SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE ENERGIA IDE ENERGIA I

Funcionamento das linhas aéreas

Capacidade linearCapacidade linear

Campo eléctrico à volta de 2 condutoresCampo eléctrico à volta de 2 condutores

SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE ENERGIA IDE ENERGIA I

CAPACIDADE SEM TERRA

Q-Q

1 2

r1 r2

0

q 1v (V)4 r

=πε

120 8,85x10−ε =

1m

Combinando os dois condutores e estendendo a 1m da linha, o potencial num ponto P é dado por

Potencial v à distância rde uma carga pontual q

PD

2R1 2R2 22

p0 1

rQV ln4 r

= πε

r1- distância à linha 1r2- distância à linha 2

ou

2p

0 1

rQV ln2 r

=πε

Potencial à superfície dos condutores

22

0

RQV ln2 D

≈πε1

0 1

Q DV ln2 R

≈πε

SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE ENERGIA IDE ENERGIA I

Diferença de potencial

21 2

0 1 0 1 2

RQ D Q DV V ln ln ln2 R D R R

− = − ≈ πε πε

Capacidade (por metro)

10

1 2

1 2

QC F.mDv v lnR R

−πε=

−

Se RSe R1 1 = R= R2 2 = R= R

10C F.mDlnR

−πε=

SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE ENERGIA IDE ENERGIA I

Para n condutores ...

nk

pk 1 0 k

Q 1v ln2 r=

=πε∑

Expressão Geral (n condutores)

EXEMPLOSCaso Simples – condutores em triângulo (s/ terra)

a b ca

0 0 0

QQ Q1 1 1v ln ln ln2 R 2 D 2 D

= + +πε πε πε

D D2R

D

e vb e vc ? .......Parece simples

SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE ENERGIA IDE ENERGIA I

Matricialmente ...

kkQ 0=∑(... usando !)

a a

b b0

c c

Dln 0 0Rv Q

1 Dv 0 ln 0 . Q2 R

v QD0 0 lnR

= π ε

ii

0

Q Dv ln2 R

=πε

Porquê?

Assim, para qualquer fase:

e

10i

i

2QC F.mDv lnR

−πε=

C é a capacidade por fase ...

SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE ENERGIA IDE ENERGIA I

CAPACIDADE Com TERRAAssim é simplesIsto foi desprezando a

influência da terra ...

Será que a terra tem influência no cálculo Será que a terra tem influência no cálculo das capacidades?das capacidades?

Porque é que complicam sempre que isto é simples?

É claro que sim. O campo eléctrico é alterado...

SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE ENERGIA IDE ENERGIA I

Como vamos resolver o problema?

Com o Método das ImagensMétodo das Imagens

SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE ENERGIA IDE ENERGIA I

Com n condutoresn

kk 1

Q 0=

=∑e

nk

pk 1 0 k

Q 1v ln2 r=

=πε∑

rk – distância do ponto P ao condutor kEXEMPLOS

Linha trifásica

2H D1 D2

Q1 Q2

-Q1 -Q2

2R

D D

Q3v1 v2 v3

-Q3

SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE ENERGIA IDE ENERGIA I

1º Caso – Linha não transposta

31 2 1 21

0 0 0

QQ Q D D2Hv ln ln ln2 R 2 D 2 2D

= + +πε πε πε

31 1 2 12

0 0 0

QQ D Q D2Hv ln ln ln2 D 2 R 2 D

= + +πε πε πε

31 2 2 13

0 0 0

QQ D Q D 2Hv ln ln ln2 2D 2 D 2 R

= + +πε πε πε

sob a forma matricial V = P Q

1 2

1 11 1

2 20

3 32 1

D D2Hln ln lnR D 2Dv QD D1 2Hv ln ln ln . Q

2 D R Dv QD D 2Hln ln ln

2D D R

= πε

SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE ENERGIA IDE ENERGIA I

2º Caso – Linha transposta

Resolver em casa ?... Que seca!...

Mas assim aprendo...

2

1 2

10

3

2 H .DR

D .D

2

2C F .m

ln

−π ε=

3º Caso – Linha trifásica com n cabos de guardaCaso geral

Matricialmente ...

1 111 12 13 11 12 1n

2 221 22 23 21 22 2n

3 331 32 33 31 32 3n

CG1 11 12 13 11 12 1n C0

CG2 21 22 23 21 22 2n

nnCGn n1 n2 n3 n1 n2

V Qa a a b b bV Qa a a b b bV Qa a a b b b

1V Qc c c d d d. .2V c c c d d d

V c c c d d d

= πε

G1

CG2

CGn

Q

Q

SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE ENERGIA IDE ENERGIA I

Em que :- aij – influência da carga do condutor j na tensão do

condutor i- bij – influência da carga do cabo de guarda j na

tensão do condutor i- cij – influência da carga do condutor j na tensão do

cabo de guarda i- dij – influência da carga do cabo de guarda j na

tensão do cabo de guarda i

Mas

VCG1=VCG2= ... = VCGn = 0

Porquê?

Podemos então simplificar e ...

[ ] [ ] CGfases fases0 0

1 1V . A . Q . B . Q2 2

= + πε πε

[ ] [ ] [ ] CGfases0 0

1 10 . C . Q . D . Q2 2

= + πε πε

Da última equação ...

[ ] [ ]1CG fasesQ D . C . Q− = −

SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE ENERGIA IDE ENERGIA I

e finalmente ...

[ ] [ ] [ ] [ ]{ }1fases fases fases

0

1V A . Q B . D . C . Q2

− = − πε

simplificando ...

[ ] [ ] [ ] [ ]{ }1fases fases

0

1V A B . D . C Q2

− = − πε

Parece-me que já vi a matriz A em qualquer sítio...

E se tiver apenas um cabo de guarda a matriz D parece-me fácil de calcular... Que lhes parece?