T3: TRIGONOMETRA 1 BCT

Luisa Muoz - 1 -

1 RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LA SUMA DE DOS NGULOS

Queremos calcular las razones trigonomtricas de la suma de dos ngulos, + , a partir de las razones de los ngulos y .

1.1 SENO DE LA SUMA DE DOS NGULOS

sen( + ) = sen cos + cos sen

Demostracin: Como se muestra en el dibujo, para deducir la frmula combinamos dos tringulos rectngulos.

Trazando tringulos semejantes podemos suponer que R = 1

ABC que tiene un ngulo

ADE " " " "

La hipotenusa del tringulo ADE es AD = R = 1

Por consiguiente:

DE = sen AE = cos

El tringulo ADG, rectngulo, se verifica:

sen ( + ) = DG = FH

Por otra parte: FH = FE + EH

o En el tringulo AEH:

EH = AE sen = cos sen

Observamos en el dibujo que los tringulos AEH y EFD son semejantes, por tener sus ngulos iguales.

o En el tringulo rectngulo EFD:

FE = ED cos = sen cos

Luego, hemos obtenido:

sen ( + ) = DG = EH + FE = cos sen + sen cos

R = 1 C

A B

D

E

G

90 -

F

H

T3: TRIGONOMETRA 1 BCT

Luisa Muoz - 2 -

1.2 COSENO DE LA SUMA DE DOS NGULOS

cos( + ) = cos cos sen sen

Demostracin:

Segn el dibujo anterior: cos ( + ) = AG = AH GH

o En el tringulo AEH:

AH = AE cos = cos cos

o En el tringulo rectngulo EDF:

GH = DF = DE sen = sen sen

Luego, hemos obtenido:

cos( + ) = AH GH = cos cos sen sen

1.3 TANGENTE DE LA SUMA DE DOS NGULOS

tg+ tgtg(+ ) =

1- tg tg

Demostracin:

tg ( + ) = sen(+) sencos+ sencos

=cos(+) coscos - sensen

=

(Dividimos numerados y denominador por cos cos )

tg ( + ) =

sencos sencos+

tg+ tgcoscos coscos=

coscos sensen 1- tgtg-coscos coscos

T3: TRIGONOMETRA 1 BCT

Luisa Muoz - 3 -

2 RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LA DIFERENCIA DE DOS NGULOS

Empleando las frmulas de la suma de dos ngulos y las razones de ngulos opuestos, vamos a determinar las razones de la diferencia de dos ngulos.

2.1 SENO DE LA DIFERENCIA DE DOS NGULOS

sen ( ) = cos sen sen cos

Demostracin:

sen ( - ) = sen [ + (-)] = cos (-) sen + sen (-) cos

Teniendo en cuenta:

cos (-) = cos sen (-) = - sen

Obtenemos:

sen ( ) = cos (-) sen + sen (-) cos = cos sen sen cos

2.2 COSENO DE LA DIFERENCIA DE DOS NGULOS

cos( ) = cos cos + sen sen

Demostracin:

cos ( ) = cos [ + (-)] = cos (-) cos sen (-) sen

Teniendo en cuenta:

cos (-) = cos sen (-) = - sen

Obtenemos:

cos ( ) = cos (-) cos sen (-) sen = cos cos + sen sen

2.3 TANGENTE DE LA DIFERENCIA DE DOS NGULOS

tg - tgtg( - ) =

1+ tg tg

Demostracin:

tg+ tg(-)tg[+ (-)] =

1- tgtg(-)

Teniendo en cuenta:

tg (-) = - tg

Obtenemos:

=tg+ tg(-) tg - tgtg( -) =1- tgtg(-) 1+ tgtg

T3: TRIGONOMETRA 1 BCT

Luisa Muoz - 4 -

3 RAZONES TRIGONOMTRICAS DEL NGULO DOBLE

Vamos a determinar las razones del ngulo doble a partir de las razones de la suma de dos ngulos.

1) sen (2) = 2 sen cos 2) cos (2) = cos 2 sen 2 3) 22 tg

tg2 =1- tg

Demostracin:

sen (2) = sen ( + ) = cos sen + sen cos = 2 sen cos

cos (2) = cos ( + ) = cos cos sen sen = cos2 sen2

tg (2) = tg ( + ) = =2

tg+ tg 2tg1- tgtg 1- tg

4 RAZONES TRIGONOMTRICAS DEL NGULO MITAD

1)

1- cos sen =

2 2 2)

1+cos cos =

2 2 3)

1- cos tg =

2 1+cos

Demostracin:

Teniendo en cuenta que =

22

, vamos a determinar las razones del ngulo mitad empleando las

razones del ngulo doble.

cos () =

2 2 cos sen2 2

=

2 2 1- sen sen2 2

=

2 1- 2sen2

2 1- cossen =2 2

1- cossen =

2 2

=

2 2 1-cos 1+coscos = 1- sen =1-2 2 2 2

1+coscos =

2 2

tg

=

1-cossen 1- cos2 2= =

2 1+cos1+coscos2 2

T3: TRIGONOMETRA 1 BCT

Luisa Muoz - 5 -

5 ECUACIONES TRIGONOMTRICAS

Una ecuacin trigonomtrica es aquella ecuacin en la que aparecen una o ms razones trigonomtricas. En las ecuaciones trigonomtricas la incgnita es el ngulo comn de las razones trigonomtricas.

Ejemplos:

sen x = 0.2 1 + tgx x = 2 sen x + cos x = 1

No puede especificarse un mtodo general que permita resolver cualquier ecuacin trigonomtrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran nmero de stas consiste en:

1.- Transformar, usando principalmente las identidades trigonomtricas, todas las razones que aparecen en una sola razn (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos).

2.- Una vez expresada la ecuacin en trminos de una sola razn trigonomtrica, se aplican los pasos usuales en la solucin de ecuaciones algebraicas para despejar la razn

3.- Por ltimo, se resuelve la parte trigonomtrica, es decir, conociendo el valor de la razn trigonomtrica de un ngulo hay que pasar a determinar cul es ese ngulo. Para ello, empleando la calculadora determinamos el menor de los ngulos.

Ejemplos:

1) sen x = 1

Empleando la calculadora obtenemos x = 90 Las soluciones son : 90 + 360 k

2) cosec2 x = 4

3

cosec x = 2 2 3

33 =

2 3cosec x x 60 , x 120

3

2 3cosec x x 240 , x 300

3

= = =

= = =

3) tg x = -1

Sabemos que la tangente es negativa en el 2C y en el 4 C

Empleando la calculadora, se obtiene

- 1 INV TG = -45

El ngulo obtenido est en el 4C, considerando el ngulo positivo correspondiente

x = 360 - 45 = 315

Para obtener el ngulo del 2 C prolongamos el lado extremo del ngulo:

x = 90 + 45 = 135

T3: TRIGONOMETRA 1 BCT

Luisa Muoz - 6 -

4) sec 4x = -2

Para poder calcular el ngulo a partir de la razn, es necesario que la razn que aparezca en la ecuacin sea seno, coseno tangente (ya que son la razones que tiene la calculadora)

Si sec 4x = -2 cos 4x = -1/2 4x = 120 (calculadora)

El coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrante:

4x = 180 + 60 = 240 x = 60

4x = 120 x = 30

5) 3 tg x 1 = 0

3 tg x 1 = 0 tg x = 1

3 x = 30 + 360k , x = 210 + 360k

6) sen x cos x = 0

sen x cos x = 0 sen x = 0 , cos x = 0

o sen x = 0 x = 0, x = 180

o cos x = 0 x = 90, x = 270 7) 1 + 2 sen x = 3 cosec x

1 + 2 sen x = 3

sen x sen x + 2 sen2 x = 3

Realizamos el cambio: t = sen x

sen x + 2 sen2 x = 3 2t2 + t 3 = 0

Resolvemos la ecuacin de segundo grado:

t =

1 5 31 1 24 1 5 4 2

1 54 41

4

= + = = + =

Deshaciendo el cambio, obtenemos:

o t = 32

sen x = 32

(imposible ya que -1 sen x 1)

o t = 1 sen x = 1 x = 90 + 360k

T3: TRIGONOMETRA 1 BCT

Luisa Muoz - 7 -

6 AMPLIACIN: SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS

6.1 SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS

sen A + sen B = 2 sen A +B

2 cos

A B2

sen A sen B = 2 cos A +B

2 sen

A B2

Demostracin:

Consideremos las frmulas de los senos de suma y diferencia de ngulos:

sen ( + ) = sen cos + sen cos sen ( ) = sen cos sen cos

Sumando sen ( + ) + sen ( ) = 2 sen cos

Restando sen ( + ) sen ( ) = 2 sen cos

Realizando el cambio:

+ = A

= B =

A +B2

; =A -B

2

Sustituyendo:

sen A + sen B = 2 sen A +B

2 cos

A -B2

sen A sen B = 2 cos A +B2

senA -B2

6.2 SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS

cos A + cos B = 2 cos A +B

2 cos

A B2

cos A cos B = -2 sen A +B

2 sen

A B2

Demostracin:

Consideremos las frmulas de los cosenos de suma y diferencia de ngulos:

cos( + ) = cos cos sen sen cos( ) = cos cos + sen sen

Sumando cos ( + ) + cos ( ) = 2 cos cos

Restando cos ( + ) cos ( ) = - 2 sen sen

Realizando el cambio:

+ = A

= B =

A +B2

; =A -B

2

Sustituyendo:

cos A + cos B = 2 cos A +B

2 cos

A -B2

cos A cos B = -2 sen A +B

2 sen

A -B2