Applications linéaires et matrices

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APPLICATIONS LINEAIRES ET MATRICES 1) Applications linéaires définition (application linéaire) Soient E et F deux K espaces vectoriels. On appelle application linéaire de E dans F toute application FEu →: vérifiant : (i) )()()(,),( 2 yuxuyxuEyx +=+∈∀ (ii) )()(,),( xuxuEKx α=α×∈α∀ propriété immédiate Soient E et F deux K espaces vectoriels et u une application de E dans F. u est une application linéaire si et seulement si elle vérifie : )()()(,),,,( yuxuyxuEEKKyx β+α=β+α×××∈βα∀ . Dans la suite, E et F désignent des K espaces vectoriels définition (image, noyau d'une application linéaire) Soit u une application linéaire de E dans F. (i) on appelle image de u, notée )Im(u l'ensemble : { }yxuExFyu =∈∃∈= )(,,)Im( . (ii) on appelle noyau de u, noté )(uKer l'ensemble : { }0)(,)( =∈= xuExuKer . proposition Soit u une application linéaire de E dans F. Alors : (i) )Im(u est un sous espace vectoriel de F. (ii) )(uKer est un sous espace vectoriel de E. démonstration (i) Ou /≠)Im( car )Im(0 u∈ puisque 0)0( =u . Soient )Im(, 21 uyy ∈ . 2211

221 )()(,),( yxuetyxuExx ==∈∃ . D'après la linéarité de u,

)( 2121 xxuyy +=+ donc )Im(21 uyy ∈+ . Soient )Im(),( uKy ×∈α . yxuEx =∈∃ )(, . )( xuy α=α donc )Im(uy∈α . (ii) OuKer /≠)( car )(0 uKer∈ . Soient )(, 21 uKerxx ∈ . 000)()()( 2121 =+=+=+ xuxuxxu donc )(21 uKerxx ∈+ . Soit )(),( uKerKx ×∈α . 00)() =×α=α=α xuxu donc )(uKerx∈α proposition Soit u une application linéaire de E dans F. Alors : (i) u est injective si et seulement si { }0)( =uKer . (ii) u est surjective si et seulement si Fu =)Im( .

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démonstration (i) Supposons u injective. Soit )(uKerx∈ . Alors )0(0)( uxu == donc 0=x car u est injective. par conséquent, { }0)( =uKer . Supposons { }0)( =uKer . Soient Eyx ∈, tels que )()( yuxu = . Alors 0)( =− yxu par linéarité de u donc )(uKeryx ∈− donc 0=− yx , c'est-à-dire yx = . Par conséquent, u est injective. (ii) Supposons u surjective. Soit Fy∈ . Il existe Ex∈ tel que yxu =)( donc )Im(uy∈ donc

)Im(uF ⊂ . Comme Fu ⊂)Im( , on a )Im(uF = . Supposons que Fu =)Im( . Soit Fy∈ . Alors )Im(uy∈ donc u est surjective. théorème Soient E et F deux K espaces vectoriels, Iiiee ∈= )( une base de E, Iiiff ∈= )( une famille de vecteurs de F, indexée par le même ensemble que e. Alors il existe une et une seule application linéaire u de E dans F telle que : ii feuIi =∈∀ )(, démonstration Soit Ex∈ . ∑

∈∈ =∈∃

Iiii

IIii exxKx ,)(! .

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑

∈Iiiiexuxu )(

∑∈

=Ii

ii eux )( (linéarité de u)

∑∈

=Ii

ii fx

D'où l'unicité. Existence : Soit

∑∑∈∈

=

→

Iiii

Iiii fxexx

FEu:

Soient Exx ∈', . ∑∈

∈ =∃Ii

iiIii exxx ,)(! . ∑∈

∈ =∃Ii

iiIii exxx '',)'(! . Soient K∈βα, .

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛β+α=β+α ∑∑

∈∈ Iiii

Iiii exexuyxu ')(

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛β+α= ∑

∈i

Iiii exxu )'(

∑∈

β+α=Ii

iii fxx )'(

∑∑∈∈

β+α=Ii

iiIi

ii fxfx '

)'()( xuxu β+α= Donc u est linéaire de E dans F et répond au critère donné. d'où l'existence.

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2) Matrices définition de matrice I et j étant deux ensembles non vides et finis, on appelle matrice de type JI × à éléments dans l'ensemble E, toute application de JI × dans E. L'image de ),( ji sera notée jimjiM ),(: Dans la pratique nNI = et pNJ = ( nN désignant l'ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à n). On représente alors une matrice

pjnijimM≤≤≤≤=

11)( par un tableau

rectangulaire

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

pnnn

p

p

mmm

mmmmmm

…21

22221

12111

. On note )(KM pn l'ensemble des matrices ayant n lignes et p

colonnes, à coefficients dans K. E et F désignent désormais des K espaces vectoriels de dimensions finies respectives p et n. Soient ),...,( 1 peee = une base de E et ),...,( 1 nfff = une base de F. Soit u une application linéaire de E dans F. u est entièrement déterminée par les images par u des vecteurs de la base de E :

Soit Ex∈ . ∑=

=∈∃p

iii

pp exxKxx

11 ,),...,(! .

∑=

=∈∃≤≤∀n

jjjkk

nnkk fmeuKmmpkk

11 )(,),...,(!,1, .

On a :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=

p

iiiexuxu

1

)(

∑=

=p

iii eux

1

)( (par linéarité de u)

∑ ∑= =

=p

i

n

jjiji fmx

1 1

∑∑= =

=p

i

n

jiiij fxm

1 1 (distributivité)

∑∑= =

=n

j

p

iiiij fxm

1 1 (commutativité, associativité de l'addition)

∑ ∑= =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

ji

p

iiij fxm

1 1

Fxu ∈)( donc ∑=

=∈∃n

kkk

nn fyxuKyy

11 )(,),...,(! . par unicité de la décomposition, on en déduit

donc : ∑=

=∈∀p

iiijjn xmyNj

1,

définition (matrice d'une application linéaire)

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On appelle matrice de u relativement aux bases e et f la matrice pj

nijim≤≤≤≤

11)( . Il s'agit donc de la

matrice à n lignes et p colonnes dont la k ième colonne représente les coordonnées de )( keu dans la base f. On note cette matrice ),;( feumat . définition de l'application linéaire canoniquement associée à une matrice Soit )()(

11 KMmM pn

pjniji ∈=≤≤≤≤ . On munit nK de sa base canonique c'est-à-dire ),...,( 1 neee = où ke

est le vecteur de nK dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la k ième qui vaut 1. On munit pK de sa base canonique )',...,'(' 1 peee = . On considère l'application linéaire u de pK dans nK

telle que pour tout entier pNk∈ , ∑=

=n

iipip emeu

1

)'( . On a alors Meeumat =),';( . u est appelé

application linéaire canoniquement associée à M. définition (addition de matrices, multiplication par un scalaire) Soient )(, KMBA pn∈ ,

pjnijiaA≤≤≤≤=

11)( et

pjnijibB≤≤≤≤=

11)( . On définit les opérations suivantes :

pjnijicBA≤≤≤≤=+

11)( avec jijiji bac +=

pjnijidA≤≤≤≤=α

11)( avec jiji ad α=

définition (produit de matrices) Soient )(KMA pn∈ et )(KMB qp∈ ,

pjnijiaA≤≤≤≤=

11)( et

qjpijibB≤≤≤≤=

11)( . on définit le produit

)(KMAB qn∈ : qjnijicAB≤≤≤≤=

11)( avec ∑

=

=p

kjkkiji bac

1

.

lien entre les opérations matricielles et les opérations sur les applications linéaires 1) Soient u et v deux applications linéaires de E dans F. Soit K∈α . Notons

pjnijiafeumat≤≤≤≤=

11)(),;( et

pjnijibfevmat≤≤≤≤=

11)(),;( .

)()())(( kkk eveuevu +=+ (par définition de l'application vu + )

∑∑==

+=n

iiki

n

iiki fbfa

11

∑=

+=n

iikiki fba

1)(

Cette décomposition suivant les vecteurs de la base f étant unique, on en déduit que

pjnijicfevumat≤≤≤≤=+

11)(),;( avec jijiji bac +=

Donc ),;(),;(),;( fevmatfeumatfevumat +=+

)())(( kk eueu α=α (par définition de uα )

∑=

α=n

iiki fa

1

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∑=

α=n

iiki fa

1)(

Cette décomposition suivant les vecteurs de la base f étant unique, on en déduit que

pjnijidfeumat≤≤≤≤=α

11)(),;( avec jiji ad α= .

Donc ),;(),;( feumatfeumat α=α . 2) Soient u une application linéaire de E dans F et v une application linéaire de F dans G, G étant un K espace vectoriel de dimension q, de base ),...,( 1 qggg = .

pjnijiafeumat≤≤≤≤=

11)(),;( et

pjqijibgfvmat≤≤≤≤=

11)(),;( .

))(()( kk euveuv = (par définition de uv )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑

=

n

iiki fav

1

∑=

=n

iiki fva

1)( (linéarité de v)

∑ ∑= =

=n

i

q

jjijki gba

1 1

∑∑= =

=n

ij

q

jijki gba

1 1 (distributivité)

j

q

j

n

ikiij gab∑ ∑

= =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

1 1 (commutativité, associativité de l'addition)

Cette décomposition suivant les vecteur de la base g étant unique, on en déduit que

pjqijirfeuvmat≤≤≤≤=

11)(),;( avec ∑

=

=n

ikiijji abr

1

.

Donc ),;(),;(),;( feumatgfvmatgeuvmat ×= définition (transposée d'une matrice) Soit

pjnijipn aAKMA≤≤≤≤=∈

11)(),( . On appelle transposée de A, notée At , la matrice

njpiji

t aA≤≤≤≤=

11)'( ,

où ijji aa =' pour tous njetpi ≤≤≤≤ 11 . Voir le lien entre transposée d'une matrice et transposée d'une application linéaire : chapitre sur la dualité.