Diferensiasi

Sudaryatno Sudirham

Klik untuk melanjutkan

Bahan Kuliah Terbuka

dalam format pdf tersedia di

www.buku-e.lipi.go.id

dalam format pps beranimasi tersedia di

www.ee-cafe.org

Pengertian-Pengertian

Kita telah melihat bahwa kemiringan garis lurus adalah

)(

)(

12

12

xx

yy

x

ym

Bagaimanakah dengan garis lengkung?

ΔxΔy

0

1

2

-1

0 1 2 3 4 x

y

P1

Δy

Δx

x

yP2

y = f(x)

Jarak kedua titik potong semakin kecil jika Δx di perkecil menjadi x*

Pada kondisi Δx mendekati nol, kita peroleh

)()()(

limlim00

xfx

xfxxf

x

y

xx

Ini merupakan fungsi turunan dari

)(xf di titik P

Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P

P1Δy*

Δx*

x

y y = f(x)

2P

Garis Lengkung

Garis lurus dengan kemiringan y/x memotong garis lengkung di dua titik

(x1,y1)

(x2,y2)

x

y

f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1),

f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)

),(xfy Pada suatu garis lengkung kita dapat memperoleh turunannya di berbagai titik pada garis lengkung tersebut

maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut”

x

y

x

0limJika pada suatu titik x1 di mana benar ada

Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.

x

yy

dx

d

dx

dy

x

0

lim)(

Jika dalam suatu domain suatu fungsi f(x) dapat di-diferensiasi di semua x dalam dalam domain tersebut

kita katakan bahwa fungsi f(x) dapat di-diferensiasi dalam domain.

kita baca “turunan fungsi y terhadap x”

Mononom

kxfy )(0

00)()(

lim0

0

xx

xfxxfy

x

Contoh:

xxfy 2)(11

222)(2

lim)(0

1

x

x

x

xxxxf

x

Contoh:

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5x

yxy 21

2)(1 xf

Fungsi ramp

Fungsi tetapan

222 2)( xxfy

xxxx

xxxxx

x

xxxxf

x

xx

4)222(lim

2)2(2lim

2)(2lim)(

0

222

0

22

02

Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononom pangkat 1 (kurva garis lurus)

Contoh:

333 2)( xxfy

2222

0

33323

0

33

03

623232lim

2)33(2lim

2)(2lim)(

xxxxx

x

xxxxxxx

x

xxxxf

x

x

x

Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononom pangkat 2 (kurva parabola)

Contoh:

nmxxfy )(

)1()( nxnmy

Secara umum, turunan fungsi mononom

adalah

kxfy )(

Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus

dan turunannya berupa nilai konstan,

nmxy

)(xfy Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,

nmxy

Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi

)(xfy turunan dari )(xfy

)(xfy turunan dari )(xfy *) Untuk n berupa

bilangan tak bulat akan dibahas kemudian

*)

dx

dyxfy )( disebut turunan pertama,

2

2)(

dx

ydxfy turunan kedua,

3

3)(

dx

ydxfy turunan ke-tiga, dst.

344 2)( xxfy

12

;12)2(6

;6)3(2

4

)12(4

2)13(4

y

xxy

xxy

Contoh:

nmxxfy )(Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan

akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.

-100

0

100

200

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

4xy

34xy

212xy xy 24

24y

212xy 34xy

Contoh:34xy 212xy xy 24 24y

4xy dan turunan-turunannya Fungsi

Polinom

Contoh: 24)(11 xxfy

4

242)(4lim)(1

x

xxxxf

xx

f1(x) = 4x + 2

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x

y

4)('1 xf Turunan fungsi ini sama dengan

turunan f(x)=4x karena turunan dari tetapan 2 adalah 0.

Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f (x)

)2(4)(22 xxfy 84)(2 xxf

4)(2 xf

)2(4)(2 xxf

4)(2 xf

-15

-10

-5

0

5

10

-1 0 1 2 3 4x

y

Contoh:

Contoh: 524)( 233 xxxfy

28224

5245)(2)(4lim

22

03

xxx

xxxxxxy

x

5245)( 2344 xxxxfy

281522435

5245 5)(2)(4)(5lim

22

2323

04

xxxx

x

xxxxxxxxxy

x

Contoh:

Secara Umum:

Turunan fungsi polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu

memang memiliki turunan.

Fungsi Yang Merupakan Perkalian

Dua Fungsi

dx

dvw

dx

dwv

dx

vwd

dx

dy

)(

)(

))(()(

vwvwwvvw

wwvvyy

x

wv

x

vw

x

wv

x

vwvwvwwvwv

x

yyy

x

y

)()(

vwy Jika

maka

Contoh:

44422323

3018126362)32(

xxxxxxxdx

xxdy

56xy 430xy Turunan adalah

Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi

dx

duvw

dx

dvuw

dx

dwuv

dx

duv

dx

dvuw

dx

dwuv

dx

uvdw

dx

dwuv

dx

wuvd

dx

uvwd

)()()(

)( )(

)())(()(

Jika uvwy

56xy

44442

222

3012126)4)((3x

)6)(2()1)(32()(

xxxxxx

xxxxxdx

uvwd

dx

dy

Contoh:Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi

Fungsi Yang Merupakan Pangkat dari suatu Fungsi

vvvvy 2361Contoh:

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvvv

dx

dvvv

dx

dy

5

4555

22345

32

23231

6

2

)()()(

dx

dvv

dx

dv

dv

dv

dx

dv 566

6

dx

dvnv

dx

dv nn

1

Contoh ini menunjukkan bahwa

Secara Umum:

Contoh:2332 )1()1( xxy

)12()1)(1(6

)1()1(6)1()1(6

2)1(3)1()3)(1(2)1(

)1()1(

)1()1(

3223

22233322

22232332

3223

2332

xxxxx

xxxxxx

xxxxxx

dx

xdx

dx

xdx

dx

dy

Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

Fungsi Rasional

Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi

w

vy 1vwy

dx

dwv

dx

dvw

w

dx

dv

wdx

dv

w

v

dx

dvw

dx

dvvw

dx

dvw

dx

dwv

dx

vwd

w

v

dx

d

dx

dy

2

212

111

1

1

)(

2w

dx

dwv

dx

dvw

w

v

dx

d

atau

Jadi:

3

2 3

x

xy

4

2

6

244

6

223

9)93(2

)3)(3()2(

x

x

x

xxx

x

xxxx

dx

dy

Contoh:

22 1

xxy

3

2 22

4

2102

xx

xxx

dx

dy

Contoh:

1dengan ;1

1 22

2

x

x

xy

2222

33

22

22

)1(

4

)1(

2222

)1(

2)1(2)1(

x

x

x

xxxx

x

xxxx

dx

dy

(agar penyebut tidak nol)Contoh:

Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

(v adalah fungsi yang bisa diturunkan)

q

pn dengan p dan q adalah bilangan bulat dan

q ≠ 0Bilangan tidak bulat

dx

dvpv

dx

dyqy pq 11

Jika y ≠ 0, kita dapatkandx

dv

qy

pv

dx

vd

dx

dyq

pqp

1

1/ )(

)/(1/1 qppqqpq vvy

dx

dvv

q

p

dx

dvv

q

p

dx

dv

qv

pv

dx

vd

dx

dy

qp

qpppqpp

pqp

1)/(

)/()1()/(

1/

)(

sehingga

qpn vvy / pq vy

Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0

untuk p/q < 1.

Fungsi Parametrik dan

Kaidah Rantai

Kaidah rantai

)(tfx dapat diturunkan terhadap t,

)(xFy dapat diturunkan terhadap x dan Jika

)()( tgtfFy dapat diturunkan terhadap t menjadi maka

dt

dx

dx

dy

dt

dy

Apabila kita mempunyai persamaan

maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk

)(dan )( tfytfx

)(xFy

Fungsi Implisit

Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak.

Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang

sudah kita pelajari di atas.

Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap

bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x.

Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh

822 yxyxContoh:

yxdx

dyyx

dx

dyy

dx

dxy

dx

dyxx

2)2(

022

yx

yx

dx

dy

2

2

0)2( yx kita peroleh turunan Jika

434 434 yxyx

0124)3(44

0)3()4(

44

3323

43

33

dx

dyyy

dx

dyyxx

dx

yd

dx

xdy

dx

dyxx

Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh

Contoh:

)(3

)(32

33

yxy

yx

dx

dy

0)( 32 yxy kita dapat memperoleh turunanUntuk

Turunan Fungsi Trigonometri

x

xxxxxx

xxx

dx

xd

dx

dy

sinsincoscossin

sin)sin(sin

xy sin maka Jika

Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x. Oleh karena itu

xdx

xdcos

sin

x

xxxxxx

xxx

dx

xd

dx

dy

cossinsincoscos

cos)cos(cos

xy cos maka Jika

Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x. Oleh karena itu

xdx

xdsin

cos

Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

xxx

xxx

x

x

dx

d

dx

xd 222

2sec

cos

1

cos

)sin(sincos

cos

sintan

xxx

xxx

x

x

dx

d

dx

xd 222

2csc

sin

1

sin

)(coscossin

sin

coscot

xxx

x

x

x

xdx

d

dx

xdtansec

cos

sin

cos

)sin(0

cos

1sec22

xxx

x

x

x

xdx

d

dx

xdcotcsc

sin

cos

sin

)(cos0

sin

1csc22

Contoh:

Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 210-6 farad merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah

Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah

dt

dvCi C

C

ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdt

d

dt

dvCi C

C

-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

vC iC

vC

iC

t [detik]

Contoh:

Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = 0,2cos400t ampere.

Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah

dt

diLv L

L

tttdt

d

dt

diLv L

L 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2

vL

iL

vL iL

-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]

Turunan Fungsi Trigonometri

Inversi

xy 1sin yx sin ydydx cos

ydx

dy

cos

1

21

1

xdx

dy

x

1

21 x

y

ydx

dy

sin

1 21

1

xdx

dy

x

1 21 xy

xy 1cos yx cos ydydx sin

xy 1tan yx tan dyy

dx2cos

1

ydx

dy 2cos21

1

xdx

dy

x

1

21 xy

xy 1cot yx cot dyy

dx2sin

1

ydx

dy 2sin 21

1

xdx

dy

x

121 x

y

xy 1secy

yxcos

1sec dy

y

xdx

2cos

)sin(0

1

1

1

1

sin

cos

2

22

2

xx

x

x

xy

y

dx

dy

1

x12 xy

xy 1cscy

yxsin

1csc dy

y

xdx

2sin

)(cos0

1

1

1

1

cos

sin

2

22

2

xx

x

x

xy

y

dx

dy 1

x

12 x

y

Fungsi Trigonometri dari

Suatu Fungsi

dx

dvv

dx

dv

dv

vd

dx

vdcos

)(sin)(sin

dx

dvv

dx

dv

dv

vd

dx

vdsin

)(cos)(cos

Jika v = f(x), maka

dx

dvv

dx

dv

x

xx

v

v

dx

d

dx

vd 22

22sec

cos

sincos

cos

sin)(tan

dx

dvv

v

v

dx

d

dx

vd 2cscsin

cos)(cot

dx

dvvv

dx

dv

v

v

vdx

d

dx

vdtansec

cos

sin0

cos

1)(sec2

dx

dvvv

vdx

d

dx

vdcotcsc

sin

1)(csc

dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(sin

dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(cos

dx

dw

wdx

wd2

1

1

1)(tan

dx

dw

wdx

wd2

1

1

1)(cot

dx

dw

wwdx

wd

1

1)(sec

2

1

dx

dw

wwdx

wd

1

1)(csc

2

1

Jika w = f(x), maka

Fungsi Logaritmikdan

Fungsi Eksponensial

Turunan Fungsi Logaritmik

)0( 1

ln)(1

xdtt

xxfx

xxf ln)( didefinisikan melalui suatu integral

Fungsi logaritmik

luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t,

dalam selang antara t = 1 dan t = x

x t

1/x

1/t

x +Δx 1/(x+Δx)

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

y

x

dtt

x1

1

ln

xx

xdt

txx

xxx

dx

xd 11)ln()ln(ln

Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx 1/x). Namun

jika Δx makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx

1/x); dan jika Δx mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx

1/x).

xdx

xd 1ln

ln(x+x)lnx

Tentang integral akan dipelajari lebih

lanjut

Turunan Fungsi Eksponensial

xey xexy lnln

penurunan secara implisit di kedua sisi

11ln

dx

dy

ydx

yd

xeydx

dy atau

Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri

xey xey xey

dst.

.

dx

dve

dx

dv

dv

de

dx

de vvv

)(xvv Jika

xey1tan

2

tan1tan

1

tan1

1

x

e

dx

xde

dx

dy xx

Diferensial dx dan dy

dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:

Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi

)(lim0

xfx

y

dx

dy

x

Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x:

)(xFy

dxxFdy )('2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan

1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x;

Penjelasan secara grafis

Pdx

dy

y

xIni adalah

peubah bebas

Ini adalah fungsi (peubah tak

bebas)dxxFdy )(' Pdx

dy

y

x

Jika dx berubah, maka dy berubah sedemikian rupa sehingga dy/dx sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva

tandx

dydxdy )(tan

adalah besar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik

P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx

adalah laju perubahan y

terhadap perubahan x.

Pdx

dy

x

yP

dx

dy

x

y

Pdx

dy

x

y

Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke

kiri”.

Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke

bawah”.

Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel

berikut. Dalam tabel ini v adalah fungsi x.

konstan ;0 cdx

dc

dx

dvc

dx

dcv

dx

dw

dx

dv

dx

wvd

)(

cdvdcv

konstan ;0 cdc

dwdvwvd )(

dx

dvw

dx

dwv

dx

dvw wdvvdwvwd )(

2w

dx

dwv

dx

dvw

dx

w

vd

2w

vdwwdv

w

vd

dx

dvnv

dx

dv nn

1 dvnvdv nn 1

1 nn

cnxdx

dcx dxcnxcxd nn 1)(

Diferensial Turunan Fungsi

Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.

1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx.

2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel)

Contoh: 653 23 xxxy

563 2 xxy

dxxxdy )563( 2 sehingga

Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas

dxxx

dxxdxdxxdxdxdxddy

)563(

563 )6()5()3()(2

223

Bahan Ajar

DiferensiasiSudaryatno Sudirham