INTRODUCTION À L’ARITHMÉTIQUE

I. Des entiers… 1) Avec quels ensembles de nombres travaille-t-on en arithmétique ?

L’arithmétique est l’étude des nombres entiers : on travaille donc avec l’ensemble des entiers naturels, noté ν, mais aussi avec l’ensemble des entiers relatifs, noté ζ.

ν = {0 ; 1 ; 2 ; …} ζ = {… ; –2 ; –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; …}

Signalons que, quand on ne précise pas, « entier » signifie toujours « entier relatif ».

2) Savoir traduire algébriquement certains entiers

• Pair/impair Un entier pair est un multiple de 2 : il peut s’écrire sous la forme 2n, où n est un entier relatif quelconque. Quand un entier n’est pas pair, il est dit impair : il peut s’écrire sous la forme 2n + 1, où n est un entier relatif quelconque.

• Consécutifs Deux entiers consécutifs sont deux entiers qui se suivent : ils peuvent s’écrire n et n + 1 par exemple (ou bien n – 1 et n ...), avec n entier relatif quelconque.

• Carré parfait Un carré parfait est le carré d’un entier : il peut s’écrire sous la forme n2 = n × n, avec n entier relatif quelconque.

3) Connaître les nombres

Pour faire de l’arithmétique, il est bon de fréquenter les nombres entiers et de savoir reconnaître certains d’entre eux. Qu’est-il important de bien connaître ?

• La table de Pythagore, faut-il le rappeler…

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

• Les carrés des premiers entiers, ceux que l’on voit sur une des diagonales de la table de Pythagore mais aussi :

n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 n2 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 625

• Les cubes de quelques entiers, ce n’est pas vraiment inutile :

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

• Les premières puissances de 2 et de 3 :

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

n 1 2 3 4 5 6 3n 3 9 27 81 243 729

• Se rappeler que l’on ne tombe pas toujours exactement sur une des suites précédentes : ainsi, la suite 1, 3, 7, 15, 31 etc. doit faire penser à une puissance de 2 diminuée de 1…

4) Remarque culturelle

L’ensemble des entiers naturels ν a été défini formellement par Péano (1858-1932) : il s’appuie sur la fonction S qui, à tout entier naturel, associe son successeur (S(n) = n + 1). L’idée est de définir un premier élément (le 0), puis, grâce à la notion de successeur, de parvenir à n’importe quel nombre entier. Péano part de quatre signes de base : ν, S, 1 et =, satisfaisant aux cinq propriétés suivantes :

1) ν est un ensemble ; 2) 0 appartient à ν ; 3) deux éléments de ν ayant le même successeur sont égaux ; 4) 0 n’est le successeur d’aucun élément de ν ; 5) si une partie P de ν contient 0 et si le successeur de tout élément de P appartient à P, alors P est égale à ν.

C’est la propriété 5 qui permet de justifier le raisonnement par récurrence. II. … aux non-entiers 1) Les rationnels et les irrationnels

• Rappelons qu’un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible p

qC’est une définition où sont encore présents les nombres entiers…

avec p et q entiers, q ≠ 0.

L’ensemble des nombres rationnels est noté IQ

• Une question se pose alors naturellement : tous les nombres sont-ils des nombres rationnels ? C’est un problème qui a été posé (sous une forme quelque peu différente) dès l’Antiquité grecque. La réponse est négative, comme le prouve le théorème suivant :

.

Théorème 2

Démonstration

n’est pas un nombre rationnel.

On suppose que 2 =

On peut supposer de plus la fraction irréductible (si ce n’est pas le cas, on la simplifie jusqu’à ce qu’elle le devienne).

pq où p et q sont des entiers naturels, q ≠ 0.

On en déduit : 2 = p2

q2

Le raisonnement est de nature arithmétique, basé sur des considérations de parité.

puis 2 × q2 = p2.

Puisque p2 = 2q2, p2 est un entier pair. Nécessairement p est pair. (pourquoi ?). Écrivons donc p sous la forme p = 2p’, avec p’ entier naturel. L’égalité p2 = 2q2 devient alors : 4 p’2 = 2q2, qui équivaut à : q2 = 2p’2. On en déduit que q2, et donc q, est un entier pair. Cette dernière conclusion est contradictoire avec le fait que p

qIl est donc impossible de mettre

est une fraction irréductible.

2 sous forme d’une fraction : par suite, 2 ∉ IQCe type de raisonnement, fréquemment utilisé en mathématique, s’appelle un raisonnement par l’absurde.

.

• Les nombres comme 2

L’ensemble de tous les nombres rationnels, réuni avec l’ensemble de tous les nombres irrationnels, constitue l’ensemble des nombres réels, noté ρ.

qui ne sont pas rationnels, sont dits irrationnels. Il existe en fait beaucoup de nombres irrationnels : citons π, e (la base des logarithmes népériens), ϕ (le nombre d’or).

2) Les décimaux et les non-décimaux

• Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule, comme par exemple –3,2 ; 7,456 ; 3,14 ; 5 ; 1,44Par contre,

. 13

L’ensemble des nombres décimaux se note δ.

= 0;33333… n’est pas un nombre décimal.

• Un nombre décimal est un nombre rationnel particulier car il peut s’écrire sous la forme p

10n où p est un entier relatif et n un entier naturel. En termes d’ensembles de

nombres, on dit que l’ensemble δ est inclus dans l’ensemble IQ (δ ⊂ IQ

Par exemple :

).

–3,2 = – 3210

= –

7,456 =

165

;

74561000

=

3,14 =

932125

;

314100

=

5 =

15750

;

51

Remarques

.

• Attention, il existe des nombres rationnels qui ne sont pas des nombres décimaux : 13,

comme on l’a vu, est un de ceux-là.

• Un nombre non-décimal possède une infinité de chiffres après la virgule.

2, qui n’est déjà pas un nombre rationnel, n’est donc pas non plus un décimal.

• Chacun des chiffres après la virgule, qu’il y en ait un nombre fini ou pas, est appelé une décimale du nombre.

3) Le développement décimal d’un nombre

• Obtenir le développement décimal d’un nombre réel, c’est écrire ce nombre sous la forme d’un nombre à virgule, possédant un nombre fini ou non de décimales.

• Le développement décimal d’un nombre décimal est fini, par définition. Intéressons-nous maintenant au cas des nombres rationnels.

Théorème

Un nombre rationnel admet : soit un développement décimal fini et c’est alors un nombre décimal ;

soit un développement décimal illimité mais périodique.

Démonstration

Soit p et q deux entiers naturels. On obtient le développement décimal de ± pq

On sait que le reste obtenu ne peut qu’être un des nombres 0, 1, 2, ..., q – 1.

en posant

tout simplement la division de p par q, comme on l’a appris à l’école primaire.

Si le reste est nul, la division s’arrête car elle tombe juste : dans ce cas, pq

Sinon la division se poursuivra indéfiniment puisque le reste ne sera jamais nul. Les restes possibles étant en nombre fini, on peut être sûr qu’au bout d’au plus q étapes, on retrouve un reste obtenu lors d’une étape précédente et donc, la même succession de chiffres au quotient.

qui possède un

nombre fini de chiffres après la virgule est bien un nombre décimal.

Exemples

Développement décimal de 17

Dans une division par 7, les restes possibles sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

1; 0 0 0 0 0 0 7 3 0 0;142857 2 0 6 0 4 0 5 0 1

Tous les restes possibles sont parcourus, sauf 0. Soit le 0 apparaît et la division tombe juste, soit c’est obligatoirement un des restes précédents qui revient : ici, c’est le 1 qui réapparaît (50 – 7 × 7 = 1) et on retrouve ensuite la même succession de chiffres au quotient.

17 = 0;142857 142857 142857… = 0;142857

Dans cette dernière écriture, la période (ici les décimales 142857) est écrite une fois, puis une deuxième fois en la soulignant : cela signifie conventionnellement qu’elle se répète indéfiniment.

142857

Développement décimal de 113

Dans une division par 13, les restes possibles sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12.

1; 0 0 0 0 0 0 13 1 0 0 0;076923 0 9 0 1 2 0 3 0 4 0 1

Les restes parcourus sont 1, 10, 9, 12, 3, 4 et le 1 réapparaît. On retrouve donc la même succession de chiffres au quotient (076923).

113

= 0;076923 076923 076923 … = 0;076923

De la même façon, on montrerait que

076923

528

= 0;17 857142

Tous ces résultats peuvent être obtenus par une TI89/92.

857142

Pour des nombres dont le développement décimal admet une période plus grande, par exemple 1

17, on peut encore obtenir ce développement décimal de manière indirecte.

On obtient 1

17 = 0;0588235294117647 0588235294117647

En fait, on se ramène à un calcul sur des nombres entiers, que la calculatrice peut gérer tant qu’ils ont moins d’environ 600 chiffres : de quoi couvrir en tout cas les besoins les plus courants !

, soit une période de 16

chiffres.

Remarque • En réalité les entiers, comme les décimaux, peuvent aussi s’écrire avec un développement décimal illimité qui se termine par une infinité de 9. Ainsi :

1 = 0;9999… = 0;92= 1;9999… = 1;99

9

3;14 = 3;139999 = 3;1399 Pour éviter les problèmes, ce type de développement n’est pas utilisé… On pourrait même dire qu’un décimal possède un développement décimal illimité périodique dont la période est constituée du seul chiffre 0. Par exemple;

3;56 = 3;560000… = 3;5600 • Un nombre irrationnel possède donc un développement décimal illimité (il n’est pas décimal) et non périodique (il n’est pas rationnel). C’est le cas de 2

0;1234567891011121314…

et de π. Cette remarque permet facilement de fabriquer des nombres irrationnels, comme par exemple le célèbre nombre de Champernowne égal à :

On comprend aussi mieux pourquoi les nombres irrationnels sont intuitivement beaucoup plus nombreux que les rationnels : en imaginant que l’on puisse prendre un nombre réel au hasard, il y a vraiment très peu de chances que le développement décimal soit périodique. Bilan • Les nombres dans leurs différences

• les nombres dans leurs ressemblances Derrière cette apparente diversité des nombres, se dissimule un point commun unificateur essentiel : tous les nombres réels possèdent un développement décimal.

nature du développement décimal nature du nombre fini nombre décimal

illimité périodique nombre rationnel non décimal illimité non périodique nombre irrationnel

ν

ζ δ

IQ

ρ

5 –10

5,72

–4,1

1/3

2

π

LES TECHNIQUES DE BASE

Le cours suivant est un rapide bilan des quelques techniques ou des notions rencontrées dans la partie exercices, et qu’il est indispensable de connaître au moment d’aborder l’arithmétique. Aucun exemple n’est donné : on les trouve dans la fiche d’exercices. III. Savoir chercher Les quelques points suivants ne doivent pas être oubliés quand on aborde un exercice : ils ne constituent pas une méthode systématique d’approche mais sont des éléments importants de réflexion. Savoir chercher, c’est aussi accepter de ne pas trouver et avoir la patience de « cent fois sur le métier, remettre son ouvrage »…

• Lire attentivement l’énoncé : le minimum est de comprendre la question posée.

• Faire fonctionner l’énoncé dans des cas particuliers, en donnant des valeurs à n : observer ce qui se passe et essayer d’en déduire des résultats généraux. La TI89/92 est un outil précieux dans cette phase de travail.

• Savoir utiliser la calculatrice qui est un outil d’exploration puissant mais paradoxalement, savoir aussi ne pas l’utiliser. C’est le cas pour certains exercices, où l’opération posée à la main comme à l’école primaire apporte de nombreuses informations que la calculatrice ne donne pas.

• Ne pas hésiter à faire des conjectures, autrement dit « avoir la conjecture facile », comme le dit le mathématicien Daniel Perrin. Donnons quelques précisions sur la notion de conjecture. Si, à partir de quelques exemples, un résultat est pressenti comme pouvant être vrai, celui-ci est appelé une conjecture. Mais ce résultat n’est pas pour autant démontré dans le cas général. Faire une conjecture permet dans tous les cas d’avancer dans la réflexion.

• Valider ou invalider les conjectures faites. Quand une conjecture est faite, on doit chercher à la valider ou à l’invalider. Soit on cherche à prouver que cette conjecture est effectivement vraie dans tous les cas et pas seulement dans ceux qu’on a examinés. La conjecture ainsi validée devient un théorème. Soit on cherche à prouver qu’elle est fausse : souvent il suffit d’exhiber un contre-exemple la mettant en défaut. La TI89/92 est encore très utile dans cette phase de travail. Quand on sait qu’une conjecture est fausse, on peut chercher à modifier les hypothèses pour formuler une autre conjecture qui, elle, sera peut-être vraie.

Dans l’histoire des mathématiques, de nombreuses conjectures ont été proposées : les plus célèbres sont celles qui ont résisté le plus longtemps aux efforts conjugués des mathématiciens. Par exemple, Pierre de Fermat a conjecturé vers 1637 que l’équation

an + bn = cn n’avait pas de solutions en nombres entiers, hormis les cas triviaux, dès que n est supérieur ou égal à 3. Ce n’est qu’en 1994 que Andrew Wiles, mathématicien britannique, a prouvé cette conjecture, qui est donc, depuis, devenue un théorème. Certaines conjectures restent encore non démontrées, par exemple le fait de savoir s’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux (voir plus loin…). IV. Savoir démontrer Les méthodes de démonstration de l’arithmétique sont dans l’ensemble les mêmes que celles qu’on rencontre en mathématiques. Rappelons quelques méthodes parmi les plus importantes.

• La démonstration par récurrence Le principe de récurrence

Soit Pn une propriété dépendant d’un entier naturel n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie pour toutes les valeurs de n à partir de l’entier n0 (l’entier n0 est souvent 0 ou 1, mais il peut être 10 ou 50...), on démontre : 1) qu’elle est vraie pour n = n0 ; 2) que si elle est vraie pour un entier arbitraire k, alors elle est vraie pour l’entier qui suit k + 1. D’après le principe de récurrence, on peut alors en déduire que la propriété Pn est vraie tout entier n supérieur ou égal à n0.

• La démonstration par l’absurde C’est une démonstration où l’on suppose le contraire de ce que l’on souhaite démontrer : on cherche alors à aboutir à une absurdité ou une contradiction. On en déduit que l’hypothèse émise est à rejeter. C’est un type de démonstration assez souvent utilisé en mathématiques. C’est par exemple ainsi que l’on prouve que 2 est irrationnel : on suppose qu’il est rationnel et l’on arrive à une absurdité ; par suite,

• Comment démontrer une égalité ?

2 est un nombre irrationnel.

Pour démontrer algébriquement que A = B, on peut mettre en œuvre l’une des méthodes suivantes (la liste n’est pas exhaustive).

La méthode directe : on part de A pour arriver après une succession d’égalités à B.

A = ... = ... = B

La méthode directe inversée : la même dans l’autre sens. B = ... = ... = A

La méthode du résultat intermédiaire : A et B sont tous deux égaux à C. A = ... = C B = ... = C d’où A = B

La méthode de la différence : A = B équivaut à A – B = 0. A – B = … = … = 0

La méthode des questions équivalentes : c’est une méthode dont la rédaction est difficile.

A ?=

----

B ?=

----

---- ?=

----

---- ?=

Z = Z ----

La dernière égalité est vraie ; la première qui lui est équivalente est donc vraie. Donc A = B.

La méthode des certitudes, plus rarement utilisée : on part d’une égalité R = T que l’on sait vraie ; par implication, on aboutit à A = B, qui est donc elle aussi vraie.

Signalons enfin que le raisonnement par récurrence peut être utilisé fréquemment pour démontrer une égalité.

• Faire des essais successifs Pour prouver un résultat, on peut être amené à faire plusieurs essais, à considérer plusieurs éventualités a priori possibles et à rejeter certains cas qui ne conviennent pas.

• Quand l’algèbre vole au secours de l’arithmétique De nombreux résultats d’algèbre, en particulier ceux liés aux polynômes trouvent naturellement une application en arithmétique. On retrouve en particulier les identités remarquables suivantes (x et y sont des entiers relatifs et n un entier naturel) :

x2 – y2 = (x – y)(x + y) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) x4 – y4 = (x – y)(x3 + x2y + xy2 + y3) Plus généralement; xn – yn = (x – y)(xn – 1 + xn – 2y + … xyn – 2 + yn – 1)

En supposant maintenant n impair, on peut donc écrire, en conjuguant l’identité précédente :

xn – ( – y)n = xn + yn = (x – (–y))(xn – 1 + xn – 2 (–y) + xn – 3 (–y)2 + … + x (–y)n – 2+ (–y)n – 1)

On obtient ainsi une autre identité remarquable très utile en arithmétique :

xn + yn = (x + y)(xn – 1 – xn – 2y + xn – 3y2 – … – xyn – 2 + yn – 1)

DIVISIBILITÉ

I. La relation de divisibilité dans ζ Définition

Soit a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b s’il existe un entier relatif k tel que b = ka ; on note a b.

De façon équivalente, on pourra dire que : b est un multiple de a; a est un diviseur de b; b est divisible par a

Exemples

• –7 28 car 28 = (–4) × (–7) ; on peut aussi dire que 28 est un multiple de (–7).

• 0, –39 et 52 sont des multiples de 13 car 0 = 0 × 13 ; –39 = (–3) × 13.

• L’ensemble des multiples de 4 est : {..., – 12, – 8, – 4, 0, 4, 8, 12, ...}

C’est l’ensemble des nombres 4k, quand k décrit ζ : on le note 4ζ. Il est représenté ci-dessous sur une droite graduée.

• Soit b un entier relatif : si ce n’est pas un multiple de 4, il est strictement compris entre deux multiples de 4. Dans ce cas, il existe donc un entier relatif k tel que :

4k < b < 4(k + 1) = 4k + 4 b s’écrit donc sous la forme :

4k + 1 ou bien 4k + 2 ou bien 4k + 3

Ce résultat se généralise sans peine à un autre entier que 4. Cette démarche sera formalisée dans le chapitre sur la division euclidienne.

• Tout entier n divise 0, car 0 = 0 × n.

• Pour tout entier n, n – 1 (et n + 1) divise n2 – 1 car n2 – 1 = (n + 1)(n – 1).

II. Propriétés de la divisibilité 1) Propriétés élémentaires

Pour tout entier relatif a : 1 divise a ; –1 divise a ; a divise a ; –a divise a.

Ceci résulte immédiatement des relations : a = 1 × a et a = (–1) × (–a)

Si a divise b et si b est non nul, alors |a| ≤ |b|.

Démonstration Si a divise b, alors il existe k ∈ ζ tel que b = ka, ce qui implique que |b| = |k||a|. Comme b ≠ 0, k ne peut pas être nul ; on a donc |k| ≥ 1. D’où |k||a| ≥ |a| c’est-à-dire |b| ≥ |a|.

En particulier, l’ensemble des diviseurs d’un entier relatif b non nul est fini. L’ensemble des diviseurs d’un entier relatif b est fini car il possède au plus 2 × |b| + 1 éléments.

Ainsi, l’ensemble des diviseurs de 12 est {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. On note plus particulièrement D12 l’ensemble des diviseurs positifs de 12 :

D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} On peut remarquer que 1 n’a pas d’autres diviseurs que 1 et –1.

2) Propriétés de la relation de divisibilité dans ζ

Théorème a, b et c étant trois entiers relatifs quelconques : a) si a b et si b a, alors a = b ou a = –b ; b) si a b, si b c, alors a c.

Démonstration a) Si a divise b, il existe un entier relatif k tel que b = ka. De la même façon, si b divise a, il existe un entier relatif k’ tel que : a = k’b. Par suite : b = ka = kk’b D’où l’on tire que : b(1 – kk’) = 0.

• Si b = 0, comme a = k’b, on a aussi a = 0 ; donc a = b = –b = 0. • Si b ≠ 0, alors kk’ = 1. Donc soit k = k’ = 1 ; dans ce cas a = b. Soit k = k’ = –1 ; dans ce cas a = –b.

b) Si a b et si b c, alors il existe des entiers relatifs k et k’ tels que : b = ka et c = k’b

Par suite, c = kk’a, ce qui prouve que a divise c.

0 4 8 – 4 – 8

4k 4k + 4

4k + 1 4k + 2 4k + 3

3) Divisibilité et opérations

Théorème a) Si a divise b et si a divise c, alors a divise b + c et a divise b – c. b) Si a divise b, alors a divise cb pour tout entier relatif c. c) Si a divise b, alors ca divise cb pour tout entier relatif c d) Plus généralement, si a divise b et si a divise c, alors a divise toute combinaison linéaire β b + γ c de b et c, où β et γ sont deux entiers relatifs quelconques.

Démonstration a) Si a divise b et si a divise c, alors il existe des entiers relatifs k et k’ tels que :

b = ka et c = k’a Par suite : b + c = (k + k’)a et ceci prouve bien que a divise b + c. Remarquons que la réciproque est fausse. Ainsi 5 divise 1000 = 999 + 1, mais 5 ne divise ni 999 ni 1.

De la même façon, on prouve que a divise b – c.

b) Supposons que a divise b : alors, il existe un entier relatif k tel que b = ka. En multipliant les deux membres de cette égalité par c entier relatif quelconque, il vient :

bc = kac = (kc)a ce qui prouve que a divise bc. Là aussi, remarquons que la réciproque est fausse. Ainsi 6 divise 294 = 14 × 21, mais ne divise ni 14 ni 21. Le théorème de Gauss permettra de déterminer les conditions d’une réciproque (voir chapitre Théorèmes de Bézout et de Gauss)

c) Si a divise b, alors il existe un entier relatif k tel que b = ka. En multipliant par c, on obtient : cb = kca, ce qui prouve que ca divise cb. d) Ceci résulte de l’application successive de a) et b).

LES NOMBRES PREMIERS

Pour ce chapitre, on se place dans l’ensemble ν des entiers naturels. I. À la rencontre des nombres premiers 1) Définitions

On dit qu’un entier naturel p est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs (lui-même et l’unité).

0 n’est pas premier car il possède une infinité de diviseurs. 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur. Par contre 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont les entiers naturels premiers inférieurs ou égaux à 20.

Un entier naturel est dit composé lorsqu’il n’est pas premier.

Ainsi 8 ou 15 sont des nombres composés : ils peuvent se décomposer de manière non triviale comme produit de deux entiers naturels : 8 = 2 × 4 ou 15 = 5 × 3. Une telle factorisation est impossible pour un nombre premier.

Pour reconnaître si un nombre est premier, on peut utiliser sur les TI92+ et TI89 (mais pas sur la TI92 basique !) la fonction I spr i me, qui renvoie t r ue ou f al se.

2) À la recherche des diviseurs premiers

Théorème Soit a un entier naturel strictement supérieur à 1. Alors : • a admet au moins un diviseur premier. • Si a n’est pas premier, il admet un diviseur premier p vérifiant :

2 ≤ p ≤ aDémonstration

Si a est premier, a admet un diviseur premier, lui-même. Si a n’est pas premier, il admet des diviseurs autres que 1 et a : soit p le plus petit de ces diviseurs.

p est nécessairement premier. Si p n’était pas premier, il aurait lui-même un diviseur d tel que 1 < d < p. Or si d divise p et si p divise a, d diviserait aussi a, ce qui contredit la définition de p. Par ailleurs, on sait qu’il existe un entier naturel q tel que a = p × q avec p ≤ q d’après la définition de p. Donc, en multipliant cette dernière inégalité par p, il vient :

p2 ≤ p × q = a d’où p ≤ a

3) Combien de nombres premiers ?

Théorème L’ensemble des nombres premiers est infini.

Démonstration Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il n’y ait qu’un nombre fini n de nombres premiers. Notons alors p1, p2, ..., pn ces nombres dans l’ordre croissant. Considérons alors le nombre entier N = p1p2...pn + 1. À l’évidence, N est strictement plus grand que chacun des pi : il n’est donc pas premier. Il admet donc un diviseur premier qui est donc l’un des pi. Or, comme pi divise N et le produit p1p2...pn, il divise N – p1p2...pn = 1, ce qui est absurde.

Remarques : • Cette démonstration, dans son principe, est déjà donnée par Euclide, au IIIe siècle av.

J.C. • Actuellement (en octobre 1999) le plus grand nombre premier connu (c’est-à-dire le

plus grand nombre entier dont on a effectivement montré qu’il était premier) est 26 972 593 – 1. C’est un nombre entier monstrueux possédant 2 098 960 chiffres : à raison de 50 lignes de 50 chiffres chacune, ce nombre remplirait un livre de plus de 800 pages. Il commence par les chiffres 4 370 757 441 270 813 788 333 232 912 069 460 etc.

4) La méthode des divisions successives

Pour reconnaître si un entier n est premier, on peut utiliser la méthode des divisions successives. On teste si l’un des nombres premiers p vérifiant 2 ≤ p ≤ n

Si l’on ne dispose pas de la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à

divise n : si c’est le cas, n n’est pas premier ; sinon le théorème du paragraphe 2 prouve que n est premier.

n, on peut travailler avec la liste de tous les nombres impairs inférieurs ou égaux à

Par exemple, montrons que 359 est premier. Comme

n, ainsi que 2 : cette liste contient à coup sûr les entiers premiers cherchés.

359 ≈ 18;94, il suffit de montrer que 359 n’est divisible par aucun des entiers premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Il en résulte que 7 divisions seulement sont nécessaires.

5) Le crible d’Ératosthène

1 7 13 19 25 31 37 43 49

2 8 14 20 26 32 38 44 50

3 9 15 21 27 33 39 45 51

4 10 16 22 28 34 40 46 52

5 11 17 23 29 35 41 47 53

6 12 18 24 30 36 42 48 54

On cherche à établir la liste de tous les entiers premiers inférieurs ou égaux à n (n entier supérieur ou égal à 2). On procède de la façon suivante : • on raye 1 (il n’est pas premier) ; • le plus petit nombre non rayé est 2 : on le garde et on barre tous les autres multiples de 2 qui, par définition, ne sont pas premiers ; • le plus petit nombre non rayé est 3 : on le garde et on barre tous les autres multiples de 3 (certains comme 6 ont déjà été barré précédemment). • À chaque étape, on garde le plus petit nombre non barré et on barre tous ses autres multiples. • On s’arrête quand le plus petit nombre non barré est r tel que r2 > n.

Théorème Les nombres non barrés dans le crible d’Ératosthène sont les nombres premiers inférieurs ou égaux à n

Démonstration Soit p un entier tel que 2 ≤ p ≤ n non rayé dans la liste. Pour montrer que p est premier, procédons en deux étapes :

a) p n’est d’abord divisible par aucun entier q non rayé tel que 2 ≤ q ≤ n

b) p peut-il être divisible par un entier q rayé tel que 2 ≤ q ≤

(si tel était le cas, p aurait été rayé comme multiple de q) ;

n ? Non car q rayé serait alors un multiple d’un entier s tel que 2 ≤ s ≤

En conclusion, p n’est divisible par aucun des entiers q tel que 2 ≤ q ≤

n ; p aussi aurait été rayé comme multiple de s.

n

Réciproquement, tout nombre premier inférieur ou égal à n ne peut pas être barré.

: d’après le théorème 2, on peut en conclure que p est premier.

II. Le théorème fondamental de l’arithmétique 1) Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers

Un nombre entier peut être décomposé en produit de facteurs premiers. Quelles techniques peut-on utiliser pour parvenir à cette décomposition ?

On peut tout d’abord faire appel aux tables de multiplications et agir par décompositions successives : c’est efficace quand les nombres qui interviennent ne sont pas trop grands. Ainsi 72 = 9 × 8 = 3 × 3 × 2 × 4 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2 = 23 × 32. Dès que les nombres sont plus grands (prenons le cas de 16758), on doit procéder systématiquement selon la disposition traditionnelle suivante :

16758 8379 2793 931 133 19

1

2 3 3 7 7 19

Finalement, 16758 = 2 × 3 × 3 × 7 × 7 × 19 = 2 × 32 × 72 × 19 (L’utilisation des critères de divisibilité usuels par 2, 3, 5, 7 voire 11 est évidemment recommandée.)

2) Le théorème proprement dit

Théorème Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Alors : • n se décompose en un produit de facteurs premiers ; • cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs. On note alors r

rpppn ααα ...2121= où p1, p2;…, pr sont des nombres premiers

distincts et α1, α2;…, αr sont des entiers naturels non nuls.

Démonstration

Existence de la décomposition • Soit donc n un entier naturel supérieur ou égal à 2. n admet un diviseur premier p1

supérieur ou égal à 2. n = p1n1 avec 1 ≤ n1 < n

Si n1 = 1, c’est terminé. • Sinon n1 ≥ 2 et l’on répète ce raisonnement avec n1 : il admet alors un diviseur

premier p2 supérieur ou égal à 2. n1 = p2n2 avec 1 ≤ n2 < n1 < n

(d’où n = p1p2n2) On répète ce raisonnement tant que ni est supérieur strictement à 1 : la suite des ni est une suite d’entiers naturels strictement décroissante (…< ni < … < n2 < n1 < n) donc le processus s’arrête à une certaine étape k pour laquelle nk = 1. On a alors n = p1p2. .. pk

Unicité : conformément au programme, nous l’admettrons.

Remarque • Par ce procédé, on peut bien sûr obtenir plusieurs fois le même entier premier dans la décomposition. En regroupant entre eux les mêmes entiers premiers éventuellement obtenus, la décomposition s’écrira sous la forme générale :

kkpppn ααα ×××= ...21

21 • On sait que 63 = 9 × 7 = 3 × 3 × 7 = 32 × 7 : on obtient ainsi une décomposition en facteurs premiers. Comme il n’y en a qu’une seule à l’ordre près, c’est bien celle que l’on cherche... • La fonction f act or de la calculatrice donne la factorisation d’un entier naturel :

3) Applications à la recherche des diviseurs d’un nombre entier

• Théorème Soit n un entier naturel admettant la décomposition en facteurs premiers

rrpppn ααα ...21

21= Alors d divise n si et seulement si d est de la forme

d = rrppp βββ ...21

21 avec 0 ≤ βi ≤ αi pour tout entier i (1 ≤ i ≤ r).

Démonstration Il est clair que si d = r

rppp βββ ...2121 avec 0 ≤ βi ≤ αi pour tout entier i (1 ≤ i ≤ r), alors d est

un diviseur de n car n = d × q avec q = rrrppp βαβαβα −−− ...2211

21 (q ∈ ν car tous les exposants qui interviennent sont positifs ou nuls). Réciproquement soit d un diviseur de n. Supposons que d soit divisible par pβ avec p premier. Alors pβ divise aussi n : par suite de l’unicité de la décomposition de n en facteurs premiers, pβ doit nécessairement figurer dans cette décomposition. Donc p est l’un des nombres premiers p1, p2, ..., pr ; si p = pi, nécessairement β ≤ αi (sinon β > αi mais alors pβ ne divise plus n).

Exemples : n = 113 400 = 23 × 34 × 52 × 7 admet pour diviseur d = 22 × 32 × 52 = 900.

• La décomposition en facteurs premiers d’un entier permet de lister systématiquement tous ses diviseurs. C’est un problème de dénombrement que l’on peut modéliser par un arbre. Prenons le cas de n = 175 = 52 × 7. Un diviseur d de n s’écrit 1 25 7β β× .

choix de β1 choix de β2 diviseur obtenu

2 1 52 × 71 = 175 0 52 × 70 = 25

1 1 51 × 71 = 35 0 51 × 70 = 5

0 1 50 × 71 = 7 0 50 × 70 = 1

• La décomposition en facteurs premiers d’un entier permet de donner le nombre de diviseurs d’un entier. Soit n = r

rpppn ααα ...2121= . Sur le modèle précédent, on constate qu’il y a :

α 1 + 1 choix pour l’exposant β1 ; α 2 + 1 choix pour l’exposant β2 ; etc.

D’après les règles de dénombrement sur les arbres, on sait que le nombre total de diviseurs est alors :

(α 1 + 1)(α 2 + 1) ... (α r + 1)

Annexe : liste des premiers nombres premiers 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909

2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413 3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907 3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989 4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057 4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139 4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409 4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493 4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657 4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751 4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831 4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937 4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003 5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087 5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167 5171 5179 5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279 5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381 5387 5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443 5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521 5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639 5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693 5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791 5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849 5851 5857 5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939 5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053 6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133 6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211 6217 6221 6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277 6287 6299 6301 6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361 6367 6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473 6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571 6577

DIVISION EUCLIDIENNE ET CONGRUENCES

I. Division euclidienne 1) Théorème fondamental

Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Il existe un couple unique (q, r) d’entiers vérifiant à la fois : a = bq + r et 0 ≤ r < b.

Démonstration a) Existence de q et r. Tout repose sur un encadrement de a par deux multiples consécutifs de b. Autrement dit, il existe un entier q tel que :

bq ≤ a < b (q + 1)

Par suite, 0 ≤ a – bq < b En posant r = a – bq, on a bien a = bq + r, avec 0 ≤ r < b

b) Unicité. Supposons qu’il existe deux couples d’entiers (b, q) et (b’, q’) vérifiant simultanément :

a = bq + r = bq’ + r’ et 0 ≤ r < b et 0 ≤ r’ < b Nous en tirons : b(q – q’) = r’ – r et –b < r’ – r < b r’ – r est donc un multiple de b ; l’encadrement obtenu montre que r – r’ = 0 Comme b ≠ 0, q – q’ = 0. Ceci prouve l’unicité.

2) Définition

Effectuer la division euclidienne de l’entier relatif a par l’entier naturel non nul b, c’est trouver le couple (q;r) appartenant à ζ × ν, tel que : a = bq + r et 0 ≤ r < b. L’entier q s’appelle le quotient de cette division, r le reste (b est le diviseur et a le dividende).

Remarque : la division euclidienne se généralise au cas où b lui-même est un entier relatif. La condition sur le reste devient alors : 0 ≤ r < |b|

Exemple • Effectuons la division euclidienne de 310 par 24. On écrit :

310 = 12 × 24 + 22 Le quotient est 12, le reste est 22 (il est bien compris entre 0 et 23).

Remarquons que l’égalité précédente ne donne pas la division euclidienne de 310 par 12… Ce cas de division euclidienne n’est autre que la division des entiers apprise à l’école primaire.

• Effectuons maintenant la division euclidienne de –310 par 24. On peut écrire : –310 = –12 × 24 – 22

mais –22 ne vérifie pas la condition sur les restes. Il faut donc écrire

–310 = –13 × 24 + 2 Là le quotient est –13 et le reste 2.

• Effectuons la division euclidienne de 310 par –24. On obtient 310 = –12 × –24 + 22.

• Effectuons la division euclidienne de –310 par –24. On obtient –310 = 13 × –24 + 2.

• Généralisons les calculs précédents. Supposons que a = bq + r avec a ∈ ν, b ∈ ν*. On en déduit :

a = (–b) × (–q) + r donne le quotient et le reste de la division de a par –b ; –a = (–b) (q + 1) + b – r donne le quotient et le reste de la division de –a par –b ; –a = b(–q – 1) + b – r donne le quotient et le reste de la division de –a par b.

On vérifie dans chaque cas que la condition sur le reste est bien vérifiée.

• Étudions le cas où a = 0. On peut écrire 0 = b × 0 + 0 ; par suite, q = r = 0.

3) Quelques conséquences

• Si l’on fixe un entier b strictement positif, et si l’on divise tous les naturels par b, les restes obtenus ne peuvent prendre que les valeurs 0, 1, … , b – 1. Tout entier naturel n s’écrit donc sous la forme :

n = bq + r avec r = 0, ou 1, ou 2, …, ou b – 1. Ainsi, par exemple, tout entier naturel peut s’écrire sous la forme 6q, 6q + 1, 6q + 2, 6q + 3, 6q + 4 ou encore 6q + 5.

• Il est clair aussi que l’entier naturel a divise l’entier naturel b si et seulement si le reste dans la division euclidienne de a par b est égal à 0.

II. Le langage des congruences 1) Où l’on range les nombres

• Pour mieux comprendre certaines propriétés des nombres entiers, il est parfois utile de briser la vision linéaire que l’on peut avoir de ν. Disposons par exemple les nombres entiers naturels en 4 colonnes :

bq b(q + 1) a

bq + 1

0 1 2 3

4 5 6 7

8 9 10 11

12 13 14 15

16 17 18 19

20 21 22 23

24 25 26 27

28 29 30 31

32 33 34 35

… … … …

Observons dans ce tableau les nombres d’une même colonne (qui sont grisés d’une même façon) :

dans la première colonne apparaissent les multiples de 4, c’est-à-dire les nombres de la forme 4k, où k est un entier naturel ; la deuxième colonne est constituée des nombres de la forme 4k + 1, où k est un entier naturel : ils ont tous pour reste 1 dans la division par 4 ; la troisième colonne est constituée des nombres de la forme 4k + 2, où k est un entier naturel : ils ont tous pour reste 2 dans la division par 4 ; la quatrième colonne est constituée des nombres de la forme 4k + 3, où k est un entier naturel : ils ont tous pour reste 3 dans la division par 4.

On peut aussi remarquer que la différence de deux nombres d’une même colonne est toujours un multiple de 4. On peut prolonger ce tableau par le « haut », c’est-à-dire avec les entiers négatifs :

… … – 10 – 9

– 8 – 7 – 6 – 5

– 4 – 3 – 2 – 1

0 1 2 3

• Par définition, deux nombres a et b appartenant à la même colonne sont dits congrus modulo 4. On écrit a ≡ b (mod 4). Ainsi : 33 ≡ 17 (mod 4) ; – 10 ≡ 22 (mod 4). Il est intéressant de remarquer que tous les nombres :

de la première colonne sont congrus à 0 modulo 4 ;

de la deuxième colonne sont congrus à 1 modulo 4 ; de la troisième colonne sont congrus à 2 modulo 4 ; de la quatrième colonne sont congrus à 3 modulo 4.

Plus généralement, un nombre est congru modulo 4 au reste de sa division euclidienne par 4. Ainsi, 2001 est congru à 1 modulo 4.

• Rien n’empêche bien sûr de ranger les nombres en deux colonnes, c’est-à-dire à travailler modulo 2. La colonne de gauche est constituée des nombres pairs et celle de droite des nombres impairs. 2) Étude du cas général

Le travail fait précédemment avec 4 peut être généralisé à un entier naturel n quelconque.

Théorème Soit n un entier naturel ; a et b deux entiers relatifs. a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n si et seulement si a – b est un multiple de n.

Démonstration Supposons que les restes soient les mêmes. Dans la division euclidienne par n, a et b s’écrivent donc : a = nq + r et b = nq’ + r avec le même reste vérifiant 0 ≤ r < n. Il est alors clair que a – b = n(q – q’) est un multiple de n.

Réciproquement supposons que a – b soit un multiple de n. Il existe donc un entier k tel que a – b = kn. Écrivons la division euclidienne de a par n : a = nq + r avec 0 ≤ r < n. Par suite b = a – kn = (q – k)n + r ; comme 0 ≤ r < n, ceci est bien l’écriture de la division euclidienne de b par n. Le reste obtenu est donc encore r, le même que celui de la division euclidienne de a par n.

Définition Soit n un entier naturel et a et b deux entiers relatifs. On dira que a et b sont congrus modulo n lorsque : a et b ont le même reste dans la division par n ; ou bien, ce qui est équivalent d’après le théorème précédent, a – b est un multiple de n On note alors a ≡ b (mod n).

Travailler avec les congruences modulo n revient donc à travailler avec les restes dans la division euclidienne par n, sans plus se préoccuper des quotients.

Exemples • Il est immédiat de vérifier que : 25 ≡ 4 (mod 7) ; –1 ≡ 6 (mod 7) ; –19 ≡ –5 (mod 7). Par contre, –32 n’est pas congru à 10 modulo 7, ce que l’on note –32 ≡/• Un nombre pair est congru à 0 modulo 2 et un impair à 1 modulo 2.

10 (mod 7).

• Un entier est congru à son chiffre des unités modulo 10.

• Il est immédiat, mais important, de remarquer que a est un multiple de n si et seulement si a est congru à 0 (mod n) : cela résulte de la définition.

3) Quelques propriétés des congruences

Comme précédemment, a, a’, b, b’ et c sont des entiers relatifs et n est un entier naturel. 1) a ≡ a (mod n) ; si a ≡ b (mod n), alors b ≡ a (mod n) ; si a ≡ b (mod n) et si b ≡ c (mod n), alors a ≡ c (mod n) ; 2) si a ≡ b alors a + c ≡ b + c (mod n) et ac ≡ bc (mod n). 3) opérations sur les restes si a ≡ b (mod n) et si a’ ≡ b’ (mod n), alors a) a + a’ ≡ b + b’ (mod n) ; b) a – a’ ≡ b – b’ (mod n) ; c) aa’ ≡ bb’ (mod n). d) pour tout entier naturel p, ap ≡ bp (mod n).

Démonstration 1) a ≡ a (mod n) car a – a = 0 est un multiple de n. Si a ≡ b (mod n), alors a – b est un multiple de n ; il est clair qu’alors b – a est aussi un multiple de n. Par suite, b ≡ a (mod n) Si a ≡ b (mod n), alors a – b = kn, avec k ∈ ζ. Si b ≡ c (mod n), alors b – c = k’n, avec k’ ∈ ζ. Par suite a – c = (a – b) + (b – c) = kn + k’n = (k + k’)n est aussi un multiple de n, ce qui prouve que a ≡ c (mod n).

2) On suppose donc que a ≡ b, c’est-à-dire que a – b = kn où k est un entier relatif. Alors, (a + c) – (b + c) = a – b est encore un multiple de n. Donc a + c ≡ b + c (mod n). De la même façon, ac – bc = c(a – b) = ckn est aussi un multiple de n, donc ac ≡ bc.

3) On suppose donc que a ≡ b (mod n) et que a’ ≡ b’ (mod n) : par suite, il existe des entiers k et l tels que :

a – b = kn et a’ – b’ = ln a) Par suite, (a + a’) – (b + b’) = (a – b) + (a’ – b’) = (k + l)n est un multiple de n, ce qui prouve que a + a’ ≡ b + b’ (mod n). b) De la même façon, (a – a’) – (b – b’) = (a – b) – (a’ – b’) = (k – l)n est un multiple de n, ce qui prouve que a – a’ ≡ b – b’ (mod n). c) aa’ – bb’ = a(a’ – b’) + b’(a – b) = aln + b’kn = (al + b’k)n est un multiple de n, ce qui prouve que aa’ ≡ bb’ (mod n). d) La propriété peut être prouvée par récurrence sur p.

La propriété est vraie pour p = 0 et 1 (évident). Elle est aussi vraie pour p = 2 : si a ≡ b (mod n), alors a × a = a2 ≡ b × b = b2 (mod n). Supposons que la propriété soit vraie pour un entier arbitraire p c’est-à-dire que :

ap ≡ bp (mod n). Comme par ailleurs a ≡ b (mod n), d’après c), on en déduit que :

a × ap ≡ b × bp (mod n) c’est-à-dire que ap + 1 ≡ bp + 1 (mod n). La propriété est donc vraie pour tout entier naturel p. Remarque La relation de congruence, à de nombreux égards, fonctionne un peu comme l’égalité, d’où sa notation proche du signe =. Certaines propriétés de l’égalité ne sont toutefois pas vraies avec les congruences. En particulier, on doit se méfier des simplifications : si 42 (= 6 × 7) ≡ 12(=6 × 2) (mod 10), on ne peut pas en déduire que 7 est congru à 2 modulo 10. Exemples • Comme 10 est congru à 1 modulo 9, pour tout entier naturel k, 10k est congru à 1 modulo 9. Par suite, 35 478 = 3 × 104 + 5 × 103 + 4 × 102 + 7 × 10 + 8 est congru modulo 9 à 3 + 5 + 4 + 7 + 8 = 27, qui lui-même est congru à 0 modulo 9. Finalement 35 478 est congru à 0 modulo 9 : c’est donc un multiple de 9.

• Montrons que 641 divise 1252 + = 232 + 1.

Cela équivaut à montrer que 232 + 1 est congru à 0 modulo 641. Travaillons donc modulo 641 :

640 = 5 × 27 ≡ –1 ; en élevant à la puissance 4, on obtient 54 × 228 ≡ 1 ; or, 54 = 625 ≡ –16 = – 24 ; donc 54 × 228 ≡ –24 × 228 ≡ 1 soit – 232 ≡ 1 ; d’où l’on tire, en ajoutant 232 des deux côtés, 232 + 1 ≡ 0, ce qu’il fallait prouver.

Remarquons la grande efficacité des congruences pour ce type de problème, qui nous évitent des calculs laborieux…

SYSTÈME DE NUMÉRATION

I. L’écriture des nombres entiers Les nombres entiers naturels sont habituellement écrits dans le système décimal, et, en français, le nom des nombres en porte la trace. Ainsi, quand on parle de « cent soixante trois », on entend une centaine, six dizaines et trois (unités). Il existe, et il a existé d’autres façons d’écrire les entiers naturels. On peut donner quelques exemples.

• Les Sumériens disposaient d’un système dit additif ; il existait un symbole (D) pour le nombre 60, un autre (ο) pour 10, et un autre (D) pour 1. Pour eux cent soixante trois s’écrit DD ο ο ο ο DDD (car 163 = 60 + 60 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1).

• Les Babyloniens usaient d’un système mi-additif, mi-positionnel ; leur système n’est pas décimal mais sexagésimal. Il existait un symbole pour le nombre 1(T) et un autre pour le nombre 10 (<) ; selon sa place dans l’écriture du nombre, T peut valoir 1 ou 60 ou 3600 ou 1

60Pour eux cent soixante-trois s’écrit : TT <<<< TTT (163 = 2 × 60 + 4 × 10 + 3 × 1).

...

• Plus près de nous les Romains usaient d’un système additif fort rudimentaire. Pour eux, cent soixante trois s’écrit CLXIII (car 163 = 100 + 50 + 10 + 1 + 1 + 1).

• Les Mayas usaient d’un système mi-additif, mi-positionnel ; leur système est vigésimal (la base est 20 et non 10 ou 60). Il existe un symbole pour le nombre 1 (•) et un autre pour le nombre 5 (___). Les nombres sont écrits de haut en bas, mais par économie nous les écrirons de gauche à droite. Pour eux cent soixante trois s’écrit : •••

• Enfin dans notre système décimal chacun sait que cent soixante trois s’écrit 163 et que 163 = 100 + 60 + 3 = 1 × 102 + 6 × 10 + 3 × 1.

••• (car 163 = 8 × 20 + 3)

Quels sont les immenses avantages du système décimal ? Il permet d’écrire tous les nombres, y compris les plus grands, à l’aide de 10 symboles (appelés chiffres), rôle qu’est loin de remplir le système romain ! Il permet d’effectuer sans difficulté les opérations arithmétiques (s’en convaincre en tentant de calculer CLXIII + CCCV ou pire CLXIII × CCCV dans le système romain). Le rôle du 0 est capital dans l’écriture : 3603 n’est pas ambigu tandis qu’en babylonien; T TTT l’est (il peut signifier aussi bien 63 que 3603).

II. Système de numération dans une base quelconque Dans le système décimal, la base de numération est 10 et les chiffres utilisés pour écrire les entiers naturels sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. On sait que tout entier naturel peut se décomposer de manière unique comme un somme de la forme c0 + 10c1 + ... + 10ncn, où les ci sont des chiffres du système décimal. Ce résultat se généralise-t-il à une base b quelconque ?

Théorème On considère un entier b > 1. Tout entier naturel N peut s’écrire de façon unique sous la forme :

N = c0 + c1b + c2b2 + ... + cnbn = ∑k=0

n ck × bk

avec cn ≠ 0 et pour tout i (0 ≤ i ≤ n), 0 ≤ ci < b

Démonstration

• L’écriture de N et la condition sur c0 (0 ≤ c0 < b) font que c0 ne peut être que le reste de la division de N par b. Le quotient de cette division est alors :

N0 = c1 + c2b + ... + cnbn–1. Pour les mêmes raisons, c1 ne peut alors être que le reste de la division de N0 par b. Le quotient est alors :

N1 = c2 + c3b + ... + cnbn–2. Ce raisonnement peut être poursuivi. On arrive à :

Nn–2 = cn – 1 + cnb. cn – 1 ne peut être que le reste de la division de Nn – 2 par b. Le quotient est Nn – 1 = cn et de la même façon, cn est encore le reste dans la division de Nn – 1 par b, le quotient étant cette fois nul. En conclusion, si les ci existent, ils sont nécessairement uniques.

• Les remarques précédentes nous donnent un algorithme effectif de construction des ci, prouvant du même coup leur existence. On procède par divisions successives. Effectuons la division euclidienne de N par b :

N = N0 b + c0 avec 0 ≤ c0 < b ; puis, si N0 ≠ 0, la division euclidienne de N0 par b :

N0 = N1 b + c1 avec 0 ≤ c1 < b. Si N2 ≠ 0, on poursuit en divisant à nouveau N2 par b et ainsi de suite. Les quotients successifs N0, N1, ... forment une suite strictement décroissante. Nécessairement, on arrivera à un quotient nul : supposons donc que Nn soit égal à 0 pour l’indice n.

N = N0 b + c0 0 ≤ c0 < b N0 = N1 b + c1 0 ≤ c1 < b ... Nn – 2 = Nn–1 b + cn – 1 0 ≤ cn – 1 < b Nn – 1 = Nn b + cn = cn 0 ≤ cn < b

De proche en proche, on obtient : N = N0 b + c0 = (N1 b + c1)b + c0 = N1b2 + c1b + c0 = (N2b + c2)b2 + c1b + c0 = N2b3 + c2b2 + c1b + c0 = … = c0 + c1b + ... + cn – 1bn – 1 + cnbn

qui est bien la forme attendue. Ceci prouve l’existence de cette décomposition.

Définition Avec les hypothèses du théorème précédent, N est noté 011... cccc nn − ou

)(011... bnn cccc − et est appelé écriture de N en base b. Pour écrire N, il suffit de disposer de b symboles correspondant aux b entiers compris entre 0 et b – 1.

Quelques exemples • Pour déterminer par exemple l’écriture en base 3 de N = 104, on peut présenter les calculs de la façon suivante :

104 3 2 34 3 1 11 3 2 3 3 0 1 3 1 0

On a donc 104 = )3(10212 Remarquons que le chiffre des unités est le reste de la première division effectuée ; le chiffre le plus à gauche est le dernier reste calculé. Remarquons aussi que l’on peut toujours rajouter le chiffre 0 à gauche : cela ne change pas la valeur de N.

• Écrivons maintenant 163 en base 2. On peut effectuer les divisions successives de 163 par 2 : c’est fastidieux. On peut écrire la liste des puissances de 2

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2n 1 2 4 8 16 32 64 128 256

et en déduire 163 = 128 + 32 + 2 + 1. Ainsi 163 = )2(10100011

Leibniz eut le premier l’idée d’une écriture des nombres en base 2. Cette écriture offre le grand intérêt de permettre l’écriture de tous les entiers naturels à l’aide de deux chiffres, seulement 1 et 0. Il reste à remplacer le chiffre 1 par « le courant passe » et le chiffre 0

par « le courant ne passe pas » et tout nombre peut s’interpréter comme une succession d’instructions que peut comprendre un ordinateur.

• En informatique, on utilise aussi la base 16 (système hexadécimal). Cette base nécessite 16 chiffres et l’on utilise habituellement :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Ainsi, 19AE8F = 1 × 165 + 9 × 164 + 10 × 163 + 14 × 162 + 8 × 16 + 15 = 1 683 087.

• En base 7 : 163 = 7 × 23 + 2 et 23 = 7 × 3 + 2. Donc : 163 = 2 + 7 × 2 + 72 × 3 = 322 7( ) . III. Changement de bases Le système de référence étant décimal, on écrira sans barre les nombres dans la base 10. On doit savoir passer aisément d’une écriture en base b à une écriture en base 10 et vice-versa.

• Le passage de la base 10 à une base b repose sur l’algorithme de divisions successives décrit dans le paragraphe précédent et est aisément programmable (voir le chapitre suivant)

• Le passage d’une écriture en base b à celle en base 10 repose sur la définition : 1111 7( ) = 1 + 7 + 72 + 73 = 400

46 12α ( ) = 10 + 6 × 12 + 4 × 122 = 658 Le passage de la base b à une base b’ peut se faire en passant par la base intermédiaire 10.

DIVISEURS COMMUNS À DEUX ENTIERS

I. Diviseurs communs à deux entiers relatifs

1) pgcd de deux entiers relatifs

Théorème Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. L’ensemble des diviseurs communs à a et à b admet un plus grand élément d.

Démonstration En effet, l’ensemble des diviseurs communs à a et à b est un ensemble fini (comme intersection de deux ensembles finis !) et non vide (il contient toujours au moins 1 et –1) : on sait qu’il admet alors un plus grand élément.

Définition d est alors appelé plus grand diviseur commun à a et à b et est noté pgcd(a;b). Si a ∈ ζ*, on peut définir pgcd(a, 0) par : pgcd(a, 0) = |a|.

2) Exemples

On peut déterminer le pgcd de deux entiers en établissant la liste de leurs diviseurs... C’est certes artisanal mais cela illustre bien la définition. Ainsi pour 18 et 60. L’ensemble des diviseurs de 18 est :

D = {–18, –9, –6, –3, –1, 1, 2, 3, 6, 9, 18} L’ensemble des diviseurs de 60 est :

D’ = {–60;–30;–15;–12;–10;– 6;–5;–4;–3;–2;–1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} L’ensemble des diviseurs communs à 18 et à 60 est

D ∩ D’ = {–6, –3, –2, – 1, 1, 2, 3, 6} On constate que 6 est le pgcd de 18 et de 60. Remarquons aussi que l’ensemble des diviseurs communs à 18 et à 60 est aussi l’ensemble des diviseurs du pgcd 6.

3) Quelques conséquences de la définition

Théorème a et b désignent des entiers relatifs, a ≠ 0. 1) pgcd(a, b) > 0. 2) pgcd(a;1) = 1 ; pgcd(a;a) = |a|. 3) pgcd(a, b) = pgcd(b, a) ; pgcd(a;b) = pgcd(|a|;|b|).

La démonstration de ces propriétés est immédiate. La troisième de ces propriétés fait que, dans la suite, on se limitera à l’étude du pgcd de deux entiers naturels.

4) Nombres premiers entre eux

Définition On dit que deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux lorsque leur pgcd est égal à 1.

Deux entiers sont donc premiers entre eux si et seulement si leurs diviseurs communs sont 1 et – 1.

Exemples • 18 et 35 sont premiers entre eux ; 18 et 34 ne le sont pas ! • De la même façon, pk et qm avec p et q premiers distincts, k et m entiers naturels, sont premiers entre eux. • Soit p un nombre premier qui ne divise pas l’entier n (c’est-à-dire qui ne figure pas dans la décomposition en facteurs premiers de n), alors p et n sont premiers entre eux. • Deux entiers consécutifs sont premiers entre eux. En effet, si d divise à la fois n et n + 1, il divise (n + 1) – n = 1 : d est nécessairement égal à 1 ou à –1. Remarquons que la méthode est fréquemment employée dans ce type de démonstration. II. Algorithme d’Euclide 1) pgcd et division euclidienne

Théorème Soit deux entiers naturels non nuls a et b ; la division euclidienne de a par b donne : a = bq + r avec 0 ≤ r < b. Alors l’ensemble des diviseurs communs à a et à b coïncide avec l’ensemble des diviseurs communs à b et à r.

Démonstration Soit d divisant à la fois a et b ; il divise a et bq, donc leur différence a – bq = r. d est bien diviseur commun à b et à r. Réciproquement, soit d divisant b et r ; il divise bq et r donc leur somme bq + r = a. d est bien un diviseur commun à a et à b.

Exemple Cherchons les diviseurs communs à 381 et à 51, en utilisant la propriété précédente.

• 381 = 51 × 7 + 24 : les diviseurs communs à 381 et à 51 sont exactement les diviseurs communs à 51 et à 24.

Rien n’empêche de réitérer le procédé : c’est le principe de l’algorithme d’Euclide. • 51 = 24 × 2 + 3 : les diviseurs communs à 51 et à 24 sont les diviseurs communs à 24 et à 3 ;

• 24 = 3 × 8 + 0 : les diviseurs communs à 24 et à 3 sont les diviseurs communs à 3 et à 0, c’est-à-dire ±3 et ±1.

En conclusion, les diviseurs communs à 381 et à 51 sont donc –3, –1, 1, 3. Le pgcd de 381 et de 51 est donc 3. Remarquons que c’est le dernier reste non nul dans la suite des divisions successives.

2) Algorithme d’Euclide

Soient a et b deux entiers naturels non nuls. La suite des divisions euclidiennes de a par b : a = bq0 + r0 avec 0 ≤ r0 < b de b par r0 (si r0 ≠ 0) : b = r0q1 + r1 avec 0 ≤ r1 < r0 de r0 par r1 (si r1 ≠ 0) : r0 = r1q2 + r2 avec 0 ≤ r2 < r1 … de ri–1 par ri (si ri ≠ 0) : ri–1 = riqi+1 + ri+1 avec 0 ≤ ri+1 < ri … finit par s’arrêter, un des restes ri étant nul. Le dernier reste non nul est alors le pgcd de a et de b (si r0 = 0, pgcd(a;b) = b). De plus, tous les diviseurs communs à a et à b sont les diviseurs de leur pgcd.

Démonstration Le processus s’arrête car on a les inégalités : b > r0 > r1 > r2 > … > ri > … ≥ 0. La suite (rn) est une suite strictement décroissante d’entiers naturels : on sait qu’elle est finie. Supposons qu’elle s’arrête en un indice n + 1 : on a donc rn–1 = rn qn+1 + rn + 1, avec rn + 1 = 0 On s’appuie sur la propriété précédente : diviseurs communs à a et à b = diviseurs communs à b et à r0 = diviseurs communs à r0 et à r1 = diviseurs communs à r1 et à r2 = … = diviseurs communs à rn– 1 et à rn = diviseurs communs à rn et 0 Les diviseurs communs à a et à b sont donc les diviseurs de rn : le pgcd de a et de b est donc rn et l’ensemble des diviseurs communs à a et à b est l’ensemble des diviseurs de leur pgcd.

On appelle algorithme d’Euclide la suite des divisions successives données ci-dessus : cet algorithme est décrit pour la première fois, dans des termes différents mais équivalents, par Euclide dans Les Éléments.

3) Un exemple

L’algorithme d’Euclide est très performant pour la recherche du pgcd de deux nombres. Pour s’en convaincre on peut examiner l’exemple suivant.

Déterminons le pgcd de 87724 et de 23296.

87724 = 3 × 23296 + 17836 23296 = 1 × 17836 + 5460 17836 = 3 × 5460 + 1456 5460 = 3 × 1456 + 1092 1456 = 1 × 1092 + 364 1092 = 3 × 364 + 0 pgcd(87724, 23296) = 364

Le pgcd de 23296 et de 87724 est donc 364, le dernier reste non nul dans la suite des divisions. Les diviseurs communs à 23296 et à 87724 sont donc les diviseurs de 364. On ne peut que souligner la performance de l’algorithme d’Euclide : en seulement 8 étapes, on trouve ici le pgcd de deux nombres de 5 chiffres chacun. Signalons qu’un algorithme de calcul du pgcd est déjà implémenté dans la TI89/92 avec la fonction gcd (greatest common divisor, in english). On peut ainsi retrouver le résultat précédent ; même des calculs portant sur des grands nombres peuvent être faits.

III. Quelques compléments sur le pgcd 1) Deux théorèmes importants

Théorème Soient a, b et k trois entiers naturels non nuls.

pgcd (ka, kb) = k × pgcd(a, b)

Démonstration Posons d = pgcd (a, b). Alors d divise a et b : par suite, kd divise ka et kb et donc kd divise pgcd(ka, kb). Il existe un entier naturel non nul q tel que :

pgcd (ka , kb) = qkd

Mais qkd divise ka, donc qd divise a. Et qkd divise kb, donc qd divise b. Finalement qd divise a et b ; donc qd divise pgcd(a, b) = d. L’entier q ne peut qu’être égal à 1. Cela prouve que :

pgcd(ka, kb) = k × pgcd(a, b).

On peut déduire de ce théorème l’importante conséquence suivante :

Théorème Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Dire que d est le pgcd de a et de b équivaut à dire que a = da’ et b = db’ avec pgcd (a’, b’) = 1.

Démonstration Supposons donc que d soit le pgcd de a et de b : alors d divise a et b. On peut donc écrire : a = da’ et b = db’. Or,

d = pgcd (a, b) = pgcd (d × a’, d × b’) = d × pgcd (a’, b’) Ce qui prouve que pgcd (a’, b’)= 1. Réciproquement, si a = da’ et b = db’ et si pgcd (a’, b’) = 1, alors :

pgcd (a , b) = pgcd(da’, db’) = d pgcd(a’, b’) = d.

2) pgcd et fraction irréductible

La fraction ab

Sinon on peut la simplifier en divisant a et b par leur pgcd. Avec les mêmes notations que précédemment, on obtient :

est irréductible si et seulement si pgcd(a;b) = 1 c’est-à-dire si et seulement

si a et b sont premiers entre eux.

ab = da’

db’ = a'

b'Comme pgcd(a’, b’) = 1, on sait que la fraction obtenue est irréductible.

3) Une autre façon d’obtenir le pgcd de a et de b à partir des décompositions en facteurs premiers de a et de b

Théorème Après avoir décomposé les deux entiers naturels non nuls a et b en facteurs premiers, pour obtenir le pgcd de a et de b, on effectue le produit des facteurs premiers communs à a et à b, chacun étant affecté de son plus petit exposant.

Démonstration Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On appelle p1, p2, …, pn tous les nombres premiers qui figurent soit dans la décomposition de a, soit dans la décomposition de b, soit dans les deux. On peut alors écrire :

a = nnppp ααα ××× ...21

21 avec 0 ≤ α1, 0 ≤ α2, … , 0 ≤ αn ;

b = nnppp βββ ××× ...21

21 avec 0 ≤ β1, 0 ≤ β2, … , 0 ≤ βn.

Remarquons que les αi sont nuls dans le cas où les pi correspondants ne figurent pas dans la décomposition de a et que les βj sont nuls dans le cas où les pj correspondants ne figurent pas dans la décomposition de b. Un entier d divise à la fois a et b si et seulement si il peut s’écrire sous la forme :

d = nnppp γγγ ××× ...21

21 avec 0 ≤ γ1 ≤ min(α1, β1) ; … ; 0 ≤ γn ≤ min(αn, βn) Le pgcd sera obtenu pour γ1 = min(α1, β1) ; … ; γn = min(αn, βn). Il ne restera dans la décomposition de d que les facteurs premiers communs affectés de leur plus petit exposant. Exemple On a :

a = 23296 = 28 × 7 × 13 b = 87724 = 22 × 7 × 13 × 241

Si bien que : pgcd (23296, 87724) = 22 × 7 × 13 × 2410 = 364

Cette technique pour obtenir le pgcd est efficace dès l’instant que l’on connaît la décomposition en facteurs premiers de a et de b : mais cette dernière décomposition ne s’obtient pas rapidement en général. L’algorithme d’Euclide est bien plus puissant.

THÉORÈMES DE BÉZOUT ET DE GAUSS

I. L’identité de Bézout 1) L’identité de Bézout proprement dite

a et b sont deux entiers relatifs non nuls. Alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = pgcd(a;b).

Démonstration • Considérons l’ensemble E de tous les nombres au + bv, avec u et v dans ζ. E contient a (car a = ±1 × a + 0 × b), donc E contient des entiers strictement positifs : il en existe un qui est plus petit que tous les autres (car toute partie non vide de ν admet un plus petit élément). Il existe donc des entier u1 et v1 tels que d = au1 + bv1.

• Montrons d’abord que d divise a et b. La division de a par d donne : a = dq + r, avec 0 ≤ r < d. Or r = a – dq = a – (au1 + bv1)q = a(1 – qu1) + b( – qv1), qui est bien de la forme au + bv avec u et v dans ζ. Donc r est dans E. Comme 0 ≤ r < d, nécessairement r = 0, ce qui prouve que d divise a. On montrerait de même que d divise b : d est bien un diviseur commun à a et à b.

• Soit maintenant δ un diviseur commun à a et à b. δ divise tous les éléments de E, et en particulier d. Ceci prouve que d est le pgcd de a et de b.

2) Comment peut-on calculer les coefficients u et v ? Première tentative…

L’identité de Bézout est un théorème d’existence : on sait qu’on peut trouver u et v mais la démonstration ne donne aucun moyen pratique de les calculer. Tentons d’aborder le problème sur un cas particulier, par exemple avec a = 2892 et b = 768 dont le pgcd est 12 : le théorème nous garantit l’existence des entiers relatifs u et v tels que

2892u + 768v = 12 Comment les déterminer ? On peut déjà simplifier l’égalité précédente par 12 pour obtenir :

241u + 64v = 1 soit v = 164

Cherchons des valeurs de u entier rendant entier

× (1 – 241u)

164

× (1 – 241u). La calculatrice peut

nous aider, plus précisément le tableau de valeurs d’une fonction : on entre dans y1 la

fonction 164

× (1 – 241u) et on regarde ce qui se passe (avec le bon réglage de Tbl set ) :

On constate que si x vaut 17, alors 164

241 × 17 + 64 × (–64) = 1

× (1 – 241u) vaut –64. D’où l’on tire :

et par suite : 2892 × 17 + 768 × (–64) = 12.

En examinant un peu plus loin la table, on constate que : 241 × 81 + 64 × (–305) = 1

et par suite : 2892 × 81 + 768 × (–305) = 12

Quelques conclusions peuvent déjà être tirées : • si u et v existent bien selon l’identité de Bézout, ils ne sont pas uniques (nous verrons en fin de chapitre qu’il y a une infinité de tels couples) ; • la méthode proposée fonctionne parce que les coefficients u et v sont assez petits et sont donc atteints rapidement : comment fait-on dans le cas contraire ?

3) Comment peut-on calculer les coefficients u et v ? Deuxième tentative…

L’algorithme d’Euclide fait ici son retour… • Conservons les notations du chapitre précédent, que l’on rappelle ci-dessous :

Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Le pgcd de a et de b est le dernier reste non nul, à savoir rn, dans la suite des divisions : de a par b : a = bq0 + r0 avec 0 ≤ r0 < b de b par r0 : b = r0q1 + r1 avec 0 ≤ r1 < r0 de r0 par r1 : r0 = r1q2 + r2 avec 0 ≤ r2 < r1 … de ri–1 par ri : ri–1 = riqi+1 + ri+1 avec 0 ≤ ri+1 < ri … de rn – 2 par rn – 1 : rn – 2 = rn – 1qn + rn avec 0 ≤ rn < rn–1 de rn – 1 par rn : rn – 1 = rnqn + 1 + 0

Théorème 1) Avec les notations précédentes, chacun des restes ri peut s’écrire sous la forme aui + bvi, avec ui et vi entiers relatifs. 2) Conséquence immédiate : c’est aussi le cas du pgcd, rn…

Démonstration C’est vrai pour les deux premiers restes r0 et r1.

r0 = a – bq0 : il suffit de prendre u0 = 1 et v0 = –q0 ; r1 = b – r0q1 = b – (a – bq0)q1 = (– q1)a + (1 + q0q1)b : il suffit cette fois de prendre u1 = –q1 et v1 = 1 + q0q1...

Supposons que cela soit vrai pour deux restes rk – 1 et rk où k est un entier naturel

arbitraire ; on a donc, pour k supérieur ou égal à 1 : rk – 1 = auk – 1 + bvk – 1 et rk = auk + bvk

Montrons que cela est vrai pour le reste rk + 1. rk+1 = rk–1 – rkqk+1 = (auk–1 + bvk–1) – (auk + bvk)qk + 1 = a(uk–1 – qk + 1uk) + b(vk–1 – qk + 1vk)

est bien de la forme attendue, avec

uk + 1 = uk – 1 – qk + 1 × uk vk + 1 = vk – 1 – qk + 1 × vk

Par conséquent, le pgcd, qui est un des restes obtenus (rn), s’écrira bien sous la forme

aun + bvn

• Reprenons l’exemple précédent On a a = 2892, b = 768 et pgcd(a, b) = 12. Au contraire de la première démonstration, la précédente démonstration donne un algorithme permettant de proche en proche d’obtenir u et v. Il suffit d’exprimer chacun des restes en fonction de a et b.

2892 = 768 × 3 + 588

768 = 588 × 1 + 180

588 = 180 × 3 + 48

180 = 48 × 3 + 36

48 = 36 × 1 + 12

36 = 12 × 3 + 0

→

→

→

→

→

588 = 2892 – 768 × 3 = a – 3b

180 = 768 – 588 × 1 = b – (a – 3b)

= –a + 4b

48 = 588 – 180 × 3 = (a – 3b) – 3(–a + 4b)

= 4a – 15b

36 = 180 – 48 × 3 = ( – a + 4b) – 3(4a – 15b)

= – 13a + 49b

12 = 48 – 36 = (4a – 15b) – ( – 13a + 49b)

=17a – 64b

On retrouve le même couple (u, v) que précédemment : 17a – 64b = 12

Il est pratique d’utiliser des lettres, a et b par exemple, pour ne pas perdre de vue que l’on doit exprimer successivement chacun des restes en fonction de a et b : cela évite que l’on s’égare dans les calculs.

II. Le théorème de Bézout 1) Introduction

Soit a et b deux entiers relatifs de pgcd d. La réciproque de l’identité de Bézout est fausse en général. En effet, soit k un entier relatif s’écrivant sous la forme au + bv, où u et v sont deux entiers relatifs : on ne peut pas en déduire que k est le pgcd de a et b. C’est immédiat sur un exemple : 1308 × 1 + 996 × 1 = 2304 ≠ 12 = pgcd(1308, 996)…

Par contre, k = au + bv est obligatoirement un multiple du pgcd d de a et de b. Il suffit de remarquer que, d divisant a et b, d divise aussi au + bv = k.

2) Théorème de Bézout

C’est le seul cas où la connaissance d’une relation de type au + bv = k (avec k = 1) permet de conclure que k est effectivement le pgcd de a et b.

Théorème de Bézout a et b sont deux entiers relatifs non nuls. Dire que a et b sont premiers entre eux équivaut à dire qu’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.

Démonstration • Supposons que a et b soient premiers entre eux. Alors pgcd(a;b) = 1 et d’après l’identité de Bézout, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. • Réciproquement, supposons qu’il existe deux entiers relatifs u et v tels que :

au + bv = 1 On a vu précédemment que d divise 1 : on n’a pas d’autre possibilité que d = 1, ce qui prouve que a et b sont premiers entre eux. Exemples • On peut ainsi prouver, sans faire aucun calcul de pgcd, que deux entiers sont premiers entre eux : il suffit de trouver la bonne relation… 8 et 11 sont premiers entre eux car 8 × 7 + 11 × ( – 5) = 1. • Deux entiers naturels consécutifs et supérieurs à 1 sont premiers entre eux (car n + 1 – n = 1). III. Le théorème de Gauss et ses applications 1) Le théorème de Gauss

a, b et c sont des entiers relatifs non nuls. Si a divise bc et est premier avec b, alors a divise c.

Démonstration a et b étant premiers entre eux, il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.

Donc acu + bcv = c. Or a divise acu et divisant bc par hypothèse, il divise bcv, donc il divise la somme acu + bcv c’est-à-dire c. Remarque Ce théorème est une réciproque, à laquelle on a ajouté des hypothèses supplémentaires, au théorème suivant, rencontré au chapitre Divisibilité :

a, b, c étant des entiers relatifs, si a divise c, alors a divise bc. Exemples

• 6 divise 36 = 4 × 9, mais n’est pas premier avec 4 : on ne peut pas en déduire que 6 divise 9 (heureusement !).

• Si 7 divise 12a, comme 7 est premier avec 12, alors 7 divise a.

• Trouver tous les entiers relatifs x et y tels que 16x = 21y. 16 divise 21y et est premier avec 21 : 16 divise donc y. Il existe un entier relatif q tel que :

y = 16q. En remplaçant dans l’équation, on obtient :

16x = 21 × 16q soit x = 21q. Réciproquement, les couples (21q, 16q) sont bien solutions de l’équation proposée quel que soit l’entier relatif q. Les couples (x, y) d’entiers solutions de l’équation 16x = 21y sont les couples de la forme (21q, 16q ) avec q ∈ ζ. En supposant x non nul, l’équation équivaut à y

x = 16

21 : on peut donc affirmer que les seuls

fractions égales à 1621

sont les fractions de la forme

2) Conséquences

16q21q

où q est un entier relatif non nul.

N’est-ce pas rassurant ?

• Théorème Si un entier naturel n est divisible par deux entiers naturels a et b premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit.

Démonstration Comme a divise n, on peut écrire n = ak. Comme b divise n, b divise ak. Il est premier avec a, c’est donc que b divise k ce que l’on peut écrire k = bk’. Finalement, n = abk’, ce qui prouve que ab divise n. Ceci s’étend à plusieurs nombres entiers premiers entre eux deux à deux. Exemples • On sait que les multiples de 6 sont des multiples de 2 (donc pairs) et des multiples de 3.

La réciproque est-elle vraie ? Les nombres qui sont à la fois multiples de 2 (divisibles par 3) et multiples de 3 (divisibles par 3) sont aussi divisibles par 2 × 3 = 6, car 2 et 3 sont premiers entre eux, et donc multiples de 6. Les multiples de 6 sont donc exactement les nombres qui sont à la fois multiples de 2 et multiples de 3.

• Les multiples de 24 sont des multiples de 4 et des multiples de 6. La réciproque n’est par contre pas vraie. Les nombres entiers qui sont à la fois multiples de 4 et de 6 ne sont pas forcément multiples de 6 × 4 = 24 : ainsi 12 est à la fois multiple de 4 et de 6 mais pas de 24… Mais 4 et 6 ne sont pas premiers entre eux : cette hypothèse est bien sûr cruciale.

• Théorème Si un nombre premier divise un produit de nombres premiers alors il est égal à l’un d’eux.

Démonstration Soit donc p un entier premier divisant le produit q1q2…qn, où les qi sont tous premiers, pas forcément distincts. Si p = q1, c’est fini. Si p ≠ q1, alors p est premier avec q1 et divise le produit q1q2…qn donc p divise q2…qn. Si p = q2, c’est fini. Si p ≠ q2, alors, par le même raisonnement, on montre que p divise q3…qn. etc. En supposant dans le pire des cas, p ≠ q1, ..., p ≠ qn – 1, comme p divise qn– 1 qn et est premier avec qn – 1, on en déduit que p divise qn. Or p et qn étant tous les deux premiers, nécessairement p = qn, ce qui prouve le théorème. Remarque Ce théorème permet de prouver l’unicité de la décomposition en facteurs premiers d’un entier naturel (voir exercices).

3) L’équation diophantienne ax + by = c

• Si c n’est pas un multiple du pgcd de a et b, on sait, comme on l’a vu au paragraphe II) 1), que l’équation n’a pas de solution entières.

• Supposons donc que c soit un multiple de d = pgcd(a, b). On pose a = da’ et b = db’. Posons c = ld, avec k entier relatif. On procède en trois étapes.

On cherche d’abord à déterminer une solution particulière de l’équation ax + by = c. D’après l’algorithme d’Euclide, on peut trouver une solution particulière (u, v) à l’équation

ax + by = d On a donc au + bv = d. Par suite alu + blv = ld : on a donc une solution particulière (u0, v0) = (lu, lv) à l’équation de départ.

On résout l’équation dans le cas général On a donc :

ax + by = c et au0 + bv0 = c d’où l’on tire

ax + by = au0 + bv0 En simplifiant par le pgcd;

a’x + b’y = a’u0 + b’v0 a’(x – u0) = b’(v0 – y) (1)

On sait que a’ et b’ sont premiers entre eux ; d’autre part, a’ divise b’(v0 – y) ; d’après le théorème de Gauss, a’ divise v0 – y. Il existe un entier relatif k tel que v0 – y = ka’. D’où y = v0 – ka’. En remplaçant dans l’équation (1), il vient :

a’(x – u0) = b’ka’ soit x – u0 = b’k D’où x = u0 + b’k.

On vérifie que les couples obtenus conviennent tous. a(u0 + b’k) + b(v0 – ka’) = au0 + bv0 + k(ab’ – ba’) = c + k(a b

d – b

S = {(u0 + b’k, v0 – ka’), k ∈ ζ}

ad

) = c

En particulier, on peut en déduire qu’il y a une infinité de couples (u, v) vérifiant l’identité de Bézout.

• Exemples Résolvons 18x + 21y = 5 : comme 5 n’est pas un multiple de 3 (le pgcd de 18 et de 21), il n’y a aucune solution entière.

Résolvons maintenant 18x + 21y = 6. On commence bien sûr par simplifier par 3, et on résout 6x + 7y = 2 (1). Comme 6 et 7 sont premiers entre eux, il existe u et v tels que 6u + 7v = 1 : par exemple; u = 6 et v = –5. Finalement, le couple (u0 = 12 ; v0 = –10) est une solution particulière de (1). Par suite, (1) équivaut à 6x + 7y = 6 × 12 + 7 × ( – 10), soit 6(x – 12) = 7(–10 – y). On en déduit, en appliquant le théorème de Gauss, que les solutions : S = {(12 + 7k ; –10 – 6k), k ∈ ζ}.

CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ

À l’heure de la calculatrice, il peut sembler démodé de rechercher des critères de divisibilité permettant, au vu de l’écriture du nombre entier N, et sans trop de calcul pénible, de dire si oui ou non le nombre N est divisible par l’entier d. C’est pourtant ce que l’on va faire ici : on comprendra en particulier comment fonctionne le critère connu de divisibilité par 9 (le plus célèbre de tous…) et l’on en découvrira d’autres. I. Le principe 1) La position du problème

L’idée générale est la suivante : pour savoir si d divise N, on doit diviser N par d. Or si N est très grand, ce n’est pas commode (même avec une calculatrice d’ailleurs…). On essaie donc de remplacer N par un nombre plus petit que lui (voire beaucoup plus petit), mais dont on est sûr à l’avance, soit qu’il a le même reste que N dans sa division euclidienne par d, soit qu’il a les mêmes chances que N d’être divisible par d. Par exemple, le nombre N = 714 212 835 424 956 677 n’est pas divisible par 7. En effet; N = 7 × 102030405060708 × 1000 + 677 ; donc, N et 677 ont même reste dans la division par 7 : or, 677 n’est pas divisible par 7 donc, N non plus. Ici, 677 est beaucoup plus petit que N : la question qui se pose est de savoir comment on peut obtenir un tel nombre.

2) Un théorème très général

Théorème Si N s’écrit dans le système de numération en base b sous la forme N = 011... cccc nn − Si ri est le reste de la division de bi par d, pour tout i compris entre 0 et n, alors N et S = c0r0 + c1r1 + ... + cn – 1rn – 1 + cnrn ont même reste dans la division par d.

Démonstration Il suffit d’écrire que N = Erreur !La compréhension est facilitée si on utilise les congruences modulo d.

et d’utiliser les propriétés de la division euclidienne.

Pour tout i, on a : cibi ≡ ciri (mod d). Par suite, N ≡ c0r0 + c1r1 + ... + cn – 1rn – 1 + cnrn (mod d).

Remarques • S = c0r0 + c1r1 + ... + cn – 1rn – 1 + cnrn S comporte n + 1 termes ; chacun de ces termes ciri est inférieur ou égal à b × d. Donc :

S < (n + 1) × db S est en général beaucoup plus petit que N.

II. Premiers critères de divisibilité Le principe commun va consister à découper le nombre N en tranches et à examiner les tranches. On applique le théorème ci-dessus à des cas de diviseurs d rendant la suite des restes ri particulièrement agréable. On se contente ici de considérer que b = 10 ; on conserve sinon les notations du théorème précédent : en particulier N est un entier naturel s’écrivant en base 10 sous la forme

011... cccc nn − .

1) Critère de divisibilité par 10 ou un diviseur de 10

Théorème N est divisible par 10, ou 2, ou 5, si et seulement si c0 l’est.

Démonstration Dans ce cas, d = 10, ou 2, ou 5. Déterminons la suite (ri) :

r0 = 1 ; pour tout i > 0, ri est le reste dans la division de 10i par 10, ou 2, ou 5 : il est clair que ce reste est nul.

Par suite, S = c0r0 = c0. c0 a même reste que N dans la division par 10, 2, ou 5.

Exemple On retrouve des résultats très classiques :

• Les nombres pairs sont ceux se terminant par 0, 2, 4, 6, ou 8.

• Les multiples de 5 sont ceux se terminant par 0 ou 5.

• Les multiples de 10 sont ceux se terminant par 0.

2) Critère de divisibilité par 10k ou un diviseur de 10k

Théorème Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2. N est divisible par 10k ou un diviseur de 10k si et seulement si le nombre Nk = 011... ccck − composé des k derniers chiffres de N l’est.

Démonstration Dans ce cas, d = 10k ou un des diviseurs de 10k. Par suite, pour tout i > k – 1 on a : ri = 0 S est donc égal à : S = c0 + c1r1 + ... + ck – 1rk – 1 a même reste que N dans la division par 10k ou un de ses diviseurs.

Exemples On retrouve les résultats très classiques suivants :

• Les multiples de 25 sont les nombres qui se terminent par 00, ou 25, ou 50, ou 75 : il n’y en a pas d’autres.

• 4 est un diviseur de 102 = 100 : un nombre est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé avec les deux derniers chiffres est divisible par 4. Ainsi les années bissextiles non séculaires sont celles dont les deux derniers chiffres forment un multiple de 4, comme 1996 ou 2004. On sait par ailleurs que les années séculaires (i. e. celles qui sont multiples de 100) ne sont bissextiles que quand elles sont multiples de 400 : c’est le cas de l’an 2000, pas celui de 1900.

3) Critère de divisibilité par 10k – 1 ou un de ses diviseurs

Théorème On considère le nombre Sk obtenu de la façon suivante : on découpe N en tranches de k chiffres en partant de la droite (si bien que la dernière tranche c cn n−1... a au plus k chiffres) ; Sk est alors la somme de chaque tranche. N est divisible par 10k – 1 ou un de ses diviseurs si et seulement si le nombre Sk l’est.

Démonstration Ici, d = 10k – 1 ou un des diviseurs de 10k – 1, si bien que 10k ≡ 1 (mod d). On a donc :

r0 = rk = r2k = ... = 1 ; Pour tout i, ri + k = ri car 10i + k et 10i ont même reste dans la division par d (en effet, 10i + k ≡ 10i modulo d) : la suite (ri) est donc périodique de période k.

Par suite : S = (c0 + c1r1 + ... + ck – 1rk – 1) + (ck + ck + 1 r1 + ... + c2k – 1rk – 1) + ... ; (c0 + c1r1 + ... + ck – 1rk – 1 est ce qui correspond à la première tranche c c ck −1 1 0... ; ck + ck + 1 r1 + ... + c2k – 1rk – 1 est ce qui correspond à la deuxième

tranche c c ck k k2 1 1− +... et ainsi de suite…).

Par suite, Sk = c c ck −1 1 0... + c c ck k k2 1 1− +... + ... + cn ... et S, donc N, ont bien le même reste dans la division par d.

Remarque Lorsque k n’est pas trop grand, Sk a beaucoup moins de chiffres que N et il est donc plus aisé d’en étudier la divisibilité par 10k – 1. Pour savoir si Sk est divisible par 10k – 1, on peut éventuellement lui appliquer à nouveau la méthode décrite dans la propriété.

Exemples

• Avec k = 1, on retrouve les critères de divisibilité par d = 9 ou 3 ; chaque tranche comporte un chiffre. N est divisible par d si et seulement si la somme de ses chiffres l’est. Ainsi, considérons le cas de N = 1234567891011121326. S1 = 99 est clairement un multiple de 9 (ou de 3) donc N est multiple de 9.

• Avec k = 2, on a d = 99 ou 33 ou 11 et les tranches comportent deux chiffres. Reprenons l’exemple de N = 1234567891011121326 = 1 23 45 67 89 10 11 12 13 26.

S2 = 26 + 13 + 12 + 11+ 10 + 89 + 67 + 45 + 23 + 1 = 297. On peut recommencer avec 297, pour lequel S'2 = 2 + 97 = 99 est clairement un multiple de 99, 33 ou 11 : c’est donc aussi le cas de N.

• Avec k = 3, on a d = 999 ou 333 ou 111 ou 37 ... : les tranches comportent trois chiffres. Toujours avec l’exemple de N = 1234567891011121326 = 1 234 567 891 011 121 326, on trouve :

S3 = 326 + 121 + 011 + 891 + 567 + 234 + 1 = 2151. En recommençant, on arrive à S'3 = 2 + 151 = 153 qui n’est divisible ni par 999 ni par 333 ni par 111 ni par 37 donc N non plus. En revanche N ≡ 2151 ≡ 153 (mod 999 ou 333) ou N ≡ 2151 ≡ 5 (mod 37).

4) Critère de divisibilité par 10k + 1 ou un de ses diviseurs

Théorème On considère le nombre Dk obtenu de la façon suivante : on découpe N en tranches de k chiffres en partant de la droite (si bien que la dernière tranche c cn n−1... a au plus k chiffres) ; on affecte à chaque tranche un numéro : 0 pour celle qui se termine par c0, 1 pour celle qui se termine par ck et ainsi de suite ; Dk s’obtient en additionnant toutes les tranches de numéros pairs et en leur retranchant toutes celles de numéros impairs. Alors N est divisible par 10k + 1 ou un de ses diviseurs si et seulement si Dk l’est.

Démonstration Ici, d = 10k + 1 ou un des diviseurs de 10k + 1, si bien que 10k ≡ –1 (mod d). On a donc :

r0 = r2k = r4k = ... = 1 ; rk = r3k = ...= – 1 ; Pour tout i, ri + k ≡ –ri (mod d) et ri + 2k ≡ ri (mod d) : la suite (ri) est donc périodique de période k.

Si bien que : S = (c0 + c1r1 + ... + ck – 1rk – 1) – (ck + ck + 1 r1 + ... + c2k – 1rk – 1) + ... (c0 + c1r1 + ... + ck – 1rk – 1 est le reste de la première tranche c c ck −1 1 0... ;

ck + ck + 1 r1 + ... + c2k – 1rk – 1 est le reste de la deuxième tranche c c ck k k2 1 1− +... et ainsi de suite)

Par suite, Dk = c c ck −1 1 0... – c c ck k k2 1 1− +... + ... ± c cn n−1... et S, donc N, ont donc bien le même reste dans la division par d.

Exemples • Avec k = 1, on a d = 11 et chaque tranche comporte un chiffre. N est donc divisible par 11 si la somme des chiffres de rang pair diffère d’un multiple de 11 de celle des chiffres de rang impair. N = 111...1 (que des 1 dans l’écriture décimale) est multiple de 11 si et seulement si N comporte un nombre pair de chiffres ; dans le cas contraire on a : 11..1 ≡ 1 (mod 11).

• Avec k = 2, on a d = 101 et les tranches comportent deux chiffres. Considérons par exemple N = 1235802458891 = 1 23 58 02 45 88 91. On a D2 = 91 – 88 + 45 – 02 + 58 – 23 + 1 = 82 n’est pas divisible par 101. Par contre, N et D2 ont le même reste dans la division par 101 donc ils sont congrus modulo 101.

• Avec k = 3, on a d = 1001 ou 7 ou 13 ou 11 : les tranches comportent trois chiffres. Avec par exemple, N = 123 580 245 889 100. Remarquons que N est divisible par 1001 si et seulement si 1235802458891 l’est car 100 est premier avec 1001. Travaillons donc avec 1235802458891 = 1 235 802 458 891. D3 = 891 – 458 + 802 – 235 + 1 = 1001 est divisible par 1001 donc N aussi. On peut retrouver la divisibilité de N par 11 en utilisant le critère plus simple énoncé précédemment. III. D’autres critères Tous les critères énoncés précédemment s’appliquent lorsque d est du type bk ou bk + 1 ou bk – 1 ou un des diviseurs de ceux-ci, b étant la base de numération choisie. Ils peuvent être difficiles à appliquer si k est grand. Par exemple si on veut utiliser l’un d’eux pour tester une éventuelle divisibilité de N par 17, il faudrait utiliser le fait que 17 divise 108 + 1 découper N en tranches de 8 chiffres... Peut-on trouver autre chose ?

1) Un théorème général

Théorème On considère N = c c c cn n−1 1 0... et on appelle N1 le nombre obtenu en supprimant

le chiffre des unités : N1 = c c cn n−1 1... . Si d est premier avec 10, alors il existe un entier u, tel que N est divisible par d si et seulement si N1 + uc0 est divisible par d.

Démonstration Par définition N = 10N1 + c0. D’après le théorème de Bézout, il existe u et v tels que 10u + dv = 1. Par suite :

uN = u(10N1 + c0) = 10uN1 + uc0 = (1 – dv)N1 + uc0 = N1 + uc0 – dvN1. ce qui équivaut à : uN + dvN1 = N1 + uc0. Démontrons maintenant l’équivalence. Si d divise N, alors d divise uN + dvN1 et donc d divise N1 + uc0. Réciproquement, si d divise N1 + uc0, alors, par différence, d divise uN. Mais d’après l’égalité de Bézout, d est aussi premier avec u donc, d’après le théorème de Gauss, d divise N.

Remarque Ce théorème fournit un algorithme permettant de tester la divisibilité de N par d.

d divise N ⇔ d divise N1 + uc0 ; d divise N1 + uc0 ⇔ d divise N2 + uc’0 où N2 est fabriqué en supprimant le dernier chiffre c’0 de N1 + uc0 ; et ainsi de suite…

2) Critères de divisibilité

• Critère de divisibilité par 7 On a ici d = 7, premier avec 10 et l’identité de Bézout permet d’obtenir :

10 × (– 2) + 7 × 3 = 1. On peut donc prendre u = –2. Le théorème précédent affirme que N est divisible par 7 si et seulement si N1 – 2c0 l’est.

Exemple Considérons l’entier N = 864 192.

N1 – 2c0 = 86419 – 2 × 2 = 86415 ; N2 – 2c’0 = 8641 – 2 × 5 = 8631 ; N3 – 2c’’0 = 863 – 2 × 1 = 861 ; N4 – 2c’’’0 = 86 – 2 × 1 = 84 ; N5 – 2c’’’’0 = 8 – 2 × 4 = 0 multiple de 7.

Ce qui prouve que 864192 est divisible par 17. • Critère de divisibilité par 13 On a ici d = 13, premier avec 10 et l’identité de Bézout permet d’obtenir :

10 × 4 + 13 × (–3) = 1. On peut donc prendre u = 4. Le théorème précédent affirme que N est divisible par 13 si et seulement si N1 + 4c0 l’est.

Exemple Considérons l’entier N = 102 583.

N1 + 4c0 = 10258 + 4 × 3 = 10270 ; N2 + 4c’0 = 1027 + 4 × 0 = 1027 ; N3 + 4c’’0 = 102 + 4 × 7 = 130 multiple de 13.

Ce qui prouve que N est un multiple de 13. • Critère de divisibilité par 17 On a ici d = 17, premier avec 10 et l’identité de Bézout permet d’obtenir :

10 × (–5) + 17 × 3 = 1. On peut donc prendre u = –5. Le théorème précédent affirme que N est divisible par 17 si et seulement si N1 – 5c0 l’est.

Exemple On considère l’entier N = 100 000 001

N1 – 5c0 = 10000000 – 5 × 1 = 9999995 ; N2 – 5 × c’0 = 999999 – 5 × 5 = 999974 ; N3 – 5c’’0 = 99997 – 5 × 4 = 99977 ; N4 – 5c’’’0 = 9997 – 5 × 7 = 9962 ; N5 – 5 × c’’’’0 = 996 – 5 × 2 = 986 ; N6 – 5 × c’’’’’0 = 98 – 5 × 6 = 68 multiple de 17.

Donc 100 000 001 est un multiple de 17. • Critère de divisibilité par 19 On a ici d = 19, premier avec 10 et l’identité de Bézout permet d’obtenir :

10 × 2 + 19 × (–1) = 1. On peut donc prendre u = 2. Le théorème précédent affirme que N est divisible par 19 si et seulement si N1 + 2c0 l’est.

Exemple On considère l’entier N = 13579.

N1 + 2c0 = 1357 + 2 × 9 = 1375 ; N2 + 2c’0 = 137 + 2 × 5 = 147 ; N3 + 2c’’0 = 14 + 2 × 7 = 28 non multiple de 19.

Donc 13579 n’est pas divisible par 19.

MULTIPLES COMMUNS À DEUX ENTIERS

I. Multiples communs à deux entiers 1) ppcm de deux entiers relatifs

Théorème Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. L’ensemble des multiples communs à a et à b est admet un plus petit élément strictement positif m.

Démonstration L’ensemble des multiples de a est égal à {…, –2a, –a, 0, a, 2a, …} : on le note aζ. De même, l’ensemble des multiples de b est bζ = {…, –2b, –b, 0, b, 2b, …} L’entier naturel ab appartient à chacun des ensembles aζ et bζ, donc à leur intersection aζ ∩ bζ : ce dernier ensemble possède donc un élément positif. Il possède donc un plus petit élément positif m.

Définition m est alors appelé plus petit multiple commun à a et à b et est noté ppcm(a, b).

2) Exemples

• On peut déterminer le ppcm de deux entiers en établissant la liste de leurs multiples… C’est artisanal mais cela illustre bien la définition. Ainsi pour 30 et 18. L’ensemble des multiples de 30 est

30ζ = {… ; –150 ; –120 ; –90 ; –60 ; –30 ; 0 ; 30 ; 60 ; 90 ; 120 ; 150 ; 180 ; ...} L’ensemble des multiples de 18 est

18ζ = {… ; –90 ; –72 ; –54 ; –36 ; –18 ; 0 ; 18 ; 36 ; 54 ; 72 ; 90 ; 108 ; 126 ; 144 ; 162 ; 180 ; ...}

Les multiples communs à 30 et à 18 sont : 30ζ ∩ 18ζ = {… ; –90 ; 0 ; 90 ; 180 ; …}

On peut écrire ppcm(30, 18) = 90.

• Soit p et q deux nombres premiers distincts. Alors ppcm(p, q) = p × q.

• Le ppcm de a et ka, où a et k sont des entiers relatifs non nuls est ka.

Remarquons que ppcm(a, b) = ppcm(a;b), ce qui justifie que, dans la pratique, on se limite aux cas où a et b sont tous les deux positifs.

• Signalons que la TI89/92 possède une fonction l cm, least common multiple, tout aussi performante que la fonction gcd :

3) Propriétés du ppcm

Théorème L’ensemble des multiples communs à deux entiers relatifs non nuls a et b est exactement l’ensemble des multiples de leur ppcm

Démonstration Soit m = ppcm(a, b) ; on a donc m > 0.

• Les multiples de m sont évidemment aussi multiples de a et de b. L’ensemble des multiples de m est donc inclus dans l’ensemble des multiples communs à a et à b.

• Étudions la réciproque. Soit m’ un multiple commun à a et à b. On peut faire la division euclidienne de m’ par m :

m’ = mq + r avec 0 ≤ r < m Or, a divise m’ et m, donc a divise r. b divise m’ et m donc b divise r. r est donc un multiple commun à a et b, positif et strictement inférieur à m, qui est le plus petit multiple commun à a et à b : r est donc nul. On a donc : m’ = mq. Donc m’ est un multiple de m. L’ensemble des multiples communs à a et à b est donc inclus dans l’ensemble des multiples de m. Théorème

Soient a, b et k trois entiers naturels non nuls. ppcm(ka, kb) = k ppcm(a, b)

Démonstration On note m = ppcm(a, b).

• km est alors un multiple commun à ka et à kb, ce qui prouve que : ppcm(ka, kb) ≤ k ppcm(a, b)

• Réciproquement soit m’ un multiple commun à ka et à kb. m’ = kax = kby où x et y désignent des entiers.

On en déduit que m’k

Par suite, ppcm(ka ; kb) ≥ k ppcm(a, b).

est un multiple commun à a et à b : c’est donc un multiple de m.

Autrement dit m’ est un multiple de km : on a donc m’ ≥ km et cette inégalité est valable pour tout m’ multiple commun à ka et à kb, donc aussi pour m’ = ppcm(ka, kb).

• On a donc bien l’égalité annoncée.

Remarque On peut étendre ce résultat à des entiers relatifs a, b et k. ppcm(ka, kb) = ppcm(ka;kb) = ppcm(ka;kb) = kppcm(a;b) = kppcm(a, b). II. Lien entre pgcd et ppcm de deux entiers naturels non nuls Théorème

Si a et b sont deux entiers naturels non nuls premiers entre eux alors : ppcm(a, b) = ab

Démonstration ab est un multiple commun à a et à b. Montrons que c’est bien le plus petit. Soit donc m un multiple commun à a et b. a divise m et b divise m ; or, on sait que a et b sont premiers entre eux, donc ab divise m. Ceci prouve que m ≥ ab. Ainsi ab est bien le plus petit des multiples communs à a et b. Théorème

Pour tous entiers naturels non nuls a et b on a : pgcd(a, b) × ppcm(a, b) = a × b

Démonstration On pose d = pgcd(a, b). On a alors

a = a’ × d ; b = b’ × d avec a’ et b’ entiers naturels premiers entre eux.

pgcd(a, b) × ppcm(a, b) = d × ppcm(a’d, b’d) = d × d × ppcm(a’, b’) = d × d × a’ × b’ (car a’ et b’ sont premiers entre eux) = a × b Ce qu’il fallait prouver… Remarques • ppcm(a, b) est un multiple de pgcd(a, b).

• L’égalité ci-dessus peut aussi s’écrire ppcm(a, b) = a × bpgcd(a, b)

Ou encore ppcm(a, b) = d × a’ × b’ avec les notations ci-dessus.

.

• Si a et b sont des entiers relatifs, on a alors : pgcd(a, b) × ppcm(a, b) = a × b

La démonstration résulte immédiatement de celle qu’on vient de faire. III. Obtenir le ppcm de deux entiers à partir de leur décomposition en facteurs premiers Théorème

Après avoir décomposé en facteurs premiers les deux entiers naturels non nuls a et b, pour obtenir le ppcm de a et de b, on effectue le produit de tous les facteurs premiers qui figurent dans les décompositions de a et de b, chacun étant affecté de l’exposant le plus grand.

Démonstration Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On appelle p1, p2, …, pn tous les nombres premiers qui figurent soit dans la décomposition de a, soit dans la décomposition de b, soit dans les deux. On peut alors écrire :

a = nnppp ααα ××× ...21

21 avec 0 ≤ α1, 0 ≤ α2, … , 0 ≤ αn ;

b = nnppp βββ ××× ...21

21 avec 0 ≤ β1, 0 ≤ β2, … , 0 ≤ βn. Remarquons que αi est nul dans le cas où le pi correspondant ne figure pas dans la décomposition de a et que βi est nul dans le cas où le pi correspondant ne figure pas dans la décomposition de b. Un entier m est un multiple de a et b si et seulement si il peut s’écrire sous la forme :

m =k × nnppp γγγ ××× ...21

21 avec γ1 ≥ max(α1, β1) ; … ; γn ≥ max(αn, βn) Le ppcm sera obtenu pour γ1 = max(α1, β1) ; … ; γn = max(αn, βn) et k = 1. D’où le résultat. Exemple On considère a = 23 × 52 × 7 × 19 et b = 2 × 3 × 52 × 72. Alors le ppcm de a et de b est égal à : 23 × 3 × 52 × 72 × 19. Rappelons que le pgcd de a et de b vaut : 2 × 52 × 7. On peut vérifier sur cet exemple que pgcd( a, b) × ppcm(a, b) = a × b

Remarque L’utilisation de la décomposition en facteurs premiers de a et b pour le calcul du ppcm est loin d’être la plus commode, surtout lorsque a et b sont grands. On a vu que l’algorithme d’Euclide permet un calcul rapide du pgcd, dont on peut déduire rapidement le ppcm : c’est en général la méthode de calcul du ppcm la plus efficace.