Cap 3 w y e 68-84

Cuaderno de Trabajo: Física I

3)Trabajo y Energía

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo68


3) Trabajo y Energía

3,1) Trabajo de una fuerza, Fwr

{B

A

rFA B r

W F drτ

τ

→ ⋅≡ ∫rr

r

1

r r

4243

El trabajo de una fuerza Fw es una integral de línea a través de la τ.

El Fw dependerá del conocimiento de ( )F F r≡r r

en cada punto de la τ, el

vector drr

es un desplazamiento elemental. Como toda integral de línea se deberá parametrizar τ.

El Fw se puede “entender” como la evaluación total del efecto de la fuerza F

en el desplazamiento del cuerpo.

CASO PARTICULAR: F cte≡uurr

.FA B ABW F rτ

→ ≡ ∆r r r

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

A

Fr

τ B

m ABr∆r

drr

F⊥ F

θ F//

A B

∆rAB

69


W → + ,Si F // ∆ ABrr

W → 0 ,Si F ⊥ ∆ ABrr

W → - ,Si F// ∆ ABrr

µ[W] ≡ Nm ≡ Joule ≡ J

3,2) Energía, E

Es la capacidad que posee un cuerpo o sistema para realizar trabajo.

Tipos de Energía:

i) Energía Cinética, Ek

Energía vinculada a la velocidad que poseen los cuerpos.

21

2kE mv=

ii) Energía Potencial, Ep

Energía asociada a la configuración del sistema para la cual se define.Es una energía que corresponde al sistema. Depende de cómo están distribuidos los elementos del sistema.


vr

m 0

70


i) Ep Gravitacional: Epg

1 2pg

Gm mE

r

−=

Caso Particular de Epg:

→ pgE mgh=

∆Ep: √; El nivel es irrelevante!

ii) Ep Elástica, Epe

→ Sistema Elásticos→ Sistema m – k ideal

Configuración del sistema: x{x deformación del resorte)

21

2peE kx≡


m2

r

m1

m

h

NIVEL

PE: Posición de equilibrio

k m F 0 x m x x

71


∆Epe: Nuevamente la cantidad importante son los cambios de esta energía, con lo cual la referencia no es importante.

Es posible lograr una ecuación similar de Epe para todo sistema elástico.

iii) Energía Mecánica, EM

Es la energía constituida por la energía cinética y la energía potencial de una partícula. Observar que no es una energía que describa alguna propiedad de la partícula. Resulta una definición conveniente, como veremos.

M K P

KT KR pg pe

E E E

E E E E

≡ +≡ + + +

3.3) Relaciones entre W y E, R ≡ R (W,E)

El trabajo y la energía están íntimamente conectados, reflejándose dicha conexión en sendas relaciones comparables a la Segunda Ley de Newton por un lado, y a Leyes de Conservación, por otro.

i) ( ),RF KR R W E≡r

Esta relación es una forma elegante de la Segunda ley de Newton.

2

11 2 .FR r

RrW F dr→ ≡ ∫

r r r

12

*

. .FR dv dv

W m dr m drdt dt

≡ ≡ ∫ ∫

r r rr r

14243

ˆˆ ˆx y zv v i v j v k= + +r

ˆˆ ˆdr dxi dyj dzk= + +r



(*) { }ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ.yx zdvdv dv

i j k dxi dyj dzkdt dt dt

= + + + +

∫

yx z

dvdv dvdx dy dz

dt dt dtα

= + +

∫123

x

y

z

dx v dt

dy v dt

dz v dt

=← = =

2 21 1

2 2x

x x x

dv dv dt v dt v

dt dtα → = =

∫ ∫

Y por simetría operacional,

{ }2 2 2 21 1

2 2x y zv v v v≡ + + ≡

2

12

1

2.12

FR dvW m dr

dtm v ≡ ≡

∫

r rr

2

1k kE E= = ∆

RFkW E→ = ∆

r

FKk RW E F ma= ∆ ↔ =

r r r

ii) R = R (WFNC, ∆EM)

Esta relación muestra como las Fnc son capaces de cambiar la EM mostrando claramente su carácter no conservativo. Sin embargo, esto proporcionara las condiciones para que dicha energía se conserve.

Fnc = Fuerza no conservativa: Esta fuerza no conserva la EM.



NCFWr

= Trabajo de la Fnc

∆Q; ∆EM

50 J de Ek a 50J de Q (forma de energía no mecánica)

Conoceremos mejor a estas fuerzas mediante las Fc: Fuerzas conservativas.

Fc = Son fuerzas que conservan la EM.

Están definidas por Fc = - ∇U

∇: Operador Nabla

U: Función potencial escalar

U = Ep (Energía Potencial)

Toda Fc tendrá asociada una energía potencial: Fc ↔ Ep

cFr

pE

Fg ≡ W Epg

Felásticas Epe

Esto debe ser así debido a que el rotor del gradiente siempre es nulo, lo cual significa que el trabajo de estas fuerzas, en cualquier trayectoria cerrada, siempre es cero,

( ) ( ) 0 ( ) 0F U U U∇ × = ∇ × −∇ ≡ −∇ × ∇ = → ∇ × ∇ =r rr

El operador nabla se define así,

ˆˆ ˆd d di j k

dx dy dz

∇ ≡ + +

Ahora, si una fuerza es conservativa, cF F=r r

, entonces, deberá satisfacer de

la condición de rotor nulo,



y yx x z zF FF F F F

y x z x z y

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂≡ ≡ ≡∂ ∂ ∂

∧ ∧∂ ∂ ∂

Esto es, la fuerza ˆˆ ˆx y zF F i F j F k= + +

r r r r deberá de cumplir simultáneamente

las tres ecuaciones en derivadas parciales cruzadas.

Otra forma equivalente de identificar a las fuerzas conservativas ( )cFr

es

mediante la independencia de su W según cualquier trayectoria τ.

2

11 2

.r

cr

FWF dr cte

τ∀

→≡ ≡∫

r

r

rr r

Finalmente, podríamos decir según la definición de estas fuerzas, que el CF

pW E≡ −∆r

, ecuación que será muy útil para efecto de determinar

relaciones importantes.

Regresando a la FNC:

→ No están definidas por la ecuación Fnc = - ∇U

→ ∃ pU E= asociada

NCFW→ depende de la τ

NCFW→ no es evaluable por la ecuación NCFpW E≡ −∆

r

De todo lo anterior,


1 Fc

τ1 τ2 2 τ3

75


NCFMW E≡∆

¿? Probar esta relación partiendo de la primera relación donde la

R c ncF F F= +r r r

.

Conservación de la EM: Para que la energía mecánica se conserve,

0 0NCFME W∆ ≡ → ≡

→ ∃ NCF ∨r

→ Mi MfE E≡

En general,

Como NCFM Mf MiW E E E≡ ∆ ≡ − , entonces,

NCFMf MiE E W≡ +

3,4) Potencia, P

Es la cantidad física escalar que informa la rapidez de realizar trabajo o energía.

i) Potencia media, PM:


NCFr

∆r

76


m

WP

t=

∆

ii) Potencial Instantánea, P:

( )0

limt

W dWP t

t dt∆ →

≡ = ∆

( ) .P t F v≡r r

[ ] Ju P watt W

s= = ≡

S3P18) Una pequeña piedra de 0,10 kg se deja en libertad desde su posición de reposo en el punto A, en el borde de un tazón hemisférico de radio R = 0,60 m. Suponga que la piedra es pequeña en comparación con R, así que puede tratarse como una partícula. El trabajo efectuado por la fricción sobre la piedra al bajar de A y B en el fondo del tazón es –0,22 J,¿Qué rapidez tiene la piedra al llegar a B?,


( )v tr

( )F tr

A R

V

B77


SOLUCION:

w = 0,1 R = 0,6 VB =?

wr

: fuerza conservativa

f, N : fuerzas no conservativas.

WFnc = ∆EM, FNC ≡ f

fA B MB MAW E E→ = −r

EM = Ek + Epg

21

2fA B kB pgA BW E E mv mgR→ = − = −r

( ) ?2

¿fB A Bv W mgR

m →= + ≡r

¿? Se podrá resolver usando RFkW E≡ ∆

r

2RF

B A Bv Wm →=

r

RF w NW W W= +r rr

fW+r

↓


A R R

nivel m

B Bvr

N fr

wr

78


.ww w r wR≡ ∆ =r r r

¿2

?RFB A Bv W

m →= ≡r

S3P1) Sobre una partícula actúa la fuerza

( ) ( ) jzyyzxizyxzyxF ˆ23ˆ23,,

++≡r

N:

a) ¿Es Fr

una fuerza conservativa?b) Si a) es afirmativo, halle la función potencial escalar, U (x,y,z).c) Halle la energía potencial si para un problema particular U (1,0,1) ≡ 1.d) ¿El movimiento es en el plano? Discuta.

SOLUCION:

( ) ( ) { } { }2 2ˆ ˆ, , 3 3

x yF F

F r F x y z xy z i x yz zy j= = + +r r

14243 14243

a) cF F→r r

?

0F∇ × =rr

derivadas parciales cruzadas

y yx x z zF FF F F F

y x z x z y

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= ∧ = ∧ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

6xyz = 6xyz ∧ 3xy2 ≠ 0…La ultima ecuación no es correcta…la fuerza es no conservativa!

¿? Como modifica el problema para que F sea conservativa y terminar el problema.

S3P2) Dado el siguiente campo de fuerzas,

( ) ( ) ( ) ( ) kzzjyixxzyxF ˆˆ12ˆ,, 32 +++++≡r

,

a) Demuestre que el campo de fuerzas es conservativo.b) Halle la energía potencial asociada para U (1,1,1) ≡ 0.c) De una curva de energía potencial que represente un caso físico

concreto.



SOLUCION:

( ) ( ) ( ) ( )2 3 ˆˆ ˆ, , 2 1F x y z x x i y j z z k≡ + + + + +1424314243 14243

a) 0 0Fx Fy

y x

∂ ∂≡ → ≡∂ ∂

, 0 0Fx Fz

z x

∂ ∂≡ → ≡∂ ∂

, 0 0Fy Fz

z y

∂ ∂≡ → ≡∂ ∂

{ } /c pF F U E F U→ ∴∃ ≡ ≡ −∇r

b) U ≡ U(x,y,z)

F ≡ Fc ≡ - ∇U

. .F dr U dr≡ −∇r r123

ˆˆ ˆU U UU i j k

x y z

∂ ∂ ∂∇ ≡ + +∂ ∂ ∂

ˆˆ ˆdr dxi dyj dzk∧ = + +r

.U U U

U dr dx dy dz dUx y z

∂ ∂ ∂∇ ≡ + + ≡∂ ∂ ∂

r

.F dr dU≡ −r r

: .U F dr≡ −∫ ∫r r

Para determinar U se puede integrar Fr

tal como lo indica la Ec anterior,

{ }x y zU F dx F dy F dz≡ − + +∫Analizando la ∫ por cada componente e introduciendo una “cte” funcional en

cada caso:

:x U Fxdx≡ −∫



{ } ( )3 2

2 ,3 2 x

x xU x x dx c y z

≡ − + ≡ − + +

∫

: yy U F dy≡ −∫

{ } { } ( )22 1 ,yU y dy y y c x z≡ − + ≡ − + +∫

: zz U F dz≡ −∫

{ } ( )4 2

3 ,4 2 z

z zU z z dz c x y

≡ − + ≡ − + +

∫

Ahora, comparando los resultados parciales, se obtiene,

{ } ( )3 2 4 2

2( , , ) , ,3 2 4 2 p

x x z zU x y z y y c E x y z

≡ − + − + − + + ≡

ˆˆ ˆc x y zF U F i F j F k→ ≡ −∇ ≡ + +

r

Donde la constante c se determina por la condición que caracteriza al problema físico, Ep (1,1,1) ≡ 0

{ }1 1 1 11 1

3 2 4 2c

≡ + + + + +

Ep ≡ (x,y,z) / c ≡ 43/12

c) c1) Ep de un núcleo atómico


Ep

0 R r

81


c2) Ep de sistema m - k

c3) Ep de sistema planetario o sistema atómico

¿? Podría proponer dos curvas más de Ep.

S3P34) El cuerpo A que pesa 4 kg se suelta desde el reposo sobe una superficie circular lisa AB para después moverse sobre la superficie horizontal BC, cuyo


Ep

-A A x

Ep

r

A

k 8 m C

D 12 m B82


coeficiente de rozamiento es µ = 0,2. En el punto C está colocado un resorte de constante k = 103 N/m:

a) Halle la normal sobre el cuerpo al pasar por B.b) ¿Cuánto se comprime el resorte?

SOLUCION:

m = 4 AB = liso k = 103

VA = 0 BC = rugoso µ = 0,2

a) NB=?

DCL (m) al pasar por B,

2B

cp B

mvF N w

R≡ − =

2

,BB

vN w m w mg

R= + =

?Bv =

Analizando de A → B: WFnc ≡ 0, Fnc = N

→EmA ≡ EmB

2 212

2MA A MB B BE Epg mgR E mv v gR≡ ≡ ≡ ≡ → ≡

23B

gRN mg mx mg

R≡ + =

b) Sea la compresión dada por DE, DE=∆x?


0 A

k 0 B

0

Fcp

w B

NB

C E D

83


: ; NCF fNC MD E F f W E=− ∃ ≡ ≡ ∆

rrr

→ -f (12 + ∆X) ≡ EME - EMB

{ } ( )21 12

2 2k x m gR≡ ∆ −

2( ) 0 / ka x b x c f mgµ→ ∆ + ∆ + ≡ ≡

?x→ ∆ ≡


Cap 3 w y e 68-84

Documents

Transcript of Cap 3 w y e 68-84