SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE ENERGIA IDE ENERGIA I
Funcionamento das linhas aéreas
Capacidade linearCapacidade linear
Campo eléctrico à volta de 2 condutoresCampo eléctrico à volta de 2 condutores
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CAPACIDADE SEM TERRA
Q-Q
1 2
r1 r2
0
q 1v (V)4 r
=πε
120 8,85x10−ε =
1m
Combinando os dois condutores e estendendo a 1m da linha, o potencial num ponto P é dado por
Potencial v à distância rde uma carga pontual q
PD
2R1 2R2 22
p0 1
rQV ln4 r
= πε
r1- distância à linha 1r2- distância à linha 2
ou
2p
0 1
rQV ln2 r
=πε
Potencial à superfície dos condutores
22
0
RQV ln2 D
≈πε1
0 1
Q DV ln2 R
≈πε
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Diferença de potencial
21 2
0 1 0 1 2
RQ D Q DV V ln ln ln2 R D R R
− = − ≈ πε πε
Capacidade (por metro)
10
1 2
1 2
QC F.mDv v lnR R
−πε=
−
Se RSe R1 1 = R= R2 2 = R= R
10C F.mDlnR
−πε=
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Para n condutores ...
nk
pk 1 0 k
Q 1v ln2 r=
=πε∑
Expressão Geral (n condutores)
EXEMPLOSCaso Simples – condutores em triângulo (s/ terra)
a b ca
0 0 0
QQ Q1 1 1v ln ln ln2 R 2 D 2 D
= + +πε πε πε
D D2R
D
e vb e vc ? .......Parece simples
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Matricialmente ...
kkQ 0=∑(... usando !)
a a
b b0
c c
Dln 0 0Rv Q
1 Dv 0 ln 0 . Q2 R
v QD0 0 lnR
= π ε
ii
0
Q Dv ln2 R
=πε
Porquê?
Assim, para qualquer fase:
e
10i
i
2QC F.mDv lnR
−πε=
C é a capacidade por fase ...
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CAPACIDADE Com TERRAAssim é simplesIsto foi desprezando a
influência da terra ...
Será que a terra tem influência no cálculo Será que a terra tem influência no cálculo das capacidades?das capacidades?
Porque é que complicam sempre que isto é simples?
É claro que sim. O campo eléctrico é alterado...
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Como vamos resolver o problema?
Com o Método das ImagensMétodo das Imagens
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Com n condutoresn
kk 1
Q 0=
=∑e
nk
pk 1 0 k
Q 1v ln2 r=
=πε∑
rk – distância do ponto P ao condutor kEXEMPLOS
Linha trifásica
2H D1 D2
Q1 Q2
-Q1 -Q2
2R
D D
Q3v1 v2 v3
-Q3
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1º Caso – Linha não transposta
31 2 1 21
0 0 0
QQ Q D D2Hv ln ln ln2 R 2 D 2 2D
= + +πε πε πε
31 1 2 12
0 0 0
QQ D Q D2Hv ln ln ln2 D 2 R 2 D
= + +πε πε πε
31 2 2 13
0 0 0
QQ D Q D 2Hv ln ln ln2 2D 2 D 2 R
= + +πε πε πε
sob a forma matricial V = P Q
1 2
1 11 1
2 20
3 32 1
D D2Hln ln lnR D 2Dv QD D1 2Hv ln ln ln . Q
2 D R Dv QD D 2Hln ln ln
2D D R
= πε
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2º Caso – Linha transposta
Resolver em casa ?... Que seca!...
Mas assim aprendo...
2
1 2
10
3
2 H .DR
D .D
2
2C F .m
ln
−π ε=
3º Caso – Linha trifásica com n cabos de guardaCaso geral
Matricialmente ...
1 111 12 13 11 12 1n
2 221 22 23 21 22 2n
3 331 32 33 31 32 3n
CG1 11 12 13 11 12 1n C0
CG2 21 22 23 21 22 2n
nnCGn n1 n2 n3 n1 n2
V Qa a a b b bV Qa a a b b bV Qa a a b b b
1V Qc c c d d d. .2V c c c d d d
V c c c d d d
= πε
G1
CG2
CGn
Q
Q
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Em que :- aij – influência da carga do condutor j na tensão do
condutor i- bij – influência da carga do cabo de guarda j na
tensão do condutor i- cij – influência da carga do condutor j na tensão do
cabo de guarda i- dij – influência da carga do cabo de guarda j na
tensão do cabo de guarda i
Mas
VCG1=VCG2= ... = VCGn = 0
Porquê?
Podemos então simplificar e ...
[ ] [ ] CGfases fases0 0
1 1V . A . Q . B . Q2 2
= + πε πε
[ ] [ ] [ ] CGfases0 0
1 10 . C . Q . D . Q2 2
= + πε πε
Da última equação ...
[ ] [ ]1CG fasesQ D . C . Q− = −
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e finalmente ...
[ ] [ ] [ ] [ ]{ }1fases fases fases
0
1V A . Q B . D . C . Q2
− = − πε
simplificando ...
[ ] [ ] [ ] [ ]{ }1fases fases
0
1V A B . D . C Q2
− = − πε
Parece-me que já vi a matriz A em qualquer sítio...
E se tiver apenas um cabo de guarda a matriz D parece-me fácil de calcular... Que lhes parece?
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