Aufgaben zur Mikrookonomik II

Zu Kapitel 12:

Wettbewerb und Monopol auf einem einzelnen Markt

Aufgabe 1

Berechnen Sie die Angebotsfunktion eines Unternehmens, dessen Produktionsfunktiongegeben ist durch

y = 2 · (x1 · x2)13 ,

wobei die Faktorpreise mit ω1 = 2 bzw. ω2 = 4 gegeben sind.

Aufgabe 2

Die Kostenfunktionen von drei Unternehmen lauten jeweils:

c1(y) = 100 +y2

200

c2(y) = 200 +y2

400

c3(y) = 300 +y2

600

(a) Errechnen Sie, welche Menge yi jedes Unternehmen beim Marktpreis p = 10 anbietetund wie hoch der dabei entstehende Gewinn ist.

(b) Berechnen Sie die aggregierte Angebotsfunktion dieser drei Unternehmen am Markt.

Die Kostenfunktionen aller Unternehmen auf diesem Markt sei allgemein folgendermaßendarstellbar:

Ca(y) = a +y2

2 · a(c) Ermitteln Sie, bei welcher - von a abhangigen - Angebotsmenge ya(a) die Un-

ternehmen jeweils im Durchschnittskostenminimum produzieren.

(d) Ermitteln sie die Preisuntergrenze p, unter die der Marktpreis nicht fallen darf,damit die Unternehmen im Optimum nicht mit Verlust produzieren.

(e) Zeigen sie allgemein: Wenn eine Kostenfunktion c(y) durch Fixkosten und steigendeGrenzkosten charakterisiert ist, dann schneidet die Grenzkostenkurve (MC) dieDurchschnittskostenkurve (AC) in deren Minimum.

1

Aufgabe 3

Auf einem Wochenmarkt kommen viele Leute, um an zahlreichen Standen Apfel zu kaufen.Angebots- und Nachfragefunktionen sind gegeben durch

D(p) = 2500− 100 · pS(p) = −500 + 500 · p

mit p als Preis pro kg Apfel.

(a) Errechnen Sie Preis und Menge im Marktgleichgewicht.

(b) Stellen Sie das Gleichgewicht sowie Konsumenten- und Produzentenrente graphischdar.

(c) Errechnen Sie die sich ergebende Konsumentenrente und die Produzentenrente al-gebraisch. Kommen alle Kaufer in den Genuß einer Konsumentenrente?

(d) Wieviel waren die Konsumenten maximal zu zahlen bereit gewesen fur die imGleichgewicht nachgefragte Menge?

Aufgabe 4

Die Nachfragefunktion auf einem Markt ist gegeben durch

D(p) = 30− 2 · p

Die Angebotsfunktion lautet:

S(p) = p

(a) Bestimmen Sie die Menge und den Preis des Gutes im Marktgleichgewicht.

(b) Wie hoch sind jeweils Produzenten- und Konsumentenrente im Marktgleichgewicht?

(c) Der Staat erhebt eine Steuer auf das angebotene Gut in Hohe von t = 3. Er-mitteln Sie zunachst Menge und Preis im neuen Marktgleichgewicht. Wie habensich Produzenten- und Konsumentenrente verandert? Wie hoch ist der entstandeneWohlfahrtsverlust?

2

Aufgabe 5

Fur einen Monopolisten gelte folgende Preis-Absatz-Funktion:

p(y) = 235− 2 · y

Seine Kostenfunktion ist gegeben durch

K(y) = y3 − 26y2 + 280y + 500

(a) Welchen Preis wird der Monopolist verlangen, wenn er seinen Gewinn maximierenwill? Wie hoch ist dann sein Gewinn?

(b) Wie hoch ist die ermittelte Konsumentenrente?

(c) Bei welchem Preisniveau wurde die Summe aus Konsumenten- und Produzenten-rente maximiert?

Aufgabe 6

Der Filmhandler Leao Igreja besitzt die alleinigen Verleihrechte an y = 100.000 Filmenaus vergangenen Jahrzehnten. Igreja kann mit der Nachfragefunktion

p(y) = 2000− 0.125 · y

fur seine Filme rechnen.

(a) Wieviele Filme zu welchem Preis werden verliehen, wenn lediglich fixe Kosten furdie sachgemaße Filmlagerung von 1.000.000,- entstehen?

(b) Wie andert sich die Antwort, wenn zusatzlich zu den angegebenen Fixkosten variable(Verwaltungs-)Kosten in Hohe von 200,- pro verliehenem Film entstehen?

(c) Wie hoch ist der in (b) entstehenden gesellschaftliche Wohlfahrtsverlust, der durchdas Monopolverhalten von Leao Igreja entsteht?

Aufgabe 7

Die Produktionsfunktion eines Monopolisten sei:

x = 2 · A

Die Nachfragefunktion laute:

p(x) = 10− 1

2· x

(a) Leiten Sie die Grenzerlosfunktion des Monopolisten her.

(b) Der Monopolist verhalt sich auf dem Faktormarkt als Mengenanpasser (also Preis-nehmer) und bezahlt fur den Faktor A den Preis pA. Berechnen Sie die gewinn-maximale Angebotsmenge sowie die Nachfragefunktion nach dem ProduktionsfaktorA jeweils in Abhangigkeit von pA.

(c) Welcher Gesamtgewinn (in Abhangigkeit von pA) ergibt sich?

3

Aufgabe 8, Probeklausur 04/05

Ein Monopolist habe folgende Kostenfunktion: K(y) = 2 · y2 + 6. Die Preis-Absatz-Funktion am Markt ist gegeben durch p(y) = 30− y.

Wahr Falsch

a) Die gewinnmaximale Outputmenge betragt y = 6.

b) Die gewinnmaximale Outputmenge ist erreicht, wenn derGrenzerlos einer weiteren Outputeinheit Null betragt.

c) Das gesellschaftliche Wohlfahrtsmaximum ist erreicht, wennder Grenzerlos einer weiteren Outputeinheit Null betragt.

d) Das gesellschaftliche Wohlfahrtsmaximum ist erreicht, wenndie Grenzkosten einer weiteren Outputeinheit den Durch-schnittskosten entsprechen.

4

Zu Kapitel 13: Allgemeines Gleichgewicht

Aufgabe 9

Anna und Bert trinken Bier (Gut 1) und Wein (Gut 2). Es bezeichnen x1A Annas Bierkon-

sum, x2A Annas Weinkonsum, x1

B Berts Bierkonsum und x2B Berts Weinkonsum. Annas

Praferenzen werden durch die Nutzenfunktion uA = min(x1A, x2

A) dargestellt, wahrendBert die Nutzenfunktion uB = x1

B + x2B hat. Insgesamt stehen 12 Liter Bier und 8 Liter

Wein zur Verfugung. Welche der folgenden Allokationen ist Pareto-effizient?

(a) Bert trinkt 12 Liter Bier und 8 Liter Wein, Anna trinkt weder Bier noch Wein.

(b) Anna trinkt 8 Liter Bier und 8 Liter Wein; Bert trinkt weder Bier noch Wein.

(c) Jeder der beiden trinkt 6 Liter Bier und 4 Liter Wein.

(d) Anna trinkt 8 Liter Bier und 8 Liter Wein; Bert trinkt 4 Liter Bier und 0 LiterWein.

Aufgabe 10

Die beiden Geschwister Armin und Birgit versuchen, sich hinsichtlich der Aufteilung dervon ihnen am Ostersonntag im Garten gefundenen Sußigkeiten einig zu werden. Zusam-men haben sie 12 Schokoladeneier xS sowie 12 Osterhasen xH gefunden. Die Nutzenfunk-tionen sind jeweils gegeben durch

uA = xSA · (xH

A )2

uB = (xSB)

2 · xHB

(a) Leiten Sie die Kontraktkurve her.

(b) Sind die Verteilungen z1: ”Armin besitzt alles, Birgit nichts” oder z2: ”Jederbekommt jeweils 6 Eier und 6 Hasen” pareto-optimal?

(c) Angenommen, die Eltern haben - Streitigkeiten vorhersehend - die gefundenenSchatze gemaß z2 aufgeteilt. Ist es denkbar, daß die beiden durch anschließendeVerhandlungen zu dem Zustand z3: ”Armin erhalt 5 Schokoladeneier (Birgit 7) und7 Osterhasen (Birgit 5) gelangen? Ist zur Beurteilung ein interpersoneller Nutzen-vergleich notwendig?

(d) Ist z3 ein moglicher Endzustand von Verhandlungen?

Aufgabe 11

Die Nutzenfunktionenen uA und uB zweier Haushalte seien gegeben durch

uA = (x1A)

13 · (x2

A)23 bzw. UB = (x1

B)23 · (x2

B)13

mit den zwei zur Verfugung stehenden Gutermengen x1 = x1A + x1

B bzw. x2 = x2A + x2

B.Stellen Sie die Kontraktkurve x2

A = f(x1, x2, x1A) algebraisch dar und verdeutlichen Sie

das Ergebnis graphisch fur den Fall x1 = x2 = 1.

5

Aufgabe 12

Gegeben sind folgende Nutzenfunktionen:

uA(x1A, x2

A) = MIN(x1A, 2 · x2

A)

uB(x1B, x2

B) = MIN(x1B, 2 · x2

B)

(a) Charakterisieren Sie die Nutzenfunktionen.

(b) Zeichnen Sie eine Edgeworthbox, wenn beide Guter x1 und x2 in gleicher Hohe x = 1gegeben sind. Wie sieht die Kontraktkurve aus?

(c) Erlautern Sie pareto-verbessernde Tauschmoglichkeiten, wenn die Ausgangsausstat-tung gegeben ist durch

ω1A = ω2

B =3

4

ω2A = ω1

B =1

4

Die Nutzenfunktion des zweiten Haushalts andert sie folgendermaßen:

uB(x1B, x2

B) = MIN(2 · x1B, x2

B)

(d) Wie sieht nun die Kontraktkurve aus?

(e) Erlautern Sie auch hier pareto-verbessernde Tauschmoglichkeiten bei der in (c)angegebenen Anfangsausstattung.

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Aufgabe 13

Eine Okonomie besteht aus zwei Haushalten, die zwei Guter konsumieren und konvexe,monotone Praferenzen haben.Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

(a) Wenn die Preise nicht die Gleichgewichtspreise sind, dann ist die Summe der mitden Preisen bewerteten Uberschussnachfragefunktionen der beiden Haushalte furjedes Gut positiv.

(b) Ausgehend von der Allokation eines Wettbewerbsgleichgewichts kann eine Pareto-Verbesserung moglich sein.

(c) Wenn an der Anfangsausstattung die Grenzraten der Substitution der beiden Haushalteubereinstimmen, dann ist die Anfangsausstattung die Allokation eines Wettbewerbs-gleichgewichts.

Aufgabe 14

Die beiden Guter x1 und x2 werden durch den Einsatz der Faktoren A (Arbeit) und K(Kapital) hergestellt. Die Produktionsfunktionen sind gegeben durch xi = xi(Ai, Ki), unddie beiden Produktionsfaktoren stehen zueinander in einem substitutiven Verhaltnis. Ins-gesamt stehen fur die Produkton beider Guter Faktormengen von K und A zur Verfugung.

(a) Skizzieren Sie analog zur Edgeworthbox in einer ”Faktorbox” die Kurve effizienterProduktionen und erlautern Sie die Marginalbedingung fur eine optimale Faktoral-lokation.

(b) Erortern Sie nun anhand eines weiteren Diagramms den Zusammenhang zwischendieser ”Faktorbox” und der Transformationskurve von x1 und x2. Erlautern Siedabei die Bedeutung der Grenzrate der Transformation und ihren Zusammenhangzu den Grenzproduktivitaten der Faktoren.

(c) Veranschaulichen Sie die Auswirkungen einer Zunahme beider Faktormengen aufdie Faktorbox und die Produktionsmoglichkeitengrenze.

(d) Wo liegen Allokationspunkte von Arbeit und Kapital in Relation zur Produktions-moglichkeitengrenze, die in der Faktorbox nicht auf der Kurve effizienter Produktionliegen?

7

Aufgabe 15

Gegeben sei die in Aufgabe 14 beschriebene Konstellation. Ferner gilt fur eine bestimmteFaktorallokation:

TRS1AK > TRS2

AK

Wahr Falsch

a) Von x1 kann ohne Reduzierung der x2-Produktionmehr produziert werden, wenn Kapital von der x2-zur x1-Produktion und Arbeit von der x1- zur x2-Produktion transferiert wird.

b) Aufgrund der Faktorknappheit kann die Produk-tion von x1 nur durch eine Reduzierung der Pro-duktion von x2 erhoht werden.

c) Da TRS2 geringer ist als TRS1, kann die Produk-tion von x2 nur durch eine Reduzierung der Pro-duktion von x1 gesteigert werden.

d) Von x1 kann ohne Reduzierung der x2-Produktionmehr produziert werden, wenn Arbeit von der x2-zur x1-Produktion und Kapital von der x1- zur x2-Produktion transferiert wird.

Aufgabe 16

Der kleine Peter sammelt am Strand Muscheln und Krebse. Wenn er A1 Stunden amStrand herumspaziert, findet er

x1 = A1

Beutel Muscheln. Bei einem Aufwand von A2 Stunden Suche nach Krebsen kann er

x2 =

√A2

2

Krebse sammeln. Ihm stehen in den Urlaubstagen insgesamt A = 32 Stunden zum Suchenzur Verfugung.

(a) Berechnen Sie die Transformationskurve algebraisch und stellen Sie sie graphischdar.

(b) Berechnen Sie den Ausdruck fur die Grenzrate der Transformation dx2

dx1.

8

(c) Am Ende des Urlaubs kann Peter seine Vorrate an Muscheln fur p1 = 1 und seineKrebse, die solange qualitatssichernd gelagert wurden, fur p2 = 4 verkaufen. Wiesollte Peter sein Zeitbudget optimal aufteilen und welche Erlose kann er maximalerzielen?

Aufgabe 17

Die Produktionsfunktionen zur Herstellung zweier Guter y1 und y2 sind gegeben durch

y1(x11, x

12) = 2(x1

1)13 (x1

2)23 und y2(x2

1, x22) = 2(x2

1)13 (x2

2)23 .

Der gesamte Faktorbestand sei fest gegeben durch x1 und x2.

(a) Wie verlauft die Kontraktkurve?

(b) Berechnen Sie die Transformationskurve y1(y2, x1, x2).

(c) Ermitteln Sie Steigung und Achsenabschnitte der Transformationskurve.

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Zu Kapitel 14: Ersparnis und Investition

Aufgabe 18

Ulrich Unbedarft hat fur 2 Perioden unterschiedliche Einkunfte zur Verfugung. In Periode1 verfugt er uber ein Einkommen in Hohe von m1, in Periode 2 eine sichere Rente in Hohevon m2. Auf dem Kapitalmarkt kann Geld zum Zinssatz r angelegt oder geliehen werden.Ulrichs Nutzenfunktion ist gegeben durch

u(c1, c2) = c21 · c2

(a) Stellen Sie Ulrichs Konsummoglichkeiten in einer geeigneten Graphik dar und stellenSie die Budgetgleichung auf.

(b) Ermitteln Sie das optimale Konsumguterbundel (c∗1, c∗2).

(c) Wie groß muß m2 wenigstens sein, damit Ulrich keine Ersparnisse bildet?

(d) Der Staat hat große Bedenken hinsichtlich der Mundigkeit seiner Burger, selbstfur ausreichende Alterseinkunfte zu sorgen. Daher fuhrt er zum Zeitpunkt 1 eineZwangsabgabe in Hohe von Z mit Z < m1 ein, die - verzinst - in der 2. Periodezuruckgezahlt wird. Erlautern Sie anhand einer Graphik, welche Auswirkungen diesauf die Entscheidung von Ulrich haben kann, wenn zudem keine Moglichkeit besteht,sich diese Zwangsabgabe am Kapitalmarkt durch einen Kredit in entsprechenderHohe zuruckzuholen.

Aufgabe 19

Unterstellen Sie einen Haushalt mit einer intertemporalen Nutzenfunktion des Typsu(c1, c2) = cα

1 · cβ2 mit 0 < α, β < 1, der seinen Nutzen uber zwei Perioden maximiert.

Sein Einkommen m1 = m2 = m ist in jeder Periode exogen vorgegeben; er hat jedoch dieMoglichkeit, sich zum Zinssatz r am Kreditmarkt zu verschulden oder zum gleichen ZinsErsparnisse anzulegen. Das Preisniveau betrage p = 1

(a) Schreiben Sie die Budgetrestriktionen fur die einzelnen Periode und fur die gesamtLebenszeit auf. Wie lautet allgemein die Bedingung erster Ordnung fur ein Nutzen-maximum (das ”zeitliche 2. GOSSENsche Gesetz”), und wie lautet sie im Falle dergegebenen Nutzenfunktion?

(b) Stellen Sie das Entscheidungsproblem des Haushalts in einem (c1, c2)-Diagrammgraphisch dar. Wie beeinflussen Einkommens- und Zinssatzanderungen die optimaleEntscheidung des Haushaltes?

(c) Es gelte α = 2 · β. Berechnen Sie das intertemporale Haushaltsgleichgewicht fur dieSituation r = 0.1 und m = 110.

(d) Bei welchem Zinssatz r konsumiert der Haushalt im Falle α = β in jeder Periodegenau das Einkommen m?

10

(e) Bei welchem Zinssatz r, allgemein abhangig von α > 0 und β > 0, konsumiert derHaushalt in jeder Periode genau das Einkommen m?

Aufgabe 20

Ein Haushalt erziele ein Einkommen von m1 = 100 in Periode 1 und von m2 = 60 inPeriode 2. Das Preisniveau betrage p = 2. Er konsumiert zu den jeweiligen Zeitpunktendie Gutermengen c1 und c2 und kann dabei zum Zinssatz r sowohl Ersparnisse anlegenals auch Kredite aufnehmen. Seine intertemporale Nutzenfunktion ist gegeben durch

u(c1, c2) = ln c1 + α ln c2

(a) Bestimmen Sie die optimale Konsumaufteilung fur den Fall α = 0, 2 und r = 20%.Ist der Konsument Sparer oder Schuldner? Bei welchem Parameterwert α wurde erin beiden Perioden gleich viele Guter konsumieren?

(b) Erlautern Sie die sich ergebenden Effekte, die ein Anstieg des Zinssatzes auf dasKonsumverhalten hatte. Welche Auswirkungen auf die Hohe des Gegenwartskon-sums und des Zukunftskonsums waren zu erwarten?

(c) Angenommen, der Haushalt muss auf dem Kreditmarkt fur seine Kredite einenZinssatz rK > r in Kauf nehmen. Stellen Sie die Budgetrestriktion des Haushaltesin diesem Fall in einem geeigneten Diagramm dar.

(d) Der Haushalt kann davon ausgehen, dass zum Zeitpunkt 2 das Preisniveau aufp2 > p angestiegen ist. Stellen Sie nun die intertemporale Budgetrestriktion aufund berechnen Sie die optimale Entscheidung fur die in (a) angebenenen Parameter,wenn p2 = 10

9· p gilt und der Zinssatz wieder einheitlich mit r = 20% gegeben ist.

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Zu Kapitel 15: Risiko und Versicherungsmarkte

Aufgabe 21

Ein Haushalt hat sich zwischen zwei Alternativen A und B zu entscheiden, wobei er bei derEntscheidung fur A mit einer Wahrscheinlichkeit von ΠA = 25% einen Einkommenszuflußvon 400 Geldeinheiten (GE) und mit 1−ΠA = 75% einen Einkommenszufluß von 64 GEerreichen kann. Bei Alternative B erzielt er mit ΠB = 25% 256 GE und mit 1−ΠB = 75%100 GE.

(a) Berechnen Sie den Erwartungswert fur die Alternativen A und B.

(b) Der Haushalt habe die Nutzenfunktion u(c) =√

c mit c als dem realisierten Einkom-menszufluß. Berechnen Sie den Erwartungsnutzen fur die beiden Alternativen. Furwelche Alternative entscheidet sich der Haushalt?

Aufgabe 22

Ein Haushalt habe die Nutzenfunktion u(c) = 5 ·√

c + 200. Sein Vermogen betragt 4Mio. Euro. Welchen Betrag ist der Haushalt hochstens bereit, fur den Abschluß einerVermogensversicherung zu bezahlen, wenn er sein Vermogen mit einer Wahrscheinlichkeitvon Π = 10% vollstandig verliert und ihm mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% nur 2,56Mio. Euro verbleiben? Welche Summe muss ein Versicherungsanbieter, der ohne Gewinnarbeitet, wenigstens verlangen, um die zu erwartenden Risiken decken zu konnen? Wiegroß ist also der Spielraum fur den Versicherungsbeitrag in diesem Fall?

Aufgabe 23

Helmut Hartgeld hat es geschafft - er sitzt bei Gunther Jauch auf dem Stuhl und beant-wortet Fragen in der Hoffnung, es bis zum Millionar zu schaffen. Bei der viertletzten Frageallerdings verbrat er seinen letzten Joker - er hat nun die Auswahl zwischen 2 Antworten,von denen eine richtig ist. Beantwortet er sie korrekt, gewinnt er 64.000 Euro, antworteter nicht, kann er mit 32.000 Euro nach Hause gehen, beantwortet er die Frage falsch, fallter auf 16.000 Euro zuruck.

a) Angenommen, Helmuts Nutzenfunktion sei gegeben durch u(c) =√

c10

mit c demGeldbetrag, den er mit nach Hause nehmen kann. Wird er das Risiko eingehen undraten?

b) Zu welchem Ergebnis ware er gekommen, wenn er den 50/50-Joker nicht mehrgehabt hatte und aus einer von 4 Antworten hatte wahlen mussen?

c) Vor dem Einsatz des 50/50-Jokers hatte er folgende strategische Uberlegung machenkonnen: Er setzt den Joker noch nicht ein, rat mit einer Wahrscheinlichkeit von25% richtig und bekommt anschließend die 125.000 Euro-Frage gestellt, von derer aufgrund seiner Erfahrung als langjahriger Fernsehzuschauer annehmen kann,er wisse ihre Antwort mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Falls nicht, wurde

12

er dann seinen gesparten Joker einsetzen konnen, zwei falsche Antworten streichenund anschliessend zwischen den beiden ubrig gebliebenen Antworten raten. Ist dieseStrategie der sofortigen Verwendung des 50/50-Jokers vorzuziehen?

d) Wie sahen die Uberlegungen in (a)-(c) aus, wenn Helmut vollig risikoneutral ware?

Aufgabe 24

Herr Muller hat ein Vermogen in Hohe von 1000 Euro. Mit Wahrscheinlichkeit 10% trittein Schaden ein, der dieses Vermogen auf 500 Euro absenkt. Die Praferenzen von HerrnMuller werden durch die von-Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion u(c) dargestellt, furdie gilt u′(c) > 0 und u′′(c) < 0.

Wahr Falsch

a) Herr Muller ist risikoneutral.

b) Der Erwartungswert des Nutzens aus demVermogen ist fur Herrn Muller großer als derNutzen aus dem Erwartungswert des Vermogens.

c) Herr Muller wurde eine Versicherungspolice, dieden gesamten Schaden fur eine Pramie in Hohevon 50 Euro abdeckt, in Anspruch nehmen.

d) Ein risikoneutrales Versicherungsunternehmen istbereit, den Schaden fur eine Pramie in Hohe von40 Euro zu versichern.

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Zu Kapitel 16: Spiele in Normalform

Aufgabe 25

In einem Land steht eine wichtige Wahl unmittelbar bevor. Die Wahlprogramme x, uberdie abzustimmen sind, konnen Werte zwischen 0 (links) und 1 (rechts) annehmen. Furjeden Wahler gibt es ein Programm, das er am meisten schatzt. Diese praferierten Pro-gramme sind zwischen den beiden Extremen 0 und 1 gleichverteilt. Am Wahlsonntagstimmt jeder Wahler fur denjenigen der beiden zur Verfugung stehenden Politiker, dessenProgramm seiner Praferenz am Nahesten ist.

a) Im Wahlkampf kundigt der eine Politiker, der immer die Wahrheit sagt, an, fur einProgramm von x = 0.4 einstehen zu wollen. Der andere Politiker dagegen ist nurdarauf aus, die meisten Stimmen auf sich zu vereinigen. Mit welchem Programm xwird dieser Politiker die Wahl antreten?

b) Vor der nachsten Wahl hat der Politiker mit dem Programm von 0.4 gelernt, dassdie Enthullung seiner wahren Praferenzen nicht zu einem Sieg fuhrt. Jetzt verfolgtauch er das alleinige Ziel, die Stimmen zu maximieren. Bestimmen sie das Nash-Gleichgewicht fur diese Wahl.

Aufgabe 26

Zum Schutze der Umwelt beschließt der Staat, dass alle Gebrauchtwagen, die den Besitzerwechseln, eine zusatzliche Abgasreinigungsanlage benotigen. Die Installierungskostender Abgasreinigungsanlage sind 500 Euro. Uberpruft die KFZ-Zulassungsstelle, ob eineAbgasreinigungsanlage eingebaut worden ist, so entstehen dem Staat Kosten in Hohevon 100 Euro. Wird ein Auto ohne Abgasreinigungsanlage zugelassen, so entsteht einUmweltschaden, dessen Behebung 8000 Euro kosten wurde. In dem Gesetz wird festgelegt,dass ein Halter, der versucht, ein KFZ ohne Abgasreinigungsanlage zuzulassen, das Autonachrusten muss, die Kosten der Kontrolle tragt und zusatzlich einen Monat Fahrverboterhalt. Das Fahrverbot zwingt den Autofahrer zum Taxifahren, das mit Kosten in Hohevon 3400 Euro verbunden ist.

a) Vervollstandigen Sie die folgende Auszahlungsmatrix.

Staat

Uberprufung ohne Uberprufung

Mit Abgasreinigung −500,−100 ,

Kfz-Eigentumerohne Abgasreinigung , ,

b) Existiert ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien? c) Der Staat uberpruft dieAutos mit einer Wahrscheinlichkeit von y. Der Anteil der Autofahrer, die sich andas Gesetz halten, betragt x. Bestimmen Sie das gemischte Gleichgewicht.

14

Aufgabe 27

Ein Ladendieb uberlegt, in einem Kaufhaus eine Beute im Wert von b > 0 zu stehlen.Wenn der Kaufhausdetektiv wachsam ist, dann wird der Ladendieb uberfuhrt. Diesermuss dann die Beute wieder hergeben und wird mit einer Strafe in Hohe von s > 0belegt. Der Detektiv erhalt fur die Uberfuhrung des Diebes eine Pramie in Hohe vonp > 0. Anstatt wachsam zu sein, kann der Kaufhausdetektiv aber auch eine Kaffeepauseeinlegen, die ihm einen Erholungswert in Hohe von e > 0 verschafft, wobei p > e gilt. Indiesem Fall bleibt ein moglicher Diebstahl unentdeckt.

a) Stellen Sie diese Situation als Spiel in Normalform dar.

b) Zeigen Sie, dass es kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien gibt.

c) Bestimmen Sie das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien.

d) Welche der folgenden Maßnahmen reduzieren die Wahrscheinlichkeit eines Dieb-stahls? (i) strengere Strafe, (ii) hohere Pramie fur den Kaufhausdetektiv, (iii)weniger lohnende Beute, (iv) unattraktivere Kaffeepause?

Aufgabe 28

Gegeben sei das folgende Spiel in Normalform.

Spieler 2links rechts

oben x, 2 0, 0Spieler 1

unten 0, 0 2, 1

Wahr Falsch

a) Fur x = 1 ist “oben, links” das einzige Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien.

b) Fur x = 1 gibt es mindestens ein Nash-Gleichge-wicht in gemischten Strategien.

c) Wenn x ≥ 0 gilt, dann ist “oben, links” ein Nash-Gleichgewicht.

d) Wenn x > 2 gilt, dann ist “oben” eine dominanteStrategie fur Spieler 1.

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Aufgabe 29

Die Multikonzern AG plant in Periode 1 ein Dirketinvestition im Land Fiskalia im Umfangvon k ≥ 0. In Periode 2 wird damit ein Output in Hohe von f(k) erzielt, wobei f ′(k) >0 und f ′′(k) < 0 gelten. Das investierte Kapital wird in der Produktion vollstandigverbraucht. Der Zinssatz ist r > 0.

(a) Bestimmen Sie die notwendige Bedingung fur das gewinnmaximierende Investi-tionsvolumen.

(b) Fiskalia erhebt von dem Unternehmen eine pauschale Steuer in Hohe von T > 0.Welchen Einfluss hat diese Steuer auf die Investitionsentscheidung?

(c) Die Steuer werde nun von der Regierung von Fiskalia am Beginn der Periode 2 fest-gesetzt, nachdem die Multikonzern AG ihre Investition getatigt hat. Nachdem dieSteuer bekannt gegeben ist, hat die Multikonzern AG die Moglichkeit, das Kapitalzu repatriieren und in ihrem Heimatland in der Produktion einzusetzen. Dann zahltsie in Fiskalia keine Steuer, aber der Output ist im Heimatland um den Faktor c,0 ≤ c ≤ 1, geringer als bei der Produktion in Fiskalia.

(c1) Welchen Steuerbetrag T verlangt die Regierung von Fiskalia, wenn sie dieSteuereinnahme maximieren will?

(c2) Bestimmen Sie die notwendige Bedingung fur das optimale Direktinvestition-sniveau, das die Multikonzern AG in Periode 1 wahlt.

(c3) Wie verandert sich das optimale Dirketinvestitionsniveau in Abhangigkeit vonc?

(c4) Diskutieren Sie, durch welche Maßnahmen Fiskalia seine Attraktivitat fur Di-rektinvestitionen steigern konnte.

Aufgabe 30

Betrachten Sie das folgende Spiel in Extensivform:

0

\\

\\

\\

\\

\\\

ee

eee

��

���

Spieler 1

Spieler 1

Spieler 2

Spieler 2

Spieler 2

Auszahlungen

2

2

%%

%%

%%

%%

%%

%%

0 33

11

RL

l l* r*r

16

(a) Ubertragen Sie dieses Spiel in ein Normalformspiel. Beachten Sie dabei, dass Spieler2 sich in den beiden fur ihn relevanten Entscheidungsknoten unterschiedlich verhal-ten kann.

(b) Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien dieses Spiels.

(c) Welche(s) dieser Nash-Gleichgewichte sind (ist) teilspielperfekt?

Aufgabe 31

A und B verhandeln uber die Aufteilung eines Gewinns von 10 Euro. Beginnend mitA schlagen A und B abwechselnd eine Aufteilung vor, die der andere annehmen oderablehnen kann. Sobald der Antwortende annimmt, wird der in dieser Runde noch vorhan-dene Gewinn entsprechend aufgeteilt. Bei Ablehnung beginnt eine neue Verhandlungsrunde.Von Runde zu Runde sinkt der Gewinn um 1 Euro, so dass bei Einigung in Runde 2 nur9 Euro, bei Einigung in Runde 3 nur 8 Euro usw. zu verteilen sind. Nehmen Sie an,dass der antwortende Spieler einen Vorschlag annimmt, wenn er zwischen Annahme undAblehnung indifferent ist.Zu welcher Aufteilung kommt es im teilspielperfekten Gleichgewicht? In welcher Rundeeinigen sich beide?

Aufgabe 32

A und B verhandeln uber die Aufteilung eines Gewinns von 1 Euro. A und B schlagenabwechselnd eine Aufteilung vor, die der andere annehmen oder ablehnen kann. In unger-aden Perioden schlagt A vor, in geraden B.A diskontiert Auszahlungen mit dem Diskontfaktor δA, B diskontiert Auszahlungen mitdem Faktor δB. Dabei gilt δB > δA. Nehmen Sie an, es gabe ein eindeutiges teilspielper-fektes Nash-Gleichgewicht.Welche Aufteilung wird beschlossen? Wann kommt es zur Einigung?

Aufgabe 33

Auf dem Markt fur ein homogenes Gut sind zwei Dypolisten 1 und 2 tatig, die die Mengeny1 bzw. y2 anbieten. Die Kostenfunktionen der beiden Unternehmen sind identisch undlauten

c(y1) = 3y1 bzw. c(y2) = 3y2

Die Preis-Absatz-Funktion ist

p(y) = 15− 2y

wobei y die gesamte auf dem Markt abgesetzte Menge bezeichnet.

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(a) Beide Unternehmen bestimmen ihre Angebotsmenge fur gegebene Menge des an-deren Unternehmens. Berechnen Sie die von jedem Unternehmen abgesetzte Menge,den Marktpreis und den Gewinn jedes der beiden Unternehmen im Gleichgewichtder so bestimmten Entscheidungen.

(b) Welche Menge und welchen Preis wurden die beiden Unternehmen wahlen, wennsie den gemeinsamen Gewinn maximieren wurden? Wie groß ist dieser maximalegemeinsame Gewinn? Erklaren Sie, warum eine Kartellvereinbarung, die diesenGewinn erreichen soll, nicht stabil ist.

(c) Welche Menge und welcher Preis wurden sich einstellen, wenn die Unternehmensich wie unter vollkommener Konkurrenz verhalten wurden? Vergleichen Sie dieAllokationen aus a), b) und c) hinsichtlich der gesell- schaftlichen Wohlfahrt.

Aufgabe 34

Betrachten Sie das Modell aus Aufgabe 34. Nun gelte, dass Unternehmen 1 seine Ange-botsmenge zuerst festlegt. In Kenntnis dieser Menge bestimmt dann Unternehmen 2 seineAngebotsmenge.

(a) Bestimmen Sie die optimale Angebotsmenge des Unternehmen 2 in Abhangigkeitder zuvor festgelegten Menge y1. Um wieviel andert Unternehmen 2 seine Menge,wenn Unternehmen 1 seine Menge um eine Einheit erhoht?

(b) Begrunden Sie ohne Rechnung, warum Unternehmen 1 einen Gewinn erzielt, dermindestens so groß ist wie bei gleichzeitiger Entscheidung uber die Angebotsmengen.

(c) Berechnen Sie die optimale Angebotsmenge des Unternehmens 1, die daraufhingewahlte Menge des Unternehmens 2 und den Preis, der sich einstellt. WelchenGewinn erzielen die beiden Unternehmen?

Aufgabe 35

Auf dem Markt fur ein homogenes Gut sind zwei Dyopolisten i = 1; 2 tatig, die dieMengen y1 bzw. y2 anbieten. Die Preis-Absatz-Funktion lautet p(y), wobei p′(y) < 0gilt und y die gesamte auf dem Markt abgesetzte Menge bezeichnet. Die Technologiender beiden Unternehmen weisen jeweils konstante Grenzkosten und keine Fixkosten auf.Die Grenzkosten des Unternehmens 1 sind c1, die des Unternehmens 2 sind c2. Es gilt0 < c1 < c2. Betrachten Sie in a) bis d) ein Cournot-Gleichgewicht, in dem beideUnternehmen eine positive Menge produzieren.

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Wahr Falsch

a) Im Cournot-Gleichgewicht gilt fur beide Un-ternehmen i = 1,2

p(y) + p′(y) · yi = ci.

b) Im Cournot-Gleichgewicht verlangt Unternehmen1 einen geringeren Preis als Unternehmen 2.

c) Im Cournot-Gleichgewicht setzt Unternehmen 1eine großere Menge ab als Unternehmen 2.

d) Im Cournot-Gleichgewicht erzielen beide Un-ternehmen den selben Gewinn.

e) Bei gemeinsamer Gewinnmaximierung wird dieProduktion in Unternehmen 2 eingestellt.

Aufgabe 36 (Fusionsparadoxon)

Auf einem Markt sind die drei Oligopolisten A, B und C tatig. Die Technologie der Un-ternehmen weist identische, konstante Grenzkosten in Hohe von c > 0 und keine Fixkostenauf. Die Preis-Absatz-Funktion lautet

p(y) = a− by

wobei y die gesamte auf dem Markt abgesetzte Menge bezeichnet und a > 0, b > 0gelten.

(a) Berechnen Sie die von jedem Unternehmen abgesetzte Menge, den Marktpreis undden Gewinn jedes der drei Unternehmen im symmetrischen Cournot-Gleichgewicht.

(b) A und B fusionieren zum neuen Unternehmen X, das weiterhin uber die selbe Tech-nologie verfugt. Betrachten Sie das Cournot-Gleichgewicht, das sich nach der Fusioneinstellt. Welche Mengen werden zu welchem Preis von X und C abgesetzt, undwelche Gewinne erzielen diese beiden Unternehmen? Hat sich die Fusion gelohnt?Welchen Einfluss hat die Fusion auf C?

(c) Nun fusionieren auch C und X zum Unternehmen Y . Welche Menge setzt das neueUnternehmen Y ab, welcher Preis stellt sich ein? Lohnt sich diese Fusion? ErklarenSie die Ergebnisse aus b) und c).

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Aufgabe 37

Auf dem Markt fur ein homogenes Gut sind zwei Dyopolisten tatig, die ohne Fixkostenmit identischen, konstanten Grenzkosten produzieren. Die Marktnachfragefunktion istlinear fallend. Die Unternehmen entscheiden simultan entweder uber Mengen (Cournot-Gleichgewicht) oder uber Preise (Bertrand-Gleichgewicht).

Wahr Falsch

a) Die gesamte gehandelte Menge ist im Cournot-und im Bertrand-Gleichgewicht identisch.

b) Im Bertrand-Gleichgewicht ist der Gewinn so großwie bei vollkommener Konkurrenz.

c) Im Cournot-Gleichgewicht ist die Summe derGewinne beider Unternehmen so groß wie der max-imale Gewinn eines Monopolisten.

d) Im Bertrand-Gleichgewicht ist der Preis niedrigerals im Cournot-Gleichgewicht.

e) Im Bertrand-Gleichgewicht ist die Konsumenten-rente niedriger als im Cournot-Gleichgewicht.

Aufgabe 38

Der risikoneutrale Eigentumer einer Profifußballmannschaft gibt als Saisonziel die Quali-fikation fur die Champions-League (C-L) vor. Auf dem Transfermarkt befindet sich eingenialer aber auch launischer Spielmacher, der in einer Saison entweder ein durchschnitt-liches Anstrengungsniveau von 100 oder 50 leisten kann. Ein hoheres Anstrengungsniveaubedeutet den Einzug in die C-L mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.8, wahrend das gerin-gere Niveau diese auf 0.4 verringert. Die C-L-Teilnahme sichert dem Verein Einnahmenvon 10 Mio; wird die C-L nicht erreicht, werden lediglich 2 Mio eingenommen.Der Eigentumer des Vereins will dem Spielmacher einen Vertrag anbieten, der ihn mittelsmonetarer Anreize zu Hochstleistungen motivieren soll. Er uberlegt, das Grundgehalt desSpielmachers durch eine zusatzliche Bonuszahlung im Fall des C-L-Einzuges zu erganzen.Sollte sich der Spielmacher nicht anstrengen, droht ihm eine exorbitante Strafe. Lehnt derSpielmacher ein Engagement beim betrachteten Verein ab, betragt sein Nutzen 900. DerEigentumer will die erwarteten Einnahmen maximieren. Der Nutzen des Spielmachersergibt sich aus √

Zahlung − Anstrengungsniveau.

(a) Charakterisieren Sie die Nutzenfunktion des Spielmachers.

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(b) Welche Bedingung muss der Vertrag bei unterstellter Rationalitat erfullen, damitder Spielmacher ihn annimmt?

(c) Wie hoch sind jeweils die Zahlungen an den Spielmacher? Interpretieren Sie dasErgebnis.

Aufgabe 39

Ein Unternehmer stellt zur Leitung seiner Firma einen Manager ein. Er kann nichtbeobachten, ob dieser einen hohen Arbeitseinsatz ah = 0, 5 oder einen niedrigen Arbeit-seinsatz al = 0, 1 leistet. Beobachtbar ist jedoch der erzielte Output des Unternehmens,der entweder y1 = 140 oder y2 = 80 betragen kann.

Wenn der Manager mit dem Arbeitseinsatz ah arbeitet, kann mit einer Wahrscheinlichkeitvon πh = 0, 5 ein Output von y1 realisiert werden. Falls der Manager nur einen Arbeit-seinsatz von al wahlt, kann lediglich mit der Wahrscheinlichkeit von πl = 0, 1 der Outputvon y1 realisiert werden. Mit der Wahrscheinlichkeit (1 − πh), bzw. (1 − πl) ergibt sichals Ergebnis jeweils y2. Der Manager wird nicht arbeiten, wenn Uo < 5 gilt.

(a) Die Nutzenfunktion eines risikoneutralen Managers lautet u(wi) = wi, wobei i = 1, 2gilt. Berechnen Sie den Betrag, den dieser Manager bereit ist, dem Unternehmerfur einen Vertragsabschluss zu zahlen. Welches Einkommen hat der Manager nachAbzug dieser Zahlung?

(b) Gehen Sie nun davon aus, dass dieser Manager risikoavers ist und seine Nutzen-funktion u(wi) =

√wi lautet, wobei i = 1, 2 gilt. Der Unternehmer zahlt ihm je

nach Output einen anderen Lohn aus. Berechnen Sie aus Sicht des Unternehmersdas optimale Entlohnungsschema mit w1, bzw. w2 .

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