ANALISE NUMERICA I1◦· Semestre de 2017 MS512A

Profa.: Sandra Augusta Santos sala IM111

Oitava Lista de ExercıciosAutovalores e Autovetores

1. Considere1 o polinomio p(λ) = a0 +a1λ+a2λ2 + · · ·+ 1λn e sua matriz companheira (os elementos

que nao estao indicados sao todos nulos):

A =

−an−1 −an−2 −an−3 · · · −a1 −a01 0

1 0

1. . .

. . . 01 0

n×n

.

(a) Seja λ ∈ IC um autovalor de A associado ao autovetor v. Escreva e examine a equacao Av = λv,demonstrando que v deve ser um multiplo do vetor

(λn−1, · · · , λ2, λ, 1)T (?)

e λ deve satisfazer p(λ) = 0.

(b) Reciprocamente, mostre que se p(λ) = 0, entao λ e um autovalor de A com autovetor v dadoem (?). Conclua que os autovalores de A sao exatamente os zeros do polinomio p.

2. O teorema dos discos de Gerschgorin2, que vale para uma matriz A, n × n, qualquer (simetricaou nao) estabelece que: “Cada autovalor λi de A pertence a pelo menos um dos discos circularesno plano complexo, de centro ai,i e raio

∑nj=1,j 6=i |ai,j |. Alem disso, se p desses discos formam um

domınio conexo, disjunto dos demais n − p discos, entao existem exatamente p autovalores de Aem tal domınio”.

(a) Com base neste teorema, obtenha estimativas para os autovalores da matriz

A =

8 1 01 4 ε0 ε 1

, |ε| < 1.

(b) Utilizando transformacoes de semelhanca que levem A a forma diagonal, descubra umamaneira de estreitar o limitante para o menor autovalor da matriz A do item (a), obtendo|λ3 − 1| ≤ ε2.

3. Suponha3 que a matriz B,n× n, e estritamente diagonalmente dominante, no sentido que

|bi,i| >n∑

j=1,j 6=i

|bi,j |, i = 1, . . . , n.

Mostre que B e nao singular. (Sugestao: use o teorema dos discos de Gerschgorin, cf. Exercıcio 2.)

1Baseado no Exercıcio 5.2.23 de Watkins.2Baseado no Exercıcio 24.2 de Trefethen & Bau.3Baseado no Exercıcio 8.52 de Noble & Daniel.

1

4. Considere4 a matriz A =

1 1 1−1 9 2

0 −1 2

.

(a) Usando Matlab (ou outro programa equivalente, de sua preferencia), aplique o metododa potencia a A, comecando com q0 = (1, 1, 1)T . Faca pelos menos 10 iteracoes. Algunscomandos uteis do Matlab:

A = [1 1 1; -1 9 2; 0 -1 2];

q = ones(3,1);

iterate(:,1) = q;

for j = 1:10;

q = A*q;

[y,index]=max(abs(q));

scaleFactor(j+1)=q(index(1));

q = q/scaleFactor(j+1);

iterate(:,j+1)=q ;

end;

iterate

scaleFactor

Armazenando tais comandos (ou instrucoes similares) em um arquivo (p.ex. powr.m), cadavez que o comando powr for digitado no Matlab, a sequencia de instrucoes acima seraexecutada. Os numeros sao armazenados internamente com precisao superior a saıda na tela.Para acompanhar os resultados com mais dıgitos, use format long.

(b) Use o comando [V,D] = eig(A) para computar os autovalores e autovetores de A. Compareo autovalor dominante que aparece em D com os fatores de escala calculados no item (a).

(c) Localize na matriz V o autovetor associado ao autovalor dominante de A e reescale-o apropri-adamente, de maneira que possa ser comparado com os iterandos do item (a). Compute asrazoes ‖qj+1 − v‖2/‖qj − v‖2 para j = 1, 2, 3, . . ..

(d) Usando D do item (b), calcule a razao |λ2/λ1| e compare-a com as razoes computadas noitem (c).

5. Repita5 o Exercıcio 4 com a matriz A =

1 1 1−1 9 2−4 −1 2

. Quais as diferencas observadas nos

resultados? Calcule√‖qj+1 − v‖2/‖q1 − v‖2, j = 1, 2, 3, . . . e compare os valores obtidos com

|λ2/λ1|. Tais valores deveriam estar proximos? Por que?

6. Seja6 A =

1 1 1−1 9 2

0 −1 2

.

(a) Usando Matlab (ou outro programa de sua preferencia) , aplique iteracao inversa com oshift ρ = 9, a partir de q0 = (1, 1, 1)T . Por simplicidade, ao inves de decompor a matriz eresolver o sistema linear, calcule efetivamente B = (A− 9I)−1 (B = inv(A - 9*eye(3)) noMatlab) e itere diretamente com B. Alguns dos comandos definidos no Exercıcio 4 podemser uteis aqui. Utilize format long para visualizar mais dıgitos dos iterandos produzidos.Faca pelo menos 10 iteracoes.

4Baseado no Exercıcio 5.3.10 de Watkins.5Baseado no Exercıcio 5.3.11 de Watkins.6Baseado no Exercıcio 5.3.18 de Watkins

2

(b) Use [V,D] = eig(A) para computar o autovetor associado ao autovalor dominante destamatriz. Calcule os erros ‖qj − v‖2 e as razoes ‖qj+1 − v‖2/‖qj − v‖2 para j = 1, 2, 3, . . ..Calcule a taxa teorica de convergencia (com base nos autovalores computados) e compare comas razoes sucessivas. Observe que a convergencia e mais rapida que a obtida no Exercıcio 4.

7. Seja7 A =

[8 1−2 1

]. Escreva uma rotina no Matlab (ou no seu programa preferido) para efetuar

a iteracao do quociente de Rayleigh sobre a matriz A.

(a) Use q0 = (1, 1)T como vetor inicial. Itere ate que o limite da precisao da maquina seja atingido.Utilize format long para visualizar os iterandos produzidos com 15 dıgitos. Observe que, amedida que os iterandos convergem, o numero de dıgitos significativos corretos praticamentedobra de uma iteracao para a outra. Note que tal comportamento vale tanto para o vetor daiteracao quanto para o quociente de Rayleigh propriamente dito.

(b) Refaca o item (a) a partir do vetor inicial q0 = (1, 0)T e compare com os resultados obtidosnaquele item.

8. Os habitantes8 de uma certa cidade compram verduras exatamente uma vez por semana, em treslocais, denotados por 1, 2 e 3. Nao sendo consumidores fieis, variam frequentemente o local de suascompras. Para i, j = 1, 2, 3, seja pi,j um numero entre 0 e 1 que representa a fracao da populacaoque comprou no mercado j em uma certa semana e comprara no mercado i na semana seguinte.Este numero tambem pode ser interpretado como a probabilidade de que um consumidor migre domercado j para o mercado i de uma semana para a seguinte. Tais valores podem ser organizadosem uma matriz P . Suponha que para tal cidade os valores pi,j sejam:

P =

0.63 0.18 0.140.26 0.65 0.310.11 0.17 0.55

.Como p2,3 = 0.31, entao 31% das pessoas que compram no mercado 3 em uma certa semanamigrarao para o mercado 2 na semana seguinte; 55% das pessoas que compram no mercado 3retornarao a este mesmo mercado na semana seguinte e assim por diante. Observe que a soma dascomponentes de cada coluna de P e um (por que?).

(a) Uma matriz P ∈ IRn×n cujos elementos sejam todos nao negativos e cujas colunas tenhamtodas somatoria um e denominada matriz estocastica. Se a cidade tivesse n lojas, as proba-bilidades pi,j formariam uma matriz n× n. Note que, independentemente dos valores que asprobabilidades pi,j assumem, a matriz P ∈ IRn×n sera uma matriz estocastica. Mostre quewTP = wT , para wT = (1, 1, · · · 1), e portanto, 1 e autovalor de P . O vetor wT e denominadoum autovetor a esquerda de P . A teoria de Perron-Frobenius para matrizes nao negativas (cf.ref.[1], Horn & Johnson) assegura que se todos (ou a maior parte) dos elementos pi,j foremestritamente positivos, entao 1 sera o autovalor dominante de P .

(b) Seja qk ∈ IR3 um vetor cujas tres componentes representem a fracao dos habitantes da cidadeanteriormente mencionada que compram nos mercados 1, 2 e 3, respectivamente, na semanak. Por exemplo, se q20 = (0.24, 0.34, 0.42)T entao, durante a vigesima semana, 24% da po-pulacao fez suas compras no mercado 1, 34% no mercado 2 e 42% no mercado 3. Mostre que,para todo k,

qk+1 = Pqk. (?)

7Baseado no Exercıcio 5.3.34 de Watkins.8Baseado no Exercıcio 5.3.40 de Watkins.

3

A sequencia {qk} e denominada cadeia de Markov. A equacao (?) mostra que podemoscomputar uma cadeia de Markov aplicando o metodo das potencias com a matriz de transicaoP e o fator de escala 1.

(c) Assumindo que, na semana 1, um terco da populacao efetuou suas compras em cada umdos tres mercados, calcule a fracao de habitantes que visitou cada um dos tres mercados nassemanas subsequentes. Use o Matlab, ou outro programa de sua preferencia, para fazer oscalculos. Como esse processo se comporta a longo prazo? Ha um vetor-limite? Qual?

(d) Como voce poderia ter encontrado o vetor-limite sem executar o processo de Markov? Use ocomando eig do Matlab (ou outro programa equivalente, de sua preferencia) para determi-nar o vetor-limite, sem executar o processo de Markov.

(e) Calcule a razao |λ2/λ1| para determinar a razao com que o vetor de estados semanais qk seaproxima do vetor limite (notacao: λ1 e λ2 sao os dois maiores autovalores de P , em valorabsoluto).

9. As matrizes estocasticas9, definidas no Exercıcio 8, constituem um exemplo de uma classe dematrizes para as quais o autovalor dominante tende a ser significativamente maior que os demais.

(a) Gere uma matriz estocastica com elementos aleatorios. Por exemplo:

P = rand(20);

P = P * inv(diag(sum(P,1)));

O primeiro comando (rand, nao randn) gera uma matriz 20×20 com componentes aleatorias(nao negativas) uniformemente distribuıdas em [0, 1]. O segundo comando reescala cada col-una, dividindo seus elementos pela soma da coluna original. Verifique que a matriz assim ge-rada e de fato estocastica. Calcule seus autovalores e a razao|λ2/λ1| (igual a maxj 6=1 |λj |).

(b) Comecando por um vetor aleatorio

q = rand(20,1); q = q/norm(q,1);

compute sucessivas iteracoes da sequencia de Markov {qk} para observar que sua convergenciae razoavelmente rapida.

10. Na determinacao numerica10 da decomposicao espectral de uma matriz real simetrica, a reducaopreliminar a forma tridiagonal seria de pouca serventia se os passos do algoritmo QR nao preser-vassem esta estrutura. Felizmente, isso ocorre.

(a) Na fatoracao QR de A, matriz simetrica e tridiagonal, A = QR, quais as entradas de R quesao, em geral, nao nulas? E para a matriz Q, quais as entradas que sao, em geral, nao nulas?(Na pratica, Q nao e formada explicitamente).

(b) Mostre que a estrutura tridiagonal e recuperada quando o produto RQ e efetuado.

(c) Explique como as reflexoes de Householder podem ser empregadas nos calculos da fatoracaoQR de uma matriz tridiagonal, de forma a reduzir o numero de operacoes utilizadas, compar-ativamente a fatoracao QR de uma matriz densa generica.

11. Considere11 um passo do algoritmo a seguir aplicado a matriz simetrica tridiagonalA ∈ IRn×n:

9Baseado no Exercıcio 5.3.42 de Watkins.10Baseado no Exercıcio 28.2 de Trefethen & Bau.11Baseado no Exercıcio 28.4 de Trefethen & Bau.

4

Algoritmo QR “puro”A(0) = APara k = 1, 2, . . .

Q(k)R(k) = A(k−1) Fatoracao QR de A(k−1)

A(k) = R(k)Q(k) Recombinacao dos fatores na ordem reversa.

(a) Quando se deseja apenas os autovalores de A, entao somente A(k) e necessaria na etapa k, semque se precise computar Q(k). Estabeleca o numero de operacoes requeridas para se passarde A(k−1) para A(k) usando os metodos que voce aprendeu nesta disciplina.

(b) Se todos os autovetores devem ser obtidos, entao a matriz Q(k) = Q(1)Q(2) · · ·Q(k) tambemprecisara ser acumulada. Determine, nesse caso, o numero de flops necessarios para se passarda etapa k − 1 para a etapa k.

12. Seja12 A ∈ IRm×n. Entao ATA e AAT sao matrizes reais e simetricas, possuindo cada uma,portanto, uma decomposicao espectral. Por exemplo, existem matriz ortogonal W ∈ IRn×n ematriz diagonal Λ ∈ IRn×n tais que ATA = WΛW T . Como as decomposicoes espectrais de ATA eAAT se relacionam com a decomposicao em valores singulares A = UΣV T ?

13. Seja13 A ∈ IRm×n uma matriz nao nula. Considere a matriz C =

[0 AT

A 0

](m+n)×(m+n)

e suponha

que

[vu

], com v ∈ IRn e u ∈ IRm, e autovetor de C com autovalor associado σ.

(a) Mostre que Av = σu e ATu = σv.

(b) Mostre que

[v−u

]e autovetor de C associado ao autovalor −σ. Portanto, os autovalores de

C aparecem aos pares, com variacao no sinal.

(c) Pela simetria de C, estes dois autovetores devem ser ortogonais entre si. Conclua entao que‖v‖2 = ‖u‖2.

(d) Sem perda de generalidade assuma que σ > 0, ‖v‖2 = 1 e ‖u‖2 = 1. Deduza que v e u saovetores singulares de A, a direita e a esquerda, respectivamente, associados ao valor singular σ.

(e) Reciprocamente, mostre que se v e u sao vetores singulares de A, a direita e a esquerda,

respectivamente, associados ao valor singular σ, entao

[vu

]e

[v−u

]sao autovetores de C

associados aos autovalores ±σ. Conclua que os valores singulares de A sao exatamente osautovalores positivos de C.

Para entregar dia 21/junho : exercıcios 8 e 12.

Referencias

[1] R. A. Horn & C. A. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, New York, 1985.

[2] B. Noble & J.W. Daniel, Applied Linear Algebra, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 3 ed., 1988.

[3] L. N. Trefethen & D. Bau, III, Numerical Linear Algebra, Philadelphia: SIAM, 1997.

[4] D. S. Watkins, Fundamentals of Matrix Computations, New Jersey: John Wiley & Sons, 3 ed., 2010.

12Baseado no Exercıcio 5.4.46 de Watkins.13Baseado no Exercıcio 5.4.48 de Watkins.

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