2

h

ho

f)f(f

Σ

CHI KUADRAT ( χ2 )

A. DEFINISI CHI KUADRAT

Uji Chi Kuadrat merupakan pengujian hipotesis tentang

perbandingan antara frekuensi sampel yang benar-benar terjadi

(selanjutnya disebut frekuensi observasi, yang dilambangkan dengan fo )

dengan frekuensi harapan yang didasarkan atas hipotesis tertentu pada

setiap kasus atau data (selanjutnya disebut dengan frekuensi harapan,

dilambangkan dengan fh kemudian dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan :

fo = frekuensi observasi atau pengamatan

fh = frekuensi harapan

χ2 = Chi Kuadrat

Dengan ketentuan fo adalah harga yang diamati, dan fh adalah harga

harapan, semakin besar sampel size maka semakin besar pula harga χ2

sehingga χ2

mempunyai tendensi meningkat dengan meningkatnya

sampel size. Jumlah kategori mempengaruhi besar DF (degrees of

freedom) yang juga akan mempengaruhi bentuk distribusi teoritis chi

kuadrat. Makin besar DF makin besar pula titik kritisnya pada tingkat

kepercayaan tertentu.

B. PRINSIP-PRINSIP CHI KUADRAT

1) Hanya dapat dipergunakan pada data kualitatif

2) Dapat dipergunakan pada sampel dari berbagai macam ukuran (sampel

size) selama tidak menyimpang dari ketentuan butir 9 dan 10. Juga dapat

dipergunakan pada berbagai macam katagori

3) Hitungan akhir selalu melibatkan angka sebenarnya (frekuensi) bukan

prosen atau proporsi

4) Bila ingin membandingkan dua atau lebih distribusi sampel maka uji yang

sesuai adalah r x c contingency chi square. Data disusun menurut r – baris

(r = 2,3,…x) dan menurut c-kolom (c = 2,3,…x) mempunyai db = (r-1)(c-

1). Nilai harapan diperoleh dari perkalian jumlah data pada kolom dengan

χ2=

jumlah data pada baris kemudian dibagi dengan jumlah total data. Rumus

untuk menghitung fh adalah sebagai berikut:

f h=nc x nr

nt

Dimana:

fh = frekuensi harapan

nc = jumlah kolom

nb = jumlah baris

nt = jumlah total data

5) Bila distribusi sampel berasal dari satu populasi maka uji yang sesuai

adalah chi kuadrat. Dalam hal ini nilai harapan diperoleh dari proporsi

distribusi populasi dan mempunyai db= r-1 atau c-1

6) Bila ingin mengetahui asosiasi atau korelasi diantara dua variabel dari data

kualitatif, maka lakukan uji chi kuadrat dulu. Jika dalam pengujian, ho

ditolak maka dapat dilanjutkan dengan menghitung koefisien kontingensi

dengan rumus:

Rumus 2:

C = √ χ 2

χ 2+N

Dimana: N = jumlah sampel (sampel size)

C = koefisien kontingensi dengan C selalu lebih dari nol.

7) Distribusi sampling chi kuadrat akan sesuai dengan distribusi teoritis chi

kuadrat bila: frekuensi harapan setiap sel tidak boleh kurang dari satu, dan

banyaknya sel yang mempunyai frekuensi harapan kurang dari 5 (fh < 5)

tidak boleh lebih dari atau sama dengan 20% dari jumlah sel seluruhnya.

8) Jika tidak sesuai dengan ketentuan diatas, kategori-kategori tertentu yang

sesuai digabung. Sehingga jumlah sel lebih sedikit dan frekuensi harapan

baru memenuhi syarat. Penggabungan ini menyebabkan sel dalam tabel

menjadi 2x2 dan bila masih tidak memenuhi syarat maka uji statistik yang

digunakan adalah fisher’s exact test.

9) Untuk db =1 diperlukan koreksi yang disebut koreksi yates. Besarnya

koreksi itu ialah 0,5 hingga rumus itu menjadi :

a. Rumus 3:

b.χ

c2=Σ

(|f o−f h|−0,5)2

f h

atau χ2=N (|ad-bc|− N

2)2

m1 .m2.n1 .n2

10) Pada umumnya chi kuadrat hanya dapat digunakan untuk uji independensi

antar faktor pada satu sampel dengan faktor yang bersifat bebas

(independent). Chi kuadrat tidak dapat dipergunakan pada sampel korelasi

atau correlated sample (misal rancangan penelitian sebelum-sesudah pada

data kualitatif) dan dalam hal ini harus menggunakan McNemar symetri

chi square test.

C. DERAJAD KEBEBASAN UNTUK CHI-KWADRAD

Derajat kebebasan atau d.b. untuk nilai-nilai x2 tidak tergantung kepada

jumlah individu dalam sampel. Derajad kebebasan itu diperoleh dari kenyataan

berapa banyaknya kebebasan yang kita miliki dalam menetapkan isi petak-petak

yang diharapkan dalam tabel kita. Untuk mengerti ini kita periksa tabel berikut:

Kategori fo fh

I

II

A m

B n

Jumlah (a+b) (m+n)

Sudah dinyatakan bahwa dalam mengerjakan chi-kwadrad kita terikat oleh

suatu syarat, yaitu jumlah frekwensi yang diperoleh harus sama dengan jumlah

frekwensi yang diharapkan. Atau dalam skema di atas (a+b) harus sama dengan

(m+n). Oleh sebab itu kita tidak mempunyai kebebasan lagi untuk menetapkan

jumlah frekwensi yang diharapkan, yaitu (m+n). Jadi derajat kebebasan yang kita

miliki dalam mengisi petak-petak fh tinggal lagi satu, yaitu kebebasan dalam

menetapkan m, atau dalam menetapkan n.

Dengan d.b =1 kita periksa table. Bilamana kita sudah menetapkan salah satu

taraf signifikasi, katakana 5%, maka ketentuannya yaitu jika x02 ≥ xh

2 5%, nilai

chi-kuadrat yang kita peroleh, atau x2 itu kita katakana signifikan, dan sebagai

konsekwensinya hipotesa (nihil) akan kita tolak. Sebaliknya jika x02 ¿ xh

2 5% nilai

x02 itu akan kita katakan nonsignifikan, dan sebagai konsekwensinya hipotesa

(nihil) akan kita terima (ketentuan semacam itu berlaku untuk semua pengetesan

hipotesa nihil; perhatikan betul-betul bahwa ketentuan itu berlaku juga untuk

pengetesan nilai-t dan nilai-r).

Nilai x02 = 4,50, sedang dengan taraf signifikansi 5% dengan d.b. = 1 nilai xh

2 =

3,841. Dengan demikian x02 itu signifikan, karena ia sudah melebihi xh

2 yang kita

pandang sebagai bilangan x2 maksimal sebagai akibat dari kesalahan sampling

atas dasar taraf signifikasi 5%. Konsekwensinya, jika kita yakin bahwa sarat

sampel random telah kita penuhi, maka kita tolak hipotesa nihil yang mengatakan

bahwa setengah dari populasi setuju koedukasi dan setengahnya lagi tidak setuju

adalah kurang mungkin jika kita memperoleh nilai x2 sebesar 4,50 dari

perbandingan pro dan kontra koedukasi sebesar 115:85 dari sampel yang kita

ambil secara random bila mana 50:50 dari populasi pro dan kontra. Dengan kata

lain, harapan bahwa setengah-setengah dari jumlah populasi akan pro dan kontra

koedukasi tidak dapat kita terima atas dasar bahan-bahan yang kita kumpulkan

dari random sampel.

Akan tetapi jika kita periksa kembali tabel diatas, ternyata bilamana kita

menggunakan taraf signifikansi 12

%, hipotesa nihil akan kita terima. Nilai x2 =

4,50 sedangkan nilai x021% = 6,635. Ini berarti bahwa nilai x2 sebesar atau lebih

besar dari 6,635 yang terjadi hanya 1% dari seluruh kejadianlah yang kita pandang

sebagai batas penerima nilai x2 yang kita peroleh karena kesalahan sampling. Oleh

karena itu hipotesa nihil yang ditetapkan semula, kita terima atas dasar taraf

signifikasi 1%. Dengan kata lain, kita mengharapkan bahwa jika dilakukan

pemungutan suara secara meluas, hasilnya akan 50% pro dan 50% kontra

koedukasi.

Contoh:

Suatu perusahaan penggorengan kopi ingin menetapkan apakah masyarakat

lebih senang kopi cap “anjing” (yang digoreng dengan suatu cara) atau cap

“kucing” (yang digoreng dengan cara lain) yang diproduksi oleh perusahaannya.

Perusahaan itu kemudian “menyewa” seorang penyelidik untuk member

laporannya tentang kesenangan masyarakat itu untuk menetapkan kopi cap apa

yang harus diproduksi secara besar-besaran tahun depan. Hasil penyelidikan

terhadap suatu sampel random yang terdiri dari 400 orang konsumen kopi

perusahaan itu terlihat dalam tabel sebagai berikut:

TABEL 2

FREKWENSI YANG DIPEROLEH DAN YANG DIHARAPKANDARI 400

ORANG PEMINUM KOPI PERUSAHAAN ALPHA

Pilihan fo fh

Cap anjing

Cap kucing

240

160

200

200

Total 400 400

Untuk mengadakan estimasi tentang keadaan populasi dipakai hipotesa bahwa

setengah dari konsumen minum kopi cap anjing, dan setengah dari konsumen

meminum kopi cap kucing. Bilamana bahan-bahan itu kita masukkan dalam tabel

kerja, maka hasilnya akan sebagai berikut:

Pilihan fo fh fo - fh (fo - fh)2( f o−f h)2

f h

Cap anjing

Cap kucing

240

160

200

200

+40

-40

1.600

1.600

8,00

8,00

Total 400 400 0 - 16,00

Jadi x2=∑ ( fo−f h ) 2f h t

= 16,00

Derajat kebebasan untuk ini adalah satu (diperoleh dengan cara seperti

tersebut dalam contoh pertama). Nilai x2 yang diharapkan sebagai batas kesalahan

sampling dengan taraf signifikasi 5% adalah 3, 841, dengan taraf signifikasi 1%

adalah 6,635. Ternyata bahwa nilai x2 yang kita peroleh dari random sampel itu

jauh di atas batas signifikansi 5% maupun 1%. Dengan demikian hipotesa nihil

ditolak: dapat diharapkan ada perbedaan yang signifikan dalam populasi antara

frekwensi peminum kopi cap anjing dengan frekwensi peminum kopi cap kucing.

Apa saran penyelidik itu kepada perusahaan kiranya sudah jelas : produksi lebih

banyak kopi cap anjing dari pada kopi cap kucing.

D. BENTUK DISTRIBUSI CHI KUADRAT (Χ²)

Nilai χ² adalah nilai kuadrat, karena itu nilai χ² selalu positif. Bentuk

distribusi χ² tergantung dari derajat bebas(db) atau degree of freedom.

Contoh :

1. Berapa nilai χ² untuk db = 5 dengan α = 0.010? (15.0863)

2. Berapa nilai χ² untuk db = 17 dengan α = 0.005? (35.7185)

Pengertian α pada Uji χ² sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu

luas daerah penolakan H0 atau taraf nyata pengujian

Perhatikan gambar berikut :

Pengunaan Uji χ²

Uji χ² dapat digunakan untuk :

a. Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit test

b. Uji Kebebasan

c. Uji beberapa proporsi

Dalam beberapa uji χ² diatas, prinsip pengerjaan uji kebebasan dan uji

beberapa proporsi bias dikatakan sama.

1. Uji Kecocokan (Goodness of fit test)

1.1. Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

Dalam uji kecocokan kita mengenal istilah H0 dan H1. H0

merupakan frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai atau

perbandingan, sedangkan H1 merupakan frekuensi dimana ada kategori

yang tidak memenuhi nilai/perbandingan tersebut.

Contoh 1 :

Pelemparan dadu 120 kali, kita akan menguji kesetimbangan dadu .

Dadu setimbang jika setiap sisi dadu akan muncul 20 kali.

H0 : setiap sisi akan muncul = 20 kali.

H1 : ada sisi yang muncul ≠20 kali.

Contoh 2 :

Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan

perbandingan antara Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1

H0 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1

H1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1

1.2. Rumus χ²

Keterangan:

k : banyaknya kategori/sel, 1,2 ... k

o : frekuensi observasi untuk kategori ke-i i

e : frekuensi ekspektasi untuk kategori ke-i i

kaitkan dengan frekuensi ekspektasi dengan

nilai/perbandingan dalam H0

Derajat Bebas (db) = k – 1

1.3 Perhitungan χ²

Contoh 3 :

Pelemparan dadu sebanyak 120 kali menghasilkan data sebagai berikut :

Kategori Sisi-1 Sisi-2 Sisi-3 Sisi-4 Sisi-5 Sisi-6

Frekuensi

ekspetasi (e)

20

20

20

22

20

17

20

18

20

19

20

20

22

*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi

Apakah dadu itu dapat dikatakan setimbang?

Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 5 %

Solusi :

1. H0 : Dadu setimbang → semua sisi akan muncul = 20 kali.

H1 : Dadu tidak setimbang → ada sisi yang muncul ≠20 kali.

2. Statistik Uji χ²

3. Nilai α = 5 % = 0.05

k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5

4. Nilai Tabel χ²

k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5

db = 5;α = 0.05 → χ² tabel = 11.0705

5. Wilayah Kritis = Penolakan H0 jika χ² hitung > χ² tabel (db; α)

χ² hitung > 11.0705

6. Perhitungan χ²

(catatan : Gunakan tabel seperti ini agar pengerjaan lebih

sistematik)

χ² hitung = 1.70

7. Kesimpulan :

χ² hitung = 1.70 < χ² tabel

Nilai χ² hitung ada di daerah penerimaan H0

H0 diterima; pernyataan dadu setimbang dapat diterima.

Contoh 4 :

Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan

perbandingan antara Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1. Jika 500

kg adonan yang dihasilkan, diketahui mengandung 275 kg Coklat, 95 kg

Gula, 70 kg Susu dan 60 kg Krim, apakah mesin itu bekerja sesuai

dengan perbandingan yang telah ditentukan? Lakukan pengujian dengan

taraf nyata = 1 %.

Solusi :

1. H0 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1

H1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1

2. Statistik Uji χ²

3. Nilai α = 1 % = 0.01

4. Nilai Tabel χ²

k = 4; db =k -1 = 4-1= 3

db = 3; α = 0.01 → χ² tabel = 11.3449

5. Wilayah Kritis = Penolakan H0 jika χ² hitung > χ² tabel (db; α)

χ² hitung > 11.3449

6. Perhitungan χ²

*) Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 :1

Dari 500 kg adonan → Nilai ekspektasi Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg

Nilai ekspektasi Gula = 2/10 x 500 = 100 kg

Nilai ekspektasi Susu = 2/10 x 500 = 100 kg

Nilai ekspektasi Krim = 1/10 x 500 = 50 kg

χ² hitung = 13.75

7. Kesimpulan :

χ² hitung > χ² tabel ( 13.75 > 11.3449)

H0 ditolak, H1 diterima.

Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 :1

2. Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi

Uji kebebasan antara 2 variabel memiliki prinsip pengerjaan yang sama

dengan pengujian beberapa proporsi.

(Berbeda hanya pada penetapan Hipotesis awal dan hipotesis alternatif)

2.1 Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

A. Uji Kebebasan :

H0 : variabel-variabel saling bebas

H1 : variabel-variabel tidak saling bebas

B Uji Beberapa Proporsi :

H0 : setiap proporsi bernilai sama

H1 : ada proporsi yang bernilai tidak sama

2.2 Rumus Uji χ2

Data dalam pengujian ketergantungan dan beberapa proporsi disajikan

dalam bentuk Tabel Kontingensi.

Bentuk umum Tabel Kontingensi → berukuran r baris x k kolom

Frekuensi harapan ¿( totalkolol )(total baris)

total observasi

Keterangan:

derajat bebas = (r-1)(k-1)

r : banyak baris

k : banyak kolom

o: frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j ij,

e : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j

Perhitungan χ²

Contoh 5 :

Kita akan menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan

jam kerja di suatu pabrik. Tabel kontingensi dapat dibuat sebagai

berikut :

Pria wanita Total baris

Kurang dari 25

Jam/minggu

2,33

2

2,67

3 5

25 sampai 50

Jam/minggu

6,07

7

6,93

6 13

Lebih dari 50

Jam/minggu

5.60

5

6.40

7 12

Total Kolom

14 16

Total

Observasi =

30

*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi

Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja?

Lakukan pengujian kebebasan variabel dengan taraf uji 5 %

Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 x 2 ( 3 baris dan 2 kolom)

db = (3-1)(2-1) = 2 x 1 = 2

Solusi :

1. H0 : Gender dan Jam kerja saling bebas

H1 : Gender dan Jam kerja tidak saling bebas

2. Statistik Uji = χ²

3. Nilai α = 5 % = 0.05

4. Nilai Tabel χ² d.b = 2; α = 0.05 → χ² tabel = 5.99147

5. Wilayah Kritis : Penolakan H0 → χ² hitung > χ² tabel

χ² hitung > 5.99147

6. Perhitungan χ²

Frekuensi harapan ¿( totalkolol )(total baris)

total observasi

frekuensi harapan untuk :

pria, < 25 jam = 14 ×5

30 = 2,33 pria, 25-50 jam = 14 ×13

30 =

6,07

pria, > 50 jam = 14 x12

30 = 5,60

wanita, < 25 jam = 16 x5

30 = 2,67 . wanita, 25-50 jam =

16 x1330

= 6.93

wanita, > 50 jam = 16 x12

30 = 6,40

Selesaikan Tabel perhitungan χ² di bawah ini.

7. Kesimpulan

χ² hitung < χ² tabel (0.4755 < 5.99147)

χ² hitung ada di daerah penerimaan H0

H0 diterima, gender dan jam kerja saling bebas

Catatan : Kesimpulan hanya menyangkut kebebasan antar variabel dan

bukan hubungan sebab-akibat (hubungan kausal)

Contoh 6 :

Berikut adalah data proporsi penyiaran film(satuan pengukuran dalam

persentase (%) jam siaran TV) di 3 stasiun TV. Apakah proporsi

pemutaran Film India, Kungfu dan Latin di ketiga stasiun Tv tersebut

sama? Lakukan Pengujian proporsi dengan Taraf Nyata = 2.5 %

ATV(%) BTV(%) CTV(%) Total Baris (%)

Kurang dari 25

Jam/minggu

4,17

4,5

2,92

3,5 2,0

10

25 sampai 50

Jam/minggu

3,33

2,5

2,33

1,0

2,33

4,5

8

Lebih dari 50

Jam/minggu

2,50

3,0

1,75

2,5

1,75

0,5

6

Total Kolom

10 7 7

Total Observasi(%)=

24

*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi

Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 x 3( 3 baris dan 3 kolom)

db = (3-1)(3-1) = 2 x 2 = 4

Solusi :

1. H0 : Proporsi pemutaran film India, Kungfu dan Latin di ketiga

stasiun

TV adalah sama.

H1 : Ada proporsi pemutaran film India, Kunfu dan Latin di ketiga

stasiun TV yang tidak sama.

2. Statistik Uji = χ²

3. Nilai α = 2.5 % = 0.025

4. Nilai Tabel χ² db = 4; α = 0.025 → χ² tabel = 11.1433

5. Wilayah Kritis : Penolakan H0 → χ² hitung > χ² tabel

χ² hitung > 11.1433

6. Perhitungan χ²

frekuensi harapan untuk

India, ATV = 10 x 10

24 = 4,17 Kungfu, ATV =

10 x 824

=

3,33

Latin, ATV = 10 x 6

24 = 2,50

India, BTV = 7 x10

24 = 2,92 Kungfu,BTV =

7 x824

= 2.33

Latin,BTV = 7 x624

= 1,75

India,CTV = 7 x10

24 = 2,92 Kungfu,CTV =

7 x824

= 2.33

Latin,CTV = 7 x624

= 1,75

Tabel perhitungan χ² berikut

7. Kesimpulan :

χ² hitung terletak di daerah penerimaan H0.

H0 diterima, proporsi pemutaran ketiga jenis film di ketiga s

stasiun TV adalah sama

CHI KWADRAD SEBAGAI ALAT UNTUK ESTIMASI

Dengan menggunakan chi kwadrat kita dapat menggunakan pernilaian

probabilitas perbedaan frekwensi dalam sampel dari frekwensi dalam populasi

sebagai akibat dari kesalahan sampling. Adapun frekwensi dalam populasi itu

dapat didasarkan atas informasi yang diperoleh dari suatu sumber, atau dpat juga

didasasrkan atas suatu hipotesa. Dalam contoh di atas, kalau tidak ada sumber-

sumber lain yang member ketentuan, kita mengjukan hipotesa bahwa dalam

populasi frekwensi dari mereka yang pro dan kontra koedukasi terbagi rata (50%

lawan 50%). Kita menanyakan, mengapa kita peroleh perbandingan 115 dengan

85 antara mereka yang pro dan yang kontra dari suatu sampel yang kita ambil

secara random? Apakah perbedaan itu hanya semata-mata disebabkan oleh

kesalahan sampling, ataukah memang dalam populasi terdapat perbedaan

semacam itu?

Kalau kita mengharapkan frekwensi dari mereka yang pro dan yang kontra

terbagi rata, maka frekwensi yang diharapkan adalah yang pro 100 orang dan

yang kontra 100 orang, dalam sampel yang jumlahnya 200 orang itu, frekwensi

yang diperoleh (disingkat fo) dan yang frekwensi yang diharapkan (disingkat fh)

dari mereka yang pro dan yang kontra dapat ditunjukkan dalam tabel sebagai

berikut.

Tabel 1

FREKWENSI YANG DIPEROLEH DAN YANG DIHARAPKAN DARI

SUATU SAMPEL YANG TERDIRI ATAS 200 ORANG PENDUDUK

Sikap terhadap ke-

edukasi

Frekwensi yang diperoleh (fo-

)

Frekwensi yang

diharapkan (fh)

Pro 115 100

Kontra 85 100

total 200 200

Dalam membuat tabel untuk mengerjakan chi-kwadrad kita terikat pada suatu

ketentuan yang harus kita perhatikan, yaitu bahwa jumlah fo harus sama dengan

jumlah fh. dalam tabel di atas ketentuan ini telah kita perhatikan yaitu masing-

masing fo=200 dan fh=200.

Untuk memeriksa tabel 1.1 kita dapat melihat bahwa ada perbedaan fo dengan

fh. makin besar perbedaan semacam itu makin kecil probabilitasnya

(kemungkinannya) bahwa perbedaan itu semata-mata disebabkan oleh kesalahan

sampling.

RUMUS BANGUN UNTUK CHI-KWADRAD

Rumus bangun yang umum untuk chi-kwadrad adalah sebagai berikut:

x2=∑ (fo−f h ) 2f h t

+ foft

χ2 = chi kwadrad

fo = frekwensi yang diperoleh dari (diobservasi dalam) sampel.

fh = frekwensi yang diharapkan dalam sampel sebagai pencerminan dari

frekwensi yang diharapkan dalam populasi.

Untuk member penjelassan tentang bagaimana menggunakan rumus itu,

marilah kita buat tabel persiapan perhitungan chi-kwadrad.

Sikap fo fh fo - fh (fo - fh)2( f o−f h)2

f h

Pro

Kontra

115

85

100

100

+15

-15

225

225

2,25

2,25

total 200 200 0 - 4,50

Dari perhitungan-perhitungan dalam tabel itu pada lajur yang terakhir kita

dapat dengan mudah mengisi rumusnya.

x2=∑ (fo−f h ) 2f h t

= 4,50

Jadi dengan hipotesa 50-50, yaitu 50% pro dan 50% kontra, kita memperoleh

nilai : x2 = 4,50

Apa artinya angka 4,50 ini?

Interpretasi tentang nilai x2 pada dasarnya tidak berbeda dengan interpretasi

tentang nilai-t. Disini kita ingin mengadakan estimasi tentang populasi dari

kenyataan yang kita peroleh dari sampel yang kita pilih secara random. Kita

mengajukan hipotesa bahwa populasi tidak berbeda dengan sampel dalam jumlah

frekwensi dalam dua kategori penyelidikan, yaitu kategori pro dan kontra

koedukasi atau dinyatakan dalam bentuk hipotesa nihil : “tidak ada perbedaab

frekwensi dari yang pro dan yang kontrakoedukasi antara sampel dan populasi.”

Kita menanyakan bagaimana probabiloitas x2 yang sebesar atau lebih besar dari

nilai yang kita peroleh itu disebabkan oleh kesalahan sampling kita? Bilamana

nilai x2 yang kita peroleh itu terjadinya hanya 5% atau 1% dari seluruh kejadian,

maka kita tolak hipotesa atas dasar taraf signifikasi 5% dan 1%.

Untuk menilai frekwensi yang diperoleh, kita memerlukan suatu tabel yang

memuat distribusi x2 yang diharapkan. Tabel semacam ini disediakan di bagian

belakang , yang disebut tabel chi-kwadrad. Tabel ini hanya memuat nilai-nilai chi-

kwadrad dengan derajad kebebasan dari 1 sampai dengan 30 dengan berbagai

taraf signifikan. Tidak seperti nilai r dan nilai t, nilai x2 selalu makin meningkat

bersamaan dengan meningkatnya derajad kebebasan.

TABEL DENGAN BANYAK SEL

Chi kuadrat tidak hanya terbatas untuk mengetes hipotesa perbedaan frekuensi

antaradua kelompok dengan dua kategori (tabel 2x2 atau tabel 4 petak), melainkan

juga dapat digunakan untuk mengetes hipotesa perbedaan frekuensi antara banyak

kelompok dengan beberapa kategori. Cara menghitungnya pada dasarnya sama.

Demikian juga dalam menetapkan derajat kebebasannya.

D.b. diperoleh dari rumus:

d.b. = (baris - 1) (kolom - 1)

Jadi, dengan tabel 3x2 (tiga baris dua kolom) d.b.nya ada (3-1) (2-1) = 2.

Demikian juga dalam tabel 2x3 . (dua baris tiga kolom) d.b. nya= 2. Dalam tabel

3x3 d.b. nya = (3-1) (3-1)= 4, dan dalam tabel 2x5 d.b.nya= 1x4= 4.

Berikut contoh-contoh penggunaan chi kuadrat pada pengetesan hipotesa terhadap

lebih dari dua sampel dan menyangkut lebih dari dua kategori. Suatu penyelidikan

tentang pendapat rakyat telah dilakukan dengan angket. Pertanyaannya adalah:

“Apakah pada waktu ini keluarga anda lebih makmur, sama saja, atau kurang

makmur dari pada dua tahun yang lalu?” Hasil penyelidikan tercantum dalam

tabel di halaman berikut. Yang diselidiki semuanya ada 5.000 keluarga dari

empat golongan kelas sosial ekonomi. Kelas A adalah kelas yang paling makmur,

sedang kelas D adalah kelas yang paling kurang makmur. Jawaban mereka

diklasifikasikan dalam empat golongan, yaitu”lebih”, “sama saja”, “kurang”, dan

“tidak dapat menentukan”.

Namun, dalam hal ini, rumus untuk menghitung χ2 dalam tabel 2x2 sperti

penjelasan di atas tidad dapat digunakan. Ada rumus lain yang lebih praktis

digunakan dalam kasus ini dan tidak menghabiskan banyak waktu. Namun, bila

tidak ada alat hitung yang cukup besar, rumus ini justru menjadi tidak praktis

sama sekali. Oleh karena itu, kita harus puas dengan menggunakan rumus aslinya,

yaitu:

χ2=Σ( f o−f h)

2

f h

Cara mengisi sel f h , yaitu pertama, jumlahkan tiap-tiap kategori. Kemudian,

jumlahkan frekuensi dalam tiap-tiap golongan subskrip sampel. Akhirnya setelah

diketahui N-nya, masukkan bilangan-bilangan itu ke dalam rumus sebagai berikut:

f h=(Jumlah kategori ) (Jumlah golongan )

Total Jendral

Atau dapat disingkat dengan:

f h=(nk ) (ng )

N

Untuk penyelesaian contoh soal di atas bisa dengan bantuan membuat tabel f o dan

tabelf hsecara terpisah lalu memasukkan semua hasil perhitungannyake dalam

tabel kerja yang sesungguhnya. Berikut tabel f o dan tabelf h.

Tabel 1.

f o Golongan (sub sampel) Jumlah

Kategori

Respon A B C D

Lebih 115 375 460 250 1.200

makmur

Sama saja 245 690 920 440 2.295

Kurang

makmur

125 375 540 270 1.310

Tidak

tentukan

25 60 80 40 195

Jumlah

golongan

500 1.500 2.000 1.000 5.00

Tabel 2

f h Golongan (subsampel) Jumlah

Kategorirespon A B C D

Lebih

makmur

120 1.200

Sama saja 668,5 2.295

Kurang

makmur

1.310

Tak

tentukan

78 39 195

Jumlah

golongan

500 1.500 2.000 1.000 5.000

Bilangan-bilangan seperti terdapat dalam tabel 2 di atas diperoleh dengan rumus

f h, yang cara mengerjakannya sebagai berikut:

Untuk kelas A kategori “lebih makmur” : (1.200 ) (500 )

5.000 = 120.

Untuk kelas B kategori “sama saja” : (2.295 ) (1.500 )

5.000 = 688,5.

Untuk kelas C kategori “tak tentukan” : (195 ) (2.000 )

5.000=78.

Untuk kelas D kategori “tak tentukan” : (195 ) (1.000 )

5.000=39.

Dengan cara yang sama sel-sel f h yang lainnya dapat diisi dan memasukkannya

dalam tabel kerja yang sesungguhnya (lihat tabel di bawah).

Tabel 3. Tabel Cerja untuk ContohMengerjakan Chi Kuadrat dari Banyak Sampel

(Bahan dari Tabel 1 dan 2)

Gol Sos-Ek.

Kategori

jawaban

f o f h f o−f h ( f ¿¿o−1h)2 ¿ ( f o−f h)

2

f h

Kelas A

Lebih

makmur

Sama saja

Kurang

makmur

Tak tentukan

115

245

125

15

120,0

229,5

131,0

19,5

-5,0

+15,5

-6,0

-4,5

25,00

240,25

36,00

20,25

0,208

1,047

0,275

1,038

Jumlah

Golongan:

500 500 0,0 - 2,568

Kelas B

Lebih

makmur

Sama saja

Kurang

makmur

Tak tentukan

375

690

375

60

360,0

688,5

393,0

58,5

+15,0

+1,5

-18,0

+1,5

225,00

2,25

324,00

2,25

0,625

0,003

0,824

0,038

Jumlah

Golongan:

1500 1500 0,0 - 1,490

Kelas C

Lebih

makmur

Sama saja

Kurang

makmur

Tak tentukan

460

920

540

80

480,0

918,0

524,0

78,0

-20

+ 2,0

+16,0

+2,0

400,00

4,00

256,00

4,00

0,833

0,004

0,489

0,051

Jumlah

Golongan:

2000 2000 0,0 - 1,377

Kelas D

Lebih

makmur

Sama saja

Kurang

makmur

Tak tentukan

150

440

270

40

240,0

459,0

262,0

39,0

+10,0

-19,0

+8,0

+1,0

100,00

361,00

64,00

1,00

0,417

0,786

0,244

0,026

Jumlah

Golongan:

1000 1000 0,0 - 1,473

Total Jendral: 5000 5000 0,0 χ2=6,908

Seperti terlihat dalam tabel 3 di atas, dalam kolom yang terakhir nilai χ2 yang

diperoleh adalah 6,908. Derajat kebebasan dari bahan itu dapat diperoleh dengan

mengingat banyaknya sampel (mewakili kolom dalam tabel kontingensi) dan

banyaknya kategori (mewakili baris dalam tabel kontingensi). Seperti yang

diketahui, sampel ada sebanyak empat sampel (sub-sampel), yitu sampel-ssampel

kelas A, B, C, dan D. Jadi jumlah kolomnya = 4. Kategori yang digunakan

jumlahnya juga 4. Jadi, ada 4 baris. Dengan demikian, d.b. dari tabel itu adalah (4-

1) (4-1) = (3) (3) = 9.

Dengan d.b. = 9 itu tabel tersebut menunjukkan bahwa nilai χ2 = 6,908 yang

diperoleh itu masih jauh berada di bawah batas kemungkinan kesalahan teoritik,

yaitu 16,919 pada taraf signifikansi 5% dan 21,666 pada taraf signfikansi 1%.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa keempat kelas sosial ekonomi itu

tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan dalam frekuensi jawaban mereka

terhadap pertanyaan yang diajukan kepada mereka.

Contoh Soal:

Suatu penyelidikan hipotetik dilakukan terhadap anak-anak dari SMP, SMA, dan

mahasiswa-mahasiswa di Universitas tentang kesukaan mereka membaca buku-

buku. Pertanyaan yang diajukan adalah: “Buku bacaan apa yang paling disenangi:

petualangan, percintaan, keajaiban, atau buku-buku ilmiah?”. Jumlah orang yang

diselidiki adalah 350 orang. Hasil-hasil yang yang dikumpulkan disusun dalam

tabel berikut:

Tabel 4. Tabel Frekuensi yang Diperoleh

Sampel Buku kesenangan Total

Petualangan Percintaan Keajaiban Ilmiah

SMP 24 19 36 46 125

SMA 41 26 20 38 125

Universitas 35 22 23 20 100

Total 100 67 79 104 350

Frekuensi yang diharapkan dapat diperoleh dengan rumus:

f h=(nk ) (ng )

N

Dengan rumus itu, akan diperoleh frekuensi-frekuensi yang diharapkan seperti

berikut:

Tabel 5. Tabel Frekuensi yang Diharapkan

Sampel Buku kesenangan Total

Petualangan Percintaan Keajaiban Ilmiah

SMP 35,71 23,93 28,22 37,14 125

SMA 35,71 23,93 28,22 37,14 125

Universitas 35,71 19,14 22,56 29,72 100

Total 100,00 67,00 79,00 104,00 350

Dengan f o dan f h yang telah diperoleh, dapat dibuat tabel kerja seperti berikut:

Tabel 6. Tabel Kerja untuk Mencari Chi Kuadrat dari Bahan-bahan dalam Tabel 4

dan 5.

Sampel

Kategori

f o f h f o−f h ( f ¿¿o−1h)2 ¿ ( f o−f h)

2

f h

SMP

Petualangan

Percintaan

24

19

35,71

23,93

-11,71

-4,93

137,1241

24,3049

3,8399

1,0157

Keajaiban

Ilmiah

36

46

28,22

37,14

+7,78

+8,86

60,5284

78,4996

2,1449

2,1136

Jumlah

Golongan:

125 125,00 0,00 - 9,1141

SMA

Petualangan

Percintaan

Keajaiban

Ilmiah

41

26

20

38

35,71

23,93

28,22

37,14

+5,29

+2,07

-8,22

+0,86

27,9841

4,2849

67,5684

0,7396

0,7836

0,1791

2,3943

0,0199

Jumlah

Golongan:

125 125,00 0,0 - 3,3769

Universitas

Petualangan

Percintaan

Keajaiban

Ilmiah

35

22

23

20

28,58

19,14

22,56

29,72

+6,42

+2,86

+0,44

-9,72

41,2164

8,1796

0,1936

94,4784

1,4421

0,4274

0,0086

3,1790

Jumlah

Golongan:

100 100,00 0,0 - 5,0571

Total Jendral: 350 350,00 0,0 χ2=17,5481

Derajat kebebasan dari tabel itu adalah (3-1) (4-1) = 6. Ternyata nilai χ2 yang

diperoleh itu melewati nilai batas teoritik atas dasar taraf signifikansi 1%, yaitu

16,812. Kesimpulannya adalah: ketika kelompok itu berbeda secara signifikan

dalam pemilihan buku-buku bacaanseperti yang ditunjukkan oleh hasil angket itu.

CHI KWADRAD SEBAGAI ALAT MENGETES SIGNIFIKANSI

KORELASI

Teknik statistic digunakan untuk hal-hal sebagai berikut.

1) Chi kwadrad adalah alat untuk mengadakan estimasi. Sebagai alat estimasi

chi kwadrad digunakan untuk menaksir apakah ada perbedaan yang

signifikan ataukah tidak antara frekuensi yang diobservasi dalam sample

dengan frekuensi yang diharapkan dalam populasi. Frekuensi yang

diharapkan dalam populasi ini kadang-kadang disebut juga frekuensi

hipotetik, karena ia digunakan sebagai hipotesa yang akan diuji dengan

frekuensi yang diperoleh dari sample. Oleh karena itu dalam pengertian

yang longgar chi kwadwrad sebagai alat estimasi diberi kedudukan juga

sebagai alat pengetesan hipotesa.

2) Chi kwadrad sebagai alat mengetes hipotesa. Dalam pengertian yang

sempit tiap-tiap pengetesan hipotesa harus membandingkan sedikitnya dua

sample. Karena itu dalam kedudukannya sebagai alat pengetesan hipotesa

ini apa yang ingin dijawab olehnya adalah masalah apakah frekuensi yang

diperoleh dalam sample yang satu berbeda secara signifikan ataukah tidak

dengan sample lainnya dalam kategori-kategori tertentu, seandainya

penyelidikan dilakukan terus-menerus dengan sample-sampel yang sama.

Hipotesa nihil yang hendak dites di sini adalah bahwa tidak ada perbedaan

yang signifikan di antara frekuensi yang diperoleh atau fo dengan frekuensi

yang diharapkan atau fh

3) Kecuali sebagai alat mengetes hipotesa perbedaan frekuensi, chi kuadrad

juga merupakan alat untuk mengetes hipotesa tentang ada tidaknya

korelasi antara dua dibicarakan di atas, ketiga kelompok subjek yang

berbeda tingkatan pendidikannya, yaitu SMP, SMA, dan Universitas,

berbeda secara signifikan dalam pemilihan buku-buku bacaan. Sebenarnya

kesimpulan itu dapat dibyatakan dengan cara lain, yaitu bahwa ada

korelasi yang signifikan antara tingkatan pendidikan dengan pilihan buku-

buku bacaan.

Adanya korelasi itu menunjukkan bahwa tingkatan pendidikan tertentu

menunjukkan kecenderungan tertentu dalam memilih buku-buku bacaan.

Dari pembicaraan di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa sebenarnya

hipotesa yang hendak dites dengan chi kwadrad dapat dinyatkan dalm dua bentuk.

Pertama, dalam bentuk perbedaan frekuensi. Hipotesa secara umum

berbunyi: frekuensi-frekuensi yang diperoleh dalam sample-sampel yang

diselidiki tidak berbeda secara signifikan dengan frekuensi-frekuensi yang

diharapkan dalam populasi dalam kategori-kategori tertentu.

Kedua, dalam bentuk korelasi. Hipotesanya berbunyi : tidak ada korelasi

antara kolom dan baris.

CHI KWADRAD DENGAN DERAJAT KEBEBASAN LEBIH DARI 30

Akhirnya perlu dilengkapkan pembicaraan ini dengan kemungkinan menghadapi

perhitungan chi kwadrad dengan derajat kebebasan yang lebih besar dari 30.

Rumus untuk menghitung nilai probabilitas nilai chi kwadrad yang diperoleh

dengan kurve normal adalah sebagai berikut.

xSD

=√2 x2−√2(db )−1

Dimana:

χ2 = nilai chi kwadrad yang kita peroleh.

db = derajat kebebasan dari table kontingensi kita.

jadi misalnya kalau kita memperoleh nilai χ2 sebesar 81,50 tabel kontingensi

26x3, maka

xSD

=√2(81 , 50)−√2(50 )−1

=√163 , 00−√99=12 , 7671−9 , 9499=2 ,8172 atau2 , 82

Dengan

xSD = 2,82 ini kita periksai table kurve normal. Kita lihat,

xSD

sebesar 2,82 itu meliputi 49,76% daerah sebelah kurve normal, atau

seluruhnya ada 2(49,76%)= 99,52%. Dengan demikian maka hipotesa yang

diajukan sebelum penyelidikan ditolak, baik atas dasar taraf signifikansi 1%,

apalagi 5 %.

Dalam beberapa situai nilai chi kuadrad yang kita perolehadalah

sedemikian kecilnya sehingga setelah disalin ke dalam

xSD menghasilkan nilai

negative. Dalam hal semacam ini, persentase daerah kurve normal yang sesuai

dengan nilai

xSD itu denaikkan dengan menambahnya 50%, dihitung dari

ujung distribusi. Jadi misalnya kita memperoleh nilai chi kuadrad =42,530 dari

table 25x3. diubah menjadi nilai z atau

xSD .

z=√2(42 , 530 )−√2(48 )−1=√85 , 06−√95=9 ,28−9 , 7468=−0 ,5240atau−0 ,52

Dengan nilai z sebesar -0,52 itu kita periksai table kurve normal. Dengan z

=-0,52 itu kita lihat daerah kurve dari mean sebesar 19,85%. Akan tetapi dalam

situasi kita sekarang, daerah sebesar itu tidak kita hitung dari mean, melainkan

kita tambahkan pada 50% daerah dari ekor distribusi. Dengan demikian kita

mengharapkan kemungkinan sebesar 69,85% dari seluruh kejadian kita akan

memperoleh nilai chi kwadrad sebesar atau lebih besar dari 42,530.

Yang dimaksud dengan petak kecil adalah petak yang frekuensinya kurang

dari 5. chi kuadarad kurang dapat memberikan gambaran yang memuaskan

bilamana ada petak kecil dalam table kontingensi yang dikerjakan. Kesimpulan

yang agak memuaskan baru dapat diperoleh bilamana diadakan suatu koreksi atau

penyesuaian sebagaimana diuslkan oleh YATES terhadap petak yang kecil itu

lebih dahulu sebelum perhitungan chi kuadrad dilakukan. Koreksi YATES itu

berupa menambah ½ terhadap petak yang paling kecil dan menyesuaikan

frekuensi-frekuensi lainnya sehingga jumlah kolom dan jumlah baris sebelum dan

sesudah koreksi masih tetap sama. Saying sekali, koreksi dan penyesuaian

YATES hanya berlaku untuk table 2x2.

Contoh tentang petak-petak kecil dapat dilihat dalam table 60 A. data itu

dimaksudkan untuk menyelidiki ada tidaknya korelasi antara kelulusan dan jenis

kelamin. Table 60B menunjukkan data sesudah dikoreksi dan disesuaikan.

TABEL 60

JENIS KELAMIN DAN KELULUSANNYA

A. Data yang diperoleh

Sekse L G Total

Pria

Wanita

16

8

4

2

20

10

Total 24 6 30

B. Data setelah disesuaikan

L = lulus

G = gagal.

Pengkoreksian dilakukan terhadap frekuensi yang terkecil, yaitu dengan

jalan menambahkan 0,5 terhadap frekuensi ini. Karena suatu ketentuan bahwa

jumlah tidak dapat diubah-ubah maka frekuensi-frekuensi lain kemudian

disesuaikan untuk mempertahankan ketentuan itu. Baru setelah pengkoreksian dan

penyesuaian itu chi kuadrad dihitung dengan cara yang biasa. Dengan memakai

rumus

χ2 =

N (ad−bc )2

(a+b)( c+d )(a+c )(b+d )

kita peroleh

χ2 =

30 {(16 , 5)(2,5 )−(3,5 )(7,5 )}2

(20)(10 )(24 )(6 )=

30( 41 ,25−26 ,25)2

28 ,800

=

30(15 )2

28 , 800=225

960=0 , 234

Dengan d.b =1 dan batas signifikansi 5%=6,635 kita menerima hipotesa

nihilnya dan menyimpulkan bahwa kelulusan bukan kecendrungan salah satu jenis

kelamin.

REALIBITAS SAMPEL KECIL

Sekse L G Total

Pria

Wanita

16,5

7,5

3,5

2,5

20,0

10,0

Total 24,0 6,0 30,0

Resiko kesalahan dalam penyelidikan dengan sample kecil selalu akan

lebih besar daripada resiko kesalahan dalam penyelidikan dengan sample besar.

Seorang karyawan research yang teliti kiranya akan ragu-ragu menarik

kesimpulan dari penyelidikan data seoerti tersebut dalam table 60 itu. Sebab

kiranya sample penyelidikan diperbesar lima atau sepuluh kali lipat, pada

umumnya hasil penyelidikannya akan berubah, dan perubahan hasil itu kadang-

kadang sedemikian diperbesar lima atau sepuluh kali lipat, pada umumnya hasil

penyelidikannya akan berubah, dan perubahan hasil itu kadang-kadang

sedemikian besarnya sehingga agak sukar untuk mempercayai hasil penyelidikan

dengan sample kecil yang semula.

Sebagai ilustrasi daripada apa yang dikemukakan itu dapat kita selidiki

dari contoh-contoh hipotetik seperti tersebut dalam table 61 dan table 62 di bawah

ini.

TABEL 61 A

DATA HIPOTETIK TENTANG SEKSE DAN KELULUSANNYA

TABEL 61 B

DATA TABEL 61 A SETELAH

DIKOREKSI DAN DISESUAIKAN

χ2 =

20 {(9,5 )(1,5)−(3,5 )(5,5 )}2

(13 )(7)(15 )(5)=

20(14 , 25−19 , 25 )2

6 , 825

20(-5 )2

6 ,825=500

6 , 825=0 , 073

TABEL 62

Sekse L G Total

Pria

Wanita

9

6

4

1

13

7

Total 15 5 20

Sekse L G Total

Pria

Wanita

9,5

5,5

3,5

1,5

13,0

7,0

Total 15,0 5,0 20,0

10 KALI DATA TABEL 61 A

χ2 =

200 {(90 )(10)−(40 )(60 )}2

(130 )(70 )(150 )(50 )=

200( 900−2400 )2

68 . 250. 000

200(-1500 )2

68 .250. 000=

200 (3)91

=6 ,593 .

Nampaklah dari contoh di atas bahwa perbedaan antara chi kuadrad yang sesuai

dengan chi kuadrad dengan sample besar sangat menyoloknya sehingga

mempersulit penarikan kesimpulannya. Dalam hal apapun penyelidik pasti selalu

lebih meyakini hasil penyelidikan dari sample yang lebih besar, karena pada

populasi-populasi yang tidak homogin besarnya sample selalu menjadi petunjuk

tentang representativitas sample. Pada umumnya memang sangat sulit untuk

mendemonstrasikan perbedaan atau korelasi yang signifikan dari sample kecil,

sungguhpun jika diadakan penyelidikan secara besar-besaran perbedaan atau

korelasi itu ada dalam kenyataannya. Seperti kita lihat dari contoh di atas, chi

kuadrad sebesar 0,073 adalah jauh sekali dari batas signifikansi 5%, yaitu hamper-

hampir mendekati bilangan batas signifikansi 5% itu.

CHI KUADRAT UNTUK MENGHITUNG PERBEDAAN PERSENTASE

Kecuali untuk menyelidiki signifikasi perbedaan frekuaensi yang biasa, chi

kuadrat dapat juga digunakan untuk menilai signifikasi perbedaan frekuensi yang

sudah diubah dalam presentase.

TABEL 63

DATA TENTANG SEKSE DAN KELULUSAN DALAM PER SEN

f 0  dalam % f h dalam %

Sekse Lulus Gagal Total Sekse Lulus Gagal Total

Pria 45 20 65 Pria 48,75 16,25 65,00

Sekse L G Total

Pria

Wanita

90

60

40

10

130

70

Total 150 50 200

Wanita 30 5 35 Wanita 26,25 8,75 35,00

Total 75 25 100 Total 75,00 25,00 100,00

X 2=(45−48 , 75)2

48 ,75+(20−16 , 25)2

16 ,25+(30−26 , 25)2

26 , 25+(5−8 , 75)2

8 ,75

¿(−3 , 75 )2

48 ,75+(+3 ,75 )2

16 , 25+(+3 , 75)2

26 , 25+(−3 ,75 )2

8 ,75

¿14 ,062548 ,75

+14 , 602516 , 25

+14 ,602526 ,25

+14 , 60258 , 75

¿0 , 288+0 ,865+0 ,536+1 ,60X 2=3 , 296

Dalam menggunakan chi kuadrat untuk menghitung perbedaan persentase, ada

dua catatan penting yang perlu diperhatikan:

(1) Terhadap petak yang kecil telah diadakan koreksi dan penyesuaian lebih

dahulu. Sebabnya ialah karena probabilitas signifikasi sesuatu kejadian

lebih tergantung kepada frekuensi yang nyata daripada frekuensi dalam

presentase. Kita mengetahui bahwa untuk suatu mata uang logam yang

dilemparkan 10 kali, munculnya 6:4 untuk kepala : ekornya tidak sama

signifikannya dengan munculnya 60:40 untuk perbandingan kepala dan

ekor jika mata uang itu dilemparkan 100 kali, sungguhpun perbandingan

munculnya kepala dan ekor itu jika dinyatakan dalam persentase sama-

sama 60% : 40%.

(2) Nilai chi kuadrat yang diperoleh dari perhitungan-perhitungan frekuensi

dalam persen harus diubah dahulu dalam nilai chi kuadrat dari

perhitungan-perhitungan dengan frekuensi yang nyata, sebelum pengetesan

signifikasi dilakukan. Pengubahan itu dilakukan dengan jalan mengalikan

nilai chi kuadrat dengan N/100. dalam contoh di atas oleh karena frekuensi

selanjutnya dijadikan dasar perhitungan adalah data dalam tabel 62 dengan

N=200, maka chi kuadrat dalam persen yang kita peroleh itu harus kita

kalikan dengan 200/100, atau sama dengan 3,296 x 2 = 6,592, suatu

bilangan yang sama dengan yang sudah kita peroleh lebih dahulu, yaitu

6,593. Dengan chi kuadrat sebesar 6,593 itu pada taraf signifikasi 5% kita

akan tetap menolak hipotesa bahwa perbedaan lulusan pria dan wanita

adalah signifikan. Atau dinyatakan dalam bentuk korelasi, kita menolak

hipotesa yang menyatakan bahwa antara jenis kelamin dan lulusan terdapat

korelasi yang signifikan. Catat, karena derajat kebebasan daripada chi

kuadrat tidak tergantung kepada N, melainkan kepada jumlah petak f h ,

maka baik dikerjakan dengan cara yang biasa, maupun dikerjakan melalui

persentase, pengetesan nilai chi kuadratnya menggunakan derajat

kebebasan yang sama.

BATAS PENGGUNAAN KOREKSI YATES

Perlu sekali lagi ditekankan bahwa korelasi YATES sayang sekali hanya dapat

dikenakan pada tabel 2x2. Untuk tabel-tabel lebih besar daripada 2x2 ada cara lain

untuk memperhitungkannya. Cara-cara ini akan dibicarakan dalam pasal dibawah

ini.

PETAK KECIL DALAM TABEL GANDA-PETAK

TABEL 64

DATA TENTANG PILIHAN FILM DAN JURUSAN

Jurusan Film kesukaanTotal

dalam fakultas Petualangan Sejarah Perang Roman Song

Perniagaan 15 8 10 6 1 40

Sejarah 5 32 5 11 7 60

Seni Rupa 3 10 7 22 8 50

Seni Suara 6 6 5 13 20 50

Alam Pasti 12 6 47 8 7 80

Adm. Perusah. 79 8 16 10 7 120

Total 120 70 90 70 50 400

(1) Membuang sama sekali data yang diperoleh dari jurusan perniagaan dan

jurusan seni rupa karena dari kedua jurusan itu terdapat frekuensi-

frekuensi kecil, yaitu 1 pada petak perniagaan-song dan 3 pada petak seni

rupa-petualangan.

(2) Mengkombinasikan jurusan-jurusan itu dengan jurusan-jurusan lain yang

”terdekat”, misalnya jurusan perniagaan dengan jurusan administrasi

perusahaan dan jurusan seni rupa dengan jurusan seni suara. Tentu saja

pengkombinasian semacam itu harus didasarkan atas alasan-alasan yang

dapat dipertanggungjawabkan.

Baik ditempuh langkah membuang maupun langkah mengkombinasikan,

penyelidik harus memperhatikan konsekuensinya dalam memperhitungkan

derajat kebebasan. Untuk mendapatkan derajat kebebasan ini rumus d.b.=(b-1)(k-

1) masih tetap berlaku. Jadi misalnya jika ditempuh langkah membuang data

jurusan-jurusan perniagaan dan seni rupa, maka d.b.nya = (4-1)(5-1) =12, sedang

jika ditempuh jalam mengkombinasikan kedua jurusan itu dengan jurusan-jurusan

lainnya d.b.nya akan =(4-1)(5-1) =12 juga.

Umumnya jika yang ditempuh adalah langkah mengkombinasi, maka jurusan-

jurusan yang dikombinasikan tetap kedua-duanya dicatat dalam melaporkan

hasilnya, misalnya jika jurusan perniagaann dikombinasikan dengan jurusan

administrasi perusahaan, kombinasinya menjadi jurusan perniagaan/administrasi

perusahaan. Demikian jika jurusan seni rupa digabungkan dengan jurusan seni

suara, maka kombinasinya akan menjadi seni rupa/seni suara atau seni rupa/suara.

Sebagai akibat dari pada langkah yang berbeda itu kadang-kadang diperoleh

hasil yang berbeda pula. Mungkin juga terjadi bahwa dengan langkah

pembuangan hasilnya hipotesa dapat diterima, tetapi dengan jalan

pengkombinasian hasilnya hipotesa harus ditolak. Dalam keadaan semacam ini

ada baiknya jika penyelidik melaporkan saja apa adanya. Artinya ia harus

menghitung chi kuadrat dengan kedua langkah itu dan menyajikan apapun

hasilnya dari kedua langkah yang berbeda itu.

CHI KUADRAT UNTUK MENGETES NORMALITAS

Sangat banyak teknik-teknik statistik yang berlandaskan kepada distribusi

normal. Jika dari penyelidikan-penyelidikan yang terdahulu belum pernah

dipastikan bahwa sesuatu gejala mengikuti ciri-ciri distribusi normal, mengetest

apakah gejala yang diahdapi merupakan distribusi yang normal atau tidak

merupakan keharusan yang mutlak.

Banyak cara yang dapat digunakan untuk mengetest normalitas suatu

distribusi, misalnya saja dengan menyelidiki kejulingan (skewness) dan

kurtosisnya. Chi kuadrat pun dapat digunakan untuk keperluan pengetesan

normalitas itu.

Dari kurva normal kita mengetahui bahwa:

Nilai-nilai yang terletak meliputi frekuensi sebesar: atau dibulatkan

dari -3SD sampai -2SD 2,15% 2%

dari -2SD tsampai -1SD 13,59% 14%

dari -1SD sampai Mean 34,13% 34%

dari Mean sampai +1SD 34,13% 34%

dari +1SD sampai +2SD 13,59% 14%

dari +2SD sampai +3SD 2,15% 2%

Total 99,74% 100%

Dari ciri-ciri distribusi normal teoritik itu kita dapat menguji apakah sesuatu

distribusi empirik mengikuti ciri-ciri itu ataukah tidak. Hipotesa (nihil) yang

hendak kita tes adalah bahwa f 0 dari distribusi gejala yang kita selidiki tidak

menyimpang secara signifikan dari f h dalam distribusi normal teoritik.

Tabel 65 menunjukkan distribusi empirik daripada intelegensi yang diperoleh

dengan THORNDIKE Intelligence Examination. Para ahli telah mengetahui

bahwa intelegensi adalah salah satu gejala psikologik yang dengan tertib

mengikuti ciri-ciri distribusi normal. Misalkan kita andaikan pengetahuan itu

belum ada pada kita, dan kita ingin menyelidiki buat pertama kalinya tentang

normal tidaknya distribusi intelegensi. Mean dari distribusi itu = 81,59, dengan

SD = 12,14. dari statistik-statistik itu kita dapat memperhitungkan interval nilai

sepanjang distribusi yang terbagi menjadi 6 SD, yaitu dari -3SD sampai +3SD.

Jika nilai-nilai diatas kita bulatkan dan distribusi itu kita golong-golongkan

kembali menjadi 6 golongan secara konvensional, maka akan kita jumpai

distribusi seperti tercantum dalam tabel kerja dibawah ini. Kolom f h diisi atas

dasar persentase kurva normal sebelumnya.

TABEL 65

DISTRIBUSI NILAI-NILAI THORNDIKE INTELLIGENCE

EXAMINATION DARI 206 MAHASISWA TINGKAT I

Nilai  f 0

115-119 1

110-114 2 M = 31,9

105-109 4 SD = 12,14

100-104 10

99-94 13 Karena itu :

90-94 18 +2SD keatas = 105,87 keatas.

85-89 34  +1SD sampai +2SD = 93,43 – 105,87.

80-84 30  Mean sa,pai +1SD = 81,59 – 93, 43.

75-79 37  -1SD sampai Mean = 69,45 – 81,58.

70-74 27  -2SD sampai -1SD = 57,31 – 69,45.

65-69 15  -2SD kebawah = 57, 31 kebawah.

60-64 10

55-59 2

50-54 2

45-49 1

Total 206

Jika nilai-nilai di atas kita bulatkan dan distribusi itu kita golong-golongkan

kembali menjadi 6 golongan secara konvensional, maka akan kita jumpai

distribusi seperti yang tercantum pada tabel di bawah ini. Kolom f h diisi atas

dasar persentase kurva normal.

TABEL 66

TABEL KERJA UNTUK MENCARI PROBABILITAS NORMALITAS

DATA DALAM TABEL

Interval distandarisasi f 0 f hf 0 -f h ( f 0−f h )

2 ( f 0−f h )2

f h

106-119 6 4,12 +1,88 3,5344 0,8579

94-105 28 28,84 -0,84 0,7056 0,0245

82-93 66 70,04 -4,04 16,3216 0,2330

70-81 76 70,04 +5,96 35,5216 0,5072

58-69 26 28,84 -2,84 8,0656 0,2797

45-57 4 4,12 -0,12 0,0144 0,0035

Total 206 206,00 0,0 1,9058

Derajat kebebasan untuk tes signifikasi ini adalah jumlah sel f h dikurangi

satu, atau 6-1 =5. Dengan d.b.= 5 ini pada taraf signifikasi 5% batas penolakan

hipotesanya =11,070. Nilai chi kuadrat yang kita peroleh sebesar 1,9058 itu

ternyata jauh di bawah batas penolakan, sehingga dengan demikian hipotesa kita

diterima. Distribusi intelegensi yang diperoleh itu ternyata tidak menyimpang dari

distribusi normal.

Cara pengetesan normalitas seperti yang dicontohkan diatas berlaku juga

untuk semua penggolongan gejala yang kurang atau lebih dari enam golongan.

Jika gejala digolongkan hanya menjadi tiga golongan, maka harus digunkan 2SD

untuk tiap-tiap penggolongan. Sekiranya gejala diklasifikasi dalam 10 golongan,

masing-masing golongan akan berjarak kira-kira 0,6SD. Jarak penggolongan

dalam satuan SD ini didasarkan atas teori bahwa suatu distribusi normal teoritik

terdiri dari 6SD. Pegangan pokok yang perlu diperhatikan adalah bahwa dalam

usaha menggolong-golongkan gejala untuk keperluan pengetesan normalitas ini

dua macam. Statistika yang mutlak diperlukan adalah mean dan standard deviasi

dari pada skor gejala yang diselidiki.

SATU DUA CATATAN TENTANG BATAS-BATAS PENGGUNAAN CHI

KUADRAT

Chi kuadrat memang merupakan salah satu teknik statistik yang kerap kali

digunakan dalam penyelidikan-penyelidikan. Sungguhpun begitu, teknik ini

mengandung dalam dirinya batas-batas penggunaan tertentu.

(1) Chi kuadrat pada dasarnya hanya dapat digunakan untuk menganalisa data

yang berwujud frekuensi. Perlu diingatkan kembali frekuensi adalah

bilangan sebagai hasil daripada perhitungan atau counting.

(2) Untuk pengetesan korelasi chi kuadrat hanya dapat menunjukkan apakah

korelasi antara dua gejala (atau lebih) signifikan ataukah tidak. Dengan

chi kuadrat sama sekali tak dapat diungkapkan kenyataan tentang besar-

kecilnya korelasi yang diselidiki.

(3) Pada dasarnya chi kuadrat belum dapat menghasilkan kesimpulan yang

memuaskan untuk menyelidiki tabel-tabel kontingensi dengan petak-petak

kecil. Korelasi YATES pada umumnya hanya digunakan sekiranya jalan

lain tertutup untuk bekerja dengan sampel-sampel yang lebih besar. Jika

jumlah individu dan jumlah sampel cukup banyak, cara membuang atau

mengkombinasikan kategori-kategori yang mempunyai petak kecil

memberikan hasil yang lebih memuaskan.

(4) Chi kuadrat paling tepat digunakan pada data yang diperoleh dari sampel-

sampel dan ketegori-kategori yang terpisah (eksklusif) satu sama lain.

Data semacam ini disebut data kategorik, data diskrit, atau data nominal.

DAFTAR PUSTAKA

Cholil Munif, Muhammad. 1991. Chi Kuadrat Analisis Katagorik. Surabaya:Satgas Komputer Fakultas kedokteran Universitas Airlangga

Sudiana, I Ketut dan Maruli Simamora. 2004. Statistika Dasar. Singaraja: Jurusan Pendidikan Kimia, Fakultas MIPA, Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan Negeri Singaraja

Hadi, Sutrisno. 2000. Statistik. Yogyakarta: Penerbit Andi.