Arco trigonometrico
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Arco trigonométrico
Até aqui marcamos no ciclo trigonométrico imagens de números reais do intervalo [–2π, 2π[. São os números da 1ª volta positiva ou da 1ª volta negativa.
A localização da imagem de um número real permite que sejam dadas, no ciclo, tantas voltas quantas forem necessárias, tanto no sentido positivo como no negativo.
Cada ponto do ciclo trigonométrico é imagem de infinitos números reais.
Arco trigonométrico
A origem A, por exemplo, é imagem de todo número real que indique um número inteiro de voltas completas.
O A
B
A’
B’
0, 2π, 4π, 6π, ...
–2π, –4π, –6π, ...
Os números acima são chamados de números congruentes.
Arco trigonométrico – caso geral
Considere que o número real x, 0 ≤ x ≤ 2π, tenha como imagem o ponto P do ciclo.
O A
B
A’
B’
Px
O Ponto P é imagem de:
x
2π + x
4π + x
6π + x
–2π + x
–4π + x
k.2π + x ou 2kπ + x
Expressão geral dos números
congruentes a x.
Arco trigonométrico
Seja x um número real, 0 ≤ x < 2π, com imagem num ponto P do ciclo. Chamamos de Arco trigonométrico de extremidade P o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2kπ + x, com k inteiro.
Cada um dos infinitos números congruentes que definem um arco trigonométrico é uma determinação do arco.
Existe uma única determinação x que está na 1ª volta positiva. Ela é chamada de determinação principal.
Encontrando a determinação principal
Conhecendo-se uma das determinações de um arco trigonométrico, podemos encontrar sua determinação principal. Com a determinação principal, podemos raciocinar na primeira volta positiva, o que facilita a localização da extremidade do arco.
5110º
360º1910º
Exemplos
Achar a determinação principal de 1910º e determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico.
1910º = 5 . 360º + 110º OA
B
A’
B’
P
110º
90º
0o180º
270ºk.360º + 110º
–6–105º
360º–2265º
Exemplos
Achar a determinação principal de –2265º, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico.
–2265º = –6.360º – 105º OA
B
A’
B’P
255º
90º
0o180º
270º
– 105º + 360º = 255º
k.360º + 255º
Exemplos
Achar a determinação principal de 49π/5, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico.
49π/5 = 9,8 π 8π < 49π/5 < 10π⇒
49π5
– 8π =49π – 40π
5=
9π5
⇒ 324º, 4º q.
2kπ + 9π/5.
Exemplos
Achar a determinação principal de –17π/3, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico.
–17π/3 = –5,6π –6π < –17π/3 < –4π⇒
–17π3
+ 6π =–17π + 18π
3=
π3
⇒ 60º, 1º q.
2kπ + π/3.
Exemplos
No ciclo trigonométrico da figura os pontos P e Q são alinhados com o centro O. Para o arco trigonométrico de extremidade Q, obter, em graus e radianos, a determinação principal, a expressão geral e outras duas determinações, uma positiva e outra negativa.
O A
B
A’
B’
P
Q
30º