Decrementos Múltiples

Matemáticas Actuariales

Facultad de Estudios Superiores Ac

2 Decrementos múltiples

Hasta ahora se ha visto un único decremento, es decir, las

probabilidad de muerte de una persona en edad

decrementos, como se indica en la tabla inferior.

x ( )xlτ

30 1,000

31 940

32 888

33 844

34 809

En este caso se tiene una población sujeta a dos decrementos

( )τ implica que es el total de todos los decrementos, es decir

decrementos a edad x será, (x x xd d dτ

Algunos ejemplos de decrementos pueden ser:

β Muerte por alguna causa en especifico

β Accidente de algún tipo en especifico o cualquier tipo

β Invalidez

β Enfermedad

β Ocurrencia de algún evento

2.1 Enfoque deterministico para decrementos múltiples

( )( )

( )x n

n x

x

lp

l

ττ

τ

+= Pr(de llegar a edad

( )( ) ( )

( )

( )

( )|x m x m n n x m

m n x

x x

l l dq

l l

τ τ ττ

τ τ

+ + + +−= =

Pr(de que x caiga en algún decremento entre edad

( )( )

( )

11 x

x

x

dq

lτ

= Pr(de que x caiga en el

( ) ( ) ( )x a x a al l pτ τ τ

−= Número de individuos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j j

x a x a a x x xd l p q l qτ τ τ

−= =

edad “x” y “x+1”

2.1.1 Algunas formulas útiles

( ) ( ) ( )1 2

x x xq q qτ

= +

( ) ( )1x xp q

τ τ+ =

Matemáticas Actuariales Act. Aszael W. Picazo Sánchez

Acatlán

Hasta ahora se ha visto un único decremento, es decir, las xq han representado siempre la

probabilidad de muerte de una persona en edad x , sin embargo ahora se tendrán más

decrementos, como se indica en la tabla inferior.

( )1

xd ( )2

xd

5 55

6 46

3 41

4 31

- -

una población sujeta a dos decrementos ( )1 y ( )2 , sin embargo el símbolo

implica que es el total de todos los decrementos, es decir, para los que han caído en

) ( ) ( )1 2

x x xd d dτ

= +

decrementos pueden ser:

Muerte por alguna causa en especifico o por cualquiera

Accidente de algún tipo en especifico o cualquier tipo

Ocurrencia de algún evento

para decrementos múltiples

Pr(de llegar a edad x n+ y no caer en ningun decremento)

caiga en algún decremento entre edad x m+ y x m n+ + )

en el decremento (1) entre edad x y 1x + )

Número de individuos de edad “x” que nunca han caído en algún decremento

Número de individuos que han caído en el decremento “j” entre

Act. Aszael W. Picazo Sánchez

Página 1 de 7

han representado siempre la

hora se tendrán más

( )xdτ

60

52

44

35

-

, sin embargo el símbolo

para los que han caído en ambos

decremento

Número de individuos que han caído en el decremento “j” entre



( ) ( ) ( )1 1

|m n x m x n x mq p qτ

+=

2.2 Enfoque probabilistico para decrementos múltiples

Definición: Bajo decrementos múltiples, la fuerza de mortalidad de

de mortalidad de los j-ésimos decrementos, es decir

Demostración

Recuérdese que ( )(Pr |t T x t dt T x t< ≤ + > ≈

decremento j es ( )(Pr |t T x t dt J x j T x t< ≤ + ∩ = > ≈

La v.a. ( )T x ya es conocida, la v.a.

liga la fuerza de mortalidad, en ello radica su calidad de ser discreta siempre.

( ) ( )(Pr 1, 2,..., | Pr |t T x t dt J x n T x t t T x t dt T x t< ≤ + ∩ = > ≈ ≈ < ≤ + >

Se sabe que ( )(Pr |x t

t T x t dt T x tτµ

+= < ≤ + >

Con lo que se concluye ( )x t x t

n

j

τµ µ+ +

=

=∑

Con lo anterior se puede obtener

términos de la fuerza de mortalidad

( )

0

expx x s

t

t p dsττ µ+

= −

∫

2.2.1 Obtención de la función de densidad para un decremento “j”

Definición: La densidad conjunta de las v.a.’s

Demostración

Se partirá de ( )(Pr |t T x t dt J x j T x t< ≤ + ∩ = > ≈

( )( )

( )Pr

/ / Pr | / /Pr

A BA B

B

∩= ⇒

( ) ( )(( )( )

Pr

Pr

t T x t dt J x j

T x t

< ≤ + ∩ =

>

( ) ( )(Pr Prt T x t dt J x j T x t p< ≤ + ∩ = ≈ > =

De aquí se concluye también que

“x” y edad “x+t” será:


Acatlán

para decrementos múltiples

Bajo decrementos múltiples, la fuerza de mortalidad de τ será la suma de las fuerzas

ésimos decrementos, es decir 1

x t x t

nj

j

τµ µ+ +

=

=∑

) ( ) )Pr | x tt T x t dt T x t µ +< ≤ + > ≈ por lo que similarmente p

( ) ( ) )Pr |x t

jt T x t dt J x j T x t µ

+< ≤ + ∩ = > ≈

ya es conocida, la v.a. ( )J x es discreta siempre e indica el decremento al cual s

de mortalidad, en ello radica su calidad de ser discreta siempre.

( ) ) ( )(1

Pr 1, 2,..., | Pr |x t

nj

j

t T x t dt J x n T x t t T x t dt T x tµ+

=

< ≤ + ∩ = > ≈ ≈ < ≤ + >∑

( ) )Pr |t T x t dt T x t= < ≤ + >

1x t x t

nj

j

µ µ+ +

=

∑

Con lo anterior se puede obtener la probabilidad de supervivencia a todos los decrementos

os de la fuerza de mortalidad.

Obtención de la función de densidad para un decremento “j” ( ), ,T J

f t j

La densidad conjunta de las v.a.’s ( )T x y ( )J x será: ( ) ( ), ,

x x tT J tf t j pτ

=

( ) ( ) )Pr |x t

jt T x t dt J x j T x t µ

+< ≤ + ∩ = > ≈

⇒

)x t

jt T x t dt J x j

µ+

< ≤ + ∩ =≈ ⇒

) ( ) ( )( ) ( ) ( )Pr Pr

x t x x t

j j

tt T x t dt J x j T x t pτµ µ

+ +< ≤ + ∩ = ≈ > =

también que la probabilidad de caer en el decremento j-ésimo entre la edad


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será la suma de las fuerzas

por lo que similarmente para el

e indica el decremento al cual se

( ) )Pr 1, 2,..., | Pr |t T x t dt J x n T x t t T x t dt T x t< ≤ + ∩ = > ≈ ≈ < ≤ + >

a todos los decrementos en

) ( )x x t

jf t j p

τ µ+

ésimo entre la edad



( ) ( ) ( )

0x x x s

tj j

t sq p ds

τ µ+

= ∫

2.2.2 Obtención de las funcio

Se conoce que ( )J x es v.a. discreta por lo que para la obtención de la función de densidad

marginal de ( )T x se debe hacer

( )( ) ( ) ,

1

Pr ,n

X X J t

j

T x t f t f t j p=

= = = =∑

Por el contrario, como ( )T x es v.a. continua, entonces la densidad marginal de

obtenerse mediante:

( )( ) ( ) ( )Pr ,

j j j

J x t x X J tJ x j f j q q f t j dt p dt∞= = = = = =

2.2.3 Asociaciones e independencia de los decrementos

Hasta ahora no se ha visto alguna probabilidad de “supervivencia” o “muerte” bajo un j

decremento sin importar los demás decrementos,

Definición: La probabilidad abosuluta de unicamente superar el j

“x” y edad “x+t” sin importar lo que suced

( ) ( )( )´

0exp

x x s

tj j

tp dsµ

+= −∫ y su completo

Definición: La intersección de las probabilidades de superar exclusivamente cada decremento “j”

entre la edad “x” y “x+t”, es igual a la de superar todos los

( ) ( )´

1x x

nj

t t

j

p pτ

=

= ∏

Demostración

Es posible realizar la prueba utilizando el principio de inducción.

Otra forma es partir de

( ) (0 0 0 0 0exp exp ... exp ...

x x s x s x s x s x s x s x s

t t t t t

tp ds ds ds ds dsτ τµ µ µ µ µ µ µ

+ + + + + + += − = − + + + = − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( 1 2 1 2

0 0 0exp ... ...

x s x s x s x x x x

t t t

ds ds ds p p p pµ µ µ+ + +

− − − − = =∫ ∫ ∫Bajo la igualdad anterior y si los decrementos actuan

(suponganse 2 decrementos), entonces es posible general las siguientes funciones de densidad

para cada uno de los dos decrementos.

( ) (1 '1 '2 1

, ,1x x t x x x tT J t t tf t p p pτ µ µ

+ += = i

( ) (2 '1 '2 2

, , 2x x t x x x tT J t t tf t p p pτ µ µ

+ += = i


Acatlán

s funciones de densidad marginales de ( ), ,T J

f t j

es v.a. discreta por lo que para la obtención de la función de densidad

se debe hacer

( ) ( ) ( ),Pr ,

x x tX X J tT x t f t f t j p

τ τµ+

= = = =

es v.a. continua, entonces la densidad marginal de

( ) ( ) ( ) ( ),Pr ,lim x x t

j j j

J x t x X J to o

t

J x j f j q q f t j dt p dtτ µ

+

∞ ∞

→∞

= = = = = =∫ ∫

Asociaciones e independencia de los decrementos

visto alguna probabilidad de “supervivencia” o “muerte” bajo un j

sin importar los demás decrementos, es decir( )´

x

j

t p y ( )´

x

j

t q .

La probabilidad abosuluta de unicamente superar el j-ésimo decremento entre edad

“x” y edad “x+t” sin importar lo que suceda con los demás decrementos es:

completo será ( ) ( ) ( ) ( )´ ´ ´

01

x x x s x

tj j j j

t s tq p ds pµ

+= = −∫

La intersección de las probabilidades de superar exclusivamente cada decremento “j”

entre la edad “x” y “x+t”, es igual a la de superar todos los decrementos.

Es posible realizar la prueba utilizando el principio de inducción.

) (1 2 1 2

0 0 0 0 0exp exp ... exp ...


t t t t tm mp ds ds ds ds dsµ µ µ µ µ µ µ

+ + + + + + += − = − + + + = − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

)1 2 1 2

0 0 01

exp ... ...x s x s x s x x x x

mt t t

m m j

t t t t

j

ds ds ds p p p pµ µ µ+ + +

=

− − − − = = ∏∫ ∫ ∫

Bajo la igualdad anterior y si los decrementos actuan simultaneamente en la población


para cada uno de los dos decrementos.

)1 '1 '2 1

x x t x x x tf t p p pµ µ

+ +

)2 '1 '2 2

x x t x x x tf t p p pµ µ

+ +i


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es v.a. discreta por lo que para la obtención de la función de densidad

es v.a. continua, entonces la densidad marginal de ( )J x podrá

visto alguna probabilidad de “supervivencia” o “muerte” bajo un j-ésimo

ésimo decremento entre edad

La intersección de las probabilidades de superar exclusivamente cada decremento “j”

)1 2 1 2

0 0 0 0 0exp exp ... exp ...


t t t t tm mp ds ds ds ds dsµ µ µ µ µ µ µ

+ + + + + + += − = − + + + = − − − − ⇒∫ ∫ ∫ ∫ ∫

simultaneamente en la población




Con lo que:

( )1

,0

,1x

t

t T Jq f u du= ∫

( )2

,0

, 2x

t

t T Jq f u du= ∫

Actividad: Suponganse dos fuerzas de mortalidad constantes y diferentes una de la otra

como hipótesis, compruebe por contradicción que se cumpl

i. '

x

j j

xq q≥ para 1,2j =

ii. 1 2

x x xq q qτ+ =

2.2.4 Propiedades en decrementos multiples con fuerzas de mortalidad constantes

Para cualquier [ ]0,1t ∈ y una persona en

i. ( ) ( )t

t x xp p

τ τ =

ii. ( )

( )

( )

( )

j j

t x x s

t x x s

q

qτ τ

µ

µ+

+

=

iii. ( ) ( )

( )

´j

x xq qj

t x t xp p

τ =

Demostración

i. Por ser la fuerza de mortalidad constante y por el punto 2.2, entonces es posible

( ) ( )( 0 0

exp exp expt t

t x x s x x xp ds ds t t p

τ τ τ τ τµ µ µ+= − = − = − =∫ ∫Si del resultado anterior

Por lo que ( )

expt

x xp

τ τ = −

( ) (( ) (( ) ( )

( )( ) (

ln ln exp

ln ln exp

ln

exp ln exp

t

x x

t

x x

t

x x

t t

x x t x x

p

p t

p t

p t p p

τ τ

τ τ

τ τ

τ τ τ τ

µ

µ

= −

= −

= −

= − = =

ii. Bajo fuerza de mortalidad constante y del punto 2.2.1

0 0x x x s x x

t tj j j

t s sq p ds p dsτ τµ µ

+= =∫ ∫


Acatlán

Suponganse dos fuerzas de mortalidad constantes y diferentes una de la otra

pruebe por contradicción que se cumple lo siguiente.

Propiedades en decrementos multiples con fuerzas de mortalidad constantes

persona en edad “x”

( )x xq q

τ

Por ser la fuerza de mortalidad constante y por el punto 2.2, entonces es posible

) ( )( ) ( )( ) ( )( )0 0

exp exp expt t

t x x s x x xp ds ds t t p

τ τ τ τ τµ µ µ= − = − = − =∫ ∫

Si del resultado anterior se supone 1t = , entonces ( ) ( )( )expx xpτ τµ= −

( )( )expt

x x

τ τµ = −

( ) )( ) )

( ) ) ( ) ( )exp ln exp

t

x x

x x

t t

x x t x xp t p p

τ τ

τ τ

τ τ τ τ

µ

µ

µ

= −

= −

= − = =

Bajo fuerza de mortalidad constante y del punto 2.2.1, x

j

t q es posible definir como

0 0x x x s x x

t tj j j

t s sq p ds p dsτ τµ µ∫ ∫ de manera similar

0 0x x x s x x

t t

t s sq p ds p dsτ τ τ τ τµ µ

+= =∫ ∫


Página 4 de 7

Suponganse dos fuerzas de mortalidad constantes y diferentes una de la otra, con esto

Propiedades en decrementos multiples con fuerzas de mortalidad constantes

Por ser la fuerza de mortalidad constante y por el punto 2.2, entonces es posible hacer

es posible definir como

0 0x x x s x x

t t

t s sq p ds p dsτ τ τ τ τµ µ= =∫ ∫



Por lo que

( )

( )0

0

x x

x x

tjj

t x

t

t x

q

qτ τ τ

µ

µ= = =

∫

∫

iii. Tomando como partida la definición del punto 2.2.3 y la

( ) ( )( )´

0exp exp

x x s x

tj j j

tp ds tµ µ

+= − = −∫

Por lo que

( )( )( )

´ln

ln

x

x

j

t

t

p

pτ

=

( )( )( )

( )

( )

´ln

ln

x x

xx

j j jt

x

xt

p q

qpτ ττ

µ

µ= =

2.2.5 Propiedades en decrementos multiples con

Para cualquier [ ]0,1t ∈ y una persona en edad “x”

i. x x t x

j j

t p qτ µ+

= o lo que es lo mismo

ii. ( )

( )

( )

( )

j j

t x x s

t x x s

q

qτ τ

µ

µ+

+

=

iii. ( ) ( )( ) ( )

´j

x xq qj

t x t xp p

τ

τ =

iv. Bajo dos decrementos, q q

v. Bajo tres decrementos q q

Demostración

i. Por el punto 2.2.1 se conoce

sabe que para un sólo decremento

similar cuando se trabaja con

( )( )

, ,, ' ,

x t

T J T Jj

T T T

f t j F t j

S t S t F tµ

+= = =


Acatlán

0

0

x x x x s

x x sx x

tj j

s

t

s

p ds

p ds

τ

τ ττ τ

µ µ

µ µ+

+

= = =∫

∫

Tomando como partida la definición del punto 2.2.3 y la fuerza de mortalidad constante

) ( )( )exp expx x s x

j j jp ds tµ µ= − = − de manera similar para exp

x xt p tτ τ= −

x

x

jt

tτ

µ

µ

−=

− suponiendo 1t = y utilizando (ii), entonces

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )´ ´ln ln

j jx x

x xx x x x

q qj j

q qt t t tp p p p

τ ττ τ⇒ = ⇒ =

Propiedades en decrementos multiples con fuerzas de mortalidad uniforme

y una persona en edad “x”

o lo que es lo mismo 1

x

x t

x

j

jq

tqτ

µ+

=−

para 1t ≠

( )'2

1 '1 12

xx x

qq q

= −

y respectivamente para

( )2

xq

( ) ( ) ( )'2 '3 '2 '3

1 '1 12 3

x x x x

x x

q q q qq q

+ = − +

se conoce la densidad conjunta ( ) ( ) ( ), ,

x x t

j

T J tf t j pτ µ

+=

lo decremento se tiene ( )( )

( )( )

( )'

1x t

TT T

T T T

F tf t F t

S t S t F tµ

+= = =

−

similar cuando se trabaja con decrementos múltiples, de la siguiente

( )( )

( )

( )

,, ,

,, ' ,

1

T JT J T J

T T T

dF t jf t j F t j dt

S t S t F t= = =

−, resolviendo las derivadas


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fuerza de mortalidad constante

( )expx x

p tτ τµ= −

fuerzas de mortalidad uniforme

, además ya se

)

( )T T T

dF t

dt

S t S t F t , lo cual es

siguiente forma

, resolviendo las derivadas y conociendo



que por ser uniforme se cumple

( )x t

jjx

j x

t x t x

dt q

qdt

p pτ τ

µ+

= =

ii. Utilizando (i) se tiene t x x x s

t x x x s

q q

q q

iii. Tomando como partida la definición del punto 2.2.3, la fuerza de mortalidad uniform

punto (i) se tendrá

( ) ( )´

0 0exp exp exp ln 1 exp ln

x x s

t tj j

t x t xp ds ds tq pµ+

= − = − = − =

∫ ∫

( ) ( )´exp ln exp ln

x

jj x

t t x t x t x

x

qp p p p

q

τ τ τ

τ

= = =

iv. Se deja como actividad.

v. Del punto 2.2.1 se sabe que

( ) ( )´

1x x

nj

t t

j

p pτ

=

= ∏ y que

distribución uniforme, se cumple

integral de la forma siguiente

( )(1

1 '1 '2 '3 '1

01 1

x x x x xq q tq tq dt q t= − − = − +∫

( ) ('2 '3 '2 '3 2

1 '1

3 2x

x x x x

x

q q q q tq q

= − +

Referencias Bibliograficas

Casella, G., & L. Berger, R. (2002).

Academic Resource Center.

Eric V. Slud, Mathematics Department. (2001).

University of Maryland: College Park, Maryland.

Hassett, M. J. (2009). Actex Study Manual for Exam MLC SOA.

Actuaries.

Jr., C. W. (1967). Life Contingencies.


Acatlán

que por ser uniforme se cumple / / / /t x xq tq

τ τ= ⇒

( )

( )

,,

1x t

T J t xj

T t x

d dF t j q

dt dt

F t pµ

+= =

−

⇒ 1x t x t

jj j jx

t x x

x

qp q

tq

τ

τµ µ

+ += ⇒ =

−

( )

( )

( )

( )

( )

( )x t

x t

jj j js xt x x x s

s xt x x x s

pq q

pq q

τ

τ ττ τ τ

µ µ

µ µ+

+

+

+

= = =

Tomando como partida la definición del punto 2.2.3, la fuerza de mortalidad uniform

( )0 0

exp exp exp ln 1 exp ln1

j j jt t

x x xt x t x

x x x

q q qp ds ds tq p

sq q q

τ τ

τ τ τ

= − = − = − =

− ∫ ∫

( ) ( )exp ln exp ln

j jx x

x x

q q

q qt t x t x t xp p p p

τ ττ τ τ

= = =

Del punto 2.2.1 se sabe que ( ) ( ) ( )

0x x x s

tj j

t sq p ds

τ µ+

= ∫ y del 2.2.3 también se conoce que

y que ( ) ( ) ( ) ( )´ ´ ´

01

x x x s x

tj j j j

t s tq p ds pµ+

= = −∫ , además por suponer

distribución uniforme, se cumple / / / /t x xq tq

τ τ= por lo que es posible reescribir la primer

integral de la forma siguiente 1

1 '1 '2 '3 1

0x x tt x t x t xq p p p dt= ∫

)( ) ( )

1'2 '3 3 '2 '3 2

1 '1 '2 '3 '1

0

2 3

6 6

x x x x

x x x x

q q t q q tq q tq tq dt q t

+ = − − = − + ⇒

)'2 '3 '2 '3 2

13 2

x x x xq q q q t +

= − +

L. Berger, R. (2002). Statistical Inference. Pacific Grove, CA: Thomson Learning

Eric V. Slud, Mathematics Department. (2001). Actuarial Mathematics and Life-Table Statistics.

University of Maryland: College Park, Maryland.

Actex Study Manual for Exam MLC SOA. Schaumburg, Illinois: Society of

Life Contingencies. Chicago, Illinois: Society of Actuaries.


Página 6 de 7

)

j

T J t x

T t x

d dF t j q

dt dt

F t pτ

= = ⇒

Tomando como partida la definición del punto 2.2.3, la fuerza de mortalidad uniforme y el

( )exp exp exp ln 1 exp lnj j j

x x x

t x t x

x x x

q q qp ds ds tq p

sq q q

τ τ ⇒

y del 2.2.3 también se conoce que

, además por suponer

por lo que es posible reescribir la primer

1 '1 '2 '3 1

x x tt x t x t xq p p p dtµ+

⇒

⇒

Pacific Grove, CA: Thomson Learning

Table Statistics.

Schaumburg, Illinois: Society of



Jr., N. L. (1997). Actuarial Mathematics.

Li, J. (2012). Actex MLC Study Manual.

Stephen G. Kellison, Georgia State University. (2000).

Mc Graw-Hill.


Acatlán

Actuarial Mathematics. Schaumburg, Illinois: Society of Actuaries.

Actex MLC Study Manual. Schaumburg, Illinois: Society of Actuaries.

Stephen G. Kellison, Georgia State University. (2000). The Theory of Interest. Boston, Burr Ridge II:


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Boston, Burr Ridge II:

Decrementos Múltiples

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