Archimedes, unddiegest˜orten Kreise -...

80
Archimedes, π und die gest¨ orten Kreise Vortrag im Naturhistorischen Museum Mainz Prof. Dr. Duco van Straten Johannes Gutenberg Universit¨ at Mainz Dienstag 5. Oktober 2004 287-212

Transcript of Archimedes, unddiegest˜orten Kreise -...

Archimedes,

π

und die gestorten

Kreise

Vortrag im

Naturhistorischen Museum

Mainz

Prof. Dr. Duco van Straten

Johannes Gutenberg

Universitat Mainz

Dienstag 5. Oktober 2004

� � � ��� � � � �

287-212

Archimedes

Gemalde von

Jusepe de Ribera

(1630)

(Madrid)

Archimedes

Gemalde von

Domenico Fetti (1620)

(Dresden)

Sizilien

Syrakus Apollo-Tempel

276 Pyrrhos verlasstSizilien

275 Hieron ergreiftMacht in Syrakus

264 Anfang ersterPunischer Krieg

Hieron-II

306-215

Erster Punischer Krieg 264-241

• 263: Friedensvertrag mit

Rom

• Fast funfzig Jahre Frie-

den!

• Archimedes wird Berater

am Hof von Hieron

• Erfinder, Physiker, Ma-

thematiker

Beruhmteste Erfindung

Geschichte mit der Goldkrone (Vitruvius)

• Konig Hieron laßt eine Goldkrone herstellen.

• Verdacht: Der Goldschmied hat ein Teil des Goldes durch

Silber ersetzt.

• Die Krone darf nicht beschadigt werden.

• Der Konig fragt Archimedes um Rat.

• Archimedes entlarvt den Betruger.

• Der Goldschmied wird gekopft.

Gewicht gleich Volumen ungleich

� � � � � � � � � � � � ��

�� �� ������� ����� �����

Gib mir einen festen Punkt

und ich bewege die Erde !

Mathematische Arbeiten zu

• Gleichgewicht, Schwerpunkte (Statik)

• Hydrostatik

• Flachenbestimmungen

• Volumenbestimmungen

• Der Sandrechner

Beweis des Hebelgesetzes

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������� �������� ����������

���������� � � � � ���������� ����������

���������� �������������������� ����������

�������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������

� � � � � � !�!�!�!!�!�!�!"�"�"�""�"�"�"#�#�#�##�#�#�#$�$�$�$$�$�$�$ %�%�%%�%�%&�&�&&�&�&'�'�'�''�'�'�'(�(�(�((�(�(�()�)�)�))�)�)�)*�*�**�*�*

Lasst keinen der GeometrieUnwissenden hier eintreten!

Axiomatische Methode

Euklid (365-275)

• Definition

• Axiom

• Proposition

• BEWEIS!

� � � � � � � � � � � � ��

π = :

= 3,1415926535...

“Archimedes discovered π”

Erste Algorithmus zur Berechnung von π

3 < π < 2√3

Ein- und Umgeschriebenes N-Eck

(Antiphon, (ca. 450-400)):

φ

φ = π / N

PN :=

Lange des eingeschriebene N-Ecks : Diameter

QN :=

Lange des umgeschriebene N-Ecks : Diameter

P3 < P4 < P5 < . . . < π < . . . < Q5 < Q4 < Q3

PN = N sin(π/N)

QN = N tan(π/N)

Zundende Idee:

Verdopplungsformel fur

sin und cos

⇐⇒

Verdopplungsformel furPN und QN !

Algorithmus von Archimedes

P6 = 3, Q6 = 2√3

Q2N = 2 · PN · QN/(PN +QN)

P2N =√

PN · Q2N

6-Eck

3 < π < 3.464101616 = 2√3

12-Eck

3.105828542 < π < 3.215390310

24-Eck

3.132628614 < π < 3.159659942

48-Eck

3.139350204 < π < 3.146086216

96-Eck

3.141031952 < π < 3.142714600

310

71< π < 3

1

7

3,140845 < π < 3,1428571

Ludolf von Ceulen (1540-1610): 35 Dezimalen.

3,14159265358979323846264338327950288...

Maple-Programm

3 · 2166 =

280608314367533360295107487881526339773939048251392−Eck

Digits:=150;

P[0]:=3;

Q[0]:=evalf(2*sqrt(3));

for i from 0 to 166 do

Q[i+1]:=evalf((2*P[i]*Q[i])/(P[i]+Q[i]));

P[i+1]:=evalf(sqrt(P[i]*Q[i+1]));

P[i+1]-Q[i+1];

od;

P[167]= 3.1415926535 8979323846

2643383279 5028841971 6939937510

5820974944 5923078164 0628620899

8628034825 3421170679. . .

(Hundert Dezimalen korrekt)

Flache der Kreisscheibe

Flache = π · R2 = (2πR)1

2R

Flache=Umfang ·12H

Schlusselergebnis vonArchimedes

Inhalt der Kugel =4

3πR3

Volumen

4

3πR3 =

2

3· (2R) · (πR2)

Eudoxos:

Flache der Kugel

Inhalt=Flache ·1

3R =⇒ Flache = 4πR2

Flachengleichheit

4πR2 = (2R) · (2πR)

Archimedes Palimpsest

• 1907 von Heiberg in Konstantinopel entdeckt

• Byzantinische Handschrift aus dem 10e Jahrhundert

• Verschwunden nach dem ersten Weltkrieg

• 1998 Versteigerung by Christie’s (New York, 2 Mio. $.)

• Enthalt unbekannte Text Die mechanische Methode

• Geheime Methode von Archimedes

• 2007 Geplante veroffentlichung

“ ...und fuhlen uns jetzt genotigt, die Methode bekannt

zu machen, teils weil wir fruher davon gesprochen haben,

damit niemand glaube, wir hatten ein leeres Gerede ver-

breitet, teils in der Uberzeugung, dadurch nicht geringen

Nutzen fur die Mathematik zu stiften; ich nehme namlich

an, daß jemand von dem jetztige oder kunftigen Forschern

durch die hier dargelegte Methode auch andere Lehrsatze

finden wird, die uns noch nicht eingefallen sind.”

Archimedes, Die mechanische Methode.

+ =?

Mit Pythagoras

a2 + b2 = c2

+ =!

247 Geburt vonHannibal

218 Anfang zweiterPunischer Krieg

Hannibal ziehtuber die Alpen

216 Schlacht beiCannae

216-214 Tod von HieronGelon, Hieronymos

Hannibal

247-182

Marcellus

268-208

214 Hippokrates erhalt dieMacht in Syrakus

214 Marcellus belagert-212 Syrakus

Archimedes organisiertVerteidigung der Stadt

Wurfmaschine

Hebegerate

Brennspiegel

“Da es aber nicht moglich ist, den Ruhm der Archimedes,

von dem ubereinstimmend von allen berichtet wird, daß

er die feindliche Schiffe mit Hilfe der Sonnenstrahlen ver-

brannte, zu zerstoren, muß vernunftigerweise auch dieses

Problem losbar sein.”

Anthemius, 6. Jahrhundert

Starwars Solar Cooking

Store meine Kreise nicht!

212 Tod von Archimedes

NOLI TURBARE CIRCULOS MEOS

Ciceron Decouvrant le Tombeau d’Archimede.

(Pierre Henri de Valenciennes (1750-1819))

Integral und Differentialrechnung

Leibniz

(1646-1716)

Newton

(1643-1727)

Integral und Differentialrechnung

Cauchy

(1789-1857)

Riemann

(1826-1866)

Fields-Medaille