Apostila de Integrais 2

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APOSTILA DE CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IIyy Clculo do elemento de volume

y=f(x) rea plana a b xz a

y=f(x) r=f(x) b x

dV= rdx dV=[f(x)]dx

dx

Colaboradores para elaborao da apostila: Elisandra Br de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi Siple, Marnei Luis Mandler

Verso atual editada por Elisandra Br de Figueiredo Para comentrios e sugestes escreva para dma2ebf@joinville.udesc.br

Home-page: http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/elisandra/

Joinville, julho de 2011

Horrio de MonitoriaIncio 07:30 08:20 09:20 10:10 11:00 13:30 14:20 15:20 16:10 17:00 18:10 19:00 19:50 Final 08:20 09:10 10:10 11:00 11:50 14:20 15:10 16:10 17:00 17:50 19:00 19:50 20:40 Segunda Tera Quarta Quinta Sexta

Horrio de Atendimento dos ProfessoresIncio 07:30 08:20 09:20 10:10 Final 08:20 09:10 10:10 11:00 Segunda Tera Quarta Quinta Sexta

11:00 13:30 14:20 15:20 16:10

11:50 14:20 15:10 16:10 17:00

17:00 18:10 19:00 19:50

17:50 19:00 19:50 20:40

i

Contedo1 INTEGRAL DEFINIDA1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soma Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soma Inferior Funo Integrvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.10 Teorema do Valor Mdio para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema Fundamental do Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.6 Frmulas Clssicas para Resolver Integrais (Reviso) . . . . . . . . . Integrais Imprprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 3 4 5 6 16 17 20 22 23 25 25 32 34 38 38 41 43 44 48 52 60 64

Integral de uma Funo Descontnua num Ponto c Aplicaes da Integral Denida 1.9.1

[a, b]

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

rea em coordenadas retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.10 rea delimitada por curvas escritas em equaes paramtricas 1.10 Comprimento de Arco

1.9.13 rea de um setor curvilneo em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . 1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramtricas . . . . . . . . 1.10.7 Comprimento de arco em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 1.11 Volume de um Slido de Revoluo 1.12 Exerccios Gerais 1.13 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.5 Rotao em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.14 Reviso de Coordenadas Polares no R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 FUNES DE VRIAS VARIVEIS E DIFERENCIAO PARCIAL 682.1 2.2 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funo de Vrias Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Grco de uma Funo de Vrias Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.12 Curvas e Superfcies de Nvel 2.2.14 Distncias e Bolas no Espao 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.3.9 Propriedades dos Limites 69 70 71 75 76 77 80 83 85 87 90 91 91

Limite de uma Funo de duas Variveis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Continuidade de uma Funo de duas Variveis Derivadas Parciais 2.5.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Interpretao Geomtrica das derivadas parciais . . . . . . . . . . . .

Derivadas Parciais de Ordem Superior 2.7.1 Ponto Crtico

Extremos de uma Funo de duas Variveis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

2.7.3 2.8 2.9

Ponto de Mximo e Ponto de Mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 96 99 100 105 108 118

Derivada de uma Funo Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivada Parcial como Taxa de Variao

2.10 Diferencias Parciais e Totais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Derivadas de Funes Implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Exerccios Gerais 2.13 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 INTEGRAIS DUPLAS3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretao Geomtrica da Integral Dupla Clculo da Integral Dupla Exerccios Gerais Respostas Integrais Duplas em Coordenada Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123124 126 127 132 137 140

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 INTEGRAIS TRIPLAS4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretao Geomtrica da Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clculo da Integral Tripla em Coordenadas Retangulares . . . . . . . . . . . Integrais Triplas em Coordenadas Cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrais Triplas em Coordenadas Esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerccios Gerais Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142143 143 144 151 156 163 167

5 SEQUNCIAS E SRIES5.1 5.2 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sequncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 5.2.7 5.3 5.4 5.5 5.6 Limite de uma Sequncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sequncias Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170171 171 172 173 174 174 175 176 178 179 182 183 183 184 185 185 185 187 188 189 190 191 192

Subsequncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sequncia Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sequncias Numricas Montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sries Numricas 5.6.4 5.6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soma de uma Srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sries Convergentes

5.7 5.8

Condio necessria para Convergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sries Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 5.8.3 Srie harmnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Srie geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critrio da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Srie p ou Srie Hiper-harmnica Critrio da comparao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critrio de D'Alambert ou Critrio da Razo

5.9

Critrios de Convergncia de Sries 5.9.1 5.9.4 5.9.8 5.9.11

5.9.15 Critrio de Cauchy ou Critrio da Raz . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Sries de Termos Positivos e Negativos 5.11 Srie de Termos de Sinais Quaisquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.3 Convergncia de uma srie alternada

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

5.12 Sries absolutamente convergente e condicionalmente convergentes . . . . . . 5.13 Sries de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.2 Convergncia de sries de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14 Sries de Potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14.4 Processo para determinar o intervalo e o raio de convergncia de uma srie de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14.8 Srie de potncias centrada em

194 196 196 197 198 199 200 201 202 204 205 209 212 218

x=a

. . . . . . . . . . . . . . . . .

5.14.11 Continuidade da soma de uma Srie de Funes. . . . . . . . . . . . . 5.14.13 Derivao de uma srie de funes contnuas . . . . . . . . . . . . . . 5.15 Diferenciao e Integrao de Sries de Potncias 5.17 Srie de Maclaurin 5.19 Exerccios Gerais 5.20 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . 5.16 Sries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.18 Frmula geral do binmio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Captulo 1 INTEGRAL DEFINIDAObjetivos (ao nal do captulo espera-se que o aluno seja capaz de): 1. Denir integral inferior e integral superior; 2. Calcular o valor da integral denida por denio; 3. Aplicar o teorema fundamental do clculo e suas propriedades; 4. Calcular integral denida por substituio de variveis; 5. Resolver exerccios que envolvam integrais imprprias; 6. Resolver exerccios que envolva