Equao da conservao da energia Resoluo de exerccios Mecnica dos Fluidos Aula 10 Dinmica dos fluidos Equao da conservao da massa 2 0 = +}SCdA v . . =||.|sdtdM}ccVCdVt

fluxo demassa atravs das SC taxa de acmulo de massa dentro do VC Dinmica dos fluidos Equao da conservao da quantidade de movimento linear para VC inercial Esta equao estabelece que a soma de todas as foras (de superfcie e de campo) atuando sobre um volume de controle no submetido acelerao igual soma da taxa de variao da quantidade de movimento no interior do VC com a taxa lquida de fluxo saindo da SC.

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= +C SF F 0 = +}SCdA v v . . }ccVCdV vtDinmica dos fluidos Equao da conservao da quantidade de movimento linear Passos Para lembrar Desenharas fronteiras do VC; Escolher direo e sentido apropriado para o sistema de coordenadas; Lembrar que a fora resultante representa todas as foras atuando sobre o VC; 4

Dinmica dos fluidos Equao da conservao da quantidade de movimento linear Passos Para lembrar O fluxo da quantidade de movimento um vetor: O sinal do vetor depende do sistema de coordenadas; O sinal do produto escalardepende do sentido do vetor velocidade em relao ao vetor rea5

dA v v . . dA v. .dAvDinmica dos fluidos Equao da conservao da quantidade de movimento linear: A equao da quantidade de movimento vetorial e pode ser escrita na forma de 3 componentes escalares: 6

= +Cy SyF F 0 = +}SCydA v v . . }ccVCdV vty = +Cx SxF F 0 = +}SCdA v x v . . }ccVCdV vtx = +z C z SF F 0 = +}SCdA v z v . . }ccVCdV vtz

Enunciado O volume interno do redutor 0,2 m3 e sua massa 25Kg. Considerando os dados listados abaixo, qual a fora total de reao que deve ser suportada pelos tubos adjacentes para suportar o peso do redutor, se o fluido transportado gua?D1= 0,4m D2 = 0,2m V1= 3m/sV2= 12m/sP1= 58,7 kPa (manomtrica)P2= 109 kPa (absoluta) R.Rx = -4,68 KN Ry = 1,66 KN Exerccios propostos Exemplo 4.5 FOX 6 ed.DadosD1= 0,4m D2 = 0,2m V1= 3m/sV2= 12m/sP1= 58,7 kPa (manomtrica)P2= 109 kPa (absoluta):Ry= ? Rx= ? ModeloMatemtico ModeloFsico Esc. permanenteEsc. Uniforme = +C SF F 0 = +}SCdA v v . . }ccVCdV vt

Exemplo 4.5 FOX 6ed: Fora de Campo Enunciado Umrecipientedemetal,com2ftdealturaeseoretainternade1ft2,pesa5lbfquando vazio.O recipiente colocado sobre uma balana e a gua escoa para o interior dorecipiente atravs de uma abertura no topo e para fora, atravs de duas aberturas iguais nas laterais do recipiente, conforme ilustra a Figura . Sob condiesdeescoamentopermanente,aprofundidadedaguade1,9ft. Determine a leitura da balana, sabendo que: Arecipiente = 1 ft2 A1= 0,1 ft2 A2= A3 = 0,1 ft2

V1= -5 j ft/s h = 1,9 ft Exerccio: Fora de campoExemplo 4.5 FOX 6 ed.DadosArecipiente = 1 ft2 A1= 0,1 ft2 A2= 0,1 ft2 A3= 0,1 ft2 V1= 5 m/s h = 1,9 ft Pede-se:Ry= ? ModeloMatemtico ModeloFsico Esc. permanenteEsc. Uniforme = +C SF F 0 = +}SCdA v v . . }ccVCdV vtExemplo 4.5 FOX 6 ed. ModeloMatemtico em y = +yCySF F 0 =}SCvdA vy. .0 =}SCdA v. .ModeloFsico Esc. permanenteEsc. Uniforme DadosArecipiente = 1 ft2 A1= 0,1 ft2 A2= 0,1 ft2 A3= 0,1 ft2 V1= 5 m/s h = 1,9 ft Pede-se:Ry= ? Exemplo 4.5 FOX 6 ed.No h fora lquida devida presso atmosfrica. As duas foras de campo atuam na direo negativa de y. yR FyS=O H recyCW WF2 =g V WO H. . =2h Arec WO H. . = 20 =}SCvdA vy. .() dA v v dA vySCvy. . . . . =}03 2= =y yv v= +yCySF FExemplo 4.5 FOX 6 ed.No h fora lquida devida presso atmosfrica. As duas foras de campo atuam na direo negativa de y. yR FyS=O H recyCW WF2 =g V WO H. . =2h A Wrecipiente O H. . = 20 =}SCvdA vy. . = +yCySF Fh Rrec recA W y + =1 1 11 A vvy. . .03 2= =y yv vExemplo 4.5 FOX 6 ed.() dA v v dA vySCvy. . . . . =} hrec recA W + =yR 1 1 11 A vv dy. . .Resoluo lbfft slugs lbfx ft xsftxslugxsftft x ft xlbflbf Rft fty128 1 0 5 94 1 5 9 1 1 4 62 522 23 3=||.|

\|||.|

\| + =.., , , ,lbf R lbf Ry y128 128 = =DadosArecipiente = 1 ft2 A1= 0,1 ft2 A2= 0,1 ft2 A3= 0,1 ft2 V1= 5 m/s h = 1,9 ft Pede-se:Ry= ? Exemplo 4.5 FOX 6 ed.

Enunciado gua escoa em regime permanente atravs do bocal de uma mangueira de incndio. A mangueira tem dimetro de 75 mm e a ponta do bocal 25 mm. A presso manomtrica na mangueira 510 kPa e a corrente de gua deixando o bocal uniforme. Na sada do bocal a velocidade da gua 32 m/s e a presso a atmosfrica. Determine a fora transmitida pelo acoplamento entre a mangueira e o bocal. Identifique se o bocal est sob trao ou compresso. Exerccio 4.56FOX 6ed. Resoluo de Exerccio DadosD1 = 75mmD2 = 25 mm P1 = 510KPa P2 = Patm V2= 32m/s Pede-se: Rx = ? Hipteses Esc. permanente Incompressvel FCx=0 s mmmmmxsmDDvAAv v/ ,56 375253212122 222 1=||.|

\|=||.|

\|= =Exerccio 4.233 FOX 4 ed. Modelo MatemticoModelo Fsico 0 = +}SCdA v . . }ccVCdVt= +C SF F 0 = +}SCdA v v . . }ccVCdV vt02 12 1= + A Av v. . . . Resoluo de Exerccio DadosD1 = 75mmD2 = 25 mm P1 = 510KPa P2 = Patm V2= 32m/s Pede-se: Rx = ? Hipteses Esc. permanente Incompressvel FCx=0 Exerccio 4.233 FOX 4 ed. Modelo MatemticoModelo Fsico = +Cx SxF F 0 = +}SCdA v v . . }ccVCdV vt02 12 2 1 1= + A Av v v v. . . . A R FP xSx 1+ == + A RP x1Resoluo ) (1 2 2 2 1v v A v A P Rx + = Resoluo de Exerccio DadosD1 = 75mmD2 = 25 mm P1 = 510KPa P2 = Patm V2= 32m/s Pede-se: Rx = ? Hipteses Esc. permanente Incompressvel FCx=0 Exerccio 4.233 FOX 4 ed. Resoluo ) (1 2 2 2 1v v A v A P Rx + = () ()smx msmxmkgm xmNx Rx56 , 3 32 ) 025 , 0 (432 10 075 , 0410 510233223 + =t tKN Rx81 , 1 =Dinmica dos fluidos Objetivos gerais Analisaraequaobsicanaformaintegralpara aplicaoemvolumedecontroleparaaleida conservao da energia; Identificarascondiessobasquaisocorrem perdasdeenergianosistemadeescoamentodos fluidos; 19 Dinmica dos fluidos Objetivos especficos Identificarosmeiospelosquaisenergiapodeser adicionada ao sistema de escoamento de fluidos; Aplicaraequaodaconservaodaenergiaauma variedade de problemas prticos; CompararaEquaodaConservaodaEnergia com a Equao de Bernoulli 20 Dinmica dos fluidos Equao da conservao da energia:A formulao da primeira lei da termodinmica uma afirmao da conservaoda energia: Onde: dE/dt: Taxa de variao temporal da energiado sistema; Q: Taxa de transferncia de calor para o sistema; W: Taxa de realizao de trabalho (potncia transferida ao sistema) a energia total do sistema dada por: 21

W QdtdEsistema =||.|Dinmica dos fluidos Equao da conservao da energia(1 Lei da Termodinmica): A Energia Total do sistema representa as formas de energia mais usuais e dada por: 22

}+ + =Msistemasistemadm gzvuE) (22}+ + =VsistemadV gzvu ) (22W QdtdEsistema =||.|Dinmica dos fluidos Equao da conservao da energia: Onde: u: energia interna devido ao movimento das molculas; : energia cintica; gz: energia potencial. 23

}+ + =Msistemasistemadm gzvuE) (22}+ + =VsistemadV gzvu ) (2222vDinmica dos fluidos Equao da conservao da energia: A taxa de transferncia de calor Q representa todas as interaes do VC (Volume de Controle) com o meio, devidas a diferenas de temperaturas, atravs dos diversos mecanismos de transferncia de calor, tais como: radiao, conveco e conduo. A transferncia de calor do sistema para o VC considerada positiva. representa 24

W QdtdEsistema =||.|Dinmica dos fluidos Equao da conservao da energia: A taxa de transferncia de trabalho W representa os diversos modos como trabalho podeser transferido pela superfcie do VC (Volume de Controle). A transfernciade trabalho positiva quando o sistema realiza trabalho sobre o VC. representa 25

W QdtdEsistema =||.|Dinmica dos fluidos Anlise do termo W, referente ao trabalho O termo W representa os diversos modos de transferncia de trabalho e pode ser convenientemente subdividido em: 26 Woutros nto Wcisalhame Wnormal Ws W + + + =Dinmica dos fluidos Equao da conservao da energia:A duas formulaespara conservaoda energia so: 1 Lei da Termodinmica: Formulao para VC: 27

} }ecc+ ecc=||.|ccSC VCA d vtdVt tEsistema sistemadtdEW Q||.|= Dinmica dos fluidos Equao da conservao da energia:Igualando-se as duas formulaespara conservaoda energia, tem-se: 28

} }ecc+ eccSC VCA d vtdVt = W QDinmica dos fluidos Equao da conservao da energia:Substituindo-se o termo referente energia total do sistema, tem-se: 29

022=|||.|

\|+ + +}SCdA v z gvu . .= W Q}+ +ccVCdV gzvut ) (22Dinmica dos fluidos Anlise dos termo referentes ao trabalho W: 30

Woutros nto Wcisalhame Wnormal Ws W + + + =Dinmica dos fluidos Anlise do termo Ws, referente ao trabalho de eixo Em muitas situaes o trabalho transferido para o VC, atravs da superfcie de controle atravs de um eixo mvel. Este o caso de turbinas, bombas, ventiladores e hlices. Mesmo nas mquinas, como motores de combusto e compressores,cujo arranjo cilindro-pisto, utiliza-se um virabrequim. Assim a potncia transferida no eixo est relacionada ao torque: 31

eixoWs T =Dinmica dos fluidos 32 Dinmica dos fluidos 33 Dinmica dos fluidos 34 Dinmica dos fluidos Anlise do termo Wnormal

A transferncia de trabalho tambm pode ocorrer quando uma fora associada com a tenso normal no fluido age ao longo de uma distncia: Sendo assim, para se obter a taxa referente qual o trabalho realizado pela ao dafora, com relao ao tempo, vamos dividir por um incremento de tempo t, e tomar o limite quando t tender a zero. A taxa de trabalho realizada sobre um elemento de rea, dA, da superfcie de controle, pelas tenses normais dada por: 35

s d F Wnormal. =Dinmica dos fluidos Anlise do termo Wnormal

Relacionando a taxa de trabalho realizado pelas tenses normais, vamos considerar um elemento de rea, dA, da superfcie de controle, e teremos: 36

v A d v F d. . . =ts d FtWWt tA=A= A A 0 0lim limv F d Wnormal. =Dinmica dos fluidos Anlise do termo Wnormal O trabalho que sai atravs das fronteiras do VC tem sinal negativo em relao ao trabalho realizado sobre o VC. Sendo assim: 37 } =SCnnA d v WnormalDinmica dos fluidos Anlise do termo Wcisalhamento O trabalho realizado pela fora de cisalhamento atuando sobre um elemento de rea da superfcie de controle dado por: A taxa de trabalho realizado sobre toda a superfcie de controle, pelas tenses de cisalhamento, dada por: 38 dA F d =v A d nto WcisalhameSC} = Dinmica dos fluidos Anlise do termo Wcisalhamento Devido dificuldade em avaliar o trabalho de cisalhamento, esta forma de trabalho raramenteempregada. Sendo assim, escolhe-se um VC de tal modo que no exista componente tangencial da velocidade sobre a superfcie. Toma-se o volume de controle de modo que superfcie de controle seja perpendicular velocidade, para que o produto vetorial seja igual a zero: 39 0 = nto Wcisalhame = 0 vDinmica dos fluidos Anlise do termo Woutros Energia eltrica, energia eletromagntica, como por exemplo de radares, raios laser, poderiam ser absorvidas. Mas na maioria dos problemas estaro ausentes.Mesmo assim importante fazerem parte da formulao geral. 40 Dinmica dos fluidos Termos referentes ao trabalho 41 Woutros nto Wcisalhame Wnormal Ws W + + + =Ws W = Woutros nto Wcisalhame A d vSCnn+ + }Dinmica dos fluidos Equao do volume de controle (VC) 42 Woutros nto Wcisalhame A d v W WSCnns+ + =}o022=|||.|

\|+ + +}SCdA v z gvu . .= W Q}+ +ccVCdV gzvut ) (22}e +SCdA v. .+ Ws Q}eccVCdVt= }Woutros nto Wcisalhame A d vSCnneeDinmica dos fluidos Equao do volume de controle (VC) Para podermos simplificar a equao, no ltimo termo, vamos incluir o produto da massa especfica pelo volume especfico que 1, teremos: 43 }e +SCdA v. .+ Ws Q}eccVCdVt= }Woutros nto Wcisalhame A d vSCnn}e +SCdA v. .Ws Q}eccVCdVt= Woutros nto Wcisalhame}SCnnA d vDinmica dos fluidos Equao do volume de controle (VC) 44 }e +SCdA v. .Ws Q}eccVCdVt= Woutros nto Wcisalhame}SCnnA d v}e +SCdA v. .Ws Q}eccVCdVt= Woutros nto Wcisalhame}SCnnA d v Ws Q}eccVCdVt= Woutros nto Wcisalhame} e+SCnnA d v ) (Dinmica dos fluidos Equao do volume de controle (VC) Como nn -P, tem-se: 45 Ws Q}eccVCdVt= Woutros nto Wcisalhame} e+SCnnA d v ) (Ws Q}eccVCdVt= Woutros nto Wcisalhame}+ e+SCA d vP ) (Dinmica dos fluidos Equao do volume de controle para a conservao da energiaRetornando com o termo , tem-se: Variao temporal da energia total do sistema; Variao temporal da energia total do VC; Variao da energia total nas regies da SC onde se d o escoamento 46 Ws Q}eccVCdVt= Woutros nto Wcisalhame}+ + ++SCz gvP uA d v ) (22Dinmica dos fluidos Equao de Bernoulli Fluido invscido (irrotacional); Condutibilidadetrmicanula(trocasdecalorpor radiao); Regimepermanente(nadamudaaolongodo tempo em todo o campo do escoamento); Escoamento incompressvel; Admissoqueomovimentodofluidoprovocado apenas por foras de gravidade e de presso; Escoamento bidimensional; 47 Dinmica dos fluidos Eq. Conservao da energia X Equao de Bernoulli 48 Ws Q}eccVCdVt= Woutros nto Wcisalhame}+ + ++SCm z gvP u) (22Q}+ + +=SCm z gvP u) (22z gv Pu + + +22=mQz gv P+ +22= umQ= H z gv P+ +22zgv P+ +22= HDinmica dos fluidos Eq. Conservao da energia X Equao de Bernoulli Altura de carga devida presso esttica Altura de carga devida presso dinmica Altura de carga devida elevao Altura de carga total do escoamento (energia mecnica total por unidade de peso do fluido) 49 z gv P+ +22= HDinmica dos fluidos Eq. Conservao da energia X Equao de Bernoulli Para um escoamento turbulento, no possvel se determinar, por meio de mtodo puramente analtico, as perdas ou a altura de carga total (energia mecnica total por unidade de peso do fluido). Estes dados so determinados por mtodos empricos. 50 z gv P+ +22= HEquao de Bernoulli 51

Representao grfica da Eq. de Bernoulli cte zgvgP= + +22Plano Horizontal de Referncia

Linha de Energia

Linha piezomtrica

Enunciado A figura mostra um tanque que alimentado com um escoamento de gua proveniente de um tubo que apresenta dimetro, d, igual a 0,1m. Determine a vazo em volume, Q, necessria para que o nvel da gua no tanque (h) permanea constante e igual a 2m. Resoluo de Exerccio 3.7 MUNSON 2ed.Modelo Matemtico Exerccio 3.7 MUNSON 2 ed. DadosD1 = 1,0mD2 = 0,1m P1 = P2 = 0 Z1 = h Z2 = 0 Pede-se:Q2 = Q1 = ? Hipteses Esc.incompressvel Esc. Invscido Esc. permanente Modelo Fsico 2222212211z gvPz gvP+ + = + + 222221vh gv= +22241214V D V D =Modelo Matemtico Exerccio 3.7 MUNSON 2 ed. DadosD1 = 1,0mD2 = 0,1m P1 = P2 = 0 Z1 = h Z2 = 0 Pede-se:Q2 = Q1 = ? Hipteses Esc.incompressvel Esc. Invscido Esc. permanente Modelo Fsico 222221vh gv= +22241214V D V D =22121 vDDv||.|

\|=412122||.|

\|=DDghvResoluo Exerccio 3.7 MUNSON 2 ed. DadosD1 = 1,0mD2 = 0,1m P1 = P2 = 0 Z1 = h Z2 = 0 Pede-se:Q2 = Q1 = ? Hipteses Esc. incompressvel Esc. Invscido Esc. permanente Modelo Fsico 412122||.|

\|=DDghvs mm xsmxv/ ,,,26 6411 01228 9 22=||.|

\|||.|

\|=Resoluo Exerccio 3.7 MUNSON 2 ed. DadosD1 = 1,0mD2 = 0,1m P1 = P2 = 0 Z1 = h Z2 = 0 Pede-se:Q2 = Q1 = ? Hipteses Esc. incompressvel Esc. Invscido Esc. permanente Modelo Fsico s mm xsmxv/ ,,,26 6411 01228 9 22=||.|

\|||.|

\|=2 2 1 1 v A v A Q = =( )smsmx m x Q30492 0 26 621 04, , , = =smQ30492 0, =

Enunciado A vazo de 1,44m3/s de gua ocorre em uma instalao contendo uma bomba que fornece 400 cv de energia corrente lquida. Calculea perda de carga entre as sees 1 e 2 utilizando os dados: Resoluo de Exerccio 14.3 BASTOSDadosQ = 1,44 m3/s A1 = 0,36m2

A2 = 0,18m2 P1 /Y= 14mca P2/ Y = 7mca Z1 = 9,15m Z2 = 24,4m Pot=400cv= 75Kgf.m/s

Modelo Matemtico Exerccio 14.3 BASTOS Modelo Fsico DadosQ = 1,44 m3/s A1 = 0,36m2

A2 = 0,18m2 P1 /Y= 14mca P2/ Y = 7mca Z1 = 9,15m Z2 = 24,4m Pot = 400cv Pede-se:H = ? Hipteses Esc.incompressvel Esc. Invscido Esc. permanente AQv =H zgvPzgvPBh + + + = + + + 2222212211 BhQPot =Modelo Matemtico Exerccio 14.3 BASTOS Modelo Fsico s mmxsmAQv/,, 4236 01344 111= = =s mmxsmAQv/,, 8218 01344 122= = =H zgvPzgvPBh + + + = + + + 2222212211 DadosQ = 1,44 m3/s A1 = 0,36m2

A2 = 0,18m2 P1 /= 14mca P2/ = 7mca Z1 = 9,15m Z2 = 24,4m = 400cv Pede-se:H = ? Hipteses Esc.incompressvel Esc. Invscido Esc. permanente Modelo Matemtico Exerccio 14.3 BASTOS Modelo Fsico s mv/ 41=DadosA1 = 0,36m2

A2 = 0,18m2 P1 /Y= 14mca P2/ Y = 7mca Z1 = 9,15m Z2 = 24,4m Pot = 400cv Pede-se:H = ? Hipteses Esc.incompressvel Esc. Invscido Esc. permanente H zgvPzgvPBh + + + = + + + 2222212211 s mv/ 82=hB Q Pot =QPothB=s cvm Kgfx cvhB175400.=mmsxKgfmx 83 203 44 1 10003,,=mhB83 20, =Modelo Matemtico Exerccio 14.3 BASTOS Modelo Fsico s mv/ 41=DadosA1 = 0,36m2

A2 = 0,18m2 P1 /= 14mca P2/ = 7mca Z1 = 9,15m Z2 = 24,4m = 400cv Pede-se:H = ? Hipteses Esc.incompressvel Esc. Invscido Esc. permanente H zgvPzgvPBh + + + = + + + 2222212211 s mv/ 82=mhB83 20, =H mm xsxsmm mm xsxsmm m + +||.|

\|+ = +||.|

\|+ + 4 2410 2228 7 15 910 2224 14 83 20 , , ,Resoluo m H 18 10, =Referncias

BASTOS, Francisco de Assis. Problemas de mecnica dos fluidos. Guanabara Dois: RJ. 1983. ENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M. Mecnica dos Fluidos: Fundamentos e aplicaes, McGraw Hill: So Paulo. 2007. FOX, Robert W. ; Mc DONALD, Alan.T. ;PRITCHARD, Philip J. Introduo Mecnica dos Fluidos . Livros Tcnicos e Cientficos : RJ, 6 ed. 2009. HUGHES, W. F.; BRIGHTON, J. A. Dinmica dos fluidos. Coleo Schaum. McGraw-Hill do Brasil. 1974 MUNSON, Bruce R.; YOUNG, Donald F.; OKIISHI, Theodore H. Fundamentos da mecnica dos fluidos. Edgard Blucher: So Paulo. 1997. Vol 1. 2ed. SISSOM, Leighton E.; PITTS, Donald R. Fenmenos de transporte. LTC: Rio de Janeiro. 2001.