CORRECTION DES EXERCICES DU CHAPITRE n° 8 I) Diffusion Compton.

a) On Sait que Eν0 = h.ν0 = h.c/λ0

D’où λ0 = 0Ec.hν

= 194

834

106,1101031063,6

xx

xxx−

− = 1,243.10−10 m = 124,3 pm

b) Schéma : c) i. On étudie la collision du photon sur l’électron au repos.

Avant la collision : Après collision : Le photon possède : - une énergie Eν0 = h.ν0 = h.c/λ0 Eν = h.ν = h.c/λ - quantité de mvt p0 = h.ν0/c = h/λ0 p = h.ν/c = h/λ L’électron cible possède : - énergie de masse Eé = mé.c2 Eé' = 22é

42é c.pc.m + - quantité de mvt nulle pé = mé.v Pour l’effet Compton, on considère la collision comme élastique. La loi de conservation de l'énergie s’écrit :

h.ν0 + mé.c2 = h.ν + 22é42é c.pc.m + [1]

La loi de conservation de la quantité de mouvement en projection sur deux axes, s’écrit : - projection sur Ox :

c.h 0ν =

c.h ν .cosθ + pé.cosφ [2]

- projection sur Oy : 0 = c.h ν .sinθ -- pé.sinφ [3]

Nous avons trois équations dans lesquelles nous connaissons la fréquence ν0 du photon incident et l’angle de diffusion θ du photon, et trois inconnues ν, pé et φ. Dans son expérience, Compton impose l'angle θ de diffusion. - A partir de [1], on obtient : 22é

42é c.pc.m + = h.ν0 + mé.c2 -- h.ν = h.(ν0 -- ν) + mé.c2 Et en élevant les deux membres au carré : pé

2.c2 = [h.(ν0 -- ν) + mé.c2]2 -- mé2.c4

pé2.c2 = h2.(ν0

2 + ν2 – 2.ν0.ν) + 2.h.(ν0 -- ν).mé.c2 [4] - A partir de [2] et [3], on obtient : pé.cosφ =

c.h 0ν --

c.h ν .cosθ et pé.sinφ =

c.h ν .sinθ

ou pé.c.cosφ = h.ν0 – h.ν.cosθ et pé.c.sinφ = h.ν.sinθ En élevant au carré :

pé2.c2.cos2φ = h2.ν0

2 + h2.ν2.cos2θ -- 2.h2.ν0.ν.cosθ et pé

2.c2.sin2φ = h2.ν2.sin2θ Et en ajoutant membre à membre : pé

2.c2 = h2.(ν02 + ν2 – 2.ν0.ν.cosθ) [5]

- On égale les deuxièmes membres de [4] et [5] h2.(ν0

2 + ν2 – 2.ν0.ν) + 2.h.(ν0 -- ν).mé.c2 = h2.(ν02 + ν2 -- 2.ν0.ν.cosθ)

2.h.(ν0 -- ν).mé.c2 = 2.h2.ν0.ν.(1 -- cosθ) Soit

ννν−ν

.0

0 = 2é c.mh .(1 -- cosθ) ou

νc --

0

cν

= c.m

hé

.(1 -- cosθ)

Sachant que c/ν = λ et c/ν0 = λ0, on a :

λ = λ0 + c.mhé

.(1 -- cosθ) = 1,243x10−10 + 831

34

1031011,91063,6

xxx

x−

−x0,5 = 1,255.10−10 m = 125,5 pm

ii. Energie : Eν = λc.h = 10

834

10255,11031063,6

x

xxx−

− = 1,585.10−15 J = 9,9 keV

d) i. La conservation de l’énergie nous a permis d’écrire l’équation [1] :

0

c.hλ

+ mé.c2 = λc.h + 22é

42é c.pc.m + d’où 22é42é c.pc.m + =

0

c.hλ

-- λc.h + mé.c2

Dans laquelle 22é42é c.pc.m + est l’énergie totale de l’électron. Son énergie cinétique est

donc : EC = 22é42é c.pc.m + -- mé.c2 = h.c.(

0

1λ

-- λ1 ) = 1,53.10−17 J = 96 eV

ii. On a 22é42é c.pc.m + = EC + mé.c2

Soit pé2.c2 = (EC + mé.c2)2 -- mé

2.c4 Ou pé

2 = (c

EC + mé.c)2 -- mé2.c2

Donc pé2 = 2

2C

cE + 2.EC.mé + mé

2.c2 -- mé2.c2

pé = éC2

2C m.E.2c

E + = 4751 10.79,210.60,2 −− + = 5,28.10−24 kg.m.s−1

On voit que, numériquement, le terme EC2/c2 est négligeable devant 2.EC.mé.

On aurait pu vérifier que l'énergie cinétique EC = 1,53.10−17 J = 96 eV est bien négligeable devant l'énergie de masse mé.c2 = 8,2.10-14 J = 512 keV !!

L'électron est typiquement non relativiste. Ce qu'on avait supposé en posant pé = mé.v et non pé =

2

2é

cv1v.m

−

On trouve, en effet, v = pé/mé = 5,8.106 m.s−1 << c = 3,0.108 m.s−1

iii. De [3], on tire : sinφ = λ.p

hé

.sinθ = ép

pν .sinθ = 0,866

φ = 60 ° II) Diffraction des électrons.

a) Les électrons étant accélérés dans une différence de potentiel U = 1 kV, acquièrent une énergie cinétique : EC = e.U. On sait, d'autre part que λ =

CE.m.2h

On peut donc associer aux électrons la longueur d'onde :

λ = U.e.m.2

hé

= 31931

34

10106,11011,921063,6

xxxxx

x−−

− = 3,88.10−11 m = 38,8 pm

b) i. On aura des interférences constructives si la "différence de marche" entre deux ondes successives de matière diffractées est telle que δ = kλ La différence de marche est géométriquement donnée par : δ = 2.d.sinθ A l'ordre k, on aura : 2.d.sinθ = k.λ

Soit pour k = 1 θ = arcsin( d.2λ ) = arcsin(

12028,38

x) = 9,3 °

ii. Sur le schéma, on voit que : α = 180 -- 2.θ = 161,4 ° iii. D'une façon générale θ = arcsin(

d.2.k λ )

Pour que cette équation admette des solutions, il faut que d.2

.k λ < 1

Soit k < λd.2 = 6,2 kM = 6

On devrait pouvoir observer 6 taches de diffraction.

d) Schéma :

III) Neutron thermique. On sait que la longueur d'onde De Broglie est donnée par λ =

CE.m.2h , où m est la masse de

la particule et EC son énergie cinétique. En posant m = mn = 1,67.10−27 kg et EC = εC,moy = 2

3 .k.T, on a :

λ = T.k.m.3

hn

= 29810382,11067,13

1063,6xxxxx

x2327

34

−−

− = 1,46.10−10 m = 146 pm