TRIGONOMETRÍA 1º BACHILLERATO 1) Demuestra las siguientes igualdades:
a) ααα ecg cosseccot =⋅
αααα
ααα ec
senseng cos
1
cos
1cosseccot ==⋅=⋅
b) αααα sentg ⋅=− cossec
αααα
α
α
α
α
αα
ααα sentgsen
sensen⋅=⋅==
−=−=−
coscoscos
cos1cos
cos
1cossec
22
c) αα
αα sec
cos
cot1 22 =
+⋅
gsen
αααα
αα
αα
α
αα sec
cos
1
cos
1
cos
cos
cos
cot12
22
22
2 ==⋅
⋅=⋅=+
⋅sen
senec
seng
sen
d) αββα
22
221
1
1
1sensen
tgtg−=
+−
+
( ) ( ) αββαβαβαβα
222222
222211coscos
sec
1
sec
1
1
1
1
1sensensensen
tgtg−=−−−=−=−=
+−
+
e) 1cos2cos 244 −=− ααα sen
( ) ( )( ) 1cos2cos1coscos
coscoscos
22222
222244
−=−−=−=
=−⋅+=−
ααααα
αααααα
sen
sensensen
2) Comprueba si son ciertas las siguientes igualdades
a) αααα
ααseccot
cos
cos+=
⋅
+g
tg
tg
αααα
α
αα
α
α
α
αα
αα
α
αα
α
αα
αα
ααseccot
cos
1coscoscoscoscos
coscos
coscos
cos
cos+=+=+=
+=
⋅
+=
⋅
+g
sensen
sen
sensen
sen
sen
sen
tg
tg
b) αααα 2222 sentgsentg ⋅=−
( )=
−⋅=
⋅−=−=−
α
αα
α
αααα
α
ααα
2
22
2
2222
2
222
cos
cos1
cos
cos
cos
sensensensen
sensentg
αααα
α
α
αα 222
2
2
2
22
coscossentgsen
sensensen⋅=⋅=
⋅=
c) 1cos
cos222 −
=−
⋅
α
α
αα
αα
tg
tg
sen
sen
( ) αα
αα
ααα
αα
α
ααα
α
α
αα
α
α
α2222
2
2
22
2
22 cos
cos
coscos
cos
cos
cos
cos
1cos
cos
1 −
⋅=
⋅−
⋅=
−=
−
=− sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
tg
tg
Departamento de Matemáticas
d) αααα 2222 seccos =++ tgsen
ααααα 22222 sec1cos =+=++ tgtgsen
3) Simplifica las siguientes expresiones:
a)
( ) ( )
( ) ( )απαα
απαπ
απ
−⋅−⋅
+⋅
−⋅−
2cos1
2cos
2
2
sensen
tgsen
( ) ( )
( ) ( ) ( )α
ααα
α
α
α
ααα
ααα
απαα
απαπ
απ
seccos
1cos
2cos1
2cos
2
2
2
2
−=−=−=−=−⋅
⋅⋅=
−⋅−⋅
+⋅
−⋅−
sen
sen
sen
tg
sensensen
tgsensen
sensen
tgsen
b) ( )( )απ
απ
απαπ
+
−
−−⋅
−
cos
2
2
sen
tgtg
( )( )
( ) 011cos
coscot
cos
2
2=+−=
−−−⋅=
+
−
−−⋅
−
α
ααα
απ
απ
απαπ
tggsen
tgtg
c) ( ) ( )
( )α
α
ααcos
º90
º180º90⋅
−
+⋅−
sen
tgtg
( ) ( )( )
1coscos
1cos
cos
cotcos
º90
º180º90=⋅=⋅
⋅=⋅
−
+⋅−α
αα
α
ααα
α
αα tgg
sen
tgtg
d)
( ) ( )
( )
−⋅−
−−−⋅++−
απ
απ
απ
απαπα
22
2coscos1
22
22
tgtg
tgtg
( ) ( )
( )
( )α
α
αα
αααα
απ
απ
απ
απαπα2
2
22
22
22
22
1
0
cot)(
22
2coscos1
tgtg
gtg
sentgtgsen
tgtg
tgtg
−=−
=⋅−
−−⋅+=
−⋅−
−−−⋅++−
e)
( )
( ) ( ) ( )απαπα
απ
απ
−⋅−⋅−
−⋅+
2cot1cos
2cos
2 gtg
sen
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
12cot1cos
2cos
2
2
22
=
−
−=
−⋅−⋅−
⋅−=
−⋅−⋅−
−⋅+
α
αα
α
ααα
αα
απαπα
απ
απ
tg
tgsen
sen
tgtgsen
sensen
gtg
sen
f) ( ) ( )
( )αα
αα
−⋅
−⋅−
º180cossec
º360cotº180 gtg
( ) ( )( ) ( )
11
1
coscos
1
1
º180cossec
º360cotº180−=
−=
−⋅
−⋅−
=−⋅
−⋅−
αα
αα
αα
αα tgtg
gtg
4) Sabemos que 2−=αtg y que α es del segundo cuadrante. Halla el seno, el coseno y la tangente de α , 180º-α y 360º-α
2−=αtg II∈α 521sec 22 =+=α
5
52
5
2
5
4
5
11
5
11
5
5
5
1cos5sec
2
===−=
−−=→−=−=→−= ααα sen
5) Sabiendo que 35,0=αsen y que α es un ángulo del primer cuadrante calcula: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )αααααα +−+−+− º360cosº360º90º90º180cosº180 sensensensen
9367,035,01cos35,0 2 =−=→∈= ααα Isen
( )( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) 9367,0cos360cos
35,0360
9367,0cos9090180
901801809018090
9367,0cos90
9367,0cos180cos
35,0180
==+
−=−=−
==−=−−
=+−=−++=+
==−
−=−=+
==−
αα
αα
ααα
ααα
αα
αα
αα
sensen
sensen
sensensen
sen
sensen
6) Sabiendo que 32=αtg y que α es un ángulo del primer cuadrante calcula: ( ) ( ) ( ) ( )αααααα −−+− º360º180cosº180cosº90 tgsentgsen
( )
( )
( ) 2360
5
5cos360cos
5
52360
=−=−
−==−
−=−=−
αα
αα
αα
tgtg
sensen( )
( )
( ) 2180
5
5cos180cos
5
52180
=−=−
=−=−
==−
αα
αα
αα
tgtg
sensen
( )
( )13
133cos180cos
2
3cot90
13
132
−=−=+
==−
=
αα
αα
α
gtg
sen
( )
( )3
2360
13
132180
13
133cos
−=−=−
==−
=
αα
αα
α
tgtg
sensen
13
132
13
2
13
4
13
91
13
133
13
3cos
13
9cos
9
13
3
21sec
3
2 2
2
2
===
−=
==→=→=
+=→∈=
α
ααααα
sen
Itg
7) Sabiendo que βα y son dos ángulos del tercer cuadrante tales que ysen 53−=α
51cos −=β , calcula: ( )βα +sen ; ( )βα −cos ; ( )βα +tg ; α2cos ; ( )β2º180 −tg ;
−2
º90α
sen
4
3
5
4
25
16
25
91cos
5
3=→−=−=−−=→∈−= αααα tgIIIsen
245
24
25
24
25
11
5
1cos =→−=−=−−=→∈−= ββββ tgsenIII
8) Si 2143 == βα tgytg y ambos son del tercer cuadrante, calcula: ( )βα +sen ; ( )βα −cos ;
−2
º90α
sen ;
5
3
25
9
25
161;
5
4cos
16
25
4
31sec
4
32
2 −=−=−−=−=→=
+=→∈= ααααα senIIItg
5
5
5
1
5
41;
5
52
5
2
5
4cos
4
5
2
11sec
2
12
2 −=−=−−=−=−=−=→=
+=→∈= βββββ senIIItg
( )
( )
( )2434
2443
4
2431
244
3
1
25
2434
5
24
5
3
5
1
5
4coscoscos
25
2443
5
4
5
24
5
1
5
3coscos
−
+=
−
+=
⋅−
+=+
+=
−
−+
−
−=⋅+⋅=−
+=
−
−+
−
−=⋅+⋅=+
βα
βαβα
βαβαβα
αββαβα
tgtg
tgtgtg
sensen
sensensen
( )
IIIIIsen
tg
tgtgtg
sen
∈→∈−
=−=−
−=+
−==
−
=−
−=−
−=−=−
=−=−=
210
10
10
1
2
5
41
2
cos1
2cos
290
23
242
241
242
1
222180
25
7
25
9
25
16cos2cos
2
22
αα
ααα
β
βββ
ααα
( )
( )
∈→∈−=−=
−
−+
−==
−
=+
=
−
−+
−
−=⋅+⋅=−
==+
=
−
−+
−
−=⋅+⋅=+
IIIIIsen
sensen
sensensen
210
10
10
1
2
5
41
2
cos1
2cos
290
25
511
25
5358
5
5
5
3
5
52
5
4coscoscos
5
52
25
510
25
5456
5
4
5
5
5
52
5
3coscos
αα
ααα
βαβαβα
αββαβα
9) Si se sabe que cos a=-0,8 y que 180º<a<360º hallar sen(360º-a); sen2a; tg(180º-a/2)
10) Sabiendo que cos 53º=0,6 halla tg 37º y cos 143º sin calculadora
11) Sabiendo que tg a=0,75 y que 180º<a<360º halla sen2a; cos a/2; tg(180º-2a)
12) Halla sen 3a sabiendo que sen a=0,2
13) Halla cos 3a sabiendo que cos a=-0,8
( )( )( )
( )( )
∈→∈===
−+
−−=
+
−−−=−=
−
=−−=⋅=
=−=−
IIa
IIIaa
aatg
atg
asenaasen
senaasen
239
2,0
8,1
8,01
8,01
cos1
cos1
22180
96,08,06,02cos22
6,0360
( ) 6,036,064,018,018,0cos2
−=−=−−=−−−=→∈−= senaIIIa α
( )3
4
6
8
6,0
8,0º538,064,036,016,01º536,0º53cos
2===→==−=−=→= tgsen
( ) 8,0º53º37cosº37º180cos143cos
75,04
3º53)º53º90(º37
−=−=−=−=
===−=
sen
cogtgtg
( )
6,064,01;8,064,05625.1
1cos
5625,175,01sec75,022
−=−−=−=−=−=
→=+=→∈=
αα
α
sen
IIIatga
( )( )
( ) 4285,34375,0
5,1
75,01
75,02
1
222180
23162,0
2
8,01
2
cos1
2cos
96,08,06,02cos22
22−=−=
−
⋅−=
−−=−=−
∈→∈−=
−−=
+−=
=−−=⋅=
atg
tgaatgatg
IIa
IIIaaa
asenaasen
( ) ( )
( ) 568,0008,0576,02,096,02,033
9797,096,004,01cos2,0
cos3coscos2
coscoscos22coscos223
3
32322
22
=−=+⋅⋅=
±=±=−±=→=
−⋅⋅=−⋅+⋅=
=−⋅+⋅⋅=⋅+⋅=+=
asen
aasen
asenaasenasenaasenaasen
asenaasenaaasenaasenaasenaasenasen
( ) ( )( )
( ) 352,0864,0512,08,036,038,03cos
6,036,064,018,0cos
cos3coscos2coscos
cos2coscos2cos2cos2cos3cos
3
23222
22
−=−=⋅⋅−=
±=±=−±=→=
⋅⋅−=⋅−−=
=⋅⋅⋅−⋅−=⋅−⋅=+=
a
asena
aasenaaasenaasena
asenaasenaasenaasenasenaaaaa
14) Si sen a=0,6 y 90º<a<180º calcula sen2a; tga/2; sen(a+30º); cos(a-60º)
15) Demuestra las siguientes igualdades
a)
+
=
21
22
2 α
α
α
tg
tg
sen
αααα
α
αα
α
α
α
α
α
α
α
sensensensen
sen
tg
tg
tg
=⋅=⋅=⋅
=
⋅
=
=
+
)2
2(2
cos2
2
2cos
2cos
22
2cos
12
cos
22
2sec
22
21
22 2
2
22
b)
+
−
=
21
21
cos2
2
α
α
α
tg
tg
αααα
α
α
αα
α
α
α
α
α
α
α
cos2
2cos22
cos
2cos
12
cos
22cos
2cos
12
cos
21
2sec
21
21
21
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
=⋅=−=
−
=
−
=
−
=
+
−
sen
sensen
tg
tg
tg
16) Simplifica todo lo posible las expresiones:
a) ( )
( )aec
asenaasen
a
asen
a
aasen
aa
asenasen
aacos2
1
2
1
cos2
cos
2
cos
4cos22
cos4cos2
62
5cos3cos−=
−=
⋅−=
−=
⋅−
−⋅=
−
+
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
αα
αα
α
αα
αα
αα
ααααα
αα
tgsen
sen
sen
sensen
sen
sensensen
sen
asenaasen
asen
2cos
cos2
1
cos2
11
cos2
12
cos2
22
cos2
cos2
12cos2
2
22
222
=⋅
=−
⋅=
=+⋅−
⋅=
+
⋅−+
⋅=
+−
c) ( ) ( )
agaecasen
a
asenasen
a
aasen
aaasen
a
a
a
asencot2cos2
cos2
12
cos12
cos
cos1cos2
cos
cos1
cos1
222
+=⋅+⋅=+
=⋅
+⋅⋅=
+⋅
−
( )4
3
8
68,064,06,01cos6,0
2−=−=→−=−=−−=→∈= tgaaIIasen α
( )( )
( )( )
( )
( ) 33,04,02
36,0
2
18,0º60º60coscosº60cos
4,033,08,02
1
2
36,0cosº30º30cos)º30(
239
2,0
8,1
8,01
8,01
cos1
cos1
2
96,08,06,02cos22
⋅+−=⋅+⋅−=⋅+⋅=−
−=−⋅+⋅=⋅+⋅=+
∈→∈===
−+
−−=
+
−+=
−=−=⋅=
senasenaa
asenasenasen
Ia
IIaa
aatg
asenaasen
d) ( ) ( )
asena
aasen
a
asen
a
asen
aa
aasen
aa
asenasen2
cos
cos2
cos
2
cos
2
cos3cos2
3cos22
2cos4cos
5−=
⋅−=
−=
−=
⋅
⋅−=
+
−
e) ( ) ( )
( )asen
ag
agasen
ag
atgasen=
−
⋅−=
−
−⋅+
cot
cot
º180cot
º90º180
f) aaasen
aasenaasen
a
asen
asen
asencos4
cos
cos2cos2
cos
2222
=⋅
⋅⋅⋅=⋅
g) ( )( ) ( )
agasen
a
asenasen
aasen
aa
asenasencot
cos
32
cos32
4cos2cos
42=
−−=
−⋅−
−⋅=
−
+
h)
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
( )( )
atgaa
aasen
aa
asenasen
aaa
asenasena
aaaa
aasenaasen
aaaa
asenasenasenasen
42cos4cos2
2cos42
6cos2cos
62
6cos2coscos2
62cos2
cos6cos2cos2cos2
cos62cos22
7cos5cos3coscos
753
=−⋅
−⋅=
+
+=
+−
+⋅−
=−⋅+−⋅
−⋅+−⋅=
+++
+++
i) ( ) ( ) aasenaasenaasenaasena 2coscoscoscoscos 22222244 =−=−⋅+=−
j) ( )
asena
aasen
a
asen
aasen
asenasen
asenasen
aa2
cos
cos2
cos
2
cos32
232
42
cos5cos−=
⋅−=
−=
−⋅
⋅−=
+
−
k)
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )btg
b
bsen
basen
bsenasen
babababasen
babasen
babasen
basenbasen
baba
=−−
=−⋅
−⋅−
=+−−
⋅++−
+−−⋅
++−−
=−++
+−−
coscos2
2
2cos
22
2
)(
2
)()(2
coscos
l)
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
αα
α
α
α
α
αααα
αα
αα
α
α
α
α
α
α
α
α
221
22
1
4
1
2121
11
11
1
1
1
1
º451
º45
º451
º45º45º45
222
2222
tgtg
tg
tg
tg
tg
tgtgtgtg
tgtg
tgtg
tg
tg
tg
tg
tgtg
tgtg
tgtg
tgtgatgatg
=−
⋅=−
=−
−+−++=
+⋅−
−−+
=+
−−
−
+=
⋅+
−−
⋅−
+=−−+
17) Comprobar las siguientes identidades:
a) ( ) ( ) abbasenbasen 22 coscos −=−⋅+
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )abbaabab
abbaabsenbasen
absenbasenabsenbasenbasenbasen
22222222
22222222
coscoscoscoscoscoscoscos
coscos1coscos1coscos
coscoscoscos
−=⋅+−⋅−
=⋅−−⋅−=−
=+⋅+=−⋅+
b) aecactgtga 2cos2=+
aecsensen
sensentgtg
tg
tgtgactgtga
2cos22
2
cos2
2
cos
1
cos
cos
1
sec11 222
==⋅
=⋅
===+
=+=+
ααα
αα
α
αα
α
α
α
α
αα
c) aecagatgag 2cos2cot4cot 22 ⋅=− (Los llamamos (1)=(2))
( )( ))3(
cos
cos
cos
coscos
cos
cos
cos
coscot)1(
22
22
22
2222
22
44
2
2
2
222
=⋅
−=
⋅
−+
=⋅
−=−=−=
aasen
asena
aasen
asenaasena
aasen
asena
a
asen
asen
aatgag
)3(cos
coscos1
1
coscos
1
cos
1
cos2
1
1
2
4
2
1
2
42cos2cot4)2(
22
22
2
2
2
2
22
2
2
=⋅
−=
−
=−
=
⋅⋅
−
=⋅⋅
−=
⋅
−
=⋅=⋅=
aasen
asena
asena
asen
asen
atg
aasena
asenatg
aasenatg
atg
aasen
atg
atgasenatgaecag
d) a
asena
atg
asen
coscos
2
2 2
−=⋅
( ) ( ) ( )a
asena
atga
a
asenatgasen
atg
atgasen
atg
atgasen
atg
asen
coscos
1
1cos
cos
11
1
2
2
2
2 2222
2
−=−⋅
=−⋅
=−⋅
=
−
=⋅
e) ( )( ) 1cot
1cot
−⋅
+⋅=
−
+
bgatg
bgatg
basen
basen
( )( ) 1cot
1cot
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
coscos
coscos
−⋅
+⋅=
⋅−
⋅
+
=−
+=
−
+
bgatg
bgatg
absen
absen
absen
basenabsen
absen
absen
basen
absenbasen
absenbasen
basen
basen
f) ( ) ( )( ) ( )basenbasen
bababtg
−++
+−−=
coscos
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )btg
b
bsen
basen
bsenasen
babababasen
babasen
babasen
basenbasen
baba
=−−
=−⋅
−⋅−
=+−−
⋅++−
+−−⋅
++−−
=−++
+−−
coscos2
2
2cos
22
2
)(
2
)()(2
coscos
g) ( ) ( )2
cos4coscos 222 babsenasenba
−=+++
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )2
cos42
cos14
2
cos14
cos12cos22coscos2cos
2)coscoscos2(coscoscos
2
2222
222222
bababa
bababsenasenbaasenbsenasena
bsenbasensenasenbbaabsenasenba
−=
−+⋅=
−+⋅
=−+⋅=−+=+⋅++++
=++++⋅+=+++
18) Resuelve las ecuaciones a) 212 =xsen
+=
+=→
+=
+=→=
Kx
Kx
Kx
Kxxsen
º180º75
º180º15
º360º1502
º360º302
2
12
b) 2
1
4cos =
+
πx
( )
+=
+=→
+=+
+=+→=+→=
+
Kx
Kx
Kx
Kxxx
º360º255
º360º15
º360º300º45
º360º60º45
2
1º45cos
2
1
4cos
π
c) 23cotcos =⋅ xgx
+=
+=→=→
−
=±−
=+±−
=→=−+→
→=−→=−
→=→=⋅
Kx
Kxxsen
soluciónxsenxsenxsen
xsenxsenxsen
xsen
xsen
x
xsen
xx
º360º150
º360º30
2
1
2
1
sin2
4
253
4
16930232
3222
31
2
3cos
2
3coscos
2
2
22
d) 12 =⋅ xtgxtg
Kx
Kxxtg
Kx
Kxxtg
xtgxtg
xtgxtgxtgxtg
xtg
xtg
xtgxtgxtgxtg
º360º330
º360º150
3
3
º360º210
º360º30
3
3
3
3
3
1
3
1
131211
21
1
212
2
222
2
2
2
+=
+=→−=
+=
+=→=→
→±=±=→=→
=→−=→=−
→=−
⋅→=⋅
e) 21cos2 22 =− xxsen
+=
+=→−=
+=
+=→=
→±=→=→=•
Kx
Kxx
Kx
Kxx
xxt
º360º225
360º135
2
2cos
º360º315
º360º45
2
2cos
2
2cos
2
1cos
2
1 2
+=
+=→−=
+=
+=→=
→±=→=→=•
Kx
Kxx
Kx
Kxx
xxt
º360º240
360º120
2
1cos
º360º300
º360º60
2
1cos
2
1cos
4
1cos
4
1 2
( )
( )
( )16
323660168cos01cos6cos8
1cos2cos8cos81cos2coscos18
2
1coscos4
2
1coscos2
2
1cos2
2224
242222
2222222
−
−±−=→=−+−→=→=−+−→
→=−−→=−−⋅
=−→=−→=−
ttttxxx
xxxxxx
xxxsenxxxsenxxsen
f) xsenxsen =2
( ) →=−⋅→=−→=→= 01cos20cos2cos22 xxsenxsenxxsenxsenxsenxxsenxsen
+=
+=→=•
Kx
Kxxsen
º360º180
º360º00
+=
+=→=→=−•
Kx
Kxxx
º360º300
º360º60
2
1cos01cos2
g) xsenx =2cos
+=
+=→
+=
+=→−
=−
±=
−
+±=→=+−−
=−−−→=−−→=
Kx
Kx
mismalaKx
Kx
xsenxsenxsen
xsenxsenxsenxsenxsenxxsenx
º360º150
º360º30
2
1
)(º360º270
º360º2701
4
31
4
811012
010cos2cos
2
2222
h) 12cos =+ xsenx
( )
+=
+=→=
+=
+=→=
→=−⋅→=−
=+−−→=+−→=+
Kx
Kxxsen
Kx
Kxxsen
xsenxsenxsenxsen
xsenxsenxsenxsenxsenxxsenx
º360º150
º360º30
2
1
º360º180
º360º00
01202
111cos12cos
2
2222
i) xgxtg cot=
KxnteconjuntameescribirpuedenseKx
Kxxtg
KxnteconjuntameescribirpuedenseKx
Kxxtg
xtgxtgxtg
xtgxgxtg
180º135º360º315
º360º1351
º180º45º360º225
º360º451
111
cot 2
+=
+=
+=→−=•
+=
+=
+=→=•
±=→=→=→=
j) xxsen 2cos32 =+
( ) ( )
+=
+=→=•
+=
+=→−=•
−
=±−
=+±−
=→=−+→−=+
→−−⋅=+→−⋅=+→=+
Kx
Kxxsen
Kx
Kxxsen
xsenxsenxsenxsenxsen
xsenxsenxsenxsenxxsenxxsen
º360´´43´31º160
º360´´16´28º19
3
1
º360º330
º360º210
2
1
3
1
2
1
12
51
12
2411016632
132cos322cos32
22
2222
k) 324cos2 =+ xsenx
l) xtgxg −= 4cot3
m) 2cos =+ xxsen
( )
KxKxKx
Kx
xsenxsenxsen
xxsenxxsenxxsen
º360º45º360º4590º360º90º180º45
º360º90º45
1º451cosº45º45cos
1cos2
2
2
21cos
2
1
2
12cos
+=→+−=
+−=+
+=+→
→=+→=+⋅
→=+→=+→=+
Otra forma:
( )
KxKx
Kx
xsenxxsen
xxxsenxsenxxsenxxsen
º360º45º360º90º1802
º360º902
121cos2
2coscos22cos2cos 222
+=→
+−=
+=→
→=→=⋅
→=++→=+→=+
cuadradoalelevadohemosporquecomprobarnecesarioEsválidasSoluciones
SÍsenKx
SÍsenKxx
.
)32
14
2
123º1504300cos2(º360º300
)32
14
2
123º304º60cos2(º360º60
2
1cos
=⋅+⋅→=++=
=⋅+⋅→=++=
→=•
KxnteconjuntameescribirpuedenseKx
Kxxtg
KxnteconjuntameescribirpuedenseKx
Kxxtg
xtg
xtgxtgxtgxtgxtgxtg
xtgxg
180´´54´33º71º360´´54´33º251
º360´´54´33º713
º180º45º360º225
º360º451
3
1
2
24
2
12164
0344343
4cot3 22
+=
+=
+=→=•
+=
+=
+=→=•
=±
=−±
=
→=+−→−=→−=→−=
( )
2
1
8
16164cos01cos4cos4cos4cos129cos88
cos4cos1292
cos116cos23
2
cos14
cos232
cos143
2
cos14cos2324cos2
22
22
2
=−±
=→=+−→+−=−
→+−=
−⋅→−=
−
→−=−
→=−
+→=+
xxxxxx
xxx
xx
xxx
xxsenx
19) Halla La altura de la torre QR, cuyo pie es inaccesible y más alto que el punto donde se encuentra el observador con los datos de la figura
En el triángulo
9017,80º18
º3050
º30º18
50=
⋅=→=
sen
senx
sen
x
sen
En el triángulo
82477,79º70
0107,75
º70
º689017,80
º68º70
9017,80==
⋅=→=
sensen
senh
sen
h
sen
20) Calcula la altura de ST, cuyo pie es inaccesible y más
alto que el punto donde se encuentra el observador, con los datos de la figura
En el triángulo
3808984,190º8
4959,26
º8
º3250
º32º8
50==
⋅=→=
sensen
senx
sen
x
sen
En el triángulo
9882,74º108
3181,71
º108
º223808,190
º22º108
3808,190==
⋅=→=
sensen
senh
sen
h
sen
21) Calcula el área y las longitudes de los lados y de la otra diagonal del paralelogramo de la figura.
50 m
30º
Q
R
20º
48º
50 m
32º 22º
18º
S
T
5514,6º110
º2018
º110
18
º20
67373444,14º110
º5018
º110
18
º50
º110)º70º50(º180
=⋅
=→=
=⋅
=→=
=+−
sen
senb
sensen
b
sen
sena
sensen
a
33682961,90
15636252,6º70º70
87375134,134809764,192
7591895,6592168338,423184825,215
º70cos2
2
222
=⋅=
=⋅=→=
=→=
−+=
=−+=
haÁrea
senbhb
hsen
dd
abbad
22) Halla el perímetro del cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia de 6cm de radio.
23) Dos observadores, situados en la costa y separados 1000 metros observan una
plataforma petrolífera y quieren determinar a qué distancia de tierra se encuentra. Los observadores dirigen visuales desde sus posiciones a la plataforma y miden el ángulo que forman estas visuales con la línea imaginaria que los une, estos ángulos son 63º y 83º. Calcula la distancia que separa la plataforma de la costa.
24) Calcula los lados del paralelogramo de la figura, sabiendo que sus diagonales miden 70 cm y 50 cm respectivamente, y que se cortan bajo un ángulo de 40º.
( )
( )
( )
( )298228885,33
3923,10108º120cos172º120cos66266
192533,95026,84º100cos172º100cos66266
713451,749,59º80cos172º80cos66266
636º60cos172º60cos7272º60cos66266
º120)º100º80º60(º360
222
222
222
222
=
=→=−⋅=⋅⋅⋅−+=
=→=−⋅=⋅⋅⋅−+=
=→=−⋅=⋅⋅⋅−+=
=→=−⋅=⋅−=⋅⋅⋅−+=
=++−
Perímetro
dd
cc
bb
aa
msenxhx
hsen
sen
senx
sen
x
sen
502718,1581º83º83
3795,1593º34
º631000
º63º34
1000
º34)º83º63(º180
=⋅=→=
=⋅
=→=
=+−
( )
cmy
y
cmx
x
27038379,224222245,509
7660,017501850º40cos253522535
485199,56577775,3190
7660,017501850º140cos352523525
º140º40º180
222
222
=→=
=⋅−=⋅⋅⋅−+=
=→=
=−⋅−=⋅⋅⋅−+=
=−
25) Calcula el área de un triángulo isósceles de lado desigual 20 centímetros, inscrito en un círculo de 30 cm de radio, sabiendo que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central.
26) En el triángulo de la figura, calcula el valor de x en centímetros
27) Estudiando el trapecio isósceles de la figura, calcula b y c
28427125,5822
28427125,5820
28427125,5810
´´2,8´44º9
´´2,8´44º9´´39,16´28º1930
10
22
22
cmÁrea
cmhh
tg
baasen
ab
abcentralángulomitadinscritoÁngulo
=⋅
=
=→=
=→=→=
=→=→=
( )
cmCsen
Nsenx
CsenNsen
x
N
McuadrantesegundodelesquemayoresM
CsenMsen
MsenCsen
CCC
CC
18826234,233
´´16,559́º13)´´54.41´11º18´´3,23´38º148(º180
´´3,23´38º148´´7,36´21º31º180º90
520416499,03
553
´´54,41´11º1895,060
57coscos6057
cos6036254cos652652 222
=⋅
=→=
=+−=
=−=→→
→=⋅
=→=
=→==→⋅−=−
→⋅−+=→⋅⋅⋅−+=
cmcsensen
c
cmbsensen
b
DADEE
EDBE
BAA
isóscelesestrapecioEl
9,30º45
63,22
º105
28,8º30
16
º15
º30º45º902
2º270)(º135º135º360
º15)º30º135(º180º30º135º105
=→=
=→=
=→==→=
→+=++++=
=+−=→=→=+
→
28) Un faro de 50 metros de altura está situado sobre un promontorio. Las respectivas distancias del extremo superior y la base del faro a un barco son de 85 y 65 metros respectivamente. Halla la altura del promontorio sobre el que está situado el faro.
29) Halla b, a, h, y c de las figuras adjuntas
mxaxx
a
aa
a
a
5550cos8585
50cos
´´63,47´40º49647058823,0cos
cos850097254225
cos50852508565 222
=→=−⋅=→+
=
=→=
→⋅−=
→⋅⋅⋅−+=
888241397,266
259093233,5cos66
cos:
´´54,30´46º28481373356,0026413531,8
º10544
º105
026413531,84233,64º105cos481636º105cos46246 222
=⋅=→=
=⋅=→=
=→=⋅
=→=
=→=⋅−+=⋅⋅⋅−+=
Hsenhh
Hsen
Hbb
HrectángulotriánguloelEn
Hsen
HsenHsensen
a
aa
paralelosotroslosyigualladountenerpor
igualessonHletralaconseñaladosángulosLos
242640687,4º45
º306
º45
6
º30
196152423,8º45
º1056
45
6
º105
3º306
196152423,5º30cos6:
º60º30º90º105)º30º45(º180
º30
=⋅
=→=
=⋅
=→=
=⋅=
=⋅=
=−==+−=→
sen
senc
sensen
c
sen
sena
sensen
a
senh
brectángulotriánguloelEn
BA
paralelosotroslosyigualladountenerporánguloaligualesHánguloEl
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