Caracterizacion de Funciones Concavas y Convexas

Alejandro Lugon

20 de agosto de 2010

1. Definiciones y preliminares

1.1. Concavidad

Una funcion:f : S R

con dominio S Rn convexo, es:

Concava si para todos x, y S y [0, 1] se tiene:

f((1 )x+ y) (1 )f(x) + f(y)

Estrictamente Concava si para todos x, y S, x 6= y y ]0, 1[ se tiene:

f((1 )x+ y) > (1 )f(x) + f(y)

Convexa si para todos x, y S y [0, 1] se tiene:

f((1 )x+ y) (1 )f(x) + f(y)

Estrictamente Convexa si para todos x, y S, x 6= y y ]0, 1[ se tiene:

f((1 )x+ y) < (1 )f(x) + f(y)

Todas estas definiciones son relativas al conjunto S, es decir lo apropiado sera decir concava/convexaen S.

Toda funcion estrictamente concava es concava y toda funcion estrictamente convexa es convexa. Podemostener funciones que no sean ni concavas ni convexas y funciones que sean concavas y convexas, estas ultimasson las funciones afn-lineales: f(x) = a x+ b.

1

CCV

ST-CCV

CVX

ST-CVX

AFIN

1.2. Hessiana

Si el dominio S es abierto y la funcion f es de clase C2 podemos definir la matriz Hessiana de segundasderivadas:

Hf (x) = D2f(x) =[

2f

xixj(x)]

=

2f

x1x1

2fx1x2

2f

x1xn

2fx2x1

2fx2x2

... 2f

x2xn...

. . ....

2fxnx1

2fxnx2

2f

xnxn

la cual es simetrica (

2fxixj

= 2f

xjxi)

A partir del Hessiano determinamos los menores principales de la siguiente manera. Consideremos unsubconjunto no vaco cualquiera I {1, 2, ..., n} del conjunto de ndices, si consideramos solamente las filasy columnas de Hf (x) con ndices en I y calculamos el determinante, tenemos un menor principal:

I(x) = 2fxixj

i,jI

El numero de elementos en I es el orden del menor principal.Por lo tanto tenemos tantos menores principales como subconjuntos no vacos de {1, 2, ..., n}, es decir

2n 1.Si consideramos subconjuntos de ndices de la forma I = {1, 2, ..., k} para k = 1, 2, . . . , n tenemos los

menores principales dominantes:Dk(x) =

Dk(x) = 2fxixj

i,jk

=

2fx1x1

2fx1x2

2f

x1xk

2fx2x1

2fx2x2

... 2f

x2xk...

. . ....

2fxkx1

2fxkx2

2f

xkxk

Por lo tanto tenemos solamente n menores principales dominantes.

1.3. Valores propios

Dada una matriz cuadrada A un valor propio (real) de A es un R tal que existe v Rn, v 6= 0 quecumple:

Av = v

2

Una matriz de orden n n tiene a lo mas n valores propios (reales).Si la matriz es simetrica, como la Hessiana, tiene exactamente n valores propios (reales).

1.4. Matrices Definidas

Una matriz simetrica A es:

Definida negativa si para todo x 6= 0 se tiene: xTAx < 0.

Semidefinida negativa si para todo x se tiene: xTAx 0.

Definida positiva si para todo x 6= 0 se tiene: xTAx > 0.

Semidefinida positiva si para todo x se tiene: xTAx 0.

Con estas definiciones toda matriz definida negativa es semidefinida negativa y toda matriz definidapositiva es semidefinida positiva. Podemos tener matrices indefinidas (que no son semidefinidas positivas ninegativas) y la unica matriz que es semidefinida positiva y negativa a la vez es la matriz nula.

2. Caracterizacion para n general

Proposicion 1 Dada una funcion f : S R de clase C2 con dominio S Rn convexo y abierto. Sea Hfsu Hessiana. Son equivalentes:

1. f es concava en S.

2. Hf es semidefinida negativa en todo punto de S

3. Hf tiene todos sus valores propios no positivos ( 0) en todo punto de S

4. Todos los menores principales de Hf en todo punto de S cumplen

(1)#(I)I 0

Proposicion 2 Dada una funcion f : S R de clase C2 con dominio S Rn convexo y abierto. Sea Hfsu Hessiana. Son equivalentes:

1. f es convexa en S.

2. Hf es semidefinida positiva en todo punto de S

3. Hf tiene todos sus valores propios no negativos ( 0) en todo punto de S

4. Todos los menores principales de Hf en todo punto de S cumplen

I 0

Proposicion 3 Dada una funcion f : S R de clase C2 con dominio S Rn convexo y abierto. Sea Hfsu Hessiana. Son equivalentes:

3

1. Hf es definida negativa en todo punto de S

2. Hf tiene todos sus valores propios negativos (< 0) en todo punto de S

3. Todos los menores principales dominantes de Hf en todo punto de S cumplen

(1)kDk > 0

Cualquiera de estas propiedades implica (pero no es equivalente a) que f es estrictamente concava en S.

Proposicion 4 Dada una funcion f : S R de clase C2 con dominio S Rn convexo y abierto. Sea Hfsu Hessiana. Son equivalentes:

1. Hf es definida positiva en todo punto de S

2. Hf tiene todos sus valores propios positivos (> 0) en todo punto de S

3. Todos los menores principales dominantes de Hf en todo punto de S cumplen

Dk > 0

Cualquiera de estas propiedades implica (pero no es equivalente a) que f es estrictamente convexa en S.

De manera esquematica:

fccv Hsdn (1)#(I)I 0 i 0

fst ccv Hdn (1)kDk > 0 i < 0

yfcvx Hsdp I 0 i 0

fst cvx Hdp Dk > 0 i > 0

4