1 INTEGRALI UTILI lunedì 20 aprile 2020 · 2020. 4. 20. · dx =. u=sin2(x), dv =1⁄x2. −...

gpessina Esempi di reti con sorgenti di Rumore 1

1 INTEGRALI UTILI

Analizziamo alcuni degli integrali tipici che si fronteggiano nella soluzione di reti aventi sorgenti di rumore:

lunedì 20 aprile 2020

Int1 =12π

�0

∞dω

1 + ω2τ2=

x=ω𝜏𝜏 12πτ

�0

∞dx

1 + x2=

x=tg(u), d x= 1+x2 du 12πτ

�0

⁄π 2

du =

=12πτ

u|0⁄π 2 =

12πτ

)arctg(x |0∞ =12πτ

π2

=14τ

Int2 =12π

�0

∞dω

1 + ω2τ2 2=

=x=ω𝜏𝜏 1

2πτ�0

∞dx

1 + x2 2=

12πτ

�

0

∞

1 + x2 − x2

1 + x2 2dx =

=12πτ

�

0

∞

11 + x2

dx −�0

∞

xx

1 + x2 2dx =

=u=x, d v= ⁄x 1+x2

2 12πτ

2πτ Int1 − �0

∞

xx

1 + x2 2dx =

=12πτ

2πτ Int1 − −x

2 1 + x2|0∞ +

12�

0

∞

11 + x2

dx =

=12πτ

2πτ Int1 −122πτ Int1 =

12

Int1 =18τ

(passa basso a singolo polo)

(passa basso a doppio polo)

gpessina

Int3 =12π

�

0

∞

ω2τ2

1 + ω2τ2 2dω =

x=ω𝜏𝜏 12πτ

�

0

∞

x2

1 + x2 2dx

=12πτ

�

0

∞

x2 + 1 − 11 + x2 2

dx =

=12πτ

�

0

∞

11 + x2

dx −�0

∞1

1 + x2 2dx =

=12πτ

2πτ Int1 − 2πτ Int2 =14τ−

18τ

=18τ

Int4 = �

0

∞

)sin2(xx2

dx =

=u=sin2(x), d v= ⁄1 x2

−)sin2(x

x|0∞ + �

0

∞

)2sin(x)cos(xx

dx =

= �

0

∞

)sin(2xx

dx =u=2x �

0

∞

)sin(uu

du = Int3 =π2

Esempi di reti con sorgenti di Rumore 2

………. integrali utili 2

Int3 = �

0

∞

)sin(xx

dx =π2

(CR-RC)

(estetismo)

(estetismo)


2 RUMORE DI UNA RETE PASSIVA

Applichiamo il principio di sovrapposizione per determinare le funzioni di trasferimento per le 2 sorgenti di rumore:

21e

21iR C

VO

R CeT

VOe

R C

VOi

iT

C = 10 nFR = 100 KΩ

e12 = 10 ⁄nV Hz , monolatero

�i12 = 70 ⁄fA Hz , monolatero

Voe =eT

1 + sCR ⇒ Voe2 =

e12

1 + ω2C2R2

Voi =RiT

1 + sCR ⇒ Voi2 =

R2�i12

1 + ω2C2R2

Vo2 = Voe2 + Voi2

= e12 + R2�i121

1 + ω2C2R2

VORMS2 =12π�

0

∞

e12 + R2�i121

1 + ω2C2R2dω

=e12 + R2�i12

2π�0

∞1

1 + ω2C2R2 dω = e12 + R2�i12 Int1|CR

=e12 + R2�i12

4RC = 37.25 × 10−15V2

VORMS = 193 nV

VORMS ?


3 FIGURA DI RUMORE

Quindi:

Supponiamo che l’impedenza di ingresso dell’amplificatore sia molto grande rispetto ad Rs e supponiamo che le sorgenti presenti mostrino solo rumore bianco.

Rs

VO

eT

A=1

Rs

VOeT

A=1

Rs

VO

iT

A=1

NOTA: se avessimo usato il generatore di rumore parallelo per Rsavremmo ottenuto il medesimo risultato. Per questa dimostrazione si veda l’esercizio successivo.

Vo1 = eT ⇒ Vo12 = es2

Vo2 = eT ⇒ Vo22 = eA2

Vo3 = RsiT ⇒ Vo32 = Rs2 �iA2

Vo2 = Vo12 + Vo22 + Vo32 = es2 + eA2 + R2 �iA2

Rs

VOeA2

�iA2

es2

vs

A=1

Come primo caso consideriamo un’applicazione in cui non si ha un segnale di forma definita, ma bensì di banda definita.


………. figura di rumore 2La figura di rumore è definita come il rapporto tra il rumore totale in uscita della rete ed il rumore di uscita determinato dalla sola sorgente del segnale, come se l’amplificatore fosse ideale. La relazione è usualmente espressa in dB:

Soffermandoci sull’argomento del logaritmo, nel nostro caso abbiamo che:

F ha un valore minimo che si ottiene quando l’amplificatore non ha rumore. In questo caso F’=1. Di conseguenza il valore corrispondente di F risulta 0 dB.

Esplicitiamo ora il rumore termico della sorgente in F’:

Per valori molto piccoli o molto grandi di Rs F diverge. In funzione dei parametri di rumore in gioco esiste un valore ottimo di Rs, ovvero per ogni valore di Rs esisterà un amplificatore che meglio adatterà la situazione.

Il valore ottimo di Rs si ottiene pertanto quando:

F = 10log10Rumore totale di uscita

Rumore di uscita determinato dalla sola sorgente

= 10log10 F′

F′ =es2 + eA2 + Rs2 �iA2

es2= 1 +

eA2 + Rs2 �iA2

es2

F′ = 1 +eA2 + Rs2 �iA2

4KBTRs

dF′

dRs=

Rs2 �iA2 − eA2

4KBTRs2

dF′

dRs= 0 ⇒ Rs =

eA2�iA2


………. figura di rumore 3

Attenzione a non farsi ingannare. Quel valore ottimo risulta come un rapporto. Per essere espliciti: se eA2 fosse 10-18 V2/Hz ed �iA2 10-18 A2/Hz, o eA2 fosse 10-21 V2/Hz ed �iA2 10-21 A2/Hz, Rs assumerebbe il medesimo valore, ma il rapporto segnale su rumore, S/N (Signa/Noise), sarebbe ben diverso!

Il valore ottimo per l’impedenza Rs va interpretato così: fissata la tecnologia, cioè il rapporto S/N, possiamo ottimizzare la prestazione dell’amplificatore cercando di ottenere la relazione sopra.

Rs =eA2�iA2

Ottimo:



2Ae

Rs

VO

2Ai2

se

C

RF

CF

τ=RsCτF=RFCF

Effetto della sola sorgente di rumore parallelo:

Rs

VO

C

RF

CFIT

Rs

VO

C

RF

CF

Effetto della sola sorgente di rumore serie:

VT

Vediamo la stessa rete quando si ha però la presenza di un condensatore connesso al nodo di ingresso ed un filtro all’uscita.

VoiA =Rs

1 + sRsC1

1 + sRFCFIT ⇒ VoiA2 =

Rs2

1 + ω2Rs2C21

1 + ω2RF2CF2�iA2

VoeA =1

1 + sRFCFVT ⇒ VoeA2 =

11 + ω2RF2CF2

eA2

A=1

A=1

A=1


………. figura di rumore 5Per il rumore della sorgente abbiamo infine:

Rs

VO

C

RF

CF

VT

Il rumore totale all’uscita risulta dato dalla somma quadratica delle sorgenti incorrelate presenti:

Quindi la figura di rumore è :

Però abbiamo che per ω→∞ si ha che F’→∞. Quindi se ne deduce che ha poco significato considerare F per ogni valore di ω. Ha più senso confrontare i valori RMS, che contemplano il contributo globale di ogni sorgente.

Vos =1

1 + sRsC1

1 + sRFCFVT ⇒ Vos2 =

11 + ω2Rs2C2

11 + ω2RF2CF2

es2

Vo2 = VoiA2 + VoeA2 + Vos2

=Rs2

1 + ω2Rs2C21

1 + ω2RF2CF2�iA2 +

11 + ω2RF2CF2

eA2

+1

1 + ω2Rs2C21

1 + ω2RF2CF2es2

=Rs2

1 + ω2Rs2C2�iA2 + +

11 + ω2Rs2C2

es21

1 + ω2RF2CF2+

11 + ω2RF2CF2

eA2

=eA2 1 + ω2Rs2C2 + es2 + �iA2Rs2

1 + ω2Rs2C2 1 + ω2RF2CF2

F′ = �Vo2 Vos2

F′ = 1 +eA2 1 + ω2Rs2C2 + �iA2Rs2

es2

= 1 +eA2 1 + ω2Rs2C2 + �iA2Rs2

4KBTRs

A=1



Nota sull’uso del modello generatore di corrente/generatore di tensione per il rumore termico della resistenza RS, o di una resistenza in genere. Usiamo il generatore parallelo per RS e svolgiamo di nuovo i conti della pagina precedente:

Rs

VO

2si

C

RF

CF

Rs

VO

C

RF

CFIT

Passiamo al generatore di prova:

Vi

E quindi:

Vi =Rs

1 + sRsCIT ⇒ Vos =

Rs1 + sRsC

11 + sRFCF

IT

Vos2 =Rs2

1 + ω2Rs2C21

1 + ω2RF2CF2�Is2

=Rs2

1 + ω2Rs2C21

1 + ω2RF2CF24KBT

Rs

=4KBTRs

1 + ω2Rs2C21

1 + ω2RF2CF2

=es2

1 + ω2Rs2C21

1 + ω2RF2CF2

A=1

A=1

Esattamente uguale al risultato ottenuto partendo dal generatore serie per RS.



VORMS2 = eA2 �

0

∞

11 + ω2RF2CF2

df +

+ es2 + �iA2Rs2 �

0

∞

df1 + ω2Rs2C2 1 + ω2RF2CF2

VORMS2 =

=τ=RsC eA2

2π�

0

∞

dω1 + ω2τF2

+es2 + �iA2Rs2

2π�

0

∞

dω1 + ω2τ2 1 + ω2τF2

= eA2 �Int1 τF+

es2 + �iA2Rs2

2πτ2τF2

0

∞

dω1τ2 + ω

2 1τF2

+ ω2

=eA2

4τF+

+es2 + �iA2Rs2

2πτ2τF2

0

∞

11τF2− 1τ2

1τ2 + ω

2+

11τ2 −

1τF2

1τF2

+ ω2dω

Teo dei residui: vedi pagina successiva



Parentesi sulla valutazione coi teoremi dei residui applicato alla funzione indicata nella pagina precedente. Vogliamo ottenere:

T ω =1

1τ2 + ω

2 1τF2

+ ω2=

A1τ2 + ω

2+

B1τF2

+ ω2

A = limx→− 1τ2

1τ2 + x T ω =

11τF2− 1τ2

B = limx→− 1

τF2

1τF2

+ x T ω =1

1τ2 −

1τF2

Poniamo x=ω2:

T ω =A

1τ2 + 𝑥𝑥

+B

1τF2

+ 𝑥𝑥

Moltiplichiamo per 1τ2

+ 𝑥𝑥:

T ω1τ2

+ x = A +B

1τF2

+ x

1τ2

+ x

E quindi, portando il limite per x→-1/τ2

Una valutazione equivalente vale per la valutazione di B:



VORMS2 =eA2

4τ𝐹𝐹+

+es2 + �iA2Rs2

2πτ2τF2

0

∞

11τF2− 1τ2

1τ2 + ω

2+

11τ2 −

1τF2

1τF2

+ ω2dω =

=eA2

4τ𝐹𝐹+

+es2 + �iA2Rs2

2πτ2τF2τ2

1τF2− 1τ2

�0

∞dω

1 + ω2τ2+

τF2

1τ2 −

1τF2

�

0

∞

dω1 + ω2τF2

=eA2

4τ𝐹𝐹+

es2 + �iA2Rs2

τ2τF2τ2

1τF2− 1τ2

Int1|τ +τF2

1τ2 −

1τF2

Int1|τF

=eA2

4τ𝐹𝐹+

es2 + �iA2Rs2

4τ

τ2 − τF2+

τFτF2 − τ2

=eA2

4τ𝐹𝐹+

es2 + �iA2Rs2

4 τ − τF τ + τFτ − τF

VORMS2 =eA2

4τ𝐹𝐹+

es2 + �iA2Rs2

4 τ + τF

gpessina

Fissati τ e τF otteniamo che per Rs→0 e Rs→∞ FRMS′ diverge all’∞. Perciò avremo una condizione ottima:



Ora possiamo occuparci della figura di rumore nella forma RMS:

Ed ancora:

VORMS2 =eA2

4τ𝐹𝐹+

es2 + �iA2Rs2

4 τ + τF

FRMS′ =VORMS2

VOSorgenteRMS2= 1 +

eA2

4τ𝐹𝐹+

�iA2Rs2

4 τ + τF4 τ + τF

es2

= 1 +eA2 τ + τF + �iA2Rs2τF

τFes2

= 1 +eA2 τ + τF + �iA2Rs2τF

τF4KBTRs

dFRMS′

dRs=

eA2τ + 2�iA2Rs2τF − eA2 τ + τF − �iA2Rs2τFτF4KBTRs2

=�iA2Rs2τF − eA2τFτF4KBTRs2

=�iA2Rs2 − eA2

4KBTRs2

dFRMS′

dRs= 0 ⇒ Rs =

eA2�iA2



Siccome τ è una caratteristica della rete, abbiamo un grado di libertà in τF che può essere scelta in funzione del contenuto in frequenza del segnale.

Considerando solo F, τF va scelta diversa da zero perché altrimenti F tenderebbe a divergere, dal momento che in quel caso il rumore serie dell’amplificatore sarebbe dominante a frequenze elevate.

La condizione minima si ha per τF molto grande, ovvero per un segnale di uscita essenzialmente statico. Non si ha un minimo assoluto nei confronti di τF. Però occorre considerare anche la banda del segnale, per cui τF deve anch’essa soddisfare qualche costrizione.

La larghezza di banda richiesta dal segnale fissa alla fine il limite superiore al valore di τF e risulta il parametro che fissa il grado di libertà.

Quindi si agisce in 2 passi:

1. Prima si fa in modo da fare soddisfare la condizione:

2. Quindi si fissa il valore massimo di τF a partire dal contenuto in frequenza del segnale. Vale a dire che se la banda del segnale ha limite superiore in frequenza ωh, deve essere soddisfatto che 1/ τF > ωh.

FRMS′ = 1 +eA2 τ + τF + �iA2Rs2τF

τF4KBTRs

Rs =eA2�iA2


4 IL RUMORE CON SEGNALI DI FORMA COSTANTE2Ae

Rs

VORFCF

IS

Determiniamo Io t.c. il rapporto Segnale/Rumore≡S/N≡ ρ sia =1.

Considerando che si dimostra che Vo(t)≥0 ∀t>0 e Vo(0)=Vo(∞)=0, il max del segnale lo troviamo quando:

Teo dei residui, vedi pagina successiva

�IS = Ioe− ⁄t τ1(t

τ = 10 nsτF = RFCF = 2 ns

eA2 = 10 ⁄nV Hz

Rs = 10KΩ

es2 = 4KBT Rs = 12.9 ⁄nV Hz

I(s) =Io

s + 1τVo(s) =

IoRs

s + 1τ

1sτF + 1

Vo(s) =1τF

IoRs

s + 1τ

1

s + 1τF

=IoRsτF

11τF− 1τ

1

s + 1τ+

11τ −

1τF

1

s + 1τF

Vo s =IoRsτF

11τF− 1τ

1

s + 1τ−

1

s + 1τF

Vo(t) = IoRsτ

τ − τFe− ⁄t τ − e− ⁄t τF 1(t)

)dVo(tdt = 0 ⇒ tMAX =

τ τFτ − τF

lnττF

Vo tMAX = IoRsττF

τFτF−τ

= IoRs αMAX, αMAX ≈ 0.67

A=1

Consideriamo ora il caso in cui il segnale abbia forma definite, e quindi cambi l’ampiezza:


………. Il rumore con segnali di forma costante 2

Vo s =IoRs

s + 1τ

1sτF + 1

=IoRsτF

1

s + 1τ

1

s + 1τF

=A

s + 1τ+

B

s + 1τF

Vo(s) =1τF

IoRs

s + 1τ

1

s + 1τF

=IoRsτF

11τF− 1τ

1

s + 1τ+

11τ −

1τF

1

s + 1τF

I poli sono a -1/τ e -1/τF e:

A = lims→−1τ

s +1τ Vo s = lims→−1τ

IoRsτF

1

s + 1τF

=IoRsτF

11τF− 1τ

B = lims→− 1τF

s +1τF

Vo s = lims→− 1τF

IoRsτF

1

s + 1τ=

IoRsτF

11τ −

1τF

Da cui la forma della pagina precedente:

Valutazione della trasformata della pagina precedente:



Per cui:

Alla stessa soluzione saremmo potuti arrivare assumendo per il rumore di Rs il generatore parallelo:

Vo2 = eA2 + es21

1 + ω2τF2

Ora il rumore:2Ae

Rs

VORFCF

A=1

es2

Rs

VORFCF

A=1eT

Per entrambe le sorgenti vale la stessa sorgente di prova.

I=0

Vi

Essendo la corrente nulla abbiamo che la corrente che fluisce in Rs è nulla, quindi Vi risulta eguale a VT e:

VOT(s) =eT

sτF + 1

2Ae

Rs

VORFCF

A=1

�is2

In questo caso il segnale generato all’ingresso dell’amplificatore sarebbe risultato uguale a:

Vis2 = Rs2�is2 = Rs24KBT

Rs= 4KBTRs = es2


………. Il rumore con segnali di forma costante 4Il rumore totale all’uscita è (considerate indipendenti le 2 sorgenti):

Ovvero:

Per il S/N abbiamo infine:

In definitiva ρ=1 quando Io uguaglia ION t.c.:

Ovvero:

Questo significa che per segnali aventi ampiezza di corrente < ±3 σ ≈ ± 3×27 nA = ± 81 nA il segnale risulta “affogato” nel rumore picco-picco, e poco distinguibile da esso.

Vo2 = eA2 + es21

1 + ω2τF2

VoRMS2 = eA2 + es212π

�

0

∞

dω1 + ω2τF2

= eA2 + es2 Int1|τF =eA2 + es2

4τF

ρ2 =VoMAX2

VoRMS2=

Io2 Rs2 αMAX2

eA2 + es24τF

ρ2 =ION2 Rs2 αMAX2

eA2 + es24τF = 1 ⇒ ION2 =

eA2 + es2

4Rs2τF

1αMAX2

ION2 =eA2 + es2

4Rs2τF

1αMAX2

=1

104 21

0.67210−16 + 1.66 × 10−16

4 × 2 × 10−9

= 740 × 10−18 A2

ION = 27 × 10−9 A = 27 nA



Qualsiasi segnale di ampiezza minore del rumore picco-picco non viene distinto dal rumore, quindi è irriconoscibile. Sappiamo che il rumore ha una distribuzione gaussiana e sappiamo che l’integrazione della gaussiana nell’intervallo ±3σ fornisce più del 99% dell’area.Per cui segnali di ampiezza


5 AMPLIFICATORE DIFFERENZIALECominciamo con l’analizzare l’effetto del rumore serie dell’amplificatore:

Le 2 resistenze RL servono per polarizzare i 2 ingressi, che altrimenti rimarrebbero senza un riferimento di tensione. Vedremo tra poco che più grande è il loro valore, minore sarà il loro contributo di rumore. Per cui le considereremo in pratica: RL → ∞.

Sappiamo che nei conti che ci portano a rappresentare il rumore l’effetto della reazione non cambia la rappresentazione del generatore di rumore equivalente di ingresso.

Pertanto possiamo cominciare a considerare l’effetto del generatore connesso al terminale non-invertente:

+

-Rs RL

RL

eTVo

A

Supponendo che Ri=∞ (per proprietà fisiche, non per effetto della reazione, non considerata) abbiamo che la corrente che circola nella maglia di ingresso è trascurabile. Pertanto: Vo=AeT e:

Considerando la sola sorgente Vs è:

Quindi il rumore riportato in serie al generatore Vs è:

Vo = A V+ − V− = A2RL

2RL + RsVs

RL→∞ AVs

Vo+2 = A2e+2

Vsi+2 =A2e+2

A2 = e+2

I =Vs

Rs + 2RL, V+ = IRL, V−= −IRL

+

-Rs

Vs

RL

RL

VoA

I

I=0I=0

A+

-RsVs

Vo

e+2

e−2

RL

RLVsi2

Vsi2 è il rumore riportato in ingresso contribuito da tutte le sorgenti presenti. L’obiettivo del nostro calcolo.

�i+2

�i−2


………. amplificatore differenziale 2

A questo punto consideriamo l’effetto del generatore di rumore connesso al terminale invertente:

+

-Rs RL

RL

eT

A

Vo

Anche in questo caso la corrente circolante nella maglia di ingresso può essere ritenuta trascurabile: Vo=AeT e:

Da cui:

+

-Rs

Vs

RL

RL

VoA Le 2 sorgenti di rumore incorrelate

riportate in serie alla sorgente del segnale forniscono pertanto:

L’ultima uguaglianza scende dal fatto che, per simmetria, le 2 sorgenti sono esprimibili dallo stesso fenomeno statistico, non che siano la stessa sorgente, ma 2 variabili casuali governate da leggi simili (es. 2 dadi).

Il risultato ottenuto è molto importante. Ci dice che se adottiamo un amplificatore differenziale il rumore serie di ingresso è il doppio rispetto ad una configurazione a singolo ingresso.

Vo−2 = A2e−2

Vsi−2 =A2e−2

A2 = e−2

Vsi+−2 = e−2 + e+2 ≈ 2 e+2

Vsi+−2

I=0

I=0


………. amplificatore differenziale 3Consideriamo ora presenti anche delle sorgenti di corrente di rumore parallelo dovute all’amplificatore:

+

-Rs

Vs

RL

RL

A

VoCominciamo ancora con il rumore della sola sorgente connessa al terminale non-invertente:

+

-Rs RL

RL

A

Vo

iTV+

V-

Di conseguenza:

+

-Rs RL

RL

A

Vo

iT

V+

V-

Per simmetria anche in questo caso abbiamo:

�i+2

�i−2

iT =V+RL

+V+

Rs + RL

V− =RL

RL + RsV+

V+ − V− = V+ −RL

RL + RsV+ =

RsRL + Rs

V+ =RLRs

Rs + 2RLiT ≈

Rs2 iT

Vo2 ≈ A2Rs2

4�i+2

Vo2 ≈ A2Rs2

4�i−2

V+ =RL Rs + RL

Rs + 2RLiTDalla prima:


………. amplificatore differenziale 4Il rumore totale da riportare in serie alla sorgente del segnale è esprimibile come:

Notiamo che il rumore serie della configurazione differenziale è doppio rispetto alla configurazione a singolo ingresso. Però il rumore parallelo non subisce lo stesso effetto. E’ vero che abbiamo 2 sorgenti di rumore parallelo, però l’effetto di ognuna pesa la metà: il rumore parallelo risulta minore che nella configurazione a singolo ingresso.

Questo fenomeno lo possiamo comprendere fisicamente in due modi.

Da un lato consideriamo che l’ingresso può essere visto come:

+

-Rs/2

Vs/2

A

Vo

Rs/2

Vs/2

Che si traduce in:

+

-Rs/2

Vs/2

A

Vo

Rs/2

Vs/2

Che spiega la ragione del risultato matematico.

Vsi′2 ≈ 2 e+2 +Rs2

4�i−2 + �i+2 ≈ 2 e+2 +

Rs2

2�i+2

�i+2

�i−2

�i+2

�i−2

+

-Rs

Vs

RL

RL

VoA

Vsi2

+

+

+

+

Questa connessione non cambia la simmetria ed il comportamento elettrico

(dimostrazione nella prossima pagina)



Vogliamo dimostrare in modo rigoroso l’ultima configurazione della pagina precedente. Per farlo cerchiamo di misurare l’impedenza vista dagli ingressi dell’amplificatore applicando un generatore di prova:

I = −V−RL

I =V−+

RL

IT =VTRS

+ I

V+ − V− = VTDove si è considerato che la corrente I deve essere uguale nelle 2 resistenze RLper la conservazione della carica, ovvero per via che la corrente ai rispettivi 2 terminali di RS e VT devono essere uguali.

Sostituendo le prime 2 eq nell’ultima:

I =VT

2RLDa cui:

V+ =VT2 V− = −

VT2

IT =VTRS

+VT

2RL

Con che l’impedenza di sorgente effettiva è:

Rsor =VTIT

=1

RS+

12RL

−1

Vale a dire: Rsor = RS�2RL

+

-Rs VTRL

RL

VoAIT

I

I

V-

V++


………. amplificatore differenziale 6Ricordiamo la proprietà del teo di Miller

+

-

A

Vo

R2

R1 +RL

RL V-

Vale che V+/V-=-1, e:

R1 =RS

1 − ⁄V− V+=

RS2

R2 =RS

1 − ⁄V+ V−=

RS2

Zv1 v2

I I I

v1 v2Z1 Z2=

Z1 =Z

1 − v2v1

Z2 =Z

1 − v1v2

se

Cerchiamo di applicarlo alla nostra resistenza RS:

+

-Rs VTRL

RL

VoAIT

I

I

V-

V++

V+ =VT2 V− = −

VT2

V+

Ricordando il risultato della pagina precedente:

CVD


………. amplificatore differenziale 7Da ultimo consideriamo l’effetto del rumore delle resistenze RL.

Come al solito consideriamo l’applicazione di una sorgente di prova per volta.

+

-RsRL

RL

VoA

iT

V-

V+

Risulta che:

Considerando che le resistenze sono 2 e che per l’altra vale un risultato simile:

Fatto importante: il rumore parallelo delle resistenze di carico risulta trascurabile in questa configurazione quando il loro valore è >> del valore della resistenza di sorgente Rs. Si dice che in questa situazione quello che conta è il loro rumore parallelo.

IL =V−RL

+V−

Rs + RL

V+ =RL

Rs + RLV−

VO12 = A2RsRL

Rs + 2RL

2 4KBTRL

≈RL>>RS A2

Rs2

44KBT

RL

VOL2 = 2A2RsRL

Rs + 2RL

2 4KBTRL

≈RL>>RS A2

Rs2

24KBT

RL

+

-RsRL

RL

VoA

�iL2

�iL2

V− =RL Rs + RL

Rs + 2RLiLDalla prima:

V+ − V− =RL

RL + RsV+ − V− = −

RsRL + Rs

V− = −RLRs

Rs + 2RLiT ≈ −

Rs2 iT



Riassumendo:

le sorgenti di rumore del solo amplificatore e delle resistenze di carico contribuiscono al rumore equivalente di ingresso con il termine:

+

-RsRL

RL

VoA

�iL2

�iL2

�i+2

�i−2

e+2

e−2

+

-Rs

Vs

RL

RL

VoA

Vsi2

Vsi2 ≈ 2 e+2 +Rs2

2�i+2 +

Rs2

24KBT

RL


6 GLI EFFETTI DELLA CONNESSIONE IN PARALLELO SUL RUMORE

Consideriamo un amplificatore caratterizzato dai seguenti parametri:

Zi

A

Componiamo ora una rete che contempli più strutture come quella sopra combinate in parallelo:

Zi

A1

Zi

A2

Zi2Ani

An

Rs

Vs+

-

Vo

R

R

R

R/n

Vi

Vo1

Vo2

Von

Combinazione parallelo significa che gli ingressi di tutti gli amplificatori sono connessi tra loro e le uscite sommate.

�iA2

eA2

iA12

iA22

eA12

eA22

eAn2


………. Gli effetti della connessione in parallelo sul rumore 2Cominciamo col valutare il guadagno risultante

All’ingresso della rete il segnale Vi è dato dalla partizione di Vs tra Rs ed il parallelo di tutte le impedenze degli amplificatori, supposte simili:

All’uscita di ogni OA abbiamo che:

All’uscita del sommatore invertente quindi sarà:

Zi

A1

Zi

A2

Zi

An

Rs

Vs

+

-

Vo

R

R

R

R/n

Vi

Vo1

Vo2

Von

Vi =⁄Zi n

Rs + ⁄Zi nVs

Vok = AkVi

Vo = −�

k=1

n⁄R nR

Vok = −�

k=1

nVokn

= −�

k=1

n

AkVin

= −�

k=1

nAkn

⁄Zi nRs + ⁄Zi n

Vs =

= −⁄Zi n

Rs + ⁄Zi nVs�

k=1

nAkn

= −A⁄Zi n

Rs + ⁄Zi nVs = −AVi, se Ak = A ∀i


………. Gli effetti della connessione in parallelo sul rumore 3

Consideriamo ora l’effetto del rumore parallelo di A1:

All’ingresso della rete il segnale Vi è dato da:

All’uscita abbiamo che:

Ammettendo che tutte le sorgenti siano governate dalla stessa statistica e siano incorrelate, ripetendo i conti per tutte le altre sorgenti di rumore parallelo, otteniamo:

Zi

A1

Zi

A2

Zi

An

Rs

+

-

Vop

R

R

R

R/n

Vi

Vo1

Vo2

Von

iT

Il rumore all’uscita dovuto alla sola sorgente parallela di A1 è:

Vi =⁄RsZi n

Rs + ⁄Zi niT

Vop = −A⁄RsZi n

Rs + ⁄Zi niT

Vop12 = A2⁄RsZi n

Rs + ⁄Zi n

2

iA12

Vop2 = nVop12 = nA2⁄RsZi n

Rs + ⁄Zi n

2�iA2 , dove iA2 = iAk2 ∀k

Nota: Vi viene amplificato da tutti gli ampli.



Consideriamo ora l’effetto del rumore serie di A1:

All’ingresso della rete il segnale Vi è ora nullo perché non scorre corrente in eT.

L’unico amplificatore ad avere ingresso diverso da zero è A1, che avrà un’uscita data da:

Ammettendo che tutte le sorgenti siano governate dalla stessa statistica, ripetendo i conti per tutte le altre sorgenti otteniamo:

Il rumore all’uscita dovuto alla sola sorgente serie di A1 è:

Zi

A1

Zi

A2

Zi

An

Rs

+

-R

R

R

R/n

Vi

Vo1

Vo2

Von

eT

Vos

Vo1 = A1eT

Vos12 =A12

n2 eA12

Vos2 = nVos12 =A2

n eA2 , dove eAk2 = eA2 ∀k

Di conseguenza l’uscita Vos1:

Vos1 = −Rn

1R Vo1 = −

A1n eT



Riassumendo:

il segnale di uscita è proporzionale al valore medio di tutti gli ingressi, uguali tra loro. Vale a dire:

Anche il rumore di uscita è proporzionale al valore medio di tutte le sorgenti di rumore. Però in questo caso le sorgenti sono statisticamente indipendenti. Ci aspettiamo che non vi sia una proporzionalità quadratica:

Zi

A1

Zi

A2

Zi

An

Rs

Vs

+

-

Vo

R

R

R

R/n

Vi

Vo1

Vo2

Von

Ora si vuole trovare il rumore equivalente da porre all’ingresso della rete:

Vo = T jω Vs = −A⁄Zi n

Rs + ⁄Zi nVs, dove A = Ai ∀i

Von2 = Vos2 + Vop2 =A2

n eA2 + nA2

⁄RsZi nRs + ⁄Zi n

2�iA2

iA12

eAn2

iA22

iAn2

eA22

eA12

ei2



Vediamo come indicare il rumore equivalente di ingresso ei2 . Deve essere tale che moltiplicato per la stessa funzione di trasferimento del segnale, T(jω), si possa ottenere il rumore che effettivamente si misura all’uscita:

Zi

A1

Zi

A2

Zi

An

Rs

Vs

+

-

Vo

R

R

R

R/n

Vi

Vo1

Vo2

Von

iA12

eAn2

iA22

iAn2

eA22

eA12

ei2

Von2 = | )T(ω |2ei2

Ma da quanto valutato è:

Von2 = Vos2 + Vop2 =A2

n eA2 + nA2


2�iA2

Quindi:

ei2 =1

| )T(ω |2A2

n eA2 + nA2


2�iA2



Perciò, partendo da:

Zi/n

ARs

Vs

Come si può verificare il rumore in ingresso non ha dipendenza quadratica, ma solo lineare nella combinazione di tutte le sorgenti di rumore. Questo riflette il fatto che le sorgenti non sono correlate tra loro.

E’ facile dimostrare che la rete equivalente che modella la funzione sopra è:

Notiamo che per n → ∞ il rumore riportato all’ingresso tende all’∞ per via del rumore parallelo, mentre per n → 0 il rumore si incrementa per via del rumore serie. Perciò abbiamo un minimo:

ei2 =A2

n eA2 + nA2


2�iA2

Rs + ⁄Zi n⁄Zi n

2 1A2

=eA2

nRs + ⁄Zi n

⁄Zi n

2

+ nRs2 �iA2

⁄eA2 n

n �iA2

dei2

dn =d

dneA2

nRs + ⁄Zi n

⁄Zi n

2

+ nRs2 �iA2

dei2

dn= 0 ⇒ n =

ZiRs

eA2

eA2 + Zi 2 �iA2

ovvero: Zinott =Zin = Rs 1 + Zi

2�iA2

eA2

Abbiamo:

ei2 =1

| )T(ω |2A2

n eA2 + nA2


2�iA2 T jω = −A

⁄Zi nRs + ⁄Zi n


7 RUMORE DELLA CONFIGURAZIONE NON INVERTENTE

+

-

R1R2

VsVo

R2

+

-

R1

VsVo

Consideriamo l’amplificatore nella configurazione non-invertente:

Introduciamo le possibili sorgenti di rumore presenti, trascurando inizialmente il rumore parallelo dell’AO:

Sia:

Si chiede di determinare i valori massimi che devono soddisfare R1 ed R2affinché il guadagno di tensione risulti G=10, ma il rumore totale non ecceda di più del 10 % del rumore dovuto al solo AO.

Sappiamo che il guadagno della struttura sopra è:

e+2

e−2

e22

e12�e+

2 ≈ e−2 = 10−16 ⁄V2 HzT = 300 K

Vo =R1 + R2

R1Vs


………. Rumore della configurazione non invertente 2

Valutiamo i contributi delle varie sorgenti:

R2

+

-

R1

Vo+eT La funzione di trasferimento della sorgente

connessa al terminale non-invertente è la stessa del segnale Vs:

R1R2

+

-

Vo-eT

Consideriamo ora l’effetto della sorgente connessa al terminale invertente:

V-≈0

Di conseguenza le 2 sorgenti di rumore serie dell’AO hanno la medesima funzione di trasferimento.

Il contributo all’uscita dell’AO risulta pertanto:

Vo+ =R1 + R2

R1eT ⇒ Vo+2 =

R1 + R2R1

2

e+2

eTR1

+eT − Vo−

R2= 0

Vo− =R1 + R2

R1eT ⇒

Vo−2 =R1 + R2

R1

2

e−2

VoA2 =R1 + R2

R1

2

e−2 + e+2

≈ 2R1 + R2

R1

2

e+2



Il contributo del rumore termico della resistenza R1:

Il contributo all’uscita fornito dal rumore termico delle 2 resistenze di reazione è:

V-≈0

R2

+

-

R1

Vo1

eT

Il contributo del rumore termico della resistenza R2:

V-≈0i-≈0

R2

+

-

R1

Vo2

eT

Vo1 = −R2R1

eT ⇒ Vo12 =R2R1

2

e12

Vo2 ≈ eT ⇒ Vo22 = e22

VoR2 =R2R1

2

e12 + e22

eTR1

=0 − Vo1

R2

(in R2 non scorre corrente in questa circostanza)



Riassumendo.

Il guadagno è:

Mentre il rumore totale all’uscita è:

+

-

R1R2

VsVo

In definitiva, la sorgente di rumore equivalente da porre in serie alla sorgente del segnale soddisferà (avendo Vs e ei2 la medesima funzione di trasferimento verso l’uscita:

Osservazione importante: se il guadagno è grande il rumore della resistenza connessa tra il terminale invertente e massa, la più piccola, è riflessa all’ingresso con peso 1, mentre la resistenza di reazione ha un peso pari all’inverso del guadagno, contando molto meno sul rumore totale.

Vo =R1 + R2

R1Vs

Von2 = 2R1 + R2

R1

2

e+2 +R2R1

2

e12 + e22

ei2

Vs2=

Vo2

Vo2⇒ ei2 =

Vs2

Vo2Von2

ei2 = 2R1 + R2

R1

2

e+2 +R2R1

2

e12 + e22R1

R1 + R2

2

= 2 e+2 +R2

R1 + R2

2

e12 +R1

R1 + R2

2

e22

= 2 e+2 +R2

R1 + R2

2

e12 +R1R2

2

e22

ei2



Veniamo a risolvere il problema:

Quindi:

ei2 = 2 e+2 1 +R2

R1 + R2

2 12 e+2

4KBT R1 +R1R2

2

R2

= 2 e+2 1 +R2

R1 + R2

2 4KBTR12 e+2

R2 + R1R2

= 2 e+2 1 +R2

R1 + R24KBTR1

2 e+2≤ α2 e+2 , α = 1.1

R1R1 + R2

4KBTR22 e+2

≤ α − 1

4KBTR22 e+2

≤ α − 1 G ⇒ R2 ≤ α − 1 Ge+2

2KBT= 12071Ω

G = 1 +R2R1

G − 1 =R2R1

R1 =R2

G − 1 ≤ 1341Ω

ei2 = 2 e+2 +R2

R1 + R2

2

e12 +R1R2

2

e22


8 RUMORE NELLA CONFIGURAZIONE INVERTENTE

+

-R1

R2

Vs Vo

Nella configurazione invertente sappiamo che il guadagno è:

+

-R1

R2

Vo

eT

Consideriamo le sorgenti di rumore presenti.

Per la sorgente di rumore serie dell’AO connessa al terminale non-invertente è:

+

-R1

R2

VoeT

La medesima situazione si osserva per il generatore connesso al terminale invertente:

Vs +

-R1

R2

Vo

Vo = −R2R1

Vs

Vo+ =R1 + R2

R1eT ⇒ Vo+2 =

R1 + R2R1

2

e+2

Vo− =R1 + R2

R1eT ⇒ Vo−2 =

R1 + R2R1

2

e−2

e12

e−2

e+2

�i−2

�i+2

�i22

v-≈0eTR1

+eT − Vo−

R2= 0


………. Rumore nella configurazione invertente 2

La resistenza R1 contribuisce con il suo rumore termico nella misura di:

+

-R1

R2

VoeT

+

-R1

R2

Vo

iT

Il rumore della resistenza R2 è:

In questa circostanza la corrente del generatore iT, dal lato dell’ingresso non può che chiudersi in R2. Risulta:

+

-R1

R2

Vo

Il rumore parallelo dell’AO connesso al terminale invertente fornisce:

iT

+

-R1

R2

Vo

iT

Siccome la rete non risulta essere simmetrica la sorgente di rumore parallelo dell’AO connessa al terminale non-invertente non determina effetti all’uscita visto che il terminale non-invertente è connesso direttamente a massa.

Fatto importante: il rumore della resistenza di reazione fornisce la stessa espressione all’uscita del rumore parallelo dell’AO.

V-∼0i-∼0

V-∼0i-∼0

V-∼0i-∼0

Vo1 = −R2R1

eT ⇒ Vo12 =R2R1

2

e12

Vop− = −R2 iT ⇒ Vop−2 = R22 �i−2

iR1∼0

iR1∼0

iR1∼0

Vo2 = −R2 iT ⇒ Vo22 = R22 �i22

= R224KBT

R2= 4KBTR2 = e22



Perciò il rumore in uscita totale è:

Il rumore equivalente da porre in serie al segnale di sorgente all’ingresso risulta:

Von2 = 2R1 + R2

R1

2

e+2 + R22 �i22 + R22 �i−2 +R2R1

2

e12

= 2R1 + R2

R1

2

e+2 + R224KBT

R2+ R22 �i−2 +

R2R1

2

4KBTR1

= 2R1 + R2

R1

2

e+2 + 4KBTR2 + R22 �i−2 +R2R1

4KBTR2

= 2R1 + R2

R1

2

e+2 + 4KBTR2R1 + R2

R1+ R22 �i−2

ei2 = 2R1 + R2

R1

2

e+2 + 4KBTR2R1 + R2

R1+ R22 �i−2

R1R2

2

= 2R1 + R2

R2

2

e+2 + 4KBTR1R1 + R2

R2+ R12 �i−2

Vo = −R2R1

Vs+

-R1

R2

Vs Voei2



Il rumore parallelo è difficilmente trascurabile, in particolare, quando l’impedenza di sorgente ha un valore molto elevato, al limite capacitivo:

+

-

R

IsVoCi

+

-

R

VoCi

eT

Le 2 sorgenti di rumore serie dell’AO hanno la stessa funzione di trasferimento:

Le sorgenti di rumore:

Vo = −R Is

Vo+ = sCiR + 1 eT ⇒ Vo+2 = ω2Ci2R2 + 1 e+2 ≈ Vo−2

+

-

R

VoCie−2

e+2�iA2

�iR2

V+ ≈ V-, di conseguenza:

eTsCi +eT − Vo+

R = 0

eTsCiR + 1

R=

VO+R

NOTA: come si può osservare il contributo del rumore serie aumenta con la frequenza all’uscita. In questa configurazione è quindi fondamentale porre un filtro passa basso all’uscita dell’amplificatore.



+

-

R

VoCiiT

Ovviamente per il rumore parallelo di ingresso abbiamo la stessa funzione di trasferimento del segnale:

+

-

R

VoCi

iTEssendo V-≈0 e i-≈0 abbiamo che:

R

Si deve osservare una cosa importante: che il rumore della resistenza di reazione è equivalente a porre un generatore di rumore parallelo, di intensità corrispondente, in ingresso all’amplificatore. Infatti, il contributo di iiR2 all’uscita è:

Così facendo, il rumore della resistenza di reazione si confronta direttamente con il rumore parallelo di ingresso e, affinché il rumore di R sia trascurabile è necessario che il suo valore sia adeguatamente elevato:

VoA2 = R2 �iA2

VoR2 = R2 �iR2 = R24KBT

R = 4KBTR

�iR2 =4KBT

R

+

-

R

VoCi

+

-

R

VoCi�iA2 �iR2

+

-

VoCiiiR2Vo2 = R2iiR2

Imponendo che questo risulti uguale a VoR2 : VoR2 = 4KBTR = Vo2 = R2iiR2

Da cui: iiR2 =4KBT

R= �iR2



Quindi, riassumendo, il rumore in uscita in totale sarà:

Quindi riportiamo in ingresso:

+

-

R

VoCie−2

e+2�iA2

�iR2

Vo2 = 2 ω2Ci2R2 + 1 e+2 + R2 �iA2 + R2 �iR2

= 2 ω2Ci2R2 + 1 e+2 + R2 �iA2 + R2 �iR2

= 2 ω2Ci2R2 + 1 e+2 + R2 �iA2 + 4KBTR

= 2 ω2Ci2R2 + 1 e+2 + R2 �iA2 + R24KBT

R

+

-

R

VoCiisien2

Vo = −R Is

ien2 = 2 ω2Ci2R2 + 1 e+2 + R2 �iA2 + 4KBTR1

R2

= 2 ω2Ci2R2 + 1e+2

R2 +�iA2 +

4KBTR



A volte capita che la corrente statica di polarizzazione di ingresso all’amplificatore possa generare un offset fastidioso.

Le correnti statiche di ingresso ai 2 terminali sono in genere molto simili tra loro.

Nella rete in considerazione la corrente di ingresso che agisce è quella connessa al termale invertente. La corrente connessa al terminale non-invertente non ha effetto non potendo generare cadute di tensione.

Nell’esempio abbiamo che:

E’ possibile cercare di cancellare l’offset introducendo ROF che cambia le cose così:

Imponendo ora che sia VO=0 risulta che deve valere:

VOOF = R2IB

�V+ = −ROF IB

IB +V−R1

+V− − VO

R2= 0

IB −R1 + R2

R1R2ROF IB −

VOR2

= 0

ROF =R1R2

R1 + R2

+

-R1

R2

Vs VoIB

IB

+

-R1

R2

VoIB

+

-R1

R2

Vo

ROF

IB

IB

Sostituendo la prima eq nella seconda, grazea al fatto che V-=V+:



Quindi è possibile sopprimere l’offset generato dalla corrente statica di ingresso.

Questa correzione aggiunge però rumore che deriva sia da ROF che dal rumore Shot della corrente di ingresso dell’AO:

Sostituiamo alle 2 correnti di rumore un generatore di prova per valutarne la funzione di trasferimento.

+

-R1

R2

Vo

ROF IT

Ovvero, considerato che:

Quindi:

e

+

-R1

R2

Vo

ROF �i+2iOF2

�V+ = ROFIT

VO =R1 + R2

R1V+

⇒

VO =R1 + R2

R1ROFIT

VO = R2 IT

VO2 = R224KBTROF

+ �i+2 = R22 4KBTR1 + R2

R1R2+ �i+2

eiOF2 =R12

R22VO2 = R12 4KBT

R1 + R2R1R2

+ �i+2

= 4KBTR1R1 + R2

R2+ R12 �i+2

ROF =R1R2

R1 + R2abbiamo:



Come risultato abbiamo che il rumore serie dovuto alle resistenze e correnti di ingresso raddoppia nel caso vogliamo compensare l’offset di uscita dovuto alla corrente di polarizzazione di ingresso.

ei2 = 2R1 + R2

R2

2

e+2 + 4KBTR1R1 + R2

R2+ R12 �i−2

+ 4KBTR1R1 + R2

R2+ R12 �i+2 =

2R1 + R2

R2

2

e+2 + 2 × 4KBTR1R1 + R2

R2+ 2 × R12 �i−2

eiOF2 = 4KBTR1R1 + R2

R2+ R12 �i+2

Questo rumore va ora sommato a quello precedentemente calcolato, ovvero il rumore nella situazione ROF=0:

gpessina


E’ possibile cercare di minimizzare il contributo di rumore introdotto dalla presenza del resistore di compensazione di offset ROF introducendo una capacità di filtro:

+

-R1

R2

Vo

ROF

Vs

COF

Grazie all’introduzione della capacità COF l’impedenza connessa al terminale non invertente è:

ZOF =ROF

1 + sCOFROFPur di scegliere COF di valore opportuno l’impedenza offerta diviene piccola e trascurabile ad alta frequenza, ed il rumore non è più in grado di sviluppare un disturbo.

Staticamente COF non crea nessun effetto e il potenziale V+ dipende ancora solo da ROF.

Naturalmente per la sorgente del segnale Vs la presenza di COF è altrettanto ininfluente.

La nuova funzione di trasferimento per il rumore diviene:

VO =R1 + R2

R1ROF

1 + sCOFROFIT

VO2 =R1 + R2

R1

2 ROF2

1 + ω2COF2 ROF24KBTROF

+ �i+2

≈1

ω2COF2R1 + R2

R1

2

4KBTR1 + R2

R1R2+ �i+2

Da cui il nuovo rumore contribuito dalla presenza di ROF diviene:



9 RUMORE NEL PREAMPLIFICATORE DI CARICA

Nel preamplificatore di carica abbiamo alcuni elementi essenziali che ne determinano le caratteristiche dinamiche.

La capacità di reazione che determina il guadagno dinamico. Il filtro passa banda, CR-RC nell’esempio sotto, che fornisce una formatura opportuna al segnale e le capacità connesse all’ingresso.

Per quanto riguarda il rumore, oltre alle sorgenti sono importanti anche i componenti che caratterizzano sia il preamplificatore che il rivelatore. Essenzialmente le capacità di ingresso e di reazione.

VoA-A

CD CA

CF

RF

Qi δ(t)

F(ω)Vo

Filtro CR-RC

VoA-A

CD CA

CF

RF

Qi δ(t)

F(ω)Vo

Filtro CR-RC

CD=capacità del rivelatoreCA=capacità di ingresso

dell’amplificatore

F(p) =sτ

1 + sτ 2

iRF2�iD2 �iA2 F(p) =

sτ1 + sτ 2

iRf2 =4KBT

RF

eA2


………. Rumore nel preamplificatore di carica 2

VoA-A

CD CA

CF

RF

IT

F(ω)Vo

Filtro CR-RC

Cominciamo con l’analizzare l’effetto del rumore parallelo, supposto bianco per iniziare.

Di conseguenza:

Possiamo valutare il rumore RMS dovuto alle sole sorgenti di rumore parallelo, supposte aventi spettro bianco, considerando le sorgenti incorrelate:

(se RFCF>>τ)

F(p) =sτ

1 + sτ 2

VoA|| = −RF

1 + 𝑠𝑠CFRFIT ≈ −

1sCF

IT

Vo|| ≈ −1

sCFsτ

1 + sτ 2 IT = −1

CFτ

1 + sτ 2 IT

Vo||2 ≈1

CF2τ2

1 + ω2τ2 2�iD2 + iRf2 + �iA2

VoRMS||2 =�iD2 + iRf2 + �iA2

CF2τ2

2π�0

∞dω

1 + ω2τ2 2 =�iD2 + iRf2 + �iA2

CF2τ2 Int2|τ

=�iD2 + iRf2 + �iA2

CF2τ8



Vediamo il rumore serie:

VoA-A

CD CA

CF

RF

F(ω)Vo

Filtro CR-RC

eT

Approssimiamo RF all’ ∞. Se A=∞ il segnale Vi all’ingresso dell’amplificatore è nullo, per cui:

Quindi:

Supponiamo che il rumore serie abbia un contributo sia di rumore bianco che 1/f:

Di conseguenza per il rumore RMS abbiamo da risolvere:

F(p) =sτ

1 + sτ 2

VoAs =CD + CA + CF

CFeT

Vos =CD + CA + CF

CFsτ

1 + sτ 2 eT

Vos2 =CD + CA + CF

CF

2 ω2τ2

1 + ω2τ2 2 eA2

eA2 = esw2 +Aff

VosRMS2 =

=CD + CA + CF

CF

2 esw2

2π�

0

∞

ω2τ2

1 + ω2τ2 2 dω + Af�

0

∞

ωτ2

1 + ω2τ2 2 dω

Vi≈0

eTs CA + CD + eT − VoA sCF = 0 da cui:

e:



VoA-A

CD CA

CF

RF

IT

F(ω)Vo

Filtro CR-RC

Consideriamo ora il segnale prodotto all’uscita da un impulso di carica Qiδ(t), tipico di un rivelatore nucleare:

Con IT(t)=Qiδ(t) è: IT(p)=Qi e:

Dalle proprietà viste per le anti-trasformate di Laplace (teo. della derivata):

Questa funzione ha massimo a tMAX=τ:

iQ

VosRMS2 =CD + CA + CF

CF

2

esw2 Int3|τ −Af2

�1

1 + ω2τ2 0

∞

=CD + CA + CF

CF

2 esw2

8τ+

Af2

F(p) =sτ

1 + sτ 2

Vo ≈ −1

CFτ

1 + sτ 2IT

Vo(p) ≈ −QiCF

τ1 + sτ 2

= −QiCF

1τ

1

s + 1τ2

Vo(t) ≈ −QiCF

tτ

e− ⁄t τ1(t)

VoMAX = Vo(τ) ≈ −QiCF

1e



Ci interessa ora trovare la carica che rende unitario il S/N in corrispondenza del massimo del segnale. Questa carica si chiama ENC=Equivalent Noise Charge. Per valutarla partiamo da ρ:

Il rumore totale è:

Quindi:

Quindi ρ2=1 quando Qi=ENC tale che:

ρ2 =VoMAX2

VoRMS2=

⁄Qi2 CF2e2

VoRMS2

ρ2 =ENC2

CF2e2VoRMS2= 1

ENC2 = CF2 e2 VoRMS2

ENC2 = CF2 e2 VoRMS2

= CF2 e2CD + CA + CF

CF

2 esw2

8τ +Af2 +

�iD2 + iRf2 + �iA2

CF2τ8

= CD + CA + CF 2e2

8esw2

τ+

e2

2Af +

e2

8τ �iD2 + iRf2 + �iA2

VoRMS2 = VosRMS2 + VoRMS||2

=CD + CA + CF

CF

2 esw2

8τ+

Af2

+�iD2 + iRf

2 + �iA2

CF2τ8



Il risultato ottenuto è del tutto generico. Se adottassimo una differente formatura e tempo di formatura l’espressione di ENC per le sorgenti viste sarebbe:

Dove α, β e γ sono coefficienti dipendenti dal tipo di filtro adottato. Per esempio nella formatura CR-RC considerata abbiamo ottenuto:

In particolare:

Il contributo all’ENC dato dal rumore serie è sempre proporzionale al quadrato della somma delle capacità presenti.

Il contributo all’ENC dato dal rumore serie bianco è inoltre inversamente proporzionale alla costante di tempo di formatura. Infatti il rumore serie non è filtrato dalla capacità di reazione, quindi maggiore è la banda del filtro, maggiore è il suo contributo.

Il contributo all’ENC dato dal rumore serie 1/f è inoltre indipendente dal tempo di formatura. Questo perché il rumore 1/f ha una dipendenza dalla frequenza che diverge all’origine e non è integrabile all’∞.

Il contributo all’ENC dato dal rumore parallelo bianco è proporzionale al tempo di formatura, ma non dipende dal valore delle capacità presenti. Infatti il rumore bianco all’uscita è proporzionale alla impedenza della capacità di reazione del preamplificatore, perciò tanto più e piccola la larghezza di banda del filtro, cioè τ grande, tanto più il suo contributo viene messo in risalto.

ENC2 = CD + CA + CF 2 αesw2

τ + γAf + βτ�iD2 + iRf2 + �iA2

α = β =e2

8 ≈ 0.92

γ =e2

2 ≈ 3.7


………. Rumore nel preamplificatore di carica 7Considerazioni.

Matematicamente è immediato capire la dipendenza del rumore serie e parallelo dalla costante di tempo.

Per il rumore parallelo bianco dobbiamo risolvere l’integrale, per una formatura di tipo generico:

Per il rumore serie abbiamo invece:

Infine per il rumore 1/f:

Consideriamo che il massimo el segnale per una formatura CR-RCn è a tMAX=nτ, dove si ha:

12π

�

0

∞

τ2

1 + ω2τ2 2 ndω =

x=ωτ τ2π

�0

∞1

1 + x2 2 ndx =

τ4�

k=1

n

2k − 12k

12π

�

0

∞

ω2τ2

1 + ω2τ2 2 ndω =

x=ωτ 12πτ

�

0

∞

x2

1 + x2 2 ndx =

18τ

1n�

k=1

n−1

2k − 12k

�

0

∞

ωτ2

1 + ω2τ2 2 ndω =

x=ωτ �0

∞x

1 + x2 2 ndx =

12n

VMAX = V(tMAX) =nn

n!e−n


………. Rumore nel preamplificatore di carica 8Di conseguenza abbiamo che il coefficiente del rumore serie bianco è:

Per il rumore serie 1/f abbiamo invece:

Infine per il rumore parallelo:

Ecco qualche esempio. Come si può notare il rumore 1/f rimane alquanto indipendente dal numero di poli, stante la sua dipendenza dalla frequenza. Il rumore serie bianco diminuisce il suo effetto con grande numero di poli perché proporzionale alla derivata della funzione di uscita. Infine il rumore parallelo presenta un contributo opposto a quello del rumore serie bianco, essendo proporzionale all’integrale della funzione di uscita.

α =n! 2

n2n+1e2n

8 �

k=1

n−12k − 1

2k

γ =n! 2

n2n+1e2n

2

β =n! 2

n2ne2n

4 �

k=1

n2k − 1

2k



OSSERVAZIONE IMPORTANTE

-

+

CD

Rf

Ii Ci

Cf

Detector

Cpar

Abbiamo già discusso la questione della capacità parassita, Cpar, presente all’ingresso dell’amplificatore dovuta alla connessione rivelatore –preamplificatore stessa.

Anche in relazione al rumore questa capacità è bene che sia la più contenuta possibile, perché, infatti, si ha:

ENC2 = CD + CA + CF + 𝐂𝐂𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩2 α

esw2

τ + γAf + βτ�iD2 + iRf2 + �iA2

Quindi si può vedere che l’incidenza sul rumore della capacità parassita può essere tangibile se non tenuta in considerazione.

Possiamo concludere che è bene cercare di minimizzare la distanza rivelatore –preamplificatore sia per questioni legate alla velocità che legate al rumore.



Supponiamo ora di utilizzare un filtro la cui risposta totale al segnale del rivelatore sia una gaussiana:

∫)t(Qδ Filtro

T(s)

s1

Noi quindi vogliamo che:

VO

Vale a dire che:

Possiamo determinare i coefficienti del filtro gaussiano:

Rumore serie bianco:

Rumore serie 1/f:

= Qexp12

t − ritardoτ

2

Vo(ω) = Q)T(ω

s = QFTGaus ⇒ T(ω) = sFT Gaus

T(ω) = sτ 2π exp − ⁄τω 2 2 exp −jωritardo

12π�

0

∞

ω2τ22π exp − τω 2 dω =1τ �0

∞

x2exp −x2 dx =

=1τ −

x2 exp −x

2 |0∞ +12�0

∞

exp −x2 dx =1τ

12

π2 =

1τ

π4 =

0.443τ

12π

�

0

∞

ω2τ2

f 2π exp − τω2 dω = �

0

∞

ωτ2 exp − τω 2 dω =

= 2π�0

∞

xexp −x2 dx = −2π2 exp −x

2 |0∞ = π = 3.142


………. Rumore nel preamplificatore di carica 11Infine per il rumore parallelo:

Abbiamo già visto che la formatura CR-RCn tende alla formatura gaussiana quando n→∞:

Questo significa che i coefficienti di un filtro CR-RCn hanno un limite dato dai coefficienti del filtro gaussiano per n sufficientemente grande. Questo possiamo vederlo qui sotto dove manteniamo τA=τ /√n al variare del numero dei poli:

n poli α β γ

1 0.924 0.924 3.695

2 0.603 0.904 3.412

5 0.497 0.894 3.228

10 0.468 0.890 3.194

20 0.455 0.888 3.168

40 0.449 0.886 3.155

Gauss 0.443 0.886 3.142

Già con 5 poli i coefficienti del profilo gaussiano sono ben approssimati, a meno di circa il 10 %, pur non essendo le 2 curve perfettamente simili.

Essendo i coefficienti proporzionali all’area o all’integrale l’approssimazione si giustifica col fatto che la differenza di area tra le 2 figure a tempi piccoli si compensa a tempi grandi.

12π�

0

∞

τ22π exp − τω 2 dω = τ�0

∞

exp −x2 dx =

= τπ

2 = 0.886τ

sτA1 + sτA n+1 ngrande

sτ 2π exp − ⁄τω 2 2 exp −jωritardo

purchè sia τA = ⁄τ n e ritardo = τ n



Possiamo fare un’ulteriore constatazione. Un formatore CR-RCn con costante di tempo τ è simile ad un formatore gaussiano con costante di tempo τ√n.

Perciò:

Quindi pur di considerare n ≥3 è una buona approssimazione considerare per una formatura CR-RCn:

τ → nτ = τG

ENC2 = CT2ατ

ew2 + γAf + βτiw2

= CT2nαnτ

ew2 + γAf +βn

nτiw2

= CT2nατG

ew2 + γGAf +βnτGiw2

= CT2αGτG

ew2 + γGAf + βGτGiw2

α ≈αG

nα ≈

0.443n

β ≈ nβG β ≈ n0.886γ ≈ γG γ ≈ 3.142



La variabile ENC ha una chiara dipendenza da τ attraverso i parametri di rumore. In particolare il rumore serie bianco tende ad essere dominante a piccoli τ, mentre il rumore parallelo è dominante a grandi τ. Infine il rumore serie 1/f non dipende da τ:

0 10 20 30 40 500

1000

2000

3000

4000

tau (µ sec)

ENC

(el)

Solo bianco serieSolo 1/f serieSolo paralleloLa somma di tutto

10-1 100 101 1020

1000

2000

3000

4000

tau (µ sec)

ENC

(el)

Solo bianco serieSolo 1/f serieSolo paralleloLa somma di tutto

Il tipico comportamento di ENC con τ mostra quanto descritto qualitativamente.

La scelta del transistore da utilizzare incide sulla scelta della costante di tempo che si può adottare.

Anche la problematica dovuta al pile-up entra in gioco nella scelta di τ, quindi del tipo di transistore.

ENC2 = CT2ατ ew

2 + γAf + βτiw2


………. Rumore nel preamplificatore di carica 14Considerazioni.

L’ENC calcolato è stato espresso in carica, che ha come unità di misura il Coulomb, C.

Invero, molto più spesso l’ENC viene espresso in elettroni, el. La conversione da ENC espresso in Coulomb ad ENC espresso in elettroni, chiamiamolo ENCel è:

Supponiamo di contare le particelle che arrivano sul rivelatore in funzione dell’energia delle particelle. Graficamente realizziamo lo spettro di energia. In assenza di rumore tutte le particelle aventi la medesima energia verranno assegnate ad esattamente la stessa energia, determinando una riga verticale. La presenza del rumore fa si che la riga verticale in realtà si sparpagli in accordo alla statistica con una gaussiana.

Un parametro significativo è la così detta larghezza a metà altezza o Full Width Half Maximum, FWHM, definita come la larghezza della riga a metà altezza.

Da:FWHMFWHMFWHM

FWHM

Abbiamo che:

Quindi:

ENCel =ENC

q =ENC

1.6 × 10−19 C

p E =

=1

ENCel 2πexp − �E − Ep

2 2ENCel2

P(E) = 0.5 ⇒ E1,2 = Ep ± ENCel 2ln2

ΔEFWHM = E2 − E1 = ENCel 2 2ln2 ≈ 2.355 ENCel

Per semplicità diciamo qui che: Elettroni=Energia/(ensingel)


………. Rumore nel preamplificatore di carica 15ATTENZIONE.I conti considerati nella pagina precedente assumono che la risoluzione sia limitata dal solo rumore elettronico.

In un rivelatore generico abbiamo da considerare la presenza di un’altra sorgente di incertezza che è legata alla statistica di produzione delle entità (in genere cariche) a cui il segnale finale sarà sensibile.

Ad esempio. In una giunzione al Si per produrre una coppia el-lacuna occorre un’energia minima, Emin, di circa 3.6 eV, in una giunzione al Ge 3 eV, in un rivelatore a gas circa 15 eV, etc.

Il numero di elementi prodotti è legato alla statistica di Poisson, per la quale:

Di conseguenza, supposto nullo il rumore elettronico abbiamo che la risoluzione energetica è data da:

Va osservato che però quello che conta è il S/N che è:

Ulteriore considerazione: le cose sono un po’ meglio perché gli eventi non sono completamente indipendenti. Per descrivere il processo si introduce un parametro empirico detto Fattore di Fano:

E quindi: F=Si: 0.115Ge: 0.13GaAs: 0.10Diamond: 0.08

σP2 = N =E

Emin

ΔEFWHM = 2.355Emin σP2 = 2.355 EminE

ΔEFWHME =

2.355 EminEE = 2.355

EminE =

2.355N

F =σmisurata2

σP2⇒ σmisurata2 = FσP2 ⇒ σmisurata = FN

ΔEFWHM = 2.355Emin σmisurata2 = 2.355 FEminE

ΔEFWHME =

2.355 EminEE = 2.355

FEminE = 2.355

FN



Come caratterizzare in laboratorio il rumore effettivo della catena di acquisizione o del solo amplificatore.

Un modo è con la sorgente di particelle con cui ottenere uno spettro simile a quello mostrato un paio di pagine fa.Però va fatta attenzione che la larghezza della gaussiana all’energia della particella presenta sommati i contributi dell’amplificatore e del rivelatore. Quello che si può fare per separare i 2 contributi è di utilizzare la posizione del picco all’energia della particella per calibrare la scala orizzontale. Poi togliere la sorgente di particelle, quindi osservare la gaussiana che si forma a energia zero, che avrà il solo contributo del rumore dell’amplificatore. Potrebbe però succedere che il Sistema non sia in grado di analizzare segnali di polarità negative (la gaussiana dovrebbe essere centrata ad energia zero). Perciò si deve fare attenzione al riguardo.Per ovviare a questo inconveniente si può agire in questo modo.

VoA-A

CD CA

CF

F(ω)Vo

Filtro CR-RC

CTVT

IT

L’ingresso dell’amplificatore è a 0 V, nell’ipotesi di guadagno infinito, e il segnale di eccitazione un gradino. La corrente di ingresso è, pertanto:

IT(s) =VTO

s sCT = VTOCT

VTO

ovvero IT t = VTOCTδ t = QTδ t



In questo modo è come se simulassimo una particella che rilascia nel rivelatore una carica QT.Per non perturbare il sistema la capacità CT deve essere molto piccola. In genere si usa una frazione di pF. Deve anche essere molto precisa per potere conoscere bene il valore della carica iniettata.CT deve essere molto piccola anche perché si vorrebbe iniettare cariche piccole. Per esempio, se CT fosse 0,5 pF e VTO 10 mV avremmo:

VoA-A

CD CA

CF

F(ω)Vo

Filtro CR-RC

CTVT

IT

VTO

IT t = VTOCTδ t = QTδ t

QT(el) =0,5 × 10−12 × 0,01

1,6 × 10−19 = 31 Kel, circa 112 KeV nel Si

La carica iniettata si può convertire in energia sulla scala del rivelatore. Se il generatore di segnale avesse un rumore trascurabile la larghezza della gaussiana del segnale del generatore sarebbe dovuta solo al rumore dell’amplificatore e sarebbe spostata dall’origine, sfruttando così la dinamica del sistema.

Alcuni rivelatori presentano dei segnali molto piccoli di fondo, o il fondo naturale potrebbe indurre dei segnali, o il generatore di segali potrebbe non avere rumore trascurabile. Si potrebbe agire allora così…



Il misuratore RMS potrebbe essere un voltmetro RMS, un analizzatore di spettro, un oscilloscopio, un campionatore, etc con cui potere calcolare il rumore RMS.Per potere trasformare il rumore RMS in ENC dobbiamo applicare la proporzione:

VoA-A

CD CA

CF

F(ω)Vo

Filtro CR-RC

CTVT

IT

VTO

Misuratore RMS

ENCQT

=VORMSVOQT

IT t = VTOCTδ t = QTδ t

Il segnale di uscita VOQT è quello generato dalla carica che abbiamo iniettato QT.

Questa tecnica è molto usata, tanto che in genere si predispone sempre una capacità di test CT con cui è quindi possibile calibrare il sistema, per verificare che tutti i componenti impiegati siano del valore corretto.


………. Rumore nel preamplificatore di carica 19Supponiamo che il rumore parallelo abbia una componente di tipo 1/f, una di tipo 1/f2, con costante di tempo molto grande, ed una 1/f2caratterizzata da una Lorentziana avente costante di tempo non grande:

In questa circostanza è necessario non trascurare il valore della resistenza di reazione, RF, nei calcoli per le prime 2 sorgenti:

Andiamo a valutare il rumore RMS generato all’uscita:

Infatti se sopra assumessimo che RF=∞ nei primi 2 addendi la funzione che otterremmo non sarebbe integrabile nell’origine.

Poniamoci nelle condizioni di potere applicare il teorema dei residui alle frazione integrate.

�ip2 =iff +

ifff2 +

τii2

1 + ω2τii2iii

Vo||p2 ≈

≈RF2

1 + ω2CF2RF2ω2τ2

1 + ω2τ2 2iff

+ifff2

+1

CF2τ2

1 + ω2τ2 2τii2

1 + ω2τii2iii

Vo||pRMS2 ≈

≈ if �

0

∞

RF2

1 + ω2CF2RF2ω τ2

1 + ω2τ2 2 dω +

+2π iff �

0

∞

RF2

1 + ω2CF2RF2τ2

1 + ω2τ2 2 dω +

+iiiCF2

12π

�

0

∞

τ2

1 + ω2τ2 2τii2

1 + ω2τii2dω =



Ora applichiamo il teorema dei residui alle frazione integrate.

Vo||pRMS2 =RF2 ifτF2τ2

0

∞

11τF2

+ ω2

ω1τ2 + ω

22 dω +

+ 2πRF2 iff1

τF2τ2

0

∞

11τF2

+ ω2

11τ2 + ω

22 dω +

+iii

2πCF21τ2

0

∞

11τii2

+ ω2

11τ2 + ω

22 dω



Vo||pRMS2 =

=RF2 ifτF2τ2

0

∞

ω1

1τ2 −

1τF2

21

1τF2

+ ω2+

11τF2− 1τ2

11τ2 + ω

22 dω +

−RF2 ifτF2τ2

0

∞

1

1τF2− 1τ2

2ω

1τ2 + ω

2dω +

+2πRF2 iff1

τF2τ2

0

∞

1

1τ2 −

1τF2

21

1τF2

+ ω2+

11τF2− 1τ2

11τ2 + ω

22 dω+

−2πRF2 iff1

τF2τ2

0

∞

1

1τF2− 1τ2

21

1τ2 + ω

2dω

+τii2 iii2πCF2

1τii2τ2

0

∞

11τii2

+ ω2

11τ2 + ω

22 dω



Vo||pRMS2 =

=RF2 ifτF2τ2 �

τ4τF4

τF2 − τ2 212 ln ω

2 +1τF2

−τ2τF2

τ2 − τF212

11τ2 + ω

2+

�−τ4τF4

τ2 − τF2 212 ln ω

2 +1τ2 0

∞

+

+ 2πRF2 iff 2π �τ2τF4

τF2 − τ2 2Int1|τF

�+τ4

τ2 − τF2Int2|τ −

τF2τ4

τ2 − τF2 2Int1|τ

+τii2 iii2πCF2

1τii2τ2

0

∞

11τii2

+ ω2

11τ2 + ω

22 dω



Quindi:

L’ultimo integrale è uguale al penultimo, a parte il coefficiente moltiplicativo e il sostituire τF con τii:

Vo||pRMS2 =RF2 if

2τ2τF2

τF2 − τ2 22 ln

τFτ +

τ2 − τF2

τF2+

+2πRF2 iff 2πτ2τF4

τF2 − τ2 21

4τF+

τ4

τ2 − τF218τ −

τF2τ4

τ2 − τF2 214τ

+τii2 iii2πCF2

1τii2τ2

0

∞

11τii2

+ ω2

11τ2 + ω

22 dω

Vo||pRMS2 =RF2 if

2τ2τF2

τF2 − τ2 22 ln

τFτ +

τ2 − τF2

τF2+

+ 2π 2 RF2 iffτ2τF4

τF2 − τ2 21

4τF+

τ4

τ2 − τF218τ

−τF2τ4

τ2 − τF2 214τ

+τii2 iii

CF2τ2τii4

τii2 − τ2 214τii +

τ4

τ2 − τii218τ −

τii2τ4

τ2 − τii2 214τ



In particolare se, come al solito, τF >> τ ed anche τii>>τ ci riduciamo a:

Con un’ulteriore semplificazione:

Vo||pRMS2 =RF2 if

2τ2τF2

τF2 − τ2 22 ln

τFτ +

τ2 − τF2

τF2+

+2π 2RF2 iff

8 τF2 − τ2 2τ2 2 τF3 − τF2 − τ2 τ − 2τF2τ

+iii

8 CF2 τii2 − τ2 2τii2 τ2 2 τii3 − τii2 − τ2 τ − 2τii2τ

Vo||pRMS2 =RF2𝐢𝐢𝐟𝐟

2τ2τF2

τF2 − τ2 22 ln

τFτ +

τ2 − τF2

τF2+

+2π 2RF2𝐢𝐢𝐟𝐟𝐟𝐟

8 τF + τ 2τ2 2 τF + τ +

𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢8 CF2 τii + τ 2

𝛕𝛕𝐢𝐢𝐢𝐢𝟐𝟐 τ2 2𝛕𝛕𝐢𝐢𝐢𝐢 + τ

Vo||pRMS2τii>>ττF>>τ 𝐢𝐢𝐟𝐟

2τ

CF

2

2 lnτFτ − 1 +

π2

CF2τ2τF 𝐢𝐢𝐟𝐟𝐟𝐟 +

14CF2

τ2 𝛕𝛕𝐢𝐢𝐢𝐢 𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢

�ip2 =iff +

ifff2 +

τii2

1 + ω2τii2iii



Cerchiamo di fare qualche valutazione al riguardo.

• Le sorgenti di rumore considerate sopra danno contributo ad alti valori della costante di tempo di formatura τ, dove però vengono normalmente utilizzati transistori aventi rumore parallelo, quindi con componente di bassa frequenza, trascurabile. Per queste situazioni il risultato ottenuto sopra ha un’influenza marginale;

• Transistori con alto rumore parallelo sono usati in applicazioni a bassi valori di τ, dove i termini sopra indicati hanno poca influenza.

Ovviamente le situazioni intermedie per quanto concerne il valore di τvanno valutate.

Vo||pRMS2τii>>ττF>>τ 𝐢𝐢𝐟𝐟

2τ

CF

2

2 lnτFτ − 1 +

π2

CF2τ2τF 𝐢𝐢𝐟𝐟𝐟𝐟 +

14CF2

τ2 𝛕𝛕𝐢𝐢𝐢𝐢 𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢



Supponiamo che il rumore serie abbia un contributo di rumore 1/f2, oltre che bianco ed 1/f:

Di conseguenza per il rumore RMS abbiamo da risolvere:

eA2 =Afff2 +

τfff2

1 + ω2τfff2Afff


CF

2 2π 2Aff2π

�

0

∞

τ2

1 + ω2τ2 2dω +

+CD + CA + CF

CF

2 τfff2 Afff2π

�

0

∞

ω2τ2

1 + ω2τ2 21

1 + ω2τfff2 dω

�

0

∞

ω2τ2 + 1 − 11 + ω2τ2 2

11 + ω2τfff

2 dω =

= �

0

∞

11 + ω2τ2

11 + ω2τfff

2 dω −�

0

∞

11 + ω2τ2 2

11 + ω2τfff

2 dω

=π

2 τ + τfff−π 2τfff + τ4 τ + τfff 2

=π4

ττ + τfff 2




CF

2

2πτ 2AffInt2|τ +18

τfff2 ττfff2 − τ2

Afff

=CD + CA + CF

CF

2 π2

2 τ𝐀𝐀𝐟𝐟𝐟𝐟 +18

𝛕𝛕𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝟐𝟐 ττ + 𝛕𝛕𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟 2

𝐀𝐀𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟

Spesso si trascurano gli effetti del rumore serie che stiamo considerando ora. Siccome questi effetti sono proporzionali alla costante di tempo di formatura, e questa stessa proporzionalità la si trova nel comportamento del rumore parallelo, di norma si pensa di misurare del rumore parallelo erroneamente più alto di quello aspettato.Di fatto in buoni componenti il rumore 1/f puro è spesso trascurabile, rimanendo invece termini di tipo Lorentziano.

eA2 =Afff2 +

τfff2

1 + ω2τfff2Afff



In definitiva. Le sorgenti di rumore di bassa frequenza sia serie che parallelo del tipo:

Danno luogo al seguente ENC per la formatura CR-RC:

�ip2 =iff +

ifff2 +

τii2

1 + ω2τii2iii eA2 =

Afff2 +

τfff2

1 + ω2τfff2Afff

ENCLF2 =e2

2 τ2 2 ln

τFτ − 1 𝐢𝐢𝐟𝐟 + e

2π2 τ2τF 𝐢𝐢𝐟𝐟𝐟𝐟 +e2

4 τ2 𝛕𝛕𝐢𝐢𝐢𝐢 𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢 +

+ CD + CA + CF 2e2π2

2τ𝐀𝐀𝐟𝐟𝐟𝐟 +

e2

8𝛕𝛕𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝟐𝟐 τ

τ + 𝛕𝛕𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟 2𝐀𝐀𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟



Supponiamo ora di potere realizzare il preamplificatore come composto da più unità di amplificazione in parallelo. Una tale realizzazione sarebbe possibile in modo semplice dal punto di vista circuitale, ma con una interpretazione del tutto simile a quella valutata qualche pagina indietro.

-AnCA

Qi δ(t)

CF

RF

VoAF(ω)

Vo

Filtro CR-RC

Dalla formula generica che fornisce ENC abbiamo che:

Osserviamo che per n → 0 ed n → ∞ ENC → ∞. Nel primo caso per via del rumore serie che diviene troppo elevato. Nel secondo caso sia per effetto del rumore parallelo che cresce che per l’impedenza di ingresso del preamplificatore, che diviene tropo piccola. Esisterà perciò un valore ottimo per n

CD�iD2 n�iA2

⁄eA2 n

F(p) =pτ

1 + pτ 2

ENC2 = CD + CF + nCA 2ατ

esw2

n + βAfn + γ τ

�iD2 + iRf2 + n�iA2

dENC2

dn = 2 CD + CF + nCA CAατ

esw2 + βAf1n +

− CD + CF + nCA 2ατ esw

2 + βAf1

n2 + γ τ�iA2



dENC2

dn = 2 CD + CF + nCA CAατ esw

2 + βAf1n +

− CD + CF + nCA 2ατ esw

2 + βAf1

n2 + γ τ�iA2

= CD + CF + nCAατ esw

2 + βAf2CA

n −CD + CF + nCA

n2 + γτ�iA2

= CD + CF + nCAατ esw

2 + βAf2nCA − CD + CF + nCA

n2 + γτ�iA2

= CD + CF + nCAατ

esw2 + βAfnCA− CD+CF

n2+ γτ�iA2

=nCA 2 − CD + CF 2

n2ατ

esw2 + βAf + γτ�iA2



Da cui:

Con un passaggio algebrico:

Nell’ipotesi che il rumore parallelo sia trascurabile:

Vale a dire che la condizione ottima si ottiene quando l’impedenza dell’amplificatore uguaglia quella del rivelatore (a parte CF che in genere è trascurabile).

Questa condizione, ben nota, implica il massimo trasferimento di potenza dalla sorgente al carico.

dENC2

dn = 0 ⇒nCA 2 − CD + CF 2

n2ατ esw

2 + βAf + γ τ �iA2 = 0

n =CD + CF

CA

ατ esw

2 + βAf

ατ esw

2 + βAf +γ τ �iA2

CA2

nCA = CD + CF


10 CANCELLAZIONE POLO-ZERO

Nell’analisi del segnale del preamplificatore di carica si assume spesso che la costante di tempo di reazione sia molto grande. In realtà esistono situazioni in cui questo non è una buona approssimazione. In queste circostanze può essere utile introdurre degli accorgimenti circuitali che consentano una certa correzione al problema.

Partiamo da quello che ci si aspetta se l’uscita del preamplificatore fosse una integrazione pura:

Al caso reale in cui la costante di tempo del preamplificatore non può essere assunta di valore ∞:

Il valore finito per τFsi traduce nella curva rossa rispetto alla blu: la presenza di una parte del segnale sotto il livello della base ed un allungamento del tempo di risposta.

0 5 10 15 20-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Tempo (µ sec)

Ampi

ezza

(Ar.U

n)

Segnale con τF=Inf

Segnale con τF=10τ

VO(s) =Qi

sCFsτ

1 + sτ 2

VO(s) = QiRF

1 + sτFsτ

1 + sτ 2


………. Cancellazione Polo-Zero 2Le soluzioni circuitali note effettuano quello che si dice una compensazione polo-zero. Ovvero si aggiunge uno zero che eguagli il più possibile la posizione di τF e si aggiunge uno polo nell’origine o avente costante di tempo >> τF.

In un primo esempio la soluzione circuitale cancella il polo dovuto alla rete di reazione e crea una formatura CR-RC.

+

-

Qiδ(t)

CF

RF

R1

C1

R2

R3

+

-R4

R4

C4

Vo

VA VB

ZA

Dunque:

Possiamo a questo punto imporre che sia: CFRF=C1R1, C4R4=C1(R1||R2)=τ:

Perciò abbiamo ottenuto la formatura ideale con un guadagno R3/R2.

ZA = R2 +R1

1 + sC1R1=

R2 1 + sC1R1 + R11 + sC1R1

= R1 + R21 + sC1 R1||R2

1 + sC1R1

VA = −RF

1 + sCFRFQi

VB =RF

1 + sCFRFR3

R1 + R21 + sC1R1

1 + sC1 R1||R2Qi

Vo = −1

sCFsCFRF

1 + sCFRFR3

R1 + R21 + sC1R1

1 + sC1 R1||R21

1 + sC4R4Qi

Vo = −1

sCFR3R2

sτ1 + sτ 2 Qi

CFRFR3R1 + R2

=R3R2

CFRFR2R1 + R2

=R3R2

τ


………. Cancellazione Polo-Zero 3

Considerazione importante riguardo al rumore parallelo della resistenza di reazione.

CF

RF

VACR-RC

Il contributo di RF al rumore parallelo è (β coefficiente del filtro):

Quindi è conveniente fare in modo che RF sia di valore elevato per avere il suo contributo trascurabile. Per questo si pone in genere RF molto grande e si verifica che CFRF>>τ. Tipicamente si ha CFRF ÷100τ, 1000τ

Può risultare comodo porre, CFRF=τ. Bisogna fare molta attenzione al risultato in questo caso. Facciamo un esempio. Con τ=1 µs e RF=1 GΩ, supposto β=1 risulta che ENCP= 25 el.

Ponendo CFRF=τ, ovvero RF=τ/CF, risulta:

�iR2 =4KBT

RF

ENCP2 = βτ4KBT

RF

ENCP2 = β4KBTCF

Con CF=1 pF otteniamo che: ENCP=804 el!

Infatti con τ=1 µs e CF=1 pF risulta che RF= 1 MΩ, ben 1000 volte più piccola.



Facciamo ora qualche considerazione sul rumore della cancellazione polo/zero vista.

Dove con R1,3 intendiamo mettere in evidenza in modo qualitativo il contributo risultante determinato dalle 2 resistenze R1 ed R3. Il loro contributo potrebbe essere ridotto se un amplificatore fosse inserito tra il preamplificatore e la cancellazione polo-zero…

Nella cancellazione si è imposto che CFRF=C1R1. In genere si fa in modo che C1>>CF così che R1 R2. Lo stadio successivo poi avrà un peso minore. Per cui al nodo VC, supposto dominante il rumore serie nel preamplificatore avremo circa:

VC2 ÷CD + CA + CF

CF

2

eA2 + 4KBTR1,3

VC2 ÷CD + CA + CF

CF

2

eA2 +CF

CD + CA + CF

2

4KBTR1,3

+

-Qiδ(t)CF

RF

R1

CD

R2

R3

+

-R4

R4

C4

Vo

VA VB

ZA

CA

eA2 eR1,32

VC



Con l’amplificatore avente guadagno A introdotto il peso del rumore della resistenza R1,3 si riduce di un fattore paria l guadagno. Ovviamente dobbiamo ora tenere conto dell’eventuale rumore dell’amplificatore introdotto.

Il rumore senza amplificatore che abbiamo visto:

VC2 ÷CD + CA + CF

CF

2

eA2 +CF

CD + CA + CF

2

4KBTR1,3

+

-Qiδ(t)CF

RF

R1

CD

R2

R3

+

-R4

R4

C4

Vo

VAVBCA

A

Viene pertanto modificato in:

VC2 ÷CD + CA + CF

CF

2

eA2 +CF

CD + CA + CF

2

eAMP2 +4KBTR1,3

A2

VC

eR1,32


………. Cancellazione Polo-Zero 6In questo secondo esempio la rete di cancellazione cerca semplicemente di sostituire al polo di reazione del preamplificatore una costante di tempo maggiore.

Dunque:

Possiamo a questo punto imporre che sia: CFRF=CARA, ed anche(CA+CB)(RA||RB) =τ’F>>τF:

Qiδ(t)

CF

RF

RA

CARBVA

Vo+

-CB

VA = −RF

1 + sCFRFQi

Vo = −RF

1 + sCFRFRB

1 + sCBRB1

RB1 + sCBRB

+ RA1 + sCARA

Qi

= −RF

1 + sCFRFRB 1 + sCARA

RB + sCARARB + RA + sCBRBRAQi

= −RF

1 + sCFRFRB 1 + sCARA

RB + sCARARB + RA + sCBRBRAQi

= −RF

1 + sCFRFRB

RA + RB1 + sCARA

1 + s CA + CB RA||RBQi

Vo = −RFRB

RA + RB1

1 + s CA + CB RA||RBQi

= −RFRB

RA + RB1

1 + sτF′Qi

Il vantaggio di questa rete, rispetto al caso precedente, è che dipende da un solo parametro, RA, una volta fissati CA, CB e RB, ad un valore intermedio. Quindi con un potenziometro si può ottimizzare la cancellazione.

RB1 + sCBRB

RA1 + sCARA



Il potenziometro ci permette di regolare il valore scelto per RA ad un valore: RA=αR0, con 0≤α≤1. Otteniamo una formula del tipo:

Una considerazione interessante si ha quando α


11 JITTERNei nuovi aggiornamenti previsti ad LHC un aspetto fondamentale sarà la capacità di discriminare eventi spuri, ovvero eventi coincidenti al segnale aspettato ma non utili. Questa capacità discriminante si stabilisce attraverso la coincidenza nell’attraversamento di una coppia di rivelatori, o che vi sia consecutività nello stesso rivelatore entro un intervallo di tempo, oppure, semplicemente, misurare il tempo di volo per potere ricavare informazioni sulla velocità, o situazioni più o meno esotiche.

Tecnicamente, in sostanza, si tratta di potere misurare con precisione differenze temporali tra eventi incidenti.

Siccome i tempi coinvolti sono molto piccoli, dell’ordine del ns, la precisione richiesta nella misura può essere dell’ordine delle decine, centinaia di psRMS.

Avendo il segnale sovrapposto del rumore ci si aspetta un’incertezza che dobbiamo cercare di valutare.

Per caratterizzare la capacità discriminativa non è limitativo supporre di volere misurare l’istante di arrivo del segnale.

Vedremo tra poco che la situazione migliore si ha quando si cerca di individuare il segnale dal fronte di salita, ovvero si considera come istante di arrivo il momento in cui viene superata una data soglia:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t (s) 10 -6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Istante di attribuzione dell’arrivo, tm

Vm

tm


………. Jitter 2

La questione è che il segnale ha sovrapposto del rumore:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t (s) 10 -6

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

t (s) 10 -7

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

Incertezza

Se non ci fosse rumore il valore Vm coinciderebbe con QSf(tm). In presenza di rumore il valore Vm verrà oltrepassato non a tm, ma ad un diverso istante t:

Vm = QSf t + en(t)

Quindi, legare il tempo al rumore non è immediato. Quello che possiamo fare è cercare di rendere il tempo in qualche modo proporzionale alla tensione, cioè linearizzare il problema. Ci basiamo sul fatto che l’incertezza temporale è molto piccola, rispetto al tempo di misura. Per apprezzare l’incertezza attorno al punto di misura possiamo quindi approssimare la nostra funzione al primo ordine.

Vm − QSf t = en(t)

Vm − QSf t2 = en(t)2

tm=istante di superamento soglia in assenza di rumore


………. Jitter 3

Se tm è il tempo di misura:

Tra l’altro, sappiamo come misurare σv, se N(ω) è lo spettro di potenza di en(t):

QSf t = QSf tm + QSf′ tm t − tm

Osservazioni:

Il jitter temporale è proporzionale al rumore;

A parità di rumore, il jitter risulta essere più contenuto in segnali molto veloci, essendo inversamente proporzionale alla derivata del segnale. Per cui conviene certamente andare a individuare il punto di scatto sulla parte più veloce del segnale, dove la derivata

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