TRIGONOMETRÍA 1º BACHILLERATO 1) Demuestra las siguientes igualdades:

a) ααα ecg cosseccot =⋅

αααα

ααα ec

senseng cos

1

cos

1cosseccot ==⋅=⋅

b) αααα sentg ⋅=− cossec

αααα

α

α

α

α

αα

ααα sentgsen

sensen⋅=⋅==

−=−=−

coscoscos

cos1cos

cos

1cossec

22

c) αα

αα sec

cos

cot1 22 =

+⋅

gsen

αααα

αα

αα

α

αα sec

cos

1

cos

1

cos

cos

cos

cot12

22

22

2 ==⋅

⋅=⋅=+

⋅sen

senec

seng

sen

d) αββα

22

221

1

1

1sensen

tgtg−=

+−

+

( ) ( ) αββαβαβαβα

222222

222211coscos

sec

1

sec

1

1

1

1

1sensensensen

tgtg−=−−−=−=−=

+−

+

e) 1cos2cos 244 −=− ααα sen

( ) ( )( ) 1cos2cos1coscos

coscoscos

22222

222244

−=−−=−=

=−⋅+=−

ααααα

αααααα

sen

sensensen

2) Comprueba si son ciertas las siguientes igualdades

a) αααα

ααseccot

cos

cos+=

⋅

+g

tg

tg

αααα

α

αα

α

α

α

αα

αα

α

αα

α

αα

αα

ααseccot

cos

1coscoscoscoscos

coscos

coscos

cos

cos+=+=+=

+=

⋅

+=

⋅

+g

sensen

sen

sensen

sen

sen

sen

tg

tg

b) αααα 2222 sentgsentg ⋅=−

( )=

−⋅=

⋅−=−=−

α

αα

α

αααα

α

ααα

2

22

2

2222

2

222

cos

cos1

cos

cos

cos

sensensensen

sensentg

αααα

α

α

αα 222

2

2

2

22

coscossentgsen

sensensen⋅=⋅=

⋅=

c) 1cos

cos222 −

=−

⋅

α

α

αα

αα

tg

tg

sen

sen

( ) αα

αα

ααα

αα

α

ααα

α

α

αα

α

α

α2222

2

2

22

2

22 cos

cos

coscos

cos

cos

cos

cos

1cos

cos

1 −

⋅=

⋅−

⋅=

−=

−

=− sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

tg

tg

Departamento de Matemáticas

d) αααα 2222 seccos =++ tgsen

ααααα 22222 sec1cos =+=++ tgtgsen

3) Simplifica las siguientes expresiones:

a)

( ) ( )

( ) ( )απαα

απαπ

απ

−⋅−⋅

+⋅

−⋅−

2cos1

2cos

2

2

sensen

tgsen

( ) ( )

( ) ( ) ( )α

ααα

α

α

α

ααα

ααα

απαα

απαπ

απ

seccos

1cos

2cos1

2cos

2

2

2

2

−=−=−=−=−⋅

⋅⋅=

−⋅−⋅

+⋅

−⋅−

sen

sen

sen

tg

sensensen

tgsensen

sensen

tgsen

b) ( )( )απ

απ

απαπ

+

−

−−⋅

−

cos

2

2

sen

tgtg

( )( )

( ) 011cos

coscot

cos

2

2=+−=

−−−⋅=

+

−

−−⋅

−

α

ααα

απ

απ

απαπ

tggsen

tgtg

c) ( ) ( )

( )α

α

ααcos

º90

º180º90⋅

−

+⋅−

sen

tgtg

( ) ( )( )

1coscos

1cos

cos

cotcos

º90

º180º90=⋅=⋅

⋅=⋅

−

+⋅−α

αα

α

ααα

α

αα tgg

sen

tgtg

d)

( ) ( )

( )

−⋅−

−−−⋅++−

απ

απ

απ

απαπα

22

2coscos1

22

22

tgtg

tgtg

( ) ( )

( )

( )α

α

αα

αααα

απ

απ

απ

απαπα2

2

22

22

22

22

1

0

cot)(

22

2coscos1

tgtg

gtg

sentgtgsen

tgtg

tgtg

−=−

=⋅−

−−⋅+=

−⋅−

−−−⋅++−

e)

( )

( ) ( ) ( )απαπα

απ

απ

−⋅−⋅−

−⋅+

2cot1cos

2cos

2 gtg

sen

( )

( ) ( ) ( ) ( )1

12cot1cos

2cos

2

2

22

=

−

−=

−⋅−⋅−

⋅−=

−⋅−⋅−

−⋅+

α

αα

α

ααα

αα

απαπα

απ

απ

tg

tgsen

sen

tgtgsen

sensen

gtg

sen

f) ( ) ( )

( )αα

αα

−⋅

−⋅−

º180cossec

º360cotº180 gtg

( ) ( )( ) ( )

11

1

coscos

1

1

º180cossec

º360cotº180−=

−=

−⋅

−⋅−

=−⋅

−⋅−

αα

αα

αα

αα tgtg

gtg

4) Sabemos que 2−=αtg y que α es del segundo cuadrante. Halla el seno, el coseno y la tangente de α , 180º-α y 360º-α

2−=αtg II∈α 521sec 22 =+=α

5

52

5

2

5

4

5

11

5

11

5

5

5

1cos5sec

2

===−=

−−=→−=−=→−= ααα sen

5) Sabiendo que 35,0=αsen y que α es un ángulo del primer cuadrante calcula: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )αααααα +−+−+− º360cosº360º90º90º180cosº180 sensensensen

9367,035,01cos35,0 2 =−=→∈= ααα Isen

( )( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) 9367,0cos360cos

35,0360

9367,0cos9090180

901801809018090

9367,0cos90

9367,0cos180cos

35,0180

==+

−=−=−

==−=−−

=+−=−++=+

==−

−=−=+

==−

αα

αα

ααα

ααα

αα

αα

αα

sensen

sensen

sensensen

sen

sensen

6) Sabiendo que 32=αtg y que α es un ángulo del primer cuadrante calcula: ( ) ( ) ( ) ( )αααααα −−+− º360º180cosº180cosº90 tgsentgsen

( )

( )

( ) 2360

5

5cos360cos

5

52360

=−=−

−==−

−=−=−

αα

αα

αα

tgtg

sensen( )

( )

( ) 2180

5

5cos180cos

5

52180

=−=−

=−=−

==−

αα

αα

αα

tgtg

sensen

( )

( )13

133cos180cos

2

3cot90

13

132

−=−=+

==−

=

αα

αα

α

gtg

sen

( )

( )3

2360

13

132180

13

133cos

−=−=−

==−

=

αα

αα

α

tgtg

sensen

13

132

13

2

13

4

13

91

13

133

13

3cos

13

9cos

9

13

3

21sec

3

2 2

2

2

===

−=

==→=→=

+=→∈=

α

ααααα

sen

Itg

7) Sabiendo que βα y son dos ángulos del tercer cuadrante tales que ysen 53−=α

51cos −=β , calcula: ( )βα +sen ; ( )βα −cos ; ( )βα +tg ; α2cos ; ( )β2º180 −tg ;

−2

º90α

sen

4

3

5

4

25

16

25

91cos

5

3=→−=−=−−=→∈−= αααα tgIIIsen

245

24

25

24

25

11

5

1cos =→−=−=−−=→∈−= ββββ tgsenIII

8) Si 2143 == βα tgytg y ambos son del tercer cuadrante, calcula: ( )βα +sen ; ( )βα −cos ;

−2

º90α

sen ;

5

3

25

9

25

161;

5

4cos

16

25

4

31sec

4

32

2 −=−=−−=−=→=

+=→∈= ααααα senIIItg

5

5

5

1

5

41;

5

52

5

2

5

4cos

4

5

2

11sec

2

12

2 −=−=−−=−=−=−=→=

+=→∈= βββββ senIIItg

( )

( )

( )2434

2443

4

2431

244

3

1

25

2434

5

24

5

3

5

1

5

4coscoscos

25

2443

5

4

5

24

5

1

5

3coscos

−

+=

−

+=

⋅−

+=+

+=

−

−+

−

−=⋅+⋅=−

+=

−

−+

−

−=⋅+⋅=+

βα

βαβα

βαβαβα

αββαβα

tgtg

tgtgtg

sensen

sensensen

( )

IIIIIsen

tg

tgtgtg

sen

∈→∈−

=−=−

−=+

−==

−

=−

−=−

−=−=−

=−=−=

210

10

10

1

2

5

41

2

cos1

2cos

290

23

242

241

242

1

222180

25

7

25

9

25

16cos2cos

2

22

αα

ααα

β

βββ

ααα

( )

( )

∈→∈−=−=

−

−+

−==

−

=+

=

−

−+

−

−=⋅+⋅=−

==+

=

−

−+

−

−=⋅+⋅=+

IIIIIsen

sensen

sensensen

210

10

10

1

2

5

41

2

cos1

2cos

290

25

511

25

5358

5

5

5

3

5

52

5

4coscoscos

5

52

25

510

25

5456

5

4

5

5

5

52

5

3coscos

αα

ααα

βαβαβα

αββαβα

9) Si se sabe que cos a=-0,8 y que 180º<a<360º hallar sen(360º-a); sen2a; tg(180º-a/2)

10) Sabiendo que cos 53º=0,6 halla tg 37º y cos 143º sin calculadora

11) Sabiendo que tg a=0,75 y que 180º<a<360º halla sen2a; cos a/2; tg(180º-2a)

12) Halla sen 3a sabiendo que sen a=0,2

13) Halla cos 3a sabiendo que cos a=-0,8

( )( )( )

( )( )

∈→∈===

−+

−−=

+

−−−=−=

−

=−−=⋅=

=−=−

IIa

IIIaa

aatg

atg

asenaasen

senaasen

239

2,0

8,1

8,01

8,01

cos1

cos1

22180

96,08,06,02cos22

6,0360

( ) 6,036,064,018,018,0cos2

−=−=−−=−−−=→∈−= senaIIIa α

( )3

4

6

8

6,0

8,0º538,064,036,016,01º536,0º53cos

2===→==−=−=→= tgsen

( ) 8,0º53º37cosº37º180cos143cos

75,04

3º53)º53º90(º37

−=−=−=−=

===−=

sen

cogtgtg

( )

6,064,01;8,064,05625.1

1cos

5625,175,01sec75,022

−=−−=−=−=−=

→=+=→∈=

αα

α

sen

IIIatga

( )( )

( ) 4285,34375,0

5,1

75,01

75,02

1

222180

23162,0

2

8,01

2

cos1

2cos

96,08,06,02cos22

22−=−=

−

⋅−=

−−=−=−

∈→∈−=

−−=

+−=

=−−=⋅=

atg

tgaatgatg

IIa

IIIaaa

asenaasen

( ) ( )

( ) 568,0008,0576,02,096,02,033

9797,096,004,01cos2,0

cos3coscos2

coscoscos22coscos223

3

32322

22

=−=+⋅⋅=

±=±=−±=→=

−⋅⋅=−⋅+⋅=

=−⋅+⋅⋅=⋅+⋅=+=

asen

aasen

asenaasenasenaasenaasen

asenaasenaaasenaasenaasenaasenasen

( ) ( )( )

( ) 352,0864,0512,08,036,038,03cos

6,036,064,018,0cos

cos3coscos2coscos

cos2coscos2cos2cos2cos3cos

3

23222

22

−=−=⋅⋅−=

±=±=−±=→=

⋅⋅−=⋅−−=

=⋅⋅⋅−⋅−=⋅−⋅=+=

a

asena

aasenaaasenaasena

asenaasenaasenaasenasenaaaaa

14) Si sen a=0,6 y 90º<a<180º calcula sen2a; tga/2; sen(a+30º); cos(a-60º)

15) Demuestra las siguientes igualdades

a)

+

=

21

22

2 α

α

α

tg

tg

sen

αααα

α

αα

α

α

α

α

α

α

α

sensensensen

sen

tg

tg

tg

=⋅=⋅=⋅

=

⋅

=

=

+

)2

2(2

cos2

2

2cos

2cos

22

2cos

12

cos

22

2sec

22

21

22 2

2

22

b)

+

−

=

21

21

cos2

2

α

α

α

tg

tg

αααα

α

α

αα

α

α

α

α

α

α

α

cos2

2cos22

cos

2cos

12

cos

22cos

2cos

12

cos

21

2sec

21

21

21

22

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

=⋅=−=

−

=

−

=

−

=

+

−

sen

sensen

tg

tg

tg

16) Simplifica todo lo posible las expresiones:

a) ( )

( )aec

asenaasen

a

asen

a

aasen

aa

asenasen

aacos2

1

2

1

cos2

cos

2

cos

4cos22

cos4cos2

62

5cos3cos−=

−=

⋅−=

−=

⋅−

−⋅=

−

+

b)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

αα

αα

α

αα

αα

αα

ααααα

αα

tgsen

sen

sen

sensen

sen

sensensen

sen

asenaasen

asen

2cos

cos2

1

cos2

11

cos2

12

cos2

22

cos2

cos2

12cos2

2

22

222

=⋅

=−

⋅=

=+⋅−

⋅=

+

⋅−+

⋅=

+−

c) ( ) ( )

agaecasen

a

asenasen

a

aasen

aaasen

a

a

a

asencot2cos2

cos2

12

cos12

cos

cos1cos2

cos

cos1

cos1

222

+=⋅+⋅=+

=⋅

+⋅⋅=

+⋅

−

( )4

3

8

68,064,06,01cos6,0

2−=−=→−=−=−−=→∈= tgaaIIasen α

( )( )

( )( )

( )

( ) 33,04,02

36,0

2

18,0º60º60coscosº60cos

4,033,08,02

1

2

36,0cosº30º30cos)º30(

239

2,0

8,1

8,01

8,01

cos1

cos1

2

96,08,06,02cos22

⋅+−=⋅+⋅−=⋅+⋅=−

−=−⋅+⋅=⋅+⋅=+

∈→∈===

−+

−−=

+

−+=

−=−=⋅=

senasenaa

asenasenasen

Ia

IIaa

aatg

asenaasen

d) ( ) ( )

asena

aasen

a

asen

a

asen

aa

aasen

aa

asenasen2

cos

cos2

cos

2

cos

2

cos3cos2

3cos22

2cos4cos

5−=

⋅−=

−=

−=

⋅

⋅−=

+

−

e) ( ) ( )

( )asen

ag

agasen

ag

atgasen=

−

⋅−=

−

−⋅+

cot

cot

º180cot

º90º180

f) aaasen

aasenaasen

a

asen

asen

asencos4

cos

cos2cos2

cos

2222

=⋅

⋅⋅⋅=⋅

g) ( )( ) ( )

agasen

a

asenasen

aasen

aa

asenasencot

cos

32

cos32

4cos2cos

42=

−−=

−⋅−

−⋅=

−

+

h)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

( )( )

atgaa

aasen

aa

asenasen

aaa

asenasena

aaaa

aasenaasen

aaaa

asenasenasenasen

42cos4cos2

2cos42

6cos2cos

62

6cos2coscos2

62cos2

cos6cos2cos2cos2

cos62cos22

7cos5cos3coscos

753

=−⋅

−⋅=

+

+=

+−

+⋅−

=−⋅+−⋅

−⋅+−⋅=

+++

+++

i) ( ) ( ) aasenaasenaasenaasena 2coscoscoscoscos 22222244 =−=−⋅+=−

j) ( )

asena

aasen

a

asen

aasen

asenasen

asenasen

aa2

cos

cos2

cos

2

cos32

232

42

cos5cos−=

⋅−=

−=

−⋅

⋅−=

+

−

k)

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )btg

b

bsen

basen

bsenasen

babababasen

babasen

babasen

basenbasen

baba

=−−

=−⋅

−⋅−

=+−−

⋅++−

+−−⋅

++−−

=−++

+−−

coscos2

2

2cos

22

2

)(

2

)()(2

coscos

l)

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

αα

α

α

α

α

αααα

αα

αα

α

α

α

α

α

α

α

α

221

22

1

4

1

2121

11

11

1

1

1

1

º451

º45

º451

º45º45º45

222

2222

tgtg

tg

tg

tg

tg

tgtgtgtg

tgtg

tgtg

tg

tg

tg

tg

tgtg

tgtg

tgtg

tgtgatgatg

=−

⋅=−

=−

−+−++=

+⋅−

−−+

=+

−−

−

+=

⋅+

−−

⋅−

+=−−+

17) Comprobar las siguientes identidades:

a) ( ) ( ) abbasenbasen 22 coscos −=−⋅+

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )abbaabab

abbaabsenbasen

absenbasenabsenbasenbasenbasen

22222222

22222222

coscoscoscoscoscoscoscos

coscos1coscos1coscos

coscoscoscos

−=⋅+−⋅−

=⋅−−⋅−=−

=+⋅+=−⋅+

b) aecactgtga 2cos2=+

aecsensen

sensentgtg

tg

tgtgactgtga

2cos22

2

cos2

2

cos

1

cos

cos

1

sec11 222

==⋅

=⋅

===+

=+=+

ααα

αα

α

αα

α

α

α

α

αα

c) aecagatgag 2cos2cot4cot 22 ⋅=− (Los llamamos (1)=(2))

( )( ))3(

cos

cos

cos

coscos

cos

cos

cos

coscot)1(

22

22

22

2222

22

44

2

2

2

222

=⋅

−=

⋅

−+

=⋅

−=−=−=

aasen

asena

aasen

asenaasena

aasen

asena

a

asen

asen

aatgag

)3(cos

coscos1

1

coscos

1

cos

1

cos2

1

1

2

4

2

1

2

42cos2cot4)2(

22

22

2

2

2

2

22

2

2

=⋅

−=

−

=−

=

⋅⋅

−

=⋅⋅

−=

⋅

−

=⋅=⋅=

aasen

asena

asena

asen

asen

atg

aasena

asenatg

aasenatg

atg

aasen

atg

atgasenatgaecag

d) a

asena

atg

asen

coscos

2

2 2

−=⋅

( ) ( ) ( )a

asena

atga

a

asenatgasen

atg

atgasen

atg

atgasen

atg

asen

coscos

1

1cos

cos

11

1

2

2

2

2 2222

2

−=−⋅

=−⋅

=−⋅

=

−

=⋅

e) ( )( ) 1cot

1cot

−⋅

+⋅=

−

+

bgatg

bgatg

basen

basen

( )( ) 1cot

1cot

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

coscos

coscos

−⋅

+⋅=

⋅−

⋅

+

=−

+=

−

+

bgatg

bgatg

absen

absen

absen

basenabsen

absen

absen

basen

absenbasen

absenbasen

basen

basen

f) ( ) ( )( ) ( )basenbasen

bababtg

−++

+−−=

coscos

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )btg

b

bsen

basen

bsenasen

babababasen

babasen

babasen

basenbasen

baba

=−−

=−⋅

−⋅−

=+−−

⋅++−

+−−⋅

++−−

=−++

+−−

coscos2

2

2cos

22

2

)(

2

)()(2

coscos

g) ( ) ( )2

cos4coscos 222 babsenasenba

−=+++

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )2

cos42

cos14

2

cos14

cos12cos22coscos2cos

2)coscoscos2(coscoscos

2

2222

222222

bababa

bababsenasenbaasenbsenasena

bsenbasensenasenbbaabsenasenba

−=

−+⋅=

−+⋅

=−+⋅=−+=+⋅++++

=++++⋅+=+++

18) Resuelve las ecuaciones a) 212 =xsen

+=

+=→

+=

+=→=

Kx

Kx

Kx

Kxxsen

º180º75

º180º15

º360º1502

º360º302

2

12

b) 2

1

4cos =

+

πx

( )

+=

+=→

+=+

+=+→=+→=

+

Kx

Kx

Kx

Kxxx

º360º255

º360º15

º360º300º45

º360º60º45

2

1º45cos

2

1

4cos

π

c) 23cotcos =⋅ xgx

+=

+=→=→

−

=±−

=+±−

=→=−+→

→=−→=−

→=→=⋅

Kx

Kxxsen

soluciónxsenxsenxsen

xsenxsenxsen

xsen

xsen

x

xsen

xx

º360º150

º360º30

2

1

2

1

sin2

4

253

4

16930232

3222

31

2

3cos

2

3coscos

2

2

22

d) 12 =⋅ xtgxtg

Kx

Kxxtg

Kx

Kxxtg

xtgxtg

xtgxtgxtgxtg

xtg

xtg

xtgxtgxtgxtg

º360º330

º360º150

3

3

º360º210

º360º30

3

3

3

3

3

1

3

1

131211

21

1

212

2

222

2

2

2

+=

+=→−=

+=

+=→=→

→±=±=→=→

=→−=→=−

→=−

⋅→=⋅

e) 21cos2 22 =− xxsen

+=

+=→−=

+=

+=→=

→±=→=→=•

Kx

Kxx

Kx

Kxx

xxt

º360º225

360º135

2

2cos

º360º315

º360º45

2

2cos

2

2cos

2

1cos

2

1 2

+=

+=→−=

+=

+=→=

→±=→=→=•

Kx

Kxx

Kx

Kxx

xxt

º360º240

360º120

2

1cos

º360º300

º360º60

2

1cos

2

1cos

4

1cos

4

1 2

( )

( )

( )16

323660168cos01cos6cos8

1cos2cos8cos81cos2coscos18

2

1coscos4

2

1coscos2

2

1cos2

2224

242222

2222222

−

−±−=→=−+−→=→=−+−→

→=−−→=−−⋅

=−→=−→=−

ttttxxx

xxxxxx

xxxsenxxxsenxxsen

f) xsenxsen =2

( ) →=−⋅→=−→=→= 01cos20cos2cos22 xxsenxsenxxsenxsenxsenxxsenxsen

+=

+=→=•

Kx

Kxxsen

º360º180

º360º00

+=

+=→=→=−•

Kx

Kxxx

º360º300

º360º60

2

1cos01cos2

g) xsenx =2cos

+=

+=→

+=

+=→−

=−

±=

−

+±=→=+−−

=−−−→=−−→=

Kx

Kx

mismalaKx

Kx

xsenxsenxsen

xsenxsenxsenxsenxsenxxsenx

º360º150

º360º30

2

1

)(º360º270

º360º2701

4

31

4

811012

010cos2cos

2

2222

h) 12cos =+ xsenx

( )

+=

+=→=

+=

+=→=

→=−⋅→=−

=+−−→=+−→=+

Kx

Kxxsen

Kx

Kxxsen

xsenxsenxsenxsen

xsenxsenxsenxsenxsenxxsenx

º360º150

º360º30

2

1

º360º180

º360º00

01202

111cos12cos

2

2222

i) xgxtg cot=

KxnteconjuntameescribirpuedenseKx

Kxxtg

KxnteconjuntameescribirpuedenseKx

Kxxtg

xtgxtgxtg

xtgxgxtg

180º135º360º315

º360º1351

º180º45º360º225

º360º451

111

cot 2

+=

+=

+=→−=•

+=

+=

+=→=•

±=→=→=→=

j) xxsen 2cos32 =+

( ) ( )

+=

+=→=•

+=

+=→−=•

−

=±−

=+±−

=→=−+→−=+

→−−⋅=+→−⋅=+→=+

Kx

Kxxsen

Kx

Kxxsen

xsenxsenxsenxsenxsen

xsenxsenxsenxsenxxsenxxsen

º360´´43´31º160

º360´´16´28º19

3

1

º360º330

º360º210

2

1

3

1

2

1

12

51

12

2411016632

132cos322cos32

22

2222

k) 324cos2 =+ xsenx

l) xtgxg −= 4cot3

m) 2cos =+ xxsen

( )

KxKxKx

Kx

xsenxsenxsen

xxsenxxsenxxsen

º360º45º360º4590º360º90º180º45

º360º90º45

1º451cosº45º45cos

1cos2

2

2

21cos

2

1

2

12cos

+=→+−=

+−=+

+=+→

→=+→=+⋅

→=+→=+→=+

Otra forma:

( )

KxKx

Kx

xsenxxsen

xxxsenxsenxxsenxxsen

º360º45º360º90º1802

º360º902

121cos2

2coscos22cos2cos 222

+=→

+−=

+=→

→=→=⋅

→=++→=+→=+

cuadradoalelevadohemosporquecomprobarnecesarioEsválidasSoluciones

SÍsenKx

SÍsenKxx

.

)32

14

2

123º1504300cos2(º360º300

)32

14

2

123º304º60cos2(º360º60

2

1cos

=⋅+⋅→=++=

=⋅+⋅→=++=

→=•

KxnteconjuntameescribirpuedenseKx

Kxxtg

KxnteconjuntameescribirpuedenseKx

Kxxtg

xtg

xtgxtgxtgxtgxtgxtg

xtgxg

180´´54´33º71º360´´54´33º251

º360´´54´33º713

º180º45º360º225

º360º451

3

1

2

24

2

12164

0344343

4cot3 22

+=

+=

+=→=•

+=

+=

+=→=•

=±

=−±

=

→=+−→−=→−=→−=

( )

2

1

8

16164cos01cos4cos4cos4cos129cos88

cos4cos1292

cos116cos23

2

cos14

cos232

cos143

2

cos14cos2324cos2

22

22

2

=−±

=→=+−→+−=−

→+−=

−⋅→−=

−

→−=−

→=−

+→=+

xxxxxx

xxx

xx

xxx

xxsenx

19) Halla La altura de la torre QR, cuyo pie es inaccesible y más alto que el punto donde se encuentra el observador con los datos de la figura

En el triángulo

9017,80º18

º3050

º30º18

50=

⋅=→=

sen

senx

sen

x

sen

En el triángulo

82477,79º70

0107,75

º70

º689017,80

º68º70

9017,80==

⋅=→=

sensen

senh

sen

h

sen

20) Calcula la altura de ST, cuyo pie es inaccesible y más

alto que el punto donde se encuentra el observador, con los datos de la figura

En el triángulo

3808984,190º8

4959,26

º8

º3250

º32º8

50==

⋅=→=

sensen

senx

sen

x

sen

En el triángulo

9882,74º108

3181,71

º108

º223808,190

º22º108

3808,190==

⋅=→=

sensen

senh

sen

h

sen

21) Calcula el área y las longitudes de los lados y de la otra diagonal del paralelogramo de la figura.

50 m

30º

Q

R

20º

48º

50 m

32º 22º

18º

S

T

5514,6º110

º2018

º110

18

º20

67373444,14º110

º5018

º110

18

º50

º110)º70º50(º180

=⋅

=→=

=⋅

=→=

=+−

sen

senb

sensen

b

sen

sena

sensen

a

33682961,90

15636252,6º70º70

87375134,134809764,192

7591895,6592168338,423184825,215

º70cos2

2

222

=⋅=

=⋅=→=

=→=

−+=

=−+=

haÁrea

senbhb

hsen

dd

abbad

22) Halla el perímetro del cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia de 6cm de radio.

23) Dos observadores, situados en la costa y separados 1000 metros observan una

plataforma petrolífera y quieren determinar a qué distancia de tierra se encuentra. Los observadores dirigen visuales desde sus posiciones a la plataforma y miden el ángulo que forman estas visuales con la línea imaginaria que los une, estos ángulos son 63º y 83º. Calcula la distancia que separa la plataforma de la costa.

24) Calcula los lados del paralelogramo de la figura, sabiendo que sus diagonales miden 70 cm y 50 cm respectivamente, y que se cortan bajo un ángulo de 40º.

( )

( )

( )

( )298228885,33

3923,10108º120cos172º120cos66266

192533,95026,84º100cos172º100cos66266

713451,749,59º80cos172º80cos66266

636º60cos172º60cos7272º60cos66266

º120)º100º80º60(º360

222

222

222

222

=

=→=−⋅=⋅⋅⋅−+=

=→=−⋅=⋅⋅⋅−+=

=→=−⋅=⋅⋅⋅−+=

=→=−⋅=⋅−=⋅⋅⋅−+=

=++−

Perímetro

dd

cc

bb

aa

msenxhx

hsen

sen

senx

sen

x

sen

502718,1581º83º83

3795,1593º34

º631000

º63º34

1000

º34)º83º63(º180

=⋅=→=

=⋅

=→=

=+−

( )

cmy

y

cmx

x

27038379,224222245,509

7660,017501850º40cos253522535

485199,56577775,3190

7660,017501850º140cos352523525

º140º40º180

222

222

=→=

=⋅−=⋅⋅⋅−+=

=→=

=−⋅−=⋅⋅⋅−+=

=−

25) Calcula el área de un triángulo isósceles de lado desigual 20 centímetros, inscrito en un círculo de 30 cm de radio, sabiendo que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central.

26) En el triángulo de la figura, calcula el valor de x en centímetros

27) Estudiando el trapecio isósceles de la figura, calcula b y c

28427125,5822

28427125,5820

28427125,5810

´´2,8´44º9

´´2,8´44º9´´39,16´28º1930

10

22

22

cmÁrea

cmhh

tg

baasen

ab

abcentralángulomitadinscritoÁngulo

=⋅

=

=→=

=→=→=

=→=→=

( )

cmCsen

Nsenx

CsenNsen

x

N

McuadrantesegundodelesquemayoresM

CsenMsen

MsenCsen

CCC

CC

18826234,233

´´16,559́º13)´´54.41´11º18´´3,23´38º148(º180

´´3,23´38º148´´7,36´21º31º180º90

520416499,03

553

´´54,41´11º1895,060

57coscos6057

cos6036254cos652652 222

=⋅

=→=

=+−=

=−=→→

→=⋅

=→=

=→==→⋅−=−

→⋅−+=→⋅⋅⋅−+=

cmcsensen

c

cmbsensen

b

DADEE

EDBE

BAA

isóscelesestrapecioEl

9,30º45

63,22

º105

28,8º30

16

º15

º30º45º902

2º270)(º135º135º360

º15)º30º135(º180º30º135º105

=→=

=→=

=→==→=

→+=++++=

=+−=→=→=+

→

28) Un faro de 50 metros de altura está situado sobre un promontorio. Las respectivas distancias del extremo superior y la base del faro a un barco son de 85 y 65 metros respectivamente. Halla la altura del promontorio sobre el que está situado el faro.

29) Halla b, a, h, y c de las figuras adjuntas

mxaxx

a

aa

a

a

5550cos8585

50cos

´´63,47´40º49647058823,0cos

cos850097254225

cos50852508565 222

=→=−⋅=→+

=

=→=

→⋅−=

→⋅⋅⋅−+=

888241397,266

259093233,5cos66

cos:

´´54,30´46º28481373356,0026413531,8

º10544

º105

026413531,84233,64º105cos481636º105cos46246 222

=⋅=→=

=⋅=→=

=→=⋅

=→=

=→=⋅−+=⋅⋅⋅−+=

Hsenhh

Hsen

Hbb

HrectángulotriánguloelEn

Hsen

HsenHsensen

a

aa

paralelosotroslosyigualladountenerpor

igualessonHletralaconseñaladosángulosLos

242640687,4º45

º306

º45

6

º30

196152423,8º45

º1056

45

6

º105

3º306

196152423,5º30cos6:

º60º30º90º105)º30º45(º180

º30

=⋅

=→=

=⋅

=→=

=⋅=

=⋅=

=−==+−=→

sen

senc

sensen

c

sen

sena

sensen

a

senh

brectángulotriánguloelEn

BA

paralelosotroslosyigualladountenerporánguloaligualesHánguloEl