Mécanique des Solides Rigides · L'étude de quelques problèmes de statique familiarisera le ......

Jean-Marie Berthelot

Mécanique des Solides Rigides

ISMANS Institut Supérieur des Matériaux Le Mans, France et Mécaniques Avancés

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Mécanique des Solides Rigides

Jean-Marie Berthelot est Professeur Émérite à l’Institut Supérieur des Matériaux et Mécaniques Avancés (ISMANS), Le Mans. Il exerce ses compétences dans les domaines de la Mécanique des Matériaux et des Matériaux Composites. Spécia-liste reconnu au niveau international, ses travaux dans le domaine du Compor-tement Mécanique des Matériaux Composites font l’objet de publications régu-lières dans des congrès et journaux scientifiques internationaux. Il est l’auteur de différents ouvrages sur la Mécanique des Solides et sur le Comportement des Matériaux Composites.


Mecanique des Solides Rigides

ISMANS Institut Supérieur des Matériaux Le Mans, France et Mécaniques Avancés

Avant-Propos

Cet ouvrage développe les fondements de la mécanique des solides indéfor-mables. Il s'adresse aux étudiants de premier cycle des universités (DEUG et DUT) et des classes préparatoires, ainsi qu'aux étudiants de licence et de première année d'école d'ingénieur. L'ouvrage est issu des enseignements de mécanique effectués par l’auteur au fil du temps et bénéficie ainsi d'une longue expérience avec les étudiants.

Le contenu et la progression ont été conçus avec deux objectifs principaux : 1. avoir une progression des difficultés de manière à faciliter l'accès aux étudiants des premiers cycles ; 2. mettre en place un formalisme qui conduise à uniformiser l'analyse des problèmes de mécanique d'un solide ou d'un ensemble de solides. L'ouvrage est divisé en six parties.

La première partie, Éléments de mathématiques, traite des outils classiques du mécanicien : espace vectoriel 3, espace géométrique, dérivées vectorielles, cour-bes. Un chapitre est consacré aux torseurs, dont le concept constitue la clef de l'ouvrage. La notion générale de centre de mesure est introduite dans le cadre de ce chapitre.

La deuxième partie, Cinématique, débute par l'étude du mouvement d'un point (la cinématique du point). Des mouvements particuliers sont ensuite étudiés, un chapitre étant réservé aux mouvements à accélération centrale. Vient ensuite l'étude de la cinématique d'un solide : paramètres de situation, torseur cinématique, étude de mouvements particuliers. Nous avons exclu volontairement de cette partie le problème de changement de repère qui conduit à introduire la notion “d'entraînement ”. Cette notion n'est pas assimilée par les étudiants à ce niveau. Par contre, elle s'introduit tout naturellement dans le cadre du concept du torseur cinématique. Le changement de repère sera considéré en tant que tel dans le cadre de la cinétique (quatrième partie).

La troisième partie, Actions mécaniques, traite d'abord des généralités sur les actions exercées sur un solide ou un ensemble de solides. Représentées par des torseurs, les actions mécaniques ont des propriétés générales qui en sont dérivées. Un chapitre est consacré aux actions de liaison, dont le concept est à la base de la conception technologique des systèmes mécaniques. L'introduction de la puis-sance développée simplifie grandement les restrictions imposées dans le cas de liaisons parfaites. L'étude de quelques problèmes de statique familiarisera le lecteur avec l'analyse des actions mécaniques.

La quatrième partie, Cinétique des solides, introduit les outils nécessaires pour aborder les problèmes de dynamique des ensembles de solides : opérateur d'inertie, torseur cinétique, torseur dynamique et énergie cinétique. Le problème du change-ment de repère est ensuite analysé.

À ce stade, le lecteur possède tous les éléments pour traiter les problèmes de la dynamique d'un solide ou d'un ensemble de solides, objets de la cinquième partie, Dynamique des solides. Après avoir mis en place le schéma général d'analyse d'un problème de dynamique, quelques problèmes particuliers sont traités. La dé-marche est toujours la même : obtention des équations de la dynamique à l'aide du

Avant-propos VIII

principe fondamental de la dynamique, hypothèses sur les liaisons entre les solides, équations de mouvement et équations de liaisons. Le concepteur aura à s'intéresser aussi bien aux paramètres de mouvement qu'aux actions exercées au niveau des liaisons dans le cadre d'un dimensionnement des systèmes mécaniques. L'application du principe fondamental de la dynamique permet d'accéder à toutes les équations de la mécanique. Toutefois, l'utilisateur qui ne s'intéresse qu'aux équations de mouvement a besoin d'un outil systématique pour les obtenir : les équations de Lagrange, qui sont développées dans le dernier chapitre de cette partie.

Les équations de mouvement d'un solide ou d'un ensemble de solides sont généralement complexes, et la plupart des équations ne peuvent être résolues par une méthode analytique. Le mécanicien a aujourd'hui à sa disposition tous les outils numériques nécessaires pour résoudre les équations de mouvement, quelle que soit leur complexité. La sixième partie, Méthodes numérique de résolution des équations de mouvement, en est une introduction.

Ce traité montre ainsi que l'analyse complète d'un problème de Mécanique d'un Solide ou d'un Système de Solides Rigides s'effectue toujours suivant le même processus : 1. faire l'analyse cinématique du mouvement du solide ou des solides, 2. effectuer l'analyse cinétique, 3. caractériser les actions mécaniques exercées, 4. appliquer le principe fondamental de la dynamique.

L'objet de ce traité a donc été de mettre en place progressivement les divers outils nécessaires pour effectuer l'ensemble de ce processus d'analyse. Il en résulte que l'analyse complète d'un système réel ne peut être effectuée que lorsque l'ensemble des outils est parfaitement maîtrisé. Dans le développement de l'ouvrage, il a donc été choisi d'illustrer l'utilisation des divers outils en les appliquant à des exemples très simples, à chaque étape de leur mise en place. Des exercices sont proposés à la suite de la plupart des chapitres. Ils ont été introduits à titre d'illustration et, par conséquent, le nombre en a été volontairement limité.

De brefs commentaires ont été ajoutés à la fin de chaque chapitre. Ces com-mentaires résument les principaux éléments introduits dans les chapitres en insistant sur les notions les plus importantes à assimiler. La correction des exercices est reportée à la fin de l'ouvrage de manière à ne pas morceler la continuité de la procédure d'analyse d'un problème de Mécanique des Solides. La rédaction des corrigés a été volontairement développée et structurée de manière à améliorer la capacité de raisonnement du lecteur.

À la fin de l'ouvrage et de la compréhension des concepts fondamentaux introduits, le concepteur possédera alors tous les éléments qui lui permettront de conduire une analyse mécanique complète et structurée des systèmes mécaniques qu'il aura à étudier.

Juillet 2012 Jean-Marie BERTHELOT

Table des Matières

Avant-propos V

PARTIE I Éléments de Mathématiques 1

Chapitre 1 Espace vectoriel 3 3

1.1 Définition de l’espace vectoriel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Loi de composition interne ou somme vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Loi de composition externe ou multiplication par un nombre réel . . . . . . . 4

1.2 Dépendance et indépendance linéaire. Base de 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Dépendance et indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Base de l’espace vectoriel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Composantes d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Intensité ou norme d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Expression analytique du produit scalaire dans une base quelconque . . . . 9 1.3.4 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.5 Base orthonormée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.6 Expression du produit scalaire dans une base orthonormée . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2 Expression analytique du produit vectoriel dans une base quelconque . . . 11 1.4.3 Base directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.4 Expression du produit vectoriel dans une base directe . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.5 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.6 Propriété du double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Bases de l’espace vectoriel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.1 Base canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chapitre 2 L’espace géométrique 18

2.1 L’espace géométrique considéré comme l’espace affine de 3 18

Table des Matières viii

2.1.1 L’espace géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 Distance entre deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.4 Angle entre deux bipoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.5 Repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Sous-espaces de l’espace géométrique : droite, plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.3 Droites et plans de mêmes directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.4 Droites et plans orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Repérage d’un point de l’espace géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Axes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Repère orthonormé direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.3 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Équations du plan et de la droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1 Équation cartésienne d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.2 Équation cartésienne d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.2 Repères ayant un axe confondu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.3 Repères quelconques ayant même origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Chapitre 3 Fonction vectorielle. Dérivées 40

3.1 Fonction vectorielle d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.3 Propriétés de la dérivée vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Fonction vectorielle de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Fonction vectorielle de n variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Chapitre 4 Rappels sur les courbes 50 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2 Abscisse curviligne. Longueur d’un arc de courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3 Tangente. Normale. Rayon de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.4 Repère de Frénet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Table des Matières ix

Chapitre 5 Torseurs 55 5.1 Définition et propriétés des torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.1.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.1.2 Propriétés des vecteurs-moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.1.3 Espace vectoriel des torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.1.4 Invariant scalaire d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.1.5 Produit de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.1.6 Moment d’un torseur par rapport à un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.1.7 Axe central d’un torseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2 Torseurs particuliers. Décomposition d’un torseur quelconque . . . . . . . . . 60 5.2.1 Glisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2.2 Torseur-couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.2.3 Torseur quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3 Torseurs associés à un champ de glisseurs défini sur un domaine de de l’espace géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3.1 Torseur associé à un ensemble de points dénombrables . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3.2 Torseur associé à un ensemble continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.3.3 Cas particulier important. Centre de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

PARTIE II Cinématique 73

Chapitre 6 Cinématique du point 75 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2 Trajectoire et vecteurs cinématiques d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2.1 Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.2.2 Vecteurs cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2.3 Composantes normales et tangentielles des vecteurs cinématiques . . . . . . 78 6.2.4 Divers types de mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.3 Expressions des composantes des vecteurs cinématiques en fonction des coordonnées cartésiennes ou cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.3.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.3.2 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Chapitre 7 Étude de mouvements particuliers 84 7.1 Mouvements à trajectoire rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.1.2 Mouvement rectiligne uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.1.3 Mouvement rectiligne uniformément varié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.1.4 Mouvement rectiligne vibratoire simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.2 Mouvements à trajectoire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.2.1 Équations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

x Table des Matières

7.2.2 Mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.2.3 Mouvement circulaire uniformément varié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.3 Mouvements à vecteur accélération constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.3.1 Équations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.3.2 Étude du cas où la trajectoire est rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.3.3 Étude du cas où la trajectoire est parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.4 Mouvement hélicoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.5 Mouvement cycloïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Chapitre 8 Mouvements à accélération centrale 100

8.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.1.2 Un mouvement à accélération centrale est un mouvement à trajectoire plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.1.3 Vitesse aréolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.1.4 Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.1.5 Expression des vecteurs cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.1.6 Équation polaire de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.1.7 Mouvements pour lesquels 2( , )Ta M t OM

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.2 Mouvements à accélération centrale pour lesquels 3

( , )T OMa M t K

OM

104

8.2.1 Équations des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.2.2 Étude des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.2.3 Intensité de la vitesse en un point de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.2.4 Mouvement elliptique. Lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Chapitre 9 Cinématique du solide 111

9.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.1.1 Notion de solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.1.2 Repérage d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.2 Relations entre les trajectoires et les vecteurs cinématiques de deux points liés à un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9.2.1 Relation entre les trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9.2.2 Relation entre les vecteurs vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9.2.3 Expression du vecteur rotation instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 9.2.4 Torseur cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 9.2.5 Relation entre les vecteurs accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9.3 Généralisation de la composition des mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 9.3.1 Composition des torseurs cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 9.3.2 Mouvements inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 9.4 Exemples de mouvements de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9.4.1 Mouvement de rotation autour d’un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9.4.2 Mouvement de translation d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Table des Matières xi

9.4.3 Mouvement d’un solide soumis à une liaison verrou . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.4.4 Mouvement de rotation autour d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.4.5 Mouvement plan sur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Chapitre 10 Cinématique de solides en contact 137

10.1 Cinématique de deux solides en contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10.1.1 Solides en contact ponctuel. Glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10.1.2 Pivotement et roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 10.1.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 10.1.4 Solides en contact en plusieurs points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 10.2 Transmission de mouvements de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 10.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 10.2.2 Transmission par friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.2.3 Transmission par engrenages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.2.4 Transmission par courroie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

PARTIE III Les Actions Mécaniques 153

Chapitre 11 Généralités sur les actions mécaniques 155

11.1 Concepts relatifs aux actions mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11.1.1 Notion d’action mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11.1.2 Représentation d’une action mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11.1.3 Classification des actions mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 11.1.4 Actions mécaniques s’exerçant entre les ensembles matériels . . . . . . . . . . 158 11.1.5 Actions mécaniques extérieures s’exerçant sur un ensemble matériel . . . . 158 11.2 Divers types d’actions mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.2.1 Natures physiques des actions mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.2.2 Environnement et actions efficaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.3 Puissance et travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11.3.1 Définition de la puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11.3.2 Changement de repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.3.3 Énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.3.4 Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11.3.5 Puissance et travail d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 11.3.6 Ensemble de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Chapitre 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse 169

12.1 Phénomène de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 12.1.1 Loi de la gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Table des Matières xii

12.1.2 Champ gravitationnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.1.3 Action de gravitation créée par une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.1.4 Action de gravitation terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 12.2 Action de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 12.2.1 Champ de pesanteur terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 12.2.2 Action de pesanteur exercée sur un ensemble matériel . . . . . . . . . . . . . . . 174 12.2.3 Puissance développée par l’action de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12.3 Détermination du centre de masse 177 12.3.1 Centre de masse d’un ensemble matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 12.3.2 Centre de masse de la réunion de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 12.3.3 Centre de masse d’un ensemble homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 12.3.4 Corps homogènes présentant des symétries géométriques . . . . . . . . . . . . 180 12.4 Exemples de détermination de centres de masse 181 12.4.1 Demi-boule homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 12.4.2 Solide homogène à géométrie complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 12.4.3 Solide non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons 186

13.1 Lois du contact entre solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 13.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 13.1.2 Contact ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 13.1.3 Couples de roulement et pivotement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 13.2 Liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 13.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 13.2.2 Classification des liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 13.2.3 Action de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 13.2.4 Liaison sans frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 13.2.5 Liaison avec frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Chapitre 14 Statique d’un solide et d’un ensemble de solides 204

14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 14.2 Lois de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 14.2.1 Cas d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 14.2.2 Cas d’un ensemble de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 14.2.3 Actions mutuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 14.3 Statique des fils ou câbles souples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 14.3.1 Action mécanique exercée par un fil ou un câble souple . . . . . . . . . . . . . . 207 14.3.2 Équation de la statique d’un fil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 14.3.3 Fil ou câble souple soumis à l’action de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 14.3.4 Contact d’un fil avec un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 14.4 Exemples d’équilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 14.4.1 Cas d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 14.4.2 Cas d’un ensemble de deux solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Table des Matières

XIII

PARTIE IV Cinétique des Solides 225

Chapitre 15 L’opérateur d’inertie 227

15.1 Introduction de l’opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 15.1.1 Opérateur associé à un produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 15.1.2 Extension du résultat précédent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 15.1.3 Opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 15.2 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 15.2.1 Changement d’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 15.2.2 Relation de Huyghens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 15.2.3 Diagonalisation de la matrice d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 15.2.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 15.3 Moments d’inertie par rapport à un point, un axe, un plan . . . . . . . . . . . 234 15.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 15.3.2 Relations entre les moments d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 15.3.3 Cas d’un solide plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 15.3.4 Moment d’inertie par rapport à un axe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 15.4 Détermination des matrices d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 15.4.1 Solides à symétries matérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 15.4.2 Solide ayant une symétrie de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 15.4.3 Solide ayant une symétrie sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 15.4.4 Associativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 15.5 Matrices d’inertie de solides homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 15.5.1 Solides linéiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 15.5.2 Solides surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 15.5.3 Solides volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Chapitre 16 Torseur cinétique. Torseur dynamique. Énergie cinétique 255

16.1 Torseur cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 16.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 16.1.2 Torseur cinétique associé au mouvement d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . 256 16.1.3 Torseur cinétique d’un ensemble de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 16.2 Torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 16.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 16.2.2 Torseur dynamique associé au mouvement d’un solide . . . . . . . . . . . . . . 258 16.2.3 Torseur dynamique d’un ensemble de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 16.2.4 Relation avec le torseur cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 16.3 Énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 16.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 16.3.2 Énergie cinétique d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 16.3.3 Énergie cinétique d’un ensemble de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 16.3.4 Dérivée de l’énergie cinétique d’un solide par rapport au temps . . . . . . . 262 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Commentaires 264

XIV Table des Matières

Chapitre 17 Changement de repère 265 17.1 Cinématique du changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 17.1.1 Relation entre les torseurs cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 17.1.2 Relation entre les vecteurs vitesses. Vitesse d’entraînement . . . . . . . . . . 266 17.1.3 Composition des vecteurs accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 17.2 Torseurs dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 17.2.1 Torseur d’inertie d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 17.2.2 Torseur d’inertie de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 17.2.3 Relation entre les torseurs dynamiques définis dans deux repères différents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

PARTIE V Dynamique des solides 275

Chapitre 18 Le principe fondamental de la dynamique et ses conséquences 277

18.1 Principe fondamental 277 18.1.1 Énoncé du principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 18.1.2 Classe des repères galiléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 18.1.3 Équations vectorielles déduites du principe fondamental . . . . . . . . . . . . . 278 18.1.4 Équations scalaires déduites du principe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . 279 18.2 Actions mutuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 18.2.1 Théorèmes des actions mutuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 18.2.2 Transmission d’actions mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 18.3 Théorème de l’énergie-puissance 281 18.3.1 Cas d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 18.3.2 Cas d’un ensemble de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 18.3.3 Cas où les actions mécaniques admettent une énergie potentielle . . . . . . 283 18.4 Application du principe fondamental à l’étude du mouvement d’un solide libre dans un repère galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 18.4.1 Problème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 18.4.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 18.5 Application au système solaire 288 18.5.1 Repère galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 18.5.2 Mouvement des planètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 18.5.3 La Terre dans le système solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Chapitre 19 L’équation fondamentale de la dynamique dans les divers repères utilisés en mécanique 293

19.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 19.1.1 Équation fondamentale de la dynamique dans un repère non galiléen . . . 293 19.1.2 Les repères utilisés en mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 19.2 Relation fondamentale de la dynamique dans le repère géocentrique . . . . 295 19.2.1 Équations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Table des Matières

XV

19.2.2 Cas d’un solide situé au voisinage de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 19.3 Relation fondamentale de la dynamique dans un repère lié à la Terre . . 298 19.3.1 Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 19.3.2 Action de pesanteur terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 19.3.3 Conclusions sur les équations de la dynamique dans un repère lié à la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 19.4 Équations de la dynamique d’un solide par rapport à un repère dont le mouvement est connu relativement à la Terre . . . . . . . . . . . . . . . 301 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Chapitre 20 Généralités sur la dynamique d’un solide ou d’un ensemble de solides 304

20.1 Dynamique d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 20.1.1 Équations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 20.1.2 Schéma d’étude général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 20.2 Dynamique d’un ensemble de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 20.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Chapitre 21 Dynamique d’un système à un degré de liberté Analyse des vibrations 309

21.1 Équations générales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 21.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 21.1.2 Paramètres de situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 21.1.3 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 21.1.4 Cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 21.1.5 Actions mécaniques exercées sur le solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 21.1.6 Application du principe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 21.2 Vibrations en l’absence de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 21.2.1 Équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 21.2.2 Vibrations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 21.2.3 Vibrations forcées en régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 21.3 Vibrations avec frottement visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 21.3.1 Équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 21.3.2 Vibrations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 21.3.3 Vibrations forcées en régime harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 21.3.4 Vibrations forcées dans le cas d’une force périodique imposée . . . . . . . . 331 21.3.5 Vibrations dans le cas d’une force imposée quelconque . . . . . . . . . . . . . 332 21.3.6 Vibrations forcées dans le cas d’un mouvement imposé au support . . . . . 333 21.4 Vibrations avec frottement sec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 21.4.1 Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 21.4.2 Vibrations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 21.5 Amortissement visqueux équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 21.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 21.5.2 Travail de la force imposée et énergie dissipée dans le cas d’un amortissement visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

XVI Table des Matières

21.5.3 Amortissement structural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 21.5.4 Frottement sec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 21.5.5 Frottement fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 21.5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

Chapitre 22 Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe 347

22.1 Équations générales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 22.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 22.1.2 Paramètres de situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 22.1.3 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 22.1.4 Cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 22.1.5 Actions mécaniques exercées sur le solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 22.1.6 Application du principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . 352 22.2 Exemples de mouvements de rotation autour d’un axe . . . . . . . . . . . . . . . 354 22.2.1 Solide en rotation soumis uniquement à la pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . 354 22.2.2 Pendule de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 22.3 Problème de l’équilibrage des rotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 22.3.1 Équations générales d’un solide non équilibré en rotation . . . . . . . . . . . . 357 22.3.2 Actions mécaniques exercées sur l’axe du rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 22.3.3 Principe de l’équilibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

Chapitre 23 Mouvement plan sur plan d’un solide 365

23.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 23.2 Mouvement d’un parallélépipède se déplaçant sur un plan incliné . . . . . . 365 23.2.1 Paramètres de situation et cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 23.2.2 Cinétique du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 23.2.3 Actions mécaniques exercées sur le parallélépipède . . . . . . . . . . . . . . . . 367 23.2.4 Équations déduites du principe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 23.2.5 Mouvement sans frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 23.2.6 Mouvement avec frottement sec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 23.2.7 Mouvement avec frottement visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 23.3 Analyse du glissement et du basculement d’un parallélépipède sur un plan incliné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 23.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 23.3.2 Paramètres de situation et cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 23.3.3 Équations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 23.3.4 Analyse des divers mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 23.3.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 23.4 Mouvement d’un cylindre sur un plan incliné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 23.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 23.4.2 Paramètres de situation et cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Table des Matières

xvii

23.4.3 Actions mécaniques exercées sur le cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 23.4.4 Équations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 23.4.5 Analyse des divers mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 23.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

Chapitre 24 Autres exemples de mouvements de solides 389

24.1 Solide en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 24.1.1 Expressions générales d’un solide en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 24.1.2 Solide libre en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 24.2 Mouvement d’un solide reposant sur un chariot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 24.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 24.2.2 Paramètres de situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 24.2.3 Cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 24.2.4 Analyse des actions mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 24.2.5 Équations de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 24.2.6 Analyse des divers mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 24.3 Mouvements couplés de deux solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 24.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 24.3.2 Paramètres de situation et cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 24.3.3 Cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 24.3.4 Analyse des actions mécaniques exercées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 24.3.5 Équations déduites du principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . 408 24.3.6 Analyse des équations déduites du principe fondamental . . . . . . . . . . . . . 409 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

Chapitre 25 Les équations de Lagrange 413

25.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 25.1.1 Solide libre et solide lié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 25.1.2 Torseurs cinématiques partiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 25.1.3 Coefficients de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 25.1.4 Liaisons parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 25.2 Équations de Lagrange relatives à un solide indéformable . . . . . . . . . . . . 416 25.2.1 Introduction aux équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 25.2.2 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 25.2.3 Cas où les actions mécaniques admettent une énergie potentielle . . . . . . 418 25.3 Équations de Lagrange pour un ensemble de solides . . . . . . . . . . . . . . . . 419 25.3.1 Équations de Lagrange pour chaque solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 25.3.2 Équations de Lagrange pour l’ensemble (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 25.3.3 Cas où les paramètres de situation sont liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 25.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 25.4.1 Mouvement d’un parallélépipède se déplaçant sur un plan incliné . . . . . . 422 25.4.2 Mouvement de deux solides couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 25.4.3 Pendule double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 A.25 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

Table des Matières xviii

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

PARTIE VI Méthodes Numériques de Résolution des Équations de Mouvements 435

Chapitre 26 Résolution numérique des équations différentielles du premier ordre 437

26.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 26.1.1 Le problème à conditions initiales données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 26.1.2 Méthode générale de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 26.1.3 La méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 26.2 Méthodes de résolution à pas séparés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 26.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 26.2.2 Méthodes de type Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 26.2.3 Méthodes de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 26.3 Méthodes à pas liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 26.3.1 Introduction aux méthodes à pas liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 26.3.2 Méthodes basées sur l’interpolation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 26.3.3 Généralisation des méthodes à pas liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 26.3.4 Exemples de méthodes à pas liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 26.3.5 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

Chapitre 27 Procédures numériques de résolution des équations de mouvements 457

27.1 Équation de mouvement d’un solide à un degré de liberté . . . . . . . . . . . . 457 27.1.1 Forme de l’équation de mouvement à un degré de liberté . . . . . . . . . . . . 457 27.1.2 Principe de la résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 27.1.3 Application au cas du mouvement d’un pendule pesant . . . . . . . . . . . . . 458 27.2 Équations de mouvements à plusieurs degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . 461 27.2.1 Forme des équations de mouvements à plusieurs degrés de liberté . . . . . 461 27.2.2 Principe de la résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 27.2.3 Trajectoires et vecteurs cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 27.3 Mouvements de planètes et de satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 27.3.1 Mouvement d’une planète autour du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 27.3.2 Mouvement d’un satellite autour de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 27.3.3 Lancement et mouvement d’une sonde lunaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 27.4 Mouvement d’un solide sur un plan incliné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 27.5 Mouvement de deux solides couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 27.5.1 Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 27.5.2 Résolution analytique dans le cas de faibles amplitudes et en l’absence de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 27.5.3 Résolution numérique des équations de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . 476

xix Table des Matières

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

PARTIE VII Solutions des exercices 481

Chapitre 1 Espace vectoriel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

Chapitre 2 L’espace géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

Chapitre 4 Rappels sur les courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

Chapitre 5 Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

Chapitre 6 Cinématique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

Chapitre 7 Études de mouvements particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

Chapitre 9 Cinématique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

Chapitre 10 Cinématique de solides en contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

Chapitre 11 Généralités sur les actions mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

Chapitre 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

Chapitre 14 Statique d’un solide et d’un ensemble de solides . . . . . . . . . . . . . . 538

Chapitre 15 L’opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

Chapitre 16 Torseur cinétique. Torseur dynamique. Énergie cinétique . . . . . . 559

Chapitre 21 Dynamique d’un système à un degré de liberté Analyse des vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

Chapitre 22 Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe . . . . . . . . 571

Chapitre 24 Autres exemples de mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

Chapitre 25 Les équations de Lagrange 596

Partie I

Éléments de Mathématiques

Cette partie introduit les principaux outils mathématiques nécessaires à la mise en place des divers concepts utilisés en Mécanique des Solides Rigides. L'espace vectoriel 3 des vecteurs en est la base. Cet espace permet ensuite de formuler l'espace physique qui nous entoure, l'espace géométrique, et d'en formaliser ses propriétés. La stratégie de développement de cet ouvrage est fondée sur le formalisme des torseurs. Une attention particulière doit donc être portée à cette notion.

CHAPITRE 1

Espace vectoriel R3

1.1 DÉFINITION DE L'ESPACE VECTORIEL R3

1.1.1 Vecteurs

L'espace vectoriel 3 peut être défini comme étant l'espace des triplets (C1, C2, C3) où C1, C2, C3 sont trois réels rangés dans cet ordre. Les triplets ainsi définis sont appelés vecteurs et notés V . Soit :

( )1 2 3, , V C C C= . (1.1)

Les nombres réels C1, C2, C3 sont les composantes du vecteur V .

L'espace vectoriel 3 est ensuite muni d'une loi de composition interne et d'une loi de composition externe, définies ci-après.

1.1.2 Loi de composition interne ou somme vectorielle

La somme vectorielle associe aux vecteurs V et V ′ un vecteur somme noté

V V ′+ :

3 , V V ′∀ ∈

3V V ′+ ∈ .

Soit ( )1 2 3, , V C C C= et ( )1 2 3, , V C C C′ ′ ′ ′= les deux vecteurs de 3. La

somme vectorielle est définie par la relation :

( )1 1 2 2 3 3, , V V C C C C C C′ ′ ′ ′+ = + + + . (1.2)

loi de composition

interne

4 Chapitre 1 Espace vectoriel 3

L'élément neutre, noté 0 , est défini par :

( )0 0, 0, 0= . (1.3)

Les propriétés de la somme vectorielle sont les suivantes :

1. La somme vectorielle est commutative :

1 2 2 1V V V V+ = + . (1.4)

2. La somme vectorielle est associative :

( ) ( )1 2 3 1 2 3V V V V V V+ + = + + . (1.5)

3. L'élément neutre est tel que :

0 .V V+ = (1.6)

4. À tout vecteur V , correspond un vecteur opposé, noté V− , tel que :

( ) 0V V+ − = . (1.7)

1.1.3 Loi de composition externe ou multiplication par un nombre réel

Cette loi est généralement appelée multiplication par un scalaire. Si α est un

nombre réel et V un vecteur, la loi de composition externe associe à V un vecteur

W noté Vα :

3, Vα∀ ∈ ∀ ∈

3W Vα= ∈ .

Le vecteur W est dit colinéaire au vecteur V . Si le vecteur V est défini par ses

composantes ( )1 2 3, , V C C C= , le vecteur W est défini par :

( )1 2 3, , W C C Cα α α= . (1.8)

La multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes :

1. Distributivité pour l'addition des scalaires :

( )1 2 1 2V V Vα α α α+ = + . (1.9)

2. Distributivité pour la somme vectorielle :

( )1 2 1 2V V V Vα α α+ = + . (1.10)

3. Associativité pour la multiplication par un scalaire :

( ) ( )1 2 1 2V Vα α α α= . (1.11)

loi de composition

externe

1.2 Dépendance et indépendance linéaire. Base de 3 5

1.2 DÉPENDANCE ET INDÉPENDANCE LINÉAIRE BASE DE R3

1.2.1 Combinaison linéaire

Soit 1 2, , . . . , , . . . , ,i pV V V V p vecteurs de l'espace 3 . Considérons p

nombres réels : 1 2, , . . . , , . . . , i pα α α α . Les vecteurs 1 21 2, , . . . , ,iiV V Vα α α

. . . , ,ppVα sont des vecteurs de l'espace vectoriel 3 , ainsi que leur somme qui

définit le vecteur V :

1 21 21

. . . p

p ip ii

V V V V Vα α α α=

= + + + =∑ . (1.12)

Le vecteur V ainsi défini est appelé combinaison linéaire des vecteurs 1 2,V V ,

. . . , .pV

1.2.2 Dépendance, indépendance linéaire

1.2.2.1 Définition

Dans l'espace vectoriel 3 , p vecteurs 1 2, , . . . , ,pV V V sont linéairement

indépendants si et seulement si l'égalité

1 21 21

. . . 0p

i pi pi

V V V Vα α α α=

= + + + =∑ (1.13)

entraîne obligatoirement :

1 20, 0, . . . , 0pα α α= = = . (1.14)

Tous les αi sont nuls. Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits linéairement dépendants.

1.2.2.2 Propriétés

a. Sur l'indépendance

1. Un vecteur V non nul est à lui seul linéairement indépendant. 2. Dans un système de vecteurs indépendants, aucun n'est le vecteur nul. En

effet, si l'on avait par exemple 0kV = , la relation (1.13) serait vérifiée avec 0kα ≠ .


3. Dans un ensemble de vecteurs indépendants, tout sous-ensemble prélevé sur ces vecteurs est indépendant.

b. Sur la dépendance 4. Si p vecteurs sont dépendants, au moins l'un d'entre eux est combinaison

linéaire des autres.

Considérons en effet p vecteurs 1 2, , . . . , pV V V . Si ces vecteurs sont linéai-

rement dépendants, la relation :

1

0p

iii

Vα=

=∑ (1.15)

implique qu'au moins un des nombres réels αi n'est pas nul : α1 par exemple. La relation précédente s'écrit :

( )1 21 2 . . . ppV V Vα α α= − + + , (1.16)

et il est alors possible de diviser par α1 (différent de zéro) et d'exprimer 1V sous la forme :

11 2

1p

iii

V Vαα

=

= − ∑ . (1.17)

Nous disons alors que 1V dépend linéairement des vecteurs 2 3, , . . . , .pV V V

5. Si 1 2, , . . . , pV V V sont linéairement dépendants, les vecteurs 1 2,V V ,

1. . . , , , . . . , ,p p p rV V V+ + le sont aussi quels que soient les vecteurs

1 , . . . , .p p rV V+ +

6. Théorème

Dans le sous-espace engendré par p vecteurs linéairement indépendants, tout vecteur est représentable d'une façon unique comme combinaison linéaire de ces p vecteurs.

Soit 1 2, , . . . , ,pV V V p vecteurs linéairement indépendants. Tout vecteur V

s'écrit donc de manière unique sous la forme :

1

p

iii

V Vα=

=∑ . (1.18)

De ce théorème est déduit le résultat important suivant :

Une égalité vectorielle entre p vecteurs indépendants de la forme :

1 1

p p

i ii ii i

V Vα α= =

′=∑ ∑ (1.19)

1.2 Dépendance et indépendance linéaire. Base de 3 7

est équivalente à p égalités scalaires entre les nombres réels :

1 1 2 2, , . . . , p pα α α α α α′ ′ ′= = = . (1.20)

Cette propriété n'est plus vraie si les vecteurs sont dépendants.

1.2.3 Base de l'espace vectoriel R3

La recherche de systèmes de vecteurs indépendants dans l'espace vectoriel 3 se fait de la manière suivante.

Nous avons noté précédemment qu'un vecteur non nul est à lui seul

linéairement indépendant. Nous choisissons donc un vecteur 1V non nul de 3 .

Nous recherchons ensuite un vecteur 2V tel que 1V et 2V soient linéairement

indépendants; puis un vecteur 3V tel que 1V , 2V , 3V soient linéairement indé-pendants; etc. Nous observons alors qu'il est possible de trouver un ensemble de 3 vecteurs linéairement indépendants (il existe une infinité de tels ensembles), et

que si nous ajoutons un quatrième vecteur 4V , les quatre vecteurs 1V , 2V , 3V et

4V sont linéairement dépendants quel que soit le vecteur 4V . L'espace vectoriel 3 est ainsi un espace de dimension 3. Tout ensemble de 3 vecteurs linéairement indépendants est alors appelé base

de l'espace vectoriel 3 . Il résulte des propriétés énoncées précédemment :

1. Tout vecteur de 3 s'exprime (sous forme unique) comme une combinaison linéaire des 3 vecteurs de la base.

2. L'ensemble des combinaisons linéaires des 3 vecteurs de base engendre

l'espace vectoriel 3 .

L'espace vectoriel 3 est donc entièrement déterminé par la donnée d'une base.

1.2.4 Composantes d'un vecteur

Soit 1 2 3, , e e e trois vecteurs de 3 linéairement indépendants. Leur

ensemble ( )1 2 3( ) , , b e e e= constitue une base de l'espace 3 . D'après ce qui pré-

cède, tout vecteur V de 3 s'écrit de manière unique suivant :

1 1 2 2 3 3V C e C e C e= + + . (1.21)

Les composantes (C1, C2, C3) sont alors appelées les composantes du vecteur relativement à la base (b). Ci est la composante suivant ie .


1.3 PRODUIT SCALAIRE

1.3.1 Définition

On appelle produit scalaire de deux vecteurs V et W une loi de composition externe qui associe à ces deux vecteurs un nombre réel (dit scalaire) noté V W⋅ : 3 , V W∀ ∈

V W ∈⋅ ,

ayant les propriétés suivantes :

( )2 21 1 ,V V W V W V W+ = +⋅ ⋅ ⋅ (1.22)

( ) ( ) ,V W V Wα α=⋅ ⋅ (1.23)

,V W W V=⋅ ⋅ (1.24)

0 si 0 .V V V> ≠⋅ (1.25)

Les deux premières propriétés expriment la linéarité du produit scalaire par

rapport au vecteur .V En particulier 0 0V⋅ = . La troisième propriété exprime que le produit scalaire est symétrique par

rapport à V et à W . Il en résulte que le produit scalaire est aussi linéaire par

rapport à .W Ces propriétés peuvent être résumées en disant que le produit scalaire de deux

vecteurs ,V W est une forme linéaire symétrique associée aux vecteurs V et .W

1.3.2 Intensité ou norme d'un vecteur

On appelle intensité ou norme du vecteur V , que nous noterons V , la racine carrée positive du produit scalaire du vecteur par lui-même.

Soit :

2

,V V V V= =⋅ (1.26)

en notant :

2.V V V=⋅ (1.27)

En particulier, nous avons :

V Vα α= , (1.28)

1 2 1 2 1 2V V V V V V− ≤ + ≤ + . (1.29)

Cette dernière inégalité est appelée inégalité triangulaire.

produit

scalaire

1.3 Produit scalaire 9

1.3.3 Expression analytique du produit scalaire dans une base quelconque

Soit deux vecteurs V et .V ′ Leurs expressions dans la base ( )1 2 3, , e e e de

l'espace 3 sont :

1 1 2 2 3 3V C e C e C e= + + , (1.30)

1 1 2 2 3 3V C e C e C e′ ′ ′ ′= + + . (1.31)

Le produit scalaire des deux vecteurs s'écrit :

( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3V V C e C e C e C e C e C e′ ′ ′ ′= + + + +⋅ ⋅ . (1.32)

En utilisant les propriétés (1.22) à (1.24), l'expression précédente s'écrit :

( )( )( )( ) ( )( )

2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 2 1 1 2

2 3 3 2 2 3 3 1 1 3 3 1 .

V V C C e C C e C C e C C C C e eC C C C e e C C C C e e

′ ′ ′ ′ ′ ′= + + + +′ ′ ′ ′+ + + +

⋅ ⋅⋅ ⋅

(1.33)

Cette relation exprime le produit scalaire des deux vecteurs V et V ′dans une base quelconque. Cette expression se simplifie en considérant des bases particulières que nous introduisons ci-après.

1.3.4 Vecteurs orthogonaux

On dit que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Soit :

et orthogonaux 0.V W V W⇔ =⋅ (1.34)

Théorème : Si n vecteurs (n = 2 ou 3) non nuls sont deux à deux orthogonaux, ils sont linéairement indépendants. Si n = 3, les vecteurs constituent une base ortho-gonale de 3 .

1.3.5 Base orthonormée

Une base est orthonormée, si les vecteurs qui constituent cette base sont orthogonaux deux à deux (base orthogonale) et si leurs normes sont égales à 1 (base normée à 1).

Si la base ( )1 2 3, , e e e est orthonormée, nous avons donc :


1 2 2 3 3 10, 0, 0,e e e e e e= = =⋅ ⋅ ⋅ (1.35)

2 2 21 2 31, 1, 1.e e e= = = (1.36)

1.3.6 Expression du produit scalaire dans une base orthonormée

Dans le cas d'une base orthonormée, l'expression (1.33) du produit scalaire se simplifie et se réduit à :

1 1 2 2 3 3V V C C C C C C′ ′ ′ ′= + +⋅ . (1.37)

Le produit scalaire est donc égal à la somme des produits des composantes correspondantes des vecteurs.

La norme d'un vecteur s'écrit :

2 2 21 2 3V C C C= + + . (1.38)

1.4 PRODUIT VECTORIEL

1.4.1 Définition

On appelle produit vectoriel de deux vecteurs V et W une loi de composition interne dans 3 , qui associe à ces deux vecteurs un vecteur noté V W∧ et qui est bilinéaire antisymétrique :

3 , V W∀ ∈

3 .V W∧ ∈

De cette définition, il résulte que : 1. Le produit vectoriel est distributif à gauche et à droite pour la somme

vectorielle :

( )1 2 1 2V V W V W V W+ ∧ = ∧ + ∧ , (1.39)

( )1 2 1 2V W W V W V W∧ + = ∧ + ∧ . (1.40)

2. Le produit vectoriel est associatif pour la multiplication par un réel :

( ) ( ) ,V W V Wα α∧ = ∧ (1.41)

( ) ( ).V W V Wα α∧ = ∧ (1.42)

3. Le produit vectoriel est antisymétrique :

( )V W W V∧ = − ∧ . (1.43)

produit

vectoriel

1.4 Produit vectoriel 11

La dernière propriété, appliquée au produit vectoriel d'un vecteur par lui-même, implique que :

( )V V V V∧ = − ∧ .

Il en résulte donc la propriété :

0V V∧ = . (1.44)

De cette propriété, nous déduisons le théorème suivant : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul.

En effet :

( ) ( ) colinéaire à 0W V W V W V V V V Vα α α⇔ = ⇔ ∧ = ∧ = ∧ = .

1.4.2 Expression analytique du produit vectoriel dans une base quelconque

Reprenons les expressions (1.30) et (1.31) des deux vecteurs V et V ′dans la base ( )1 2 3, , e e e . Le produit vectoriel des deux vecteurs s'écrit :

( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3V V C e C e C e C e C e C e′ ′ ′ ′= + + ∧ + +∧ . (1.45)

En appliquant les propriétés de distributivité et d'associativité du produit vectoriel, nous obtenons :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3

2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3

3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3

.

V V C C e e C C e e C C e eC C e e C C e e C C e eC C e e C C e e C C e e

′ ′ ′ ′= ∧ + ∧ + ∧′ ′ ′+ ∧ + ∧ + ∧′ ′ ′+ ∧ + ∧ + ∧

∧

En utilisant la propriété d'antisymétrie, cette expression s'écrit sous la forme :

( )( ) ( )( )( )( )1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3

2 3 3 2 2 3 .

V V C C C C e e C C C C e eC C C C e e

′ ′ ′ ′ ′= − ∧ + − ∧′ ′+ − ∧

∧ (1.46)

Cette relation exprime le produit vectoriel de deux vecteurs dans une base quelconque. Nous introduisons ci-après des bases particulières permettant de simplifier cette expression.

1.4.3 Base directe

On appelle base directe, une base telle que :

1 2 3 2 3 1 3 1 2, , .e e e e e e e e e∧ = ∧ = ∧ = (1.47)

La base est dite orientée dans le sens direct.


Une base directe est donc telle que le produit vectoriel des deux vecteurs donne le troisième dans l'ordre 1, 2, 3, 1, 2, etc.

1.4.4 Expression du produit vectoriel dans une base directe

Dans le cas d'une base directe, l'expression (1.46) du produit vectoriel se réduit à :

( ) ( ) ( )2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3V V C C C C e C C C C e C C C C e′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − + − + −∧ . (1.48)

L'expression précédente se retrouve aisément en écrivant le produit vectoriel sous la forme d'un déterminant (d'un point de vue formalisme cette écriture est toutefois incorrecte) :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

e e eV V C C C

C C C

′ =′ ′ ′

∧ .

En développant ce déterminant suivant la 1ère ligne, nous retrouvons bien l'expression (1.48).

Par ailleurs, on montre sans difficulté à partir de l'expression (1.48) que : Le vecteur produit vectoriel de V et de V ′ est un vecteur orthogonal au vecteur V et au vecteur .V ′

1.4.5 Produit mixte

On appelle produit mixte de trois vecteurs 1 2 3, , ,V V V pris dans cet ordre, le nombre réel défini par :

( )1 2 3V V V∧⋅ . (1.49)

Il est facile de montrer que, dans une base orthonormée directe, le produit mixte est invariant par permutation circulaire des trois vecteurs :

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2V V V V V V V V V∧ = ∧ = ∧⋅ ⋅ ⋅ . (1.50)

1.4.6 Propriété du double produit vectoriel

Le double produit vectoriel de trois vecteurs peut s'exprimer par la relation :

( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 1 2 3V V V V V V V V V∧ ∧ = −⋅ ⋅ . (1.51)

1.5 Bases de l'espace vectoriel 3 13

Cette égalité se vérifie aisément en exprimant les composantes de ( )1 2 3V V V∧ ∧ ,

puis celles de ( ) ( )1 3 2 1 2 3V V V V V V−⋅ ⋅ , puis en vérifiant que ces composantes

sont égales.

1.5 BASES DE L'ESPACE VECTORIEL R3

1.5.1 Base canonique

La base de l'espace 3 la plus utilisée est la base canonique définie comme l'ensemble des trois vecteurs :

( ) ( ) ( )1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 ,i j k= = = (1.52)

pris dans cet ordre. Nous vérifions sans difficulté que l'ensemble ( ), , i j k constitue une base

orthonormée directe : — base orthonormée :

0, 0, 0,i j j k k i= = =⋅ ⋅ ⋅ (1.53)

2 2 21, 1, 1,i j k= = = (1.54)

— base directe :

, , .i j k j k i k i j∧ = ∧ = ∧ = (1.55)

La démonstration suppose que la base est exprimée (1.52) dans une base elle-même orthonormée directe.

Par la suite, nous noterons X, Y, Z les composantes d'un vecteur V relati-vement à la base canonique :

V X i Y j Z k= + + . (1.56)

1.5.2 Changement de base

Dans ce paragraphe, nous explicitons, d'abord sur un exemple, les relations de changement de base dans l'espace 3 et dans le cas de bases orthonormées directes. Les relations obtenues seront ensuite généralisées.

1.5.2.1 Exemple de changement de base

Nous considérons la base orthonormée directe ( ) ( )1 1 1 1, , b i j k= et nous

construisons à partir de cette base l'ensemble des trois vecteurs ( )2 2 2, , i j k


définis de la manière suivante :

( )

( )

( )

2 1 1 1

2 1 1 1

2 2 2 1 1

1 2 ,6

1 ,3

1 .2

i i j k

j i j k

k i j j k

= − +

= − − +

= ∧ = − −

(1.57)

Nous vérifions aisément que l'ensemble (b2) de ces trois vecteurs constitue une base orthonormée directe.

Les relations (1.57) peuvent être écrites sous une forme pratique, dérivée de la notation matricielle, suivant :

2 1

2 1

2 1

2 1 16 6 61 1 13 3 3

1 102 2

i ij jk k

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

, (1.58)

ou sous forme contractée :

2 1

2 1

2 1

i ij jk k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A , (1.59)

en introduisant la matrice de changement de base :

2 1 16 6 61 1 13 3 3

1 102 2

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

A . (1.60)

Nous trouvons aisément les propriétés suivantes de la matrice de changement de base :

— le déterminant de A est égal à 1 ;

— si nous exprimons ( )1 1 1, , i j k en fonction de ( )2 2 2, , i j k à partir des

relations (1.57), nous obtenons :

matrice colonne

de la base (2) matrice de

changement de base

matrice colonne

de la base (1)

1.5 Bases de l'espace vectoriel 3 15

1 2

1 2

1 2

2 1 06 31 1 16 3 2

1 1 16 3 2

i ij jk k

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

. (1.61)

La matrice inverse de A est égale à la matrice transposée de A :

1 t− =A A . (1.62)

Cherchons maintenant les relations qui existent entre les composantes d'un

vecteur V exprimées dans les deux bases considérées :

— dans la base (b1), nous avons :

(1) (1) (1)1 1 2 1 3 1V C i C j C k= + + , (1.63)

— dans la base (b2), nous avons :

(2) (2) (2)1 2 2 2 3 2V C i C j C k= + + , (1.64)

En reportant la relation (1.61) dans l'expression (1.63), nous obtenons :

(1) (1)1 2 2 2 2 2 2

(1)3 2 2 2

2 1 1 1 16 3 6 3 2

1 1 1 ,6 3 2

V C i j C i j k

C i j k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

soit :

(1) (1) (1)1 2 3 2

(1) (1) (1) (1) (1)1 2 3 2 2 3 2

2 1 16 6 6

1 1 1 1 1 .3 3 3 2 2

V C C C i

C C C j C C k

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

En comparant ce résultat avec l'expression (1.64), nous obtenons :

(2) (1) (1) (1)1 1 2 3

(2) (1) (1) (1)2 1 2 3

(2) (1) (1)3 2 3

2 1 1 ,6 6 61 1 1 ,3 3 3

1 1 .2 2

C C C C

C C C C

C C C

= − +

= − − +

= − −

(1.65)

En introduisant les matrices colonnes des composantes dans la base (b2) et dans la base (b1), l'expression (1.65) s'écrit donc :


(2) (1)1 1

(2) (1)2 2

(2) (1)3 3

C C

C C

C C

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A . (1.66)

De même, la relation inverse s'écrit :

(1) (2)1 1

(1) t (2)2 2

(1) (2)3 3

C C

C C

C C

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A . (1.67)

1.5.2.2 Généralisation

Les résultats établis dans le paragraphe précédent sur un cas particulier se généralisent et peuvent être explicités de la manière suivante.

Tout passage d'une base orthonormée directe à une autre base orthonormée directe est caractérisée par une matrice carrée, de déterminant égal à 1 et telle que la matrice inverse soit confondue avec la matrice transposée. Récipro-quement toute matrice possédant ces propriétés représente un changement de bases orthonormées directes.

Si ( )1 1 1, , i j k et ( )2 2 2, , i j k sont deux bases orthonormées directes, le change-

ment de base s'exprime sous la forme pratique :

2 1 1 2

t2 1 1 2

2 1 1 2

, .

i i i ij j j jk k k k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A A (1.68)

Entre les composantes d'un vecteur dans les deux bases, nous avons des expres-sions analogues :

(2) (1) (1) (2)1 1 1 1

t2 2 2 2

3 3 3 3

, .

C C C CC C C CC C C C

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A A (1.69)

EXERCICES

1.1 Trouver les vecteurs unitaires colinéaires à un vecteur donné. Application au cas du vecteur de composantes (2, –5, 3) dans la base canonique.

1.2 Déterminer le paramètre α, de manière que les vecteurs ( )1 5, 4, 3V = et

( )2 , 2, 1V α= − soient orthogonaux. Les composantes des vecteurs sont données

dans une base orthonormée.

Commentaires 17

1.3 Trouver les vecteurs unitaires orthogonaux à deux vecteurs donnés. Application au cas des vecteurs de composantes (2, –5, 3) et (–2, 1, –3) dans la

base canonique.

1.4 Développer le produit scalaire ( ) ( )1 2 1 2V V V V+ −⋅ ; puis le produit vectoriel

( ) ( )1 2 1 2V V V V+ ∧ − .

1.5 Un vecteur V a pour composantes (4, –9, 3) dans la base ( ) ( )1 1 11 , , i j k= . On

considère la base ( ) ( )2 2 22 , , i j k= déduite de (1) par les relations :

2 1 2 1 2 12 , 2 , i i j j k k= = = − .

Exprimer les composantes de V dans la base (2).

1.6 Les vecteurs 1V et 2V étant deux vecteurs connus, déterminer les vecteurs

V tels que :

1 2 1V V V V∧ = ∧ .

Application au cas où : 1 4V i j= − et 2 5 6 2V i j k= + − .

COMMENTAIRES

L'espace vectoriel 3

est l'espace dont les vecteurs sont caractérisés par leurs trois composantes qui sont des nombres réels. L'espace vectoriel 3 est un espace mathématique de caractère abstrait qui ne peut être repré-senté de manière concrète. Par contre, sur cet espace sont définies diverses opérations que le lecteur devra maîtriser parfaitement : somme vectorielle, produit scalaire, produit vectoriel. Le produit scalaire conduit à la notion d'orthogonalité de deux vecteurs et le produit vectoriel à la notion de colinéarité. L'espace vectoriel 3 est généré à partir d'une base constituée de trois vecteurs linéairement indépendants. La base la plus utilisée est la base canonique qui est orthonormée directe. Toute autre base orthonormée directe est obtenue à partir de la base canonique à l'aide d'une matrice carrée, de déterminant égal à 1 et dont la matrice inverse est la matrice transposée.

CHAPITRE 2

L'Espace Géométrique

2.1 L'ESPACE GÉOMÉTRIQUE CONSIDÉRÉ COMME ESPACE AFFINE DE L'ESPACE VECTORIEL R3

2.1.1 L'espace géométrique

L'espace géométrique permet de caractériser l'espace physique qui nous entoure. Cet espace est constitué de points, appelés points géométriques. L'affinité permet de "formuler" l'espace physique (figure 2.1), en ramenant les opérations sur l'espace géométrique à des opérations sur l'espace vectoriel 3, déjà intro-duites dans le chapitre précédent.

Ainsi, l'espace géométrique est l'espace affine associé à l'espace vectoriel 3. Il

est alors noté ( )3A et est lié à l'espace 3 de la manière qui suit.

1. On définit une application f qui à tout couple ordonné (A, B) de points

géométriques de ( )3A fait correspondre un vecteur V de 3 et un seul :

( )( )

3

3

A

B

∀ ∈

∀ ∈

A

A (A, B) 3V ∈ .

Nous avons donc :

( ) ,V f A B= . (2.1)

C'est-à-dire que V est le résultat de l'application f sur le couple de points (A, B). Le couple ordonné (A, B) est appelé bipoint d'origine A et d'extrémité B.

Enfin, il y a une contraction des notations, puisqu'il est de coutume d'écrire :

V AB= au lieu de ( ) ,V f A B= . (2.2)

Il ne faut toutefois pas perdre de vue que la notation V AB= signifie que V est

f

2.1 L'espace géométrique considéré comme espace affine de l'espace vectoriel 3 19

FIGURE 2.1. Formulation de l'espace physique.

l'image dans l'espace 3 du bipoint (A, B) de l'espace géométrique.

Le bipoint (A, B) est représenté conventionnellement suivant le schéma de la figure 2.2 distinguant l'origine A et l'extrémité B du bipoint.

2. L'application f est telle que pour tous les points A, B, C de l'espace géomé-trique, nous avons la relation :

( ) ( ) ( ) , , ,f A B f B C f A C+ = , (2.3)

ou en notation contractée :

AB BC AC+ = , (2.4)

Cette relation est connue sous le nom de relation de Chasles.

2.1.2 Conséquences

1. Si les points A et B sont confondus, l'expression (2.4) entraîne que :

0AB = .

2. Si les points A et B sont distincts, 0AB ≠ .

3. Si les points A et C sont confondus, l'expression (2.4) entraîne que :

0AB BA+ = soit BA AB= − . (2.5)

FIGURE 2.2. Bipoint d'origine A et d'extrémité B.

A

B

AB V=

Espace vectoriel 3

1 2 3 . . . .V V V

formulation

Espace géométrique

point géométrique vecteur

20 Chapitre 2 L'espace géométrique

4. Il en résulte que la relation de Chasles s'écrit sous les formes équivalentes :

BC AC AB= − , (2.6)

0AB BC CA+ + = . (2.7)

5. Milieu d'un bipoint. Le point I est milieu du bipoint (A, B) ou du segment AB si et seulement si :

AI IB= . (2.8)

Il en résulte que si O est un point de l'espace géométrique, nous avons :

( )12

OI OA OB= + . (2.9)

6. Bipoints équipollents. Deux bipoints sont équipollents si et seulement si, ils ont la même image dans l'espace 3.

(A, B) équipollent à (C, D) AB CD⇔ = . (2.10)

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

2.1.3 Distance entre deux points

On appelle distance entre deux points A et B ou longueur du segment AB, la norme du vecteur AB .

La distance entre les points A et B est notée d(A, B) et nous avons :

( ) 2

,d A B AB AB AB= = = . (2.11)

Les propriétés de la distance résultent de celles du produit scalaire et de la norme de deux vecteurs de 3

:

— ( ) , 0d A B = ⇔ A et B sont confondus,

— ( ) ( ) , ,d A B d B A= ,

— ( ) ( ) ( ) , , ,d A B d A C d C B≤ + , l'égalité n'étant vérifiée que si le point C appartient au segment AB.

2.1.4 Angle entre deux bipoints

La notion d'angle associée à celle de distance permet de repérer tous les points

géométriques de l'espace géométrique ( )3A .

L'angle γ (figure 2.3) entre les deux bipoints (A, B) et (A, C) de même origine

et pris dans cet ordre, appelé aussi angle entre les vecteurs AB et AC est noté :

( ) ,AB ACγ = . (2.12)

2.1 L'espace géométrique considéré comme espace affine de l'espace vectoriel 3 21

FIGURE 2.3. Angle entre deux bipoints.

Cet angle orienté est défini par son cosinus et son sinus qui interviennent dans les expressions du produit scalaire et du produit vectoriel des vecteurs AB et AC de la manière suivante :

— produit scalaire :

cos cosAB AC AB AC AB ACγ γ= =⋅ , (2.13)

— produit vectoriel :

sin sinAB AC u AB AC u AB ACγ γ∧ = = , (2.14)

où u est le vecteur unitaire associé (figure 2.4) au bipoint unitaire (A, U) (ou à un bipoint équipollent) orthogonal au plan (ABC) et tel qu'un observateur, placé les pieds en A et la tête à l'extrémité U, doit tourner de sa droite vers sa gauche pour diriger son regard de l'extrémité B du premier bipoint vers l'extrémité C du second.

L'expression du produit vectoriel oriente l'espace géométrique.

2.1.5 Repères

Le problème à résoudre est celui du repérage de la position d'un point M quelconque de l'espace géométrique.

Nous choisissons un point O particulier de l'espace géométrique comme point de référence (figure 2.5). À chaque point M de l'espace géométrique correspond alors de façon biunivoque un vecteur OM de 3 image du bipoint (O, M). Le vecteur OM permet donc de caractériser de façon unique la position du point M.

FIGURE 2.4. Orientation.

A

B

C

γ

A B

C

γ

U


FIGURE 2.5. Repérage d'un point.

Ce vecteur est appelé vecteur position du point M. Ce vecteur est ensuite caractérisé par ses composantes dans une base (b).

La donnée du point O et de la base (b) permet donc de caractériser la position de tout point M de l'espace géométrique par la suite ordonnée des composantes du vecteur OM dans la base (b).

L'ensemble constitué par un point O de l'espace géométrique et par une base (b) de l'espace vectoriel 3 s'appelle repère de l'espace géométrique. Nous le noterons (O/b).

Le point O est appelé origine du repère. Les composantes du vecteur position OM dans la base (b) sont appelées les coordonnées du point M dans le repère (O/b).

2.2 SOUS-ESPACES DE L'ESPACE GÉOMÉTRIQUE DROITE, PLAN

2.2.1 Droite

Une droite (D), notée ( ) 1,A V est l'ensemble (D) des points M de l'espace géométrique, tels que le vecteur AM soit colinéaire au vecteur 1V (figure 2.6).

( ) 1 , M D AM Vα α∈ ⇔ = ∀ ∈ . (2.15)

La droite (D) passe par le point A. Le vecteur 1V est appelé vecteur directeur de la droite (D). On dit que (D) est la droite passant par le point A et de direction

1V . Une droite (D) est définie par les seules données d'un point de la droite et d'un vecteur directeur.

On appelle axe, une droite sur laquelle on a choisi un repère (à une dimension) :

un point O pour origine et un vecteur directeur .V

M (point quelconque)

O (point de référence)

espace géométrique

2.2 Sous-espaces de l'espace géométrique droite, plan 23

FIGURE 2.6. Droite.

Nous noterons un tel axe ( ) ,Ox O V= . La représentation conventionnelle d'un axe (figure 2.7) figurera l'origine O et le bipoint ayant pour image le vecteur V et pour origine le point O. Le nombre réel α définissant la position du point M sur l'axe :

OM Vα= (2.16)

est appelé l'abscisse du point M sur l'axe Ox . La longueur du segment OM est égale à α . Le bipoint (O, M) est dirigé dans

le sens positif si 0α > , dans le sens négatif si 0α < .

2.2.2 Plan

Un plan (P), noté ( ) 1 2, ,A V V est l'ensemble (P) des points M de l'espace géo-métrique, tels que le vecteur AM soit combinaison linéaire des vecteurs 1V et

2 .V ( ) 1 21 2 1 2 , ,M P AM V Vα α α α∈ ⇔ = + ∀ ∈ . (2.17)

On dit que (P) est le plan passant par le point A et de direction ( ) 1 2,V V .

Il résulte des diverses notions introduites antérieurement que :

1. α1 et α2 sont les composantes du vecteur AM dans la base ( ) 1 2,V V à deux dimensions. Ce sont aussi les coordonnées du point M du plan (P) dans le repère

( ) 1 2/ ,O V V ;

2. 11Vα et 22Vα sont respectivement les projections du vecteur AM sur les

directions définies par 1V et 2V ;

FIGURE 2.7. Axe.

A

(D)

M

1AM Vα=

O (D)

M

x

V


FIGURE 2.8. Décomposition d'un bipoint.

3. si l'on introduit le point N tel que :

1 21 2, AN V NM Vα α= = , (2.18)

la relation (2.16) s'écrit :

AM AN NM= + . (2.19)

D'où la construction du point N sur la figure 2.8.

Le bipoint (A, N) est la projection du bipoint (A, M) sur l'axe ( ) 1,A V , le bi-point (N, M) est la projection sur l'axe ( ) 2,N V .

Généralement (figure 2.9), on introduit dans la construction la projection (A, P) du bipoint (A, M) sur l'axe ( ) 2,A V , bipoint d'origine A et équipollent à (N, M).

Dans le cas où les vecteurs 1V et 2V sont orthogonaux, les projections consi-dérées sont des projections orthogonales.

2.2.3 Droites et plans de mêmes directions

2.2.3.1 Droites de même direction

Deux droites ( ) 1,A V et ( ) 2,B V ont même direction (ou sont parallèles), si et seulement si les vecteurs 1V et 2V sont colinéaires.

FIGURE 2.9. Projection sur les axes.

A

1V

M

(P) N

2V

A 1V

M

(P) N

2V

P

2.2 Sous-espaces de l'espace géométrique droite, plan 25

Les deux droites ( ) 1,A V et ( ) 2,B V ont donc même direction si et seulement si :

1 2V Vλ= ou 1 2 0V V∧ = . (2.20)

Si les points A et B sont distincts, les droites n'ont aucun point commun. Si les points A et B sont confondus, les deux droites sont confondues.

2.2.3.2 Plans de même direction

Deux plans ( ) 1 2, ,A V V et ( ) 1 2, ,B V V′ ′ ont même direction (ou sont paral-lèles), si et seulement si les espaces vectoriels ayant pour bases ( ) 1 2,V V et ( ) 1 2,V V′ ′ sont confondus.

Les deux plans ont donc même direction si et seulement si, les vecteurs 1V ′ et

2 ,V ′ par exemple, sont linéairement dépendants des vecteurs 1V et 2 :V

1 1 2 ,1 2

2 1 21 2 .

V V V

V V V

λ λ

µ µ

′ = +

′ = + (2.21)

Si les points A et B sont distincts, les plans n'ont aucun point commun. Si les points A et B sont confondus, les deux plans sont confondus.

2.2.3.3 Droite parallèle à un plan

La droite ( ) ,A V et le plan ( ) 1 2, ,B V V sont parallèles si et seulement si V est

linéairement dépendant de 1V et 2 ,V soit si et seulement si :

1 2V V Vλ µ= + . (2.22)

2.2.4 Droites et plans orthogonaux

2.2.4.1 Droites orthogonales

Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

La droite ( ) 1,A V est orthogonale à la droite ( ) 2,B V 1 2 0V V⇔ =⋅ . (2.23)

2.2.4.2 Droites et plans orthogonaux

La droite ( ) ,A V est orthogonale au plan ( ) 1 2, ,B V V si et seulement si le vecteur V est orthogonal au vecteur 1V et au vecteur 2V .

Soit :

1 20, 0.V V V V= =⋅ ⋅ (2.24)


2.2.4.3 Plans perpendiculaires

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si une droite d'un des plans est orthogonale à l'autre plan.

2.3 REPÉRAGE D'UN POINT DE L'ESPACE GÉOMÉTRIQUE

2.3.1 Axes de coordonnées

Nous avons vu (paragraphe 2.1.5) que chaque point M de l'espace géométrique pouvait être caractérisé par rapport à un repère (O/b). La base (b) est constituée de trois vecteurs 1 2 3, ,V V V de l'espace 3, linéairement indépendants. La position du point M est alors caractérisée par le vecteur position OM de l'espace 3 associé au bipoint (O, M). Ce vecteur s'écrit :

1 2 31 2 3OM V V Vα α α= + + . (2.25)

Les paramètres α1, α2, α3 sont les composantes du vecteur position OM dans la

base ( ) 1 2 3, ,V V V ou les coordonnées du point M dans le repère ( )1 2 3/ , ,O V V V .

Les considérations des paragraphes précédents conduisent aux constructions

suivantes (figure 2.10). Le repère ( )1 2 3/ , ,O V V V est représenté par les trois axes ( )1/O V , ( )2/O V et ( )3/O V . Sur chaque axe, nous portons les points N, P, Q

d'abscisses respectives α1, α2, α3 ; donc tels que :

1 2 31 2 3, , .ON V OP V OQ Vα α α= = = (2.26)

Nous construisons ensuite l'extrémité R du bipoint (N, R) équipollent au bipoint (O, P). Il en résulte que :

1 21 2OR ON NR ON OP V Vα α= + = + = + . (2.27)

Le point M est alors l'extrémité du bipoint (R, M) équipollent au bipoint (O, Q). Nous avons bien :

1 2 31 2 3OM OR RM OR OQ V V Vα α α= + = + = + + . (2.28)

Le bipoint (O, R) est la projection du bipoint (O, M) sur le plan ( )1 2/ ,O V V .

Les bipoints (O, N), (O, P) et (O, Q) sont les projections respectivement sur les

axes ( )1/O V , ( )2/O V et ( )3/O V .

Dans le cas où les vecteurs 1V , 2V et 3V sont orthogonaux, les projections sont

des projections orthogonales.

2.3 Repérage d'un point de l'espace géométrique 27

FIGURE 2.10. Projections d'un point.

2.3.2 Repère orthonormé direct

Le repère ( )1 2 3/ , ,O V V V est un repère orthonormé direct si et seulement si les vecteurs 1 2 3, ,V V V constituent une base orthonormée directe.

Nous avons alors :

1. 2 2 2

1 2 31, 1, 1.V V V= = = Les vecteurs sont des vecteurs unitaires.

2. 1 2 2 3 3 10, 0, 0V V V V V V⋅ = ⋅ = ⋅ = . Les axes ( )1/O V , ( )2/O V et ( )3/O V sont orthogonaux deux à deux. On dit que l'ensemble des 3 axes est un

trièdre trirectangle.

3. 1 2 3 2 3 1 3 1 2, , V V V V V V V V V∧ = ∧ = ∧ = . Le trièdre est orienté dans le sens direct : un observateur ayant les pieds au point O et la tête à l'extrémité de l'axe 3O doit tourner de sa droite vers sa gauche pour diriger son regard de l'extrémité 1 vers l'extrémité 2 (figure 2.11). L'orientation du trièdre est inchangée dans une permutation circulaire des indices.

2.3.3 Coordonnées cartésiennes

Les repères utilisés sont généralement des repères orthonormés directs dont la base est la base canonique de l'espace 3, soit :

1 2 3, , V i V j V k= = = . (2.29)

Par la suite, les axes seront notés :

( ) ( ) ( ) , , , , , ,Ox O i Oy O j Oz O k= = = (2.30)

O 1V

M

N2V

P

3V

R

Q


FIGURE 2.11. Trièdre orthonormé direct.

et le repère :

( ) ( ) / , ,Oxyz O i j k= . (2.31)

Les points N, P, Q (figure 2.12) du paragraphe 2.3.1 ont des abscisses respec-tives sur les axes, notées x, y, z et appelées coordonnées cartésiennes du point M.

Le vecteur image du bipoint (O, M) s'écrit :

OM x i y j z k= + + . (2.32)

Les coordonnées cartésiennes du point M sont les composantes dans la base

canonique de 3, du vecteur .OM

FIGURE 2.12. Trièdre cartésien.

3V

O 1V

2V

1

2

3

gauche

droite

2

1

O i

j

k

x

y

z

Q

P

R N

M

2.4 Équations du plan et de la droite 29

2.4 ÉQUATIONS DU PLAN ET DE LA DROITE

2.4.1 Équation cartésienne d'un plan

Nous cherchons l'équation cartésienne du plan ( ) 1 2, ,A V V :

— passant par le point A de coordonnées cartésiennes xA, yA, zA dans le repère cartésien ( ) / , ,O i j k ;

— de direction définie par les vecteurs 1V et 2V de composantes respectives (X1, Y1, Z1) et (X2, Y2, Z2) dans la base canonique ( ) , ,i j k .

Nous avons donc :

1 1 1 1

2 2 2 2

,

,

.

A A AOA x i y j z k

V X i Y j Z k

V X i Y j Z k

= + +

= + +

= + +

(2.33)

Le plan ( ) 1 2, ,A V V est l'ensemble des points M tels que :

1 21 2 1 2, ,AM V Vα α α α= + ∀ ∈ . (2.34)

L'équation cartésienne du plan est la relation qui permet d'exprimer les coordonnées cartésiennes (x, y, z) du point M :

OM x i y j z k= + + . (2.35)

En explicitant le vecteur AM , nous avons :

( ) ( ) ( )A A AAM OM OA x x i y y j z z k= − = − + − + − . (2.36)

Puis en reportant cette expression dans (2.34), et en égalant les composantes respectives en i , j et k , nous obtenons :

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

,

,

.

A

A

A

x x X Xy y Y Yz z Z Z

α αα αα α

− = +− = +− = +

(2.37)

Ces équations sont les équations paramétriques du plan. L'équation cartésienne s'obtient en éliminant les paramètres α1 et α2. Soit :

( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0A A AZ Y Y Z x x X Z Z X y y Y X X Y z z− − + − − + − − = .

(2.38) L'équation cartésienne d'un plan est donc de la forme :

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0,

avec

, ,

, .A A A

ax by cz d

a Z Y Y Z b X Z Z Xc Y X X Y d ax by cz

+ + + =

= − = −= − = − − −

(2.39)


Plan passant par trois points non alignés

Pour trouver l'équation du plan passant par les trois points A, B, C de coordon-nées respectives (xA, yA, zA ), (xB, yB, zB), (xC, yC, zC), on se ramène au cas précédent, en exprimant que le plan cherché est le plan passant par le point A et de direction définie, par exemple, par les vecteurs AC et AB :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

2

,

.

C A C A C A

B A B A B A

V AC x x i y y j z z k

V AB x x i y y j z z k

→ = − + − + −

→ = − + − + − (2.40)

En reportant les composantes de ces vecteurs dans l'équation (2.38), nous obte-nons l'équation du plan.

Plans particuliers

— Plan ( ) ( ) , ,Oxy O i j= : les vecteurs 1V et 2V sont les vecteurs i et .j L'équa-

tion vectorielle du plan s'écrit :

1 2 1 2, ,x i y j z k i jα α α α+ + = + ∀ ∈ , (2.41)

et les équations paramétriques sont :

1 2 1 2, , 0, ,x y zα α α α= = = ∀ ∈ . (2.42)

— On trouve des équations analogues pour les plans (Oyz) et (Oxz).

2.4.2 Équations cartésiennes d'une droite

Nous cherchons l'équation de la droite ( ) 1,A V passant par le point A et de di-rection 1.V Avec des notations déjà utilisées, l'équation vectorielle (2.15) conduit aux trois équations paramétriques :

1

1

1

,

,

.

A

A

A

x x Xy y Yz z Z

ααα

− =− =− =

(2.43)

Si 1 1 1, et X Y Z sont différents de zéro, ces équations conduisent à l'un des couples d'équations :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

, , ,

, , ,

A A A A A A

A A A A A A

Y Z Xy y x x z z y y x x z zX Y ZZ X Xz z x x x x y y y y z zX Y Z

− = − − = − − = −

− = − − = − − = − (2.44)

équations que l'on peut mettre sous la forme :

1 1 1

AA Ay yx x z zX Y Z

−− −= = . (2.45)

Une droite est donc définie par deux équations cartésiennes.

2.5 Changement de repère 31

O1 1i

1j 1k

y1

z1 M

x1

z2

y2

O2

x2

2j

2i

2k

Cas particuliers

— Si X1 = 0, les équations de la droite sont :

( )1

1

0,

.

A

A A

x xYy y z zZ

− =

− = − (2.46)

C'est l'équation d'une droite contenue dans le plan Ax x= .

— Nous obtenons des équations analogues dans le cas de droites contenues dans les plans 1 ( 0)Ay y Y= = ou 1( 0)Az z Z= = .

2.5 CHANGEMENT DE REPÈRE

Nous ne considérons dans ce paragraphe que le cas de repères orthonormés directs.

2.5.1 Cas général

Nous considérons deux repères (figure 2.13) :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

/ , , ,

/ , , .

T O x y z O i j k

T O x y z O i j k

= =

= =

Le problème à résoudre est :

Connaissant les coordonnées dans le repère (T2) d'un point M quelconque de l'espace géométrique, trouver les coordonnées de M exprimées dans le repère (T1).

FIGURE 2.13 Changement de repère.


Les coordonnées de M dans le repère (T1) : ( ) ( ) ( )(1) (1) (1), , ,x M y M z M sont

les composantes dans la base ( ) 1 1 1, ,i j k du vecteur position 1O M , soit :

( ) ( ) ( )(1) (1) (1)1 1 1 1O M x M i y M j z M k= + + . (2.47)

Les coordonnées de M dans le repère (T2) : ( ) ( ) ( )(2) (2) (2), , ,x M y M z M sont

les composantes dans la base ( ) 2 2 2, ,i j k du vecteur position 2O M , soit :

( ) ( ) ( )(2) (2) (2)2 2 2 2O M x M i y M j z M k= + + . (2.48)

Entre les vecteurs 1O M et 2O M , nous avons la relation :

1 1 2 2O M O O O M= + . (2.49)

En introduisant les coordonnées dans le repère (T1) du point O2 origine du repère

(T2) : ( ) ( ) ( )(1) (1) (1)2 2 2, , ,x O y O z O le vecteur 1 2O O s'écrit :

( ) ( ) ( )(1) (1) (1)1 2 2 1 2 1 2 1O O x O i y O j z O k= + + . (2.50)

En reportant les expressions des vecteurs 1O M , 2O M et 1 2O O dans la relation (2.49), nous observons que, pour exploiter cette relation, il est nécessaire d'appliquer l'expression de changement de base (1.67) aux composantes du vecteur 2O M . Les composantes sont alors toutes exprimées dans la base ( ) 1 1 1, ,i j k . La relation (2.49) conduit alors à la relation de changement de coor-données :

( )

( )

( )

( )( )( )

( )

( )

( )

(1) (1) (2)2

(1) (1) t (2)2

(1) (1) (2)2

x M x O x M

y M y O y M

z M z O z M

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

A , (2.51)

coordonnées du coordonnées du matrice coordonnées du point M point O2 transposée de point M exprimées dans (T1) exprimées dans (T1) changement de base exprimées dans (T2)

où A est la matrice de changement de base définie par l'expression (1.62). Si les repères (T1) et (T2) ont même origine, les point O1 et O2 sont confondus

et la relation précédente est confondue avec l'expression (1.63). Nous sommes ramenés à chercher la matrice de changement de base dans le cas de repères ayant même origine.

2.5.2 Repères ayant un axe confondu

Soit le repère ( ) ( ) 1 1 1 1/ , ,T O i j k= . Nous faisons subir (figure 2.14) à ce repère


FIGURE 2.14. Repères ayant un axe confondu.

(T1) une rotation d'angle γ dans le sens direct autour de la direction 1k . Nous

obtenons le trièdre ( ) ( ) 2 2 2 2/ , ,T O i j k= . Nous noterons :

( ) 1 1 1/ , ,O i j k ( ) 2 2 2/ , ,O i j k .

Entre les vecteurs de base, nous avons des relations linéaires du type :

2 11 1 12 1 13 1

2 21 1 22 1 23 1

2 1

,

,

.

i a i a j a k

j a i a j a k

k k

= + +

= + +

=

(2.52)

Nous cherchons les expressions des coefficients aij, en considérant que les bases

( ) 1 1 1, ,i j k et ( ) 2 2 1, ,i j k sont orthonormées directes. Soit :

1 2

1 2

1 2 1

1 2 1

cos ,

cos ,

sin ,

sin .

i i

j

i i k

j k

j

j

γ

γ

γ

γ

=

=

∧ =

∧ =

⋅⋅

(2.53)

Le calcul de 1 2i i⋅ , en tenant compte de (2.52) conduit à :

( ) 1 2 1 11 1 12 1 13 1 11i i i a i a j a k a= + + =⋅ ⋅ .

Soit en comparant à (2.53) : 11 cosa γ= . (2.54)

Nous obtenons de même :

1 2 22 cosj aj γ= =⋅ . (2.55)

( ) 1,k γR

O

1i

1k

y1

z1

x1

y2

x2

2j

γ

γ

γ

1j

2i


12

1 2 12 1 13 1 113

sin ,sin , soit

0.

ai i a k a j k

aγ

γ=

∧ = − ==

(2.56)

21

1 2 21 1 23 1 123

sin ,sin , soit

0.

aj j a k a j k

aγ

γ= −

∧ = − + ==

(2.57)

Les relations (2.52) s'écrivent donc :

2 1 1

2 1 1

2 1

cos sin ,

sin cos ,

.

i i jj i j

k k

γ γγ γ

= +

= − +

=

(2.58)

La matrice de changement de base est :

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

γ γγ γ

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A . (2.59)

La relation inverse de changement de base s'écrit en transposant l'expression (2.58) :

1 2 2

1 2 2

1 2

cos sin ,

sin cos ,

.

i i jj i j

k k

γ γγ γ

= −

= +

=

(2.60)

2.5.3 Repères quelconques ayant même origine

Nous allons montrer qu'il est toujours possible de passer d'un repère ( )1 1 1Ox y z

à un repère ( )2 2 2Ox y z de même origine mais quelconque par rapport au premier,

en effectuant trois rotations successives (figure 2.15).

1. La première rotation, d'angle ψ autour de la direction 1k , transforme le

repère initial ( ) 1 1 1/ , ,O i j k pour aboutir au repère ( ) 3 3 1/ , ,O i j k :

( ) 1 1 1/ , ,O i j k ( ) 3 3 1/ , ,O i j k .

Le changement de base s'écrit :

3 1 1

3 1 1

1

cos sin ,

sin cos ,

,

i i jj i j

k

ψ ψψ ψ

= +⎧⎪ = − +⎨⎪⎩

(2.61)

ou

3 1

3 1

1 1

i ij jk k

ψ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A , (2.62)

( ) 1,k ψR



cos sin 0

sin cos 0

0 0 1ψ

ψ ψψ ψ

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A . (2.63)

2. La deuxième rotation, d'angle θ autour de la direction 3i , conduit ensuite au

repère ( ) 3 4 2/ , ,O i j k :

( ) 3 3 1/ , ,O i j k ( ) 3 4 2/ , ,O i j k .


3

4 3 1

2 3 1

,

cos sin ,

sin cos ,

ij j kk j k

θ θθ θ

⎧⎪ = +⎨⎪ = − +⎩

(2.64)

ou

3 3

4 3

2 1

i ij jk k

θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A , (2.65)

FIGURE 2.15 Angles d'Euler.

( ) 3,i θR

z1

x1

ψ

O 1i

1k

y1

y3

3j

3i

ψ

x3

1j 2k

θ

φ

θ

2i

4j

x2 φ

2j

y4

y2

z2



1 0 0

0 cos sin

0 sin cosθ θ θ

θ θ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

A . (2.66)

Le trièdre ( )3 4 2Ox y z n'est pas quelconque par rapport au premier, puisque l'axe

3Ox est contenu dans le plan ( )1 1Ox y du premier trièdre. Il est nécessaire d'effectuer une troisième rotation pour le rendre quelconque.

3. La troisième rotation, d'angle ϕ autour de la direction 2,k conduit au second

repère ( )2 2 2 ,Ox y z quelconque par rapport au premier :

( ) 3 4 2/ , ,O i j k ( ) 2 2 2/ , ,O i j k .


2 3 4

2 3 4

2

cos sin ,

sin cos ,

,

i i jj i j

k

ϕ ϕϕ ϕ

= +⎧⎪ = − +⎨⎪⎩

(2.67)

ou

2 3

2 4

2 2

i ij jk k

ϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A , (2.68)


cos sin 0

sin cos 0

0 0 1ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A . (2.69)

Les trois angles de rotation ainsi introduits sont appelés les angles d'Euler : ψ est l'angle de précession, θ est l'angle de nutation, ϕ est l'angle de rotation propre.

Le changement de base exprimant ( ) 2 2 2, ,i j k en fonction de ( ) 1 1 1, ,i j k intro-duit la matrice A de changement de base :

2 1

2 1

2 1

i ij jk k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A . (2.70)

Cette relation peut être obtenue en combinant les relations (2.61), (2.64) et (2.67). Elle peut être déduite des relations matricielles (2.62), (2.65) et (2.68). En effet nous pouvons écrire à partir de ces relations :

2 3 3 1

2 4 3 1

2 2 1 1

( ) ( ( ))

i i i ij j j jk k k k

ϕ ϕ θ ϕ θ ψ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A A A A A A ,

( ) 2 ,k ϕR

Exercices 37

ou en tenant compte de l'associativité du produit matriciel :

( )2 1

2 1

2 1

i ij jk k

ϕ θ ψ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A A A . (2.71)

La comparaison des relations (2.70) et (2.71) conduit à :

ϕ θ ψ=A A A A . (2.72)

La matrice de changement de base est égale au produit des trois matrices dans l'ordre : 3ème rotation, 2ème rotation, 1ère rotation. Le calcul conduit à :

cos cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin sin

cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin cos

sin sin cos sin cos

ψ ϕ ψ θ ϕ ψ ϕ ψ θ ϕ θ ϕ

ψ ϕ ψ θ ϕ ψ ϕ ψ θ ϕ θ ϕ

ψ θ ψ θ θ

− +⎡ ⎤⎢ ⎥

= − − − +⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎣ ⎦

A .

(2.73)

EXERCICES

2.1 Trouver les coordonnées de la projection H orthogonale d'un point M sur la droite (D) (figure 2.16). Les coordonnées x, y, z du point M sont connues et la droite (D) passe par le point O origine et a pour vecteur directeur .V

Application au cas où le vecteur directeur V a pour composantes (1, –2, 3) dans la base canonique.

2.2 Trouver l'équation de la droite passant par le point A (–1, 2, 1) et orthogonale au plan passant par les trois points A, B (2, 3, –1), C (–3, 4, –2).

2.3 Montrer que le triangle ayant pour sommets les points de coordonnées cartésiennes :

( ) ( ) ( ) 2, 0, 2 , 1, 2, 1 , 1, 2, 1 ,A B C− − − −

est un triangle isocèle rectangle en A.

FIGURE 2.16. Projection d'un point sur une droite.

M (x, y, z)

H

O V

(D)


FIGURE 2.17. Parallélépipède quelconque.

2.4 Calculer la surface du triangle ABC, dont les sommets ont pour coordonnées cartésiennes :

A (–1, –2, –1) , B (2, 2, –1) , C (3, 2, 1) .

2.5 Calculer le volume d'un parallélépipède quelconque figure (2.17), construit sur les bipoints (A, B), (A, C) et (A, D).

Application au cas des points de coordonnées cartésiennes :

A (0, 0, 0) , B (3, 2, 1) , C (1, 1, 2) , D (–1, –1, 2) .

2.6 Calculer la distance d'un point D au plan passant (figure 2.18) par trois points A, B et C.

Application au cas des points de coordonnées cartésiennes : A (0, 0, 0) , B (1, 2, 3) , C (2, 1, 1) , D (–2, –1, –3) .

2.7 Trouver la condition nécessaire et suffisante pour que les quatre points A, B, C et D soient coplanaires.

2.8 Soit un trièdre orthonormé direct ( ) ( ) 1 1 1 1/ , ,T O i j k= . On fait subir à ce triè-

dre une rotation de 30° autour de l'axe ( ) 1,O i : on obtient le trièdre ( ) 1 3 2/ , ,O i j k .

On fait ensuite subir à ce nouveau trièdre une rotation de 45° autour de l'axe

FIGURE 2.18. Distance d'un point à un plan.

A B

C

D

A B

C

D

H

Commentaires 39

( ) 2,O k : on obtient le trièdre ( ) ( ) 2 2 2 2/ , ,T O i j k= .

1. Trouver les relations qui expriment les vecteurs de base ( ) 2 2 2, ,i j k du

repère ( )2T en fonction des vecteurs de base ( ) 1 1 1, ,i j k du repère ( )1T .

2. Un point M a pour coordonnées cartésiennes (–1, 2, 4) dans le trièdre

( )1 1 1Ox y z . Trouver ses coordonnées cartésiennes dans le trièdre ( )2 2 2Ox y z .

3. Un point N a pour coordonnées cartésiennes (3, –4, 8) dans le trièdre

( )2 2 2Ox y z . Trouver les coordonnées dans le trièdre ( )1 1 1Ox y z .

COMMENTAIRES

La notion d'espace géométrique permet de caractériser l'espace physique qui nous entoure. Cet espace est donc un espace concret constitué de points géométriques, et sa formulation est obtenue en se ramenant à des opérations sur l'espace vectoriel 3, opérations introduites dans le chapitre précédent.

Un objet quelconque de l'espace géométrique est défini par l'ensemble de ses points dont les positions sont déterminées par leurs coordonnées. Les coordonnées les plus utilisées sont les coordonnées cartésiennes définies par rapport à un trièdre cartésien constitué d'une origine O et de trois axes trirectangles Ox , Oy et Oz , de vecteurs directeurs unitaires respectifs , et ,i j k les vecteurs de la base canonique. Une fois obtenu l'ensemble des coordonnées de l'objet, toutes les informations sur l'objet sont connues et la figure peut être effacée. Toutes les propriétés ou trans-formations de l'objet sont ensuite obtenues à partir d'opérations dans l'espace vectoriel 3, effectuées sur les vecteurs images des bipoints de l'objet.

CHAPITRE 3

Fonction Vectorielle Dérivées d'une Fonction Vectorielle

3.1 FONCTION VECTORIELLE D'UNE VARIABLE

3.1.1 Définition

Si à chaque valeur d'une variable réelle q, on fait correspondre un vecteur ,V on a alors défini une fonction vectorielle relative à la variable q.

Nous désignerons une telle fonction par ( )V q :

q∈ ( ) 3V q ∈ . (3.1)

Si le vecteur ( )V q est défini par ses composantes relativement à une base, ces composantes sont des fonctions réelles de la variable q. La fonction vectorielle sera donc déterminée par la donnée de ses trois composantes : X(q), Y(q), Z(q), par exemple dans la base ( ) ( ) 1 2 3, ,b e e e= :

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )V q X q e Y q e Z q e= + + . (3.2)

3.1.2 Dérivée

La dérivée de la fonction vectorielle ( )V q par rapport à la variable q et dans

la base ( ) ( ) 1 2 3, ,b e e e= , que nous noterons :

( )dd

bV

q ou

( )dd

b Vq

, (3.3)

est définie par :

3.1 Fonction vectorielle d'une variable 41

( )

1 2 3d d d dd d d d

b X Y ZV e e eq q q q

= + + . (3.4)

Dans les problèmes où n'intervient qu'une seule base, le vecteur obtenu est

simplement appelé le vecteur dérivée de ( )V q par rapport à q et il sera noté

ddVq

.

Il est alors sous-entendu qu'il s'agit du vecteur dérivée dans la base considérée. Dans le cas où plusieurs bases sont considérées (cas de la mécanique des solides), il est nécessaire de préciser la base dans laquelle on dérive.

Par exemple, si le vecteur ( )V q est défini :

— dans la base ( ) ( ) 1 1 11 , ,i j k= par :

(1) (1) (1)1 1 1( ) ( ) ( ) ( )V q i X q j Y q k Z q= + + , (3.5)

— dans la base ( ) ( ) 2 2 22 , ,i j k= par :

(2) (2) (2)2 2 2( ) ( ) ( ) ( )V q i X q j Y q k Z q= + + , (3.6)

nous distinguerons :

— le vecteur

(1)dd

Vq

, dérivée de V dans la base (1) :

(1) (1) (1) (1)

1 1 1d d d dd d d d

X Y ZV i j kq q q q

= + + , (3.7)

— et le vecteur

(2)dd

Vq

, dérivée de V dans la base (2) :

(2) (2) (2) (2)

2 2 2d d d dd d d d

X Y ZV i j kq q q q

= + + . (3.8)

Ces deux vecteurs sont généralement distincts.

3.1.3 Propriétés de la dérivée vectorielle

Si les vecteurs ( ) ( ) ( ) 1 2 3, et V q V q V q sont des fonctions vectorielles de la

même variable q, nous avons dans une base donnée :

1. ( )

1 21 2

d ddd d d

V VV Vq q q

+ = + . (3.9)

Cette relation s'étend au cas d'un nombre quelconque de vecteurs.

2. ( )

1 21 2 2 1

d ddd d d

V VV V V Vq q q

= +⋅ ⋅ ⋅ , (3.10)

42 Chapitre 3 Fonction vectorielle. Dérivées d'une fonction vectorielle

avec en particulier :

2d d2d d

VV Vq q

= ⋅ . (3.11)

3. ( )

1 21 2 2 1

d ddd d d

V VV V V Vq q q

∧ = ∧ + ∧ . (3.12)

4. ( ) ( )

31 21 2 3 2 3 1 3 1 2

dd ddd d d d

VV VV V V V V V V V Vq q q q

⎛ ⎞⎛ ⎞⎡ ⎤∧ = ∧ + ∧ + ∧⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

(3.13) 5. Si f(q) est une fonction réelle de la variable q :

( )

dd dd d d

f Vf V V fq q q

= + . (3.14)

En particulier si ( )f q k= indépendant de q :

( )

d dd d

VkV kq q

= . (3.15)

6. Si q est une fonction de la variable p : q(p)

dd dd d d

qV Vp q p= . (3.16)

7. La variation de la fonction vectorielle V s'écrit :

dd dd d dd d d

qV VV q pq q p

= = . (3.17)

Comme la dérivée, la variation dépend de la base choisie.

3.1.4 Exemples

3.1.4.1 Premier exemple

Soit dans la base ( ) ( ) 1 , ,i j k= , le vecteur :

( ) cos sinu i jα α α= + . (3.18)

La dérivée par rapport à α dans la base (1) est :

(1)d ( ) sin cos cos ( ) sin ( )d 2 2

u i j i jπ πα α α α αα

= − + = + + + .

D'où la relation importante :

(1)d ( ) ( )d 2

u u πα αα

= + . (3.19)

3.1 Fonction vectorielle d'une variable 43

De même, on trouve que :

(1)d ( ) ( ) ( )d 2

u u uπα α π αα

+ = + = − . (3.20)

Dériver par rapport à α, revient à ajouter / 2π à l'angle α. Par ailleurs nous trouvons sans difficulté que les vecteurs :

( ), ( ), ,2

u u kπα α + (3.21)

forment une base orthonormée directe, que nous noterons (2) dans l'exemple suivant.

3.1.4.2 Deuxième exemple

Soit la fonction [ ] ( ) sinV a u kα α= + . Calculer les dérivées de V par rapport

à α dans les bases (1) et (2).

1. Dans la base (2) ( ), ( ), 2

u u kπα α⎡ ⎤= +⎣ ⎦

.

Nous dérivons directement l'expression précédente de V :

(2)d cosd

V a k αα

= .

2. Dans la base ( ) ( ) 1 , ,i j k= .

— 1ère méthode

Nous exprimons le vecteur V dans la base (1) :

( )cos sin sinV a i j kα α α= + + ,

puis nous dérivons :

( )

(1)d sin cos cosd

V a i j kα α αα

= − + + .

Soit :

(1)d ( ) cosd 2

V a u kπα αα

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

.

— 2ème méthode

Nous gardons V sous sa première écriture dans la base (2) et dérivons dans la base (1) :

[ ]

(1) (1) (1)d d d( ) sin ( ) cosd d d

V a u k a u kα α α αα α α

⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥⎣ ⎦.

Soit, compte tenu des résultats du premier exemple :

(1)d ( ) cosd 2

V a u kπα αα

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

.


3.1.4.3 Troisième exemple

Calculer la dérivée de 2cos sin 2V a i b j c kα α= + + par rapport à α dans la

base ( ) , ,i j k , où a, b et c sont des réels indépendants de α.

Le calcul de la dérivée ne présente aucune difficulté. Nous obtenons :

d 2 cos sin 2 cos 2d

V a i b jα α αα

= − + .

3.2 FONCTION VECTORIELLE DE DEUX VARIABLES

3.2.1 Définition

Si à tout couple de valeurs de deux variables réelles indépendantes q1 et q2, on fait correspondre un vecteur ,V on définit alors une fonction vectorielle des variables q1 et q2.

Nous désignons une telle fonction par 1 2( , )V q q . Les composantes de ce vec-

teur sont des fonctions de q1 et q2, et dans la base ( ) ( ) 1 2 3, , ,b e e e= nous avons :

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )V q q X q q e Y q q e Z q q e= + + . (3.22)

3.2.2 Dérivées partielles

Les dérivées partielles de la fonction 1 2( , )V q q dans la base (b) sont définies comme suit :

— dérivée par rapport à q1 :

( )

1 2 31 1 1 1

b V X Y Ze e eq q q q

∂ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂

, (3.23)

— dérivée par rapport à q2 :

( )

1 2 32 2 2 2

b V X Y Ze e eq q q q

∂ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂

. (3.24)

Lorsqu'il n'intervient qu'une seule base, les dérivées partielles sont simplement

notées

1

Vq

∂∂

et

2

Vq∂∂

.

La variation de la fonction vectorielle 1 2( , )V q q est définie par :

( ) ( )( )

1 21 2

d d db bb V VV q qq q

∂ ∂= +∂ ∂

. (3.25)

3.2 Fonction vectorielle de n variables 45

Si q1 et q2 sont des fonctions d'une même variable p, la dérivée de V par rapport à p est donnée par :

( ) ( ) ( )1 2

1 2

d ddd d d

b b bq qV V Vp q p q p

∂ ∂= +∂ ∂

. (3.26)

3.2.3 Exemples

Calculer les dérivées partielles et la variation dans la base ( ) , ,i j k de la

fonction :

( ) 2 2

1 2 1 1 2 1 2( , ) 2V q q a q i q q j q q k⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦ .

Nous obtenons facilement :

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 21 2

1 2 1 1 2 2

2 2 , 2 ,

d 2 2 d 2 d .

V Va q i q j k a q j q kq q

V a q i q j k q q j q k q

∂ ∂= + + = +∂ ∂

⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦

3.3 FONCTION VECTORIELLE DE n VARIABLES

3.3.1 Définitions

Les considérations précédentes se généralisent au cas d'un nombre quelconque de variables.

Une fonction vectorielle des variables 1 2, , . . . , nq q q , associe à tout ensemble de valeurs de ces n variables un vecteur noté 1 2( , , . . . , )nV q q q .

Les composantes du vecteur 1 2( , , . . . , )nV q q q sont des fonctions réelles de n

variables, et dans la base ( ) ( ) 1 2 3, , ,b e e e= nous avons :

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3( , , . . . , ) ( , , . . . , ) ( , , . . . , ) ( , , . . . , ) .n n n nV q q q X q q q e Y q q q e Z q q q e= + + (3.27)

La dérivée partielle de la fonction V par rapport à la variable qi ( 1, 2, . . . , )i n= dans la base (b) est définie par :

( )

1 2 3

b

i i i i

V X Y Ze e eq q q q

∂ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂

, (3.28)

et la variation de V dans la base (b) s'écrit :

( )( )

1

d dn bb

iii

VV qq

=

∂=∂∑ . (3.29)


Si 1 2, , . . . , nq q q sont des fonctions de la même variable p, la dérivée de V par rapport à p dans la base (b) est :

( ) ( )

1

ddd d

nb b i

ii

qV Vp q p

=

∂=∂∑ . (3.30)

3.3.2 Exemples

3.3.2.1 Exemple 1. Coordonnées cylindriques

Soit un point M de l'espace géométrique repéré par ses coordonnées carté-siennes (x, y, z). Le vecteur position s'écrit :

OM x i y j z k= + + . (3.31)

La position du point M peut aussi être caractérisée (figure 3.1) par les para-mètres :

( ) , , , cote de ,r OH i OH z Mα= = = (3.32)

où H est la projection orthogonale du point M dans le plan (Oxy). Les paramètres de position (r, α, z) sont appelés les coordonnées cylindro-polaires ou coordon-nées cylindriques du point M.

Le vecteur position (3.31) s'écrit :

cos sinOM r i r j z kα α= + + , ou

( )OM r u z kα= + . (3.33)

C'est l'expression du vecteur position, lorsque M est repéré par ses coordonnées cylindriques.

FIGURE 3.1. Coordonnées cylindriques

k

O i

j

x

y

z

z

H x

M

( )u α

( )2

u πα + y

α r

3.2 Fonction vectorielle de n variables 47

Le vecteur ( )u α (3.18) est le vecteur directeur unitaire de la droite OH. De

même, le vecteur ( )2

u πα + est le vecteur directeur unitaire de la droite

orthogonale à OH (figure 3.1). Le repère ( )/ ( ), ( ), 2

O u u kπα α + est un repère

orthonormé direct.

Cherchons les dérivées partielles du vecteur position OM par rapport à r, α, z,

dans la base ( ) , ,i j k . Nous avons :

( ), ( ), ,2

OM OM OMu r u kr k

πα αα

∂ ∂ ∂= = + =∂ ∂ ∂

et la variation du vecteur position s'écrit :

d ( ) d ( ) d d2

OM u r r u k zπα α α= + + + . (3.34)

Si par exemple r, α, et z sont des fonctions du temps t, la dérivée par rapport à

t et dans la base ( ) , ,i j k est le vecteur vitesse du point M dans le repère (T) =

(Oxyz) et s'écrit d'après (3.30) :

( )( ) d d d d( , ) ( ) ( )

d d d 2 d

TT OM r zM t u r u kt t t t

α πα α= = + + +v . (3.35)

Les composantes du vecteur vitesse dans la base ( ), ( ), 2

u u kπα α⎡ ⎤+⎣ ⎦

sont donc :

( )

d d d, , d d d

r zrt t t

α . (3.36)

3.3.2.2 Exemple 2. Changement de base

Soit deux bases ( ) 1 1 1, ,i j k et ( ) 2 2 2, ,i j k dont le passage de l'une à l'autre se fait en utilisant les angles d'Euler (ψ, θ, ϕ). Nous voulons exprimer les dérivées partielles dans la base (1) et par rapport à ψ, θ et ϕ des vecteurs 2 2 2, ,i j k . Pour cela, nous reprenons les trois rotations introduites au paragraphe 2.5.3.

— 1ère rotation

( ) 1 1 1/ , ,O i j k ( ) 3 3 1/ , ,O i j k .

Nous avons :

3 1 1

3 1 1

( ) cos sin ,

( ) sin cos .2

i u i j

j u i j

ψ ψ ψπψ ψ ψ

= = +⎧⎪⎨

= + = − +⎪⎩

D'où

(1) (1)

3 33 3, .

i jj iψ ψ

∂ ∂= = −∂ ∂

(3.37)

( ) 1,k ψR


— 2ème rotation

( ) 3 3 1/ , ,O i j k ( ) 3 4 2/ , ,O i j k .

Nous avons :

4 3 1

2 3 1

( ) cos sin ,

( ) sin cos .2

j u j k

k u j k

θ θ θπθ θ θ

⎧ = = +⎪⎨

= + = − +⎪⎩

Nous en déduisons :

(1) (1)4 4

3 2

(1) (1)2 2

3 4

cos , ,

sin , .

j ji k

k ki j

θψ θ

θψ θ

∂ ∂= − =∂ ∂

∂ ∂= = −∂ ∂

(3.38)

— 3ème rotation

( ) 3 4 2/ , ,O i j k ( ) 2 2 2/ , ,O i j k .

Nous avons :

2 3 4

2 3 4

( ) cos sin ,

( ) sin cos .2

i u i j

j u i j

ϕ ϕ ϕπϕ ϕ ϕ

= = +⎧⎪⎨

= + = − +⎪⎩

D'où les résultats cherchés :

(1) (1) (1)2 2 2

3 3 2 2

(1) (1) (1)2 2 2

3 3 2 2

(1) (1) (1)2 2 2

3 4

cos cos sin , sin , ,

sin cos cos , cos , ,

sin , , 0.

i i ij i k j

j j jj i k i

k k ki j

ϕ θ ϕ ϕψ θ ϕ

ϕ θ ϕ ϕψ θ ϕ

θψ θ ϕ

∂ ∂ ∂= − = =∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= − − = = −∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= = − =∂ ∂ ∂

(3.39)

Il en résulte que la variation dans la base (1) de 2i s'écrit :

( )

(1)2 3 3 2 2d cos cos sin d sin d di j i k jϕ θ ϕ ψ ϕ θ ϕ= − + + , (3.40)

ou

( )

(1)2 1 3 2 2d d d di k i k iψ θ ϕ= + + ∧ . (3.41)

Si les angles ψ, θ, ϕ (et par conséquent les vecteurs 2 2 2, ,i j k ) dépendent de la variable p, nous pouvons écrire :

(1)2

2dd p

i ip

ω= ∧ , (3.42)

en introduisant :

1 3 2d ddd d dp k i k

p p pψ ϕθω = + + . (3.43)

( ) 3,i θR

( ) 2 ,k ϕR

Commentaires 49

De même, nous trouvons :

(1) (1)2 2

2 2d d

, .d dp p

j kj kp p

ω ω= ∧ = ∧ (3.44)

Application importante

Cherchons l'expression de la dérivée par rapport à la variable p et dans la base (1) d'un vecteur V dont les composantes dans la base (2) sont indépendantes du paramètre p , par exemple, le vecteur position d'un point fixe dans le repère ( ) 2 2 2/ , ,O i j k . Nous avons :

(2) (2) (2)2 2 2V X i Y j Z k= + + , (3.45)

où les composantes X(2), Y(2), et Z(2) sont indépendantes du paramètre p. La

dérivée dans la base (1) du vecteur V s'écrit :

(1)(1) (1)(1)(2) (2) (2)22 2dd dd

d d d dji kV X Y Z

p p p p= + + , (3.46)

soit d'après (3.42) et 3.44) :

( )

(1)(2) (2) (2)

2 2 2d

d pV X i Y j Z k

pω= ∧ + + . (3.47)

D'où le résultat :

(1)dd p

V Vp

ω= ∧ . (3.48)

Ce résultat sera utilisé en cinématique du solide (chapitre 9).

COMMENTAIRES

Les notions de dérivées seront utilisées en cinématique (Partie II). Nous aurons à exprimer les vecteurs vitesses et vecteurs accélérations des points d'un solide. Ces vecteurs seront obtenus à partir des dérivées des vecteurs positions par rapport au temps et dans divers repères, ce qui conduira à dériver dans diverses bases. Les notions développées dans les paragraphes 3.1, 3.2 et 3.3 doivent donc être parfaitement assimilées. Les exemples proposés suffisent pour illustrer l'utilisation des dérivées vectorielles.

Le résultat (3.48) du paragraphe 3.3.2.2 est un résultat important qui sera utilisé en cinématique du solide (chapitre 9). Il est intéressant par le fait qu'il remplace l'opération de dérivation par un produit vectoriel, qui est plus facile à exploiter, en particulier dans le cadre d'une évaluation numérique.

CHAPITRE 4

Rappels sur les Courbes

4.1 INTRODUCTION

Une courbe (C) (figure 4.1) peut être définie dans un repère (T), comme étant l'ensemble des points M dont les vecteurs positions sont définis par une fonction vectorielle d'un paramètre q : ( ),OM V q= O étant un point de référence du repère (T).

Si le vecteur position est défini dans la base ( ) ( ) , , ,b i j k= nous avons :

( ) ( ) ( )OM X q i Y q j Z q k= + + . (4.1)

Les composantes X(q), Y(q), Z(q) du vecteur position sont également les coordon-nées du point M dans le repère ( ) ( ) / , , .T O i j k=

Par ailleurs la courbe (C) a une tangente en M de vecteur directeur

( )dd

b Vq

ou

plus généralement

( ) ( ) dd d ,d d d

b b qV Vp q p

= si q est une fonction de la variable p.

FIGURE 4.1. Courbe.

O

M(q) (C)

4.2 Abscisse curviligne. Longueur d'un arc de courbe 51

4.2 ABSCISSE CURVILIGNE LONGUEUR D'UN ARC DE COURBE

Parmi toutes les variables q qui permettent de définir la position du point M sur la courbe (C), il a été choisi une variable particulière, que nous noterons s, telle

que le vecteur

( )dd

b OMs

soit un vecteur unitaire :

2( ) ( )d d1 ou 1d d

b bOM OMs s

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

. (4.2)

Soit M ′ un point infiniment voisin du point M (figure 4.2) obtenu en augmen-tant la variable s de la valeur d .s Nous avons :

( )( ) dd d

d

bb OMMM OM OM OM ss

′ ′= − = = . (4.3)

La longueur de l'arc de courbe compris entre les points MM ′ est confondue avec la longueur MM ′ . Soit :

( ) ( )d dd dd d

b bOM OMMM MM s ss s

′ ′≈ = = ± . (4.4)

D'où le résultat :

ds MM ′= ± . (4.5)

Si M0 et M sont deux points quelconques de la courbe (C), la relation précé-dente s'écrit :

0 0( ) ( )s M s M M M− = ± . (4.6)

La variable s ainsi introduite mesure la longueur de l'arc de courbe. Son signe dépend de l'orientation de la courbe. Nous écrirons par exemple :

0( ) ( )s M s M− = . (4.7)

La courbe est alors orientée dans le sens des s croissant. La variable s est appelée abscisse curviligne du point M.

FIGURE 4.2. Longueur d'arc.

M0M

O

( )M s (C)

( d )M s s′ +

M0

52 Chapitre 4 Rappels sur les courbes

Si le point M0 est pris comme origine des abscisses curvilignes, il en résulte que : 0( ) 0,s M = et la relation (4.6) s'écrit :

0( )s M M M= ± . (4.8)

4.3 TANGENTE. NORMALE. RAYON DE COURBURE

De la définition de l'abscisse curviligne, il résulte que le vecteur :

( )dd

bt

OMes

= (4.9)

est un vecteur unitaire. Le vecteur te est donc le vecteur directeur unitaire de la tangente à la courbe (C) au point M, orientée dans le sens des s croissant. La tangente orientée est l'axe ( ), tM e .

Puisque 2 1te = , on obtient en dérivant par rapport à s et dans la base (b) :

( )d0

d

bt

tee

s=⋅ . (4.10)

Le vecteur

( )dd

bte

s est donc orthogonal au vecteur te , et l'on pose :

( )dd

bt ne e

s= R , (4.11)

où par définition :

— ne est le vecteur unitaire de la direction normale principale à la courbe (C) au point M ;

— R est un scalaire positif appelé rayon de courbure de la courbe (C) au point M.

4.4 REPÈRE DE FRÉNET

Les deux vecteurs te et ne constituent les deux premiers vecteurs d'une base orthonormée directe. Le troisième vecteur, appelé vecteur unitaire de la direction binormale à la courbe (C) au point M, est défini par la relation :

b t ne e e= ∧ . (4.12)

La base ainsi obtenue est appelée base de Frénet. Elle est fonction de l'abscisse curviligne s, donc du point M. Le repère (figure 4.3) ( )/ , , t n bM e e e est appelé

repère de Frénet.

4.4 Repère de Frénet 53

FIGURE 4.3. Repère de Frénet.

Le plan ( ) / ,t nM e e est le plan osculateur en M à la courbe (C), le plan

( ) / ,n bM e e est le plan normal en M à la courbe (C), et le plan ( ) / ,b tM e e est le

plan rectifiant en M à la courbe (C).

La dérivée du vecteur position OM par rapport au paramètre q et dans la base (b) s'écrit :

d d d dd d d dtOM OM s se

q s q q= = . (4.13)

En dérivant à nouveau, nous obtenons :

( )

22 2 2

2 2 2

d dd d d d dd d d dd d d

t tt t

e eOM s s s se eq q s qq q q

= + = + , (4.14)

ou en tenant compte de (4.11) :

( )

22 2

2 2d d d

dd dn

teOM s se

qq q= +R . (4.15)

De cette relation, il résulte que :

1. Le bipoint d'origine M et d'image

2

2d

dOMq

est contenu dans le plan

osculateur à la courbe (C) en M (figure 4.4).

2. Le produit scalaire :

( )

22

2d 1 d

ddn

OM seqq

=⋅ R , (4.16)

est toujours positif. Le vecteur

2

2d

dOMq

a donc toujours une composante

positive sur le vecteur ne et cette composante définit la concavité de la courbe (C) au point M.

Enfin, le point D défini par :

nMD e=R (4.17)

est appelé centre de courbure de la courbe (C) au point M (figure 4.4).

te M

(C)

be

ne

54 Chapitre 4 Rappels sur les courbes

FIGURE 4.4. Concavité et courbure.

EXERCICE

4.1 Dans le trièdre ( ) / , ,O i j k , on définit la courbe (C) comme l'ensemble des

points M de coordonnées cartésiennes :

3 3sin , cos , cos 2 ,x a q y a q z a q= = = − avec 0 et 02

a q π> < < .

Déterminer le vecteur directeur unitaire de la tangente, l'abscisse curviligne, le vecteur de la normale principale, le rayon de courbure et la base de Frénet en un point quelconque de la courbe (C).

COMMENTAIRES

Le présent chapitre introduit les notions de base relatives aux courbes. L'exercice 4.1 illustre de quelle manière ces notions peuvent être utilisées simplement à partir de leurs définitions.

te M

(C)

be

ne

D plan osculateur

plannormal

ddOM

q

2

2d

dOMq

CHAPITRE 5

Torseurs

5.1 DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS DES TORSEURS

5.1.1 Définitions et notations

Un torseur, que nous noterons { }T peut être défini comme l'ensemble de deux champs de vecteurs, définis sur l'espace géométrique ou sur un sous-espace (D) de l'espace géométrique et ayant les propriétés suivantes.

1. Le premier champ de vecteurs fait correspondre à tout point P de l'espace

(D) un vecteur R de 3, indépendant du point considéré :

( )P D∀ ∈ 3R∈ . (5.1)

Le vecteur R est appelé la résultante du torseur { } .T Nous la noterons soit R ,

soit { }.R T

2. Le second champ de vecteurs fait correspondre à tout point P de l'espace (D)

un vecteur PM qui dépend du point P :

( )P D∀ ∈ 3P ∈M . (5.2)

Le vecteur PM est appelé le vecteur-moment au point P ou moment au point P

du torseur { } .T Nous le noterons soit PM , soit { }PM T .

Entre les vecteurs-moments en deux points P et Q de l'espace (D), il existe la relation :

{ } { } { }Q P R PQ= + ∧M MT T T . (5.3)

Cette relation très importante peut être prise comme relation de définition du champ des vecteurs-moments, et par extension comme relation de définition des torseurs :

Le torseur { }T est l'ensemble des deux champs de vecteurs : résultante et

56 Chapitre 5 Torseurs

vecteur-moment définis sur l'espace (D), vérifiant en chaque point P de cet espace la relation (5.3).

Les deux vecteurs R et PM sont appelés les éléments de réduction au point P du torseur { }T ou les composantes vectorielles au point P du torseur { }T . Nous

les noterons généralement par { }, P PR M . L'importance des éléments de

réduction en un point résulte du théorème suivant :

Étant donné deux vecteurs R et PM , et un point P, il existe un torseur et un

seul ayant R et PM pour éléments de réduction en P. De ce théorème, il résulte

qu'un torseur est défini de manière unique si l'on donne ses éléments de réduction

en un point.

Les six réels X, Y, Z et LP, MP, NP, composantes respectives de R et PM dans une base donnée, s'appellent les composantes en P du torseur { }T . Nous les noterons généralement par { }, , , , , P P P PX Y Z L M N .

5.1.2 Propriétés des vecteurs-moments

Les deux vecteurs-moments PM au point P et QM au point Q ont même projection sur la droite PQ : on dit que le champ des vecteurs-moments est équiprojectif.

La projection du vecteur-moment PM sur PQ (ou plus généralement sur la

direction PQ est donnée par définition par le produit scalaire PPQ ⋅M (à un facteur multiplicatif près). Considérant l'expression (5.3), nous pouvons écrire :

( )Q PPQ PQ PQ R PQ= + ∧⋅ ⋅ ⋅M M . (5.4)

Les deux vecteurs PQ et R PQ∧ étant orthogonaux, la relation précédente se réduit à :

Q PPQ PQ=⋅ ⋅M M . (5.5)

Cette relation exprime que les vecteurs PM et QM ont même projection sur la

droite PQ.

5.1.3 Espace vectoriel des torseurs

L'ensemble des torseurs définis sur un espace (D) constitue un espace vectoriel.

5.1.3.1 Égalité de deux torseurs

Deux torseurs sont égaux (on dit parfois équivalents), si et seulement si, il

5.1 Définition et propriétés des torseurs 57

existe un point en lequel les éléments de réduction des deux torseurs sont égaux. L'égalité entre deux torseurs :

{ } { }1 2=T T (5.6)

est donc équivalente à l'ensemble de deux égalités vectorielles :

{ } { }

{ } { }1 2

1 2

,

et par exemple .P P

R R⎧ =⎪⎨

=⎪⎩ M M

T TT T

(5.7)

5.1.3.2 Somme de deux torseurs

Le torseur somme des torseurs { }1T et { }2 ,T que nous noterons :

{ } { } { } 1 2= +T TT (5.8)

a pour éléments de réduction en un point P :

{ } { } { }

{ } { } { }1 2

1 2

,

.P P P

R R R⎧ = +⎪⎨

= +⎪⎩M M M

T TT T

TT

(5.9)

5.1.3.3 Multiplication par un scalaire

Le torseur : { } { }1λ= TT (5.10)

où λ est un nombre réel, a pour éléments de réduction en un point P :

{ } { }

{ } { }1

1

,

.P P

R Rλ

λ

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩M M

TT

TT

(5.11)

5.1.3.4 Torseur nul

Le torseur nul, que nous noterons { },0 est l'élément neutre pour l'addition de deux torseurs. Ses éléments de réduction en tout point sont :

{ }

{ } ( )

0,

0, .

0

0P

R

P D

⎧ =⎪⎨

= ∀ ∈⎪⎩M (5.12)

5.1.4 Invariant scalaire d'un torseur

L'invariant scalaire d'un torseur est par définition le produit scalaire des éléments de réduction en un point quelconque du torseur considéré.

L'invariant scalaire est indépendant du point choisi, ce qui justifie l'intérêt de la définition. En effet, considérons le torseur { }T . L'invariant scalaire est par


exemple donné par l'expression :

{ } { } { }QI R= ⋅MT T T , (5.13)

ou en passant par le point P (relation (5.3)) :

{ } { } { } { } { }( )PI R R R PQ= + ∧⋅ ⋅MT T T T T ,

soit :

{ } { } { }PI R= ⋅MT T T . (5.14)

L'invariant scalaire est bien indépendant du point.

5.1.5 Produit de deux torseurs

On appelle produit de deux torseurs { }1T et { }2 ,T le réel défini de la manière suivante :

{ } { } { } { } { } { } 1 2 1 2 1 2P PR R= +⋅ ⋅ ⋅M MT T T T T T . (5.15)

Cette définition est indépendante du point P choisi, comme on peut le vérifier facilement à partir de la relation (5.3).

5.1.6 Moment d'un torseur par rapport à un axe

Considérons le torseur { }T et l'axe ( ) ( ), P u∆ = passant par le point P et de

vecteur directeur unitaire u (figure 5.1). Soit Q un point quelconque de l'axe (∆). Nous avons :

{ } { } { } ,

, .

Q P R PQ

PQ uα α

= + ∧

= ∀ ∈

M MT T T

Il en résulte que :

{ } { }Q Pu u=⋅ ⋅M MT T . (5.16)

Le produit scalaire est indépendant du point Q, lorsque Q décrit l'axe (∆). C'est la propriété d'équiprojectivité (paragraphe 5.1.2).

FIGURE 5.1 Projection d'un moment sur un axe.

P

(∆)

Q u

5.1 Définition et propriétés des torseurs 59

Le produit scalaire { }Pu ⋅M T s'appelle le moment du torseur { }T par rapport à l'axe ( ), P u . Il est indépendant du point choisi sur l'axe.

Note. Ne pas confondre : — le moment d'un torseur par rapport à un axe qui est un nombre réel ; — et le moment d'un torseur en un point qui est un vecteur.

5.1.7 Axe central d'un torseur

Soit un torseur donné de résultante non nulle. L'ensemble des points de l'espace géométrique où le moment du torseur est colinéaire à sa résultante est une droite ayant pour vecteur directeur la résultante du torseur. Cette droite est appelée axe central du torseur.

Soit :

Axe central du torseur { } { } { }( ), PP Rα α= = ∀ ∈MT T T . (5.17)

Démontrons ce théorème. Soit donc un torseur donné { }T et nous cherchons

l'ensemble (∆) des points P tels que { }PM T soit colinéaire à { },R T ou ce qui est équivalent tels que :

0PR ∧ =M . (5.18)

Soit un point de référence O de l'espace géométrique. L'expression (5.3) s'écrit :

P O R OP= + ∧M M . (5.19)

La condition (5.18) de colinéarité s'écrit donc :

( ) 0OR R R OP∧ + ∧ ∧ =M , (5.20)

ou en tenant compte de la propriété (1.51) du double produit vectoriel :

( ) 20OR R OP R R OP∧ + − =⋅M . (5.21)

De cette expression, nous tirons :

2 2

OR R OPOP RR R

∧= + ⋅M . (5.22)

Le premier terme est un vecteur indépendant du point P :

0 2ORV

R

∧= M . (5.23)

Le second terme dépend du point P, et nous introduisons le réel λ dépendant du point P :

2

R OP

Rλ = ⋅ (5.24)


FIGURE 5.2. Axe central.

Le vecteur position du point P s'écrit donc :

0OP V Rλ= + . (5.25)

Ce résultat exprime bien que l'ensemble (∆) des points P est une droite de vecteur directeur R , résultante du torseur considéré.

Pour déterminer l'axe central du torseur, il suffit (connaissant un vecteur directeur) de trouver un point particulier de l'axe. Comme point particulier,

cherchons le point P0 tel que le vecteur position 0OP soit orthogonal à l'axe central. Nous avons alors :

0 0R OP =⋅ , (5.26) et l'expression (5.25) s'écrit :

0 0 2OROP V

R

∧= = M . (5.27)

L'axe central est l'axe ( )0, P R .

5.2 TORSEURS PARTICULIERS DÉCOMPOSITION D'UN TORSEUR QUELCONQUE

5.2.1 Glisseur

5.2.1.1 Définition

Un torseur de résultante non nulle est un glisseur, si et seulement si son invariant scalaire est nul.

La définition d'un glisseur peut donc se traduire par :

{ }T est un glisseur ¤ { } { } { }

{ }

0, ,

avec 0.

PI R P

R

⎧ = = ∀⎪⎨

≠⎪⎩

⋅MT T TT

(5.28)

P0

axe central ( )0, P R

O R

5.2 Torseurs particuliers. Décomposition d'un torseur quelconque 61

L'invariant scalaire étant indépendant du point P où il est déterminé, il est équivalent de dire :

Un torseur est un glisseur si et seulement si, il existe au moins un point en lequel le moment du torseur est nul.

5.2.1.2 Moment en un point d'un glisseur

Considérons le glisseur { }.T Il existe au moins un point où le moment du glisseur est nul. Soit A ce point :

{ } 0A =M T . (5.29)

Le moment en un point P quelconque s'écrit :

{ } { } { }P A R AP= + ∧M MT T T . (5.30) Soit ici :

{ } { }P R AP= ∧M T T . (5.31)

Cette relation exprime le vecteur-moment en un point quelconque P d'un glisseur dont le moment est nul au point A.

5.2.1.3 Axe d'un glisseur

Soit { }T un glisseur et A un point où le moment du torseur est nul. Cherchons l'ensemble des points P en lesquels le moment du torseur est nul. D'après (5.31) l'ensemble de ces points vérifie la relation :

{ } { }0 avec 0R AP R∧ = ≠T T . (5.32)

Cette relation montre que AP est colinéaire à la résultante, donc que le point P appartient à la droite passant par le point A et de vecteur directeur la résultante du glisseur.

Cette droite est appelée l'axe de moments nuls du glisseur ou de manière plus abrégée : l'axe du glisseur. Cet axe est l'axe central du glisseur.

5.2.1.4 Conclusions

1. Un torseur { },T de résultante non nulle, est un glisseur si et seulement si son invariant scalaire est nul.

2. Un glisseur est entièrement déterminé par les données :

— de sa résultante : { },R T

— d'un point A en lequel son moment est nul : { } 0A =M T .

3. Un glisseur possède un axe de moments nuls : l'axe { }( ), A R T .

4. Si Q est un point quelconque de cet axe, le moment en un point P quelconque s'exprime par :

{ } { }P R QP= ∧M T T . (5.33)


5.2.2 Torseur-couple

5.2.2.1 Définition

Un torseur non nul est un torseur-couple si et seulement si, sa résultante est nulle.

Soit :

{ }T est un torseur-couple { }

{ }

0,

un point tel que 0.P

R

P

⎧ =⎪⇔ ⎨∃ ≠⎪⎩ M

TT

(5.34)

5.2.2.2 Propriété du vecteur-moment

Il résulte de l'expression (5.3) qu'un torseur-couple est tel que :

{ } { }P Q= =M M MT T , (5.35)

où M est un vecteur indépendant des points P et Q.

Le vecteur-moment d'un torseur-couple est indépendant du point considéré.

5.2.2.3 Décomposition d'un torseur-couple

Soit { }cT le torseur couple { }0, M . Ce torseur-couple peut être décomposé

en la somme de deux glisseurs { }1T et { }2T :

{ } { } { }1 2 c = +T TT , (5.36)

où les glisseurs sont définis comme suit :

{ } { }{ } { }

{ } { }

1 2

1 2

1 2

0,

, étant un point quelconque,

0, 0.P P

R R

PI I

⎧ + =⎪⎪ + =⎨⎪ = =⎪⎩

M M M

T TT T

T T (5.37)

La première relation montre qu'il existe une infinité de couples de glisseurs équivalents à un torseur-couple donné. Les glisseurs constituant l'un de ces couples ont des résultantes opposées. Leurs axes sont donc parallèles.

Un de ces couples équivalents peut être obtenu de la manière suivante.

1. Nous choisissons le glisseur { }1T en nous donnant :

— sa résultante { } 11R R=T ;

— son axe (∆1) déterminé par un point P1 : ( ) ( )11 1, P R∆ = .

Il y a donc à ce stade une "double" infinité de choix possibles. Une fois ces choix faits, la décomposition est unique.

5.2 Torseurs particuliers. Décomposition d'un torseur quelconque 63

2. Le glisseur { }2T est alors défini ainsi :

— sa résultante est { } 12R R= −T ;

— son axe (∆2) est déterminé, si nous connaissons un des points de cet axe : P2 par exemple. Le point P2 est tel que :

{ } { } { }2 2 21 2 1P P P+ = =M M M MT T T . (5.38)

Soit d'après (5.33) :

1 1 2R P P∧ =M . (5.39)

Cette relation détermine le point P2 de manière unique.

5.2.3 Torseur quelconque

5.2.3.1 Définition

Un torseur est quelconque si et seulement si, son invariant scalaire n'est pas nul.

{ }T est un torseur quelconque { } 0I⇔ ≠T . (5.40)

5.2.3.2 Décomposition d'un torseur quelconque

Un torseur quelconque peut être décomposé en une somme d'un glisseur et d'un torseur-couple ; ceci d'une infinité de façons.

La décomposition d'un torseur { }T quelconque se fait comme suit.

1. On choisit un point P où les éléments de réduction du torseur { }T sont connus, soit :

{ } { } et .PR MT T (5.41)

Il y a une infinité de choix possibles pour le point P. Le choix dépendra de la facilité à exprimer les éléments de réduction du torseur en tel ou tel point. Une fois le choix de P fait, la décomposition du torseur est unique.

2. Le glisseur { }1T est tel que :

— sa résultante est égale à celle du torseur { }T :

{ } { }1 ,R R=T T (5.42)

— son axe passe par le point P choisi.

3. le torseur-couple { }2T est tel que :

{ } { } { }2 20, .PR = =T T TM M


Nous obtenons bien ainsi : { } { } { } 1 2= +T TT . (5.44)

À chaque point P choisi est associé un couple : glisseur/torseur-couple, et un seul. Les glisseurs de tous les couples équivalents à un torseur quelconque donné ont même résultante. Ils diffèrent par leurs axes qui ont toutefois la même direction, donnée par la résultante du torseur.

5.2.4 Conclusions

Soit { }T un torseur d'éléments de réduction en P : { }R T et { }.PM T

1. Si { } { } { } 0PI R= =⋅MT T T

1.1 Si { } 0R ≠T , le torseur est un glisseur.

1.2 Si { } 0R =T

— Si { } 0 P P= ∀M T , le torseur est le torseur nul.

— Si { } 0P ≠M T , le torseur est un torseur-couple, qui peut être décomposé en une somme de deux glisseurs de résultantes opposées.

2. Si { } { } { } 0PI R= ≠⋅MT T T , le torseur est un torseur quelconque. Le

torseur peut être décomposé au point P, en un glisseur de résultante { }R T et

d'axe { }( ), P R T et en un torseur-couple de vecteur-moment { }.PM T

5.3 TORSEURS ASSOCIÉS À UN CHAMP DE GLISSEURS DÉFINI SUR UN

DOMAINE DE L'ESPACE GÉOMÉTRIQUE

Par la suite, nous serons amenés à considérer des torseurs associés à des champs de glisseurs définis sur un sous-espace particulier de l'espace géométrique

: par exemple, ensemble des points d'un solide, ensemble des points appartenant à plusieurs solides etc. Nous noterons (D) ce sous-espace qui pourra être linéique, surfacique ou volumique. En outre, ce domaine d'étude pourra être soit discret ou dénombrable (s'il est possible de numéroter ses points, c'est-à-dire d'établir une correspondance biunivoque entre les points et la suite des nombres entiers), soit continu dans le cas contraire.

5.3.1 Torseur associé à un ensemble de points dénombrables

Soit un ensemble discret (D) = (M1, M2, . . . , Mi, . . . , Mn) constitué de n points.

5.3 Torseurs associés à un champ de glisseurs défini sur un domaine de l'espace géométrique 65

Sur ce domaine (D) nous définissons un champ de glisseurs qui associe à chaque point Mi du domaine (D) un glisseur { }iT d'axe passant par le point Mi :

( )iM D∀ ∈ { }.iT (5.45)

Le torseur { }iT est un glisseur de résultante iR et d'axe passant par Mi :

{ }

{ } ,

1, 2, . . . , . 0,i

ii

M i

R Ri n

⎧ =⎪ =⎨=⎪⎩ M

TT

(5.46)

On appelle torseur associé au domaine (D) et au champ de glisseurs { }iT

défini sur (D), le torseur ( ){ }DT somme des glisseurs { }iT . Soit :

( ){ } { }1

n

ii

D=

=∑ TT . (5.47)

Il résulte de cette définition que :

— la résultante du torseur ( ){ }DT est :

( ){ } { }1 1

n n

iii i

R D R R= =

= =∑ ∑TT , (5.48)

— le moment en un point P quelconque de l'espace géométrique du torseur ( ){ }DT est donné par l'expression :

( ){ } { }1 1

n n

i iP P ii i

D PM R= =

= = ∧∑ ∑M M TT . (5.49)

5.3.2 Torseurs associés à un ensemble continu

Soit un ensemble continu (D) de l'espace géométrique (figure 5.3). Sur ce domaine (D), nous définissons un champ de glisseurs qui associe à chaque point M du domaine (D) un glisseur, noté ( ){ } d MT , d'axe passant par M, défini de la manière suivante :

( )M D∀ ∈ ( ){ } d .MT (5.50)

Le torseur ( ){ } d MT est un glisseur de résultante d ( )R M et d'axe passant par M :

( ){ }

( ){ }

d d ( ),

d 0.M

R M R M

M

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩M

TT

(5.51)

La résultante d ( )R M peut se mettre sous la forme :

d ( ) ( ) d ( )R M R M e M= , (5.52)


FIGURE 5.3. Domaine continu.

où d ( )e M est un élément du domaine (D) entourant le point M : élément de courbe, de surface ou de volume, suivant que le domaine est linéique, surfacique ou volumique. Le vecteur ( )R M est appelé la densité vectorielle du champ de glisseurs. Le torseur associé au champ de glisseurs (5.50) est obtenu par extension à un domaine continu des expressions (5.47) à (5.49).

Le torseur associé au domaine (D) et au champ de glisseurs ( ){ } d MT défini sur (D) est le torseur ( ){ }DT que nous convenons d'écrire :

( ){ } ( ){ }

( )d

DD M= ∫T T . (5.53)

Il résulte de cette écriture et par extension de (5.48) et (5.49) que :

— la résultante du torseur ( ){ }DT est :

( ){ }

( ) ( )d ( ) ( ) d ( )

D DR D R M R M e M= =∫ ∫T , (5.54)

— le moment en un point P quelconque de l'espace géométrique du torseur ( ){ }DT s'exprime suivant :

( ){ }

( ) ( )d ( ) ( ) d ( )P

D DD PM R M PM R M e M= ∧ = ∧∫ ∫M T . (5.55)

Les intégrales qui interviennent dans les expressions précédentes seront des intégrales curvilignes, de surface ou de volume suivant la nature du domaine (D) : courbe, surface ou volume.

Les relations (5.54) et (5.55) sont bien adaptées à une méthode de calcul littéral. Toutefois, il, est toujours possible de ramener le cas d'un domaine continu à celui d'un domaine discret. Pour ce faire, on divise le domaine (D) en n éléments (figure 5.4). L'élément (i) est alors repéré par le point Mi "centre" de cet élément. On suppose ensuite que la densité vectorielle ( )R M est constante à l'intérieur de l'élément (i) :

( ) ( ), ( )iR M R M M i= ∀ ∈ . (5.56)

(D)

M

d e(M)


FIGURE 5.4. Discrétisation d'un domaine continu.

Puis l'on écrit que le glisseur d'axe passant par Mi et relatif à l'élément (i) a pour résultante :

{ }

( ) ( )( ) d ( ) di i i i i

i iR R M e R M e= =∫ ∫T .

Soit :

{ } ( )i i iR R M e=T , (5.57)

où ei est la longueur, la surface ou le volume de l'élément (i) , suivant que le domaine (D) est linéique, surfacique ou volumique. Nous sommes ramenés à un domaine discret, constitué des points Mi, auquel est associé le champ de glisseurs :

Mi ( )i iR M e .

D'où d'après (5.48) et (5.49), la résultante et le moment du torseur associé :

( ){ }

( ){ }

1

1

( ) ,

( ) .

n

i ii

n

iP i ii

R D R M e

D PM R M e

=

=

⎧=⎪

⎪⎨⎪ ⎡ ⎤= ∧⎣ ⎦⎪⎩

∑

∑M

T

T (5.58)

5.3.3 Cas particulier important. Centre de mesure

Dans le cas général, la densité vectorielle ( )R M introduite en (5.52) est une fonction vectorielle du point M et peut s'écrire sous la forme :

( ) ( ) ( )R M f M u M= , (5.59)

où ( )u M est un vecteur unitaire et ( )f M un nombre réel positif égal à la norme de ( )R M . Dans le cas général, la norme et la direction de la densité vectorielle dépendent du point M.

Nous considérons dans ce paragraphe le cas particulier où le vecteur ( )u M est

(D)

Mi


un vecteur unitaire u indépendant du point M. La densité vectorielle s'écrit :

( ) ( ) R M f M u= . (5.60)

Le champ de glisseurs défini sur le domaine (D) associe alors à tout point M un glisseur de résultante :

( )M D∀ ∈ d ( ) ( ) d ( )R M f M u e M= . (5.61)

Les axes des glisseurs définis sur le domaine (D) ont alors tous la même direction, quel que soit le point M.

Les éléments de réduction, en un point P quelconque de l'espace géométrique, du torseur associé à un tel champ de glisseurs, sont d'après (5.54) et (5.55) :

( ){ }

( )( ) d ( )

DR D u f M e M= ∫T , (5.62)

( ){ }

( ) ( ) d ( )P

DD PM f M e M u

⎡ ⎤= ∧⎢ ⎥⎣ ⎦∫M T . (5.63)

Le vecteur-moment ( ){ }P DM T est orthogonal à u , donc à la résultante ( ){ }R DT . L'invariant scalaire du torseur ( ){ }DT :

( ){ } ( ){ } ( ){ }PI D R D D= ⋅MT T T (5.64)

est alors nul. Il en résulte que le torseur ( ){ }DT est soit le torseur nul, soit un torseur-couple, soit un glisseur.

1. Si

( )( ) d ( ) 0

Df M e M =∫ et

( )( ) d ( ) 0

DPM f M e M u

⎡ ⎤∧ =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ , le torseur

( ){ }DT est le torseur nul.

2. Si

( )( ) d ( ) 0

Df M e M =∫ et

( )( ) d ( ) 0

DPM f M e M u

⎡ ⎤∧ ≠⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ , le torseur

( ){ }DT est un torseur-couple.

3. Si

( )( ) d ( ) 0

Df M e M ≠∫ , le torseur est un glisseur.

Dans la suite du paragraphe, nous étudions le cas où le torseur est un glisseur :

( )( ) d ( ) 0

Df M e M ≠∫ . (5.65)

La résultante (5.62) du glisseur peut alors s'écrire sous la forme :

( ){ } ( ) R D D uµ=T , (5.66)

en introduisant la quantité :


( )( ) ( ) d ( )

DD f M e Mµ = ∫ . (5.67)

La grandeur µ(D) ainsi définie est appelée mesure de l'ensemble (D), associée au champ de glisseurs considéré sur (D). f(M) est la mesure spécifique (linéique, surfacique ou volumique) au point M.

Divers champs de glisseurs peuvent être associés à un même domaine (D). Il en résulte que diverses mesures seront associées à un même domaine : volume (surface ou longueur), masse, pression, intensité du champ de gravitation, intensité du champ électrostatique, etc.

Le torseur ( ){ }DT considéré étant un glisseur, il possède un axe de moment nul dont les points P, d'après (5.63), vérifient la relation :

( ){ }

( )( ) d ( ) 0P

DD PM f M e M u

⎡ ⎤= ∧ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫M T . (5.68)

Les points de l'axe sont donc tels que le vecteur

( )( ) d ( )

DPM f M e M∫ soit

colinéaire à u . En particulier, il existe un point de cet axe, que nous noterons H tel que le vecteur précédent soit nul. Soit :

( )( ) d ( ) 0

DHM f M e M =∫ . (5.69)

Le point H joue un rôle important et s'appelle le centre de mesure relatif au champ de glisseurs considéré sur (D). Nous dirons plus brièvement (mais de manière incorrecte) que H est le centre de mesure de l'ensemble (D).

La position du point H dans l'espace géométrique peut être définie par rapport à un point de référence O, en cherchant le vecteur position OH . La relation (5.69) s'écrit :

( )

( )( ) d ( ) 0

DOM HM f M e M− =∫ , (5.70)

ou

( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( )

D DOH f M e M OM f M e M=∫ ∫ . (5.71)

Le vecteur position du centre de mesure H s'exprime donc sous la forme :

( )

1 ( ) d ( )( ) D

OH OM f M e MDµ= ∫ . (5.72)

Finalement, le glisseur associé au domaine (D) et au champ de glisseurs de densité vectorielle ( ) ( ) R M f M u= a une résultante donnée par l'expression (5.66) et un axe ( ), H u de directionu et qui passe par le centre de mesure, défini par (5.69) ou (5.72).


Dans le cas où la mesure spécifique f(M) est indépendante du point M :

( ) ctef M k= = , (5.73)

l'expression (5.72) se réduit à :

( )

1 d ( )( ) D

OH OM e Me D

= ∫ , (5.74)

où e(D) est la longueur, la surface ou le volume du domaine (D). La relation (5.74) montre que dans ce cas le centre de mesure H est confondu avec le centre de la longueur, de la surface ou du volume de l'ensemble (D).

EXERCICES

5.1 Soit (D) le domaine constitué de 4 points M1, M2, M3 et M4 :

(D) = (M1, M2, M3 M4).

Sur ce domaine, on définit un champ de glisseurs, tel que les résultantes des glisseurs associés à chaque point soient :

M1 (2, –2, 3) 1R (5, 0, 0),

M2 (–4, 2, –1) 2R (0, –2, 0),

M3 (5, –2, 3) 3R (0, 0, 3),

M4 (0, 2, 0) 4R (3, 4, 1).

Les coordonnées des points sont les coordonnées cartésiennes par rapport à un trièdre d'origine O. Les composantes des résultantes des glisseurs sont données dans la base canonique.

Déterminer la résultante du torseur associé à ce champ, son moment en O. Caractériser le torseur. Déterminer le moment du torseur en un point P quel-conque. Trouver les équations de son axe.

5.2 On considère le même domaine (D) que dans l'exercice précédent, mais avec le champ de glisseurs suivant :

M1 (2, –2, 3) 1R (100, 0, 0),

M2 (–4, 2, –1) 2R (0, 200, 50),

M3 (5, –2, 3) 3R (–100, 0, –50),

M4 (0, 2, 0) 4R (0, –200, 0).

Déterminer la résultante du torseur associé à ce champ, son moment en O. Caractériser le torseur. Décomposer le torseur au point origine.

Exercices 71

5.3 Toujours au domaine (D), défini dans l'exercice 5.1, nous associons le champ de glisseurs :

M1 (2, –2, 3) 1R (5, – 4, 1),

M2 (–4, 2, –1) 2R (0, –2, 0),

M3 (5, –2, 3) 3R (0, 0, 3),

M4 (0, 2, 0) 4R (3, 4, 1).

Déterminer la résultante du torseur associé à ce champ, son moment au point origine O. Caractériser le torseur. Déterminer le moment du torseur en un point P quelconque. Trouver les équations de son axe central. Décomposer le torseur au point origine.

5.4 Torseur associé à un domaine continu. Nous considérons un domaine (D) constitué d'une surface rectangulaire ABCD (figure 5.5). Comme trièdre de

référence, nous choisissons le trièdre (Axyz), dont les axes Ax et Az sont confondus respectivement avec les côtés AB et AD. À chaque élément de surface d S(M) entourant un point quelconque du domaine (D), nous associons le glisseur de densité vectorielle ( ) p M i . Le champ de glisseurs ainsi défini sur le domaine (D) associé à tout point M un glisseur de résultante :

d ( ) ( ) d ( )R M p M i S M= ,

et d'axe ( ), M i .

Caractériser le torseur associé à ce champ de glisseurs.

FIGURE 5.5. Domaine rectangulaire.

(D)

A B

C D

M

d S(M)

x

z

y


COMMENTAIRES

Le formalisme de torseur constitue la clef des concepts introduits dans la suite de cet ouvrage. Le lecteur devra donc s'attacher particulièrement à approfondir tous les éléments apportés dans le présent chapitre. Le concept de vecteur permet de travailler simultanément sur trois réels. Le concept de torseur permet d'opérer simultanément sur deux vecteurs, sa résultante et son moment en un point.

Trois types de torseurs existent : glisseur, torseur-couple et torseur quel-conque. Le type de torseur est caractérisé par son invariant scalaire. Le glisseur constitue le type fondamental de torseur, puisqu'un torseur-couple peut être décomposé en un couple de deux glisseurs et un torseur quel-conque peut être décomposé en un glisseur et un torseur-couple.

Le lecteur apportera une attention toute particulière au paragraphe 5.3.3 qui considère le cas particulièrement important pour lequel il existe un centre de mesure.

Les exercices proposés illustrent simplement l'ensemble des notions qui sont introduites dans le chapitre.

Mécanique des Solides Rigides · L'étude de quelques problèmes de statique familiarisera le ......

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