Areas Poligonales y Triangulares Desarrolladas

Razonamiento Matemático 5º de Secundaria Cap.

Áreas de Regiones Sombreadas

Áreas de Regiones Poligonales

Áreas de Regiones Triangulares

1. Triángulo cualquiera

Sb h

=.

2

2. Triángulo Rectángulo

Sb

a

Sa b

=.

2

3. Triángulo Equilátero

S

L L

L

4

3LS

2=

4. Fórmula Trigonométrica para el área del triángulo

ºsen.2

abS α=

5. Fórmula de Herón

)cp)(bp)(ap(pS −−−=

Semiperímetro: 2

cbap ++=

6. Triángulo Circunscrito

r.pS =

Semiperímetro: 2

cbap ++=

7. Triángulo Inscrito

a b

c

r

r4abcS =

Áreas de Regiones Cuadrangulares1. Cuadrado

Razonamiento Matemático 5º de Secundaria

2lS =

2. Rectángulo

b.aS =

3. Paralelogramo

h.bS =

4. Trapecio

Sa b

h=+

2

.

5. Rombo

SAC BD= .

2

6. Cuadrilátero

ºsen.2

BD . ACS α=

Áreas de Regiones Circulares

1. Círculo

O

S

R

2RS π=

2. Sector Circular

O S

R

Rα

360

2απ RS =

3. Corona Circular

Or

R

( )22 rRS −=π

Propiedades

1. Siendo: BE una ceviana.


A

A A

B

CE

1 2

a bSe cumple:

ba

AA

2

1 =

2. Siendo: BM una mediana,

A

A A

B

CM

1 2

Se cumple: 21 AA =

Observación: Al trazar las 3 medianas de un triángulo cualquiera, se obtienen 6 regiones triangulares con la misma área.

S

S S

SSS

3. En un triángulo cualquiera se cumple que:

S S S S

4. Si: ∆ ABC ~ ∆ PQR

A

B

CP q R

ac

b

pr

R

A1 A2

(Triángulos semejantes)

Se cumple:

rc

qb

p1A a ===

5. En todo cuadrilátero:

S1 S3

S2

S4

4231 S.SS.S =

6. En todo trapecio:

S1 S2

21 SS =

Ejercicios Desarrollados

1. El área sombreada de la figura adjunta es:

a

b

c

45º

a) 2

2)ab(ca −+ b) b2+ac

c) bc +ac d) b2+a2–ab

Resolución:

aa

c

b-a 45º

b-a

A1

A2

21 AAA +=


2)ab)(ab(caA −−+=

∴2

)ab(caA2−+=

Rpta: a

2. Si el lado del cuadrado es “2a”. Hallar el área de la región sombreada.

2a

Qa

a

a) a2µ2 b) 2a2 µ2 c) 3a2 µ2

d) 4a2 µ2 e) a2/2 µ2Resolución:Efectuamos traslación de áreas:

Qa

a

2a

2a

Qa

a

(La mitad de cuadrado)→ )a)(a2(S =

∴ 22 a2S µ= Rpta: b

3. Calcular el área de la siguiente región sombreada.

4 cm

4 cm4 cm

a) 8cm2 b) 12 cm2 c)16 cm2

d) 6 cm2 e) 4 cm2Resolución:

4 cm

4 cm4 cm

4 cm

2 cm

2 cm

(La mitad del cuadrado)

→24S

2=

∴ 2cm 8S = Rpta: a

4. Hallar el área de la región sombreada.

6

6

a) 10 µ2 b) 12 µ2c) 9 µ2

d) 18 µ2 e) 6 µ2

Resolución:

6

6

6

6

(La mitad del cuadrado)

→26S

2=

∴ 2 18S µ=

Rpta: d

5. Hallar el área de la región sombreada, si 8a =µ.


a

a

a) 8 µ2 b) 4 µ2 c) 2 µ2

d) 1 µ2 e) 6 µ2

Resolución:

a

a

a

a

(La cuarta parte del cuadrado)

→4aS

2=

48S

2=

∴ 2 2S µ=

Rpta: c6. Hallar el área de la región sombreada:

a

a

a) π a2/6 b) π a2/8 c) π a2/9d) π a2/5 e)π a2/12

Resolución:

a

a

a

aa/2

a/2

(La mitad del círculo)

→

22a

S

2

π

=

24a.

S

2π

=

∴ 22

8aS µπ=

Rpta: b

7. Hallar el área de la región sombreada:

22

a) 2 π µ2 b) 2/3 π µ2 c) π µ2

d) 3/2 π µ2 e) (π–2) µ2

Resolución:

22

22

(La cuarta parte del círculo)

→4)2(S2π=

∴ 2 S µπ=

Rpta: c

8. Hallar el área de la región sombreada, si r=6 m.

A BOrr

C


a) 18 m2 b) 12 m2 c) 20 m2

d) 14 m2 e) 36 m2

Resolución:

BA

C

Orr

OA B2r=12

C

r=6

→2

6 )12(S =

∴ 2m 36S =

Rpta: e

9. Calcular el área de la siguiente región sombreada. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8 cm.

A

B C

O

D

a) 8 cm2 b) 10 cm2 c)12 cm2 d) 15 cm2 e) 16 cm2

Resolución:

A

B C

O

D

E

8

8

4

Por diferencia de áreas:A AS = AED AOD

24.8

28.8S −=

∴ 216S µ=

Rpta: e

10. En la figura, calcular el área de la región sombreada.

8 m 6 m

10 m

a) 128 m2 b) 180 m2 c) 108 m2 d) 140 m2 e) 160 m2

Resolución:

Proyectando los 3 rectángulos horizontales:

6 m

10 m

6x10Shorizontal =

2horizontal m 60S =

Proyectando los 3 rectángulos verticales:

8 m 6 m

8x6Svertical =2

vertical m 48S =

Finalmente:verticalhorizontal SSS +=

4860S +=

∴ 2m 108S = Rpta: c

11. Hallar el área de la región sombreada si AB y BC son diámetros:

BO2

4CA

a) 24π µ2 b) 16π µ2 c) 18π µ2

d) 26π µ2 e) 32π µ2

Resolución:


4BO

4CA

2 26 6

→2)2(

2)6(S

22 π−π=

π−π= 218S

∴ 2 16S µπ=

Rpta: b

12. Calcular el área de la figura sombreada.Si: AO = OB = 2 m.

A

O B

a) (π–1) m2 b) (π–2) m2

c) (π–3) m2 d) π m2

Resolución:

A

O B

A

O B

2

2

AOBA AOBAS =

22.2

36090.2.S

2−π=

∴ ( ) 2 2S µ−π= Rpta: b

13. Calcular el área de la región sombreada:

a

a

a) ( )34a2

−π b) ( )π−44a2

c) ( )π−42a2

d) ( )42a2

−π

Resolución:

a

a

a

a

A AS =

4aaS

22 π−=

4aa4S

22 π−=

∴ ( )π−= 44aS

2

Rpta: b


2

2

a) 2πb) 8π c) π–2d) 4–π e) 2(π–2)Resolución:


S

S

S

S

S S

S S

2

2

145º

S

S

S

S

S S

Efectuando traslación de áreas:

2S

S

S

S

S S

S S

2

Calculo del área sombreada:

( ) ( )22 22S8 −π=

42S8 −π=

)2(2S8 −π=

Rpta: e

15. Hallar el área sombreada si el cuadrado es de lado 8 cm.

a) 4π+10 b) 6π–2 c) 3π+10d) 4π+8 e) 12π–21Resolución:

8 cmA

P

N

B

M4 cm

4 cm45º

AAS = APNAB

−π−π=

24.4

44.

36045.8.S

22

848S +π−π=

∴ 84S +π=

Rpta: d


330º

2

a) 5π-6 3 b) 6π-6 3 c) 8π- 3d) 2π-6 3 e) 3π- 3

Resolución:

330º 2O

34

6

32

60º120º

A

B

P

Q

T

S= A AOB A POQ A PQB

( ) ( )

π−

−π=

360120.32.

232.6

36030.36.S

22

π−−π= 4369S

∴ 365S −π=

Rpta: a

17. Desde los vértices del cuadrado ABCD de lado “a” se describen arcos de radio también “a” (ver la figura). Calcular el área de la región sombreada.

A a

B

D

C

a

a)

−π+ 3332

2a b)

−π+ 92332

2a

c)

+π+ 92336

2a d) ( )926

2a +π

Resolución:

x

a x x

x

A a

B

D

C

Calculo del área “x”:∆ AED: ∆ Equilátero

165


A

B Cx

a a

a

a a

D

E

60º 60º30º 30º

x = A■ABCD - A AED - A BAE - A CDE

π−−=360

30.a24

3aax22

2

6a

4a3ax

222 π−−=

12a2a33a12x

222 π−−=

Cálculo del área sombreada:S= A■ABCD - 4x

π−−−=12

a2a33a124aS222

2

3a2a33a12aS

2222 π−−−=

3a2a33a12a3S

2222 π++−=

∴ ( )92333aS

2−π+=

Rpta: b


a

a) ( )13a2 ++π

b) ( )π+− 336a2

c) ( )1366a2

++π

d) ( )12363a2

−+π

e) ( )436a2 +−π

Resolución:

aa a

S

a

30º

XY

60º 60º

C

A

B

D

E

Del problema anterior:

12a2a33a12x

222 π−−=

Calculo del área “y”:

y = A EAD A EAD

43.a

36060.ay

22−π=

43.a

6ay

22−π=

12a33a2y

22 −π=

Calculo del área “S”:

S = A EDC x - y

12a33a2

12a2a33a12

36030.aS

22

2222

−π−

π−−−π=

( )

123612aS

2−+π=

∴ Área Sombreada

( )

12363aS4

2−+π=

Rpta: d


a

a

a) a2/12 b) a2/9 c) a2/8d) a2/3 e) a2/2

Resolución:Aplicación de la Propiedad de la Mediana:


S

S

S S

a

a

SS

2a.aS6 =

∴ 12aS

2=

Rpta: a

20.Hallar el área de la región sombreada.

6

a) 24µ2 b) 26µ2 c) 22µ2

d) 28µ2 d) 36µ2

Resolución:

Aplicación de la Propiedad de la Mediana, en los triángulos: ∆ABC y ∆ACD.

S

S6

A

SS

SSS

S

S

S

SS

B C

D

26S12 =

2 3S µ=

Luego, el área sombreada:

S8A =

∴ 2 24A µ=

Rpta: a


A

B C

D

M

N

3

4

a) 6µ2 b) 7µ2 c) 9µ2

d) 8µ2 d) 10µ2

Resolución:

Por aplicación de la propiedad de la Mediana al ∆ABD:

A

B C

D

M

N

3

4

S S

S

S S

S6S

3x4S12 =

2 1S µ=

Luego, el área sombreada:S8A =

∴ 2 8A µ=

Rpta: d

22.Si el área del ∆ ABC es 48 m2. Hallar el área de la región sombreada.

B

A C

a) 3,5 m2 b) 4,5 m2 c) 5 m2

d) 3 m2 e) 4 m2

Resolución:• En el ∆ABC, “M” es punto medio del lado AC

. Luego, por aplicación de la Propiedad de la Mediana:

B

A C

B

A C

B

M M M

NG G G

N

24 m2 24 m248 m2


• En el ∆MBC, “N” es punto medio del lado BC. Luego, por aplicación de la Propiedad de la Mediana:

C

B

M

GN

24 m2CM

GN

B

N

M12 m2 12 m2

• En el triángulo inicial (∆ABC), “G” es baricentro, por tanto divide a la mediana BM en dos segmentos en la relación de 2 a 1. Luego:

S

M

B

N

12 m2

S

S

G

k

k

k

12S3 =

∴ 2m 4S =

Rpta: e

23.Calcular el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 4 m.

A

B C

D

E

a) 34 m2 b) ( )134 + m2 c) 3

m2

d) 32 m2 e) ( )13 + m2

Resolución:

A

B C

D

E

4

4

4

4 2

45º 60º

º105sen.2

4.24S =

( )

+=4

13228S

∴ ( )134S +=

Rpta: b

24.Hallar el área de la región sombreada.

a

a

a) a2/2 b) a2/5 c) a2/10d) a2/15 e) a2/20

Resolución:

x xx

a

ax

Recordar:

S S

S

S

S

S

A = 5S

A=S

5∴

Luego, en la figura dada en este problema:

5ax4

2=

∴ 20ax

2=

Rpta: e

25.¿En qué relación están el área de la región sombreada y del trapecio?

a

2a

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/3


d) 1/6 e) 1/8

Resolución:a

2a

h

h2

a2a2ah

AA

T

S

+

=

2ah32ah

AA

T

S =

∴ 31

AA

T

S =

Rpta: c

26.¿En qué relación están el área de la región sombreada y área de la región no sombreada?

a

5a

a) 2/3 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6

Resolución:a

5a

h

2h.a5

2h.a5h

2aa5

AANS

S−

+

=

2h.a5

2h.a5h.a6

AANS

S

−

=

h.a5h.a

AANS

S =

∴ 51

AANS

S =

Rpta: d27.En la figura calcular el área sombreada.

Y

X

(-4; -1) (6; -1)

(4; 5)(0; 5)

a) 14µ2 b) 12µ2 c) 24µ2

d) 16µ2 e) 18µ2

Resolución:Y

X

(-4; -1) (6; -1)

(0; 5) (4; 5)4

10

6

26x4S =

∴ 2 12S µ=

Rpta: b

28.Calcular el área de la región no sombreada:Y

XA D(10; 0)

C(6; 2)

B(x; y)

a) 18µ2 b) 9µ2 c) 10µ2

d) 12µ2 e) 14µ2

Resolución:


Y

XA D(10; 0)

C(6; 2)

10

B(x; y)

2

22x10N =

∴ 2 10N µ=

Rpta: c

29.Calcular el área de la siguiente región triangular:

A(-2;-2)B(5;-3)

C(-4;5)

X

Y

a) 23µ2 b) 23,5µ2 c) 22,5µ2

d) 20µ2 d) 29µ2Resolución:

A(-2;-2)B(5;-3)

C(-4;5) Sentidoantihorario

-2 -25 -3-4 5-2 -2

6258

39

-1012

-10-8

[ ])8(3921A −−=

∴ 2 5,23N µ=

Rpta: a30.Calcular el área de la siguiente región poligonal:

Y

X

(-3;2)

(1;5)

(5;3)

(1;-2)

a) 28µ2 b) 29µ2 c) 30µ2

d) 32µ2 e) 34µ2

Resolución:

Y

X

(-3;2)

(1;5)

(5;3)

(1;-2)

Sentidoantihorario

1 5-3 21 -25 31 5

263

2536

-152

-103

-20

( ))20(3621A −−=

∴ 2 28N µ= Rpta: a

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