Electromagnétisme classique - Relativité restreinte · Electromagnétisme classique - Relativité...

Electromagnétisme classique -Relativité restreinte

Patrick Puzo

Laboratoire de l’Accélérateur Linéaire – [email protected]

P. Puzo (2010-2011) Montrouge I 2/77

Electromagnétisme en se limitant à ε = ε0 et μ = μ0

Quasiment rien de neuf. Que des rappels. Juste insister sur certainspoints : basé sur l’« énergie ». Pas de calculs (livres !)

Plan des 6 cours : Généralités – Electrostatique Electrostatique (suite) - Magnétostatique Electromagnétisme Induction électromagnétique Relativité Relativité

Si vous avez une demande particulière, exprimez vous !


Bibliographie (1/4) Utilitaire

Se méfier

Physique



Se méfier

Physique



Se méfier

Physique

Aucune bibliographie ne vous empêchede garder un esprit critique !


Exemple : Biot et Savart

Loi expérimentale intégrale :

On est tenté de dire que « le courant dB créé par dl vaut » :

C’est faux. Ce n’est pas parce que que f(x) = g(x)

!

r B (M ) =

µ04 "

I dr l #

r u

r2(C)$

!

dr B (M ) =

µ04 "

I dr l #

r u

r2

!

f (x) dxa

b" = g(x) dx

a

b"


Faroux


Perez


Halliday


Sources et références du cours #1 -« Electrostatique »

Faroux (Vol I)

Jackson : chapitres 1 et 2

Perez : chapitres 1 et 2

(Halliday)


Plan du cours « Electrostatique »

I. Outils mathématiques

II. Charge électrique

III. Electrostatique du vide

IV. Continuité du champ et du potentiel

V. Dipôles électrostatiques

VI. Le problème du « zéro » des potentiels


Passage d’une formulation locale à uneformulation intégrale (et vice-versa) Circulation conservative

Flux conservatif

!

r h . d

r r = 0

(C)" #r $ %

r h =

r 0 #

r h =

r $ ( f )

!

r g .d

r S

(S)"" = 0 #r $ .

r g = 0 #

r g =

r $ %

r a

Formulationintégrale

Formulationdifférentielle

en champ

Formulationdifférentielleen potentiel

Ostrogradsky ⇒

Stokes ⇒


Problème d’unicité : cas d’un champscalaire Soit un champ scalaire f vérifiant, en tout point d’un volume (V) limité

par une surface (S) fermée, , où φ est définie en tout point,sans singularité

La solution f est alors unique si : f est connue en chaque point de (S) : conditions de Dirichlet est connue en chaque point de (S) : conditions de Neumann f est connue sur une partie de (S), et sur la partie

complémentaire

Ceci reste vrai si (V) est l’espace entier, à condition que f s’annule endehors d’une portion finie de l’espace et que φ(r) tende vers 0 à l’infiniau moins comme 1/r

!

"f = #(r r )

!

r n .

r " ( f )

!

r n .

r " ( f )


Problème d’unicité : cas d’un champvectoriel Soit un champ vectoriel tel que, en tout point d’un volume (V) limité

par une surface (S) fermée, soient définis sanssingularité

La solution est alors unique si on connaît en chaque point de (S): théorème d’Helmholtz

Ceci reste vrai si (V) est l’espace entier, à condition que

en dehors d’une portion finie de l’espace et que A(r) tende vers 0 àl’infini au moins comme 1/r2

!

r " .

r A et

r " #

r A

!

r n .

r A

!

r A

!

r A

!

r " .

r A = 0 et

r " #

r A =

r 0


Systèmes de coordonnées

Le laplacien vectoriel intervient en électromagnétisme

Les coordonnées du laplacien vectoriel ne sont égales au laplacien descoordonnées du vecteur que dans des cas particuliers. Dans le casgénéral, on doit utiliser :

!

"r A =

r #

r # .

r A ( )$

r # %

r # %

r A ( )


Dérivation sous le symboled’intégration On considère une fonction I(x) :

Si a et b ne dépendent pas de x :

I est continûment dérivable si f admet une dérivée partielle continue

!

I(x) = f (x, t) dta

b"

!

dI(x)

dx=d

dxf (x, t) dt

a

b"# $ %

& ' ( =

)f (x, t)

)xdt

a

b"

Faroux II


Quantification de la charge (1/2)

La charge électrique est localisée dans la matière Expérience de Rutherford

!

r = 3" vl

2 g #h $ #a( )

!

q =6 " # r vl

E

La charge électrique est quantifiée Expérience de Millikan Forces : poids, qE (vers le haut),

poussée d’Archimède due à l’air,résistance de l’air

La mesure de la vitesse limite vl enchamp nul et du champ d’inversion Epermet de déduire r et q

q est multiple de 1.6 10-19 C

Halliday


Quantification de la charge (2/2)

On classe ainsi les particules en 3 familles (‘positive’, ‘négative’, ‘neutre’) Classification arbitraire Comportements identiques au sein d’une même famille

Les particules neutres sont quand même sensibles à l’EM Le neutron est sensible à B par l’intermédiaire de son moment

dipolaire

La charge des quarks est ‘fractionnaire’, mais pas ‘élémentaire’ Up, Charm et Top (+2/3), Down, Strange et Bottom (-1/3)

Proton (uud) = +1 et Neutron (udd) = 0 On ne peut pas isoler un quark et observer une charge fractionnaire

(confinement)


Grandeurs nivelées (1/2)

Pour avoir un sens, la densité volumique ρ ne doit pas dépendre de ΔV etdoit être insensible à un « léger » déplacement de ΔV. On peut prendre une sphère de centre M et de rayon R

Dimensions de la sphère : R grand à l’échelle atomique : R >> 10-12 m R petit à l’échelle macroscopique : R << 10-6 m Finalement, R doit être de l’ordre de 1 à 100 10-10 m

Or le champ à la surface d’une sphère de 100 Å contenant une chargeélémentaire vaut 1,5 107 V/m

!

" =#Q

#V

La situation est différente de la thermodynamique

Faroux


Grandeurs nivelées (2/2)

On doit donc remplacer ladensité « vraie » par unedensité nivelée, s’étalantsur 1 à 100 Å Théorie des

distributions

La forme de la fonction de distribution n’a pas d’importance, tant qu’elleest continue

Le concept de densité de charge est adapté à une échelle où la matièrepeut être décrite comme un milieu continu en ignorant sa structureatomique


Conservation de la charge totale d’unsystème isolé (1/2) Expérimentalement, on constate que :

!

dQ

dt+dq

dt= 0

Q : charge contenue dans le volume Vq : charge sortant du volume pendant dt

!

Q = " dV(V )### $dQ

dt=

%"

%tdV(V )###

!

dq

dt= I =

r j .d

r S (")## =

r $ .

r j dV(V )###

!

"#$

#t+

r % .

r j

&

' (

)

* + dV(V ),,, = 0

!

"#$

#t+

r % .

r j = 0 Equation de

continuité

D’où :


Conservation de la charge totale d’unsystème isolé (2/2) L‘équation de continuité s’applique aux grandeurs nivelées

!

"#$"t

+r % .

r j $ = &$ avec &$ ' 0 et &$

$

( = 0

Lorsqu’il existe plusieurs types de porteurs de charge, on peut observer dela création de paires ou de la recombinaison :

!

"s

"t+

r # . (

r J s ) = $ s avec $ s > 0

Noter le taux decréation d’entropie

en thermodynamique

Des relations analogues à l’équation de continuité sont établies pour toutesles grandeurs conservatives (énergie totale, charge totale d’un systèmeisolé, masse totale en mécanique newtonienne)


L’électrostatique est l’étude des charges immobiles Les observables physiques seront indépendantes du temps

Ceci implique que mais n’interdit pas a priori (qu’on supposera néanmoins ici)

Le domaine de validité de l’électrostatique est très grand : Limite haute : l’infini Limite basse : la prise en compte des effets quantiques (QED) en

s’approchant des charges (d << 10-10 m) On peut utiliser des densités nivelées

!

r " .

r J = 0

!

r J " 0


Loi de Coulomb (1/3)

Loi expérimentale de 1785 s’exerçant entre 2 charges fixes

Si l’espace est isotrope, la seule direction privilégiée est la droitereliant les charges : le système possède donc la symétrie de révolutionautour de cet axe

La force doit posséder cette symétrie (principe de Curie) et doncêtre portée par l’axe

Expérimentalement, on vérifie F = k q1 q2 / r2. Pour éviter les facteurs 4π (géométriques), on prend :

!

r F 1"2 =

1

4 # $0

q1 q2

r122

r u 1"2

ε0 : permittivité du vide

!

1

4 " #0$ 910

9SI

!

"0 # 8,8510$12

F/m

!

k =1

4 " #0



On peut montrer qu’il est équivalent de dire que la loi est en 1/r2 et quele photon est de masse nulle Cette loi est vérifiée expérimentalement entre 107 et 10-18 m (on

recherche un potentiel - à la Yukawa - de la forme e-μr/r oùμ=mγc/hbar et on place une limite sur mγ)

Limite actuelle : mγ < 4 10-51 kg (me ≈ 9 10-31 kg)

Les forces électrostatiques vérifient le principe de l’action et de laréaction :

La loi de Coulomb est valide dans le vide. On l’appliquera également dansl’air pour lequel εr ≈ 1,00058 Attention aux milieux matériels (εr≈81 pour l’eau à basse fréquence) !

!

r F 1"2 = #

r F 2"1

Jackson page 6



L’étude expérimentale se fait à l’aide de la balance de torsion deCavendish ou de la balance de Coulomb : le moment des forces entredeux charges est compensé par un couple de torsion


Illustration : intensités relatives del’électrostatique et de la gravitation Dans le modèle planétaire de l’atome d’hydrogène, l’électron décrit une

orbite circulaire de 50 pm = 50 10-12 m autour du proton

L’interaction EM est responsable des phénomènes à notre échelle(physique, chimie, biologie), mais la cohésion de l’univers est assurée parla gravitation, même si l’EM a une portée infinie !!

"Felec

Fgrav# 210

39

!

Felec =

1

4 " #0

qA qB

AB2$ 9%10

91.6%10

&19( )2

50%10&12( )

2$ 9.2%10

&8N

!

Fgrav =G

mA mB

AB2

" 6.67#10$11

1846# 0.9#10$30( )

2

50#10$12( )

2" 4 #10

$47N

En supposant qu’onpeut utiliser la loi

de Coulomb

Force degravitation


Illustrations

Imprimante à jet d’encre

Reproduction des fleurs

Halliday

Halliday


Principe de superposition

On observe expérimentalement que pour une distribution discrète decharges :

On en déduit que : On peut ramener l’électrostatique à l’étude de deux charges

ponctuelles Les lois de l’électrostatique doivent être linéaires

Cette linéarité est exploitée à tous les niveaux : Transmission de plusieurs conversations téléphoniques sur un unique

faisceau hertzien

Non linéarité d’origine quantique (diffusion photon-photon etpolarisation du vide)

!

r F i =

r F j"i

j#i

$

Jackson p 11


Champ électrique (1/3)

Par définition pour des charges fixes :

Quelques ordres de grandeur (V/m) : Laser de puissance 1- 2 1010

A proximité d’un atome d’H 1010 (= 1 V/Å) Claquage dans l’air 106

Dans la basse atmosphère 102

A l’intérieur d’un conducteur < 10-2

!

r F 1"2 = q2

r E 1 soit

r E 1 =

1

4 # $0

q1

r2

r u 1"2Force de

Coulomb

Champ électrique créé par (1) à la distance r



!

r E (M ) =

1

4 " #0$(P)

r P M

PM3

d3P

(D)%%%

C/m3

Le passage d’une distribution de charge ponctuelle à une distributioncontinue s’effectue sans problème (somme de Riemann)

!

r E (M ) =

1

4 " #0

qi

ri2

i

$r u i



L’utilisation du champ au lieu de la force revient à remplacer une actionà distance (la force) par une action locale (le champ) Ceci est justifié par l’expérience car l’action sur une charge ne

dépend que du champ, et non de ses sources C’est indispensable pour expliquer la propagation Le champ a une existence propre et n’est pas un simple artifice

de calcul

On pourrait se demander si le champ n’est pas défini par Ceci n’est correct que si l’introduction d’une charge test ne modifie

pas le champ (attention à l’influence) On trouve parfois (!) :

!

r E =

r F /q

!

r E = limq"0

r F

q

#

$ %

&

' (


Circulation du champ E – Potentiel (1/2)

En étudiant la circulation du champ d’unecharge ponctuelle, on montre qu’il existe unefonction V telle que :

ou de manière équivalente :

Propriétés immédiates :

!

V =q

4 " #0

1

r+Cste

!

r E = "

r # (V ) $ V (A)"V (B) =

r E .d

r l

A

B%

!

r E . d

r l

(C)

" = 0 etr # $

r E =

r 0


Circulation du champ E – Potentiel (2/2)

Le passage à des distributions discrètes et continues est immédiat :

La convention V(∞) = 0 n’est valable que si les charges sont répartiesdans un volume fini de l’espace Si ce n’est pas le cas, on ne peut plus utiliser ces relations pour

calculer V (qui reste défini). Il faut revenir à :

!

V (M ) =1

4 " #0

qi

rii

$

!

V (M ) =1

4 " #0

$(P)

PMd3P

(D)%%%V(∞) = 0

!

V (A)"V (B) =r E .d

r l

A

B#


Equipotentielles – Lignes de champ

Les équipotentielles sont les surfaces pour lesquelles V = Cste

Les lignes de champ sont les courbes tangentes en chaque point auchamp E Orientées dans le sens des potentiels décroissants Courbes ouvertes car le potentiel ne cesse de décroître sur une ligne

de champ

Un tube de champ est une surface fermée constituée par l’ensembledes lignes de champ qui s’appuient sur un contour fermé


Théorème de Gauss

Surface fermée (S)délimitant (V) :

On utilise le théorème de Gauss sous sa forme intégrale lorsque lessymétries sont suffisantes pour simplifier le calcul du flux Tout repose sur un choix judicieux de la surface de Gauss

!

r E .d

r S

(S)"" =Qint

#0ou

r $ .

r E =

%

#0


Poisson - Laplace

Poisson :

En l’absence de charge :

La solution V est unique si : Le potentiel est connu sur une surface fermée - un conducteur -

(Dirichlet) Le champ est connu sur une surface fermée (Neumann) Le potentiel est connu sur certains conducteurs, le champ l’est sur

les autres

!

r E = "

r # (V )

!

r " .

r E =

#

$0

!

" #V +$

%0= 0

!

" #V = 0

Equation de Poisson

Equation de Laplace

Théorème d’unicité


Méthodes de calcul du champ E

Calcul direct :

Calcul indirect à l’aide du potentiel scalaire :

Calcul à l’aide du théorème de Gauss :

!

r E (M ) =

1

4 " #0$(P)

r P M

PM3

d3P

(D)%%%

!

V (M ) =1

4 " #0

$(P)

PMd3P

(D)%%% puisr E = &

r ' (V )

!

r E .d

r S

(S)"" =Qint

#0


Résolution des équations de Laplaceet Poisson Les méthodes générales font intervenir les fonctions de Green et

imposent des calculs pénibles

De nos jours, on utilise généralement une résolution numérique à l’aidede codes de calculs (commerciaux ou non)

Dans quelques cas particuliers simples, on peut trouver une solutionlittérale : Méthode des images Méthode de séparation des variables

L’utilisation du théorème d’unicité permet de dire ensuite que c’est LAsolution


Méthode des imagespour résoudre Lorsque 2 problèmes différents sont décrits par la même distribution

volumique de charge et les mêmes CL, ils admettent la même solution del’équation de Poisson E et V sont donc identiques dans tout l’espace

Cette idée est la base de la méthode des images qui consiste àremplacer un problème donné par un problème ayant - dans une partiede l’espace - la même distribution volumique et les mêmes CL, mais uncalcul de E ou de V plus simple

!

"V +#

$0= 0


Exemple : charge ponctuelle devantun plan conducteur On cherche à calculer la force exercée par le

demi-espace sur la charge q Il faut calculer le champ E exercé par le

demi-espace sur q

q

z < 0z

Problème #1

d

!

r F = q

r E (A) =

"q2

16 # $0

1

d2

r u z

⇒ La charge est attirée par ledemi-espace avec la force

!

"r E (A) =

#q

4 $ %0

1

(2 d)2

r u z

V=0

q

z = 0

z

Problème #2

- q

dd

On considère un dipôle dans le vide. Le potentieldans le plan médian est nul. Donc le potentiel dansle demi-espace de droite est le même dans les 2problèmes, puisqu’on résout la même équation avecles mêmes CL

V=0


Résolution de ΔV = 0 par la méthodede séparation des variables On cherche la solution sous la forme particulière

On obtient :

On peut donc poser :

où α et β sont réels ou imaginaires purs (α2 et β2 >0 ou <0)

On en déduit :

les constantes α, β, A, B, C, D, E et F sont déterminées par les CL

!

V (x, y, z) = X(x)Y (y) Z(z)

!

"V

V=X"(x)

X(x)+Y"(y)

Y (y)+Z"(z)

Z(z)= 0

!

X"(x)

X(x)= " #2

Y"(y)

Y (y)= " $2

Z"(z)

Z(z)= #2 +$2

!

V (x, y, z) = A ei " x +B e # i " x( ) C e

i $ y +D e# i $ y( ) E e

i " 2+$ 2 z+F e

# i " 2+$ 2 z%

& '

(

) *


Résumé


Charges ponctuelles

Les propriétés de continuité/discontinuité dépendent de la nature desdistributions (ou de leur modélisation)

!

V (M ) =1

4 " #0

qi

rii

$

!

r E (M ) =

1

4 " #0

qi

ri2

i

$r u i

→ singularités au voisinage des charges

Ne pas oublier que l’électromagnétisme classique n’est plus valable dès qu’onse rapproche « trop » des charges


Charges linéiques

Charges volumiques

!

r E (M ) =

"

2 # $0

1

r

r u r et V (M ) =

"

2 # $0ln

r

r0

%

& '

(

) *

→ singularité au voisinage des charges

!

r " #

r E =

r 0

!

r " .

r E =

#

$0

!

"V = #$

%0

→ E et V sont définis en tout point

→ E et V sont continus en tout point(car dérivées partielles bornées)


Charges surfaciques (1/3) Les champs E1 et E2 sont des fonctions de classe C1, mais ne sont pas

définis sur la surface de séparation

La discontinuité de E vient de l’approximation faite en négligeantl’épaisseur de la surface chargée

!

"r E 2 #

r E 1( ) .

r n 1$2 =

%

&0


Charges surfaciques (2/3)

En résumé, on a :

Le potentiel V reste continu à la traversée d’une surface chargée

!

"r n 1#2 $

r E 2 %

r E 1( ) =

r 0

!

r E 2 "

r E 1 =

#

$0

r n 1%2

Faroux I p 64


Application : champ au voisinage d’uneplaque de densité uniforme

Plaque d’épaisseur e

En faisant tendre evers zéro

Perez (page 56?)


Un dipôle est constitué de 2 charges distantesde d petite devant la distance d’observation

Grande importance : Apparaît en calculant le champ à grande

distance d’une distribution localisée Les molécules peuvent être assimilées à des

dipôles (rôle important en chimie) Sous l’action d’un champ E, certains corps

se comportent comme une assemblée dedipôles (polarisation des diélectriques)

Moment dipolaireélectrique (Cm)

!

r p = q

r N P


Un dipôle sera rigide si p n’est pas modifié par un champ E externe Bon modèle pour les molécules polaires (HCl gazeux par exemple)

On définit parfois un dipôle comme la limite, lorsque NP → 0, d’unensemble de 2 charges +q et –q placées en N et P, alors que p = q NPreste constant


Potentiel du dipôle

C’est simplement la somme des potentiels crééspar les deux charges. Un calcul classique fournit:

Un dipôle est entièrement déterminé par sonmoment dipolaire électrique

Le potentiel décroît comme 1/r2, les termes en1/r s’annulant à cause de la neutralité électriquede l’ensemble

!

V (r) "1

4 # $0

p cos(%)

r2

=1

4 # $0

r p .

r u r

r2

avecr u r =

r r

r


Champ électrique du dipôle

C’est simplement la somme des champs créés par lesdeux charges. Un calcul classique fournit :

En coordonnées polaires :

Les termes en 1/r2 s’annulent également. Le champdécroît plus rapidement que pour une chargeponctuelle

!

r E "

1

4 # $0

3 (r p .

r u r )

r u r %

r p

r3

!

Er =1

4 " #0

2 p cos($)

r3

Er =1

4 " #0

p sin($)

r3

E% = 0


Equipotentielles et lignes de champ (1/2)

Equipotentielles :

Lignes de champ :

En chaque point (différent de l’origine), ne passent qu’une seuleéquipotentielle et une seule ligne de champ

!

V (r) "1

4 # $0

p cos(%)

r2

& r2

= A cos(%)

!

r E "d

r r =

r 0 # r = B sin

2($) avec B > 0


Equipotentielles et lignes de champ (2/2)

Perez Faroux

Faroux : Les lignes de champ semblent revenir sur elles-mêmes auvoisinage de O, ce qui est absurde car une ligne de champ ne peut êtrefermée. En fait, l’approximation r >> d n’est plus valable


Action mécanique de E constant sur undipôle rigide (1/2) On ne doit pas tenir compte de l’action de N sur P,

ni de l’action de P sur N

Force résultante :

Moment résultant :

L’action mécanique d’un champ uniforme sur undipôle rigide se réduit au couple Γ

!

r F = q

r E a " q

r E a =

r 0

!

r " = O

r P #q

r E a $O

r N #q

r E a = q N

r P #

r E a =

r p #

r E a = p Ea sin(%)

r k

Vecteur unitairenormal au plan de

la figure


Action mécanique de E constant sur undipôle rigide (2/2)

Il existe deux positions d’équilibre : θ = 0 (p et E parallèles) et θ = π (pet E anti-parallèles)

Un champ uniforme tend à orienter un dipôle suivant les lignes de champ

A l’échelle d’un dipôle, tout champ appliqué est généralement uniforme.Au 1er ordre, l’effet principal d’un champ quelconque sera d’orienter ledipôle dans le sens du champ


Action mécanique de E quelconque sur undipôle rigide (1/2) On peut montrer que la résultante s’écrit cette fois : avec en coordonnées cartésiennes :

Le calcul du moment montre qu’on a toujours au 1er ordre :

Pour un champ inhomogène, il existe une force, en plus du couple quitend à aligner le dipôle sur les lignes de champ

Dans le cas particulier où le dipôle est // au champ, la force tend àattirer le dipôle vers les champs intenses (si p et E de même sens) ouvers les champs faibles (si p et E de sens contraire)

!

r F =

r p .

r " ( )

r E a

!

r p .

r " # px

$

$x+ py

$

$y+ pz

$

$z

!

r " =

r p #

r E


Action mécanique de E quelconque sur undipôle rigide (2/2) Dans le cas général, la force n’est pas parallèle au champ

La relation reste valable pour les dipôles qui ne sont pasrigides

Un dipôle est entièrement caractérisé par son moment dipolaire p

!

r F =

r p .

r " ( )

r E a


Action mécanique d’une charge sur undipôle Charge q placée à l’origine

La force qui s’exerce sur le dipôle s’écrit :

!

r F =

1

4 " #0

q p

r3

$ 2 cos(%)r u r + sin(%)

r u &[ ]


App. dipolaire : potentiel créé par unedist. de charges ponctuelles (1/3) Potentiel d’une distribution discrète :

On peut développer les 1/ri selon :

où les Pn sont les polynômes de Legendre de 1ère espèce :

!

V (M ) =1

4 " #0

qi

rii

$

!

1

r1

=1

r1+

a

2 rcos(")+L+

a

2 r

#

$ %

&

' (

n

Pn(cos("))+L

)

*

+ +

,

-

.

.

!

P0(x) =1 P1(x) = x P2(x) =3 x2"1

2P3(x) =

5 x3" 3 x

2


App. dipolaire : potentiel créé par unedist. de charges ponctuelles (2/3) Un calcul classique fournit :

avec :

!

V0(r) =1

4 " #0

1

rqi

i

$

!

V1(r) =1

4 " #0

1

r2

qir r i .

r u r

i

$

!

V2(r) =1

4 " #0

1

r3

qi3

2

r r i .

r u r( )

2$

ri2

2

%

& ' '

(

) * *

i

+

Contributionunipolaire

Contributiondipolaire

Contributionquadrupolaire

!

V (r) =V0(r)+V1(r)+V2(r)+L


App. dipolaire : potentiel créé par unedist. de charges ponctuelles (3/3) Ce développement est analogue à celui fait en mécanique dans l’étude du

champ de gravitation : les charges sont remplacées par les masses mi et1/4πε0 par l’opposé de la constante de gravitation G


Distribution unipolaire

Distribution unipolaire si

En plaçant l’origine du référentiel au barycentre électrique des points Pi(affectés de leurs charges qi), on obtient :

Au 3ème ordre près, la distribution se comporte comme une chargeponctuelle

En mécanique, le barycentre mécanique n’est jamais nul Le terme unipolaire est alors toujours prépondérant

!

Q = qii

" # 0

!

V (r) " V0(r) =1

4 # $0

Q

r

!

mi

i

" # 0


Distribution dipolaire

Distribution dipolaire si

Si la charge totale est nulle, le 1er terme du développement du potentiels’écrit :

Le moment dipolaire P ne dépend pas de l’origine

!

V (r) " V1(r) =1

4 # $0

1

r2

qir r i .

r u r

i

% =1

4 # $0

r P .

r & 1

r

'

( ) *

+ ,

!

r P = qi

r r i

i

" # 0 et Q = 0


Illustration : le moment dipolaire desmolécules Deux types de molécules, en fonction des positions relatives des

barycentres ‘+’ et ‘-’ Molécules polaires (HCl, H2O, NH3) Molécules apolaires (H2, Ar, Kr, Xe)

Les molécules apolaires sont polarisables par un champ externe Le moment dipolaire induit est (α : polarisabilité de la

molécule)

Deux molécules apolaires peuvent se polariser sous l’action de leursmoments dipolaires électriques instantanés

!

r p = "

r E


Illustration : forces à grande distancedans un gaz (1/2) Forces moléculaires attractives (différentes des forces coulombiennes)

dues à des interactions entre dipôles Entre dipôles permanents : force de Keesom Entre dipôles permanents et induits : force de Debye Entre dipôles induits : force de London

Remarque : la notion de dipôle induit instantané est incorrecte. Ilfaudrait faire apparaître une influence retardée, due à la distanceentre les molécules. Voir le problème de physique de 2005!

fK = CKp4

T

1

r7

fD = CD " p2 1

r7

fL = CL" "'

r7


Illustration : forces à grande distancedans un gaz (2/2) Toutes ces forces sont en 1/r7 et contribuent au terme en a de

l’équation de van der Waals qui traduit l’interaction à grande distance :

Energies :

!

p+n2 a

V 2

"

# $ $

%

& ' ' (V ( n b) = n R T

!

EL >> ED ou EK


On utilisera la convention V(∞) = 0 quand la distribution de charges estlocalisée dans l’espace (pas de charges à l’infini)

On peut parfois utiliser V(∞) = 0 avec des charges à l’infini, à conditionqu’elles n’interviennent pas dans le problème Exemple d’un système baignant dans un champ uniforme

Question : comment peut-on réaliser dans la pratique V(∞) = 0 ?


On assimile la Terre à une sphère conductrice (rayon R = 6400 km) Une source de tension e est intercalée entre la Terre et un conducteur

sphérique de rayon a à une hauteur h >> a

Le conducteur porte une charge Q, la terre -Q

On prend la convention V(∞) = 0

On peut exprimer le potentiel de la Terre (en O)et le potentiel de la sphère (en C)

he

O

C

Charge +Q

Charge -Q

BFR Electrostatique


Finalement :

AN pour h = 1 m, a = 10 cm, e = 10 kV

On voit donc sur cet exemple qu’il est équivalent de prendre le potentielnul sur la Terre où à l’infini tant que ah/R2 << 1

On peut donc porter un conducteur à un potentiel quelconque wrt l’infinien reliant une borne du générateur à la Terre

!

V (O) "# e

1+R2

h a

et V (C) "# e

1+h a

R2

!

V (O) " 2.44 #10$ 9V et V (C) "10

4V= e

he

O

C

Charge +Q

Charge -Q

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