Chapitre 15 : Lois usuelles à densité

Théorème/Définition (Loi uniforme)

X suit une loi uniforme sur [a, b] lorsqu’elle admet pour densité

la fonction fX définie sur R par

fX (x) =

1

b − asi x ∈ [a, b]

0 sinon.

On a X (Ω) = [a, b] ; X admet une espérance et une variance

données par :

E(X ) =a + b

2et V(X ) =

(b − a)2

12.

Exemple 11) On rappelle que

FX (x) =∫ x

−∞

fX (t) dt.


FX (x) =∫ x

−∞

fX (t) dt.

• Si x < a, alors

FX (x) =∫ x

−∞

fX (t) dt =∫ x

−∞

0 dt = 0.


FX (x) =∫ x

−∞

fX (t) dt.

• Si x < a, alors

FX (x) =∫ x

−∞

fX (t) dt =∫ x

−∞

0 dt = 0.

• Si x ∈ [a, b]. La relation de Chasles donne

FX (x) =∫ x

−∞

fX (t) dt

=∫ a

−∞

fX (t) dt +∫ x

a

fX (t) dt

=∫ a

−∞

0 dt +∫ x

a

1

b − adt

Ainsi :

FX (x) =

[

1

b − at

]x

a

=1

b − ax − 1

b − aa

=x − a

b − a.

Ainsi :

FX (x) =

[

1

b − at

]x

a

=1

b − ax − 1

b − aa

=x − a

b − a.

• Si x > b. La relation de Chasles donne :

FX (x) =∫ a

−∞

fX (t) dt +∫ b

a

fX (t) dt +∫ x

b

fX (t) dt

=∫ a

−∞

0 dt +∫ b

a

1

b − adt +

∫ x

b0 dt

= 0 +

[

1

b − at

]b

a

+ 0

= 1.

On résume :

∀x ∈ R, FX (x) =

0 si x < ax − a

b − asi x ∈ [a, b]

1 si x > b

.

On résume :

∀x ∈ R, FX (x) =

0 si x < ax − a

b − asi x ∈ [a, b]

1 si x > b

.

2) Si X est une variable aléatoire à densité dont on note FX lafonction de répartition et fX une densité, on a :

P (u ≤ (<)X ≤ (<)v ) = FX (v ) − FX (u) =∫ v

u

fX (t) dt.

On résume :

∀x ∈ R, FX (x) =

0 si x < ax − a

b − asi x ∈ [a, b]

1 si x > b

.

2) Si X est une variable aléatoire à densité dont on note FX lafonction de répartition et fX une densité, on a :

P (u ≤ (<)X ≤ (<)v ) = FX (v ) − FX (u) =∫ v

u

fX (t) dt.

Si a = 0 et b = 15 et le temps d’attente T suit une loi uniformesur l’intervalle [0, 15]. La fonction de répartition FT est

∀x ∈ R, FT (x) =

0 si x < 0x

15si x ∈ [0, 15]

1 si x > 15

.

La probabilité recherchée est :

P (7 ≤ T ≤ 12) = FT (12)− FT (7) =12

15− 7

15=

12 − 7

15=

5

15=

1

3.


P (7 ≤ T ≤ 12) = FT (12)− FT (7) =12

15− 7

15=

12 − 7

15=

5

15=

1

3.

3) L’énoncé assure que 16% des téléviseurs tombe en panne lapremière année, donc P (0 ≤ X ≤ 1) = 0,16.


P (7 ≤ T ≤ 12) = FT (12)− FT (7) =12

15− 7

15=

12 − 7

15=

5

15=

1

3.

3) L’énoncé assure que 16% des téléviseurs tombe en panne lapremière année, donc P (0 ≤ X ≤ 1) = 0,16. Or,

P (0 ≤ T ≤ 1) =1 − 0

T − 0=

1

T, ainsi

1

T= 0,16, on en déduit que

T =1

0,16= 6,25 .

Théorème/Définition (Loi exponentielle)

X suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0 lorsque qu’elle

admet pour densité la fonction fX définie sur R par :

fX (x) =

λe−λx si x ∈ [0,+∞[

0 sinon.

On a X (Ω) = [0,+∞[ ; X admet une espérance et une variance

données par :

E(X ) =1

λet V(X ) =

1

λ2.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.5

1.0

1.5

P(1 ≤ X ≤ 1.5)

y = λe−λx


∀x ∈ R, FX (x) =∫ x

−∞

fX (t) dt.


∀x ∈ R, FX (x) =∫ x

−∞

fX (t) dt.

• Si x ≤ 0, on a :

FX (x) =∫ x

−∞

fX (t) dt =∫ x

−∞

0 dt = 0.


∀x ∈ R, FX (x) =∫ x

−∞

fX (t) dt.

• Si x ≤ 0, on a :

FX (x) =∫ x

−∞

fX (t) dt =∫ x

−∞

0 dt = 0.

• Si x > 0. La relation de Chasles donne :

FX (x) =∫ x

−∞

fX (t) dt

=∫ 0

−∞

0 dt +∫ x

0

λe−λt

dt

= 0 +[

−e−λt

]x

0.

On déduit que si x > 0, on a :

FX (x) = −e−λx −

(

−e−0

)

= 1 − e−λx .


FX (x) = −e−λx −

(

−e−0

)

= 1 − e−λx .

On en déduit que

∀x ∈ R, FX (x) =

0 si x ≤ 0

1 − e−λx si x > 0

.


FX (x) = −e−λx −

(

−e−0

)

= 1 − e−λx .

On en déduit que

∀x ∈ R, FX (x) =

0 si x ≤ 0

1 − e−λx si x > 0

.

En particulier, si 0 ≤ α < β, on a :

P (α ≤ X ≤ β) = FX (β) − FX (α) = 1 − e−λβ −

(

1 − e−λα

)

= e−λα − e

−λβ.

2) On reprend la probabilité P (0 ≤ X ≤ 1) = 0,16 donnée par laquestion 3 de l’exemple 1.

2) On reprend la probabilité P (0 ≤ X ≤ 1) = 0,16 donnée par laquestion 3 de l’exemple 1.(a) On a :

0,16 = P (0 ≤ X ≤ 1) = FX (1) − FX (0) = 1 − e−λ.


0,16 = P (0 ≤ X ≤ 1) = FX (1) − FX (0) = 1 − e−λ.

On en déduit l’équation :

0, 16 = 1 − e−λ ⇐⇒ e

−λ = 0,84 ⇐⇒ λ = − ln (0,84) ≈ 0,17.

(b)

• La durée de vie moyenne correspond à l’espérance : la durée

de vie moyenne est donc1

λ=

1

0, 17≈ 5,88 années.


0,16 = P (0 ≤ X ≤ 1) = FX (1) − FX (0) = 1 − e−λ.

On en déduit l’équation :

0, 16 = 1 − e−λ ⇐⇒ e

−λ = 0,84 ⇐⇒ λ = − ln (0,84) ≈ 0,17.

(b)

• La durée de vie moyenne correspond à l’espérance : la durée

de vie moyenne est donc1

λ=

1

0, 17≈ 5,88 années.

• La durée de vie médiane, notée t1/2, est ..........

t1/2 vérifie l’équation

P (0 ≤ X ≤ t1/2) =1

2.


P (0 ≤ X ≤ t1/2) =1

2.

Comme P (0 ≤ X ≤ t1/2) = FX (t1/2) − FX (0) = 1 − e−λt1/2 , on

est donc ramené à résoudre


P (0 ≤ X ≤ t1/2) =1

2.



1 − e−λt1/2 =

1

2⇐⇒ e

−λt1/2 =1

2⇐⇒ t1/2 =

ln (1/2)

−λ≈ 4,08.


P (0 ≤ X ≤ t1/2) =1

2.



1 − e−λt1/2 =

1

2⇐⇒ e

−λt1/2 =1

2⇐⇒ t1/2 =

ln (1/2)

−λ≈ 4,08.

Au bout de 4,08 années, la moitié d’une population initiale detélévieurs est en panne.

(c)

• On a :

P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 −(

FX (2) − limx→−∞

FX (x)

)

.

(c)

• On a :

P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 −(

FX (2) − limx→−∞

FX (x)

)

.

Or, FX (2) = 1 − e−λ×2 et lim

x→−∞FX (x) = 0, donc

P (X ≥ 2) = 1 −(

1 − e−λ×2

)

= e−λ×2.

(c)

• On a :

P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 −(

FX (2) − limx→−∞

FX (x)

)

.

Or, FX (2) = 1 − e−λ×2 et lim


P (X ≥ 2) = 1 −(

1 − e−λ×2

)

= e−λ×2.

• On a :

P(X≥3) (X ≥ 5) =P ((X ≥ 5) ∩ (X ≥ 3))

P (X ≥ 3)=

P (X ≥ 5)

P (X ≥ 3).

(c)

• On a :

P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 −(

FX (2) − limx→−∞

FX (x)

)

.

Or, FX (2) = 1 − e−λ×2 et lim


P (X ≥ 2) = 1 −(

1 − e−λ×2

)

= e−λ×2.

• On a :

P(X≥3) (X ≥ 5) =P ((X ≥ 5) ∩ (X ≥ 3))

P (X ≥ 3)=

P (X ≥ 5)

P (X ≥ 3).

Or,

P (X ≥ 5) = 1 − P (X < 5) = 1 −(

FX (5) − limx→−∞

FX (x)

)

= 1 −(

1 − e−λ×5

)

= e−λ×5.

On montre de même que P (X ≥ 3) = e−λ×3.

On montre de même que P (X ≥ 3) = e−λ×3. Il s’ensuit que

P(X≥3) (X ≥ 5) =e

−λ×5

e−λ×3= −5– + 3– = e

−2λ.

On montre de même que P (X ≥ 3) = e−λ×3. Il s’ensuit que

P(X≥3) (X ≥ 5) =e

−λ×5

e−λ×3= −5– + 3– = e

−2λ.

On a montré que P(X≥3) (X ≥ 5) = P (X ≥ 2).

Proposition (Absence de mémoire)

Soit X une variable aléatoire à densité d’univers image [0,+∞[ et

tel que P(X > x) > 0 pour tout x > 0.

On dit que X suit une loi de durée de vie sans vieillissement ou

qu’elle possède la propriété d’absence de mémoire lorsque,

pour tout (t, h) ∈ (R+)2,

P(X≥t)(X ≥ t + h) = P(X ≥ h).

X suit une loi de durée de vie sans vieillissement si, et seulement

si, elle suit une loi exponentielle.

Proposition (Moivre-Laplace)

Pour n ∈ N∗, p ∈]0, 1[, si Xn → B(n, p), alors

X ∗n =

Xn − np√

np(1 − p)

est centrée réduite.

Soient a et b deux réels, a < b. On a

limn→+∞

P(a ≤ X ∗n ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b),

où X suit une loi appelée loi normale centrée réduite.

0 5 10 15 20 25 30

Xn → B(n, p)

n = 40 et p = 0,6

X ∗n = Xn−E(Xn)

σ(Xn)

bb

Théorème/Définition (Loi normale centrée réduite)

X suit une loi appelée loi normale centrée réduite notée N (0, 1)lorsqu’elle admet comme densité la fonction fX définie sur R par

∀x ∈ R, fX (x) =1√2π

e−x2/2.

On a X (Ω) = R ; X admet une espérance et une variance

données par :

E(X ) = 0 et V(X ) = 1.

On note très souvent Φ sa fonction de répartition. On a la

propriété suivante :

∀x ∈ R, Φ(−x) = 1 − Φ(x).

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0−1.5−2.0−2.5−3.0

0.1

0.2

0.3

a = −1, b = 2 n = 150, p = 0.6

Théorème/Définition (Lois normales)

On dit que X suit la loi normale de paramètres µ et σ2, et on note

X → N(

µ, σ2)

si elle admet pour densité la fonction fX définie

sur R par

∀x ∈ R, fX (x) =1

σ√

2πe

−(x−µ)2

2σ2 .

X (Ω) = R ; X admet une espérance et une variance données par :

E(X ) = µ et V(X ) = σ2.

Par conséquent, si X ∗ =X − m

σ, on a X ∗ → N (0, 1)

Chapitre 15 : Lois usuelles à densité · 12−7 15 = 5 15 = 1 3. 3) L’énoncé assure que 16%...

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