Prof. Carlos R. Paiva

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Instituto Superior Técnico

Abril de 2008

Feixes Ópticos 1

1. Feixes gaussianos Num meio homogéneo e isotrópico o potencial vector satisfaz a equação de onda (com

0k n k= , sendo n o índice de refracção do meio e 0 2k cω π λ= = )

2 2equação de Helmholtz 0k→ ∇ + =A A . (1)

Em coordenadas cilíndricas ( ), ,r zφ e considerando simetria azimutal, vem

2 2 2

2 22 2 2

1t z r r r z

∂ ∂ ∂ ∂∇ = ∇ + = + +

∂ ∂ ∂ ∂. (2)

Consideremos, então, um pontencial vector da forma

( ) ( ) ( )ˆ, , expr z r z i k z= ΨA a (3)

onde a é um vector unitário pertencente ao plano ( ),x y . Nestas circunstâncias, obtém-se

( )2 2

22 2 2 ,i k k r z

z z z⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

A A . (4)

De (1)-(4) infere-se então que

2

22equação das ondas 2 0t i k

z z∂ Ψ ∂Ψ

→ ∇ Ψ + + =∂ ∂

. (5)

Para uma variação espacial lenta, tal que ∆Ψ Ψ para z λ∆ = , deverá ter-se

2kz

z z zλ

λ π∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ Ψ Ψ

∆Ψ ≈ ∆ = Ψ ⇒ =∂ ∂ ∂

2 Carlos R. Paiva

kz

∂Ψ∴ Ψ

∂. (6)

Analogamente

2 2

2 2

12k k

z z z z zλ π∂ Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂ Ψ ∂Ψ

= ⇒∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. (7)

Podemos portanto inferir de (5) a chamada equação paraxial

2equação paraxial das ondas 2 0t i kz

∂Ψ→ ∇ Ψ + =

∂. (8)

Vamos, nesta secção, considerar a seguinte solução (ou «ansatz») de (8):

( ) ( ) ( )2«ansatz» , exp

2kr z i P z r

q z⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪→ Ψ = +⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

. (9)

Note-se que se considera, aqui, uma solução particular; outras soluções poderão existir. Trata-

se, para já, de saber quais as equações que caracterizam as funções ( )P z e ( )q z que são, por

enquanto, desconhecidas. Notando que

( )2 1 ,

2k ri P r z

z q

⎡ ⎤′⎛ ⎞∂Ψ ⎢ ⎥′= + Ψ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )1 ,ki r zr r q∂Ψ

= Ψ∂

( )2 2 2

2 2 ,k r ki r zr q q

⎛ ⎞∂ Ψ= − + Ψ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

resulta de (8)

Feixes Ópticos 3

2

2 21 2 2 0k kk r i Pq q q

⎡ ⎤′⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ′− − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦.

Ora, como esta equação deve ser válida qualquer que seja o valor da distância r , deverá

impor-se

2

1

1 1 0

P iq

q q

⎧⎪ ′ =⎪⎪⎨

′⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

. (10)

Façamos agora, por definição,

1 1 du du uq u d z d z q= ⇔ = . (11)

Logo, da segunda equação de (10), vem

( )2

2 0d u u z a z bd z

= ⇒ = +

( ) ( ) ( )0 00

1 10 bq q q z z qa q z z q

∴ = = → = ⇒ = ++

. (12)

Mas então, introduzindo este resultado na primeira equação de (10), tira-se que

( )

( )( )0

0

1

ln 10 0

P z iz q zP z i

qP

′ =+ ⎛ ⎞

⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠=

. (13)

Agora, substituindo (12) e (13) em (9), obtém-se

4 Carlos R. Paiva

( ) ( )20

0 0

, exp2

q kr z i rq z z q

⎡ ⎤Ψ = ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

. (14)

Em particular virá

( ) 2

0

,0 exp2

kr i rq

⎛ ⎞Ψ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠. (15)

Porém, deverá observar-se a seguinte restrição

( )lim ,0 0r

r→∞

Ψ = .

Esta restrição só se verifica desde que

0 0 0, 0q i z z= − >

( ) 0q z z i z∴ = −

tendo-se então

( )2

22

0 0

perfil gaussiano ,0 exp exp2

k rr rz w

⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ Ψ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (16)

onde se introduziu, para o parâmetro dito confocal 0z ,

20

0parâmetro confocal2

k wz→ = . (17)

Infere-se, deste modo, que é possível reescrever (14) na forma alternativa

( ) ( )( ) ( )

20feixe gaussiano , , exp

2q k rx y z iq z q z

⎡ ⎤→ Ψ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦. (18)

Feixes Ópticos 5

Notando que

( )( )

1

20

00

0 1 1 exp tan1 1

q zizq z zi zz z

−⎡ ⎤⎛ ⎞= = −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞++ ⎜ ⎟⎝ ⎠

e definindo

( )

( )

2

00

20

1

1

zw z wz

zR z zz

⎧ ⎛ ⎞⎪ = + ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎨⎪ ⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎪ ⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩

(19)

virá

( )

0

200 0

11 1 1 1

1 1

ziz

zq z z i z z zz iz z

+= = =

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2

1 1 2iq z R z k w z

∴ = + . (20)

Podemos, portanto, escrever (18) na forma mais explícita

( ) ( ) ( ) ( )2

02feixe gaussiano , exp exp ,w rr z i r z

w z w z⎡ ⎤

→ Ψ = − Φ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(21)

em que

6 Carlos R. Paiva

( ) ( ) ( )

( )

2

1

0

,2

tan

k rr z zR z

zzz

δ

δ −

⎧Φ = −⎪

⎪⎨

⎛ ⎞⎪ = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

. (22)

A fase de ( ), ,x y zΨ é ( ),r zΦ ; a fase de ( ),r zA , por seu turno, é – de acordo com (3) –

dada por

( ) ( ) ( ) ( )2

, ,2

k rr z k z r z k z zR z

ϕ δ= +Φ = + − . (23)

No eixo do feixe, tem-se

( ) ( )0 0,r z k z zϕ δ= → = − (24)

que corresponde a duas contribuições distintas: (i) o termo k z é a fase de uma onda plana; (ii)

o termo ( )zδ , dado pela segunda equação de (22), corresponde a um desvio de fase em

relação quer a uma onda plana quer a uma onda cujo raio variável é ( )R z dado pela segunda

equação de (19).

●

A constante efectiva de propagação longitudinal effk é tal que

( ) ( ) ( ) 1eff0

0

0, tanz zk d z k z z k z

zς ς ϕ δ − ⎛ ⎞

= = − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ . (25)

Como

12 2tand x a

d x a x a−⎡ ⎤⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎢ ⎥ +⎝ ⎠⎣ ⎦

Feixes Ópticos 7

infere-se que

( ) 0eff 2 2

0

constante efectiva depropagação longitudinal

zdk z k n nd z c z z cδ ω ω

→ = − = − <+

(26)

tendo-se

( ) ( )20

eff 0 2

wk k zw z

− = . (27)

Em particular, para 0z = , obtém-se

( )eff 20

20 0z k kkw

= → = − . (28)

Interpretação física: O resultado expresso em (28) tem uma explicação física interessante.

Admitindo, com efeito, que os valores típicos de xk e yk são dados por

0

2x yk k

w= ≈

infere-se que

2 2

2 2 2 220

22

x yx y z z

k kk k k k k k k

k k w+

+ + = ⇒ = − = − .

de acordo com o valor efectivo dado por (28).

Isto significa que é possível definir uma velocidade de fase (efectiva) tal que

8 Carlos R. Paiva

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2 2 2eff

2 21 1pcv z

k z k w z k k w z nω ω

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )2 2

21p

c nv z k w z

⎡ ⎤∴ = −⎢ ⎥

⎣ ⎦. (29)

A intensidade óptica ( ),I r z é proporcional a ( ) 2,r zΨ , i.e., tem-se

( ) ( ) ( )

22

00 2

intensidade óptica do 2, expfeixe gaussiano

w rI r z Iw z w z⎡ ⎤ ⎡ ⎤

→ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (30)

Na Fig. 1 representa-se graficamente a intensidade óptica normalizada 0I I em função de

0r w para diferentes valores de 0z z . Na Fig. 2, por outro lado, representa-se graficamente

0I I em função de 0z z ao longo do eixo óptico do feixe (i.e., para 0r = ). Note-se que a

potência óptica total do feixe gaussiano é finita (ao contrário de uma onda plana) e dada por

(como não há perdas, esta potência é independente do plano transversal z onde é calculada e,

portanto, pode ser calculada no plano 0z = para facilitar os cálculos)

( ) ( )2

0 0 0, 2 ,P I r z r d r d I r z r d r

πφ π

∞ ∞= =∫ ∫ ∫

2 2

20 0 02 20

0 0 0

2 1 22 exp exp2

r rP I r d r I ww w

π π∞

∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫

( )200

potência óptica dofeixe gaussiano 2

IP wπ∴ → = . (31)

Esta última expressão mostra que a potência total do feixe é igual ao produto de metade da

intensidade óptica máxima pela área (efectiva) do feixe – entendida esta última como 20A wπ= .

Feixes Ópticos 9

Figura 1 Intensidade óptica normalizada 0I I em função da distância radial (também

normalizada) 0r w para três valores diferentes da distância axial: (i) 0z = ; (ii) 0z z= ; (iii)

02z z= .

Figura 2 Intensidade óptica normalizada 0I I em função da distância axial (também

normalizada) 0z z ao longo do eixo óptico do feixe, i.e., para 0r = .

10 Carlos R. Paiva

A largura do feixe é caracterizada pela função ( )w z , tal como se ilustra na Fig. 3. Para 0z =

esta largura assume o seu valor mínimo 0w que se designa por cintura do feixe e que

caracteriza, como se viu, a sua área efectiva. O efeito da difracção (ou dispersão) espacial é,

assim, caracterizado pelo alargamento de ( ) 0w z w tal como se indica na Fig. 3. Note-se que,

de acordo com a primeira equação de (19), um feixe gaussiano de cintura 0w apresenta uma

divergência espacial que está assimptoticamente contida num cone cujo ângulo 0θ é tal que

( )2 2 0 00 0

0 0 0

2tanw wz z w z zz z kw

θ⇒ ≈ ⇒ = =

2 20

0 0

cone wr z x y zz n w

λπ

→ = ⇒ + =

10

0 0

tann w n wλ λθπ π

− ⎛ ⎞∴ = ≈⎜ ⎟

⎝ ⎠. (32)

Na Fig. 4 representa-se a desfasagem ( )zδ introduzida na segunda equação de (22).

●

A função ( )R z , que se representa graficamente na Fig. 5, caracteriza o raio de curvatura da

frente de onda do feixe gaussiano. Com efeito, as superfícies de fase constante satisfazem a

equação (com q inteiro) ( ), 2r z qϕ π= , ou seja,

( ) ( )2

superfícies de fase constante 22

rk z z qR z

δ π⎡ ⎤

→ + − =⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Como as funções ( )R z e ( )zδ variam lentamente com z , podemos considerar que elas são

aproximadamente constantes nas superfícies de fase constante. Assim, como 0k n k= e

0 2k π λ= , as superfícies de fase constante são superfícies de um parabolóide

Feixes Ópticos 11

2superfície de um parabolóide

de raio de curvatura 2 2rz c c q

R R nλ δ

π⎛ ⎞

→ + = ← = +⎜ ⎟⎝ ⎠

(33)

tal como se indica na Fig. 6 para diferentes valores de R e admitindo que δ não varia.

Figura 3 Largura normalizada ( ) 0w z w do feixe gaussiano em função da distância axial

normalizada 0z z . Para 0z z= ± a largura reduz-se ao seu valor mínimo – a cintura 0w w= .

Note-se que, para uma onda esférica, se tem

2 2 2 2

2 2 2 2 22 21 1

2x y r rr z R x y z z z z

z z z+

→ = + + = + = + ≈ +

( ) ( )21 1onda esférica exp exp exp2ki k R i r i k z

R R R⎛ ⎞

→ ≈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

. (34)

Ao comparar a fase da onda esférica em (34) com (23) entende-se melhor o significado de

( )R z num feixe gaussiano.

12 Carlos R. Paiva

Figura 4 Desfasagem ( )zδ em função da distância axial normalizada 0z z .

Figura 5 Raio de curvatura normalizado ( ) 0R z z das frentes de onda de um feixe gaussiano

em função da distância axial normalizada 0z z .

Feixes Ópticos 13

Figura 6 Superfície de um parabolóide caracterizado por (33) para diferentes valores da

curvatura R e considerando fixo o valor de c .

Exemplo numérico: A saída de uma cavidade laser é um feixe gaussiano. Considerando um

feixe gaussiano com uma cintura 0 1 mmw = , para um comprimento de onda 1.06 mλ = µ ,

infere-se que o parâmetro confocal é 0 3mz = . Para uma distância 10 mz = , tem-se

( ) 3.5 mmw z = , ( ) 10.9 mR z = e um ângulo de divergência espacial 0 0.02θ = .

14 Carlos R. Paiva

2. Difracção de Fresnel Em (1) a constante de propagação longitudinal k é tal que

2

2 2 2 2 2 20

2x y z

nk k k k n k πλ

⎛ ⎞+ + = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

. (35)

A solução geral da equação de onda (1), fazendo

( ) ( )ˆ, , , ,x y z u x y z=A a (36)

em vez de (3), é dada pelo feixe óptico

( ) ( ) ( )0

feixe, , , exp

óptico x y x yu x y z U k k i d k d k∞ ∞

−∞ −∞→ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ k r (37)

em que

x y zk x k y k z⋅ = + +k r . (38)

Como sempre omite-se, estando contudo subentendida, a variação temporal com ( )exp i tω− .

Nota: Não é por acaso que, em (36), ( ), ,u x y z se refere ao potencial vector A e não, por

exemplo, ao campo eléctrico. Podemos, portanto, colocar a seguinte questão: seria possível

escrever, em vez de (36), ( ) ( )ˆ, , , ,x y z u x y z=E a ? A resposta é: em geral, não. Porque, num

meio homogéneo e isotrópico, se tem 0∇⋅ =E e daí que, no caso geral, deveria ser

( )ˆ ˆ 0u u∇⋅ = ⋅∇ =a a o que não é verdade. No caso do potencial vector é possível considerar,

por outro lado, que 0∇⋅ ≠A . É essa a razão para a escolha do potencial vector em (36).

Assim, de acordo com (35), podemos ainda escrever (37) na forma alternativa

Feixes Ópticos 15

( ) ( ) ( )0 0ˆ , , , expx y x yu x y z U k k i nk d k d kζ ζ

∞ ∞

−∞ −∞= ⋅ → = ∫ ∫k r . (39)

Nota importante: De acordo com (35) não é necessária a integração em zk na equação (37).

Com efeito, tem-se

( )2 2

2 2 221 x y

z x y

k kk k k k k

k+

= − + = − . (40)

Isto significa que, com base em (35), zk fica determinado desde que se conheçam xk , yk e k .

O caso em que se quer, apenas, conhecer o perfil do feixe óptico no plano 0z = resulta então

imediatamente de (37): fazendo ( ) ( )0 , , ,0u x y u x y= , vem

( ) ( ) ( )0 00 , , expx y x y x yz u x y U k k i k x k y d k d k∞ ∞

−∞ −∞⎡ ⎤= → = +⎣ ⎦∫ ∫ . (41)

Note-se que esta última equação tem a forma de um integral bi-dimensional de Fourier. A sua

transformada inversa será dada por

( )( )

( ) ( )0 02

amplitude 1, , expespectral 2x y x yU k k u x y i k x k y d x d y

π

∞ ∞

−∞ −∞⎡ ⎤→ = − +⎣ ⎦∫ ∫ .(42)

Só no caso particular em que ( )0 0,x yU k k U= é que resulta de (39) a solução especial

( ) ( ) ( )0 0 0

onda plana e, , exp exp

monocromáticau x y z U i U i n k ζ→ = ⋅ =k r (43)

que tem associada uma energia infinita – daí que a sua existência física individual não seja

possível; um feixe óptico, por outro lado, é fisicamente realizável de acordo com (31).

Consideremos, agora, o caso em que

16 Carlos R. Paiva

( )0

1, e ,

0, ou x a y b

u x yx a y b

⎧ ≤ ≤⎪= ⎨ > >⎪⎩. (44)

De acordo com (42) vem, para este caso,

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )0

sin

,sin

xa x

xx y a x b y

yb y

y

k aaU kk a

U k k U k U kk bbU k

k b

π

π

⎧=⎪

⎪= → ⎨

⎪=⎪

⎩

. (45)

Na Fig. 7 representa-se graficamente ( ) /a xU k aπ em função de xk a π ; a função

( ) /b yU k bπ tem um andamento semelhante.

Figura 7 Transformada de Fourier (normalizada) ( ) /a xU k aπ em função de xk a π . A

envolvente assinalada corresponde à função 1 xk a .

Notemos que: (i) para xk aπ> a amplitude espectral ( )a xU k pode ser considerada

desprezável; (ii) a constante de propagação é zk k≈ para 2 2 2x yk k k+ . Então, de acordo com

Feixes Ópticos 17

a Fig. 8, uma estimativa razoável para o ângulo de divergência espacial deste feixe óptico será

dada por

tan2

xx x

z

kk k a n a

π λθ θπ

= ≈ ⇒ ≈ (46)

tendo-se, analogamente,

2y n bλθπ

≈ . (47)

Figura 8 Estimativa da divergência espacial de um feixe óptico segundo o eixo transversal

x . Considera-se a situação descrita em (44)-(47). Considerações análogas poderiam ser

feitas para a divergência espacial segundo o outro eixo transversal, i.e., o eixo y .

●

A solução apresentada na equação (37) pode ser reescrita na forma

( ) ( ) ( ) ( )0, , , exp expx y x y z x yu x y z U k k i k x k y i k z d k d k∞ ∞

−∞ −∞⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ ∫ . (48)

xkaπ

≈

0zk k n k≈ =

xθ

18 Carlos R. Paiva

Comentário: Note-se, assim, que é possível determinar ( ), ,u x y z para 0z > a partir de

( )0 ,u x y . Basta começar por calcular a amplitude espectral ( )0 ,x yU k k a partir de (42) e, de

seguida, calcular o integral em (48) tendo (40) em consideração. Este cálculo, porém, é – pelo

menos do ponto de vista analítico – em geral complicado.

Para um feixe óptico paraxial, em que se pode considerar que ( )0 ,x yU k k só assume valores

significativos para ,x yk k k , podemos aproximar a expressão (40) por

2 2 2 2 2 2

2 2

aproximação1 1

paraxial 2 2x y x y x y

z

k k k k k kk k k k

k k k⎛ ⎞+ + +

→ = − ≈ − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. (49)

No âmbito desta aproximação é possível reformular (48) como segue

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2

0

, , , , exp

, , , exp exp2

x yx y x y x y

u x y z x y z i k z

k kx y z U k k i z i k x k y d k d k

k∞ ∞

−∞ −∞

⎧= Ψ⎪

⎪⎨

⎛ ⎞+⎪ ⎡ ⎤Ψ = − +⎜ ⎟⎪ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠⎩

∫ ∫ (50)

de modo que, se se introduzir a função de transferência ( ), ;x yk k z[ tal que

( ) ( ) ( )

( )

0

2 2

, ; , ; ,

, ; exp2

x y x y x y

x yx y

U k k z k k z U k k

k kk k z i z

k

⎧=⎪

⎪⎨

⎛ ⎞+⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩

[

[

(51)

vem ainda

( ) ( ) ( ), , , ; expx y x y x yx y z U k k z i k x k y d k d k∞ ∞

−∞ −∞⎡ ⎤Ψ = +⎣ ⎦∫ ∫ . (52)

Feixes Ópticos 19

Em síntese: Para calcular, na aproximação paraxial, ( ), ,x y zΨ a partir de

( ) ( )0 0, ,x y u x yΨ = basta começar por calcular ( )0 ,x yU k k usando (42); calcular,

seguidamente, ( ), ;x yU k k z de acordo com (51); aplicar, finalmente, (50) tendo em

consideração a equação (52).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0, , , , ; , , , ,x y x yu x y x y U k k U k k z x y z u x y z= Ψ → → →Ψ →

Substituindo (42) em (52) , tendo ainda em consideração as equações (51), obtém-se então

( )( )

( ) ( ) ( )0 0 0 1 0 2 0 0 021, , , , , , ,

2x y z x y J x x z J y y z d x d y

π

∞ ∞

−∞ −∞Ψ = Ψ∫ ∫ (53)

onde se introduziram as funções

( ) ( )

( ) ( )

2

1 0 0

2

2 0 0

, , exp exp2

, , exp exp2

xx x

yy y

kJ x x z i z i k x x d kk

kJ y y z i z i k y y d k

k

∞

−∞

∞

−∞

⎧ ⎛ ⎞= − −⎡ ⎤⎪ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦

⎝ ⎠⎪⎨

⎛ ⎞⎪ ⎡ ⎤= − −⎜ ⎟⎪ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠⎩

∫

∫.

Estas funções podem ser calculadas com base no integral

( )2

2exp exp4bax bx d x

a aπ∞

−∞

⎛ ⎞⎡ ⎤− + = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ . (54)

Vem então

( ) ( )

( ) ( )

20

1 0

20

2 0

2, , exp2

2, , exp2

k x xkJ x x z ii z z

k y ykJ y y z ii z z

π

π

⎧ ⎡ ⎤−⎪ = ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤−⎪= ⎢ ⎥⎪

⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

. (55)

20 Carlos R. Paiva

Logo, substituindo estas expressões em (53), obtém-se o integral de Fresnel

( ) ( ) ( ) ( )2 20 0 0 0 0 0 0

Integral de difracção de Fresnel:

, , , exp2

i kx y z x y i x x y y d x d yz zλ

∞ ∞

−∞ −∞

⎧ ⎫⎡ ⎤Ψ = − Ψ − + −⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭∫ ∫

. (56)

Este integral de difracção permite calcular ( ), ,x y zΨ a partir do conhecimento da

distribuição ( )0 ,x yΨ sobre o plano 0z = . O feixe óptico total ( ), ,u x y z pode então ser

calculado usando a primeira equação de (50). A resposta impulsiva ( ), ,h x y z (ou o kernel de

Fresnel) para

( ) ( ) ( )0 ,x y x yδ δΨ = (57)

é dada por

( ) ( )2 2kernel de Fresnel , , exp2

i kh x y z i x yz zλ

⎡ ⎤→ = − +⎢ ⎥

⎣ ⎦. (58)

Note-se que, deste modo, o integral de difracção de Fresnel pode ser escrito como a

convolução de ( ), ,h x y z com ( )0 ,x yΨ :

( ) ( ) ( )0convolução , , , , ,x y z h x y z x y→ Ψ = Ψ . (59)

●

Consideremos agora, como exemplo de aplicação, a distribuição

( )2 2

0 20

perfil gaussiano , exp x yx yw

⎛ ⎞+→ Ψ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠. (60)

Feixes Ópticos 21

Note-se que, neste caso, resulta de (42) que

( ) ( ) ( )( )

( )

20

0

0 20

0

exp2

,

exp2

xa x

x y a x b y

yb y

k wU k w

U k k U k U kk w

U k w

π

π

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎪= → ⎨⎡ ⎤⎪ ⎛ ⎞

= −⎢ ⎥⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎩

(61)

onde se recorreu, mais uma vez, a (54). Considerando que, para 0, 2x yk k w> , a amplitude

espectral ( )0 ,x yU k k é desprezável, infere-se que uma estimativa razoável do ângulo 0θ de

divergência espacial é dada por

0 00 0

2tan yx

z z

kkk k k w n w

λθ θπ

= = ≈ ∴ ≈ (62)

o que está de acordo com o resultado (32) obtido anteriormente através de um método

diferente. Após substituir o perfil (60) em (56), obtém-se

( ) ( ) ( ), , , ,a bix y z J x z J y zzλ

Ψ = − (63)

em que

( ) ( )

( ) ( )

220

0 020

220

0 020

, exp exp2

, exp exp2

a

b

x kJ x z i x x d xw z

y kJ x z i y y d yw z

∞

−∞

∞

−∞

⎧ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − −⎪ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎪ = − −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎩

∫

∫.

Notando que

( )( )

2 2 20 0 0

2 2 20 0 0

2

2

x x x x x x

y y y y y y

⎧ − = + −⎪⎨

− = + −⎪⎩

22 Carlos R. Paiva

infere-se

( )

( )

22 00 02

0

22 00 02

0

1, exp exp exp2 2

1, exp exp exp2 2

a

b

k xxk x kJ x z i i x i d xz w z z

k y yk y kJ y z i i y i d yz w z z

∞

−∞

∞

−∞

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − + −⎪ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

∫

∫. (64)

Este integrais podem, novamente, ser calculados através de (54). Atendendo a que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 20

0

2 20

0

, exp exp2 2

, exp exp2 2

a

b

zz k x k xJ x z w iq z z q z z

zz k y k yJ y z w iq z z q z z

π

π

⎧ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= −⎪ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎪ = −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

resulta então de (63) que

( ) ( )( ) ( )

20feixe gaussiano , , exp

2q k rx y z iq z q z

⎡ ⎤→ Ψ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦. (65)

Esta equação coincide com o resultado obtido previamente – a equação (18) – usando um

método completamente diferente.

Conclusão: O integral da difracção de Fresnel permite determinar a evolução espacial de um

feixe óptico paraxial como o feixe gaussiano. A evolução espacial de um feixe gaussiano

tinha sido obtida anteriormente por um método alternativo baseado na resolução da equação

paraxial de onda supondo, como solução particular, o «ansatz» (9).

Feixes Ópticos 23

Bibliografia Básica

Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:

Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapter 3: pp. 74-101).

Bibliografia Complementar

Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern

Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Chapter 2: pp. 66-

109).

Hermann A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-

Hall, 1984 (Chapters 4-5: pp. 81-157).

Anthony E. Siegman, Lasers. Sausalito, CA: University Science Books, 1986 (Chapters

14-23: pp. 558-922).

Peter W. Milonni and Joseph H. Eberly, Lasers. New York: Wiley, 1988 (Chapter 14: pp.

469-531).