Ondas Estacionarias

Ondas Estacionarias

φ(t) = A sen (kx - ωt) + A sen (kx + ωt) pero: senα + senβ = 2sen[(α+β)/2].cos[(α−β)/2]

φ(t) = 2A sen(kx) cos(ωt)

φ(t) = A(x) cos(ωt); con... A(x) = 2A sen(kx)

x

x

A(x)Nodo

Vientre o antinodo

xA(x) = 2A sen(kx)

Nodo: kx = nπ, n = 0, 1, 2, ...

x = n λ /2

Vientre: kx = nπ + π/2, n = 0, 1, 2, ...

x = (n + ½) λ /2

Ondas Estacionarias en una Cuerda

L

x

y

φ(t) = A(x) cos(ωt); con... A(x) = 2A sen(kx)

Condiciones de borde (o frontera): A(0) = A(L) = 0

A(x=L) = 2A sen(kL) = 0

kL = nπ λ = 2L/n = 2L, L, 2L/3, ...

fn = n f1; f1 = c/2L =12L

Τµ

Fundamentaly Armónicos

Características del Sonido

• Intensidad (amplitud)

• Altura o Tono (frecuencia fundamental)

• Timbre (armónicos)

Sonido vs. RuidoLA universal: 440 Hz

Las Notas Musicales

Las notas se repiten (octavas)

a frecuencias múltiples. Por

ejemplo:

• LA fundamental: 440 Hz

• LA anterior: 220 Hz

• LA posterior: 880 Hz

Hz

Las Notas Musicalesforman parte de una Escala

Existen varias escalas musicales

LA

Ejemplo: Escala Diatónica

Pulsación de Ondas

φ(x,t) = A sen (k1x - ω1t) + A sen (k2x - ω2t) pero: senα + senβ = 2sen[(α+β)/2].cos[(α−β)/2]

x

En un punto x0: MAS de f diferentes ω1

ω2x(t) = A(t) sen(ωpt)

con A(t) = 2A.cos(∆ωt/2)

x(t) = A(t) sen(ωpt)

con A(t) = 2A.cos(∆ωt/2)] ω2 ~ ω1

A(t)x

t

Tp=2π/ωp

T = 2π/∆ω = 1/(f2 – f1) = 1 / fbPulsación o Batido

Reflexión de Ondas

c = ΤµEn una cuerda:

c1

c1c2

Si µ2 = ∞ (pared)R = -1

c1 > c2

(desfasaje de π)

Coeficiente de Reflexión:

R = Ai/Ar = (v2 – v1)/(v2+v1)

Ai

AtAr

-1 ≤ R ≤ 1

Reflexión de Ondas

c = ΤµEn una cuerda:

c1

c2c1

Si µ2 = 0 (extremo libre)

c1 < c2

R = 1

Coeficiente de Transmisión:T = Ai/At = 2v2 / (v2+v1)

T = R + 1

0 ≤ T ≤ 2

v t c t

pA

(p+∆p)ApA

Sonido como Onda de Presión

B = V∆V

-∆P = -∆Pc tv t

= -∆Pcv

∆P(t) = -B cv(t)

Onda de Presión

Enrarecimientomínimo de presión

vientre de desplazamiento

Compresiónmáximo de presión

nodo de desplazamiento

Fluido

φ = A sen (kx - ωt + δ) ... onda de desplazamiento

v = ∂φ / ∂t = - ω A cos (kx - ωt + δ)

∆P(t) = Bc

ω A cos (kx - ωt + δ)

∆P(t) = AP cos (kx - ωt + δ)

Tubo sonoro abierto

L

Al igual que con una cuerda, seforman ondas estacionarias y aparecen:

(i) una onda fundamental y(ii) sus correspondientes armónicos.

∂2φ∂t2

∂2φ∂x2 = 1

c2

PresiónAtmosférica

φ(x,t) = P(x) cos(ωt); con... P(x) = 2P0 sen(kx)

P(x=0) = P(x=L) = nodo de presión

kL = nπ λ = 2L/n = 2L, L, 2L/3, ...

Tubo sonoro cerrado

Nodo de Presión

L

∂2φ∂t2

∂2φ∂x2 = 1

c2

φ(x,t) = P(x) cos(ωt); con... P(x) = 2P0 sen(kx)

kL = (2n+ 1) π/2

λ = 4L / (2n+1) = 4L, 4L/3, 4L/5 ...

Nodo de Desplazamiento

P(x=0) = nodo de presiónP(x=L) = vientre de presión

f1 = c/4L ... frecuencia fundamental

fn = n f1 ... solo hay armónicos impares !

Teorema de Fourier

)2cos()2sen(2/)()(11

0 nftbnftaaTtftfn

nn

n ππ ∑∑∞

=

∞

=

++=−=

Dominio del Tiempo <===> Dominio de la Frecuencia

sen(2π nft) dttfΤ

0∫= )(2Tan

cos(2π nft) dttfΤ

0∫= )(2Tbn

Series de Fourier

Función Periódica: fT(t) = fT(t+T)

t

A

1

fT(t) = At ... 0 < t ≤ 1

n

f

fT(t) = A A2 π ∑

n=1

∞sen(πn)

n sen(2 nt)π

T=1 s f =1 Hz

Transformada de Fourier

V

t

f(t)

dwwFtf ejwt

∫∞

∞−= )()( 2

1π

w = 2πf

dttfwF e jwt−∞

∞−∫= )()(

OsciloscopioOsciloscopio

Analizador de EspectroAnalizador de Espectro

http://www.cetear.com/acustica.htmCapítulo 4

Acústica Arquitectónica

Eco

Resonancia

Onda reflejada que llega al menos 100 msDespués que la onda primaria.

X = 2d ≥ c t = 340 . 0,1 = 34 m

d ≥ 17 m

Sobreamplificación irregular de algunas frecuencias sonoras, por coincidir con frecuencias naturales de oscilación de una sala.

ReverberaciónPermanencia del sonido en una sala, aundespués de interrumpida la fuente, debidoa refrexiones múltiples de la onda sonora.

Tiempo de ReverberaciónTiempo que tarda el nivel sonoro de una salaen atenuarse 60 dB respecto al nivel inicial.

El tiempo óptimo de reverberación está entre 1,5 y 2,5 s.Ejemplos:• Boston Symphony Hall: 1,8 s• New York Carnegie Hall: 1,7 s• Viena Musikvereinsaal: 2,05 s

Coeficientes de Absorción: αα = 0,161

VS T

Fórmula de Sabine

0,30Alfombra0,01Mármol /azulejo0,06Parquet0,04Ladrillo0,02HormigónαMaterial

1,03Poliuretano1,00Ventana abierta0,90Lana de vidrio0,75Cortina fruncida0,17Cortina 338 g/m2

αMaterial

Fórmula de Sabine para cálculodel tiempo de reverberación

T = 0,161 Vαi SiΣ

Ejemplo:Sea una sala rectangular de 4m x 6m y 3m de alto, conParedes de ladrillo, piso de parquet y techo con poliuretano.Calcular el tiempo de reverberación.

V = 4 x 6 x 3 = 72 m3

αi SiΣ = 0,04 x 3 (4+6+4+6) + 1,03 x 4 x 6 + 0,06 x 4 x 6

T ~ 4,56 s > 2,5 s ... por lo que se deberán usar cortinas