Arco trigonométrico

Até aqui marcamos no ciclo trigonométrico imagens de números reais do intervalo [–2π, 2π[. São os números da 1ª volta positiva ou da 1ª volta negativa.

A localização da imagem de um número real permite que sejam dadas, no ciclo, tantas voltas quantas forem necessárias, tanto no sentido positivo como no negativo.

Cada ponto do ciclo trigonométrico é imagem de infinitos números reais.

Arco trigonométrico

A origem A, por exemplo, é imagem de todo número real que indique um número inteiro de voltas completas.

O A

B

A’

B’

0, 2π, 4π, 6π, ...

–2π, –4π, –6π, ...

Os números acima são chamados de números congruentes.

Arco trigonométrico – caso geral

Considere que o número real x, 0 ≤ x ≤ 2π, tenha como imagem o ponto P do ciclo.

O A

B

A’

B’

Px

O Ponto P é imagem de:

x

2π + x

4π + x

6π + x

–2π + x

–4π + x

k.2π + x ou 2kπ + x

Expressão geral dos números

congruentes a x.

Arco trigonométrico

Seja x um número real, 0 ≤ x < 2π, com imagem num ponto P do ciclo. Chamamos de Arco trigonométrico de extremidade P o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2kπ + x, com k inteiro.

Cada um dos infinitos números congruentes que definem um arco trigonométrico é uma determinação do arco.

Existe uma única determinação x que está na 1ª volta positiva. Ela é chamada de determinação principal.

Encontrando a determinação principal

Conhecendo-se uma das determinações de um arco trigonométrico, podemos encontrar sua determinação principal. Com a determinação principal, podemos raciocinar na primeira volta positiva, o que facilita a localização da extremidade do arco.

5110º

360º1910º

Exemplos

Achar a determinação principal de 1910º e determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico.

1910º = 5 . 360º + 110º OA

B

A’

B’

P

110º

90º

0o180º

270ºk.360º + 110º

–6–105º

360º–2265º

Exemplos

Achar a determinação principal de –2265º, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico.

–2265º = –6.360º – 105º OA

B

A’

B’P

255º

90º

0o180º

270º

– 105º + 360º = 255º

k.360º + 255º

Exemplos

Achar a determinação principal de 49π/5, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico.

49π/5 = 9,8 π 8π < 49π/5 < 10π⇒

49π5

– 8π =49π – 40π

5=

9π5

⇒ 324º, 4º q.

2kπ + 9π/5.

Exemplos

Achar a determinação principal de –17π/3, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico.

–17π/3 = –5,6π –6π < –17π/3 < –4π⇒

–17π3

+ 6π =–17π + 18π

3=

π3

⇒ 60º, 1º q.

2kπ + π/3.

Exemplos

No ciclo trigonométrico da figura os pontos P e Q são alinhados com o centro O. Para o arco trigonométrico de extremidade Q, obter, em graus e radianos, a determinação principal, a expressão geral e outras duas determinações, uma positiva e outra negativa.

O A

B

A’

B’

P

Q

30º