Des récréations mathématiques à larécréation mathématique

Sylviane R. Schwer

IREM PARIS NORD & Institut Galilée, Université Paris 13

Semaine des mathématiques 2019Jouons ensemble aux mathématiques.

mercredi (Π-day –1) 2019Canopé 93 & groupes mathématiques Cycle 3 académique et départemental

Sylviane R. Schwer Jeux et récréations

plan

1 Le(s) jeu(x)2 la.es récréation(s)3 récréation en cours de mathématique : pour préparer

l’entrée dans le domaine des probabilités et statistiques

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Roger Caillois (1958) Le jeu et les hommes.

définition« le jeu est une occupation isolée du reste de l’existence, etaccomplie en général dans des limites précises de temps et delieu.Classificationcompétition joute oratoire

hasard s’oppose à la compétition (règles équitables)simulacre art du spectacle, « faire comme si »

étourdissement, lacher prise vitesse, frayeur, . . .

les synonymesamusement, divertissement, plaisir, délassement,passe-temps, récréation, distraction, dérivatif, frivolité, rigolade,assortiment, assemblage, association, ensemble, série, lot,choix, compétition, rivalité, concurrence, conflit, concours,challenge, dispute, match, coupe, partie.

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Etymologie

Grec ancienPas de terme pour le concept de jeu dans la langue grecque,mais des termes techniques

1 paidia : pour les jeux de l’enfance2 kubeia : jeux de dés et d’osselets3 petteia : placer et déplacer des pions sur un diagramme.

Latin classiqueludus activité ludique organisée, le jeu en acte des dès

aux compétitions sportives.école, ludi magister : maître d’école (du jeu) etmaître de la caserne où s’entraine les gladiateurs.

jocus jeux en paroles, plaisanterie, amusement,badinage.

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Dictionnaire de l’Académie

jeun. m., XIeme s. vient du latin jocus plaisanterie, jeu ( MAIS : ludiquevient de ludus)

activité à laquelle on se livre pour s’amuser, se divertir, sans qu’iln’y ait aucun enjeu.

divertissement soumis à certaines règles et permettant, lorsqu’ilest partagé par plusieurs joueurs de déterminer des gagnants etdes perdants.Math : théorie des jeux. . . .métonymie : ensemble des règles définissant la manière dont ilconvient de jouer.

absolu et au sing. le jeu se dit des divertissements où l’onhasarde de l’argent dans l’espoir de gagner la partie.

Ne sont évoqués ni le temps ni le lieu « clos »

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Le jeu dans la société française

Moyen-âge : l’anathème de l’égliseCondamnation des sociétés gréco-latines (sociétés amorales).Jeu = perte de temps, oisivité, frivolité, voire délit.

Au XVIe s., il était interdit dans les collèges de jouer aux cartes,aux dés et au trictrac, mais on les pratiquait beaucoup.

Renaissance : les humanistes et les JésuitesLes Jésuites introduisent le jeu dans l’éducation et l’instruction(sans demander l’abolition de l’anathème).En 1510, le moine cordelier strasbourgois Murner construit lepremier jeu de cartes en couleur (supports mnémotechniques)Développement des jeux de corps (physique) et des jeuxd’esprit : performance lyrique, de mémoire, de résolution deproblèmes (logique)

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Nouvelle éducation de Ponocrates pour ne perdre aucune heuredu jour

Livre 1, XXICe faict on aportoit des chartes, non pour iouer, mais pour yapprendre mille petites gentillesses, & inventions nouvelles.Lesquelles toutes yssoient de Arithmeticque. En ce moyenentra en affection de ycelle science numeralle, & tous les ioursaprès disner & souper y passoient temps aussi plaisantement,qu’il souloyt es dez ou es chartes [. . . ]Et non seulement d’ycelle, mais des aultres sciencesmathematicques, comme Geometrie, Astronomie, & Musicque.

Cette éducation s’oppose à celle de Jobelin qui occupait l’espritde Gargantua avec des niaiseries et lui enseignait quantité dejeux ( « l’on desployait force chartes, force dez,& renfort detabliers :[ 217 jeux énumérés ] ») qui ne sont d’aucun profitpour son intelligence ni pour son développement physique :Rabelais préfèrent les jeux de plein air.

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Le jeu dans la société française II

au XVIIeme s.enseignement centré sur l’apprenant pour faire des honnêteshommes, raffinés : jeux de l’oie, . . .Education par le jeu éducatif

1 Pour le Roi2 Pour les Princes3 Pour les nobles . . .

XIX eme s.1 . . . Pour les riches2 pour la petite bourgoisie3 pour le peuple

Laisant, Initiation Mathématique, Laisant & Fehr : revuepédagogique

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Récréation

récréationn. m., XIIIe(1215) s. vient du latin récréatio rétablissement.

Moment de loisir, délassement, divertissement quiinterrompt le travail.Le travail manuel et les exercices d’algèbre comptaientparmi les récréations de Louis XVI.au pluriel, vieilli : titre donné à certains ouvrages quitraitent, de manière plaisante et distrayante, de sujets descience, de morale. Récréations mathématiquesau XVIIemes., pédagogie souriante développée par lesOratoriens et les Jansénistes fondée sur le jeu et qui adonné naissance aux aires de jeu dans toutes les écolesappelées « cours de récréations. »

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petite histoire des récréations

Alcuin (735 - 804) Propositiones ad acuendos juvenesMoine et pédagogue, un des hommes les plus savants de sontemps.Engagé par le roi Charlemagne comme précepteur et pourréformer les programmes d’enseignement."Propositions pour aiguiser la perspicacité des jeunes".53 problèmes récréatifs : 33 d’arithmétique dont huit departage, 12 de géométrie et 8 de logique dont quatre detraversées.

D’un loup, d’une chèvre et d’une botte de chouxUn homme devait faire traverser un fleuve à un loup, unechèvre et une botte de choux. Il ne peut trouver qu’un bateaupermettant seulement à deux d’entre eux de passer. Or il avaitpour mission de les faire passer tous trois sans aucundommage. Que celui qui le peut dise comment il parvint à lesfaire traverser sans dommage.

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petite histoire des récréations, IIBachet, Sieur de Méziriac : problèmes plaisans etdélectablesavancés dans le domaine arithmétique et algébrique abordéessous un angle plaisant et amusant.Défis entre savants à la mode du début du XVIIe s.Origine d’un genre d’ouvrages nouveaux

Avant 1694 : 43 éditions de récréations mathématiques chez17 éditeurs différents, pas toujours très rigoureux.Jacques Ozanam (1640-1718) : une autorité pendant 150ans

1688 Usage du compas de proportion1691 Dictionnaire des mathématiques1693 Cours de mathématiques (5 vol) : pour les

hommes de Guerre et ceux qui veulent seperfectionner dans cette science.

1694 Récréations mathématiques & physiques (encomplément du cours.)

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petite histoire des récréations, III

à la fin du XIXe siècle, retour aux récréations mathématiquesdans une communauté française de mathématiciens,enseignants et amateurs, militantisme pour redresserscientifiquement la France.

Edouard Lucas1891 Théorie des Nombres

1882-94 Récréations mathématiques1895 L’arithmétique amusante.

1933 E. Fourre, Récréations arithmétiques1937 P. Delens, Problèmes d’arithmétique amusante.1959 Martin Gardner, Les casse-tête mathématiques de

Sam Loyd

La plus part des journaux et revues périodiques accordent uneplace importante aux jeux d’esprit et aux récréationsscientifiques. Nombreux sites sur la toile : récréomath, . . .

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Des récréations pour l’apprentissage (Anth. Grecque)

Fortuné Pythagore, rejeton héliconien des Muses, dis-moi combiendans ton école, tu as d’athlètes que tu dresses aux glorieux exercicesde la philosophie. – Je vais te le dire, Polycrate : la moitié étudie lesbelles sciences mathématiques, l’éternelle nature est l’objet des travauxd’un quart ; un septième s’exerce au silence et à la méditation ; il y a deplus trois femmes dont Théamos est la plus distinguée. Voilà le nombrede mes disciples qui sont aussi des Muses.Cypris dit à Amour qui avait l’air chagrin : « quel est mon fils, le sujet deta peine? »– « Les Muses m’ont à l’envi pillé les pommes que j’avaiscuillies sur l’Hélicon. Clio m’en a pris le cinquième ; Euterpe, ledouzième ; la divine Thalie, le huitième ; Melpomène, le vingtième ;Terpsichore, le quart ; Erato, le septième ; Polymnie m’en a volé trente ;Uranie cent-vingt ; Calliope s’en est chargée de trois-cents ; et moi, jeviens vers toi, les mains presque vides, emportant ce qu’ont laissé lesdéesses, cinquante pommes. »

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Des récréations pour la création

Pour la créationles probabilitésla théorie des graphesla théorie des jeux

Pour la réflexionune approche tout en douceur des probabilités par uneréflexion sur le hasardFabienne Gléba, Groupe Mathématiques et Citoyenneté a dévelopé uneactivité pour ses 5e

– C’est principalement dans le cours de mathématiques, si l’ona bien travailler dans le cours avant (récompense)– Il n’y a pas d’astuces à trouver, il n’y a pas de compétition quidiscrimine, on avance ensemble.

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Objectifs

La compréhension est un cas particulier du malentendu.Witgenstein

photographier les représentations initiales des élèvesmise en place d’une démarche d’investigation scientifiqueà travers un regard critique par la quantification possibledu hasardfonder rigoureusement le vocabulaire

chi va piano va sano e va lontanoUne démarche en trois phases :

représentation à priori (cycle 3 ou début 5e)expérimentation (cycle 3 ou début 5e)institutionalisation

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Une démarche spiralée en classe de 5e I

première phase : récréationplusieurs fins de séances (10-15 mn) non successives,après la Toussaint,

1 le questionnaire, et bilan de Q1 à la demandeémergence du terme hasard (et le pif) et de la « mémoiredu hasard ».

2 écrire individuellement un deux termes ou expressionsassociés

3 retour sur le champ lexical de la classe selon les débatsinspiration : G. Pons, « Autour du mot hasard », APMEP 198, Probabilitésau collège

différents classements : +positif/négatif/neutre ,jeu/événement

4 une définition par ilôt du mot hasard par écrit5 lecture et traitement des définitions pour obtenir la

définition de la classe, conforme à la classe.

Travail sur les conditions expérimentales (conditions dontnature des objets) ; lien avec les langues.

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Q1 : en lançant un dé, qu’est-ce qui est le plus facile à obtenir : un2 ou un 6?

Deux types de réponses :dû au hasard je ne sais pas (46 %) ou aucun des deux (11 %)des causes mécaniques c’est le 2 qui l’emporte (3 contre 1)

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Hasard : étymologie

Emprunté à l’arabeaz-zahr via esp. azar « coup défavorable aux dés »

zahr fleur, une des figures d’une faceyazara jouer aux dés

yazar groupe de joueurs de désh ajouté au m. fr sur les mots étrangersLe Littré (1872-77) : d’après Guillaume de Tyr, le hasard estune sorte de jeu de dés trouvé pendant le siège d’un châteaude Syrie nommé Hasart.Les premiers jeux de dés : on en trouve chez les Etrusques, enInde, chez les Romains et les Grecs. Les plus anciens en Irak(début 3e mill. av. E. C.), amélioration des astragales à 4 faces(osselets).

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Hasard : usages

1150 hasart : jeu de dés1200 hasart : un certain coup au jeu de hasard

début XIIIe s. sens figuré : mauvais coupXVe s hazard : risque, danger

début XVIe s. hazart : cas, événement fortuit1532 hasart (adv, chez Villon) : fortuitement, par hasard

vers 1570 hasard : cause attribuée aux faits dont on ignore lacause réelle

Lexique de l’ancien français (Godefroy, 1901)

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Hasard : usages

Montmort (1713) Essay d’analyse sur les jeux de hazard

Hasard peut êtrepetit (rarement), grand, pur, heureux, malheureux et leursuperlatif singulier et pluriel

On peuts’y soumettre, s’y risquer, s’y exposer, le tromper , le corriger,les risquer

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Une démarche spiralée en classe de 5e II

seconde phase : jeter le hasard ou expérimentation par lejeu de dé

une ou seux séances proches entière entre Noël etvacances d’hiver

1 deux jeux de hasard, recherche s’ils sont équitables ou nonavec des dés à disposition et papiers/crayons avecnarration de recherche (eux 30 mn, vous 10 mn) et retourcollectif : hasard, pas ou pas que

2 faire ou finir les tableaux de relevéscorriger les tableaux et expressions mathématiques desrésultats

Travail sur les conditions expérimentales (conditions dontnature des objets) ; lien avec le français.

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deux jeux sur le pair et l’impair : équitables ou non?

jeu des produits

À chaque partie, on lance deux dés et on multiplie les chiffresobtenus. Le joueur 1 gagne si le produit est impair. Le joueur 2gagne si le produit est pair.Choisis-tu d’être le joueur 1 ou bien le joueur 2?

jeu des sommes

À chaque partie, on lance deux dés et on additionne les chiffresobtenus. Le joueur 1 gagne si le produit est impair. Le joueur 2gagne si le produit est pair.Choisis-tu d’être le joueur 1 ou bien le joueur 2?

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Une démarche spiralée en classe de 5e III

troisième phase : institutionnalisationune pré-institutionnalisation :

rituels ou questions flash : établissement du vocabulairedes événements sur une échelle des probabilités qualitative(cf. documents ressources) ; boites à événementslien entre le vocabulaire temporel courant et celui desprobabilitésquantification avec les pourcentages fractionnaires (num :0, 25, 50, 75, 100) puis les fractions

institutionnalisation

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