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dq ρ senf ρ f q x y z ρdf ρ dq senf

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APOSTILA DE CLCULO

DIFERENCIAL E INTEGRAL II

dq

senf

d

f

q

x

y

z

df

dqsenf

Colaboradores para elaborao da apostila:

Elisandra Br de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuhi Siple, Marnei Luis Mandler,

Rogrio de Aguiar

Verso atual editada por Elisandra Br de Figueiredo

Para omentrios e sugestes esreva para elisandra.gueiredoudes.br

Home-page: http://www.joinville.udes.br/portal/professores/elisandra/

Joinville, julho de 2014

Horrio de Monitoria

Inio Final Segunda Tera Quarta Quinta Sexta

07:30 08:20

08:20 09:10

09:20 10:10

10:10 11:00

11:00 11:50

13:30 14:20

14:20 15:10

15:20 16:10

16:10 17:00

17:00 17:50

18:10 19:00

19:00 19:50

19:50 20:40

Horrio de Atendimento dos Professores

Inio Final Segunda Tera Quarta Quinta Sexta

07:30 08:20

08:20 09:10

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19:50 20:40

i

Contedo

1 INTEGRAL DEFINIDA 1

1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Partio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Soma Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Soma Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Funo Integrvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.10 Teorema do Valor Mdio para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Teorema Fundamental do Clulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.6 Frmulas Clssias para Resolver Integrais (Reviso) . . . . . . . . . 20

1.7 Integrais Imprprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8 Integral de uma funo desontnua num ponto c [a, b] . . . . . . . . . . . 231.9 rea em oordenadas retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10 rea delimitada por urvas esritas em equaes paramtrias (opional) . . 32

1.11 rea de um setor urvilneo em oordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . 34

1.12 Comprimento de Aro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.12.1 Comprimento de Aro em Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . 38

1.12.3 Comprimento de um aro em oordenadas paramtrias . . . . . . . . 41

1.12.7 Comprimento de aro em oordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 43

1.13 Volume de um Slido de Revoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.13.5 Rotao em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coordenado . . . 48

1.14 Exerios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.15 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.16 Reviso de Coordenadas Polares no R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2 FUNES DE VRIAS VARIVEIS E DIFERENCIAO PARCIAL 69

2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.2 Funo de Vrias Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.2.5 Gro de uma Funo de Vrias Variveis . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.2.12 Curvas e Superfies de Nvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.2.14 Distnias e Bolas no Espao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.3 Limite de uma Funo de duas Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.3.9 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.4 Continuidade de uma Funo de duas Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.5 Derivadas Pariais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.5.7 Interpretao Geomtria das derivadas pariais . . . . . . . . . . . . 89

2.6 Derivada de uma Funo Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.7 Derivada Parial omo Taxa de Variao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.8 Diferenial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.9 Derivadas Pariais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

ii

2.10 Extremos de uma Funo de duas Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.10.1 Ponto Crtio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.10.3 Ponto de Mximo e Ponto de Mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.11 Derivadas de Funes Implitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.12 Exerios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.13 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3 INTEGRAIS DUPLAS 123

3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.2 Interpretao Geomtria da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.3 Clulo da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.4 Integrais Duplas em Coordenada Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.5 Exerios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.6 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4 INTEGRAIS TRIPLAS 142

4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.2 Interpretao Geomtria da Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.3 Clulo da Integral Tripla em Coordenadas Retangulares . . . . . . . . . . . 144

4.4 Integrais Triplas em Coordenadas Cilndrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.5 Integrais Triplas em Coordenadas Esfrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.6 Exerios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.7 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5 SEQUNCIAS E SRIES 170

5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.2 Sequnias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.2.3 Limite de uma Sequnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.2.7 Sequnias Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.3 Subsequnias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.4 Sequnia Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.5 Sequnias Numrias Montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.6 Sries Numrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.6.4 Soma de uma Srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.6.7 Sries Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.7 Condio neessria para Convergnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.8 Sries Espeiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.8.1 Srie harmnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.8.3 Srie geomtria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5.9 Critrios de Convergnia de Sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.9.1 Critrio da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.9.4 Srie p ou Srie Hiper-harmnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.9.8 Critrio da omparao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5.9.11 Critrio de D'Alambert ou Critrio da Razo . . . . . . . . . . . . . 188

5.9.15 Critrio de Cauhy ou Critrio da Raz . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.10 Sries de Termos Positivos e Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.10.3 Convergnia de uma srie alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.11 Srie de Termos de Sinais Quaisquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.12 Sries absolutamente onvergente e ondiionalmente onvergentes . . . . . . 193

iii

5.13 Sries de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.13.2 Convergnia de sries de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.14 Sries de Potnias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.14.4 Proesso para determinar o intervalo e o raio de onvergnia de uma

srie de potnias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.14.8 Srie de potnias entrada em x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.14.11Continuidade da soma de uma Srie de Funes. . . . . . . . . . . . . 200

5.14.13Derivao de uma srie de funes ontnuas . . . . . . . . . . . . . . 200

5.15 Difereniao e Integrao de Sries de Potnias . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.16 Sries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.17 Srie de Malaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.18 Frmula geral do binmio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.19 Exerios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.20 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

iv

Captulo 1

INTEGRAL DEFINIDA

Objetivos (ao nal do aptulo espera-se que o aluno seja apaz de):

1. Denir integral inferior e integral superior;

2. Calular o valor da integral denida por denio;

3. Apliar o teorema fundamental do lulo e suas propriedades;

4. Calular integral denida por substituio de variveis;

5. Resolver exerios que envolvam integrais imprprias;

6. Resolver exerios que envolvam integrais imprprias de funes desontnuas;

7. Calular reas delimitadas por funes em oordenadas retangulares;

8. Calular reas delimitadas por funes em oordenadas polares;

9. Calular reas delimitadas por funes em oordenadas paramtrias;

10. Calular volume de um slido de revoluo;

11. Calular o omprimento de um aro em oordenadas retangulares, paramtrias e po-

lares;

12. Calular a superfie de um slido de revoluo;

13. Resolver problemas atravs da integral nas reas de fsia, produo, eonomia entre

outras apliaes;

14. Resolver exerios usando uma ferramenta tenolgia.

A prova ser omposta por questes que possibilitam veriar se os objetivos foram atin-

gidos. Portanto, esse o roteiro para orientaes de seus estudos. O modelo de formulao

das questes o modelo adotado na formulao dos exerios e no desenvolvimento terio

desse aptulo nessa apostila.

1

1.1 Introduo

Neste aptulo estudaremos a integral denida. Uma das prinipais apliaes da integral

denida enontra-se em problemas que envolvem lulo de rea e volumes. Por exemplo,

seja f : [a, b] R uma funo ontnua tal que f(x) 0 para todo x [a, b]. Nossopropsito determinar a rea da regio delimitada pela urva y = f(x), pelo eixo x e pelasretas x = a e x = b, onforme Figura 1.1 abaixo:

a y b

x

f

Figura 1.1: rea da regio R

Estimando o valor da rea R: Sabemos omo alular a rea de um retngulo (base

altura). A rea de um polgono podemos obter subdividindo-o em tringulos e retngulos.No entanto, no to fil enontrar a rea de uma regio om lados urvos. Assim, parte do

problema da rea utilizar uma ideia intuitiva do que a rea de uma regio. Reordemos

que, para denir uma tangente, primeiro aproximamos a inlinao da reta tangente por

inlinaes de retas seantes e ento tomamos o limite dessas aproximaes. Utilizaremos

uma ideia semelhante para obter reas.

Por exemplo para alular a rea da regio R vamos dividir o intervalo [a, b] em 2 su-bintervalos de omprimento x = ba

2. Denotamos os extremos destes subintervalos por xi,

onde i {0, 1, 2}. Veja que, neste aso, temos x0 = a, x1 = c e x2 = b. Na Figura 1.2,

onsidere os retngulos de largura x e altura Mi =Max{f(x) : x [xi1, xi]}.

a y c b

x

f

Figura 1.2: Estimativa por soma de reas de retngulos

Deste modo obtemos um polgono irunsrito a regio R uja rea dada pela somada rea dos dois retngulos. Como a base a mesma, podemos dizer que a rea dada

por

2

i=1

Mix, onde Mi = Max{f(x) : x [xi1, xi]}. Vo aha que podemos omparar a

2

rea da regio R representada pela Figura 1.1 e a regio formada pelos retngulos da Figura1.2? A diferena muito grande? O que aonteeria om esta diferena se dividssemos o

intervalo [a, b] em n subintervalos om n = 3, 4, 5, 6, ?A denio formal de integral denida envolve a soma de muitos termos pequenos (dife-

reniais), om a nalidade de obter-se uma quantidade total aps esta operao. Assim h

uma onexo entre o lulo integral e diferenial, onde o Teorema Fundamental do Clulo

relaiona a integral om a derivada. As integrais esto envolvidas em inmeras situaes:

usando a taxa (derivada) podemos obter a quantidade (integral) de leo que vaza de um

tanque durante um erto tempo; utilizando a leitura do velometro de um nibus espaial

possvel alular a altura atingida por ele em um dado intervalo de tempo. Assim, pode-se

usar a integral para resolver problemas onernentes a volumes, omprimentos de urvas,

predies populaionais, sada de sangue do orao, fora sobre uma represa, potnia on-

sumida e a energia usada em um intervalo de tempo na idade de Joinville, et.

O Clulo da rea

Primeiramente aproximaremos a rea da regio R delimitada por gros de funes porsoma de reas de retngulos insritos ou irunsritos para ento tomarmos o limite das

reas desses retngulos, medida que se aumenta o nmero destes, onforme a Figura 1.3.

y

xa b ba x

y

Figura 1.3: Aproximando reas om n retngulos

E desta forma, a rea total desejada ser obtida pela soma das reas retangulares quando

suas bases se tornam ada vez menores, isto , quandox 0 (ou equivalentemente, quandoo nmero de retngulos se torna ada vez maior, isto , n ). Vo onsegue formalizar,matematiamente, este resultado?

Para dar inio a essa formalizao, veremos algumas denies auxiliares.

1.2 Partio

DEFINIO 1.2.1 Seja [a, b] um intervalo. Denominamos partio de [a, b] ao onjuntoordenado de pontos

P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn}tais que

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b

e que dividem [a, b] em n-subintervalos, a saber,

[x0, x1] , [x1, x2] , [x2, x3] , ..., [xi1, xi] , ..., [xn1, xn] ,

3

denominados intervalos da partio. Alm disso, denotamos o omprimento de ada subin-

tervalo por

|[x0, x1]| = x1 x0 = x1|[x1, x2]| = x2 x1 = x2|[x2, x3]| = x3 x2 = x3

|[xi1, xi]| = xi xi1 = xi

|[xn1, xn]| = xn xn1 = xn.

EXEMPLO 1.2.2 Considerando o intervalo [1, 12], o onjunto de pontos P = {1, 2, 4, 8, 12} uma partio de [1, 12]. Os intervalos dessa partio so [1, 2], [2, 4], [4, 8] e [8, 12].

Naturalmente, temos 1 = x0 < 2 = x1 < 4 = x2 < 8 = x3 < 12 = x4.

DEFINIO 1.2.3 Seja [a, b] um intervalo e onsidere

P = {x0, x1, x2, , xi, , xn} e Q = {x0, x1, x2, , y0, , xi, , xn}

duas parties de [a, b]. Dizemos que a partio Q um renamento da partio P se P Q.

EXEMPLO 1.2.4 Consideremos o intervalo [1, 12]. Os onjuntos de pontos

P = {1, 2, 4, 8, 12} e Q = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12}

so duas parties de [1, 12] om P Q. Ento, Q um renamento de P.

1.3 Soma Superior

Consideraremos sempre uma funo ontnua f : [a, b] R denida num intervalo fehado[a, b] e limitada nesse intervalo, isto , existem m,M R tais que m f (x) M para todox [a, b] .

DEFINIO 1.3.1 Seja f : [a, b] R uma funo limitada e seja P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn}uma partio de [a, b], om a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Seja Mi o valor supremo de fno intervalo [xi1, xi] , onde i = 1, 2, 3, , n. Denominamos soma superior de f em relao partio P e denotamos por S(f, P ) expresso:

S(f, P ) =M1(x1 x0) +M2(x2 x1) + ..+Mn(xn xn1) =n

i=1

Mi(xi xi1). (1.3.1)

EXEMPLO 1.3.2 Considere a funo f : [0, 2] R denida por f (x) = xsenx. Na Figura1.4 podemos ver o gro de uma soma superior referente a uma partio omposta por 15

pontos. J uma soma superior referente a uma partio om maior nmero de pontos (80

pontos), ilustrada pela Figura 1.5.

Note que, onforme aumentamos o nmero de pontos da partio, aqui uniformemente

distribudos, a soma superior S(f, P ) vai se aproximando da rea sob o gro de f (x) =x sin x, no intervalo [0, 2] .

4

y

x

f(x)=xsen x

Figura 1.4: Soma Superior, S(f, P ), P om 15 pontos: A = 1, 863 u.a.

y

x

f(x)=xsen x

Figura 1.5: Soma Superior, S(f, P ), P om 80 pontos: A = 1, 746 u.a.

1.4 Soma Inferior

DEFINIO 1.4.1 Seja f : [a, b] R uma funo limitada e seja P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn}uma partio de [a, b], onde a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Seja mi o valor nmo de fno intervalo [xi1, xi] para i = 1, 2, 3, ..., n. Denominamos soma inferior de f em relao partio P e denotamos por S(f, P ) expresso:

S(f, P ) = m1(x1 x0) +m2(x2 x1) + ... +mn(xn xn1) =n

i=1

mi(xi xi1). (1.4.1)

EXEMPLO 1.4.2 Considere a funo f : [0, 2] R denida por f (x) = xsenx. Na Figura1.6 podemos ver o gro de uma soma inferior referente a uma partio omposta por um

nmero reduzido de pontos (15 pontos) e na Figura 1.7 de uma soma inferior referente a

uma partio om maior nmero de pontos (80 pontos).

Note que, aumentando o nmero de pontos de [a, b] a soma inferior S (f, P ) vai se apro-ximando da rea sob o gro de f (x) = x sin x no intervalo [0, 2].

5

y

x

f(x)=xsen x

Figura 1.6: Soma Inferior, S(f, P ), P om 15 pontos: A = 1, 642 u.a.

y

x

f(x)=xsen x

Figura 1.7: Soma Inferior, S(f, P ), P om 80 pontos: A = 1, 718 u.a.

1.5 Funo Integrvel

DEFINIO 1.5.1 Seja f : [a, b] R uma funo limitada. Dizemos que f integrvel se

limn+

S(f, P ) = limn+

S(f, P )

ou seja, se

limn+

n

i=1

mi(xi xi1) = limn+

n

i=1

Mi(xi xi1),

sendo P = {x0, x1, x2, , xn} qualquer partio de [a, b].

No aso de uma funo integrvel, denotaremos a integral denida de f de a at bpor b

a

f (x) dx = limn+

n

i=1

f (wi) (xi xi1), onde wi [xi1, xi] .

OBSERVAO 1.5.2 As somas superiores e inferiores aima denidas so asos partiulares

de Somas de Riemann, que so quaisquer expresses da forma S =n

i=1

f (wi)xi, onde

wi [xi1, xi] no neessariamente um mximo ou um mnimo de f em ada subintervalo

6

da partio onsiderada, nem xi neessariamente onstante. No entanto, em nossospropsitos, no iremos onsiderar esses asos mais gerais.

Ainda, omo f(x) pode ser negativa, ertos termos de uma soma superior ou inferiortambm podem ser negativos. Consequentemente, nem sempre S(f, P ) e S(f, P ) iro repre-sentar uma soma de reas de retngulos. De forma geral, estas somas representam a soma

das reas dos retngulos situados aima do eixo-x (onde f 0) om o negativo das reasdos retngulos que esto situados abaixo deste eixo (onde f 0).

OBSERVAO 1.5.3 Para alular integrais denidas usando a denio de somas superiores

ou inferiores, sero usadas as seguintes expresses:

(i) 1 + 1 + 1 + ...+ 1 = kk vezes

(ii) 1 + 2 + 3 + ...+ k =(1 + k)k

2

(iii) 12 + 22 + 32 + ... + k2 =k (k + 1) (2k + 1)

6

(iv) 13 + 23 + 33 + ... + k3 =k2 (k + 1)2

4

(v) 14 + 24 + 34 + ...+ k4 =k (k + 1) (6k3 + 9k2 + k 1)

30

EXEMPLO 1.5.4 Usando a denio de soma superior, enontre a rea delimitada pelas urvas

y = x2 + 1, x = 0, x = 4 e y = 0 (sabendo que a funo integrvel).

Soluo: Tomamos P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partio do intervalo [0, 4], onforme ilustraa Figura 1.8

y

x

Figura 1.8: Soma Superior de f(x) = x2 + 1 om 10 retngulos

Como os subintervalos da partio podem ser quaisquer, podemos admitir que todos

possuem o mesmo dimetro, isto , x = x1 = x2 = ... = xn. Portanto, temos que

x =4 0n

=4

ne podemos atribuir valores para ada xi P omo sendo

x0 = 0, x1 = x, x2 = 2x, x3 = 3x, ..., xn = nx.

7

Seja Mi o supremo de f(x) = x2 + 1 no intervalo [xi1, xi]. Como neste exemplo temos

uma funo resente, o mximo de f em ada subintervalo oorre no seu extremo direito,ou seja, Mi = f(xi). Assim, a soma superior de f dada por

S(f, P ) = M1x+M2x+M3x+ .... +Mnx

= f(x1)x+ f(x2)x+ f(x3)x+ ...+ f(xn)x

= f(x)x+ f(2x)x+ f(3x)x+ ... + f(nx)x

= x[(x)2 + 1 + (2x)2 + 1 + (3x)2 + 1 + ...+ (nx)2 + 1]

= x[1 + 1 + ...+ 1 + (x)2 + 4(x)2 + 9(x)2 + ... + n2(x)2]

= x[n +x2(1 + 22 + 32 + ...+ n2)]

= x

(n+x2

n(n + 1)(2n+ 1)

6

)

=4

n

(n+

42

n2n(n + 1)(2n+ 1)

6

)

= 4 +64

6

(n + 1)(2n+ 1)

n2

= 4 +32

3

(2 +

3

n+

1

n2

)= 4 +

64

3+

32

n+

32

3n2.

Portanto, a rea desejada dada por

4

0

(x2 + 1)dx = limn+

(4 +

64

3+

32

n+

32

3n2

)=

76

3.

Agora, se desejarmos enontrar a soma inferior de f, quais modiaes deveremos efetuarnos lulos aima? Sugere-se que o estudante refaa este exerio, prestando bastante

ateno no que oorre om as alturas dos retngulos insritos e nas onsequnias deste fato.

EXEMPLO 1.5.5 Usando a denio de soma inferior, enontre a rea delimitada pelas urvas

y = 16 x2, x = 1, x = 4 e y = 0 (sabendo que a funo integrvel).

Soluo: Tomamos P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partio do intervalo [1, 4], onforme ilustraa Figura 1.9

y

x

Figura 1.9: Soma Inferior de f(x) = 16 x2 om 10 retngulos

8

Como os subintervalos da partio podem ser quaisquer, podemos admitir que todos

possuem o mesmo dimetro, isto , x = x1 = x2 = ... = xn. Portanto, temos que

x =4 1n

=3

ne podemos atribuir valores para ada xi P omo sendo

x0 = 1, x1 = 1 +x, x2 = 1 + 2x, x3 = 1 + 3x, , xn = 1 + nx.

Seja mi o nmo de f(x) = 16 x2 no intervalo [xi1, xi]. Como no intervalo [1, 4] afuno deresente, o mnimo de f em ada subintervalo oorre no seu extremo direito, ouseja, mi = f(xi). Assim, a soma inferior de f dada por

S(f, P ) = m1x+m2x+m3x+ ....+mnx

= f(x1)x+ f(x2)x+ f(x3)x+ ...+ f(xn)x

= f(1 + x)x + f(1 + 2x)x+ f(1 + 3x)x + ...+ f(1 + nx)x

= [16 (1 + x)2 + 16 (1 + 2x)2 + 16 (1 + 3x)2 + + 16 (1 + nx)2]x= 16nx [1 + 2x+ (x)2 + 1 + 2 2x+ (2x)2 + 1 + 2 3x+ (3x)2 +

+ + 1 + 2 nx + (nx)2]x= 16nx nx 2(1 + 2 + 3 + + n)(x)2 (12 + 22 + 32 + + n2)(x)3

= 15nx 2 n(n+ 1)2

(x)2 n(n+ 1)(2n+ 1)6

(x)3

= 15n 3n 9 n

2 + n

n2 9 2n

3 + 3n2 + n

2n3

= 45 9 9n 9 27

2n 9

2n2= 27 45

2n 9

2n2

Portanto, a rea desejada dada por

4

1

(16 x2)dx = limn+

(27 45

2n 9

2n2

)= 27.

OBSERVAO 1.5.6 At o momento no exigimos que a funo seja ontnua. Isso porque a

ondio de ontinuidade no neessria para que uma funo seja integrvel. Daqui para

frente s trabalharemos om funes ontnuas. A integrabilidade de funes no ontnuas,

usando a denio, no ser objeto do nosso estudo.

Propriedades das Integrais

Se f, g : [a, b] R so funes integrveis, ento so vlidas as seguintes propriedades:

i. Se f(x) uma funo onstante, isto , f(x) = c, ento

b

a

cdx = c(b a).

ii. Se k uma onstante, ento

b

a

kf (x) dx = k

b

a

f (x) dx.

iii.

b

a

[f (x) + g (x)]dx =

b

a

f (x) dx+

b

a

g (x) dx.

iv. Se f (x) g (x) para todo x [a, b] , ento b

a

f (x) dx b

a

g (x) dx.

9

v. Se m f(x) M para todo x [a, b] , ento m (b a) b

a

f (x) dx M (b a) .

vi. Se c [a, b] , ento b

a

f (x) dx =

c

a

f (x) dx+

b

c

f (x) dx.

vii. A troa dos limitantes de integrao aarreta a mudana no sinal da integral denida,

ou seja, b

a

f (x) dx = a

b

f (x) dx.

viii.

a

a

f(x)dx = 0.

EXEMPLO 1.5.7 Determine a soma superior e a soma inferior para f(x) = x2 2x + 2 nointervalo [1, 2]. A seguir, utilize-as para alular a rea da regio situada abaixo do grode f e entre as retas y = 0, x = 1 e x = 2.

Soluo: A Figura 1.10 ilustra o gro da soma superior de f referente a uma partio

omposta de 15 pontos. Observe que as alturas dos retngulos irunsritos no possuemo mesmo omportamento em todo o intervalo. Isso oorre porque a funo deresente

no intervalo [1, 1] e resente em [1, 2]. Para obter a expresso para a soma superior de fusaremos a Propriedade vi. Tomaremos uma partio para o intervalo [1, 1] e outra parao intervalo [1, 2].

y

x

Figura 1.10: Soma Superior de f(x) = x2 2x+ 2 om 15 retngulos

Soma Superior para o intervalo [1, 1]

Seja P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partio do intervalo [1, 1], de tal forma que todos ossubintervalos de P possuam o mesmo dimetro, isto , x = x1 = x2 = = xn.Portanto, temos que a base de ada um dos retngulos dada por x =

1 (1)n

=2

ne

assim podemos atribuir valores para ada xi P omo sendo

x0 = 1, x1 = 1 + x, x2 = 1 + 2x, x3 = 1 + 3x, , xn = 1 + nx.

Agora vamos determinar as alturas dos retngulos irunsritos. Seja Mi o supremo def(x) = x2 2x+ 2 no subintervalo [xi1, xi]. Como neste intervalo a funo deresente o

10

mximo de f em ada subintervalo oorre no seu extremo esquerdo, ou seja, Mi = f(xi1).Assim, a soma superior de f dada por

S(f, P ) = M1x+M2x+M3x+ +Mnx= f(x0)x+ f(x1)x+ f(x2)x+ + f(xn1)x= f(1)x+ f(1 + x)x+ f(1 + 2x)x + + f(1 + (n 1)x)x= x{5 +

[(1 + x)2 2(1 + x) + 2

]+[(1 + 2x)2 2(1 + 2x) + 2

]+

+ +[(1 + (n 1)x)2 2(1 + (n 1)x) + 2

]}

= x{5 +[(1 2x+ (x)2) + 2 2x+ 2

]+[1 4x+ 22(x)2 + 2 4x+ 2

]+

+ +[1 2(n 1)x+ (n 1)2(x)2 + 2 2(n 1)x+ 2

]}

= x{5 +[5 4x+ (x)2

]+[5 8x+ 22(x)2

]+

+ +[5 4(n 1)x+ (n 1)2(x)2

]}

= x[5n 4x (1 + 2 + + (n 1)) + (x)2

(1 + 22 + + (n 1)2

)]

=2

n[5n 4 2

n n(n 1)

2+

(2

n

)2 (n 1)n (2n 1)

6

]

=2

n[5n 4(n 1) + 2

3(2n2 3n+ 1

n

)]

= 2 +8

n+

4

3(2 3

n+

1

n2

)=

14

3+

4

n+

4

3n2.

Soma Superior para o intervalo [1, 2]

Seja Q = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partio do intervalo [1, 2], de tal forma que todos ossubintervalos de Q possuam o mesmo dimetro, isto , x = x1 = x2 = = xn.Portanto, temos que a base de ada um dos retngulos dada por x =

2 1n

=1

ne assim

podemos atribuir valores para ada xi Q omo sendox0 = 1, x1 = 1 +x, x2 = 1 + 2x, x3 = 1 + 3x, , xn = 1 + nx.

Como neste intervalo a funo deresente as alturas dos retngulos irunsritos, Mi,oorre no extremo direito de ada subintervalo, i.e., Mi = f(xi). Assim a soma superior def em [1, 2] relativa a partio Q dada por

S(f,Q) = M1x+M2x+M3x+ +Mnx= f(x1)x+ f(x2)x+ f(x3)x+ + f(xn)x= [f(1 + x) + f(1 + 2x) + f(1 + 3x) + + f(1 + nx)]x= {[(1 + x)2 2(1 + x) + 2] + [(1 + 2x)2 2(1 + 2x) + 2] +

+[(1 + 3x)2 2(1 + 3x) + 2] + + [(1 + nx)2 2(1 + nx) + 2]}x= {[1 + (x)2] + [1 + (2x)2] + [1 + (3x)2] + + [1 + (nx)2]}x= nx+ (12 + 22 + 32 + + n2)(x)3

= n 1n+n(n + 1)(2n+ 1)

6(1

n

)3=

4

3+

1

2n+

1

6n2

Portanto, a soma superior de f em [1, 2]

S(f, P Q) = 143

+4

n+

4

3n2+

4

3+

1

2n+

1

6n2= 6 +

9

2n+

3

2n2.

11

Para determinar a soma inferior de f, basta enontrar as alturas dos retngulos insritos.A Figura 1.11 ilustra o gro da soma inferior de f referente a uma partio omposta de15 pontos. Observe que as alturas dos retngulos insritos no possuem o mesmo omporta-mento em todo o intervalo. Isso oorre porque a funo deresente no intervalo [1, 1] e

resente em [1, 2]. Para obter a expresso para a soma inferior de f usaremos novamente aPropriedade vi, tomando uma partio para o intervalo [1, 1] e outra para o intervalo [1, 2].

y

x

Figura 1.11: Soma Inferior de f(x) = x2 2x+ 2 om 15 retngulos

Soma Inferior para o intervalo [1, 1]

Considere a partio P tomada aima. A altura dos retngulos insritos, mi, oorre noextremo direito de ada subintervalo [xi1, xi], i.e., mi = f(xi).

Assim, a soma inferior de f em [1, 1], relativa a partio P, dada por

S(f, P ) = m1x+m2x+m3x+ +mnx= f(x1)x+ f(x2)x+ f(x3)x+ + f(xn)x= f(1 + x)x+ f(1 + 2x)x+ f(1 + 3x)x+ + f(1 + nx)x= x

{ [(1 + x)2 2(1 + x) + 2

]+[(1 + 2x)2 2(1 + 2x) + 2

]+

+ +[(1 + nx)2 2(1 + nx) + 2

] }

= x{ [

1 2x+ (x)2 + 2 2x+ 2]+[1 4x+ 22(x)2 + 2 4x+ 2

]+

+ +[1 2nx+ n2(x)2 + 2 2nx+ 2

] }

= x{[

5 4x+ (x)2]+[5 8x+ 22(x)2

]+ +

[5 4nx+ n2(x)2

]}

= x[5n 4x (1 + 2 + + n) + (x)2

(1 + 22 + + n2

)]

=2

n[5n 4 2

n (n+ 1)n

2+

(2

n

)2 n(n + 1) (2n+ 1)

6

]

=2

n[5n 4(n+ 1) + 2

3(2n2 + 3n+ 1

n

)]

= 2 8n+

4

3(2 +

3

n+

1

n2

)=

14

3 4n+

4

3n2.

12

Soma Inferior para o intervalo [1, 2]

Considere a partio Q tomada aima. A altura dos retngulos insritos, mi, oorre noextremo esquerdo de ada subintervalo [xi1, xi], i.e., mi = f(xi1).

Assim, a soma inferior de f em [1, 2], relativa a partio Q, dada por

S(f,Q) = m1x+m2x+m3x+ +mnx= f(x0)x+ f(x1)x+ f(x2)x+ + f(xn1)x= f(1)x+ f(1 + x)x+ f(1 + 2x)x+ + f(1 + (n 1)x)x= x{1 +

[(1 + x)2 2(1 + x) + 2

]+[(1 + 2x)2 2(1 + 2x) + 2

]+

+ +[(1 + (n 1)x)2 2(1 + (n 1)x) + 2

]}

= x{1 + [1 + (x)2] + [1 + (2x)2] + + [1 + ((n 1)x)2]}= nx+ [12 + 22 + + (n 1)2](x)3

= n 1n+

(n 1)n(2n 1)6

(1

n

)3=

4

3 1

2n+

1

6n2.

Portanto, a soma inferior de f em [1, 2]

S(f, P Q) = 143

4n+

4

3n2+

4

3 1

2n+

1

6n2= 6 9

2n+

3

2n2.

Finalmente, utilizando a soma superior de f, obtemos que a rea da regio desejada dada por

A =

1

1(x2 2x+ 2)dx+

2

1

(x2 2x+ 2)dx

= limn+

(14

3+

4

n+

4

3n2

)+ lim

n+

(4

3+

1

2n+

1

6n2

)=

14

3+

4

3= 6.

Note que obteramos o mesmo resultado utilizando a soma inferior de f.

EXEMPLO 1.5.8 Utilize a denio de integral denida para determinar a rea da regio

R delimitada por f(x) = 9 e g(x) = x2, om x 0, sabendo que f e g so funesintegrveis.

Soluo: A regio R est sombreada na Figura 1.12.

Figura 1.12: Regio R

13

A rea da regio R pode ser interpretada omo sendo a rea da regio R1 menos a rea daregio R2, onde R1 a regio retangular limitada pelas urvas y = g(x), y = 0, x = 3 ex 0 e R2 a regio limitada pelas urvas y = f(x), y = 0, x = 3 e x 0.rea de R1 : AR1 =

0

39dx = 9[0 (3)] = 27u.a. (usando as propriedades de integral

denida).

rea de R2 : Os retngulos insritos na regio R2 esto representados na Figura 1.13. A

Figura 1.13: Soma inferior da regio R2 om 7 retngulos

rea de R2 dada por AR2 =

0

3x2dx usando somas de reas de retngulos insritos to-

mamos uma partio P = {x0, x1, x2, , xn} do intervalo [3, 0], de tal forma que todosos subintervalos de P possuam o mesmo dimetro, isto , x = x1 = x2 = ... = xn.

Portanto, temos que a base de ada um dos retngulos dada por x =0 (3)

n=

3

ne

assim podemos atribuir valores para ada xi P omo sendo

x0 = 3, x1 = 3 + x, x2 = 3 + 2x, , xn = 3 + nx.

Agora vamos determinar as alturas dos retngulos insritos. Como neste exemplo temos uma

funo deresente, ada retngulo insrito atinge sua altura no ponto xi, i = 1, 2, , n,ou seja, a altura de ada retngulo g(xi) = x

2i . Assim, a soma de Riemann de g relativa a

partio P e om as alturas denidas dada por

S(g, P ) =

n

i=1

g(xi)x =

n

i=1

x2ix = (x21 + x

22 + + x2n)x

= [(3 + x)2 + (3 + 2x)2 + + (3 + nx)2]x=

[(9 6x+ (x)2

)+(9 6 2x+ (2x)2

)+ +

(9 6 nx+ (nx)2

)]x

= 9nx 6(x)2(1 + 2 + + n) + (x)3(12 + 22 + + n2)

= 27 54n2n(n+ 1)

2+

27

n3n(n+ 1)(2n+ 1)

6

= 27 27(1 +

1

n

)+

9

2

(2 +

3

n+

1

n2

)

= 9 +27

2n+

9

2n2

14

Portanto, usando retngulos insritos obtemos que

AR2 = limn+

(9 +

27

2n+

9

2n2

)= 9u.a..

Logo, a rea da regio R

AR = AR1 AR2 = 27 9 = 18u.a..

EXEMPLO 1.5.9 Utilize soma de reas de retngulos insritos para alular

4

0

(x2 1)dx.

Soluo: O gro de f(x) = x2 1 e os retngulos insritos na regio de integrao Rda integral desejada esto representados na Figura 1.14.

Figura 1.14: Retngulos insritos na regio R

Para alular

4

0

(x2 1)dx usando somas de reas de retngulos insritos tomamos umapartio P = {x0, x1, x2, , xn} do intervalo [0, 4], de tal forma que todos os subintervalosde P possuam o mesmo dimetro, isto , x = x1 = x2 = ... = xn. Portanto, temosque a base de ada um dos retngulos dada por x = 4(0)

n= 4

ne assim podemos atribuir

valores para ada xi P omo sendo

x0 = 0, x1 = x, x2 = 2x, , xn = nx.

Agora vamos determinar as alturas dos retngulos insritos. Como neste exemplo temos

uma funo deresente e negativa, ada retngulo insrito atinge sua altura no ponto xi1,i = 1, 2, , n, ou seja, a altura de ada retngulo f(xi1). Assim, a soma de Riemann de

15

f relativa a partio P e om as alturas denidas dada por

S(f, P ) =

n

i=1

f(xi1)x

= [f(x0) + f(x1) + f(x2) + f(xni)]x=

{1 + [(x)2 1] + [(2x)2 1] + + [((n 1)x)2 1]

}x

= nx [12 + 22 + + (n 1)2](x)3

= n 4n (n 1)n(2n 1)

6(4

n

)3

= 4 32(2n2 3n + 1)3n2

= 4 643

+32

n 32

3n2

Portanto, usando reas de retngulos insritos obtemos que

4

0

(x2 1)dx = limn+

(76

3+

32

n 32

3n2

)= 76

3.

1.5.10 Teorema do Valor Mdio para Integrais

TEOREMA 1.5.11 Se f : [a, b] R ontnua, ento existe c [a, b] tal que b

a

f (x) dx =

f (c) (b a).

EXEMPLO 1.5.12 No Exemplo 1.5.4 obtemos que

4

0

(x2 + 1)dx =76

3. Determine, se existir,

um nmero que satisfaa o teorema do valor mdio para esta integral.

Soluo: Como f(x) = x2+1 uma funo ontnua no intervalo [0, 4] o Teorema do ValorMdio para Integrais garante que existe c (0, 4) de modo que

4

0

(x2 + 1)dx = f(c)(4 0).

Assim,

c2 + 1 =76

4 3 c2 =

16

3 c = 4

3

3.

Observe que c = 43

3no est no intervalo que prouramos a soluo. Portanto, c =

43

3satisfaz a onluso do Teorema 1.5.11.

O Teorema do Valor Mdio para Integrais tem uma interpretao geomtria interessante

se f(x) 0 em [a, b]. Neste aso b

a

f(x)dx a rea sob o gro de f de a at b, e o nmero

f(c) do Teorema 1.5.11 a ordenada do ponto P do gro de f om absissa c (veja aFigura 1.15) Traando-se uma reta horizontal por P a rea da regio retangular limitadapor essa reta, pelo eixo x e pelas reta x = a e x = b f(c)(ba) e que, pelo Teorema 1.5.11, a mesma que a rea sob o gro de f de a at b.

OBSERVAO 1.5.13 O nmero c do Teorema 1.5.11 no neessariamente nio. De fato,se f for uma funo onstante ento qualquer nmero c pode ser utilizado.

OBSERVAO 1.5.14 O nmero

1

b a

b

a

f(x)dx dito valor mdio de f em [a, b].

16

y

xca b

P(c, f(c))

y=f(x)

Figura 1.15: Interpretao geomtria do Teorema 1.5.11

1.6 Teorema Fundamental do Clulo

Seja f : [a, b] R uma funo ontnua integrvel. Vamos xar o limite inferior a e variaro limite superior. Deniremos a funo

F (x) =

x

a

f (t) dt x [a, b].

Caso f (t) seja sempre positiva, ento F (x) ser numeriamente igual a rea do trapezide

urvilneo da Figura 1.16.

y

x

f(x)

a x x+ x

F(x)

F(x+ x)

Figura 1.16: Representao geomtria de F (x)

TEOREMA 1.6.1 Seja f : [a, b] R uma funo ontnua no intervalo [a, b], ento afuno F (x) =

x

a

f (t) dt uma primitiva da funo f , ou seja, F (x) = f (x).

17

DEMONSTRAO: Utilizando a denio de derivada, temos que

F (x) = limx0

F (x+x) F (x)x

= limx0

1

x

[ x+x

a

f (t) dt x

a

f (t) dt

]

= limx0

1

x

[ x

a

f (t) dt+

x+x

x

f (t) dt x

a

f (t) dt

]

= limx0

1

x

x+x

x

f (t) dt,

porm, pelo Teorema 1.5.11, sabemos que existe c [x, x+x] tal que x+x

x

f (t) dt = f (c) (x+x x) = f(c)x

e portanto

F (x) = limx0

f (c)

quando x 0 temos que c x omo f ontnua, obtemos que f (c) f(x) e assima demonstrado que

F (x) = limx0

F (x+x) F (x)x

= f (x) .

Uma onsequnia desse teorema o orolrio que segue:

COROLRIO 1.6.2 Se f : [a, b] R for ontnua no intervalo [a, b], ento F : [a, b] R derivvel em (a, b) e F (x) = f (x) .

A funo F : [a, b] R, denida aima, denominada primitiva de f : [a, b] R e peloTeorema 1.6.1 toda funo ontnua num intervalo [a, b] possui primitiva em [a, b].

TEOREMA 1.6.3 Se f : [a, b] R for ontnua em [a, b] , ento b

a

f(x)dx = G(b)G(a)

onde G qualquer primitiva de f, isto , uma funo tal que G = f.

DEMONSTRAO: Seja F (x) =

x

a

f(t)dt. Pelo Teorema 1.6.1 sabemos que F (x) = f(x),

isto , F uma primitiva de f. Se G for qualquer outra primitiva de f em [a, b], ento elasdiferem por uma onstante, isto ,

G(x) = F (x) + c.

Assim,

G(b)G(a) = [F (b) + c] [F (a) + c] = b

a

f(t)dt a

a

f(t)dt =

b

a

f(t)dt

18

Troando t por x obtemos b

a

f(x)dx = G(b)G(a)

omo queramos demonstrar.

A notao usual

b

a

f(x)dx = G(x)

b

a

.

O teorema fundamental do lulo permite que sejam determinadas as integrais denidas

das funes ontnuas em intervalos fehados sem usar o mtodo visto para enontrar somas

superiores e inferiores.

EXEMPLO 1.6.4 Utilizando o Teorema Fundamental do Clulo enontre a rea sob o gro

de f : [0, 4] R denida por f (x) = x2 + 1.

Soluo: Pelo Teorema 1.6.3 a rea desejada dada por

A =

4

0

(x2 + 1)dx =x3

3+ x

4

0

=64

3+ 4 =

76

3.

Compare este resultado om o resultado obtido no Exemplo 1.5.4.

EXEMPLO 1.6.5 Calule a rea da regio situada entre o eixo x e a urva f(x) = 18(x22x+8),

om x no intervalo de [2, 4].

Soluo: Uma representao gra pode ser visualizada na gura 1.17.

y

x

Figura 1.17: rea sob o gro de f(x) = 18(x2 2x+ 8)

Pelo teorema fundamental do lulo temos que

A =

4

2

1

8(x2 2x+ 8)dx = 1

8(x3

3 x2 + 8x)

4

2

=1

8

[43

3 42 + 8(4)

((2)33

(2)2 + 8(2))]

=1

8

[64

3 16 + 32 + 8

3+ 4 + 16

]=

60

8=

15

2u.a.

19

1.6.6 Frmulas Clssias para Resolver Integrais (Reviso)

Para utilizar o teorema fundamental do lulo, essenial que se saiba obter a primitiva

(anti-derivada) de uma funo. Vamos ento relembrar, do lulo I, alguns proessos ls-

sios de integrao que sero muito teis na resoluo de problemas que envolvem integral

denida.

i. Mudana de Varivel

TEOREMA 1.6.7 Sejam f : [a, b] R uma funo ontnua e g : [, ] R uma funoderivvel tal que g integrvel e g ([, ]) [a, b] e, alm disso g () = a e g () = b. Ento

b

a

f (x) dx =

f (g (t)) g (t) dt.

DEMONSTRAO: Sejam f : [a, b] R uma funo ontnua e g : [, ] R uma funoderivvel om g integrvel e g ([, ]) [a, b] om g () = a e g () = b. Ento f possuiuma primitiva F : [a, b] R e, pelo Teorema Fundamental do Clulo, temos

b

a

f (x) dx = F (g ()) F (g ()) .

Por outro lado, pela regra da adeia temos que

(F g) (t) = F (g (t)) g (t) = f (g (t)) g (t)

para todo t [, ], onsequentemente,

(F g) (t) : [, ] R

uma primitiva da funo integrvel f (g (t)) g (t). Portanto, obtm-se:

f (g (t)) g (t) dt = F (g ()) F (g ()) = b

a

f (x) dx.

EXEMPLO 1.6.8 Calular a integral denida

5

1

x 1x

dx, usando o Teorema 1.6.7.

Soluo: Primeiro vamos enontrar a funo g (t). Seja t =x 1 (note que t 0), ento

podemos esrever x = t2 + 1 e assim obtemos g (t) = t2 + 1, uja derivada g (t) = 2t.Vamos agora determinar os valores de e . Como temos que g () = a = 1 e g () = b = 5segue que

2 + 1 = 1 2 = 0 = 02 + 1 = 5 2 = 4 = 2.

Na sequnia, determinaremos f (g (t)). Como f (x) =

x 1x

, obtemos

f (g (t)) =

g (t) 1g (t)

=

t2 + 1 1t2 + 1

=t

t2 + 1.

20

Finalmente, vamos determinar o valor da integral, usando o Teorema 1.6.7, obtemos:

5

1

x 1x

dx =

2

0

t

t2 + 12tdt = 2

2

0

t2

t2 + 1dt = 2

2

0

t2 + 1 1t2 + 1

dt =

= 2

2

0

t2 + 1

t2 + 1 1t2 + 1

dt = 2

2

0

dt 2 2

0

dt

t2 + 1=

= 2t

2

0

2 arctan t

2

0

= 4 2 arctan 2.

ii. Integrao por partes

TEOREMA 1.6.9 Sejam f, g : [a, b] R funes que possuem derivadas integrveis, ento

b

a

f(x)g(x)dx = f(x)g(x)

b

a

b

a

f (x)g(x)dx.

Na prtia, ostumamos hamar

u = f(x) du = f (x)dxdv = g(x)dx v = g(x)

e substituindo na igualdade aima, obtemos:

b

a

udv = uv

b

a

b

a

vdu.

EXEMPLO 1.6.10 Determine o valor da integral

3

0

sin3 xdx.

Soluo: Nesse aso, fazemos:

u = sin2 x du = 2 sin x cosxdxdv = sin xdx v =

sin xdx = cosx

e enontramos

3

0

sin3 xdx = sin2 x( cos x)

3

0

3

0

cosx(2 sin x cosx)dx

= sin2 x cosx

3

0

+ 2

3

0

cos2 x sin xdx

= ( sin2 x cosx 23cos3 x)

3

0

= 34 12 1

12+

2

3=

5

24.

21

1.7 Integrais Imprprias

DEFINIO 1.7.1 Seja f : [a,) R uma funo ontnua para todo x [a,+). De-nimos +

a

f (x) dx = limb+

b

a

f (x) dx,

desde que o limite exista.

EXEMPLO 1.7.2 Enontre o valor numrio da integral

+

0

1

1 + x2dx.

y

x

Figura 1.18: rea sob o gro de f(x) = 11+x2

Soluo: Veja o gro de f na Figura 1.18. Pela denio 1.7.1 temos que

+

0

1

1 + x2dx = lim

b+

b

0

1

1 + x2dx = lim

b+arctan x

b

0

= limb+

(arctan b arctan 0) = limb+

arctan b =

2.

DEFINIO 1.7.3 Seja f : (, b] R uma funo ontnua para todo x (, b].Denimos b

f (x) dx = lim

a

b

a

f (x) dx,

desde que o limite exista.

EXEMPLO 1.7.4 Enontre o valor numrio da integral

0

1

1 + x2dx.

Soluo: Pela denio 1.7.3 temos que

0

1

1 + x2dx = lim

a

0

a

1

1 + x2dx = lim

aarctanx

0

a

= lima

[arctan 0 arctan a] = lima

arctan a = (2

)=

2.

DEFINIO 1.7.5 Seja f : (,) R uma funo ontnua para todo x (,+).Denimos +

f (x) dx = lim

a

c

a

f (x) dx+ limb+

b

c

f (x) dx,

desde que os limites existam.

22

EXEMPLO 1.7.6 Enontre o valor numrio da integral

+

1

1 + x2dx.

Soluo: Pela denio 1.7.5, tomando c = 0, obtemos

+

1

1 + x2dx = lim

a

0

a

1

1 + x2dx+ lim

b+

b

0

1

1 + x2dx

= lima

arctanx

0

a

+ limb+

arctanx

b

0

= lima

(arctan 0 arctan a) + limb+

(arctan b arctan 0)= lim

aarctan a + lim

b+arctan b

= (2

)+

2= .

1.8 Integral de uma funo desontnua num ponto c [a, b]

DEFINIO 1.8.1 Seja f : [a, b] R uma funo ontnua no intervalo [a, b], exeto noponto c [a, b]. Denimos

b

a

f (x) dx = limc

a

f (x) dx+ limc

b

f (x) dx,

desde que os limites aima existam.

EXEMPLO 1.8.2 Enontre o valor numrio da integral

1

1

1

x2dx.

y

x

Figura 1.19: rea sob o gro de f(x) = 1x2

23

Soluo: O integrando ontnuo em todo ponto pertenente ao intervalo [1, 1] , exetoem x = 0 (observe a Figura 1.19). Pela denio 1.8.1, temos que

1

1

1

x2dx = lim

0

1

1

x2dx+ lim

0+

1

1

x2dx

= lim0

1x

1

+ lim0+

1x

1

= lim0

[1

(11

)]+ lim

0+

[1

(1

)]

= [+ 1] + [1 +] = +

Consequentemente, a funo f(x) =1

x2no integrvel no intervalo [1, 1].

OBSERVAO 1.8.3 Quando os limites que apareem nas denies anteriores existem e so

nitos, dizemos que a integral imprpria onverge. Caso ontrrio, ou seja, quando um dos

limites no existir, dizemos que a integral imprpria diverge.

EXEMPLO 1.8.4 Classique as integrais abaixo em onvergente ou divergente.

(a)

+4

|x|exdx;

(b)

0

sin x

cos2 xdx.

Soluo (a):

+4

|x|exdx = lim

a

0

a

xexdx+ 4

0

xexdx

= lima

xex

0

a

0

a

exdx

+ xex

4

0

4

0

exdx

= lima

(0 + aea + e0 ea

)+ 4e4 0 (e4 1)

= lima

aea lima

ea + 3e4 + 1

= lima

a

ea+ 3e4 + 1 = lim

a

1

ea + 3e4 + 1 = 3e4 + 1

ou seja, a integral onverge.

Soluo (b):

0

sin x

cos2 xdx = lim

a2

a

0

sin x

cos2 xdx+ lim

b2

+

b

sin x

cos2 xdx

= lima

2

[1

cosx

a

0

]+ lim

b2

+

[1

cosx

b

]

= lima

2

[1

cos a 1]+ lim

b2

+

[1 1

cos b

]

= + 2 + = +ou seja, a integral diverge.

24

1.9 rea em oordenadas retangulares

Vimos que, se uma funo f for no negativa, isto , f (x) 0 para todo x no intervalo[a, b], ento a rea da regio delimitada pelas urvas x = a, x = b, y = 0 e y = f (x) dadapor

A =

b

a

f (x) dx.

No aso mais geral, estaremos interessados em alular a rea da regio situada entre os

gros de duas funes f e g, om f(x) g(x) para todo x [a, b], de aordo om a Figura1.20.

y

xba

y=f(x)

y=g(x)

Figura 1.20: Regio entre duas urvas

Nesta situao, devemos utilizar uma diferena de reas e obter que

A =

b

a

f(x)dx b

a

g(x)dx =

b

a

[f(x) g(x)] dx.

Na expresso aima, o termo f(x) g(x) orresponde altura de um retngulo innite-simal de base dx.

Note que, se uma funo g for negativa, isto , se g(x) < 0 para todo x [a, b], a reada regio situada entre as urvas x = a, x = b, y = 0 e y = g (x) ser dada por

A =

b

a

[0 g(x)] dx = b

a

g(x)dx.

EXEMPLO 1.9.1 Calule a rea da regio situada entre o eixo x e o gro da funo f (x) =2x, om x no intervalo [2, 2] .

Soluo: A representao gra de f pode ser observada na Figura 1.21. Como esta funotem imagem negativa no intervalo [2, 0] e no negativa no intervalo [0, 2], devemos proeder

omo segue

A =

0

2(0 2x)dx+

2

0

(2x 0)dx = 0

22xdx+

2

0

2xdx = x2

0

2

+ x2

2

0

= 8 u.a.

Logo, a rea sob o gro da funo f (x) = 2x, no intervalo [2, 2] , igual a 8 unidades derea.

25

x

y

Figura 1.21: rea entre o eixo x e o gro de f(x) = 2x

EXEMPLO 1.9.2 Calule a rea da regio delimitada pelas urvas y = x2 e y =x.

Soluo: Nesse exemplo no foi espeiado o intervalo em que est situada a regio deli-

mitada pelas urvas. Devemos determinar este intervalo enontrando os pontos de interseo

das urvas.

Para isso, basta resolver o sistema de equaes

{y = x2

y =x

. fil ver que a soluo

vem da igualdade x2 =x e os valores de x que tornam essa sentena verdadeira so x = 0

e x = 1. Desse modo, a regio delimitada pelas urvas y = x2 e y =x a determinada se

x [0, 1].

y

x

Figura 1.22: Regio delimitada por y = x2 e y =x.

De aordo om a Figura 1.22, podemos observar que a rea desejada pode ser obtida

atravs da diferena entre as reas das regies situadas sob o gro de y =x e sob o

gro de y = x2, om x [0, 1] .Assim, temos que

A =

1

0

(x x2

)dx =

2

3x

3

2 13x3

1

0

=2

3 1

3=

1

3u.a.

Portanto, a rea desejada igual a

1

3unidades de rea.

EXEMPLO 1.9.3 Calule a rea da regio hahurada na Figura 1.23.

Soluo: Primeiro vamos identiar a lei que dene as funes lineares presentes no gro.

Uma reta passa pelos pontos (0,0) e (1,1) e a outra passa pelos pontos (0, 0) e (2, 12). Portanto

26

x

y

Figura 1.23: Regio hahurada do Exemplo 1.9.3

as equaes destas retas so y = x e y = x4, respetivamente. Existem vrias maneiras de

alular esta rea, uma delas est apresentada a seguir:

A =

1

0

(x 1

4x

)dx+

2

1

(1

x 1

4x

)dx

=3

4

1

0

xdx+

2

1

1

xdx 1

4

2

1

xdx

=3

8x21

0

+

(ln |x| 1

8x2)

2

1

=3

8+ ln(2) 1

2(ln(1) 1

8

)

=4

8 1

2+ ln(2) = ln(2) u.a.

Portanto, a rea desejada igual a ln(2) unidades de rea.

EXEMPLO 1.9.4 Ahar a rea da regio delimitada pelos gros de y + x2 = 6 e y + 2x = 3.

Soluo: Iniialmente, enontramos as intersees das urvas:

{y = 6 x2y = 3 2x 6 x

2 = 3 2x x2 2x 3 = 0 x = 1 ou x = 3.

A seguir, fazemos a representao gra da rea delimitada, onforme ilustra a Figura

1.24.

Podemos ento obter a rea desejada alulando a rea sob a parbola e desontando a

rea sob a reta, no intervalo de [1, 3], ou seja,

A =

3

1[(6 x2) (3 2x)]dx

=

3

1(3 x2 + 2x)dx

= 3x x3

3+ x2

3

1

= 9 273

+ 9 (3 + 13+ 1) =

32

3u.a.

27

y

x

Figura 1.24: rea delimitada por y + x2 = 6 e y + 2x = 3.

Portanto, a rea desejada igual a

32

3unidades de rea.

EXEMPLO 1.9.5 Enontre o valor da rea delimitada pelas urvas y = x2, y = 2 x2 ey = 2x+ 8.

Soluo: Iniialmente vamos fazer uma representao gra, onforme ilustra a Figura

1.25. Na sequnia, vamos enontrar as intersees das urvas.

Figura 1.25: Regio delimitada por y = x2, y = 2 x2 e y = 2x+ 8

Para a reta e a parbola, temos o sistema

{y = x2

y = 2x+ 8

ujas solues so x = 4, y =

16 e x = 2, y = 4.

Para as duas parbolas, temos os sistemas

{y = x2

y = 2 x2 ujas solues so x = 1, y =1 e x = 1, y = 1.

Como oorre duas troas no limitante inferior da regio, devemos dividir a rea desejada

28

em trs partes, a saber:

A1 =

1

2(2x+ 8) (x2)dx =

1

2(2x+ 8 x2)dx = 8

3,

A2 =

1

1(2x+ 8) (2 x2)dx =

1

1(2x+ 6 + x2)dx =

38

3,

A3 =

4

1

(2x+ 8) (x2)dx = 18.

Portanto, a rea desejada dada por

A = A1 + A2 + A3 =8

3+

38

3+ 18 =

100

3u.a.

EXEMPLO 1.9.6 Calule, de duas formas distintas, a rea da regio delimitada pelas urvas

x = y + 1 e x = y2 1.

Soluo: Iniiamos om a representao geomtria da regio, que est esboada na Figura

1.26. A seguir, devemos enontrar os pontos de interseo entre as urvas, igualando suas

x

y

Figura 1.26: Regio entre as urvas x = y + 1 e x = y2 1

equaes, obtendo

y2 1 = y + 1 y2 y 2 = 0 y = 1 e y = 2

e ainda,

y = 1 x = 0 e y = 2 x = 3.

Uma primeira forma de alular a rea desejada proeder omo nos exemplos anteriores,

onde tomamos x omo varivel de integrao. Para isso, devemos isolar y em funo de x,obtendo

y = x 1 e y = x+ 1.

Note que o sinal positivo na ltima equao orresponde poro da parbola situada

aima do eixo x e o sinal negativo orresponde a parte situada abaixo do eixo.

29

Como oorre troa na limitao inferior da regio, devemos tomar uma soma de integrais

para alular sua rea, onforme segue

A =

0

1

x+ 1 (

x+ 1)dx+

3

0

x+ 1 (x 1)dx

=

0

12x+ 1dx+

3

0

(x+ 1 x+ 1)dx

=4

3

(x+ 1)3

0

1

+2

3

(x+ 1)3 x

2

2+ x

3

0

=4

3+

16

3 9

2+ 3 2

3=

9

2u.a.

Uma segunda maneira de alular esta rea mantendo y omo varivel independente etomar a integrao em relao a y. Neste aso, a urva superior est situada direita,ou seja, a reta x = y+1 e a urva inferior est situada esquerda, ou seja, a parbola x = y21.Como desta forma no oorre troa de limitao, podemos alular a rea tomando uma

nia integral

A =

2

1(y + 1) (y2 1)dy

=

2

1(y y2 + 2)dy = y

2

2 y

3

3+ 2y

2

1

= 2 83+ 4

(1

2 1

3 2)

=9

2u.a.

Observe que a troa da varivel de integrao resultou numa expresso uja integral

era mais simples de ser resolvida. Desta forma, importante saber esrever integrais que

permitem alular reas tomando tanto x quanto y omo variveis de integrao, para depoisoptar por resolver aquela que se mostrar mais simples.

EXEMPLO 1.9.7 Esreva a(s) integral(is) que permite(m) alular a rea da regio delimitada

simultaneamente pelas urvas de equaes y =x 2, x+ y = 2 e x+ 2y = 5, tomando:

(a) integrao em relao a x. (b) integrao em relao a y.

Soluo: Iniiamos om a representao geomtria da regio, esboada na Figura 1.27.

Note que temos apenas o ramo superior da parbola, pois y =x 2 0.

O prximo passo obter as intersees entre as urvas.

Entre as duas retas, temos o sistema

{x+ y = 2x+ 2y = 5

, uja soluo x = 1, y = 3.

Entre a parbola e uma das retas, temos o sistema

{y =

x 2

x+ y = 2, uja soluo x = 2,

y = 0.

E entre a outra reta e a parbola, temos o sistema

{y =

x 2

x+ 2y = 5, uja soluo x = 3,

y = 1.Agora podemos montar as integrais que permitem alular a rea desejada.

(a) Tomando integrao em relao a x, devemos isolar y em funo de x,obtendo y =5 x2

30

x

y

Figura 1.27: Regio delimitada por y =x 2, x+ y = 2 e x+ 2y = 5

para a reta superior, y = 2x para a reta inferior e y =x 2 para a parbola, que tambm

um limitante inferior. Como oorre troa na limitao inferior em x = 2, preisamos deduas integrais.

A =

2

1

[(5 x2

) (2 x)

]dx+

3

2

[(5 x2

)(

x 2)]dx

=

2

1

1 + x

2dx+

3

2

(5 x2

x 2

)dx.

(b) Tomando integrao em relao a y, devemos isolar x em funo de y, obtendo x = 52ypara a reta superior, x = 2 y para a reta inferior e x = y2 + 2 para a parbola, que neste

aso tambm um limitante superior. Como oorre troa na limitao superior em y = 1,neessitamos tambm de duas integrais.

A =

1

0

[(y2 + 2) (2 y)

]dy +

3

1

[(5 2y) (2 y)]dy

=

1

0

(y2 + y)dy +

3

1

(3 y) dy.

Neste exemplo, as duas expresses obtidas envolvem soma de integrais. Mesmo assim,

fil notar que a expresso na qual y a varivel independente a mais simples de serresolvida. Assim, se o enuniado soliitasse que fosse alulado o valor numrio da rea em

questo, deveramos optar por resolver esta expresso.

EXEMPLO 1.9.8 A rea de uma determinada regio R pode ser alulada pela expresso

A =

2

1

[(2x2) (2

x)]dx+

4

2

[(2x+ 12) (2

x)]dx.

(a) Represente geometriamente a regio R.

(b) Esreva a rea de R usando y omo varivel independente.

Soluo (a): Interpretando a expresso da rea dada aima temos: Quando x varia de 1at 2 a limitao superior y = 2x2 e a limitao inferior y = 2

x e enquanto x va-

ria de 2 at 4 o limitante superior y = 2x + 12 e o inferior ontinua sendo y = 2x.

31

Figura 1.28: Regio R

Logo, temos que a regio R delimitada superiormente pelas urvas y = 2x2, y = 2x+12e inferiormente por y = 2

x e sua representao geomtria est sombreada na Figura 1.28.

Soluo (b): Os pontos de interseo so

A :

{y = 2x2

y = 2x

(1, 2); B :{y = 2x2

y = 2x+ 12 (2, 8) e

C :

{y = 2x+ 12y = 2

x

(4, 4).Logo, usando y omo varivel independente para esrever a rea de R temos

A =

4

2

(y2

4y

2

)dy +

8

4

(12 y

2y

2

)dy.

1.10 rea delimitada por urvas esritas em equaes pa-

ramtrias (opional)

Seja y = f (x) uma funo ontnua no intervalo [a, b], ujo gro delimita uma regio R.A seguir, vamos obter uma nova expresso para a rea da regio R, utilizando as equaesparamtrias x = (t) e y = (t), om t [, ] , da urva desrita por f. Para isto, bastalembrar que a rea de uma regio retangular dada por

A =

b

a

f (x) dx =

b

a

ydx.

Agora, fazendo a substituio y = (t) e dx = (t)dt e supondo que a = () eb = () obtemos a expresso para o lulo de rea em oordenadas paramtrias:

A =

(t)(t)dt.

32

EXEMPLO 1.10.1 Enontre a rea delimitada pela elipse

x2

a2+y2

b2= 1.

Soluo: As equaes paramtrias da elipse dada so

x = (t) = a cos t e y = (t) = b sin t.

Desse modo, temos que

dx = (t) dt = a sin tdtVamos agora determinar os valores de e . Utilizando a quarta parte da rea desejada,temos que x varia de 0 at a. Assim, podemos fazer x = () = 0 e x = () = a. Logo

() = 0 a cos = 0 cos = 0 = 2

() = a a cos = a cos = 1 = 0.

Agora, para obter a rea total interna elipse basta utilizar a simetria da regio e obter

que

A = 4

02

b sin t(a sin t)dt = 4ab 0

2

sin2 tdt

= 4ab

2

0

1

2(1 cos 2t) dt = 2ab

(t 1

2sin 2t

)

2

0

= 2ab

(

2 1

2sin 0

)= ab.

EXEMPLO 1.10.2 Calular a rea da regio que interior a elipse E1 =

{x = 2 cos ty = 4 sin t

e

exterior a elipse E2 =

{x = 2 cos ty = sin t

.

Figura 1.29: Regio entre as elipses.

Soluo: A regio uja rea desajamos alular pode ser vista na Figura 1.29. Novamente,

podemos utilizar argumentos de simetria e alular a rea da regio situada no primeiro

quadrante do plano xy e multipliar o resultado por quatro. Neste quadrante, temos quex [0, 2]. No entanto

x = 0 2 cos t = 0 t = 2

x = 2 2 cos t = 2 cos t = 1 t = 0,

33

logo, para desrever a regio que nos interessa, em oordenas paramtrias, devemos integrar

de t = 2at t = 0. Assim, notando que neste exemplo devemos tomar a diferena entre as

reas sob as elipses E1 e E2, obtemos

A = 4

02

[4 sin t(2 sin t)dt 4 0

2

sin t(2 sin t)]dt

=

02

(32 sin2 t+ 8 sin2 t)dt = 0

2

24 sin2 tdt

= 24

2

0

1

2(1 cos 2t)dt =

(12t 12

2sin 2t

)

2

0

= 6 u.a.

1.11 rea de um setor urvilneo em oordenadas polares

Nesta seo trabalharemos om reas de regies tpias polares e no nal deste aptulo

apresentada uma breve reviso sobre oordenadas polares.

Seja r = f () uma funo ontnua que desreve uma urva em oordenadas polares, nointervalo [, ]. Como nosso interesse determinar a rea da regio delimitada por r = f ()vamos tomar uma partio do intervalo [, ], onforme ilustra a Figura 1.30.

Figura 1.30: Regio Polar, om i = i i1 e ri = f(i).

Seja X = {0, 1, 2, 3, ..., n} uma partio de [, ] em que

= 0 < 1 < 2 < 3 < ... < n = .

Sejam 1, 2, 3,..., n os subaros da partio X e seja ri o omprimento do raio

orrespondente a um ngulo i i, isto , i1 i i.

A rea do setor irular de raio ri e aro i dada por

Ai =1

2(ri)

2i

e a rea aproximada rea da regio delimitada por r = f () dada por

An =n

i=1

12(ri)

2i.

34

Seja || o subintervalo de maior dimetro da partio X . Ento, se n tender a innitoteremos que || tender a zero. Desse modo poderemos esrever

A = limn

An = lim||0

n

i=1

1

2(ri)

2i =1

2

r2d

ou seja,

A =1

2

r2d, (1.11.1)

que nos fornee uma expresso para o lulo de reas delimitadas por urvas em oordenadas

polares.

EXEMPLO 1.11.1 Determine a rea da regio que simultaneamente exterior ardiide r =1 cos e interior ao rulo r = 1.

Soluo: A Figura 1.31 ilustra a regio onsiderada.

Figura 1.31: Regio delimitada por um ardiide e por uma irunfernia.

Como esta regio simtria em relao ao eixo x, podemos alular o dobro da reada poro situada no primeiro quadrante do plano xy. Neste quadrante, temos que o ngulopolar varia no intervalo [0,

2]. Ainda, devemos notar que a rea desejada dada, em

oordenadas polares, pela diferena entres as reas da irunfernia e da ardiide. Assim,

usando a expresso 1.11.1, obtemos

A =2

2

2

0

12d 22

2

0

(1 cos )2d =

2

0

(2 cos cos2 )d

=

2

0

2 cos 12(1 + cos 2)d = 2 sin 1

2 1

4sin 2

2

0

= 2 4.

Portanto, a rea desejada igual 2 4unidades de rea.

EXEMPLO 1.11.2 Esreva, em oordenadas polares, a integral que alula a rea da regio

simultaneamente exterior irunfernia r = 1 e interior a rosea r = 2 cos(2).

Soluo: A Figura 1.32 ilustra a regio desejada. Para determinar os pontos de interseo

das duas urvas fazemos

2 cos(2) = 1 cos 2 = 12 2 =

3 =

6( no 1o quadrante).

35

Figura 1.32: Regio delimitada por uma rosea e uma irunfernia

Vamos alular a rea da regio delimitada om no intervalo de [0, 6] e multipliar por

8, j que as demais reas so simtrias. Utilizando a Frmula 1.11.1 e veriando que a

rea desejada igual a rea da rosea menos a rea da irunfernia, obtemos

A = 8 12

6

0

[(2 cos(2))2 (1)2]d = 4

6

0

(4 cos2(2) 1)d.

EXEMPLO 1.11.3 Esreva a integral que permite alular a rea da regio que simultanea-

mente interior as urvas r = 5 cos e r = 53 sin .

Soluo: Iniialmente, devemos identiar as urvas dadas. Utilizando as relaes polares

x = r cos , y = r sin e r2 = x2 + y2, obtemos que

r = 5 cos r2 = 5r cos x2 + y2 = 5x(x 5

2

)2+ y2 =

25

4

r = 53 sin r2 = 5

3r sin x2 + y2 = 5

3y x2 + (y 5

3

2)2 =

75

4

e assim, vemos que a regio que nos interessa est situada no interior de duas irunfernias,

de entros desloados da origem, onforme ilustra a Figura 1.33.

Figura 1.33: Regio situada entre irunfernias

A seguir, devemos determinar a interseo entre as urvas

53 sin = 5 cos

3 tan = 1 tan =

3

3 =

6.

Finalmente, observamos que ao desrever a regio desejada, devemos onsiderar r =

53 sin para [0,

6] e r = 5 cos para [

6,

2]. Portanto, omo oorre troa de

36

limitao para o raio polar, neessitamos de uma soma de integrais para alular a rea

desejada

A =1

2

6

0

(53 sin )2d +

1

2

2

6

(5 cos )2d

=1

2

6

0

75 sin2 d +1

2

2

6

25 cos2 d.

EXEMPLO 1.11.4 A rea de uma determinada regio R pode ser alulada, em oordenadaspolares, pela expresso

I = 2

[1

2

4

0

(2 sen())2 d +1

2

2

4

(2)2 d

].

(a) Represente geometriamente a regio R.

(b) Esreva a expresso que determina a rea desta regio usando oordenadas artesianas

em relao: (i) varivel x; (ii) varivel y.

() Calule o valor da rea da regio R.

Soluo (a): A partir da integral dada vemos que a regio R possui simetria, h troa delimitao do raio polar em =

4e as funes que delimitam a rea so = 2 sen e =

2.

Estas urvas so, respetivamente, as irunfernias x2 + (y 1)2 = 1 e x2 + y2 =2. Na

Figura abaixo esto representados os gros destas urvas e R a regio simultaneamenteinterior as duas irunfernias que est sombreada na Figura 1.34.

Figura 1.34: Regio R

Soluo (b): Interseo de = 2 sin e =2 a soluo de:

{ = 2 sin

=2

= = 4

ou

3

4

(esta interseo dada na integral I). Em oordenadas artesianas os pontos de interseodas urvas so (1, 1) e (1, 1).

37

(i) Integrao em relao varivel x :

I =

1

1(2 x2 1 +

1 x2) dx ou I = 2

1

0

(2 x2 1 +

1 x2) dx

(ii) Integrao em relao varivel y :

I = 2

1

0

2y y2 dy + 2

2

1

2 y2 dy

Soluo (): Para alular o valor da rea da regio R usaremos a expresso I dadaem oordenadas polares. Assim,

A = 2

[1

2

4

0

(2 sen())2 d +1

2

2

4

(2)2 d

]

=

4

0

4 sen2 d +

2

4

2 d

= 4

4

0

1 os(2)2

d + 2

2

4

= 2

( sen(2)

2

)

4

0

+

2= ( 1) u.a.

1.12 Comprimento de Aro

1.12.1 Comprimento de Aro em Coordenadas Cartesianas

Seja y = f (x) uma funo ontnua no intervalo [a, b] , ujo gro desreve o aro AB,

onforme ilustra a Figura 1.35.

a bxi

Mn

xi-1x1

s

M0

x

f(xi)y

y

x

f(xi-1) M1Mi-1

Mi

Figura 1.35: Comprimento de aro

Vamos dividir o aro AB em subaros por meio da partio

X = {M0, M1, M2, ..., Mn}

38

em que

A =M0 < M1 < M2 < ... < Mn = B

ujas absissas so

x0, x1, x2, ..., xn.

Traemos as ordas

M0M1, M1M2, , Mi1Mi, , Mn1Mn

e designemos os seus omprimentos por

S1, S2, , Si, , Sn.

Obtm-se ento a linha poligonal

AM0M1 Mn1B

ao longo do aro AB ujo omprimento aproximado dado por

ln = S1 +S2 + +Si + +Sn

ou seja,

ln =n

i=1

Si. (I)

Mas Si a hipotenusa do tringulo de lados xi e yi, de modo que podemos esrever

(Si)2 = (xi)

2 + (yi)2 ,

dividindo tudo por xi obtemos(

Sixi

)2=(

xixi

)2+(

yixi

)2

ou seja,

Sixi

=

1 +

(yixi

)2

e assim

Si =

1 +

(yixi

)2xi. (II)

Agora, omo

xi = xi xi1 e yi = f (xi) f (xi1)

segue que

yixi

=f (xi) f (xi1)

xi xi1e pelo teorema de Lagrange, sabemos que existe i [xi1, xi] tal que

f (xi) f (xi1)xi xi1

= f (i) .

Portanto, obtemos que

39

yixi

= f (i) . (III)

Substituindo (II) em (I) resulta que

ln =n

i=1

1 +

(yixi

)2xi (IV )

e substituindo (III) em (IV ) resulta que

ln =n

i=1

1 + (f (i))

2xi.

Seja |x| o intervalo de maior dimetro de ada partio de AB. Ento, se n , segueque |x| 0 e (i) x. Assim:

l = limn

ln = lim|x|0

ni=1

1 + (f (i))

2xi =

b

a

1 + (f (x))2dx.

Portanto, o omprimento do aro AB no intervalo [a, b] dado por

l =

b

a

1 + (f (x))2dx. (1.12.1)

EXEMPLO 1.12.2 Determinar o omprimento do aro da urva desrita por y =x, om x

no intervalo [0, 4] .

Soluo: A Figura 1.36 ilustra o omprimento de aro onsiderado.

y

x

Figura 1.36: Aro de f(x) =x

Como y = f (x) =x temos que f (x) = 1

2x. Apliando a frmula 1.12.1, obtemos

l =

b

a

1 + (f (x))2dx =

4

0

1 +

(1

2x

)2dx

=

4

0

1 +

1

4xdx =

4

0

4x+ 1

4xdx =

1

2

4

0

4x+ 1x

dx.

Note que esta ltima integral imprpria, pois o integrando no ontnuo em x = 0. Noentanto, neste exemplo no ser preiso apliar limites para resolver a integral, pois podemos

utilizar uma mudana de variveis. Fazendo a substituio t2 = x, enontramos dx = 2tdt e

omo x [0, 4], obtemos que t [0, 2] . Logo

l =1

2

2

0

4t2 + 1t2

2tdt =

2

0

4t2 + 1dt.

40

Como o novo integrando agora ontnuo no intervalo de integrao, podemos utilizar o

teorema fundamental do lulo e a tnia de substituies trigonomtrias para enontrar

que

l =1

2t4t2 + 1 +

1

4ln(2t+

4t2 + 1

)

2

0

=17 +

1

4ln(4 +

17) u.c.

1.12.3 Comprimento de um aro em oordenadas paramtrias

Sejam x = (t) e y = (t) , om t [, ] , as equaes paramtrias da urva desritapor y = f (x) . Ento, omo dx = (t) dt e dy = (t) dt, podemos esrever

f (x) =dy

dx= (t) dt

(t) dt= (t)

(t).

Substituindo na frmula 1.12.1 obtemos

l =

b

a

1 + (f (x))2dx

=

1 +

( (t))2

( (t))2 (t) dt

=

( (t))2 + ( (t))2

(t)2 (t) dt

=

( (t))2 + ( (t))2

(t) (t) dt

=

( (t))2 + ( (t))2dt.

Portanto, o omprimento de aro em oordenadas paramtrias dado por

l =

( (t))2 + ( (t))2dt. (1.12.2)

EXEMPLO 1.12.4 Mostre, usando oordenadas paramtrias, que o omprimento de uma ir-

unfernia de raio r igual a 2r.

Soluo: Em oordenadas paramtrias, a irunfernia desrita por

{x(t) = r cos ty(t) = r sin t

om t [0, 2].

O seu omprimento de aro, em paramtrias, de aordo om 1.12.2 dado por

l =

2

0

(r sin t)2 + (r cos t)2dt =

2

0

r2(sin2 t+ cos2 t)dt =

2

0

rdt = rt|20 = 2r.

EXEMPLO 1.12.5 Calule o omprimento de aro da astride desrita por

41

y

x

3

3-3

-3

Figura 1.37: Astride

(t) = 3 cos3 t, (t) = 3 sin3 t om t [0, 2].

Soluo: A urva pode ser visualizada na Figura 1.37.

Como h simetria, podemos enontrar o omprimento do subaro situado no primeiro

quadrante, tomando t [0, 2] e multipliar o resultado obtido por quatro.

Como (t) = 9 cos2 sin t e (t) = 9 sin2 t cos t, substituindo na frmula 1.12.2, obtemos

l = 4

2

0

(9 cos2 t sin t)2 +

(9 sin2 t cos t

)2dt = 4 9

2

0

cos4 t sin2 t+ sin4 t cos2 tdt

= 36

2

0

cos2 t sin2 t

(cos2 t+ sin2 t

)dt = 36

2

0

cos t sin tdt = 18 sin2 t

2

0

= 18 u.c.

Portanto, o omprimento de aro da astride dada 18 unidades de omprimento.

EXEMPLO 1.12.6 As equaes paramtrias do movimento de uma partula no plano so

dadas por x = 3t e y = 2t3

2 . Qual ser a distnia perorrida pela partula entre os instantest = 0 e t = 1?

Soluo: A distnia perorrida pela partula igual ao omprimento de aro da urva

que desreve a sua trajetria. Apliando a frmula 1.12.2 para

x = (t) = 3t e y = (t) = 2t3

2

om t [0, 1], obtemos

l =

1

0

32 + (3t

1

2 )2dt =

1

0

9 + 9tdt

= 3

1

0

1 + tdt = 2(1 + t)

3

2

1

0

= 2(2)3

2 2(1) 32 = 42 2 u..

Portanto, a distnia perorrida pela partula entre os instantes t = 0 e t = 1 igual a42 2 unidades de omprimento.

42

1.12.7 Comprimento de aro em oordenadas polares

Sejam () = r cos e () = r sin as oordenadas polares da urva r = f (), om [, ]. Substituindo r por f () nas equaes paramtrias vem

() = f () cos e () = f () sin

e assim

() = f () cos f () sin = r cos r sin () = f () sen + f () cos = rsen + r cos .

Agora

( (t))2+ ( (t))

2= (r cos rsen)2 + (rsen + r cos )2

que aps apliar os produtos notveis e simpliar, resulta em

( (t))2+ ( (t))

2= (r)

2+ r2.

Substituindo na equao 1.12.2, obtemos a frmula para o lulo do omprimento de

aro em oordenadas polares, que dada por

l =

(r)2 + r2d. (1.12.3)

EXEMPLO 1.12.8 Enontrar o omprimento de aro do ardiide r = a (1 + cos ).

Soluo: Por simetria, podemos determinar o omprimento do aro situado no primeiro

e segundo quadrante e multipliar por dois. Como r = a (1 + cos ) tem-se r = a sin .Substituindo na frmula 1.12.3 vem

l =

(r)2 + r2d

= 2

0

(a sin )2 + (a (1 + cos ))2d

= 2a

0

sin2 + 1 + 2 cos + cos2 d

= 2a

0

2 + 2 cos d

= 2a 2

0

cos

2d

= 4a 2 sin 12

0

= 8a u.c.

Logo, o omprimento de aro do ardiide r = a (1 + cos ) igual a 8a u.c.

EXEMPLO 1.12.9 Determine o omprimento de aro da poro da espiral r = 2e2 (om 0)que est situada dentro da irunfernia r = a, onde a > 2.

Soluo: Iniialmente, vamos obter os limitantes de integrao. Na interseo da espiral

om a irunfernia, temos que

43

2e2 = a e2 = a2

2 = ln a2

= 12lna

2

Portanto, a poro da espiral que nos interessa desrita por [0, 1

2ln a

2

]. Ainda,

omo temos r = 2e2 segue que r = 4e2 e assim, substituindo na expresso 1.12.3 obtemoso omprimento em oordenada polares

l =

12ln a

2

0

(4e2)2 + (2e2)2d =

12ln a

2

0

20e4d

=

12ln a

2

0

25e2d =

5e2

1

2ln a

2

0

=5(a2 1)u.c.

1.13 Volume de um Slido de Revoluo

Considere o slido T gerado pela rotao da urva y = f(x) em torno do eixo x, nointervalo [a, b] omo na Figura 1.38

x

y

z

a b

y=f(x)

r=f(x)

dx

Clculo do elemento de volume

dV= r dx

dV= f(x) dx

[ ]

x

y

a b

y=f(x)

rea plana

Figura 1.38: Rotao de uma urva em torno do eixo x

Seja P = {x0, x1, , xn} uma partio do intervalo [a, b] e sejam x1, x2, , xnos subintervalos da partio. Se i xi, ento o volume do ilindro de raio f (i) e alturaxi dado por

Vi = [f (i)]2xi

e o volume aproximado do slido ser dado pela soma dos volumes dos n cilindros, isto ,

Vn =

n

i=1

[f (i)]2xi.

Seja || o subintervalo de maior dimetro, ento se n , segue que || 0, i xe o volume V do slido T ser dado por

V = limn

Vn = lim||0

n

i=1

[f (i)]2xi =

b

a

[f (x)]2 dx.

Portanto, o volume de um slido de revoluo (em torno do eixo x) alulado pelaexpresso

V =

b

a

[f (x)]2 dx. (1.13.1)

44

EXEMPLO 1.13.1 A m de que no haja desperdio de rao e para que seus animais estejam

bem nutridos, um fazendeiro onstruiu um reipiente om uma pequena abertura na parte

inferior, que permite a reposio automtia da alimentao, onforme mostra a Figura 1.39.

Determine, usando slidos de revoluo, a apaidade total de armazenagem do reipiente,

em metros bios.

2m

4m

6m

cilindro

cone

Figura 1.39: Forma do reipiente.

Soluo: Vamos enontrar o volume do ilindro (V1) e do one (V2.) Assim, o volume totalser dado por V = V1 + V2.

Para determinar V1 vamos rotaionar a reta y = 2 em torno do eixo x (Figura 1.40).

x

y

-2

y

z

x

Figura 1.40: Cilindro de Revoluo

Apliando a expresso 1.13.1, obtemos

V1 =

4

0

22dx = 4 4 = 16.

J para o one, omo temos um raio r = 2 e altura h = 6, obtemos a reta y = 13x para

rotaionar em torno do eixo x (Figura 1.41).

y

x

y

z

x

Figura 1.41: Cone de Revoluo

Apliando a expresso 1.13.1 mais uma vez, obtemos

V2 =

6

0

1

9x2dx =

1

27x3

6

0

=63

27= 8.

Portanto o volume desejado dado por V = 16 + 8 = 24 u.v.

45

EXEMPLO 1.13.2 Calule o volume do slido gerado pela rotao da urva f(x) = x3, om xno intervalo [1,2, em torno do eixo x.

Soluo: O slido desejado pode ser visualizado na Figura 1.42.

x

y

x

r

y

z

Figura 1.42: Slido gerado pela rotao de y = x3 em torno do eixo x

E o volume desejado dado por

V =

2

1

(x3)2dx =

2

1

x6dx =x7

7

2

1

=127

7u.v.

EXEMPLO 1.13.3 Determinar o volume do slido gerado pela revoluo da regio delimitada

pelas urvas y = x2 e y = x+ 2 em torno do eixo x (veja a Figura 1.43).

x

y

x

y

z

Figura 1.43: Slido gerado pela rotao de uma regio plana em torno do eixo x

Soluo: Nesse exemplo no foi espeiado o intervalo em que est situada a regio delimi-

tada pelas urvas. Para determinar este intervalo, devemos enontrar os pontos de interseo

das urvas dadas. Igualando suas equaes, obtemos

x2 = x+ 2 x2 x 2 = 0 x = 1 e x = 2.

A Figura 1.43 india que o slido desejado est situado entre duas superfies. Assim,

seu volume dado pela diferena entre os volumes externo e interno. De aordo om 1.13.1,

46

temos que

V =

2

1(x+ 2)2dx

2

1

(x2)2dx

=

2

1(x2 + 4x+ 4 x4)dx

=

(1

3x3 + 2x2 + 4x 1

5x5)

2

1

=72

5 u.v.

EXEMPLO 1.13.4 Enontre o volume do slido de revoluo gerado pela rotao da urva

(x 2)2 + y2 = 1 em torno do eixo y.

Soluo: Observe na Figura 1.44 a irunfernia geratriz do slido.

y

1

1 2 3-1

-1

x

Figura 1.44: irunfernia (x 2)2 + y2 = 1

Isolando a varivel x na equao da irunfernia, obtemos

(x 2)2 = 1 y2 x = 21 y2

Observe que o volume do slido desejado formado pelo volume obtido pela rotao da

urva x = 2 +1 y2 em torno do eixo y, menos o volume obtido pela rotao da urva

x = 2

1 y2. Portanto, o volume desejado igual a

V = V1 V2,

onde

V1 =

1

1(2 +

1 y2)2dy

e

V2 =

1

1(2

1 y2)2dy

ou seja,

V =

1

1[(2 +

1 y2)2 (2

1 y2)2]dy =

1

18

1 y2dy.

Para resolver esta integral, utilizamos a substituio trigonomtria y = sin , om dy =cos d e assim, obtemos que

47

V =

2

2

8

1 sin2 cos d

= 8

2

2

cos2 d = 4

2

2

(1 + cos 2)d

= [4 + 2 sin (2)]

2

2

= 42.

Portanto, o volume desejado igual a 42 unidades de volume.

1.13.5 Rotao em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coorde-

nado

At agora onsideremos somente slidos gerados por rotaes de urvas em torno de um

dos eixos oordenados, onde y = f(x) ou x = g(y) eram os raios dos ilindros de revoluo(elementos de volume).

No aso mais geral, podemos rotaionar a urva y = f(x), om x [a, b], em torno dareta y = c, de aordo om a Figura a 1.45.

y

r

y=c

y=f(x)

xba

y

r

y=c

y=f(x)

x

z

ba

Figura 1.45: Slido obtido pela rotao y = f(x) em torno da reta y = c

Neste aso, o raio do ilindro innitesimal igual distnia entre a urva e o eixo de

revoluo, ou seja, dado por

r = c f(x)e o volume do slido resultante dado por

V =

b

a

(c f(x))2dx.

De forma semelhante, se a urva x = g(y), om y [a, b], for rotaionada em torno dareta x = c, o volume do slido resultante dado por

V =

b

a

(c g(y))2dy.

Note que quando c = 0 temos novamente a revoluo em torno dos eixos oordenados.

48

EXEMPLO 1.13.6 Calule o volume do slido obtido quando a poro da par bola y = 2 x2que est situada aima do eixo x rotaionada em torno da reta y = 3.

Soluo: Na Figura 1.46 podemos observar a urva geratriz, o eixo de revoluo e o slido

de revoluo obtido.

y

x

y

xz

Figura 1.46: Curva geratriz e slido de revoluo obtido pela rotao de y = 2x2 em tornode y = 3.

Como rotaionamos em torno de uma reta paralela ao eixo das absissas, devemos efetuar

a integrao em relao a x. O intervalo de integrao, denido aqui pela parte da parbolasituada aima do eixo x, desrito por x [

2,2].

J o raio de rotao, dado pela distnia entre a urva e o eixo de rotao, dado por

r = 3 (2 x2) = 1 + x2

e assim, o volume desejado dado por

V =

2

2

(1 + x2)2dx =

2

2

(1 + 2x2 + x4)dx =94

15

2.

EXEMPLO 1.13.7 Esreva as integrais que permitem alular o volume do slido obtido quando

a regio situada entre as urvas y = x2 e y = 2x rotaionada em torno:

(a) do eixo y; (b) da reta y = 5; () da reta x = 2.

Soluo: A regio a ser rotaionada est representada na Figura 1.47.

y

x

Figura 1.47: Regio a ser rotaionada

As intersees entre as urvas so dadas por

49

x2 = 2x x(x 2) = 0 x = 0, x = 2 y = 0, y = 4.

No item (a), rotaionamos em torno do eixo das ordenadas e, por isso, devemos tomar a

integrao em relao a y. Como o s lido resultante ser vazado, devemos tomar a diferenaentre os volumes dos slidos externo e interno.

O raio externo, denido pela parbola, dado por x =y. O raio interno denido pela

reta e dado por x =y

2. Assim, o volume desejado alulado pela integral

V =

4

0

(y)2

4

0

(y

2)2dy =

4

0

(y y

2

4

)dy.

J no item (b), omo rotaionamos em torno de uma reta paralela ao eixo das absissas,

devemos tomar a integrao em relao a x. Novamente o slido resultante ser vazado edevemos tomar a diferena entre os volumes dos slidos externo e interno.

O raio externo, denido pela distnia entre a parbola e o eixo de rotao, dado por

r = 5 x2 e o raio interno, denido pela distnia entre a reta e o eixo de rotao, dadopor r = 5 2x. O volume do novo slido alulado pela integral

V =

2

0

(5 x2)2dx 2

0

(5 2x)2dx

=

2

0

(25 10x2 + x4) (25 20x+ 4x2)dx

=

2

0

(14x2 + x4 + 20x)dx.

Por m, omo no item () rotaionamos em torno de uma reta paralela ao eixo das

ordenadas, devemos tomar a integrao em relao a y. Mais uma vez devemos tomar adiferena entre os volumes dos slidos externo e interno.

O raio externo, neste aso, denido pela reta e dado por r = 2 y2e o raio interno,

agora denido pela parbola, dado por r = 2y.Assim, o ltimo volume desejado alulado pela integral

V =

4

0

(2 y2)2dy

4

0

(2y)2dy

=

4

0

(4 2y + y2

4) (4 4y + y)dy

=

4

0

(3y + y2

4+ 4

y)dy.

EXEMPLO 1.13.8 Seja R a regio sob o gro de f(x) =1xe aima do eixo x om x [0, 4].

Determine:

(a) a rea da regio R, se existir;

(b) o volume do slido obtido pela rotao da regio R em torno do eixo x, se existir.

() o volume do slido obtido pela rotao da regio R em torno do eixo y, se existir.

50

Soluo (a):

A =

4

0

1xdx = lim

a0+

4

a

x1

2 dx = lima0+

2x

4

a

= lima0+

(24 2

a) = 2u.a.

Soluo (b):

V =

4

0

(1x

)2dx = lim

a0+

4

a

1

xdx = lim

a0+ln x

4

a

= lima0+

(ln 4 ln a) = +

Portanto o slido obtido no tem volume nito.

Soluo ():

V =

12

0

(4)2 dy +

+1

2

(1

y2

)2dy = 16 1

2+ lim

b+

b1

2

y4 dy

= 8 + limb+

( 13x3

)

b

1

2

= 8 + limb+

( 13b3

+8

3

)=

32

3u.v.

51

1.14 Exerios Gerais

1. Dadas as funes f, g : [1, 3] R denidas por f (x) = x+2 e g (x) = x2 + x enontreS (f, P ) e S (g, P ) .

2. Dada a funo f : [2, 5] R denida por f (x) = x2 + 2 enontre S(f, P ) .

3. Determine as expresses para a soma superior e para a soma inferior de f(x) =5 x2, onsiderando x [1, 2].

4. Utilize somas superiores para alular a rea da regio situada entre as urvas y =x4 + 2, x = 0, x = 1 e y = 0.

5. Utilize a denio de integral denida, om retngulos insritos, para alular

3

1

(x22x)dx.

6. Utilize soma de reas de retngulos irunsritos para alular

4

0

(x2 1)dx.

7. Utilize soma de reas de retngulos irunsritos para determinar a rea sob o gro

de f(x) = x3 + 1, para x [0, b], onde b > 0 arbitrrio.

8. Calule, usando somas superiores, a rea da regio situada entre o gro de f(x) = ex

e o eixo x, entre as retas x = 1 e x = 2.

9. Utilize somas inferiores para alular a rea da regio situada entre a urva x = y2 eo eixo y, om y [0, 2].

10. Considere a integral I =

3

1(4 x2)dx.

(a) Usando a denio de integral denida, om retngulos insritos na regio de

integrao, em quantas parelas devemos separar a resoluo de I? Justique suaresposta.

(b) Esolha uma das parelas obtidas no item (a) para resolver a integral orrespon-

dente usando retngulos insritos na regio de integrao.

() A integral I alula a rea da regio de integrao? Justique sua resposta.

11. Considere f : [a, b] R uma funo ontnua. Mostre que:(a) Se f uma funo par, ento

aa f(x)dx = 2

a0f(x)dx.

(b) Se f uma funo mpar, ento aa f(x)dx = 0.

(c) Interprete geometriamente os itens anteriores.

12. Um metereologista estabelee que a temperatura T (em oF ), num dia de inverno dadapor T (t) = 1

20t(t 12)(t 24), onde o tempo t medido em horas e t = 0 orresponde

meia-noite. Ahe a temperatura mdia entre as 6 horas da manh e o meio dia.Sugesto: utilize o teorema do valor mdio para integrais.

13. Enontre uma funo f ontnua, positiva e tal que a rea da regio situada s