MATEMÁTICA

Editora Exato 11

ESTUDO DA RETA 1. COEFICIENTE ANGULAR

Considere uma reta t no plano xOy.

O

y

t

α

ângulo de inclinação

Define-se como coeficiente angular da reta

( )tt m o valor obtido calculando a tangente do ângulo

de inclinação, ou seja, tm tg= α, com π

α ≠2

.

1.1.Determinação do coeficiente angu-lar

1ºCaso: com 2 pontos distintos

t

α

α

BB

y

AAy

Bx

Ax

Bx

Ax∆x=

By

Ay∆y=

Dados os pontos ( )A AA x ,x e ( )B BB x ,x no plano

acima: =Tm tg α y B A

x B A

y y

x x

∆ −= =

∆ −.

2ºcaso: equação da reta

Dada a reta (t) de equação ax by c 0+ + = com

≠ = −t

ab 0 : m

b.

3ºcaso: com o ângulo de inclinação.

Dada uma reta (t) que possui ângulo de incli-

nação α: = αtm tg .

2. EQUAÇÃO GERAL DA RETA

Toda reta do plano cartesiano pode ser repre-

sentada por uma equação de forma ax by c 0,+ + = com

a, b e c reais, a e b não nulos simultaneamente.

3. FORMA DE EQUAÇÃO DA RETA

3.1. Equação reduzida da reta Toda reta ( )t : ax by c 0+ + = não vertical pode

ser escrita como abaixo: ax c

t : yb b

= − − , em que a

b− representa o coefi-

ciente angular da reta t e c

b− representa o coeficiente

linear da reta.

3.2. Equação segmentária da reta Toda reta não horizontal e não vertical pode

ser escrita como abaixo. x y

1p q

+ = , em que p e q são os pontos intercep-

tos. (P representa o ponto de encontro da reta com o

eixo x e q representa o ponto de encontro da reta

com o eixo y).

3.3. Equação paramétrica da reta A reta representa um conjunto de pares orde-

nados (x,y) do plano cartesiano. Podemos representá-

la em relação a um parâmetro t, ou seja ,( )

( )

=

=

x f t

y f t.

Exemplo: E.1) Escreva a equação 2x 3y 5 0+ − = na forma

reduzida e segmentária.

Resolução: � Equação reduzida

+ − = ⇒ = − + ⇒ = − +2x 5

2x 3y 5 0 3y 2x 5 y3 3

2

m3

= −

(coeficiente angular)

� Equação segmentária

( )+ = ⇒ + = ⇒2x 3y

2x 3y 5 : 5 15 5

+ =x y

15 5

2 3

ponto de encontro com o eixo y.

ponto de encontro com o eixo x.

4. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA

4.1. Por dois pontos distintos Dados os pontos ( )A, AA x y e ( )B BB x ,y .

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P(x, y)

B(x , y )B B

A(x , y )A A

ponto genéricodo plano

Como A, B e P são colineares temos:

A A

B B

x y 1

x y 1 0

x y 1

= .

4.2. Por um ponto e o coeficiente an-gular

Dado o ponto ( )0 0B x ,y e o coeficiente angular

da reta (t) igual a mt.

∆ −= α = ⇒ = ⇒

∆ −

y 0t t

x 0

y ym tg m

x x

y - y = m (x - x )0 0

equação fundamentalda reta

B(x , y )0 0

P(x ,y )

ponto genéricodo plano

α

t

5. CASOS PARTICULARES

5.1. Reta paralela aos eixos Dada a reta ax by c 0+ + = .

� Se a =0, então a reta é paralela ao eixo x.

� Se b=0, então a reta é paralela ao eixo y.

5.2. Bissetrizes dos quadrantes � Bissetriz dos quadrantes ímpares x y 0− = .

� Bissetriz dos quadrantes pares x y 0+ = .

6. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS

Considere duas retas r e s não verticais, com

coeficientes angulares, respectivamente, iguais a rm e

sm .

� As retas r e s são paralelas quando r sm m= .

� As retas são concorrentes quando ≠r sm m .

� As retas são perpendiculares quando

r sm .m 1= − .

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UFES) O valor de k para que a equação

kx-y-3k+6=0 represente a reta que passa pelo

ponto (5,0) é:

Resolução: Passa pelo ponto (5,0), substituindo o ponto

(5,0) na equação, temos: .5 0 3 6 0

5 3 6 0

2 6 0

2 6

6

2

3

k k

k k

k

k

k

k

− − + =

− + =

+ =

−

= −

=

2 (UCS-RS) A figura contém a representação grá-

fica da reta:

y

4

2

0 3 x

Resolução: O gráfico passa pelos pontos: (0,2) e (3,4),

então a equação da reta é dada por:

0 2 1

3 4 1 0

x y 1

=

0 3 2 4 0 6 0

2 3 6 0

ou

2 3 6 0

y x x

x y

x y

+ + − + − =

− + − =

− + =

EXERCÍCIOS

1 (FASP) A equação da reta suporte do segmento

AB, dados A(7, 11) e B(15, -1), é:

a) 2y-3y -24=0

b) 3y-2x+17=0

c) 3y-2x+7=0

d) 2y+3x -43=0

e) Nenhuma.

2 (OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo

ponto ( )A 3,4− , e cujo coeficiente angular é 1

2, é:

a) x+2y+11=0

b) x-y+11=0

c) 2x-y+10=0

d) x-2y+11=0

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e) nenhuma

3 (PUC-SP) A equação da reta com coeficiente

angular igual a 4

5− ,e que passa pelo ponto

P(2,-5), é:

a) 4x+5y+12=0

b) 4x+5y+14=0

c) 4x+5y+17=0

d) 4x+5y+16=0

e) 4x+5y+15=0

4 (PUC-RS) Se as retas 3x-y-7=0,2x+y+c=0 e 2x-

y-5=0 são congruentes, então c é igual a:

a) –3

b) –1

c) 5

d) 7

e) 9

5 (PUC-PR) As retas de equações 3x-4y+1=0 e

4x+3y-5=0 são:

a) perpendiculares.

b) paralelas.

c) concorrentes.

d) coincidentes.

e) Nenhuma.

6 (PUC-SP) As retas 2x+3y=1 e 6x-ky=1são per-

pendiculares. Então k vale:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

7 (UFGM) Sejam r e s duas retas perpendiculares

que se interceptam em P(1,2). Se Q(-1,6) perten-

ce a uma dessas retas, então a equação da outra

reta é:

a) x+2y-5=0

b) x-2y+3=0

c) 2x-y=0

d) 2x+y-4=0

e) 2x+2y+7=0

8 (FATEC) Na figura abaixo, a reta r tem equação

x+3y–6=0, e a reta s passa pela origem e tem coe-

ficiente angular 2

3.

ys

0 r x

B

A

A área do triângulo OAB, em unidade de área, é

igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

GABARITO

1 D

2 D

3 C

4 A

5 A

6 D

7 B

8 D