Classificação - UNICAMP · x v x y r [x y][x v y v] r = ⋅ ... Resposta do Canal Luminante ......
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IA369P – Tópicos em Engenharia de Computação VI
Visualização de Informação: Algoritmos
Representação de Dados
Capítulo 3 do livro-texto Telea
IA369P – 2s2009 - Ting
Classificação
Contínuos
Dados
Discretos
Amostrados
Não-estruturados Estruturados Multi-dimensionais
TextuaisAssociativos
Amostragem Aquisição
),,,( ikiiis fcp φ=Ω
),,( fCDC =Ω
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Amostras Adquiridas
Conversor Analógico-Digital Ucu
vuf
ii
ii
⊂∈→:
Reconstrução
Reconstrução
),,( kiii cu φ
Funções interpoladoras
)(~
Xf
)(Xf
)(~
Xf
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Contradomínio de f
CDf →: D: sub-domínio de elementos de interesseC: contradomínio de atributos
DC
f(C)
),,,( ikiiis fcp φ=Ω
Atributos deamostras
Atributos decélulas
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Tipos de DadosEscalares
Escalares:
Vetores
Tensores
RXf ⊂)(
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Escalares
Escalares:
Vetores
Tensores
RXf ⊂)(
Altitude h=f(x,y) codificada em coordenada z.
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Escalares
Altitudes do terreno em Massachusetts
Escalares:
Vetores
Tensores
RXf ⊂)(
Altitude h=f(x,y) codificada em níveis de cinza.
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Escalares
Variação de temperatura no Mar de Coral (Oceano Pacífico, Austrália)
20021992-2001
Escalares:
Vetores
Tensores
RXf ⊂)(
Temperatura codificada em níveis de cinza.
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Tipos de DadosVetores
RXf ⊂)(Escalares:
Vetores:
Tensores
dRXf ⊂)(
d valores escalares no espaço Rd
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Vetores
RXf ⊂)(Escalares:
Vetores:
Tensores
dRXf ⊂)(
Intensidade e direção de vento codificada em setas.
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Pontos
Coordenadas cartesianasCoordenadas polaresCoordenadas cilíndricasCoordenadas esféricas
y
Cartesianas
x
R
Polares
θ
Esféricas
Posições espaciais:
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x 1 0 xPonto: Q = ex ey =
y 0 1 y
P =
Vetor: “diferença” entre 2 pontos
v = Q – P
= - =
Q=(x,y)
P ex
ey
y
x
ex = ey =
xy
v
00
10
01
00
xy
“Relativa”
“Absoluta”
Pontos e Vetores
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Vetores
vQ3=(x,y)
P2
Q2
Q4
Q1
P4
P1
P3 ex
ey
Magnitude (|v|)Orientação (v/|v| = vetor normalizado)
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Operações sobre VetoresFator de escala, Soma, Subtração
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|a|2 = a.a
cos α = a.b/|a||b|
n = a x b
sen α = |a x b|/|a||b|
α
Operações sobre VetoresEscalares e Vetoriais
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Tipos de Vetores
• Contravariantes– Diferencial/derivadas
• Covariantes– Gradiente
Como os vetores se transformam em na mudança de base para ?Coordenadas cartesianas (x,y,z) Coordenadas esféricas (r,θ,ϕ)
tt
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
r
z
z
r
r
y
y
f
r
x
x
f
f
fr
f
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂
=
∂∂∂∂∂∂
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
θθ
θθ
θθ
ϕ
θ
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂+
∂∂
=
dzz
dyy
dxx
dzz
dyy
dxx
dzz
rdy
y
rdx
x
r
d
d
dr
ϕϕϕ
θθθ
ϕθ
),,,( 21 dTTT K ),,,( 21 dTTT K
),,,( 21 dxxx K ),,,( 21 dxxx K
∑= ∂
∂=d
ir
iri
x
xTT
1∑
= ∂∂=
d
ir
i
ri x
xTT
1
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Exercícios
• Em termos de notação, quais são as convenções utilizadas para distinguir os vetores contravariantes dos vetores covariantes?
• Pesquise: o que é a convenção de somatório de Einstein ou notação de Einstein?
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Tipos de Vetores
• Contravariantes • Covariantes
x
y vr
[ ]
=
y
xyxvrrr [ ] [ ]vyvxyx
rrrr ⋅⋅=
x
y
vr
xr
yr
xr
yr
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ExercíciosDada uma esfera centrada na origem, de raio 1, representada em
– coordenadas cartesianas (x,y,z) – coordenadas esféricas (r,θ,ϕ)
• Determine, para dois sistemas de referência, o gradiente em cada ponto sobre a esfera.
• Qual é a transformação dos componentes do gradiente em coordenadas cartesianas para os em coordenadas esféricas?
• Qual é a relação entre o diferencial das coordenadas cartesianas em relação ao diferencial das coordenadas esféricas?
• Qual é a direção do gradiente em relação à esfera? E o vetor diferencial em relação à esfera?
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Codificação por Cores
• Mapear vetores R3 em (R,G,B)
RGB(vermelho,verde,azul)
HSV (matiz, saturação, valor)
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Formação de Cor
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Modelo de Cor RGB
]1,0[,, ∈BGR
0: intensidade nula1: intensidade máxima
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Modelo de Cor HSV
Azul
Ciano
Magenta
Vermelho(0o)
Amarelo Verde
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Hexágono de Cor HSV
Matiz: comprimento de ondaSaturação: pureza da corValor: brilho da cor
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Disco de Cor HSV
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Resposta dos CanaisCromáticos
(isoluminante)
Resposta do Canal Luminante
Sensibilidadeespacial
1/3 da capacidade do canal de luminância
Dominante
Profundidadeestereoscópica
Quase impossível Dominante
Sensibilidadeao movimento
Velocidade parecemenor
Forma geométrica
Percepção é menor Dominante
Croma x Luminância
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Energia
Comprimento de onda
Distintas distribuições espectrais, porémmesma percepção cromática
(nm)
Diferença mínima paraque duas cores sejamperceptualmente distintas
Percepção de CoresMetâmeras
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v
Percepção de CoresDistinguibilidade
Cor fora do fecho convexo é distinguivel.
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Quanto maior for saturação, maior é o contraste.
Percepção de CoresGrau de Saturação
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Percepção de CoresCores Multiculturais (Berlin e Kay)
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Exercícios• Explique os pseudo-códigos de conversão HSV-RGB
apresentados em Listing 3-2 e 3-3 do livro-texto.• Compare os modelos de cor RGB e HSV, destacando as
vantagens e desvantagens de cada um.• Como a percepção humana influencia no uso de cores para
visualização? Sugestão: leitura da seção “Applications of Colorin Visualiztion” do Capítulo 4 do livro de Colin Ware.
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Escalares:
Vetores:
Tensores:Escalares (tensores de rank
0) + vetores (tensores de rank1) + outros arranjos matriciais
de escalares
Tipos de DadosTensores
RXf ⊂)(
dRXf ⊂)(
Generalização de “quantidades geométricas” em Rd
Difusão de líquido em distintas direções
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Tensor Métrico
u
r
∂∂
v
r
∂∂
222 2
)()(
dvv
r
v
rdudv
v
r
u
rdu
u
r
u
rds
dvv
rdu
u
rdv
v
rdu
u
rdsds
dvv
rdu
u
rds
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂+
∂∂⋅
∂∂+
∂∂=⋅
∂∂+
∂∂=
E F G
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Tensores Covariantes Superfície parametrizada em (u,v) Superfície paramet rizada em (u’,v’)
'''
'''
'''
''
''
v
r
v
rG
v
r
u
rF
u
r
u
rE
dvv
rdu
u
rds
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
''
''
''
''''
''
v
v
u
vv
u
u
u
GF
FE
v
v
u
vv
u
u
u
GF
FE
t
∑∑= = ∂
∂∂∂=
d
j
d
ij
s
i
r
rsij x
x
x
xTT
1 1
v
r
v
rG
v
r
u
rF
u
r
u
rE
dvv
rdu
u
rds
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂+
∂∂=
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Tensores Contravariantes e Mistos
∑∑= = ∂
∂∂∂=
d
j
d
is
j
r
irsij
x
x
x
xTT
1 1
∑∑= = ∂
∂∂∂=
d
j
d
ij
s
r
ir
si
j x
x
x
xTT
1 1
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Tensor de Curvatura
22
22
2
)()(
dvv
n
v
rdudv
v
n
u
rdu
u
n
u
rdnds
dvv
n
v
rdudv
v
r
u
ndudv
v
n
u
rdu
u
n
u
rdnds
dvv
ndu
u
ndv
v
rdu
u
rdnds
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−=⋅
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−=⋅
∂∂+
∂∂⋅
∂∂+
∂∂−=⋅
e f g
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Curvaturas
Curvatura máxima
Curvatura mínima
−=
gf
fe
GF
FE
aa
aa
2212
2111
Autovalores e autovetorescorrespondem, respectivamente, aos extremos de curvatura e às direções principais.
1k
2k
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Curvaturas Gaussiana e Média
Curvatura Gaussiana (K=k1k2) Curvatura Média (H=(k1+k2)/2)
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Exercício
Mostre que os componentes da segunda forma fundamental, e, f e g, transformam segundo a regra de tensor covariante de rank 2 na mudança de espaço de variáveis.
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Classificação
Contínuos
Dados
Discretos
Amostrados
Não-estruturados Estruturados Multi-dimensionais
TextuaisAssociativos
Amostragem Aquisição
),,,( ikiiis fcp φ=Ω
),,( fCDC =Ω
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Dados DiscretosSão dados de natureza intrinsicamente discreta, representável por uma função “descontínua”.
Um paradigma: mapeá-los em amostras de uma função contínua.
Desafio:o que significam os valores interpolados?
),,,( ikiiis fcp φ=Ω
),,( iiiD fcp=Ω
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Reconstrução de Atributos
DC
f(C)
Amostras (pi, ci) Atributos (fi)
Reconstrução ( )kiφ
Domínio Contradomínio
falta de valores
Combinação convexa, por componente, de dois vetores não preserva a magnitude do vetor!
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Reamostragem de Atributos
Novo atributo como soma ponderada dos atributos das células vizinhas conhecidos. Fator de ponderação: proporção da área/volume das células adjacentes.
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Gradiente de AtributosDiferença finita central:
Diferença finita ascendente:
Diferença finita descendente:
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Exercícios1. Cite dois contextos em que é
comum fazer a interpolação de dados discretos.
2. Dê um exemplo que mostre que a combinação convexa, por componente, de dois vetores unitários, não preserva a magnitude unitária.
3. Na figura ao lado, o mapeamento do intervalo de temperaturas em cores RBG foi por componentes da cor ou vetores de cor? Justifique.
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Representação de Dados
Contínuos
Dados
Discretos
Amostrados
Multi-dimensionais
TextuaisAssociativos
Amostragem Aquisição
),,,( ikiiis fcp φ=Ω
),,( fCDC =Ω
),,( iiiD fcp=Ω
Não-estruturados Estruturados
Visualização: Reconstrução e reamostragem de amostras/atributos