04/21/23 1

BAB. 6 (Impuls dan Momentum)

04/21/23 2

Tujuan Instruksional:

Setelah pertemuan ini mahasiswa, dapat menentu-

kan besaran-besaran mekanika dengan mengguna-

kan konsep Impuls-Momentum

04/21/23 3

Hukum kedua Newton dapat ditulis, F dt = dp

Besaran F dt disebut impuls.

I = Δp o

p

p

t

tddto

ppFpF 0

Satuan, I = p, kg m s-1 dimensi [M L T-1]

Pengertian Impuls (I) dan Momentum (p).

Penyataan p disebut dengan momentum linear.

Hasil kali gaya (F) dengan selang waktu lamanya gaya tersebut bekerja (Δt), F (Δt) = m (v – vo).

Pendahuluan.

04/21/23 4

Impuls (F dt), dapat dihitung jika gaya (F) beru-pa tetapan atau sebagai fungsi waktu.

dtt

t

t

1 2

1

FFGaya rata-rata,

Bila F yang bekerja pada benda sebagai penyebab terjadinya impuls lebih dari satu maka formula ga-ya berlaku F = Fi.

Lanjutan.

04/21/23 5

Momentum Linear :

zz

yy

xx

mvp

mvp

mvp

m

vp

04/21/23 6

Benda m = 2 kg memiliki vo = 5 m s-1. F = 6 N bekerja selama 3 detik (searah) sehingga v-nya berubah. Berapakah besar perubahan p, v dan lin-tasan yang di tempuh ?

Contoh.

Penyelesaian.

Impuls, F Δt = (6 N)(3 s) = 18 N s, (besar impuls)

Perubahan momentum, Δp = m (v - vo) = (2 kg)(v – 5 m s-1)

Persm, 18 N s = (2 kg)(v – 5 m s-1) 14 m s-1 = v

04/21/23 7

Lintasan, r = ro + vo t + ½ a t2

Sambungan.

= 15 m + 13,5 m = 28,5 m.

r = 0 + 5 (3) + ½ (6 N/2 kg)(3s)2.

04/21/23 8

Hukum Kekekalan Momentum

Dua (atau lebih) partikel, dapat tersusun menjadi

sistem partikel bebas.

Partikel bebas (ideal): partikel yang tidak mela-kukan interaksi dengan partikel lain (sistem, par-tikel di luar sistem tersebut).

Bila dua benda (lebih) dalam sistem partikel be-

bas melakukan interaksi, maka jumlah p benda-

benda tersebut besarnya tetap, asalkan tidak ada

gaya dari luar yang bekerja pada sistem tersebut

(ΣFl = 0).

04/21/23 9

Menurut prinsip partikel bebas, hukum pertama Newton akan memiliki momentum tetap.

Sehingga berlaku, P = p1 + p2 = m1 v1 + m2 v2.

Massa partikel pertama m1 kecepatan v1, dan partikel kedua m2 kecepatan v2 .

Lanjutan.

Jika dalam kesempatan lain kedua partikel terse-but mengalami perubahan kecepatan misal men-jadi v1

! dan v2!.

Jumlah momentumnya sekarang,

P! = m1 v1! + m2 v2

!

04/21/23 10

Kedua kejadian di atas diberlakukan dalam sistem partikel yang bebas, berarti P = P! .

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1! + m2 v2

!.

Persm di atas dikenal sebagai hukum kekekalan mo-mentum.

Lanjutan.

04/21/23 11

Contoh.

Sistem peluru-senapan mula-mula diam. Massa se napan 0,8 kg melepaskan peluru massa 0,016 kg dengan v = 700 m s-1. Hitunglah v sentakan (ge-rak mundur) senapan sesaat setelah senapan mengeluarkan peluru ?

Penyelesaian.

Pada awalnya sisten peluru-senapan diam artinya p sistem senapan nol.

Senapan meletus (peluru lari dari senapan) dan senapan tersentak ke belakang.

Hukum kekekalan p dalam bentuk, persm sebagai berikut:

04/21/23 12

ms vs + mp vp = 0 - ms vs = mp vp

1-1

s m 14 kg 8,0

)s m 700)(kg 016,0(

s

pps m

m vv

v sentakan senapan (v mundur) sebesar 14 m s-1

04/21/23 13

Contoh.

Peluru massa m dilepaskan dari senapan massa M.

Senapan dapat terlempar ke belakang secara be-

bas. Peluru ke luar senapan dengan kecepatan vo

(relatif). Tunjukkan kecepatan nyata peluru relatif

terhadap tanah adalah dan senapan mundur de

ngan besar kecepatan dan

1ov

1

ov

M

m

Penyelesaian.

(M + m) v = m vp + M vs .

Dari soal berlaku v = 0 sehingga - m vp = M vs.

Kecepatan mundur senapan, vs = vp - vo.

04/21/23 14

Dari kedua persm diperoleh,

- m vp = M (vp - vo) atau M vo = (m + M) vp

1

1

os

o

so

s

vv

M

m

vM

m

vMm

vmv

vp = vs + vo.

Dari momentum, 0 = m (vs + vo) + M vo.

Maka, - m vo = vs (M + m)

11

op

op

op

vv

M

mv

vMm

vMv

Lanjutan.

04/21/23 15

Contoh.

Bola baja m = 50 g, jatuh dari ketinggian h = 1 m pada permukaan papan tebal (horisontal). Tentu-kan momentum total yang diberikan bola pada pa pan setelah terpental beberapa kali. Bila setiap kali terpental kecepatan bola berkurang k = 1,25.

Penyelesaian.

v bola menumbuk papan dari ketinggian h ada-lah, v = √2 g h = 4,2.. m s-1 .

Momentum sebelum tumbukan pertama p1 = m v.

p akhir setelah tumbukan pertama p!1 = m (- v/k),

tanda (-) karena berbalik arah.

04/21/23 16

Δp bola setelah tumbukan pertama, Δp1 = p!1 – p1 =

- m v [(1/k) + 1].

p awal sebelum tumbukan kedua, p2 = m (v/k).

p akhir setelah tumbukan kedua p!2 = m (- v/k2).

Δp bola setelah tumbukan ke dua,

Δp2 = p!2 – p2 = - m (v/k) [(1/k) + 1].

Dengan cara yang sama, untuk Δp bola setelah

tumbukan ketiga, Δp3 = - m (v/k2) [(1/k) + 1].

Contoh.

04/21/23 17

Δp total bola:

Δp = Δp1 + Δp2 + Δp3 = - m v (k + 1)/k (1 + 1/k

+ 1/k2 + ……

1

1

11

11

k

kvm

kk

kvmp

p yang diberikan pada papan adalah Δp! = - Δp yang

nilainya,11 s m kg 2,0

125,1

125,1)s m 2,4)(kg 05,0(

p

Lanjutan.

04/21/23 18

Sebuah kereta massa M dapat bergerak bebas tanpa gesekan di atas sebuah lintasan lurus. Mula-mula ada N orang masing-masing dengan massa m berdiri diam di atas kereta yang juga berada pada keadaan diam. Tinjau 2 kasus.

Contoh.

a. Kasus pertama, semua orang di atas kereta ber-lari bersama menuju salah satu ujung kereta dengan laju relatif terhadap kereta vr dan kemudian melompat turun bersama-sama. Be-rapakah kecepatan kereta setelah orang-orang tersebut melompat turun?

b. Kasus kedua, kereta dan semua orang mula- mula diam. Kemudian, semua orang lari bergan-tian. Jadi orang pertama lari meninggalkan ke-

04/21/23 19

Lanjutan.

reta dengan laju relatif terhadap kereta vr. De-mikian seterusnya sampai orang ke-N. Bera-pakah kecepatan akhir kereta ?

Teori yang mendasari, Hukum kekekalan momen-tum linear

a. kekekalan momentum linier, 0 = M v + N m (v – vr) Jadi, r

Nmv v

M Nm

b. tinjau kondisi saat transisi dari n orang ke n-1 orang.

Penyelesaian.

c. Pada kasus mana kecepatan akhir kereta lebih tinggi?

04/21/23 20

Lanjutan.

p mula mula, Pn = M Vn + n m Vn

p akhir, Pn-1 = M Vn-1 + (n-1) m Vn-1 + m (Vn-1 – vr)

Kekekalan p, (M + m) Vn = (M + n m) Vn-1 – m vr

Didapat, Jika 1 lagi melompat turun, didapat

1r

n n

mvV V

M nm

2 1r r

n n

mv mvV V

M nm M n m

1 1

sr

n s ni

mvV V

M n i m

dalam bentuk umum,

04/21/23 21

Lanjutan.

Pada mulanya, n = N, Vn = 0. Kecepatan akhir di

dapat saat s = N,

Karena maka kecepatan pada ka-

sus b lebih besar daripada pada kasus a.

01 11

N Nr r

i n

mv mvV

M N i m M nm

1

1N

n

N

M nm M Nm

04/21/23 22

Hukum Ketiga Newton.

Ditinjau sistem bebas, terdiri dari dua partikel (dua partikel tersebut yang boleh berinteraksi).

Hukum kekekalan p dapat disusun sebagai ber-ikut:

Δp1 = - Δp2 m1 (v1! – v1) = - m2 (v2

! – v2)

Persm di atas menginformasikan dua partikel bebas berinteraksi akan melakukan pertukaran p satu dengan yang lain.

Di dalam sistem tertutup p yang hilang dari par-tikel satu diterima oleh partikel yang lain.

04/21/23 23

Seandainya perubahan p, berjalan dengan waktu yang cukup singkat dt, sehingga dari keadaan tersebut diperoleh persm:

dt

d

dt

d 21 pp

212

121 dan F

pF

p

dt

d

dt

d

F12 artinya gaya yang dialami oleh partikel satu sebagai hasil interaksi dengan partikel dua, dan

Lanjutan.

F21, gaya yang dialami oleh partikel dua sebagai hasil interaksi dengan partikel satu.

04/21/23 24

Dari pernyataan tersebut di atas dapat disusun,

F12 = - F21

Persm di atas dikenal sebagai hukum ketiga

Newton (hukum aksi-reaksi).

Hukum aksi-reaksi, yaitu pasangan gaya yang

besarnya sama tetapi arahnya berlawanan dan

bekerja pada dua benda.

Lanjutan.