Bab 1c final rev YS 18 juli · Pada sebuah katr ol dilewatkan seutas tali kuat. Pada salah satu...

of 20/20
Mekanika I 44 1.79. Sebuah bola baja bermassa m = 50 g jatuh dari ketinggian h = 1,0 m pada permukaan horisontal sebuah papan tebal. Tentukan momentum total yang diberikan bola pada papan setelah terpental beberapa kali, bila setiap kali tumbukan kecepatan bola berkurang η = 1,25 kali! Jawab: Ketika bola dijatuhkan dari ketinggian h maka energi potensial diberikan menjadi energi kinetik (mgh = 1 2 mv 2 ) atau v = 2gh . Momentum sebelum tumbukan pertama: P 1 = mv Momentum akhir setelah tumbukan pertama: P1 = m - v η ( 29 (tanda negatif karena bola berbalik arah). Jadi, perubahan momentum bola setelah tumbrukan pertama: P 1 = P1 - P 1 P 1 = -mv 1 1 η + Tumbukan kedua. Momentum awal: P 2 = m v η Momentum akhir setelah tubrukan kedua: P' 2 = -m v η 2 Jadi, perubahan momentum setelah tubrukan kedua: P 2 = P2 - P 2 P 2 = -m v η 1 1 η + Dengan cara yang sama, untuk tubrukan ketiga: P 3 = -m v η 2 1 1 η + Dengan demikian, perubahan total momentum bola: P = P 1 + P 2 + P 3 = -mv η η + ( 29 1 1 1 1 2 + + + η η ... = -mv η η + ( 29 1 1 1 1 - η atau, P = -m 2gh η η + ( 29 - ( 29 1 1 Jadi, momentum yang diberikan pada papan: P’ = -P dengan memasukkan angkanya kita peroleh: P’ = 0,2 kg.m/s.
  • date post

    19-Oct-2020
  • Category

    Documents

  • view

    4
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Bab 1c final rev YS 18 juli · Pada sebuah katr ol dilewatkan seutas tali kuat. Pada salah satu...

  • Mekanika I44

    1.79. Sebuah bola baja bermassa m = 50 g jatuh dari ketinggian h = 1,0 mpada permukaan horisontal sebuah papan tebal. Tentukan momentumtotal yang diberikan bola pada papan setelah terpental beberapa kali,bila setiap kali tumbukan kecepatan bola berkurang η = 1,25 kali!

    Jawab: Ketika bola dijatuhkan dari ketinggian h maka energi potensial

    diberikan menjadi energi kinetik (mgh = 12 mv2) atau v = 2gh .

    Momentum sebelum tumbukan pertama:

    P1 = mv

    Momentum akhir setelah tumbukan pertama:

    P’1 = m-vη( )

    (tanda negatif karena bola berbalik arah).

    Jadi, perubahan momentum bola setelah tumbrukan pertama:

    ∆P1 = P’1 − P1

    ∆P1 = -mv1

    +

    Tumbukan kedua.

    Momentum awal: P2 = mv

    η

    Momentum akhir setelah tubrukan kedua:

    P'2 = -mv

    η2

    Jadi, perubahan momentum setelah tubrukan kedua:

    ∆P2 = P’2 − P2

    ∆P2 = -mv

    η

    11

    η+

    Dengan cara yang sama, untuk tubrukan ketiga:

    ∆P3 = -mv

    η21

    +

    Dengan demikian, perubahan total momentum bola:

    ∆P = ∆P1 + ∆P2 + ∆P3

    = -mvη

    η

    +( )1 1 1 12

    + + +

    η η

    ...

    = -mvη

    η

    +( )1 11

    1−

    η

    atau,

    ∆P = -m 2ghη

    η

    +( )−( )

    1

    1

    Jadi, momentum yang diberikan pada papan: ∆P’ = -∆P denganmemasukkan angkanya kita peroleh: ∆P’ = 0,2 kg.m/s.

  • Mekanika I 45

    M

    m1

    m

    1.80. Seorang bermassa m berdiri di atas sebuah rakit yang bermassa M.Orang ini kemudian bergerak dengan kecepatan v' (dan percepatan a')relatif terhadap rakit sejauh L'. Hitung perpindahan rakit relatifterhadap pantai! Hitung juga gaya mendatar yang dikerjakan olehorang itu terhadap rakit selama gerakan!

    Jawab:

    (a) Anggap rakit bergerak dengan kecepatan VR dan orangbergerak relatif terhadap rakit dengan kecepatan V0.

    Momentum orang (terhadap tanah) m(V0 - VR)Momentum rakit (terhadap tanah) -MVR.

    m(V0 - VR) - MVR = 0

    VR = m

    M mV

    + 0

    Waktu yang diperlukan orang menempuh L adalah L

    V

    '

    0Jadi perpindahan rakit menurut pantai adalah

    L = VR . t = m

    M mV

    + 0L

    V

    '

    0

    = m

    M m+L'

    (b) Dari persamaan L di atas kita bisa katakan bahwa percepatanrakit adalah:

    a = ma

    M m

    '

    +Dengan hukum Newton, kita peroleh bahwa besarnya gaya yangdiberikan orang pada rakit adalah:

    F = mMa

    M m

    '

    +

    1.81. Pada sebuah katrol dilewatkan seutas tali kuat. Pada salah satu ujung talitergantung sebuah tangga dengan seorang bermassa m berada di dasartangga. Pada ujung lain digantungkan beban bermassa M. Orang inikemudian naik setinggi h' relatif terhadap tangga, lalu berhenti. Abaikanmassa tali dan gesekan, hitung perpindahan pusat massa sistem!

    Jawab: Anggap orang (m) naik sejauh x1 dari posisi semula dantangga (M - m) turun sejauh x2 dari posisi semula. Karena tali tidaklentur maka beban M naik sejauh x2 (akibat turunnya tangga).Perubahan posisi pusat massa sistem adalah

    ∆= mx M m x Mx

    M m M m

    1 2 2− −( ) ++ + −( )

    = m x x

    M

    1 2

    2

    +( )

    = mh

    M

    '

    V0

    VR

    M

    m

    M

    m

  • Mekanika I46

    1.82. Sebuah meriam bermassa m meluncur di atas bidang miring dengansudut miring α. Setelah meriam menempuh jarak l sebuah peluruditembakkan dalam arah mendatar dengan momentum P. Sebagaiakibatnya, meriam berhenti. Anggap massa peluru diabaikan biladibandingkan dengan massa meriam, tentukan lama tembakan.

    Jawab: Kecepatan meriam setelah menempuh jarak l (gunakan

    mgh = 12 mv2) adalah:

    v = 2gl sinα

    Momentum awal meriam:

    P1 = m 2gl sinα

    Selama t detik gravitasi memberikan impuls sebesar (mg sin α)t.Komponen momentum arah sejajar bidang miring harus bisamengalahkan impuls gravitasi dan momentum awal ini sehingga

    P cos α = m 2gl sinα + (mg sin α)tatau

    t = P m gl

    mg

    cos sin

    sin

    α α

    α

    − 2

    1.83. Sebuah peluru bermassa m ditembakkan ke dalam suatu balok bermassaM yang digantungkan oleh dua utas tali dengan panjang l. Balok iniberayun sedemikian sehingga tali membentuk sudut θ (maksimum)dengan vertikal. Anggap m ! M, hitung:(a) kecepatan peluru sebelum menumbuk balok;(b) energi kinetik yang berubah menjadi panas.

    Jawab:

    (a) Kenaikan balok setelah peluru masuk adalah:

    ∆h = l − l cos θKetika balok naik energi kinetik diubah menjadi energi potensial.Sehingga:

    12 (M + m)v’

    2 = (m + M)g∆hv’ disini adalah kecepatan balok setelah ditumbuk peluru.

    Sekarang perhatikan tumbukan peluru dengan balok:

    Sebelum tumbukan: P = mv

    Sesudah tumbukan: P = (M + m)v’

    Karena momentum kekal (balok dan peluru dianggap benda titik)maka:

    mv = (M + m)v’

    Dari persamaan energi dan persamaan momentum di atas kita peroleh:

    v = 2M m

    m

    +

    gl sin

    θ

    2

    α

    θ l

  • Mekanika I 47

    Bila m ! M, maka;

    v =2M

    m

    gl sin

    θ

    2

    (b) Energi kinetik awal sistem:

    Ek = 12 mv

    2

    Energi kinetik akhir sistem setelah tumbukan inelastis:

    Ek' = 12 (M + m)v'

    2

    = 12m v

    M m

    2 2

    +( )Jadi energi yang hilang adalah:

    ∆Ek =Ek M

    M m+( )

    1.84. Sebuah cakram kecil bermassa m diletakan di atas benda bermassa Myang terletak pada bidang datar licin. Cakram kemudian diberikecepatan v. Hitung sampai ketinggian berapa cakram ini akan naiksetelah meninggalkan benda M! Abaikan semua gesekan.

    Jawab: Cakram m dan benda M akan bertumbukan. Anggap ketikacakram mencapai ujung atas bidang, kecepatan M (dan m) arah mendataradalah vx.

    Kekekalan momentum arah sumbu x:

    mv = (M + m)vxKekekalan energi (tumbukan elastik) di ujung bidang, cakram punya2 komponen kecepatan vx dan vy.

    12 mv

    2 = 12 m(vx2 + vy

    2 ) + 12 Mvx2

    Benda m akan lepas dari M dengan kecepatan vy. Ketinggian yang akan

    dicapai adalah h (gunakan 12 mvy2 = mgh).

    vy = 2gh

    Dari ketiga persamaan diatas kita akan peroleh:

    h = Mv

    g M m

    2

    2 +( )

    1.85. Sebuah benda kecil bermassa m meluncur ke bawah suatu bukit licin dariketinggian h tanpa kecepatan awal. Di dasar bukit benda mengenai papanbermassa M. Karena gesekan antara benda dan papan, benda diperlambatdan kemudian bergerak bersama papan dengan kecepatan sama. Hitung usahatotal yang dilakukan oleh gaya gesekan dalam proses ini!

    Jawab:

    Massa m jatuh dari ketinggian h. Dengan mengingat bahwa

    m

    M

    vx

    vy

  • Mekanika I48

    energi potensial diubah menjadi energi kinetik (mgh = 12 mv2),

    kecepatan benda m di dasar bukit adalah:

    v = 2gh

    Tumbukan antara massa m dan papan (momentum kekal):

    mv = (M + m)v’

    Dari kedua persamaan di atas kita peroleh nilai v'.

    Usaha yang dilakukan gaya gesekan papan dengan benda samadengan perbedaan energi kinetik:

    W = ∆Ek = Ek' − EkDimana

    Ek = 12 mv

    2

    dan

    Ek’ = 12 (M + m)v’

    2

    Dari persamaan-persamaan di atas kita peroleh,

    W = -mMgh

    M m+

    1.86. Sebuah batu jatuh bebas dari ketinggian h. Batu menghantam tanah

    dengan kecepatan v0 = 2gh relatif terhadap bumi. Hitung kecepatan

    batu ketika menghantam tanah dilihat oleh orang yang berada dalamsuatu kerangka A jatuh (bukan naik) dengan kecepatan v0!

    Jawab: A akan melihat batu bergerak naik dengan kecepatan v0diperlambat oleh g.

    Posisi batu menurut A adalah

    Y = v0t - 12 gt

    2

    setelah waktu t0 = v0g

    Y = v0t0 - 12 gt0

    2

    Posisi batu setelah menempuh jarak h = v0t0 - h

    dimana t0 = v0g

    Jadi, h = 12 gt02

    t02

    = 2hg

    v

    g

    0

    2

    2=

    2hg

    →v0 = 2gh

    1.87. Sebuah benda bermassa 1 kg bergerak dengan kecepatan vr

    1 = 3,0 ir

    − 2,0 jr

    menumbuk secara tidak lenting sama sekali benda lain yang bermassa

    2 kg yang sedang bergerak dengan kecepatan vr

    2 = 4,0 jr

    − 6,0kr

    . Tentukan

    kecepatan benda-benda ini setelah tumbukan! (semua satuan dalam MKS).

  • Mekanika I 49

    Jawab: Pada tumbukan tidak elastik, setelah tumbukan kedua bendaakan bergerak dengan kecepatan sama.

    (m1 + m2)vr

    = m1vr

    1 + m2vr

    2

    atau,

    vr

    = m v m v

    m m

    1 2

    1 2

    1 2

    r r++

    Dengan memasukkan nilainya, kita peroleh:

    vr

    = 1,0 ir

    + 2,0 jr

    − 4,0kr

    Besar kecepatannya: v = 4,6 m/s

    1.88. Tentukan perubahan energi kinetik dari suatu sistem yang terdiri dari duabenda masing-masing bermassa m1 dan m2 yang bertumbukan secara tidaklenting sama sekali, bila kecepatan awal benda-benda ini adalah v1 dan v2!

    Jawab: Pada tumbukan tidak elastik, kecepatan sesudah tumbukandari kedua benda sama besar.

    Hukum kekekalan momentum:

    (m1 + m2)v = m1v1 + m2v2

    Energi kinetik awal sistem

    Ek = 12 m1v1

    2 + 12 m2v22

    Energi kinetik akhir sistem

    Ek’ = 12 (m1 + m2)v

    2

    Perubahan energi kinetik

    ∆Ek = Ek’ − EkDengan menyelesaikan persamaan di atas, kita peroleh:

    ∆Ek = -m m v v

    m m

    1 2 1 22

    1 22

    −( )+( )

    1.89. Suatu partikel A bermassa m1 menumbuk secara lenting sempurna partikelB yang diam dan bermassa m2. Hitung berapa bagian energi kinetik partikelA yang hilang, bila:(a) partikel A menyimpang tegak lurus dari gerakan semula!(b) tumbukannya adalah tumbukan sentral!

    Jawab:

    (a) Anggap u adalah kecepatan partikel A sebelum tumbukan. AnggapvA dan vB adalah kecepatan A dan B setelah tumbukan.

    Momentum arah sumbu x:

    m1u + 0 = 0 + m2vB cos θMomentum arah sumbu y:

    A

    θ

    B

  • Mekanika I50

    0 = m1vA − m2vB sin θKekekalan energi kinetik (tumbukan elastik):

    12 m1u

    2 = 12 m1vA2 + 12 m2vB

    2

    Dari ketiga persamaan di atas kita akan peroleh:

    v

    u

    A( )2 = m mm m

    2 1

    1 2

    −+

    Energi yang hilang dari partikel A:

    ∆Εk = 12 m1u2 − 12 m1vA

    2

    Dan bagian energi kinetik yang hilang dari partikel A adalah:

    ∆ = =+

    ∆EE

    m

    m m

    k

    k

    2 1

    1 2

    (b) Pada tumbukan sentral, partikel A dan B akan bergerak padaarah sumbu x.

    Kekekalan momentum:

    m1u = m1vA + m2vB

    Kekekalan energi kinetik:

    12 m1u

    2 = 12 m1vA2 + 12 m2vB

    2

    Dari kedua persamaan di atas, kita peroleh:

    u = m m v

    m

    B1 2

    12

    +( )

    dan

    vA = m m v

    m

    B1 2

    12

    −( )

    Bagian energi kinetik partikel A yang hilang:

    ∆ = 12

    2−

    v

    u

    A = 1 1 2

    1 2

    2− −

    +

    m m

    m m

    atau

    ∆ = 4 1 2

    1 22

    m m

    m m+( )

    1.90. Partikel 1 bertumbukan elastik dengan partikel 2 yang diam. Tentukanperbandingan massa kedua partikel, bila:(a) setelah tumbukan sentral, partikel-partikel bergerak berlawanan dengan

    kecepatan sama!(b) setelah tumbukan, partikel-partikel bergerak secara simetri dengan sudut

    60o!

  • Mekanika I 51

    Jawab:

    (a) Kekekalan momentum:

    m1u1 = m1v1 − m2v2dimana, u1 adalah kecepatan awal partikel 1.

    Karena |vr

    1| = |v

    r

    2| = v

    maka, v = m u

    m m

    1 1

    1 2−Kekekalan energi kinetik:

    12 m1u1

    2 = 12 m1v12 + 12 m2v2

    2

    Selanjutnya dari persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh:

    m

    m

    1

    2

    = 1

    3

    (b) Karena partikel terpisah secara simetris pada sudut 60o, θ1 +θ2 = 60

    o, maka θ1 = 30o dan θ2 = 30

    o.

    Kekekalan momentum:

    Arah sumbu x:

    m1u1 = (m1v1 + m2v2) cos 30o

    Arah sumbu y:

    m1v1 sin 30o = m2v2 sin 30

    o

    Kekekalan Energi:

    12 m1u1

    2 = 12 m1v12 + 12 m2v2

    2

    Dari persamaan-persamaan diatas kita peroleh:

    4 cos2 30o = 1 + m

    m

    1

    2atau

    m

    m

    1

    2

    = 2

    1.91. Sebuah peluru bergerak dengan kecepatan v = 500 m/s. Peluru inikemudian pecah menjadi tiga bagian yang sama sehingga energi kinetiksistem meningkat η = 1,5 kali. Hitung kecepatan terbesar dari antaraketiga komponen ini!

    Jawab:

    Kekekalan momentum:

    mv = m

    3v1 +

    m

    3v2 +

    m

    3v3

    1 2

    θ1θ2

  • Mekanika I52

    Karena η = 1,5, maka

    η = 12 1

    2 12 2

    2 12 3

    2

    12

    23 3 3

    mv

    mv

    mv

    mv

    ( ) + ( ) + ( )

    3ηv2 = v12 + v2

    2 + v32

    Dari persaman di atas kita peroleh,

    3ηv2 = 2v12 + 2v2

    2 + 9v2 − 6vv1 + 2v1v2 − 6vv2atau,

    2v12 − 2v1(3v − v2) + [(9 − 3η)v

    2 + 2v22 − 6vv2] = 0

    Dengan menggunakan rumus abc kita akan peroleh v1. Pada rumus abc,nilai yang berada dalam akar (diskriminan) haruslah lebih besar atausama dengan nol. Dengan kata lain:

    4(3v − v2)2 − 4?2 [(9 − 3η)v2 + 2v2

    2 − 6vv2] > 0dengan menyelesaikan dan menyederhanakan persamaan di atas diperoleh:

    v2 > v(1 + 2 2η − )Jadi,

    v2(maksimum) = v(1 + 2 2η − )

    = 1 km/s

    1.92. Partikel 1 yang bergerak dengan kecepatan v = 10 m/s menumbuk sentralpartikel 2 yang diam. Kedua partikel bermassa sama. Akibat tumbukan inienergi kinetik sistem berkurang η = 1,0%. Tentukan besar dan arah kecepatanpartikel 1 setelah tumbukan!

    Jawab : Anggap kecepatan partikel-partikel ini setelah tumbukan adalahv1 dan v2.

    Kekekalan momentum:

    mv = mv1 + mv2Kekekalan energi total:

    Energi mula-mula = Energi akhir + Energi yang hilang

    12 mv

    2 = 12 mv12 + 12 mv2

    2 + η( 12 mv2)

    dari kedua persamaan di atas kita peroleh,

    2v12 − 2vv1 + ηv

    2 = 0

    jadi,

    v1 = 1 1 2

    2

    ± −( )η v

    Disini, tanda positif sebelum akar kuadrat tidak diperbolehkan karenaakan membuat v2 negatif dan hal ini tidak mungkin.

  • Mekanika I 53

    Jadi,

    v1 = 1 1 2

    2

    − −( )η v

    dan, jika η ! 1, maka dengan menggunakan ekspansi binomial kitaperoleh:

    v1 = ηv

    2 = 5 cm/s

    Catatan: Ekspansi binomial adalah sebagai berikut:

    (a + b)n = an + nan-1b + 12 n(n − 1)an-2b2 + ....

    1.93. Sebuah partikel A bermassa m menumbuk partikel B yang diam dan

    bermassa M. Partikel A kemudian menyimpang dengan sudut π 2 ,

    sedangkan partikel B menyimpang dengan sudut θ = 30o terhadap gerakanawal partikel A. Berapa persen perubahan energi kinetik sistem setelah

    tumbukan jika Mm = 5,0?

    Jawab: Anggap kecepatan awal partikel A sebelum tumbukan adalah udan kecepatan setelah tumbukan adalah vA dan vB.

    Kekekalan momentum:

    Arah sumbu x:

    mu = MvB cos 30o

    Arah sumbu y:

    mvA − MvB sin 30o = 0

    Energi kinetik awal:

    Ek = 12 mu

    2

    Energi kinetik akhir:

    Ek’ = 12 mvA

    2 + 12 mvB2

    Dari persamaan-persamaan di atas kita peroleh:

    E

    E

    k

    k

    '

    = m

    M cos 30

    2

    o( )Selanjutnya kita akan peroleh:

    ∆EE

    k

    k

    = tancos

    2 23030

    1oo

    + ( ) − mMDengan memasukkan angka-angkanya kita peroleh bahwa: ∆∆∆∆∆Ek ≈ -40% Ek

    1.94. Dua partikel bermassa m1 dan m2 bergerak saling tegak lurus satu samalain dengan kecepatan v1 dan v2. Hitung (dalam kerangka pusat massa):(a) momentum setiap partikel!(b) energi kinetik total!

    Jawab:

    (a) Kecepatan pusat massa sistem adalah (analog dengan rumus koordinatpusat massa)

    vA

    vB

    u

    300

    y

    x

  • Mekanika I54

    v pmr

    = m v m v

    m m

    1 2

    1 2

    1 2

    r r++

    Momentum partikel pertama dalam kerangka pusat massa sistem:

    Ppm

    ur

    1( )= m1(v

    r

    1 − v pmr

    ) = m m

    m mv v1 2

    1 21 2+

    −( )r r

    Sedangkan partikel kedua memiliki momentum:

    P m v vm m

    m mv vpm pm

    ur r r r r

    2 2 21 2

    1 21 2( ) = −( ) = + −( )-

    Karena vr

    1 ⊥ vr

    2 , maka:

    P Ppm pm1 2( ) = ( ) =

    m m

    m m

    1 2

    1 2+v v12

    22+

    (b) Energi kinetik partikel pertama dalam kerangka pusat massa sistemadalah:

    E pm1( ) = 12 m1 v

    m v m v

    m m

    r

    r r

    11 2

    1 2

    21 2−

    ++

    = 12m m

    m m

    1 22

    1 22+( )

    (vr

    1 + vr

    2 )2

    Dengan cara yang sama,

    E pm2( ) = 12

    m m

    m m

    2 12

    1 22+( )

    (vr

    1 +vr

    2 )2

    Jadi, energi kinetik total pusat massa adalah:

    Ek = E pm1( ) + E pm2( ) .

    Ek = 12m m

    m m

    1 2

    1 2+(v1

    2 + v22 )

    (karena tegak lurus vr

    1 •vr

    2 = 0).

    1.95. Sebuah partikel A bermassa m1 menumbuk partikel B yang diam danbermassa m2 (m1 > m2) secara elastik. Tentukan sudut maksimumpartikel A setelah tumbukan!

    Jawab:

    Kekekalan momentum:

    Arah sumbu x:

    m1u = m1v1 cos θ1 + m2v2 cos θ2Arah sumbu y:

    0 = m1v1 sin θ1 − m2v2 sin θ2Kekekalan energi kinetik (tumbukan elastik):

    12 m1u

    2 = 12 m1v12 + 12 m2v2

    2

    u

    A Bv2

    v1θ1θ2

  • Mekanika I 55

    Dari persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh,

    u2(m1m2 − m12 ) + u(2m1

    2v1 cos θ1) − v1

    2 (m1m2 + m12 ) = 0

    Dengan rumus abc kita bisa menghitung u. Tetapi diskriminan(bilangan yang terdapat dalam akar kuadrat persamaan abc) haruslebih besar atau sama dengan nol.

    Sehingga:

    4m14 v1

    2 cos2 θ1 > 4 (m12 − m1m2)(m1

    2 + m1m2)v12

    atau,

    cos2 θ1 > 1 − m

    m

    22

    12

    Jadi, agar nilai θ1 maksimum (atau nilai cos θ1 minimum)

    cos2 θm = 1 − m

    m

    2

    1

    2

    atau:

    θm = cos-1 1 2

    1

    212

    m

    m

    1.96. Tiga bola identik A, B, dan C terletak pada suatu bidang datar licin. BolaA bergerak dengan kecepatan v dan menumbuk bola B dan C yang sedangdiam secara bersamaan. Jarak pusat massa B dan C sebelum tumbukanadalah ηd dimana d adalah diameter bola. Tentukan kecepatan A setelahtumbukan. Pada nilai η berapakah bola akan tertolak ke belakang; berhenti;terus bergerak?

    Jawab: Anggap sudut ABC adalah θ, maka:

    cos θ = d

    d

    η2 = η 2

    Tinjau momentum arah sumbu mendatar. Anggap setelah tumbukan,kecepatan B dan C adalah v" sedangkan kecepatan A adalah v'.

    Kekekalan momentum:mv = mv' + 2mv" cos θ

    v - v' = 2v" cos θ(v - v')2 = 4v"2 cos θ ................................ (1)

    Kekekalan energi kinetik: 12 mv2 = 12 mv'

    2 + 12 2 mv"2

    v2 - v'2 = v"2 .................................... (2)1 dan 2

    v v v v

    v v v v

    −( ) −( )−( ) +( )

    =' '

    ' 'cos2 2 θ

    v v' = − −−

    2

    6

    2

    2

    η

    η

    V'

    V"

    V"

    θη/2d }

    1 -η2

    4d

    d

  • Mekanika I56

    Ketika A tertolak ke belakang, v' harus negatif.

    Jadi, 2 > η2

    atau, η < 2

    Agar A berhenti, v' = 0

    jadi, η = 2

    Agar A bergerak ke ke depan, v' adalah positif.

    Jadi, η > 2

    1.97. Sebuah molekul menumbuk molekul sejenis yang sedang diam. Buktikanbahwa kedua molekul akan membentuk sudut 90o ketika tumbukannyalenting sempurna!

    Jawab:

    Kekekalan momentum:

    Arah sumbu x:

    m1u = m1v1 cos θ1 + m2v2 cos θ2Arah sumbu y:

    0 = m1v1 sin θ1 − m2v2 sin θ2Dari kedua persamaan di atas (dengan mengingat massa kedua molekulsama) maka kita peroleh:

    u2 = v12 + v2

    2 + 2v1v2 (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2)

    Kekekalan energi kinetik:

    12 m1u1

    2 = 12 m1v12 + 12 m2v2

    2

    Dari persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh persamaan berikut:

    0 = 2v1v2 cos(θ1 + θ2)atau,

    cos(θ1 + θ2) = 0dengan kata lain:

    θ1 + θ2 = π

    2

    Bila tumbukan tidak lenting sempurna maka

    cos(θ1 + θ2) ≠ 0atau,

    θ1 + θ2 ≠ π

    2

    1.98. Sebuah bola bermassa m dilemparkan dengan sudut elevasi α dan dengankecepatan awal v0. Hitung besar momentum sudut terhadap titik awal padatitik tertinggi lintasan bila m = 130 gram, α = 45°, dan v0 = 25 m/s!Abaikan hambatan udara.

    A B

    u θ1θ2

    v1

    v2

    y

    x

  • Mekanika I 57

    Jawab:

    Pada titik tertinggi: v = vx = v0 cos αdan vy = 0.

    Dengan rumus y = v0yt − 12 gt2 dan vy = v0y − gt serta persamaan

    di atas kita akan peroleh tinggi titik tertinggi adalah:

    H = v

    g

    02 2

    2

    sin α

    vektor momentum

    Pur

    = mvr

    atau

    Pur

    = (mv0 cos α) ir

    Vektor posisi dari titik tertinggi adalah:

    rr =

    R

    2

    ir

    + H jr

    dimana R adalah jangkauan proyektil.

    Jadi, momentum sudut partikel terhadap titik asal, ketika partikel beradapada titik tertinggi adalah:

    Lur

    = rr 3 Pur

    = R i H j2r r

    +( ) 3 (mv0 cos α) ir

    = -Hmv0 cos α kr

    atau

    Lur

    = -mv

    g

    03 2

    2

    sin cosα α

    kr

    L = 37 kg.m2/s

    1.99. Sebuah benda A bermassa m meluncur pada permukaan datar licin dengankecepatan v. Benda ini menumbuk dinding di titik O secara elastik dengansudut datang α (terhadap garis normal). Tentukan:(a) titik-titik terhadap mana momentum sudut benda konstan!(b) besar perubahan vektor momentum sudut L relatif terhadap titik

    O' yang terletak di dalam bidang gerak (pada sumbu vertikal) danberjarak l dari titik O!

    Jawab:

    (a) Gunakan rumus Lur

    = rr 3 Pur

    Anda dapat membuktikan bahwa

    momentum sudut terhadap titik-titik pada garis normal adalahsama besar (konstan).

    (b) Besar momentum sudut awal:

    |Lur

    | = |rr 3 Pur

    |

    atau, L = -mv0l cos αTanda negatif menunjukkan bahwa momentum sudut awalmempunyai arah sumbu z negatif.

    α

    v0

    H

    Rx

    y

    P

    P’

    α O

    O’

    l

    y

    z

  • Mekanika I58

    Momentum sudut akhir:

    L' = | rr 3 Pur

    | = mv0l cos αPerubahan momentum sudut:

    ∆L = mv0l cos α − (-mv0l cos α)atau,

    ∆L = 2mv0l cos α

    1.100.Sebuah bola kecil bermassa m digantung dengan benang yang panjangnyal pada titik O di suatu langit-langit. Bola bergerak dalam suatu lingkaranmendatar dengan kecepatan sudut konstan ω. Relatif terhadap titikmanakah momentum sudut bola L

    ur

    tetap konstan? Tentukan perubahan

    vektor momentum sudut bola relatif terhadap titik O dalam setengah putaran!

    Jawab: Pada gambar di atas arah sumbu x, y dan z dinyatakan oleh

    vektor satuan ir

    , jr

    ,dan kr

    .

    Gaya-gaya yang bekerja ditunjukkan pada gambar di bawah ini:

    Dalam keadaan seimbang:

    T cos α = mgT sin α = mω2l sin α

    atau

    cos α = glω2

    dan

    sin α = 1 22

    − ( )g lωDari gambar terlihat bahwa T sin θ mengimbangi gaya sentrifugal, danselalu mengarah ke pusat lingkaran horizontal O’. Jelas juga terlihatbahwa titik O’ adalah titik dimana resultan torsi adalah nol. Oleh karenaitu, momentum sudut bola akan selalu konstan di titik O’.

    Momentum sudut bola terhadap titik O ketika bola berada pada titik 1adalah:

    Lur

    1 = rr

    13 mv

    r

    1

    Di titik 2:

    Lur

    2 = rr

    23 mv

    r

    2

    Vektor posisi titik 1 dan 2 terhadap titik O adalah:

    rr

    1 = l(- ir

    sin α − jr

    cos α)

    rr

    2 = l( ir

    sin α − jr

    cos α)Sehingga kita peroleh:

    Lur

    1 = mvl(- j

    r

    sin α + ir cos α)

    Lur

    2 = -mvl(jr

    sin α + ir cos α)

    Perubahan momentum sudut dalam setengah putaran adalah:

    vr

    1 = vkr

    vr

    2 = -vkr

    1

    r1 r2

    O

    2

    α

    O’

    mg

    T sin α

    T cos α

    O

    O’

    αl

  • Mekanika I 59

    ∆Lur

    = Lur

    2 − Lur

    1

    = mvl(- jr

    sin α − ir

    cos α + jr

    sin α − ir

    cos α)

    Gunakan v = ωl sin α, kita akan peroleh besarnya perubahan mo-mentum sudut ini adalah:

    ∆L = 2ml2ω cos α sin α

    ∆L = 2mg lω 1 22

    − ( )g lω1.101. Sebuah benda bermassa m terikat pada suatu tali dalam suatu bidang

    datar. Ujung tali yang lain dimasukkan ke suatu lubang dalam bidangdatar itu dan ditarik dengan kecepatan konstan. Hitung tegangan talisebagai fungsi jarak r antara benda dan lubang bila pada r = r0 kecepatansudut tali ω0!

    Jawab: Tegangan tali dan gaya F arahnya ke pusat lintasan lingkatan(titik O) sehingga tidak akan memberikan momen gaya terhadap titik O.Karena momen gaya nol maka momentum sudut terhadap titik O kekal.

    mr02 3 ω0 = mr

    2 3 ωatau,

    v = r

    r

    02

    Tegangan pada tali memberikan gaya sentripetal, sehingga:

    T = mv

    r

    2

    Sehingga kita peroleh:

    T = mr

    r

    04

    02

    3

    ω

    1.102. Suatu bola bermassa m bergerak dengan kecepatan v0. Bola ini menumbuksecara elastik suatu "dumb bell" (lihat gambar). Massa tiap bola pada dumb

    bell itu masing-masing m2 dan jarak antara kedua bola bulatan adalah l.

    Hitung momentum sudut Lur

    dumb bell setelah tumbukan, terhadap titik

    pusat massa dumb bell!

    Jawab: Tumbukan antara A dan B (lihat gambar):

    Kekekalan momentum:

    mv0 = mv'0 + m

    2( ) v1Tumbukan elastik (kekekalan energi kinetik):

    12 mv0

    2 = 12 mv '02 + 12

    m2( ) v12

    dimana v0’ dan v1 adalah kecepatan bola A dan B setelah tumbukan.

    F

    O

    A B

    C

    l

  • Mekanika I60

    Dari kedua persamaan di atas kita peroleh, v1 = 4

    30v . Jadi kecepatan

    pusat massa dumb bell adalah:

    vpm =

    m v m

    m m2

    4

    3 20

    2 2

    0( ) + ( )+( ) =

    2

    30v

    arah kecepatan pusat massa ini ke kanan.

    Kecepatan bola B dan C relatif terhadap pusat massa ini adalah:

    v1pm = v1 − vpm = 2

    30v

    v2pm = v2 − vpm = −2

    30v (arah ke kiri).

    Momentum sudut dumb bell terhadap pusat massa adalah:

    Lur

    pm = rr

    1pm 3 m

    2( ) vr 1pm + rr

    2pm 3 m

    2( ) vr 2pmDalam bentuk vektor:

    rr

    1pm = l2( ) jr

    rr

    2pm = -l2( ) jr

    vr

    1pm = 2

    30v( ) ir

    vr

    2pm = -2

    30v( ) ir

    Sehingga kita peroleh:

    Lur

    pm = -mv l0

    3

    kr

    Besar momentum sudut ini adalah: mv l0

    3

    .

    1.103. Dua benda masing-masing bermassa m, dihubungkan dengan sebuahpegas panjang l dan konstanta pegas k. Pada suatu ketika satu daribenda ini digerakan dalam arah mendatar dengan kecepatan v0.Tentukan perubahan panjang pegas maksimum dalam peristiwa ini.

    Jawab:

    Kecepatan B relatif terhadap pusat massa

    vB-pm = vB - vpm

    = v0 - 1

    2v0 =

    1

    2v0

    Kecepatan A relatif terhadap pusat massa

    vA-pm = vA - vpm

    = 0 - 1

    2v0 = -

    1

    2v0

    l + xA B

    vr

    akhir

    A Bl0

    v0

    awal

    mv0 + 0.m

    m + mvpm =

    1

    2= v0 (kecepatan pusat massa)

  • Mekanika I 61

    Momentum sudut awal terhadap pusat massa

    mBvB-pm 1

    2l0 + mA-pm(

    1

    2l0)

    = m.(1

    2v0)

    1

    2l0 + m(-

    1

    2v0)(-

    1

    2l0)

    = 1

    2mv0l0

    momentum akhir terhadap pusat massa

    = 1

    2mvr (l + x)

    Kekekalan energi

    1

    2m (v02

    )2 + 1

    2m (v02

    )2 = 1

    2k x2 +

    1

    2m (vr

    2)2 +

    1

    2m (vr

    2)2

    Gunakan kekekalan momentum sudut dan kekekalan energi.

    diperoleh x = mv

    kl

    02

    1.104. Sebuah planet bermassa M = 1,6531030 kg, bergerak mengelilingiMatahari dengan kecepatan v = 32,9 km/s (dalam kerangka matahari).Hitung periode revolusi planet ini! Anggap lintasan planet melingkar.

    Jawab: Gaya sentripetal yang menyebabkan planet bergerakmelingkar adalah gaya gravitasi, sehingga dengan hukum Newton:

    F = ma.

    mv

    r

    2

    = GMm

    r2

    Perioda planet (waktu 1 putaran) adalah:

    T = 2πr

    v =

    23

    πGM

    v = 225 hari

    1.105. Jika lintasan suatu planet berbentuk ellips, buktikan bahwa T2 sebandingdengan r3 (hukum Keppler III), dimana T adalah perioda planet danr adalah jarak planet ke Matahari!

    Jawab:

    Luas daerah yang diarsir adalah (anggap luas segitiga)

    ∆A =1/2 |Rur

    3 vr ∆t|

    Karena momentum sudut planet adalah Lur

    = Rur

    3 m vr maka:

    ∆∆At =

    Lm2( )

    Ini artinya laju luas yang disapu oleh gerakan planet adalah konstan(ingat momentum sudut planet konstan).

    Jika ∆t = T adalah perioda, maka luas ellips A dapat ditulis:AT =

    Lm2( )

    Rv∆t

    bac

    rQP

    F

  • Mekanika I62

    Karena luas ellips adalah A = πab, maka

    T = 2πmabLSekarang perhatikan keadaan planet di titik P (jarak Matahari ketitik P adalah Rp) dan titik Q (jarak matahari ke titik Q adalah RQ).

    Kekekalan momentum sudut:

    mRpvp = mRQvQ = L

    Kekekalan energi:

    12 mvP

    2 − GMmRP

    = 12 mvQ2 − GMm

    RQ

    Dari kedua persamaan di atas kita peroleh,

    Lm

    2

    2( ) (RP + RQ) = GMmRPRQDalam ellips terdapat hubungan berikut:

    RP + RQ = 2a

    RP = a(1 − e)

    RQ = a(1 + e)

    b2 = a2 − a2e2

    dimana e adalah eksentrisitas ellips.

    Dari persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh:

    L2 = GMm b

    a

    2 2

    Selanjutnya kita akan peroleh:

    T2 = 4 2π

    GM

    a3

    1.106. Periode revolusi Yupiter 12 kali periode revolusi Bumi. Anggap orbitplanet melingkar, tentukan:(a) perbandingan jarak Yupiter-Matahari dengan Bumi-Matahari!(b) kecepatan dan percepatan planet Yupiter dalam kerangka matahari!

    Jawab:

    (a) Anggap suatu planet berputar mengelilingi matahari denganperioda T dan jari-jari orbit r.

    Dari hukum Newton (F = ma) kita peroleh:

    mv

    r

    2

    = GMm

    r2

    Karena v = 2πT( ) r, maka T2 = 42π

    GM

    r3

    r

  • Mekanika I 63

    Diketahui bahwa: TT

    YB

    = 12

    Karena T2 sebanding dengan r3 maka

    r

    r

    Y

    B

    = T

    T

    y

    B

    23

    atau rY = 5,2 rB

    (b) Percepatan Yupiter mengitari Matahari dapat dicari dengan rumusNewton F = ma.

    mYa = GMm

    r

    Y

    y2

    atau

    aY = GM

    rY2

    = GM

    rB5 22,( )

    = 1

    5 2 2,( )g

    karena a = v r2

    maka kecepatan planet Yupiter adalah:

    vY = GM

    rB5 2,

    1.107. Sebuah planet bermassa M bergerak mengitari Matahari padalintasan elips. Jika jarak minimum planet dari Matahari r dan jarakmaksimum R. Tentukan periode revolusi planet mengitari Matahari!

    Jawab: Soal ini mirip dengan soal sebelumnya. Silahkan Andabuktikan bahwa:

    T = 2π

    GMs

    R r+

    2

    32

    1.108. Sebuah benda kecil jatuh pada Matahari dari jarak yang sama denganjari-jari lintasan Bumi. Kecepatan awal benda nol menurut matahari.Dengan menggunakan Hukum Kepler, tentukan berapa lama bendaakan jatuh?

    Jawab: Benda yang jatuh ke Matahari dapat dianggap sebagai suatuplanet kecil yang lintasan ellipsnya sangat pipih dengan sumbu semi

    mayornya adalah R2 .

    Menurut Hukum Keppler, T2 sebanding dengan r3, sehingga:

    T

    T

    benda

    Bumi

    2

    = R

    R

    23

    Waktu jatuh adalah t = Tbenda 2 . Sehingga:

    t = T

    2

    1

    2

    32( ) = 65 hari