AritmticaEste artculo trata sobre la aritmtica elemental. Para otros usos de este trmino, vase teora de nmeros.

Alegora de la Aritmtica.Pintura de Laurent de La Hyre.La aritmtica (del lat. arithmetcus, y este del gr. ,1 nmero) es la rama de la matemtica cuyo objeto de estudio son los nmeros y las operaciones elementales hechas con ellos: suma, resta, multiplicacin y divisin.

Al igual que en otras reas de la matemtica, como el lgebra o la geometra, el sentido de la aritmtica ha ido evolucionando con el progresivo desarrollo de las ciencias. Originalmente, la aritmtica se desarrolla de manera formal en la Antigua Grecia, con el refinamiento del rigor matemtico y las demostraciones, y su extensin a las distintas disciplinas de las ciencias naturales.2 En la actualidad, puede referirse a la aritmtica elemental, enfocada a la enseanza de la matemtica bsica; tambin al conjunto que rene el clculo aritmtico y las operaciones matemticas, especficamente, las cuatro operaciones bsicas aplicadas ya sea a nmeros (naturales, fracciones, etc.) como a entidades matemticas ms abstractas (matrices, operadores, etc); tambin a la as llamada alta aritmtica,3 mejor conocida como teora de nmeros.

ndice [ocultar] 1 Operaciones aritmticas2 Instrumentos de clculo3 Historia3.1 Origen3.2 Edad antigua3.3 Aritmtica formal en la Antigua Grecia3.4 Edad Media y Renacimiento europeo3.5 Civilizaciones precolombinas3.6 Aritmtica en China3.7 Aritmtica en la India: el cero y la notacin posicional3.8 Aritmtica rabe4 Alta aritmtica4.1 El Teorema Fundamental de la Aritmtica4.2 La axiomatizacin de la aritmtica4.3 El teorema de incompletitud de Gdel4.4 Aritmtica de segundo orden5 Escritos relacionados con la aritmtica6 Vase tambin7 Notas y referencias7.1 Bibliografa8 Enlaces externosOperaciones aritmticas[editar]

Suanpan:baco chino.Las cuatro operaciones bsicas (o elementales) de la aritmtica son:

SumaRestaMultiplicacinDivisinEn el sentido de la definicin propuesta, el sustantivo aritmtica, en los primeros grados de enseanza escolar, suele designarse simplemente como matemtica, la distincin comienza a precisarse con la introduccin del lgebra y la consiguiente implementacin de "letras" para representar "variables" e "incgnitas", as como las definiciones de las propiedades algebraicas tales como conmutatividad, asociatividad o distributividad, que son propias del lgebra elemental.4

De manera ms general, el cmputo numrico incluye, adems de las operaciones bsicas: el clculo de congruencias, la factorizacin, el clculo de potencias y la extraccin de races.5 En este sentido, el trmino aritmtica se aplica para designar operaciones realizadas sobre entidades que no son nmeros enteros solamente, sino que pueden ser decimales, racionales, etc., o incluso objetos matemticos con caractersticas completamente diferentes. El trmino aritmtica es utilizado tambin como adjetivo, como por ejemplo en una progresin aritmtica.

Instrumentos de clculo[editar]Vase tambin: Historia del hardwareLos utensilios para facilitar las cuentas numricas y el conteo han sido utilizados a travs de miles de aos, por ejemplo contar con los dedos estableciendo una correspondencia uno-a-uno con los dedos de la mano. El primer objeto para contar fue probablemente un palo de conteo. Registros posteriores, a lo largo del Creciente Frtil incluyen clculos (esferas de barro, conos, etc.) que representan cuentas de objetos, posiblemente granos.6 La numeracin con varillas es otro ejemplo.

Clculo mental

Contar con los dedos

Palos de conteo Numeracin china con varillas

Numeracin maya Tablilla babilnica

baco inca

Regla de clculo baco

Mquina de sumar

Calculadora de bolsilloHistoria[editar]Vase tambin: Historia de la matemticaOrigen[editar]Los orgenes de la aritmtica se pueden rastrear hasta los comienzos de la matemtica misma, y de la ciencia en general. Los registros ms antiguos datan de la Edad de Piedra: huesos, palos, piedras talladas y escarbadas con muescas, presumiblemente con fines de conteo, de representacin numrica y calendarios.

Edad antigua[editar]

Fracciones egipcias.Hay evidencias de que los babilonios tenan slidos conocimientos de casi todos los aspectos de la aritmtica elemental hacia 1800 a. C., gracias a transcripciones de caracteres cuneiformes sobre tablillas de barro cocido, referidas a problemas de geometra y astronoma. Solo se puede especular sobre los mtodos utilizados para generar los resultados aritmticos - tal y como se muestra, por ejemplo, en la tablilla de arcilla Plimpton 322, que parece ser una lista de ternas pitagricas, pero sin mostrar cmo se gener la lista.

Vase tambin: Matemtica babilnicaLos antiguos textos Shulba-sutras (datados ca. 800 a.C y 200 a.C) recopilan los conocimientos matemticos de la India durante el perodo vdico; constan de datos geomtricos relacionados con la construccin de altares de fuego, e incluyen el problema de la cuadratura del crculo.

Vase tambin: Matemtica indiaOtras civilizaciones mesopotmicas, como sirios y fenicios, alcanzaron grados de desarrollo matemtico similar que utilizaron tanto para el comercio como para la resolucin de ecuaciones algebraicas.

El sistema de numeracin egipcio, basado en fracciones unitarias, permita efectuar cuentas aritmticas avanzadas, como se muestra en papiros conservados como el Papiro de Mosc o el Papiro de Ahmes (que data de ca. 1650 a. C., aunque es una copia de un antiguo texto de ca. 1850 a. C.) que muestra sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, utilizando un sistema de fracciones, as como los problemas de determinar el volumen de una esfera, o el volumen de una prmide truncada. El papiro de Ahmes es el primer texto egipcio que menciona los 365 das del calendario egipcio, es el primer calendario solar conocido.

Vase tambin: Matemticas en el Antiguo EgiptoAritmtica formal en la Antigua Grecia[editar]Vase tambin: Matemtica helnicaLa aritmtica en la Grecia Antigua era considerada como el estudio de las propiedades de los nmeros, y no inclua clculos prcticos, los mtodos operatorios eran considerados u