Definizione 1 sia f (x ) una funzione ed α∈R∪{∞} . f (x ) è un infinitesimo per x che tende a α se

Esempio 1La funzione f (x )=x−1 è un infinitesimo per x che tende a 1 perchè

Esempio 2 La funzione f (x )= 1x−1 è un infinitesimo per x che tende a +∞

perchè

è immediato che le funzioni del tipo 1xα sono tutte infinitesime per x che tende a

infinito.

La nozione di infinitesimo è importante per il calcolo delle forme indeterminate di tipo

.

In questo caso è interessante vedere quale dei due infinitesimi tende a zero.

Definizione 2 Siano f (x ) e g ( x) due funzioni infinitesime per x che tende ad α∈R∪{∞} e sia g ( x)≠0 in un intorno di α .

1) se lim x→αf ( x)g ( x)

=l≠0 si dice che f (x ) e g ( x) sono infinitesimi dello stesso ordine per per x che tende a α

2) se lim x→αf ( x)g ( x)

=+∞ si dice che f (x ) è un infinitesimo di ordine superiore a g ( x) per x che tende a α

3) se lim x→αf ( x)g ( x)

=0 si dice che f (x ) è un infinitesimo di ordine inferiore a g ( x) per x che tende a α

se lim x→αf ( x)g ( x) non esiste, si dice che f (x ) e g ( x) sono infinitesimi non

confrontabili per x che tende a α

lim x→α f ( x)=0

lim x→1 x−1=0

lim x→+∞1x−1

=0

00

Esempio 3

Siano f (x )=ln ( x+1) e g ( x)= x . Siccome

lim x→0ln( x+1)

x=1=lim x→0 ln(1+x)

1x=lim y→+∞ ln(1+ 1

y )y

=ln lim y→+∞(1+1y )

y

=ln e=1

di conseguenza le due funzioni sono infinitesimi dello stesso ordine per x che tende a zero.

Esempio 4 siano f (x )=( x−3)2 e g ( x)= x−3 . Siccome lim x→3

(x−3)3

x−3=lim x→3 (x−3)2=0

allora g(x) è un infinitesimo di ordine superiore a f(x) per x che tende a 3

Con la seguente definizione possiamo trasformare una relazione d'ordine tra infinitesimi in una misura

Definizione 3 Sia γ>0 e f (x ) e g ( x) infinitesimi per x che tende ad α∈R∪{∞} . f (x ) è un infinitesimo di ordine γ x che tende ad α se f (x )

e g ( x)γ sono infinitesimi dello stesso ordine, ossia

lim x→αf ( x)g ( x)γ=l≠0

La definizione 3 non dipende dalla scelta di g ( x) . Vale infatti la

Proposizione 1 Sia γ>0 e siano f (x ) e g ( x) infinitesimi per x che tende ad α∈R∪{∞} e sia f (x ) è un infinitesimo di ordine γ x che tende ad α . Se h (x) è un infinitesimo dello stesso ordine di g ( x) , allora

Per questo motivo, per misurare il grado di infinitesimo di una funzione definiamo delle funzioni campione h (x)=x−α oppure h (x)=1

x

Esempio 5 L'infinitesimo f (x )= x−4x5+1 per x che tende a infinito è di ordine 4. Infatti

èlim x→+∞

f (x )

( 1x4)

=lim x→∞x5−x 4

x5+1=1

lim x→αf (x)h(x )γ

=l≠0

Diamo la nozione di infinitesimi equivalenti

Definizione 4 Siano f (x ) e g ( x) infinitesimi per x che tende ad α∈R∪{∞} . f (x ) e g ( x) sono infinitesimi equivalenti per x che tende ad α se

e si scrive f ≃g .

Vale il seguente Teorema 1 (Principio di Sostituzione degli Infinitesimi) Siano f (x ) f 1(x ) g ( x) e g1( x) infinitesimi per x che tende ad α∈R∪{∞} tali che f ≃ f 1 e g≃g1 . Allora

Esempio

Calcoliamo

In maniera analoga si definisce una teoria degli infiniti.

lim x→αf ( x)g ( x)

=1

lim x→αf ( x)g ( x)

=lim x→α

f 1(x )g1( x)

lim x→αln (1+5x)sen(2x)

=limx→05x2x

=52