 ρ⋅−=

)(rρ

)(rm

rd Ad

(4.1)

9

Hydrostatisk ligevægt

gFdPFd

r

Ar)P(rAP(r)FP dddd +−≅

)(rρ

)(rm

rd Ad

Hydrostatisk ligevægt

gFdPFd

r

ArrPAr)P(rAP(r)FP d d

dddddd −≅+−≅

)(rρ

)(rm

rd Ad

(4.2)

10

Hydrostatisk ligevægt

Pg FFtrAr dd

ddd d 2

2

+=⋅ρ

amF rr⋅=

Hydrostatisk ligevægt

Pg FFtrAr dd

ddd d 2

2

+=⋅ρ

ArrPArr

rrGm

trAr d d

ddd d )()(

ddd d 22

2

−⋅−=⋅ ρρ

rPr

rrGm

tr

dd )()(

dd 22

2

−⋅−=⋅ ρρ(4.3)

11

Hydrostatisk ligevægt

Pg FFtrAr dd

ddd d 2

2

+=⋅ρ

rPr

rrGm

tr

dd )()(

dd 22

2

−⋅−=⋅ ρρ≡0

Ligevægt

Hydrostatisk ligevægt

)()(dd

2 rr

rGmrP ρ⋅−=

(4.4)

12

Dynamisk tidsskala

rPr

rrGm

tr

dd )()(

dd 22

2

−⋅−=⋅ ρρ

22

2 )(dd

rrGm

tr −=

GMRt

RGM

tR 3

dyn22dyn

≡⇒≈(4.6)

Masse-densitet

gFdPFd

r

)(rmmd

rd

)(rρ

13

Masse-densitet

)(π4dd

d )(π4d

2

2

rrrm

rrrm

ρ

ρ

=

=

(4.5)

Vurdering af tryk og temperatur i en stjernes centrum

)()(dd

2 rr

rGmrP ρ⋅−=

4

2

32

2

RGMP

RM

RGM

RP

RGM

RP

CC

C

≈⇒⋅≈

><⋅−≈− ρ

(4.8)

14

Vurdering af tryk og temperatur i en stjernes centrum

ρμ P

kmTB

u ⋅⋅=

RM

kGm

MR

RGM

kmT

RGMPP

kmT

B

uC

B

uCC

CC

C

B

uCC

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≈

≈⋅⋅=

μμ

ρμ

3

4

2

4

2

T(solen-C) = 19 mill. K

Ligninger for en stjernemodel

ρμ

ρ

ρ

Pk

mT

rrrm

rr

rGmrP

B

u ⋅⋅=

=

⋅−=

)(π4dd

)()(dd

2

2

15

En simpel lineær model

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Rrr C 1)( ρρ

radius

tæth

ed

R0(4.27)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

Rrrrr

rm

C 1π4)(π4dd 22 ρρ

( )Rrx

xxMRrrrm C

/

34431

3π4)( 433

=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅= ρ

3 π3

RM

C =ρ

R

(4.29)

16

( ))()(

dd

)()(d

d

)()(dd

2

2

2

xxmxR

GxP

xxRxGm

xRP

rr

rGmrP

ρ

ρ

ρ

⋅⋅⋅

−=

⋅⋅

−=

⋅−=

( ) ( )xxxxMxm C −=−= 1)( 34)( 43 ρρ

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )xxxR

GM

xxxRM

RGM

xxxR

GM

xxxMxR

GxP

C

C

−⋅−⋅⋅

−=

−⋅−⋅⋅−=

−⋅−⋅−=

−⋅−⋅−=

134π

3

134 π

3

134

1341dd

24

2

23

2

432

ρ

ρ

17

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )xxxR

GM

xxxRM

RGM

xxxR

GM

xxxMxR

GxP

C

C

−⋅−⋅⋅

−=

−⋅−⋅⋅−=

−⋅−⋅−=

−⋅−⋅−=

134π

3

134 π

3

134

1341dd

24

2

23

2

432

ρ

ρ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⋅⋅= 432

4

2

59

528

5241

π45 xxx

RGMP

P=0 ved x=1 (4.30)

Virialsætningen

Potentielle energi i tyngdefeltet

Potentialet er: Total potentiel energi:

rm

rGm−

rGmr

rrr

Gm

R

R

∫

∫−=

−=Ω

0

2

0

d π4

d π4

ρ

ρ

(4.18)

18

rrrPrr

rGm

rGmr

RR

R

∫∫

∫=−=

−=Ω

0

3

0

32

0

d ddπ4d π4

d π4

ρ

ρ

[ ]rrP

rrPrPR

RR

∫∫

−=

−⋅⋅=

0

2

0

2 0

3

d π4 3

d π4 3π4

0 =⇒= PRr

(4.19)

rrPR

∫−=Ω

0

2 d π4 3

uP32=

(4.20)

19

rruR

∫−=Ω

0

2 d π4 2

tot2U−=Ω

Ω=−=+−=+Ω=212 tottottottot UUUUE

tR

RGM

tLG d

d21

dd

21

2

2

−≈Ω−=(4.23)

rruR

∫−=Ω

0

2 d π4 2

tot2U−=Ω

Ω=−=+−=+Ω=212 tottottottot UUUUE

tR

RGM

tLG d

d21

dd

21

2

2

−≈Ω−=

Når systemet mister energi bliver det varmere!

(4.23)

20

KH

G

tR

tR

tR

RGM

tL

2dd

dd

21

dd

21

2

2

−≈

−≈

Ω−=

21

ρμ

ρ

ρ

Pk

mT

rrrm

rr

rGmrP

B

u ⋅⋅=

=

⋅−=

)(π4dd

)()(dd

2

2

Stjerne atmosfære

HP g

RGM −=⋅−=⋅−= ρρ2

u

B

mgTkH⋅⋅

=μ

T ~ konstant

isoterm

Trykskalahøjden

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Hh

HhPP

exp

exp

0

0

ρρ