Capitolul 7 Raspunsul in frecventa al circuitelor...

Capitolul 7 Raspunsul in frecventa al

circuitelor. Stabilitatea circuitelor cu reactie

7.1. Caracteristicile de frecventa ale functiilor elementare. Diagrame Bode

20 lg(A0)

lg ω

/A0/ (dB)

ϕ (A0)

lg ω A0 > 0

Constanta (A0)

.ctA0 =

7.1. Caracteristicile de frecventa ale functiilor elementare. Diagrame Bode

45o/dec

20dB/dec

/A1/ (dB)

20

90o

45o

ω0

ω0/10 10ω0 ϕ (A1)

lg ω

lg ω

Zero real negativ (A1)

01 j1A

ωω

+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

01 120A

ωωlg

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

01 arctgA

ωω

ϕ

Zero real negativ (A1) - continuare

0A10 →⇒<<ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→⇒>>

010 lg20A

ωω

ωω

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

01 1lg20A

ωω

Amplitudine

dB311lg20A10 =+=⇒=ωω

dB1411lg20A

2 10 =+=⇒=

ωω

( ) dB1dB67AdB741lg20A2

1

10

=−=⇒

≅+=⇒=

Δ

ωω

(asimptota joasa frecventa)

(asimptota inalta frecventa)

45o/dec

20dB/dec

/A1/ (dB)

20

90o

45o

ω0

ω0/10 10ω0 ϕ (A1)

lg ω

lg ω

Faza

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

01 arctgA

ωω

ϕ

( ) ( ) o10 00arctgA ==⇒<< ϕωω

( ) ( ) o10 90arctgA =∞=⇒>> ϕωω

( ) ( ) o10 451arctgA ==⇒= ϕωω

Zero real negativ (A1) - continuare



( ) ( ) o30 8410arctgA10 ≅=⇒= ϕωω

(eroare 6o) ( ) ( ) o30 61,0arctgA10/ ≅=⇒= ϕωω

(eroare 6o)

45o/dec

20dB/dec

/A1/ (dB)

20

90o

45o

ω0

ω0/10 10ω0 ϕ (A1)

lg ω

lg ω

-45o/dec

20dB/dec

/A2/ (dB)

20

-90o

-45o

ω0

ω0/10 10ω0 ϕ (A2)

lg ω

lg ω

Zero real pozitiv (A2)

02 j1A

ωω

−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

02 1lg20A

ωω

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

02 arctgA

ωω

ϕ

-45o/dec

-20dB/dec

/A3/ (dB)

-20

-90o

-45o

ω0

ω0/10 10ω0

ϕ (A3)

lg ω

lg ω

Pol real negativ (A3)

0

3j1

1A

ωω

+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

2

03 1lg20A

ωω

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

03 arctgA

ωω

ϕ

Pol real negativ (A3) - continuare

0A30 →⇒<<ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−→⇒>>

030 lg20A

ωω

ωω

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

2

03 1lg20A

ωω

Amplitudine

dB311lg20A30 −=+−=⇒=ωω

dB1411lg20A

2 30 −=+−=⇒=

ωω

( ) ( )( ) dB1dB67A

dB741lg20A2

3

30

−=−−−=⇒

−≅+−=⇒=

Δ

ωω



-45o/dec

-20dB/dec

/A3/ (dB)

-20

-90o

-45o

ω0

ω0/10 10ω0

ϕ (A3)

lg ω

lg ω

Pol real negativ (A3) - continuare

Faza

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

03 arctgA

ωω

ϕ

( ) ( ) o30 00arctgA =−=⇒<< ϕωω

( ) ( ) o30 90arctgA −=∞−=⇒>> ϕωω

( ) ( ) o30 451arctgA −=−=⇒= ϕωω



( ) ( ) o30 8410arctgA10 −≅−=⇒= ϕωω

(eroare 6o) ( ) ( ) o30 61,0arctgA10/ −≅−=⇒= ϕωω

(eroare 6o)

-45o/dec

-20dB/dec

/A3/ (dB)

-20

-90o

-45o

ω0

ω0/10 10ω0

ϕ (A3)

lg ω

lg ω

20dB/dec

/A4/ (dB)

20

90o

45o

ω0

ϕ (A4)

lg ω

lg ω

04 jA

ωω

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

04 lg20A

ωω

( ) o4 90A =ϕ

Zero simplu in origine (A4)

-20dB/dec

/A5/ (dB)

-20

-90o

-45o

ω0

ϕ (A5)

lg ω

lg ω

0

5j

1A

ωω

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

05 lg20A

ωω

( ) o5 90A −=ϕ

Pol simplu in origine (A5)

20n dB/dec

/A6/ (dB)

20n

90no

45no

ω0

ϕ (A6)

lg ω

lg ω

n

06 jA ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

06 lgn20A

ωω

( ) o6 90nA ×=ϕ

Zero multiplu in origine (A6)

-20n dB/dec

/A7/ (dB)

-20n

-90no

-45no

ω0

ϕ (A7)

lg ω

lg ω

n

0

7

j

1A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−=

07 lgn20A

ωω

( ) o7 90nA ×−=ϕ

Pol multiplu in origine (A7)

45no/dec

20n dB/dec

/A8/ (dB)

20n

90no

45no

ω0

ω0/10 10ω

0 ϕ (A8)

lg ω

lg ω

n

08 j1A ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ωω

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+×=

2

08 1lgn20A

ωω

0A80 →⇒<<ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×→⇒>>

080 lgn20A

ωω

ωω

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

08 arctgnA

ωω

ϕ

Zero real negativ multiplu (A8)

-45no/dec

-20n dB/dec

/A9/ (dB)

20n

-90no

-45no

ω0

ω0/10 10ω0

ϕ (A9)

lg ω

lg ω

n

0

9

j1

1A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+×−=

2

09 1lgn20A

ωω

0A90 →⇒<<ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−→⇒>>

090 lgn20A

ωω

ωω

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−=

09 arctgnA

ωω

ϕ

Pol real negativ multiplu (A9)

Factor cuadratic (A10)

( )20

02200

210s

Qs

1s2s

1sAω

ωωξω ++=

++=

ω0 = frecventa de rezonanta ξ  = factor de amortizare Q = factor de calitate 2

1Q =ξ

Determinarea polilor: din ecuatia caracteristica: Rezulta:

0sQ

ss2s 20

02200

2 =++=++ ωω

ωξω

200

2,1

2002,1

Q411j

Q2p

1jp

−±−=

−±−=

ωω

ξωξω

Factor cuadratic (A10) - continuare

200

2,12

002,1Q411j

Q2p1jp −±−=−±−= ω

ωξωξω

Situatii posibile: 1. Q < 0,5 (ξ > 1) ⇒ 2 poli reali negativi 2. Q = 0,5 (ξ = 1) ⇒ pol dublu 3. Q > 0,5 (ξ < 1) ⇒ 2 poli complex conjugati 4. Q → ∞ (ξ → 0) ⇒ 2 poli imaginari

- situatii deja analizate

Factor cuadratic (A10) – poli complex conjugati (Q > 0,5)

200

2,12

002,1Q411j

Q2p1jp −±−=−±−= ω

ωξωξω

( )

( )

( ) ( )( )

1Q4arctg11arctgp,pRep,pImarctgp,p

p,pQ4111p,pIm

Q2p,pRe

22

21

2121

021

202

021

0021

−±=−±==

=

−±=−±=

−=−=

ξϕ

ω

ωξω

ωξω


Caracteristica de frecventa

( )20

02200

210s

Qs

1s2s

1sAω

ωωξω ++=

++=

( ) ( ) 2

00

2

00

1020

jQj1

1

jj21

1jAjF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

==

ωω

ωω

ωω

ωω

ξ

ωωω

Se noteaza: . Rezulta: ( )200 /x;/u ωωωω ==

( )22uu

Qj1

1uuj21

1juF−+

=−+

=ξ

( )( )

( )( ) x4x1

1jxF;u4u1

1juF222222 ξξ +−

=+−

=

( ) 2u1u2arctgju

−−=

ξϕ


( ) ( ) ( ) ( ) x4x1lg20jxF;u4u1lg20juF 22dB

2222dB ξξ +−−=+−−=

Se noteaza:

Conditia de minim a functiei f(x) se obtine prin anularea derivatei acesteia: Deci, functia f(x) va avea un minim pentru x = 1-2ξ2 (echivalent cu existenta unui maxim al /F(jx)/dB ) numai daca ξ < 0,707 (sau Q > 0,707). Se va obtine un maxim pentru ωP avand expresia:

( ) ( ) ( ) 2222 xx241x4x1xf +−+=+−= ξξ

( ) ( ) 707,021021x0x224x'f 22 ≅<⇒>−=⇒=+−= ξξξ

02)x(''f >=

202

0PPeak2

Q2112121x −=−==⇔−= ωξωωωξ

Caracteristica de frecventa (continuare)


Valoarea acestui maxim este:

( ) ( ) ( )2222dB 214211lg20jxF ξξξ −++−−=

( )

22dB

Q411

Qlg2012

1lg20jxF−

=−

=ξξ



Trasarea diagramelor Bode (MODUL) pentru polii complex conjugati

( ) ( ) 2222dB u4u1lg20juF ξ+−−=

( )2

0

222

0dB 41lg20jF ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

ωω

ξωω

ω

( ) dB0jF dB0 →⇒<< ωωω

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅⇒>>

0dB0 lg40jF

ωω

ωωω



( ) )2lg(20jF dB0 ξωωω −=⇒=


Trasarea diagramelor Bode (MODUL) pentru polii complex conjugati (continuare) (daca EXISTA maxim: 0 < ξ < 0,707 sau Q > 0,707)

1. Se traseaza asimptotele: - la JF: 0dB pana in ω0 - la IF: o dreapta cu panta de -40dB/decada pornind din ω0 2. Se calculeaza ω = ωP pentru care se obtine maximul:

3. Se calculeaza valoarea maximului:

4. Se traseaza o curba care tinde asimptotic catre cele 2 axe (JF si IF) si care trece prin punctul de maxim (ωP, /FP/dB)

202

0PQ21121 −=−= ωξωω

22dBP

Q411

Qlg2012

1lg20F−

=−

=ξξ


Trasarea diagramelor Bode (MODUL) pentru polii complex conjugati (continuare) (daca NU EXISTA maxim: ξ > 0,707 sau Q < 0,707)

1. Se traseaza asimptotele: - la JF: 0dB pana in ω0 - la IF: o dreapta cu panta de -40dB/decada pornind din ω0 2. Se traseaza o curba care tinde asimptotic catre cele 2 axe (JF si IF)


Trasarea diagramelor Bode (FAZA) pentru polii complex conjugati

( ) 22 u1

uQ1

arctgu1u2arctgju

−−=

−−=

ξϕ

( ) 2

0

02

0

0

1

Q1

arctg

1

2arctgj

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

ωω

ωω

ωω

ωω

ξωϕ

00arctg0 =−→⇒<< ϕωω

o0 1800arctg −=−→⇒>> ϕωω

( ) o0 90arctg −=∞=⇒= ϕωω



1 10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010

-60

ω

ω

1 10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010

/A/ (dB)

ϕ (A)

-40

-20

0

20

40

60

80

90o

-180o -135o -90o

180o

135o

45o

-45o

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

4

24

10j1

10j1

10j1

10jAωω

ω

ω

Exemplul 1

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

3

43

10j1

10j1

10j1

10jAωω

ω

ω

1 10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010

-60

ω

ω

1 10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010

/A/ (dB)

ϕ (A)

-40

-20

0

20

40

60

80

90o

-180o -135o -90o

180o

135o

45o

-45o

Exemplul 2

Exemplul 3

vo

R

C

vi

-45o/dec

-20dB/dec

/H/ (dB)

-20

-90o

-45o

103 102 104

ϕ (H)

ω

ω

s10RC 3−=

( )

3

i

o

10j1

1RCj1

1Cj/1R

Cj/1vvjH

ωω

ωω

ω

+=

+=

=+

==

- + vi

vo

9R

R

C

Exemplul 4

45o/dec

-20dB/dec

/H/ (dB)

20

-90o

-45o

102 10 103

ϕ (H)

ω

ω

104

-45o/dec

s1011,1RC 3−×=

( )

2

3

i

o

10j110j1

10RCj91RCj9,0110

RRCj91

R9

1vvjH

ω

ω

ωω

ωω

+

+=

++

=

=+

+==

7.2. Raspunsul in frecventa al amplificatoarelor

A0

3dB

/A/(dB)

ωH

ωL

ω

7.2.1. Banda de frecventa


7.2.1. Banda de frecventa

La frecvente medii: -  condensatoarele de cuplaj si de decuplare sunt scurt-circuite -  condensatoarele interne ale dispozitivelor sunt circuite deschise

La frecvente joase: -  condensatoarele de cuplaj si de decuplare nu mai sunt scurt-circuite -  condensatoarele interne ale dispozitivelor sunt circuite deschise

La frecvente inalte: -  condensatoarele de cuplaj si de decuplare sunt scurt-circuite -  condensatoarele interne ale dispozitivelor nu mai sunt circuite deschise


7.2.2. Slew-Rate-ul (SR) amplificatoarelor operationale Slew-Rate-ul (SR) reprezinta viteza maxima de crestere a tensiunii de iesire a unui amplificator operational in CONDITII DE SEMNAL MARE.

Evaluarea performantei la semnal mare si inalta frecventa pentru un AO


- +

vi (t)

vo (t)

VI

vi (t)

t

Amplificarea in bucla inchisa are expresia:

af1aA+

=

Se considera un AO cu un singur pol:

H

0s1

aa

ω+

=

Circuitul fiind repetor, . Se obtine: 1f =

( ) ( )( )

( )( )

( ) ui

os1

1

sa11

1sa1sa

sVsVsA

ω+

≅+

=+

==

H0u a ωω =unde:

7.2.2. Slew-Rate-ul (SR) amplificatoarelor operationale

Semnalul de intrare are transformata Laplace:

Rezulta: Deci:

( )sVsV I

i =

( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=

=+

==

uI

u

Iio

s1

s1V

s1

1sVsAsVsV

ω

ω

( ) ( )tIOue1Vtv ω−−=


- +

vi (t)

vo (t)

VI

vi (t)

t


t10%

VI

vo(t)

t t90%

VI

vo(t)

t

( ) ( )

( ) ( )u

%10It

I

u%90I

tI

9,0lntV1,0e1V

1,0lntV9,0e1V

%10u

%90u

ω

ω

ω

ω

−=⇒=−

−=⇒=−

−

−

( )uu

%10%90r2,29lnttt

ωω≅=−=

Rezulta: 35,0ft2,2t urur ==ω sau

7.2. Raspunsul in frecventa al amplificatoarelor 7.2.2. Slew-Rate-ul (SR) amplificatoarelor operationale

Raspuns in timp estimat Raspuns in timp masurat



Diferenta majora intre cele doua raspunsuri in timp este cauzata de faptul ca analiza de SEMNAL MIC nu poate fi utilizata pentru a determina comportamentul circuitului in conditii de SEMNAL MARE.

Structura tipica a unui AO este:

- +

0

2IO

2IO vo (t)

CC

Q4

VOC -VCC

VCC t

VI

vi (t)

vi (t)

Q3

Q2 Q1

t 2IO

vo (t)

2IO



- +

0

2IO

2IO vo (t)

CC

Q4

VOC -VCC

VCC t

VI

vi (t)

vi (t)

Q3

Q2 Q1

t 2IO

vo (t)

2IO

La t = 0, semnalul de intrare creste de la 0 la VI (de ordinul voltilor), dar tensiunea de iesire nu raspunde instantaneu. Tensiunea mare de intrare aplicata AO va scoate complet AD de intrare din zona liniara. Prin urmare, iC2 = 0, iar iC1 = iC3 = iC4 = 2IO, curent ce va incarca condensatorul CC la o tensiune vO, cu o panta dvO/dt = SR:

ttanconsSRCI2

dtdvdtI2

C1vvt

0 C

OOO

CCO C

===== ∫


Efectul limitarilor introduse de SR asupra functionarii la semnal mare de intrare de tip sinusoidal


tsinVv oo ω=

Ideal, tensiunea de iesire va urmari tensiunea de intrare:

cu o viteza de variatie maxima a tensiunii de iesire avand expresia:

omax

o Vdtdv

ω=

a. Daca , vo va urmari perfect tensiunea de intrare

b. Daca , vo va fi afectata de distorsiuni puternice

omax

o Vdtdv

ω= omax

o Vdtdv

ω= omax

o Vdtdv

ω= omax

o Vdtdv

ω= omax

o Vdtdv

ω= omax

o Vdtdv

ω=

SRdtdv

max

o <

SRdtdv

max

o >

Frecventa maxima a semnalului de iesire de amplitudine maxima (aproximativ egala cu tensiunea de alimentare) nedistorsionat, fmax, se poate determina astfel:

OMmaxOMmax

max

oV2SRfSRV

dtdv

πω =⇒==

7.2.3. Analiza raspunsului in frecventa al amplificatoarelor elementare

A. Analiza directa •  presupune: - realizarea circuitelor echivalente pornind de la modelele de inalta frecventa ale dispozitivelor constitutive - determinarea setului de ecuatii specifice circuitului analizat - rezolvarea acestor ecuatii •  prezinta avantajul unui raspuns in frecventa exact

•  prezinta dezavantajul major al unei complexitati de calcul foarte ridicate

•  este utilizata in special in simulatoare


7.2.3. Analiza raspunsului in frecventa al amplificatoarelor elementare Exemple: etajele emitor comun/sursa comuna

C2

C3

gmv v vO vS

RS

r2 C1

r1

Modelul general al etajelor emitor comun/sursa comuna: Circuitul echivalent (echivalare Norton):

C2

C3

gmv v vO iS r2 C1

r10

1S10S

SS r//Rr

Rvi ==


7.2.3. Analiza raspunsului in frecventa al amplificatoarelor elementare Exemple: etajele emitor comun/sursa comuna Circuitul echivalent (echivalare Norton):

Ecuatiile potentialelor la noduri: Rezulta:

C2

C3

gmv v vO iS r2 C1

r10

( )( ) 3m232O

3OS1031vsCvggsCsCvsCvigsCsCv+−=++

+=++

( ) ( ) 2S1

3231212

S12

3m

S1

31

2

32

m

3

S1

12m

S

O

gGgCCCCCCs

GggCg

GgCC

gCCs1

gCs1

Rrrrg

vv

+++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++

++

+

−

+−=


7.2.3. Analiza raspunsului in frecventa al amplificatoarelor elementare Exemple: etajele emitor comun/sursa comuna Considerand ca circuitul are doi poli reali, p1 si p2, numitorul P(s) al amplificarii poate fi scris astfel: unde: Daca se presupune ca exista un pol dominant de inalta frecventa, /p1/ << /p2/, rezulta:

( ) 2

212121s

pp1s

p1

p11

ps1

ps1sP +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

( ) 221 sasa1sP ++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

211 p

1p1a

212 pp

1a =

11 a

1p −=2

12 a

ap −=


7.2.3. Analiza raspunsului in frecventa al amplificatoarelor elementare Exemple: etajele emitor comun/sursa comuna Se obtin urmatoarele expresii aproximative ale polilor:

( )( )( ) ( ) ( ) 3S12m32231S1

S12

3m

S1

31

2

3211 CR//rrgCCrCCR//r

1

GggCg

GgCC

gCC

1a1p

++++−=

++

++

++

−=−=

( )( ) ( )323121

3m31232S1

2

12 CCCCCC

CgCCgCCGgaap

++

+++++−=−=

3

2121

m

323121

3m2

CCCCC

gCCCCCC

Cgp++

−=++

−≅

Concluzii: -  analiza directa necesita un efort de calcul considerabil -  pentru analiza functionarii circuitului la frecvente inalte, daca zeroul nu este dominant, polul cel mai important este acela de modul minim, el determinand valoarea ωH (ωH = /p1/) -  daca C3 creste, ωP1 scade si ωP2 creste, producand indepartarea polilor (poles splitting) si justificand presupunerea /p1/ << /p2/


7.2.3. Analiza raspunsului in frecventa al amplificatoarelor elementare Exemple: etajele emitor comun/sursa comuna Cazuri particulare Sursa de tensiune de intrare ideala (RS = 0, GS = ∞) Amplificatorul are un singur pol. Sursa de curent de intrare ideala (RS = ∞, GS = 0). Considerand gm >> g1, g2, rezulta:

−∞=+

−= 232

21 p

CCgp

3m

211 Cg

ggp −=

3

2121

m2

CCCCC

gp++

−≅


7.2.3. Analiza raspunsului in frecventa al amplificatoarelor elementare

B. Metoda constantelor de timp •  se poate utiliza in situatia existentei unor poli dominanti si a unor zerouri ne-dominante

•  permite estimarea aproximativa a ωL si ωH

Functia de transfer a amplificatorului poate fi exprima astfel:

Un caz frecvent este cel in care functia de transfer are numai poli (sau zerourile nu sunt importante):

( ) nm,

ps1...

ps1

ps1

zs1...

zs1

zs1

Ksb...sbbsa...saasA

n21

m21n

n10

mm10 <

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+++

+++=

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

n21 ps1...

ps1

ps1

KsA


B. Metoda constantelor de timp Un caz practic important este cel in care unul din poli este dominant: Deci:

rezultand: Aproximatia este corecta cel putin pana la . Deci, expresia anterioara aproximativa va permite determinarea corecta a :

n21 p,...,pp <<

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−>>

n

2i i1 p1

p1

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

≅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=2

1

2

n

2

2

2

1 p1

K

p1...

p1

p1

KjAωωωω

ω

1p=ωdB3−ω

1dB3 p=−ω

7.2. Raspunsul in frecventa al amplificatoarelor 7.2.3. Analiza raspunsului in frecventa al amplificatoarelor elementare

B. Metoda constantelor de timp B1. Estimarea ωL utilizand metoda constantelor de timp de scurt-circuit Pentru un circuit avand n condensatoare de cuplaj si de decuplare, ωL poate fi determinat astfel: RiS reprezinta rezistenta echivalenta dintre terminalele condensatorului Ci, considerand toate celelalte condensatoare scurt-circuit.

∑=

≅n

1i iiSL CR

1ω


B. Metoda constantelor de timp B1. Estimarea ωL utilizand metoda constantelor de timp de scurt-circuit Exemplu: amplificatorul emitor comun

RC R2

RS

RE R1

vi

vo

RL

VCC

C2

C3

C1

-  3 condensatoare de cuplaj si de decuplare (C1, C2 si C3) -  2 condensatoare interne ale tranzistorului (Cπ si Cµ)


B. Metoda constantelor de timp B1. Estimarea ωL utilizand metoda constantelor de timp de scurt-circuit Exemplu: amplificatorul emitor comun (continuare)

RL RC

R1S

R1//R2

RS

RL RC

R2S

R1//R2 RS

RC//RL

RE R3S R1//R2 RS

1R//R//Rr//RR

r//RRRr//R//RRR

21SES3

oCLS2

21SS1

++

=

+=

+=

βπ

π

3S32S21S1

3

1i iiSL CR

1CR1

CR1

CR1

++=≅ ∑=

ω


B. Metoda constantelor de timp B2. Estimarea ωH utilizand metoda constantelor de timp de gol Pentru un circuit avand m condensatoare, ωH poate fi determinat astfel: RiO reprezinta rezistenta echivalenta dintre terminalele condensatorului Ci, considerand toate celelalte condensatoare considerate a fi circuite deschise. ωH depinde de toate condensatoarele din modelul de semnal mic si inalta frecventa al circuitului analizat. Limitari ale metodei: -  nu ofera informatii legate de polii ne-dominanti -  nu ofera informatii asupra zerourilor circuitului analizat

∑=

≅ m

1iiiO

HCR

1ω


B. Metoda constantelor de timp B2. Estimarea ωH utilizand metoda constantelor de timp de gol (continuare)

Exemple: etajele emitor comun/sursa comuna

∑=

≅ m

1iiiO

HCR

1ω

C2

C3

gmv v vO vS

RS

r2 C1

r1

Circuitul contine 3 condensatoare, deci va avea 3 constante de timp:

30330

20220

10110

RCRCRC

=

=

=

τ

τ

τ




R10

r2 v gmv r1

RS

R20

r2 v gmv r1

RS

( )S1110S110 R//rCR//rR =⇒= τ

2220220 rCrR =⇒= τ




R30

r2 v gmv r1

RS

r2 v gmv r1

RS iX vX

( ) ( )( )S1X

2mXS1XXR//riv

rvgiR//riv=

++=( )S12m2S1

X

X30 R//rrgrR//r

ivR ++==⇒

( )[ ]S12m2S1333030 R//rrgrR//rCCR ++==⇒τ




( ) ( )[ ]S12m2S1322S11302010H R//rrgrR//rCrCR//rC

11++++

=++

=τττ

ω

Se obtine: Pozitia zerorului ωZ se obtine din conditia ca semnalul prin condensatorul C3 sa anuleze semnalul prin sursa de curent controlata in tensiune:

C2

C3

gmv v vO vS

RS

r2 C1

r1

3m

Zm3Z C

gvgC/1

v=⇒=⇒ ω

ω


( )3m

232OvsCvg

gsCsCv+−=

=++

(a) (b)

Zva1

Zvvi

Zva1

Zvav

Zvvi

1v122

1v1v1211

)(

)(

+−=

−=

+=

+=

−=

21v

22

2

11

1

Zva

Zvi

Zvi

−==

=

Z1 Z2

Z

-avv1

i2

v1 v2

i1

-avv1

i2

v1 v2

i1

C. Teorema lui Miller

Za1aZZZ

a1ZZ

v

v2

v1 ≅

+=<<

+=⇒ ;


C2

C3

gmv v vO vS

RS

r2 C1

r1

C2+C3 gmv v

vO vS

RS

r2 CT

r1

Schema echivalenta (utilizand teorema lui Miller)

( )2m31T rg1CCC ++=

7.2. Raspunsul in frecventa al amplificatoarelor 7.2.3. Analiza raspunsului in frecventa al amplificatoarelor elementare C. Teorema lui Miller


Concluzii: -  aplicarea teoremei lui Miller conduce la obtinerea aceleiasi constante de timp dominante ca si in cazul utilizarii metodei constantelor de timp de gol: -  metoda poate fi aplicata nunai pentru amplificatoare inversoare avand un condensator cuplat intre intrare si iesire

( )S12m3 R//rrgC≅τ

C2+C3 gmv v

vO vS

RS

r2 CT

r1


C. Teorema lui Miller Exemple: etajele emitor comun/sursa comuna

7.2.4. Analiza raspunsului in frecventa al amplificatorului diferential

v1

RE CE

RS RS

RC RC vO

v2


Functionarea pe mod diferential (MD)

vid

RS

RC

vod

gmv v

vod vid

RS

RC//ro

CT rπ

( ) ( ) ( )( )STS

OCmid

oddd R//rCj1

1Rr

rr//RgjvvjA

ππ

πω

ωω++

−==

( )

)MD(H

0dddd

j1

AjA

ωω

ω+

= ( )S

OCm0dd Rrrr//RgA+

−=π

π

( ) ( ) ( )[ ]{ }OCmSTS)MD(H r//Rg1CCR//r

1CR//r

1++

==µπππ

ω

7.2. Raspunsul in frecventa al amplificatoarelor 7.2.4. Analiza raspunsului in frecventa al amplificatorului diferential

Functionarea pe mod comun (MC)

vic

RS

RC

voc

2RE CE/2

v

Cµ

gmv

RC

ro

2RE CE/2

Cπ rπ

RS

000E)MC(H

1µπ τττ

ω++

=

Aplicand metoda constantelor de timp de gol se obtine:



⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+=

1Rr//R2

2C S

EE

0E βτ π

RC

gmv

iX

iX

vX

RS

V1

2RE

v

Circuit pentru calculul τπ0

1SXX VRiv −=

XmXE

1 vgiR2V

+−=XmX

E

XSX vgiR2vRi

+−=−

⇒

Se obtin:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

=+

+== ππππππ τ r//

Rg21RR2Cr//

Rg21RR2r//

ivR

Em

SE0

Em

SE

X

X0



Circuit pentru calculul τµ0

-RC(iX+gmv)

2gmvRE

iX iX

vX

RC

gmv v

2RE

rπ

RS

( )v

RrRg21rR

RvRg2v

rvi

S

EmS

S

EmX

π

π

π

++=

++=

( ) ( )vgiRvRg2vv mXCEmX +++=

CSEm

mCS

X

X0 RR

Rg21gRR

ivR

+++≅=µ

Rezulta:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++≅ CS

Em

mCS0 RR

Rg21gRRCµµτ


Functionarea pe mod comun (MC) Observatie Amplificarea de mod comun are expresia aproximativa:

deci condensatorul CE/2 introduce un zero la ωZ avand expresia: ( )

( )EEE

C

EE

Ccc RCj1

R2R

Cj/2//R2RA ω

ω+−=−≅

EEZ CR

1−=ω

20db/dec

ωP

ωZ

RC/2RE

/Acc/

lg ω

20db/dec

-20db/dec

Acc creste o data cu cresterea frecventei


7.2.4. Analiza raspunsului in frecventa al amplificatorului diferential

7.3. Raspunsul in frecventa al amplificatoarelor cu reactie

7.3.1. Diagrama bloc a amplificatorului cu reactie

F1F2 XHY =

2RR1 YHX =

F1RF1R11F1 XHHXXXX −=−=

X1 , Y2 sunt curenti/tensiuni

Amplificarea globala: FR

F12

HH1H

XYH

+==

HF

HR

- X1

X1R

X1F Y2

Y2


7.3.2. Tipuri de reactie

- Reactie pozitiva: FHH > 1HH1 RF <+

Caz particular: reactie negativa puternica

- Reactie negativa:

Se defineste transmisia pe bucla: 1HHXXT RFF1

R1 >>== ( )FHH <<

RRF

F1T H

1HH

HH ==>>Rezulta: - independenta de amplificator

Concluzie: pentru reactie negativa puternica, amplificarea cu reactie depinde doar de reactie


FHH < 1HH1 RF >+

A. De-sensibilizarea amplificatorului

2RFRF

F

FF HH11

HH1H

dHd

dHdH

)( +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

FF

FF

FR HdH

F1

HdH

HH11

HdH

=+

=

T1HH1F FR +=+=

Reducerea distorsiunilor Reactia reduce efectul distorsiunilor.

7.3.3. Efectele reactiei


B. Imbunatatirea raspunsului in frecventa

Considerand ca amplificatorul direct este caracterizat de o functie de ordin I:

si ca exista o reactie negativa constanta, HR0, rezulta:

Deci:

( )

min

min

F

F0FF j1

j

HjH

ωω

ωω

ω+

=

( ) ( )( ) 0RF

FHjH1

jHjHωω

ω+

=

( )

minmin

min

F0R0F

F

F0F

jHHj1

jHjH

ωω

ωω

ωω

ω++

=

Pentru ωmin

lg ω

/HF/HF0/(dB)

ωFmin

H2

H1

-20dB/dec

20dB/dec

H1

H2

7.3. Raspunsul in frecventa al amplificatoarelor cu reactie 7.3.3. Efectele reactiei

Echivalent cu:

Se poate identifica forma urmatoare a H(jω):

unde:

( )( )

( )0R0FF

0R0FF

0R0F

0F

HH1j1

HH1j

HH1HjH

++

+

+=

min

min

ωω

ωω

ω

( )

min

min

ωω

ωω

ω j1

j

HjH 0+

=

0R0F

0F0 HH1

HH+

=0R0F

FHH1+

= minmin

ωω

H1

H2


B. Imbunatatirea raspunsului in frecventa Pentru ωmin

Concluzie: ω min pentru amplificatorul cu reactie se reduce cu acelasi factor cu care scade amplificarea

lg ω

/H/H0/(dB)

ωmin

H2

H1

-20dB/dec

20dB/dec


B. Imbunatatirea raspunsului in frecventa Pentru ωmin


Deci::

( )

maxF

0FF j1

HjH

ωω

ω+

=

( ) ( )( ) 0RF

FHjH1

jHjHωω

ω+

=

( )

maxF0R0F

0FjHH1

HjH

ωω

ω++

=

Pentru ωmax

lg ω

/HF/HF0/(dB)

ωFmax

-20dB/dec

si ca exista o reactie negativa constanta, HR0, rezulta:

Considerand ca amplificatorul direct este caracterizat de o functie de ordin I:


Echivalent cu:

unde:

( )

( )0R0FmaxF0R0F

0F

HH1j1

1HH1

HjH

+++

=

ωω

ω

( )

maxωω

ω j1

1HjH 0+

=

0R0F

0F0 HH1

HH+

= ( )0R0FF HH1+= maxmax ωω

Se poate identifica forma urmatoare a H(jω):

Produsul amplificare-banda este constant, H0 ωmax = HF0 ωFmax .



Pentru ωmax

lg ω

/H/H0/(dB)

ωmax

-20dB/dec

Concluzie: ω max pentru amplificatorul cu reactie creste cu acelasi factor cu care scade amplificarea



Pentru ωmax


Concluzie:

lg ω ωmin

ωFmin

ωFmax

ωmax

20 lg (1+HF0HR0)

/HF(jω)/ (dB)

H0

HF0

/H(jω)/ (dB)

/HF(jω)/

/H(jω)/


C. Impactul asupra rezistentelor de intrare/iesire

( )T1RR ii +='

( ) 1ii T1RR −+='

( )T1RR oo +='

( ) 1oo T1RR −+='

pentru reactie serie

pentru reactie serie

pentru reactie paralel

pentru reactie paralel


7.4. Stabilitatea circuitelor

7.4. Stabilitatea circuitelor 7.4.1. Generalitati Un circuit este stabil daca: -  amplitudinea semnalului de iesire descreste in timp la aplicarea unui semnal treapta pe intrare

sau

- un semnal de intrare de amplitudine limitata produce un semnal de iesire de amplitudine limitata Amplificarea in bucla inchisa a unui amplificator cu reactie are expresia: Pozitia polilor si zerourilor functiei de transfer A(s) determina comportamentul amplificatorului cu reactie.

( ) ( )( ) ( )

( )( )sT1sa

sfsa1sasA

+=

+=

7.4. Stabilitatea circuitelor 7.4.1. Generalitati Pozitia polilor si zerourilor functiei de transfer A(s) determina comportamentul amplificatorului cu reactie:

Poli reali - polii reali negativi s = - σ (σ > 0) vor conduce la obtinerea unui raspuns tranzitoriu de forma exp (- σ t), descrescator in timp -  polii reali pozitivi s = σ (σ > 0) vor conduce la obtinerea unui raspuns tranzitoriu de forma exp (σ t), tinzand la infinit (semnalul de iesire va fi limitat de amplificator)

- Poli complex conjugati -  polii complex conjugati s = - σ - j ω (σ > 0) vor conduce la obtinerea unui raspuns tranzitoriu de forma exp (- σ t) (Acos ωt + B sin ωt) - daca σ > ω, raspunsul tranzitoriu descreste rapid pentru un ciclu al sinusoidei - daca σ << ω, vor aparea multe oscilatii inainte de scaderea amplitudinii semnalului de iesire -  polii complex conjugati s = σ + j ω vor conduce la obtinerea unui raspuns tranzitoriu de forma exp (σ t) (Acos ωt + B sin ωt), a carui amplitudine creste in timp

Concluzie: Un sistem cu reactie este stabil numai daca toti polii functiei sale de transfer in bucla inchisa sunt plasati in partea stanga a planului complex s = σ + jω (echivalent cu o valoare negativa a partii reale a polilor).

7.4.2. Algoritm pentru evaluarea stabilitatii unui circuit 1. Se pasivizeaza tensiunea de intrare 2. Se intrerupe bucla de reactie intr-un punct 3. Se aplica o tensiune de test, Vt in acest punct 4. Se calculeaza tensiunea transmisa in acelasi punct in urma parcurgerii buclei de reactie, Vtr 5. Se calculeaza transmisia pe bucla, T = Vtr/Vt 6. Se traseasa diagramele Bode pentru T 7. Se traseaza o linie orizontala la –180o

A. Daca orizontala nu intersecteaza graficul fazei, circuitul este stabil B. Daca orizontala intersecteaza graficul fazei in punctul A, din A se ridica o axa verticala care va intersecta graficul modulului in punctul B

a. daca /T/B > 0, circuitul este instabil b. daca /T/B = 0, circuitul este la limita de stabilitate c. daca /T/B < 0, circuitul este stabil

8. Pentru circuite stabile se poate determina rezerva de faza astfel: - se noteaza cu C (pe graficul modulului) punctul in care /T/ = 0 - se coboara din punctul C o axa verticala care va intersecta graficul fazei in punctul D - rezerva de faza este Δϕ = 180o + ϕ(D)

C1 1µF

- vi vO

R3 90kΩ

R2 10kΩ

R1 1kΩ

+

C1 1µF

Vt Δv

Vtr

R3 90kΩ

R2 10kΩ

R1 1kΩ a Δv

7.4.3. Exemple Exemplul 1. Evaluati stabilitatea urmatorului circuit

( )

10j1

10ja5

ωω

+=

( )( )

( )( )

( )( )

( )[ ]

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

+++

+=

+++

+++

+

=

+++

===

2

34

3211

11

32

2

3211

112211

112

31C12

1C12

tt

tr

10j1

10j1

10j1

10T

R//RRCj1RCj1

RRRa

RRRCj1RCj1RRRCj1RCj1R

aT

RXR//RXR//Ra

Vva

VVT

ωω

ω

ωω

ωω

ωω

Δ


1 10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010

-60

ω

ω

1 10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010

/T/ (dB)

ϕ (T)

-40

-20

0

20

40

60

80

90o

-180o -135o -90o

180o

135o

45o

-45o

C

D

Δϕ = 90o

Linia orizontala la –180O nu intersecteaza diagrama de faza, deci circuitul este stabil.

C1 111nF

vi vO -

R3 9kΩ

R2 90kΩ

R1 1kΩ

+

C1 111nF

Vt Δv Vtr

R3 9kΩ

R2 90kΩ

R1 1kΩ

a Δv

( ) 2

5

5

10j1

10j1

10ja

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=ωω

ω


( )[ ]

2

53

23

3121

21

321

1

21

231

1

1C231

1

tt

tr

10j1

10j1

10j1

10j1

10T

RR//RCj1RCj1

RRRRa

RCj1RRR

RaT

X//RRRRa

Vva

VVT

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

+++

++=

+++

=

++===

ωωω

ω

ωω

ω

Δ


1 10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010

-60

ω

ω

1 10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010

/T/ (dB)

ϕ (T)

-40

-20

0

20

40

60

80

90o

-180o -135o -90o

180o

135o

45o

-45o

-270o -225o

B

A

C

D Δϕ = 0o

Linia orizontala la –180O intersecteaza diagrama de faza in A, /TB/ = 0, deci circuitul este la limita de stabilitate (Δϕ = 0).

7.5. Compensarea in frecventa a amplificatoarelor operationale

Compensarea presupune imbunatatirea raspunsului in frecventa al unui sistem format din amplificator si retea de reactie, in vederea evitarii oscilatiilor.

Circuitul compensat trebuie sa ramana stabil pentru o plaja larga de variatie a capacitatii de sarcina.

Compensarea cu condensator Miller pe etajul al doilea de amplificare al unui AO


V1

Cm

Vo

CP1 go1

-gm2 -gm1

V-

V+

CL go2


( ) ( )( ) 12mm12OLmO

1mmO1Om1P1VgsCVgsCsCV

VVgsCVgsCsCV−=++

−−=++ −+

Rezulta:

( ) 221

2m

m2O2m1O1m

Osasa1

gCs1RgRg

VVVsa

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

=−+


( ) ( )( ) 2O1OLm1PL1Pm2

2O1Om2m1Om1P2OLm1RRCCCCCCa

RRCgRCCRCCa++=

++++=

unde:



ω p1' ≅1a1

=1

Cm +CL( )RO2 + CP1 +Cm( )RO1 + gm2CmRO1RO2

ω p1' ≅1

Cmgm2RO1RO2=ω p1A2

CP1Cm

ω p1 =1

RO1CP1

ω p2' ≅a1a2

=Cm +CL( )RO2 + CP1 +Cm( )RO1 + gm2CmRO1RO2

CmCP1 +CLCP1 +CmCL( )RO1RO2

ω p2' ≅gm2

CP1 +CL +CP1CLCm

=ω p2A2

1+ CP1Cm

+CP1CL

ωP2 =1

RO2CL

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

's1

's1

s1asa

2P1P

ZO

ωω

ω 2O2m1O1mO RgRga =

m

2mZ C

g=ω

Considerand ωP1’ << ωP2’, se obtine: A2 = gm2RO2


ωP1’, ωP2’ – cu condensator de compensare Cm ωP1, ωP2 – fara condensator de compensare Cm


Cand Cm creste, ωP1’ scade si ωP2’ creste, indepartandu-se unul de celalalt (pole splitting) si validand, astfel, presupunerea ωP1’ << ωP2’.

Compensarea cu condensator Miller pe etajul al doilea de amplificare al unui AO ωP1’ ωP2’

-60

ω

ω

/T/ (dB)

ϕ (T)

-40

-20

0

20

40

60

80

90o

-180o -135o -90o

180o

135o

45o

-45o

ωP1 ωP2

Rezerva de faza Δϕ = 90o


Capitolul 7 Raspunsul in frecventa al circuitelor...

Documents

Transcript of Capitolul 7 Raspunsul in frecventa al circuitelor...