1

Capítulo 2: Revisión de los fundamentos Matemáticos

� Señal y sistema

� Convolución:

� contínua

� discreta

� Transformadas

� Fourier

� Laplace

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −=−==tt

dgtxdtgxtgtxty00

* ττττττ

FDT

g(t)

x(t) y(t)

X(s) G(s) Y(s)=X(s)*G(s)=X(s)G(s)

L[x(t)]

L-1[Y(s)]

Dominio temporal Dominio complejo

Dominio frecuencial

L[f(t)]

F[f(t)]

L-1[f(t)]

F-1[f(t)]

Ejemplo de convolución

� Escalón unitario a un circuito RC

s

us

(t)

Respuesta del cuadripolo RC ante una entrada en escalón

0 1 2 3 4 5 6

x 10-3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1From: U(1)

[s]

[us(t

)]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

*

t

s e eu t u t g t u t g dτ τ τ= = −∫

Demo de convolución continua

http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html

2

Series de Fourier� Sea una función periódica temporal, f(t), de periodo de

T, acotada en un intervalo, con un número finito de máximo, mínimos y puntos discontinuos, ésta puede ser representada por una serie infinita de senos y cosenos.

A esta serie se la llama de Fourier:

( ) ( ) ( )T

tnsenbtnaatfn

n

n

n

πωωω

2cos 0

1

0

1

00 =++= ∑∑∞

=

∞

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ 2 / 2 / 2

0 0 0

/ 2 / 2 / 2

1 2 2cos

T T T

n n

T T T

a f t dt a f t n t dt b f t sen n t dtT T T

ω ω− − −

= ⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫

Ejemplo 2.1Umax

T

τ

u(t)

t

( ) ( )( ) ( ) 0

0

=⇒−−=

=⇒−=

n

n

atftf

btftf

0 1000 2000 3000 4000 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

[Hz]

|Ve(w

)|

Módulo del espectro de la señal tipo tren de impulsos

⋅⋅=

⋅⋅=

==

∫

∫

−

−

Tnsen

n

Udtt

TnU

Ta

TUdtU

Ta

maz

n

maz

τπ

π

π

τ

τ

τ

τ

τ

22cos

2

1

2/

2/

max

2/

2/

max0

),...700(45.0)600(0)500(635.0)400(0

)300(06.1)200(0)100(18.35.2

7654

3210

HzVaHzVaHzVaHzVa

HzVaHzVaHzVaVa

−====

−====

Applet de Fourierwww.jhu.edu/~signals/fourier2/index.html

3

Problemas para casa

-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tren de impulsos

[s]

[V]

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.030

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Onda semirectificada

[s]

[V]

Resolución

-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tren de impulsos

[s]

[V]

( )

( )

1

100

21 cos

e n

n

n

u b sen n t

b nn

π

ππ

∞

=

= ⋅ ⋅

= − ⋅

∑

Resolución

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.030

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Onda semirectificada

[s]

[V]

( )

( ) ( )

1

1cos 100

1 11 2 2

1 1

e n

n

n

u a n t

sen n sen n

an n

ππ

π π

π

∞

=

= + ⋅ ⋅

+ −

= −+ −

∑

4

Transmisión de señales

De las series a las transformadas de Fourier

� Segunda y tercera forma de expresar las

series de Fourier:

� Relaciones de Euler

( ) ( )

=+=

=−+= ∑∞

=

n

n

nnnn

n

nn

a

barctgbac

Ttncatf

ψ

πωψω

22

0

1

00

2cos

( ) ( ) ( ) ( ) dtetfnFenFT

tftjn

T

Tn

tjn ⋅⋅=⋅⋅⋅= −+

−

∞

−∞=∫∑ 00

2/

2/

00

1 ωω ωω

De las series a las transformadas de Fourier

� Tercera forma de expresar las series de Fourier:

� Para la aplicación de la serie de Fourier sobre señales aperiódicas, se procede al artificio matemático de hacer que el periodo de la señal sea infinito, convirtiendo todas

las señales en periódicas. elaciones de Euler

( ) ( ) ( ) ( ) dtetfnFenFT

tftjn

T

Tn

tjn ⋅⋅=⋅⋅⋅= −+

−

∞

−∞=∫∑ 00

2/

2/

00

1 ωω ωω

( ) ( ) dtetfF tj ⋅⋅= −

∞

∞−

∫ωω

( ) ( ) ( )∫∑∞

∞−

∞

−∞=∞→

⋅⋅=⋅⋅⋅= ωωπ

ωωω

ωωdeFenF

Ttf tj

n

tjn

T 2

11lim 00

0

0

( )∫+∞

∞−

∞<⋅ dttf

5

Ejemplo 2.2

Umax

τ

t

( ) ( ) ( )2/2/

2 maxmax

2/

2/

max ωττω

ωτω

τ

τ

ω sencUsen

UdteUU tj

e ⋅⋅==⋅⋅= ∫−

−

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 105

0

2x 10

-3 Densidad espectral del impulso

w[rad/s]

Ue

(w)

Transformadas de Laplace

� Funciones de control no tienen

transformadas de Fourier (teorización)

� Convergencia y causalidad

� Ejemplos

� Función escalón unitario:

� Función exponencial decreciente:

� Señal senoidal:

( ) ( ) ( ) ( )∫⇒∫∞

−

+=

∞−− ==

00

, dtetfsFdteetfFst

js

tjt

ωσ

ωσωσ

( )( ) ( ) ∫∞ ∞−

− =

−=⋅==

0 0

1

ss

edtesFtfL

stst

( )( ) ( )( )

( ) ( )∫∞ ∞+−

−−

+=

+−=⋅==

0 0

1

αα

αα

ss

edteesFtfL

tsstt

( )( ) ( )( )

( )

( )

( )∫∞ ∞

+−−−−

−

+=

+−−

−−=⋅

−==

0

2

0

2

0

max

000

max

max

0000

22 ω

ω

ωω

ωωωω

sU

js

e

js

e

j

Udte

j

eeUsUtuL

tjstjsst

tjtj

Teoremas importantes de la transformada de Laplace(1/3)� Teorema 1: Multiplicación por una constante:

� Teorema 2: Suma y resta de dos funciones:

� Teorema 3: Diferenciación:

( )( ) ( )sFktfkL ⋅=⋅

( ) ( )( ) ( ) ( )sFbsFatfbtfaL 2121 ⋅±⋅=⋅±⋅

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0...000

...

123121

1

1

2

2321

0lim

−−−−

−

−−−−

→

++++−⋅=

++++−⋅=

nnnnn

n

n

n

nnnn

t

n

n

n

ffsfsfssFsdt

tfdL

dt

tfd

dt

tfds

dt

tfdstfssFs

dt

tfdL

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0lim0

fsFstfsFsdt

tfdL

t

−⋅=−⋅=

→

6

Teoremas importantes de la transformada de Laplace(2/3)� Teorema 4: Integración:

� Teorema 5: Teorema del valor inicial (sólo

aplicable si f(t) está acotada):

� Teorema 6: Teorema del valor final (sólo

aplicable si f(t) está acotada): ( ) ( )sFstf

st⋅=

→∞→ 0limlim

( ) ( )sFstfst

⋅=∞→→

limlim0

( ) ( )s

sFdfL

t

=

⋅∫

0

ττ ( ) ( )n

t

n

t t

s

sFdddfL =

⋅⋅⋅∫∫ ∫ −

31 2

0

11

0 0

...... ττττ

Teoremas importantes de la transformada de Laplace(3/3)� Teorema 7: Traslación compleja:

� Teorema 8: Traslación temporal:

� Teorema 9: Convolución:

( )( ) ( )αα∓sFtfeL t =±

( ) ( )( ) ( )sFeTtuTtfLsT−=−⋅−

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )sFsFsFsFtftfL 212121 ** ⋅==

FDT

g(t)

x(t) y(t)

X(s) G(s) Y(s)=X(s)*G(s)=X(s)G(s)

L[x(t)]

L-1[Y(s)]

Transformada inversa de Laplace mediante la expansión de fracciones simples(1/2)

� Señal y sistema LTI de forma polinómica

� Raices simples

FDT

g(t)

x(t) y(t)

X(s) G(s) Y(s)=X(s)*G(s)=X(s)G(s)

L[x(t)]

L-1[Y(s)]

( )( ) ( ) ( )n

n

ss

k

ss

k

ss

ksY

++

++

+= ...

2

2

1

1

( ) ( )[ ]issii sYssk

−=+=

( )( )( )

2

2

N sG s

D s=( )

( )( )

1

1

N sX s

D s= ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

1 2

1 2

N s N sY s X s G s

D s D s= =

( ) tsn

i

iiekty

−

=

∑=0

7

s

us(t

)

Respuesta del cuadripolo RC ante una entrada en escalón

0 1 2 3 4 5 6

x 10-3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

From: U(1)

[s]

[us

(t)]

Ejemplo 2.3� Respuesta del cuadripolo RC ante una entrada en

escalón unitario

( )( )

( )tudt

tduRCtu s

s

e +=

( )RCs

sAV+

=1

1

( ) ( ) ( )

+

+=+

⋅==

RCs

k

s

k

RCsssAsUsU Ves

11

11 21

( )[ ]

( ) 11

1

/1

2

01

−=

⋅

+=

=⋅=

−=

=

RCs

s

ss

sURC

sk

sUsk ( ) RCt

s etu/

1−−=

Transformada inversa de Laplace mediante la expansión de fracciones simples(2/2)

� Raíces múltiples

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

i

i

i

i

ss

r

ir

r

ss

r

ir

ss

r

ir

ss

r

ir

sYssds

d

rA

sYssds

dA

sYssds

dA

sYssA

−=

−

−

−=

−

−=

−

−=

+

−=

+=

+=

+=

1

1

1

2

2

2

1

!1

1

!2

1

�

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ri

r

iirn

rn

r

irn ss

A

ss

A

ss

A

ss

k

ss

k

ssssss

sQsY

+++

++

++

+++

+=

+++=

−

−

−

.........

2

21

1

1

1

Ejemplo 2.4� Determinar el comportamiento dinámico de un barco ante una

entrada unitaria en el cambio del timón de éste. Con este propósito

se ha extraído un diagrama a bloques y un modelo de

comportamiento para un conjunto de velocidades válidas. Así, se observa que el ángulo dado en radianes del timón, provoca un

par de giro sobre el barco de , el cual provoca un giro

sobre el barco según la siguiente ecuación diferencial,

Por otro lado, el sistema de transmisión mecánica del timón de

control, x(t), al timón del barco, responde a:

Perturaciones

Barco Turbina Controador

Norte

x (t) α (t)

α (t)

δ (t) Perturbacione

s

Barco Turbina Transmisión

mecánica

Norte

P (t)

δ (t)

)(tδ

)(500)( ttPradNm δ⋅=

)(002.0)(10)( tPtt =+ αα ���

)()()( txtt =+ δδ �

8

Ejemplo 2.4

Perturaciones

Barco Turbina Controador

Norte

x (t) α (t)

α (t)

δ (t) Perturbacione

s

Barco Turbina Transmisión

mecánica

Norte

P (t)

δ (t)

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )110

002.0

500

1

1

3

2

1

+⋅==

==

+==

sssP

ssG

s

sPsG

ssX

ssG

α

δ

δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sGsGsGsXs 321 ⋅⋅⋅=α

( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0.1 1 0.1 1

0.1

1

1 2 1 1 2 2

+ +

+ + + =

+ + =

s

k

s

k

s

a

s

a

s s s s s α

( )[ ]

( )( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]09.0

11.0

9.0

1.01

11

1

1.02

11

0

2

1

0

2

2

=+=

−=+=

−=

=

==

−=

−=

=

=

s

s

s

s

ssk

ssk

ssds

da

ssa

α

α

α

α

( ) tt eett 1.0

9.0

10

9

111 −− −−−=α

Uso de Matlab en las transformadas de Laplace

� FDT y estímulo al escalón unitario

( ) ( )( )[ ] [ ]( )01210121

2

210

2

210

,

...

...

aaaaabbbbbtfg

sasasaa

sbsbsbb

sD

sNsG

nnmm

n

n

m

m

…… −−=>>

+++

+++==

>>%Circuito RC

>> g1 = tf(1,[1e-3 1])

>>step(g1)

>>%Control del barco

>> g2 = tf(0.1,poly([0 –0.1 -1]))

>>step(g2)

( )RCs

sAV+

=1

1

Perturaciones

Barc o T urbina Controador

No rte

x (t) α (t)

α (t)

δ (t) Perturbac ione

s

Barc o Turbina Transm is ión

mecánica

No rte

P (t)

δ (t)

( )( ) ( ) ( )

1 0.1

1 0.1

s

X s s s s

α=

+ +

Simulink (programación gráfica)

9

Problema 2.3� El sistema de control de una locomotora eléctrica está basado en una

estructura de realimentación negativa. La velocidad de mando es convertida en una señal eléctrica con ganancia unitaria, la cual es comparada con la tensión de salida de un sensor de velocidad del tren, con ganancia kDT. La señal de error ataca a un amplificador de tensión con ganancia k. Esta etapa se conecta con el motor eléctrico de la locomotora, generando la fuerza de empuje del tren. Se pide:

1. Para determinar la función de transferencia del motor, se le aplica una función en escalón de 100V a la entrada del motor. La fuerza de empuje se registra y describe la siguiente evolución temporal:

Obtener la FDT del motor.

2. Diagrama a bloques del sistema de control de la locomotora.3. Obtener el equivalente reducido de la FDT del motor, .

4. Empleando el equivalente reducido del anterior apartado, determinar la expresión analítica de la evolución temporal de la velocidad del tren ante una entrada escalón de 1V al sistema de realimentación.

� Datos:Masa del tren = 138 toneladas, k = 20, Constante de la dínamo, kDT = 1 [V/m/s]

( )

⋅+⋅−⋅=

−−1030 5.05.115000

tt

eetf

Problema 2.3

� Por la expresión temporal, la transformada de Laplace de la fuerza

del motor aplicando el teorema de traslación compleja y

descomposición en fracciones simples será del tipo:

� Para determinar km se aplicará el teorema del valor final:

( ) 31 2

1 1

30 10

kk kF s

ss s

= + +

+ +

( )( )

+

+

=

10

1

30

1ss

k

su

sF m

m

( )( )6

15000

10

1

30

1

100limlim

00=⇒=

+

+

=⋅→→

mm

ssk

ss

k

sssFs

( ) 30 105000 1 1.5 0.5t t

f t e e− −

= ⋅ − ⋅ + ⋅

Problema 2.3

�La relación entre la fuerza aplicada a la locomotora y su velocidad será:

( )( ) smsF

svvmf

T

TTT

⋅=⇒⋅=

1�

10

Problema 2.3

Problema 2.3 (casa)� Se desea el control automático de altura de un globo aerostático. Para

ello se dispone de un quemador de gas controlado eléctricamente, de

forma que ante una señal de referencia de 1 V, dicho quemador aporta 1 al aire contenido en el globo. Tras linealizar las ecuaciones, se

obtienen las siguientes ecuaciones que modelan su comportamiento:

� Para poder cerrar el lazo de control se dispone de un altímetro

electrónico cuyo cero se ha fijado a la altura de linealización de las ecuaciones. Dicho altímetro da una señal de 10 . La referencia al

sistema de control inicialmente se da por medio de un potenciómetro

lineal calibrado de forma que a un incremento de 1 metro en la referencia provoca un incremento en la tensión de referencia de 10 mV .

� Determinar el diagrama de bloques y la dinámica del globo ante una entrada en escalón unitario.

)(2)()(

)(1,0)(3,0)(

0tZtT

dt

tZd

tTtQdt

tTd

t

∆−∆=∆

∆−∆=∆

∫

segKcal

mmV

Problema del globo