UNIVERSIDAD NACIONALSANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLOFACULTAD DE INGENIERA CIVIL CURSO:FISICA I AUTOR:Mag. OptacianoL. VsquezGarca HUARAZ-PER I.INTRODUCCIN MECANICA MECNICA DE FLUIDOS MECNICA DE CUERPO DEFORMABLE MECANICA DE CUERPO RIGIDOS DINAMICAESTATICA CINETICACINEMATICAII.NOCION DE CINEMATICA Lacinemtica(delgriego,kineo,movimiento)esla ramadelamecnicaclsicaqueestudialasleyesdel movimientodeloscuerpossintenerencuentalascausas queloproducen,limitndose esencialmente,alestudiode la trayectoria en funcin del tiempo. Tambinsedicequelacinemticaestudialageometradel movimiento.

Enlacinemticaseutilizaunsistemadecoordenadaspara describir las trayectorias, denominado sistema de referencia. II.ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 1. ESPACIO ABSOLUTO. Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independiente de la existencia de estos. Esteespacioeselescenariodondeocurrentodoslos fenmenosfsicos,ysesuponequetodaslasleyesdela fsica se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio. ElespaciofsicoserepresentaenlaMecnicaClsica mediante un espacio puntual eucldeo. II.ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 2. TIEMPO ABSOLUTO La Mecnica Clsica admite la existencia de untiempoabsolutoquetranscurredel mismomodoentodaslasregionesdel Universoyqueesindependientedela existenciadelosobjetosmaterialesydela ocurrencia de los fenmenos fsicos. II.ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 2. MOVIL El mvil ms simple que podemos considerar es el punto material o partcula. La partcula es una idealizacin de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geomtrico. Entendemosporpuntomaterialopartculaauncuerpode dimensionestanpequeasquepuedaconsiderarsecomo puntiforme;deesemodosuposicinenelespacioquedar determinada al fijar las coordenadas de un punto geomtrico. Naturalmentelaposibilidaddedespreciarlasdimensionesdeun cuerpoestarenrelacinconlascondicionesespecficasdel problema considerado. III.RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Estudiarelmovimientodeuncuerpoquieredecirdeterminarsu posicinenelespacioenfuncindeltiempo,paraellosenecesitaun sistema de referencia. Enelespacioeuclidianounsistemadequedadefinidoporlos elementos siguientes. a.un origen O, que es un punto del espacio fsico. b.unabasevectorialdelespaciovectorialasociadoadicho espacio fsico. III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Decimos que una partcula se encuentra en movimiento con respecto a unreferencialsisuposicinconrespectoalcambiaeneltranscurso del tiempo. Encasocontrario,silaposicindelcuerponocambiaconrespectoal referencial, el cuerpo est en reposo en dicho referencial. Delasdefinicionesqueacabamosdedarparaelmovimientoyel reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.III.RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO En la Figura hemos representado dos observadores, S y S, y una partcula P. Estosobservadoresutilizanlos referencialesxyzyxyz, respectivamente. SiSySseencuentranenreposo entre s, describirn del mismo modo el movimiento de la partcula P. Pero siSySseencuentranen movimientorelativo,sus observaciones acerca del movimiento de la partcula P sern diferentes. III.RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO ParaelobservadorenubicadoenlatierralaLUNAdescribiruna rbita casi circular en torno a la TIERRA. Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una lnea ondulante. Naturalmente,silosobservadoresconocensusmovimientos relativos, podrn reconciliar sus observacionesIV.MOVIMIENTO RECTILNEO Decimosqueunapartculatieneunmovimientorectilneo cuandosutrayectoriamedidaconrespectoaunobservador es una lnea recta 1.POSICIN. Laposicindelapartculaen cualquierinstantequedadefinida porla coordenadax medida a partir del origen O. Sixespositivalapartculase localiza hacia la derecha de O y si x es negativa se localiza a la izquierda de O. IV.MOVIMIENTO RECTILNEO 2.DESPLAZAMIENTO. El desplazamiento se define como el cambio de posicin. Se representa por el smbolo x. Si la posicin final de la partcula P est la derecha de su posicin inicialP,eldesplazamientoAxespositivocuandoel desplazamiento es hacia la izquierda S es negativo ' ' 'x x xr r r x i xiA = A = = IV.MOVIMIENTO RECTILNEO 3.VELOCIDAD MEDIA SilapartculasemuevedePaPexperimentandoun desplazamientoxpositivoduranteunintervalodetiempot, entonces, la velocidad media ser 2 22 1 ' '' 'mmx x xvt t tr r r x i xivt t t t t A= =A A = = =A IV.MOVIMIENTO RECTILNEO 3.VELOCIDAD MEDIA Lavelocidadmediatambin puedeinterpretarse geomtricamenteparaellose trazaunalnearectaqueunelos puntos P y Q como se muestra en lafigura.Estalneaformaun tringulo de altura Ax y base At. La pendiente de la recta es Ax/At. Entonces la velocidad media es la pendiente de la recta que une los puntosinicialyfinaldelagrfica posicin-tiempo IV.MOVIMIENTO RECTILNEO 4.VELOCIDAD INSTANTNEA Eslavelocidaddelapartculaencualquierinstantede tiemposeobtienellevandoallmitelavelocidadmediaes decir, se hace cada vez ms pequeo el intervalo de tiempo y por tanto valores ms pequeos de Ax. Por tanto: 00lim( )lim( )ttx dxvt dtr dr dxv it dt dtA A A= =AA= = =AIV.MOVIMIENTO RECTILNEO 4. VELOCIDAD INSTANTNEA Si una partcula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima ms y ms a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de estamaneralaspendientesalatangente.Portanto,lavelocidad instantnea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto P. La velocidad instantnea puede ser positiva (punto P), negativa (punto R) o nula (punto Q) segn se trace la pendiente correspondienteIV.MOVIMIENTO RECTILNEO 5.RAPIDEZ MEDIA.Larapidezmediasedefinecomoladistanciatotaldela trayectoriarecorridaporunapartculaST,divididaentreel tiempo transcurrido At, es decir, ( )TrapSvt=AIV.MOVIMIENTO RECTILNEO 6.ACELERACIN MEDIA .SilavelocidaddelapartculaalpasarporPesvycuandopasa por P es v durante un intervalo de tiempo t, entonces: Laaceleracinmediase define como ''medv v vat t tA = =A IV.MOVIMIENTO RECTILNEO 6.ACELERACIN INSTANTANEA .Laaceleracininstantneaseobtienellevandoallmitela aceleracin mediacuando At tiende a cero es decir 022lim( )( )tv dvat dtd dx dxadt dt dtA A= =A= =Ejemplo 01 La posicin de una partcula que se mueve en lnea rectaest definidaporlarelacinDetermine:(a)laposicin, velocidadyaceleracinent=0;(b)laposicin,velocidady aceleracin en t = 2 s; (c) la posicin, velocidad y aceleracin en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;2 36 x t t = Solucin La ecuaciones de movimiento son Las cantidades solicitadas son

3 26 t t x =23 12 t tdtdxv = =tdtx ddtdva 6 1222 = = = En t = 0,x = 0, v = 0,a = 12 m/s2 Ent = 2 s,x = 16 m, v = vmax = 12 m/s,a = 0 En t = 4 s,x = xmax = 32 m, v = 0,a = -12 m/s2 Ent = 6 s,x = 0, v = -36 m/s,a = 24 m/s2 V.DETERMINACIN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTCULA1.LA ACELERACIN COMO FUNCIN DEL TIEMPOa = f(t). Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir DETERMINACIN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTCULA2.LA ACELERACIN COMO FUNCIN DE LA POSICIN a = f(x). Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir V.DETERMINACIN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTCULA2.LA ACELERACIN COMO FUNCIN DE LA VELOCIDAD a = f(v). Se sabe que a = dv/dt o tambin a = vdv/ds, entonces podemos escribir V.DETERMINACIN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTCULA4.LA ACELERACIN ES CONSTANTEa = constante A este caso se le denomina movimiento rectilneo uniforme y las ecuaciones obtenidas son Ejemplo 01 Elautomostradoenlafigurasemueveenlnearectadetal manera que su velocidad para un perodo corto de tiempo es definida porpies/s, donde t es el tiempo el cual estensegundos.Determinesuposicinyaceleracin cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0 SolucinPOSICINParaelsistemade referenciaconsideradoysabiendo quelavelocidadesfuncindel tiempo v = f(t). La posicin es Cuando t = 3 s, resulta ACELERACIN.Sabiendoque v=f(t),laaceleracinse determina a partir de a = dv/dt Cuando t = 3 s Ejemplo 02 Unproyectilpequeoesdisparadoverticalmentehaciaabajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Siresistenciadelfluidoproduceunadesaceleracindel proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. DeterminelavelocidadvylaposicinScuatrosegundos despus de que se dispar el proyectil. Solucin Velocidad:Usandoelsistema dereferenciamostradoysabiendo quea=f(v)podemosutilizarla ecuacina=dv/dtparadeterminar lavelocidadcomofuncindel tiempo esto esPOSICIN: Sabiendo que v = f(t), laposicinsedeterminaa partir de la ecuacin v = dS/dtEjemplo 03 Una partcula metlica est sujeta a la influencia de un campo magntico talquesemueveverticalmentea travs de un fluido, desde la placa A hastalaplacaB,Silapartculase suelta desde el reposo en C cuando S=100mm,ylaaceleracinse mide comodonde S est enmetros.Determine;(a)la velocidaddelapartculacuando llegaaB(S=200mm)y(b)el tiemporequeridoparamoversede C a B Solucin Debidoaquea=f(S),puede obtenerselavelocidadcomo funcindelaposicinusandovdv = a dS. Consideramos adems quev = 0 cuandoS = 100 mm La velocidad cuando S = 0,2 m es Eltiempoquedemoraen viajarlapartculadeCaBse determina en la forma CuandoS=0,2meltiempo es Ejemplo 04Desdeunaventanasituadaa20m sobreelsueloselanzaunabola verticalmentehaciaarribaconuna velocidadde10m/s.Sabiendoquela bolatodoeltiemposeencuentra sometidaauncampogravitacional queleproporcionaunaaceleracing =9,81m/s2haciaabajo.Determine: (a)lavelocidadylaalturaenfuncin deltiempo,(b)elinstanteenquela bolachocaconelpisoylavelocidad correspondiente ( )( ) t v t v dt dvadtdvt t vv81 . 9 81 . 9s m 81 . 90020 = = = =} }( ) t t v |.|

\| =2sm81 . 9sm10()( ) ( )0210 2010 9.8110 9.81 10 9.81yttydyv tdtdy t dt y t y t t= = = = } }( )22sm905 . 4sm10 m 20 t t t y|.|

\||.|

\|+ =SolucinSolucin ( ) 0sm81 . 9sm102= |.|

\| = t t vs 019 . 1 = t Remplazando el valor del tiempo obtenido se tiene.( )( ) ( )2222s 019 . 1sm905 . 4 s 019 . 1sm10 m 20sm905 . 4sm10 m 20|.|

\||.|

\|+ =|.|

\||.|

\|+ =yt t t ym 1 . 25 = yCuando la bola alcanza su altura mxima su velocidad es cero, entonces se tiene Solucin Cuando la bola choca contra el suelo y = 0 Entoces tenemos. ( ) 0sm905 . 4sm10 m 2022= |.|

\||.|

\|+ = t t t y( )s 28 . 3s meaningles s 243 . 1= =tt( )( ) ( ) s 28 . 3sm81 . 9sm10 s 28 . 3sm81 . 9sm1022|.|

\| =|.|

\| =vt t vsm2 . 22 = vVI.MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS: Movimiento relativo Sea A y B dos partculas que se mueven en lnea recta como se ve en la figura. Sus posiciones respecto a O sern xA y xB. La posicin relativa de B con respecto a A ser. La velocidad relativa d A con respecto a B ser. La aceleracin relativa se expresa en la forma BA B Ax x x = A B A Bx x x + =BA B Av v v = A B A Bv v v + =BA B Aa a a = A B A Ba a a + =Ejemplo 05 Desdeunaalturade12m,enel interiordeunhuecodeunascensor, se lanza una bola verticalmente hacia arribaconunavelocidadde18m/s. Enesemismoinstanteunascensor deplataformaabiertaesta5mde alturaascendiendoaunavelocidad constantede2m/s.Determine:(a) cuandoydondechocanlabolacon elascensor,(b)Lavelocidaddela bolarelativaalascensorenel momento del choque SOLUCION: Remplazando la posicin, velocidad inicial yelvalordelaaceleracindelabolaen las ecuaciones generales se tiene.222210 020sm905 . 4sm18 m 12sm81 . 9sm18t t at t v y yt at v vBB|.|

\||.|

\|+ = + + =|.|

\| = + = La posicin y la velocidad del ascensorser.t t v y yvE EE|.|

\|+ = + ==sm2 m 5sm20 Escribiendolaecuacinparalasposiciones relativasdelabolaconrespectalelevadory asumiendoquecuandochocanlaposicin relativa es nula, se tiene.( ) ( ) 0 2 5 905 . 4 18 122= + + = t t t yE B0.39s3.65stt= = Remplazandoeltiempoparaelimpactoenlaecuacindela posicindelelevadoryenlavelocidadrelativadelabolacon respecto al ascensor se tiene ( ) 65 . 3 2 5+ =Ey m 3 . 12 =Ey( )( ) 65 . 3 81 . 9 162 81 . 9 18 = = t vE Bsm81 . 19 =E BvVI.MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS: Movimiento dependiente Laposicindeunapartculapuededependerde la posicin de otra u otras partculas. EnlafiguralaposicindeBdependedela posicin de A. DebidoaquelalongituddelcableACDEFGque une ambos bloques es constante se tiene 2 tan2 02 0A BA BA Bx x cons tev va a+ =+ =+ =Debidoaqueslounadelascoordenadas deposicinxAoxBpuedeelegirse arbitrariamente el sistema posee un grado de libertad VI.MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS: Movimiento dependiente Aqu la posicin de una partcula depende de dos posiciones ms. EnlafiguralaposicindeBdependedela posicin de A y de C Debidoaquelalongituddelcablequeunealosbloques es constante se tiene Comosoloesposibleelegirdosdelas coordenadas,decimosqueelsistemaposee DOS grados de libertad 2 2A B Cx x x ctte + + =0 2 2 or 0 2 20 2 2 or 0 2 2= + + = + += + + = + +C B AC B AC B AC B Aa a adtdvdtdvdtdvv v vdtdxdtdxdtdxEjemplo 06 ElcollarAyelbloqueBestn enlazados como se muestra en la figura mediante una cuerda que pasa a travs de dos poleas C, D y E. Las poleas C y EsonfijasmientrasquelapoleaDse muevehaciaabajoconunavelocidad constantede3pul/s.Sabiendoqueel collariniciasumovimientodesdeel reposocuandot=0yalcanzala velocidad de 12 pulg/s cuando pasa por L,Determinelavariacindealtura,la velocidad y la aceleracin del bloque B cuando el collar pasa por L Solucin Seanalizaenprimerlugarel movimiento de A. El collar A tiene un MRUV, entonces sedeterminalaaceleracinyel tiempo ( ) ( ) | |( )220202sin.9 in. 8 2sin.122= =|.|

\| + =A AA A A A Aa ax x a v v( )s 333 . 1sin.9sin.1220= =+ =t tt a v vA A ASolucin Como la polea tiene un MRU se calcula el cambio de posicin en el tiempo t.( )( ) ( ) in. 4 s 333 . 1sin.300=|.|

\|= + =D DD D Dx xt v x x El movimiento del bloque B depende del movimientodecollarylapolea.El cambio de posicin de B ser ( ) ( ) ( )( ) | | ( ) | | ( ) | |( ) ( ) ( ) | | 0 in. 4 2 in. 80 22 200 0 00 0 0= + += + + + + = + +B BB B D D A AB D A B D Ax xx x x x x xx x x x x x( ) in. 160 = B Bx xSolucin Derivandolarelacinentrelasposiciones seobtienelasecuacionesparalavelocidad y la aceleracin 2 constant2 0in. in.12 2 3 0s s18 lg/A D BA D BBBx x xv v vvv pu s+ + =+ + =| | | |+ + = ||\ . \ .= in.18sBv = |22 0in.9 0sA D BBa a aa+ + =| |+ = |\ .22in.9s9 lg/BBaa pu s= = |Ejemplo 07 LacajaCestsiendo levantadamoviendoel rodilloAhaciaabajocon unavelocidadconstante de vA =4m/s a lo largo de lagua.Determinela velocidadyla aceleracin de la caja en elinstanteenques=1 m.Cuandoelrodillo estenBlacajase apoya sobre el piso. Solucin Larelacindeposicionessedeterminateniendoencuenta quelalongituddelcablequeunealbloqueyelrodillono varia. Cuando s = 1 m, la posicin de la caja C ser Se determina ahora la posicin xA, cuando s = 1 m 2 24 8C Ax x m + + =4 4 1 3C Cx m s m m x m = = =2 23 4 8 3A Am x m x m + + = =Solucin Lavelocidadsedeterminaderivandolarelacinentrelas posiciones con respecto al tiempo

La aceleracin ser ( )1/ 222 2116 (2 ) 023 (4 / )16 16 32, 4 /C AA AAC AACdx dxx xdt dtx m msv vxv ms+ + == = + += |2 2 22 2 2 2 32 2 23216 16 16 [16 ]4 3(0) 3 (4 )16 9 16 9[16 9]2, 048 /C A A A A A AC AA A A ACCdv x v xa xv da vdt dtx x x xaa ms (( (( = = = + (( + + + + (= + (+ ++( = |Ejemplo 08 Elsistemarepresentadoparte delreposoycadacomponente semueveaaceleracin constante.Silaaceleracin relativa del bloque C respecto al collar B es 60 mm/s2 hacia arriba ylaaceleracinrelativadel bloqueDrespectoalbloqueA es 110 mm/s2 hacia abajo. Halle: (a)laaceleracindelbloqueC alcabode3s,(b)elcambiode posicin del bloque D al cabo de 5 s Ejemplo 09 UnhombreenAest sosteniendounacajaS comosemuestraenla figura, caminando hacia laderechaconuna velocidadconstantede 0,5m/s.Determinela velocidadyla aceleracincuando llegaalpuntoE.La cuerdaesde30mde longitudypasaporuna pequea polea D. Resolucin grfica de problemas en el movimiento rectilneo Lavelocidadylaaceleracinenelmovimientorectilneoestndadas por las ecuaciones, La primera ecuacin expresa que la velocidad instantnea es igual a la pendiente de la curva en dicho instante. Lasegundaecuacinexpresaquelaaceleracinesigualala pendiente de la curva v-t en dicho instante //v dx dta dv dt== VII.Resolucin grfica de problemas en el movimiento rectilneo Integrando la ecuacin de la velocidad tenemos El rea bajo la grfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamiento neto durante este intervalo de tiempo Elreabajolagrficaa-tentret1 yt2esigualalcambionetode velocidades durante este intervalo de tiempo 2 21 12 1 2 1;t tt tA x x vdt A v v adt = = = =} }Otros mtodos grficos Elmomentodereasepuedeutilizarpara determinarlaposicindelapartculaen cualquier tiempo directamente de la curva v-t: ( )101 00 1 1area bajo la curvavvx x v tv t t t dv = = + }usando dv = a dt , ( )} + = 101 1 0 0 1vvdt a t t t v x x( ) = }101vvdt a t tMomento de primer orden de area bajolacurvaa-tconrepectoala lnea t = t1

( )( )1 0 0 1 1rea bajo la curva abscisa del centroide x x v t a - t t tt C= + + =Otros mtodos grficos Mtodoparadeterminarla aceleracindeunapartculadela curva v-x tan a BCdva vdxABa BC subnormalu=== =EJEMPLO 10 Unciclistasemueveenlnearectatalquesuposicines descritamediantelagrficamostrada.Construirlagrficav-t y a-t para el intervalo de tiempo 0 t 30 s EJEMPLO 11 Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo largo de una lnearectaacelerandoaraznconstantedurante10s. Posteriormentedesaceleraaunaraznconstantehasta detenerse. Trazar las grficas v-t y s-t y determinar el tiempo t que emplea en detenerse Solucin: Grafica v - t Lagrficavelocidad-tiempopuedeserdeterminadamediante integracindelossegmentosderectadelagrficaa-t.Usandola condicin inicial v = 0 cuando t = 0 Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condicin inicial para el siguiente tramo se tiene t v dt dv a s tt v10 , 10 ; 10 10 00 0= = = s s} }120 2 , 2 ; 2 ; 1010 100+ = = ='s s} }t v dt dv a t t st vCuandot=t,lavelocidad nuevamente es cero por tanto se tiene 0= -2t + 120 t = 60 s Solucin: Grafica s - t La grfica posicin-tiempo puede ser determinada mediante integracin delossegmentosderectadelagrficav-t.Usandolacondicininicials = 0 cuando t = 0 Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condicin inicial para el siguiente tramo se tiene Cuando t = t, la posicin S = 3000 m 20 05 , 10 ; 10 ; 10 0 t s dt t ds t v s tt s= = = s s} }( )600 120120 2 ; 120 2 ; 60 10210 500 + =+ = + = s s} }t t sdt t ds t v s t st sEjemplo 12 Lagrficav-t,quedescribeelmovimientodeunmotociclista quesemueveenlnearectaeselmostradoenlafigura. Construirelgrficoa-sdelmovimientoydeterminareltiempo querequiereelmotociclistaparaalcanzarlaposicinS=120 m Solucin Grafico a-s. Debidoaquelasecuacionesdelossegmentosdelagrfica estn dadas, la grfica a-t puede ser determinada usandola ecuacindv = a ds 0; 15 ; 120 606 . 0 04 . 03 2 . 0 ; 60 0= == s a = at = v La componente tangencial representa la razn de cambio de la magnitud de la velocidad 2.Lapartculasemueveenlacurvaavelocidad constante at = v = 0 => a = an = v2/La componente normal representa la razn de cambiode la direccin de la velocidad 3) La componente tangencial de la aceleracn es constante, at = (at)c. So and voson la posicin y la velocidad de la partcula en t = 0 4. La partcula se mueve a lo largo de la rayectoria dada por y = f(x). Entonces el radio de curvatura es 20 002 20 01( )2( )2( ) ( )c cc cc cs s v t a tv v a tv v a s s= + += += + 2 3/ 22 2[1 ( / ) ]/dy dxdy dx+=CASOS ESPECIALES Ejemplo 01 Unesquiadorviajaconunarapidezde6m/slaseest incrementandoaraznde2m/s2,alolargodelatrayectoria parablicaindicadaenlafigura.Determinesuvelocidady aceleracin en el instante que llega a A. Desprecie en los clculos el tamao del esquiador. Solucin Estableciendolosejesny t mostrados se tiene. Lavelocidadde6m/ses tangentealatrayectoriay su direccin ser PorlotantoenAla velocidad forma 45 con el eje x 1 ,201102= == xdxdyx ySolucin Laaceleracinsedetermina aplicando la ecuacin Para ello se determina el radio de curvatura2 t ndv va e edt = +2 3/ 22 22 3/ 2[1 ( / ) ]/[1 ( /10) ]1/1028.28dy dxd y dxxm+=+==22 6 228, 3 2 1, 27A t nA t nA t ndv va e edta e ea e e= += += +Solucin Lamagnitudyladireccindela aceleracin sern ( ) ( )2 2212 1.237 2.37 /2tan 57.51.327a ms|= + == =Ejemplo 02 Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radiode 90m. Si el carro incrementa su rapidezaraznconstantede2,1m/s2partiendodesdeel reposo,determineeltiemponecesarioparaalcanzaruna aceleracinde2,4m/s2.Culessuvelocidadenese instante. Solucin Sesabequelaaceleracin tangencialesconstantee igual a La aceleracin normal ser La aceleracin total ser Lavelocidadeneste instante ser 202,1 /0 2,1tta msEntoncesv v a tv t== += +2 22 2(2,1 )0.049 /90nv ta t ms= = =222 2 2 22 2 2 2 2,1 0.0492,1 [0.049 ]2, 4 2,1 [0.049 ]4, 87t t nt nva a e ea e tea ttt= += += += +=2.1 10.2 / v t ms = =Ejemplo 03 UnacajapartedelreposoenA eincrementasurapideza razndeat=(0.2t)m/s2y viajaalolargodelapista horizontalmostrada.Determine lamagnitudydireccindela aceleracin cuando pasa por B Ejemplo 03 Laposicindelacajaen cualquierinstanteesSmedida a partir del punto fijo en A. Lavelocidadencualquier instante se determina a partir de laaceleracintangencial,esto es 0 020.2 (1)0.20.1(2)tv ta v tdv tdtv t= ===} }Ejemplo 03 Para determinar la velocidad en B,primeroesnecesario determinarS=f(t),despus obtenereltiemponecesario paraquelacajallegueaB.es decir DelageometrasetienesB = 3 + 2(2)/4 = 6.142 m.Entonces tenemos 220 030.10.10, 0333 (3)S tdsv tdtds t dtS t= ===} }36,142 0, 03335, 69tt s==Ejemplo 03 Remplazandoeltiempoenlas ecuaciones (1) y (2) resulta En el punto B el radio de curvatura es=2m,entoncesla aceleracin ser La aceleracin total ser Su modulo y direccin sern 22( ) 0.2(5.69) 1.138 /0.1(5.69) 3.238 /B t BBa v msv ms= = == =22( ) 5.242 /BB nBva ms= =2, 1,138 5, 242BB t B t nB t nva a e ea e e= += +2 2 221,138 [5, 242]5, 36 /aa ms= +=15.242[ ] 77, 751,138tg u= = Ejemplo 04 Unapartculasemueveenunatrayectoriacurvadetal maneraqueenciertoinstantetieneunavelocidadvyuna aceracina.Demuestrequeelradiodecurvaturapuede obtenerse a partir de la ecuacin31vxav =Ejemplo 04 Sabemosquelaaceleracinen cualquier instante es Multiplicandoambosmiembros por la velocidad v tenemos Debidoaquelaaceleracin tangencialsoncolinealessu productovectorialesnulo. Entonces tenemos Remplazadolaaceleracin normal tenemost na a a = +( )t nt nt na a avxa vx a avxa vxa vxa= += += +090nn nnnvxa vxavxa vxavxa vxa va sen va= +== = =23( )1vvxa vvxav==Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja alrededor de una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleracin del bote en t = 3 s. Ejemplo Unavinviajaalolargo deunatrayectoria parablicavertical. EnelpuntoAelavin tieneunavelocidadde 200m/slacualse incrementaaraznde 0,8m/s2.Determinela magnituddela aceleracindelavincuando pase por A. 20, 4 y x =Ejemplo Eljugadordebisbollanzaunapelotaconunavelocidadinicial de v0 = 30 m/s a un ngulo = 30 como se muestra en lafigura.Hallarelradiodecurvaturadelatrayectoria:(a) inmediatamentedespusdellanzamientoy(b)enelvrtice. Calcular en cada caso, la variacin de celeridad por unidad de tiempo. ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIN Hastaahorasehaestudiadoelmovimientoabsolutodeuna partcula usando un marco de referencia fijo. Sinembargo,existenejemplosenelquelatrayectoriadel movimiento de una partcula es complicada, de modo que es ms factible analizar el movimiento en partes usando dos o ms marcos de referencia. Por ejemplo, el movimiento de una partcula localizada en la hlice de un avin , mientras ste est en vuelo , es ms fcil describirlo siobservamosprimeroelmovimientodelavinapartirdeun sistemadereferenciafijoydespussesuperponevectorialmente el movimiento circular de la partcula medida a partir de un marco de referencia mvil unido al aeroplano. ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIN En esta seccin nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcosdereferenciaentraslacin.Elanlisisdelmovimiento relativodepartculasusandomarcosdereferenciaenrotacinse tratar en el curso de Dinmica. MOVIMIENTO RELATICO:POSICIN Consideremos dos partculas A y B movindose en las trayectorias mostradas Las posiciones absolutasde A y B con respecto al observador fijo en el marco de referencia OXYZ sern ElobservadorBslo experimentatraslacinyse encuentraunidosalsistemade referencia mvil Oxyz La posicin relativa de A con respecto al observadorB , es Ar OA =Br OB =/ A B ABr r r = +Movimiento relativo: Velocidad Derivando la ecuacin de la posicin relativa se tiene / A B ABv v v = +Movimiento relativo: Aceleracin Derivando la ecuacin de la velocidad relativa se tiene / A B ABa a a = +Ejemplo 01 Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza una carretera, como se muestra en la figura. Si el automvil A est viajandoporlacarreteraconunavelocidadde67,5km/h. Determine la magnitud y direccin de la velocidad relativa del tren con respecto al auto. SOLUCIN Lavelocidadrelativaesmedida desdeelobservadorubicadoenel auto al cual se le asocial el sistema de referencia OXY, Como las velocidades de T y A son conocidas,entonceslavelocidad relativa se obtiene de ///90 (67.5cos 45 67.5sin 45 ){42.3 47.7 ) /T A T AT AT Av v vi i j vv i j kmh= += + += solucin La magnitud de la velocidad relativa ser La direccin de la velocidad relativa es 2 2 2/(42.3 47.7 ) 63.8 /T Av kmh = + =( )( )//47.7tan42.348.40T AyT Axvvuu= ==solucin Dos aviones estn volando horizontalmente a la misma elevacin, como se indica en la figura. El avin A est volando en una trayectoria recta, y enelinstantemostradodesarrollaunavelocidadde700km/hyuna aceleracinde50km/h2.ElavinBestvolandoenunatrayectoria curvacircularde400kmderadioconunarapidezde600km/hyest decreciendo su rapidez a razn de 100 km/h2. Determine la velocidad y la aceleracin relativa de B medida por el piloto A Solucin AlavinAestamovindose rectilneamenteyseasociaun marco de referencia mvil Oxy. LavelocidadrelativadeBrespecto de A es ElavinBtieneaceleracin normalytangencialpuesse mueve en una curva. La aceleracin normal ser Aplicandolaecuacinpara determinarlaaceleracin relativa se tiene ///600 700100 / 100 /B A B AB AB Av v vvv kmh kmh= += += = +( )22900 /BBnva kmh= ={ }//2/900 100 50900 150 /B A BABABAa a ai j j aa i j kmh= + = += Solucin Enundeterminadoinstantelos carrosAyBestnviajandocon velocidadesde18m/sy12m/s, respectivamente.Ademsen dichoinstantelavelocidaddeA estdisminuyendoaraznde 2m/s2yBexperimentaun incrementodesuvelocidada raznde3m/s2.Determinela velocidadylaaceleracindeB con respecto de A Solucin Elsistemadereferenciafijoest entierrayelmarcomvilenel auto A. Por tanto se tiene Ladireccindelavelocidad relativa ser La aceleracin normal ser La aceleracin relativa ser Su direccin ser ( ){ }///2 2/12 18cos 60 18sin 609 3.588 /9 3.588 9.69 /B A B AB AB AB Av v vj i j vv i j msv ms= + = += += + =( )( )//3.588tan921.7B AyB Axvvuu= ==( )221.440 /BBnva ms= =( ) ( ){ }//2/1.440 3 2cos 60 2sin602.440 4.732 /B A B AB AB Aa a ai j i j aa i j ms= + = + += =2/5.32 /62.7B Aa ms|==Ejemplo Lospasajerosqueviajanenel avinAquevuelahorizontalmente avelocidadconstantede800km/h observanunsegundoavinBque pasapordebajodelprimero volando horizontalmente. Aunque el morrodeBestsealandoenla direccinenladireccin 45noreste,elavinBsepresenta alospasajerosdeAcomo separndose de ste bajo el ngulo de60representado.Hallela velocidad verdadera de B Solucin Elmarcomvilestasociadoal avinAdondeseefectanlas observaciones relativas La velocidad de A es conocida en mduloydireccin,elngulode 60delavelocidadrelativadeB respectodeAesconocidoyla velocidadverdaderadeBtiene unadireccinde45.Entonces tenemos. Aplicando estas ecuaciones en la velocidad relativa se tiene Resolviendo estas ecuaciones se obtiene / B A B Av v v = +/ / /(800 ) / [ cos 45 45 ] [ cos 60 60 ]AB B BB A B A B Av i kmhv v i vsen jv v i v sen j== + = + //:cos 45 800 cos 60:45 60B B AB B Acomponente iv vcomponente jvsen v sen = = /586 / ; 717 /B A Bv kmh v kmh = =