1

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝΠανεπιστήμιο ΙωαννίνωνΠανεπιστήμιο Ιωαννίνων

ΦΙΛΤΡΑΦΙΛΤΡΑ

55οο ΚεφάλαιοΚεφάλαιο

Γ. ΤσιατούχαςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ και ΠληροφορικήςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής

1 Φίλ δ έλ λώ ή

ΔιάρθρωσηΔιάρθρωση

1. Φίλτρα διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων

2. Φίλτρα διέλευσης υψηλών συχνοτήτων

3. Ζωνοπερατά φίλτρα

Φίλτρα 2

VLSI Systemsand Computer Architecture Lab

2

Ηλεκτρικά Φίλτρα Ηλεκτρικά Φίλτρα 

Τα ηλεκτρικά φίλτρα είναι κυκλώματα τα οποία μπορούν να εξασθενίσουν (να μειώσουν) το πλάτος σημάτων σε ανεπιθύμητες συχνότητες, τα οποία συνήθως 

οφείλονται σε ηλεκτρικό θόρυβο ή παρεμβολές. 

Μη φιλτραρισμένο ημιτονικό σήμα.  Φιλτραρισμένο ημιτονικό σήμα. 

Φίλτρα 3

Φίλτρα Διέλευσης Χαμηλών ΣυχνοτήτωνΦίλτρα Διέλευσης Χαμηλών ΣυχνοτήτωνΤα φίλτρα διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων (χαμηλοπερατά φίλτρα) επιτρέπουνσε σήματα χαμηλών συχνοτήτων τα οποία θα εφαρμοστούν στην είσοδό τους ναεμφανιστούν στην έξοδό τους. Σήματα υψηλών συχνοτήτων εξασθενούν.

Στο σχήμα παρουσιάζεται ένα φίλτρο RC διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων με τημορφή των φασόρων. Η συνάρτηση μεταφοράς (ή απόκριση συχνότητας)Τ(s)=T(jω) θα είναι:

R

+ Διαιρέτης τάσης: )s(V1

sC

1

)s(V io

)jω(T)jω(V

V

)jω(V

)jω(V

)s(V

)s(V)s(T

i

o

i

o

i

o

Φίλτρα 4

+‐

Vi(s) Vo(s)1/sC~

sRC1

1

sC

1R

sC

1

)s(V

)s(V)s(T

i

o

sC

1R

3

Παρατηρούμε ότι όταν η συχνότητα του σήματος ω μηδενίζεται η τιμή τουμέτρου (κέρδους) της συνάρτησης μεταφοράς είναι μονάδα, δηλ. το φίλτροεπιτρέπει τη διέλευση όλου του σήματος εισόδου.

Ανάλυση Ανάλυση ΧαμηλοπερατούΧαμηλοπερατού Φίλτρου ΙΦίλτρου Ι

1

R

+

0)(jωV0)(jωV1)0jω(T io

Καθώς για μηδενική συχνότητα το ημιτονοειδές σήμα γίνεται DC, τοσυγκεκριμένο φίλτρο δεν επηρεάζει τις συνεχείς (σταθερές ‐ DC) τάσεις.

2RCω1

1)ωj(T

Φίλτρα 5

+‐

Vi(s) Vo(s)1/sC~

RCωj1

1)ωj(T

Όσο όμως η συχνότητα του σήματος εισόδου αυξάνει, το πλάτος της απόκρισηςσυχνότητας ελαττώνεται καθώς ο παρονομαστής αυξάνει ανάλογα με τησυχνότητα ω. Το πλάτος (μέτρο ή κέρδος) της απόκρισης συχνότητας είναι:

Ανάλυση Ανάλυση ΧαμηλοπερατούΧαμηλοπερατού Φίλτρου ΙΙΦίλτρου ΙΙ

11

R

+

202 ω/ω1

1

RCω1

1)ωj(T

RC

1ω0 όπου:

Η φάση (γωνία) της απόκρισης συχνότητας

η  συχνότητα αποκοπής (cutoff frequency)

Φίλτρα 6

+‐

Vi(s) Vo(s)1/sC~

RCωj+1

1=)ωj(T

είναι:

0

1

0 ω

ωtan

ω

ωarctan)ωj(T

4

Την απόκριση συχνότητας την αναπαριστούμε με δύο διαφορετικές γραφικέςπαραστάσεις που δίδουν το πλάτος |Τ| και τη φάσηΤ ως συνάρτηση του ω.

Διαγράμματα Πλάτους & ΦάσηςΔιαγράμματα Πλάτους & Φάσης

Απόκριση (διάγραμμα) πλάτους

|Τ|

RCωj1

1)ωj(T

Απόκριση (διάγραμμα) πλάτους χαμηλοπερατού φίλτρου RC

logω/ω0

μοίρες (deg)Τ

0,7

Φίλτρα 7

Απόκριση (διάγραμμα) φάσης χαμηλοπερατού φίλτρου RC

logω/ω0

–45ο

Το χαμηλοπερατό φίλτρο του παραδείγματος επιτρέπει τη διέλευση σημάτωνχαμηλών συχνοτήτων ω<<1/RC και φιλτράρει (εξασθενεί) τα σήματα υψηλώνσυχνοτήτων ω>>1/RC.

Συχνότητα ΑποκοπήςΣυχνότητα Αποκοπής

Η συχνότητα αποκοπής ω0=1/RC παριστάνει (προσεγγιστικά) το σημείο όπου τοφίλτρο ξεκινά να φιλτράρει τα σήματα υψηλών συχνοτήτων. Η τιμή του πλάτουςστην συχνότητα αποκοπής είναι:

R

+

dB3707,0log20)ωj(T707,02

1

11

1)ωj(T 10dB00

Η συχνότητα αποκοπής ταυτίζεται με τησυχνότητα γονάτου (ή συχνότητα ‐3db) της

Φίλτρα 8

+‐

Vi(s) Vo(s)1/sC~

RCωj1

1)ωj(T

Η συχνότητα αποκοπής εξαρτάταιαποκλειστικά από τις τιμές των R και C καιρυθμίζεται με αλλαγή αυτών των τιμών.

συχνότητα γονάτου (ή συχνότητα 3db) τηςσυνάρτησης μεταφοράς.

5

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα:: Εξασθένηση ΣήματοςΕξασθένηση ΣήματοςΠρόβλημαΠρόβλημα: Υπολογίστε την απόκριση συχνότητας του κυκλώματος το οποίο

αποτελείται από την πηγή σήματος, το φίλτρο και το φορτίο. ΔίδονταιRS=50Ω, R=200Ω, RL=500Ω και C=10μF.

ΛύσηΛύση: Οι ωμικές αντιστάσεις R και R είναι εν σειρά συνδεδεμένες ενώ ο

RS

+

R

R

ΛύσηΛύση: Οι ωμικές αντιστάσεις RS και R είναι εν σειρά συνδεδεμένες ενώ οπυκνωτής και το φορτίο είναι εν παραλλήλω.

RRR S'

CRωj1

R

CsR1

R

sC

1R

sC

R

ZR

ZRZ//RZ

L

L

L

L

L

L

CL

CLCL

'

+

R

Φίλτρα 9

+−

Vi(s) Vo(s)1/sC~

−

Αναπαράσταση με τη μορφή των φασόρων. 

Πηγή Φίλτρο

Φορτίο

RL

+−

Vi(s) Vo(s)

R’

~

−

Ζ’

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα:: Εξασθένηση ΣήματοςΕξασθένηση ΣήματοςΑπό το διαιρέτη τάσης, η απόκριση συχνότητας του κυκλώματος θα είναι:

ω

667,0

RRCR

RRR

R

R

CRωj1

R

ZR

Z

)(V

)s(V)s(T SL

L

L

L

''

'o

RS

+

R

R +

R

600

ωj1

RRR

RRCRωj1

CRωj1

RRRZR)s(V

SL

SL

L

LS

i

Η συχνότητα αποκοπής είναι: sec/rad600RRCR

RRRω

SL

SL0

Φίλτρα 10

+−

Vi(s) Vo(s)1/sC~

−

Αναπαράσταση με τη μορφή των φασόρων. 

Πηγή Φίλτρο

Φορτίο

RL

+−

Vi(s) Vo(s)

R’

~

−

Ζ’

6

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα:: Εξασθένηση ΣήματοςΕξασθένηση ΣήματοςΔιάγραμμα Διάγραμμα BodeBode

600

ωj1

1667,0)s(T

-2

-4

-6

Τ (dΒ)0

−3,517 dB

−6,517 dB

πόλοςπολλ. σταθ.

Διάγραμμα B d

3 dB

600j

-8

-10

-12

-14

-16

-18

-20

-22

Η πολλαπλασιαστικήσταθερά της συνάρτησηςμεταφοράς (απόκρισησυχνότητας) είναι 0,667και σε dB είναι −3,517 dB.

BodeΠραγματική απόκριση πλάτους

Συχνότητα Αποκοπής (Γονάτου) dB51736670log20

Φίλτρα 11

Η συχνότητα αποκοπής ω0 είναι ο πόλος της συνάρτησης μεταφοράς (απόκρισηςσυχνότητας):

sec/rad600ω0

(rad/sec)10 20 30 50 70 100 200 300 500 700 1K 2K 3K 5K 7K 10K

-24

-26

ω

ω0=600 rad/sec

end

(Γονάτου) dB517,3667,0log20 10

Φίλτρα Διέλευσης Υψηλών ΣυχνοτήτωνΦίλτρα Διέλευσης Υψηλών ΣυχνοτήτωνΤα φίλτρα διέλευσης υψηλών συχνοτήτων (υψιπερατά φίλτρα) επιτρέπουν σεσήματα υψηλών συχνοτήτων τα οποία θα εφαρμοστούν στην είσοδό τους ναεμφανιστούν στην έξοδό τους. Τα σήματα χαμηλών συχνοτήτων εξασθενούν.

Στο σχήμα παρουσιάζεται ένα φίλτρο RC διέλευσης υψηλών συχνοτήτων με τημορφή των φασόρων. Η συνάρτηση μεταφοράς (ή απόκριση συχνότητας)Τ(s)=T(jω) θα είναι:

+ Διαιρέτης τάσης: ⇒)s(V1

R)s(V io

)jω(T)jω(V

V

)jω(V

)jω(V

)s(V

)s(V)s(T

i

o

i

o

i

o

Φίλτρα 12

+‐

Vi(s) Vo(s)R

1/sC

~

RCωj1

CRωj

RsC1

sCR

)s(V

)s(V)s(T

i

o

sC

1R

7

Το πλάτος (μέτρο ή κέρδος) της απόκρισης συχνότητας είναι:

Ανάλυση Ανάλυση ΥψιπερατούΥψιπερατού Φίλτρου ΙΦίλτρου Ι

20

0

2 ω/ω1

ω/ω

RCω1

CRω)ωj(T

RC

1ωμε 0

όταν το ω τείνει στο άπειρο, το πλάτος τείνει στην μονάδα. Συνεπώς, το φίλτροεπιτρέπει στις υψηλές συχνότητες να περνούν στην έξοδό του.

0

Η φάση (γωνία) της απόκρισης συχνότητας+

Φίλτρα 13RCωj+1

CRωj=)ωj(T

είναι:

0

1ο

0

ο

ω

ωtan90

ω

ωarctan90)ωj(T∠

+‐

Vi(s) Vo(s)R

1/sC

~

Όταν ω=0 τότε το πλάτος της απόκρισης συχνότητας είναι μηδέν.

Ανάλυση Ανάλυση ΥψιπερατούΥψιπερατού Φίλτρου ΙΙΦίλτρου ΙΙ

ώ λέ ό φ λ ά ( ξ θ ύ ) δ ύ

0)0ωj(T

και συνεπώς οι χαμηλές συχνότητες φιλτράρονται (εξασθενούν) και δεν περνούνστην έξοδο του φίλτρου.

RC

1ω0 Η συχνότητα: είναι η  συχνότητα αποκοπής (cutoff frequency)

Η συχνότητα αποκοπής παριστάνει(προσεγγιστικά) το σημείο όπου το φίλτροξεκινά να φιλτράρει τα σήματα χαμηλών

ή Η ή θ ίζ+

Φίλτρα 14RCωj1

CRωj)ωj(T

συχνοτήτων. Η τιμή της καθορίζεταιαποκλειστικά από τα R και C.

Η τιμή του πλάτους στην συχνότητααποκοπής είναι:

+‐

Vi(s) Vo(s)R

1/sC

~

dB3)ωj(T707,0)ωj(TdB00

8

Τα διαγράμματα της απόκρισης πλάτους |Τ| και φάσης Τ ως συνάρτηση του ωδίδονται ακολούθως:

Διαγράμματα Πλάτους & ΦάσηςΔιαγράμματα Πλάτους & Φάσης

Α ό (δ ά ) λά

|Τ|

Απόκριση (διάγραμμα) πλάτους υψηπερατού φίλτρου RC

logω/ω0

RCωj1

CRωj)ωj(T

μοίρες (deg)Τ

0,7

Φίλτρα 15

Απόκριση (διάγραμμα) φάσης υψηπερατού φίλτρου RC

logω/ω0

–45ο

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα:: ΥψιπερατόΥψιπερατό ΦίλτροΦίλτροΠρόβλημαΠρόβλημα: Προσδιορίστε τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου στο σχήμα που

ακολουθεί.

ΛύσηΛύση: Αρχικά πρέπει να βρεθεί η απόκριση συχνότητας (συνάρτηση μεταφοράς).

V)jω(V)s(V

+

R

Το κύκλωμα λειτουργεί ως διαιρέτης τάσης και θα ισχύει:

s

L

R

s

sLR

sL)s(T)s(V

sLR

sL)s(V io

)jω(T)jω(V

V

)jω(V

)jω(V

)s(V

)s(V)s(T

i

o

i

o

i

o

Φίλτρα 16

+‐

Vi(s) Vo(s)~

−

Αναπαράσταση με τη μορφή των φασόρων. 

sL

2

R

Lω1

R

Lω

)ωj(T

R

Ls1

R

Ls

)s(T

9

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα:: ΥψιπερατόΥψιπερατό ΦίλτροΦίλτρο

2

R

Lω1

R

Lω

)ωj(T

R

Ls1

R

Ls

)s(T

+

R

Όταν το ω τείνει στο μηδέν η απόκριση συχνότητας μηδενίζεται. Όταν το ω τείνειστο άπειρο η απόκριση συχνότητας τείνει στη μονάδα.Η ω=R/L που αντιστοιχεί στον πόλο της Τ(s) είναι η συχνότητα αποκοπής.

ςήαποκοπτηταόσυχνL

Rω0

R

Φίλτρα 17

+‐

Vi(s) Vo(s)~

−

Αναπαράσταση με τη μορφή των φασόρων. 

sL

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα:: ΥψιπερατόΥψιπερατό ΦίλτροΦίλτρο

R

Ls1

R

Ls

)s(T

Κέρδος (dB)

ω (log)

L

RL10

R

L100

R

∆ιάγραμμα Bode Κέρδους

L

R10

L

R100

dB01

Η απόκριση συχνότητας έχειένα μηδενικό στο s=0 και έναπόλο στο s=−R/L.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας

20log10(L/R)

Πραγματική απόκριση πλάτους

πολλ. σταθ.

Φίλτρα 18

ρ ς β βη ης γ η ςυποθέσαμε ότι R/L > 1.

end

20log10(L/R) = −20log10(R/L)

10

ΖωνοπερατάΖωνοπερατά ΦίλτραΦίλτραΤα ζωνοπερατά φίλτρα (bandpass filter) ή φίλτρα ζώνης επιτρέπουν τη διέλευσησημάτων τα οποία βρίσκονται μέσα σε μια συγκεκριμένη ζώνη συχνοτήτων.Η ανάλυση του ζωνοπερατού φίλτρου δεύτερης τάξης του σχήματος (δηλ. ενόςφίλτρου με δύο στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας C και L) μας οδηγεί στηνακόλουθη απόκριση συχνότητας:

+

Διαιρέτης τάσης: )s(V

sLsC

1R

R)s(V io

⇒

)jω(T)jω(V

V

)jω(V

)jω(V

)s(V

)s(V)s(T

i

o

i

o

i

o

Φίλτρα 19

+‐

Vi(s)

Vo(s)R

1/sC

~

sL

LCωjRCωj1

CRωj

LCsRsC1

sCR

)s(V

)s(V)s(T

22i

o

)s(VLCssCR1

sCR)s(V

sC

i2o

s=jω

Ανάλυση Ανάλυση ΖωνοπερατώνΖωνοπερατών Φίλτρων ΙΦίλτρων ΙΜε παραγοντοποίηση της απόκρισης συχνότητας προκύπτει:

1ω/ωj1ω/ωj

ωjA

LCωjRCωj1

CRωj)s(T

212

+

Οι συχνότητες ω1 και ω2 είναι οι πόλοι της απόκρισης συχνότητας καικαθορίζουν το εύρος ζώνης συχνοτήτων (ζώνη διέλευσης) μέσα στο οποίο τοφίλτρο επιτρέπει τη διέλευση σημάτων. Το Α είναι πολλαπλασιαστική σταθεράεξαρτώμενη από τα R, L, C.

Για ω=0 η απόκριση του φίλτρου είναι μηδένκαθώς η σύνθετη αντίσταση του πυκνωτή

Φίλτρα 20

+‐

Vi(s)

Vo(s)R

1/sC

~

sLκαθώς η σύνθετη αντίσταση του πυκνωτή1/jωC απειρίζεται.Όταν το ω τείνει στο άπειρο και πάλι ηαπόκριση του φίλτρου είναι μηδέν καθώς ησύνθετη αντίσταση του πηνίου jωLαπειρίζεται.

11

Ανάλυση Ανάλυση ΖωνοπερατώνΖωνοπερατών Φίλτρων ΙΙΦίλτρων ΙΙΤο πλάτος της απόκρισης συχνότητας είναι:

1)ω/ω(1)ω/ω(

ωA)ωj(T

22

21

+

)/()/( 21

Η φάση της απόκρισης συχνότητας είναι:

21 ω

ωarctan

ω

ωarctan

2

π)ωj(T ∠

Φίλτρα 21

+‐

Vi(s)

Vo(s)R

1/sC

~

sL

Τα διαγράμματα της απόκρισης πλάτους |Τ| και φάσης Τ ως συνάρτηση του ωδίδονται ακολούθως:

Διαγράμματα Πλάτους & ΦάσηςΔιαγράμματα Πλάτους & Φάσης

Απόκριση (διάγραμμα) πλάτους 

|Τ|

ζωνοπερατού φίλτρου RLC

logω

1ω/ωj1ω/ωj

ωjA)s(T

21

Άξονες κανονικοποιημένοι ώστε το κέντρο της ζώνης διέλευσης να είναι στη συχνότητα ω=1rad/sec.

)

Τ

Φίλτρα 22

Απόκριση (διάγραμμα) φάσης ζωνοπερατού φίλτρου RLC

logω

μοίρες

(deg)

12

ΣυντονισμόςΣυντονισμόςΗ απόκριση συχνότητας για το φίλτρο του παραδείγματος μπορεί να γραφεί:

2nn

n2

nn

n2 ω/ωjωj)ωQ/1(1

ωj)ωQ/1(

ω/ωjωj)ω/ζ2(1

ωj)ω/ζ2(

LCωjRCωj1

CRωj)s(T

+

όπου:LC

1ωn

C

L

R

1

CRω

1

ζ2

1Q

n

= συχνότητα συντονισμού ή ιδιοσυχνότητα

= συντελεστής ποιότητας

(quality factor)

(resonant frequency)

Φίλτρα 23

+‐

Vi(s)

Vo(s)R

1/sC

~

sL

L

C

2

R

Q2

1ζ = λόγος απόσβεσης

(quality factor)

Κανονικοποιημένη απόκριση πλάτους ζωνοδιαβατού φίλτρου RLC.

Απόκριση ΠλάτουςΑπόκριση Πλάτους

Στη συχνότητα συντονισμού ωn

ό λά ί

Όσο αυξάνει ο συντελεστής Q,τόσο αυξάνει η οξύτητα της

η απόκριση πλάτους παίρνει τημέγιστη τιμή.

Φίλτρα 24

logω/ωn

κορυφής (το φίλτρο γίνεταιπερισσότερο επιλεκτικό).

13

Το μέτρο της επιλεκτικότητας ενός φίλτρου είναι το εύρος ζώνης (bandwidth).

Εύρος ΖώνηςΕύρος Ζώνης

Η περιοχή των συχνοτήτωνμεταξύ των σημείων της τομήςτης ευθείας στο ύψος 0,707 καιτης καμπύλης της απόκρισηςπλάτους ορίζεται ως το εύροςζώνης μισής ισχύος (half‐powerbandwidth).

Οι συχνότητες που αντιστοιχούνστις τομές της ευθείας με την

0,707 = 1/√2

για Q = 0,25

Φίλτρα 25

logω/ωn

στις τομές της ευθείας με τηναπόκριση πλάτους ονομάζονταισυχνότητες μισής ισχύος (half‐power frequencies).

Ένας άλλος ορισμός για το εύρος ζώνης είναι ο εξής:Q

ωB n

Κανονικοποιημένη απόκριση φάσης ζωνοπερατού φίλτρου RLC.

Απόκριση ΦάσηςΑπόκριση Φάσης

Όσο αυξάνει ο συντελεστής Q,τόσο περισσότερο απότομηείναι η μεταβολή της φάσης.

γωνία φάσης (rad)

Φίλτρα 26

logω/ωn

14

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα:: ΖωνοπερατόΖωνοπερατό ΦίλτροΦίλτροΠρόβλημαΠρόβλημα: Υπολογίστε την απόκριση συχνότητας του ζωνοπερατού φίλτρου όταν:

α) R=1KΩ, C=10μF και L=5mH και β) R=10Ω, C=10μF και L=5mH .

ΛύσηΛύση: Για το συγκεκριμένο φίλτρο βρήκαμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς είναι:

CRωjsCR)s(V

+

LCωjRCωj1

CRωj

LCsRsC1

sCR

)s(V

)s(V)s(T

22i

o

α) Στην πρώτη περίπτωση οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι:

ω1 = 100,05 rad/sec και ω2 = 199899,95 rad/sec

Η συχνότητα συντονισμού είναι:

sec/rad104,4LC

1ω 3

n

Φίλτρα 27

Αναπαράσταση με τη μορφή των φασόρων. 

+‐

Vi(s)

Vo(s)R

1/sC

~

sL LCn

Το εύρος ζώνης είναι: sec/rad203182Q

ωB n

022,0CRω

1Q

n

Ο συντελεστής ποιότητας είναι:

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα:: ΖωνοπερατόΖωνοπερατό ΦίλτροΦίλτρο

πλά

τος

0,707 = 1/√2

ωn = 4470 rad/sec

Συχνότητασυντονισμού

Κάτω συχνότητααποκοπής

Άνω συχνότητααποκοπής ω2

ω1 = 100 rad/sec ω2 = 200×103 rad/sec

rad/sec

Φίλτρα 28

φάση (deg)

rad/sec

15

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα:: ΖωνοπερατόΖωνοπερατό ΦίλτροΦίλτρο

β) Στην δεύτερη περίπτωση οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι:

ω1 = 3711,85 rad/sec και ω2 = 5388,15 rad/sec

+

Η συχνότητα συντονισμού είναι και πάλι: sec/rad104,4LC

1ω 3

n

22,2CRω

1Q

Ο συντελεστής ποιότητας είναι:

Φίλτρα 29

Αναπαράσταση με τη μορφή των φασόρων. 

+‐

Vi(s)

Vo(s)R

1/sC

~

sL

Το εύρος ζώνης είναι:

sec/rad2013Q

ωB n

CRωn

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα:: ΖωνοπερατόΖωνοπερατό ΦίλτροΦίλτρο

πλά

τος

0,707 = 1/√2

Κυκλώματα με στενό εύροςζώνης βρίσκουν εφαρμογήπ

ωn = 4470 rad/sec

Συχνότητασυντονισμού

Κάτω συχνότητααποκοπής

Άνω συχνότητααποκοπής ω2

ω1 = 3711 rad/sec ω2 = 5388 rad/sec

ζώνης βρίσκουν εφαρμογήσε κυκλώματα συντονισμού(tuning circuits).

rad/sec

Φίλτρα 30

end

Όσο πιο επιλεκτικό είναι τοφίλτρο τόσο πιο απότομηείναι η μεταβολή τηςφάσης. φ

άση(deg)

rad/sec