Classificação - UNICAMP · x v x y r [x y][x v y v] r = ⋅ ... Resposta do Canal Luminante ......

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IA369P – Tópicos em Engenharia de Computação VI Visualização de Informação: Algoritmos Representação de Dados Capítulo 3 do livro-texto Telea IA369P – 2s2009 - Ting Classificação Contínuos Dados Discretos Amostrados Não-estruturados Estruturados Multi-dimensionais Textuais Associativos Amostragem Aquisição }) { }, { }, { }, ({ i k i i i s f c p φ = ) , , ( f C D C =

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IA369P – Tópicos em Engenharia de Computação VI

Visualização de Informação: Algoritmos

Representação de Dados

Capítulo 3 do livro-texto Telea

IA369P – 2s2009 - Ting

Classificação

Contínuos

Dados

Discretos

Amostrados

Não-estruturados Estruturados Multi-dimensionais

TextuaisAssociativos

Amostragem Aquisição

),,,( ikiiis fcp φ=Ω

),,( fCDC =Ω

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Amostras Adquiridas

Conversor Analógico-Digital Ucu

vuf

ii

ii

⊂∈→:

Reconstrução

Reconstrução

),,( kiii cu φ

Funções interpoladoras

)(~

Xf

)(Xf

)(~

Xf

IA369P – 2s2009 - Ting

Contradomínio de f

CDf →: D: sub-domínio de elementos de interesseC: contradomínio de atributos

DC

f(C)

),,,( ikiiis fcp φ=Ω

Atributos deamostras

Atributos decélulas

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Tipos de DadosEscalares

Escalares:

Vetores

Tensores

RXf ⊂)(

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Escalares

Escalares:

Vetores

Tensores

RXf ⊂)(

Altitude h=f(x,y) codificada em coordenada z.

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Escalares

Altitudes do terreno em Massachusetts

Escalares:

Vetores

Tensores

RXf ⊂)(

Altitude h=f(x,y) codificada em níveis de cinza.

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Escalares

Variação de temperatura no Mar de Coral (Oceano Pacífico, Austrália)

20021992-2001

Escalares:

Vetores

Tensores

RXf ⊂)(

Temperatura codificada em níveis de cinza.

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Tipos de DadosVetores

RXf ⊂)(Escalares:

Vetores:

Tensores

dRXf ⊂)(

d valores escalares no espaço Rd

IA369P – 2s2009 - Ting

Vetores

RXf ⊂)(Escalares:

Vetores:

Tensores

dRXf ⊂)(

Intensidade e direção de vento codificada em setas.

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Pontos

Coordenadas cartesianasCoordenadas polaresCoordenadas cilíndricasCoordenadas esféricas

y

Cartesianas

x

R

Polares

θ

Esféricas

Posições espaciais:

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x 1 0 xPonto: Q = ex ey =

y 0 1 y

P =

Vetor: “diferença” entre 2 pontos

v = Q – P

= - =

Q=(x,y)

P ex

ey

y

x

ex = ey =

xy

v

00

10

01

00

xy

“Relativa”

“Absoluta”

Pontos e Vetores

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Vetores

vQ3=(x,y)

P2

Q2

Q4

Q1

P4

P1

P3 ex

ey

Magnitude (|v|)Orientação (v/|v| = vetor normalizado)

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Operações sobre VetoresFator de escala, Soma, Subtração

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|a|2 = a.a

cos α = a.b/|a||b|

n = a x b

sen α = |a x b|/|a||b|

α

Operações sobre VetoresEscalares e Vetoriais

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Tipos de Vetores

• Contravariantes– Diferencial/derivadas

• Covariantes– Gradiente

Como os vetores se transformam em na mudança de base para ?Coordenadas cartesianas (x,y,z) Coordenadas esféricas (r,θ,ϕ)

tt

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

r

z

z

r

r

y

y

f

r

x

x

f

f

fr

f

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

=

∂∂∂∂∂∂

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

θθ

θθ

θθ

ϕ

θ

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

=

dzz

dyy

dxx

dzz

dyy

dxx

dzz

rdy

y

rdx

x

r

d

d

dr

ϕϕϕ

θθθ

ϕθ

),,,( 21 dTTT K ),,,( 21 dTTT K

),,,( 21 dxxx K ),,,( 21 dxxx K

∑= ∂

∂=d

ir

iri

x

xTT

1∑

= ∂∂=

d

ir

i

ri x

xTT

1

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Exercícios

• Em termos de notação, quais são as convenções utilizadas para distinguir os vetores contravariantes dos vetores covariantes?

• Pesquise: o que é a convenção de somatório de Einstein ou notação de Einstein?

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Tipos de Vetores

• Contravariantes • Covariantes

x

y vr

[ ]

=

y

xyxvrrr [ ] [ ]vyvxyx

rrrr ⋅⋅=

x

y

vr

xr

yr

xr

yr

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ExercíciosDada uma esfera centrada na origem, de raio 1, representada em

– coordenadas cartesianas (x,y,z) – coordenadas esféricas (r,θ,ϕ)

• Determine, para dois sistemas de referência, o gradiente em cada ponto sobre a esfera.

• Qual é a transformação dos componentes do gradiente em coordenadas cartesianas para os em coordenadas esféricas?

• Qual é a relação entre o diferencial das coordenadas cartesianas em relação ao diferencial das coordenadas esféricas?

• Qual é a direção do gradiente em relação à esfera? E o vetor diferencial em relação à esfera?

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Codificação por Cores

• Mapear vetores R3 em (R,G,B)

RGB(vermelho,verde,azul)

HSV (matiz, saturação, valor)

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Formação de Cor

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Modelo de Cor RGB

]1,0[,, ∈BGR

0: intensidade nula1: intensidade máxima

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Modelo de Cor HSV

Azul

Ciano

Magenta

Vermelho(0o)

Amarelo Verde

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Hexágono de Cor HSV

Matiz: comprimento de ondaSaturação: pureza da corValor: brilho da cor

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Disco de Cor HSV

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Resposta dos CanaisCromáticos

(isoluminante)

Resposta do Canal Luminante

Sensibilidadeespacial

1/3 da capacidade do canal de luminância

Dominante

Profundidadeestereoscópica

Quase impossível Dominante

Sensibilidadeao movimento

Velocidade parecemenor

Forma geométrica

Percepção é menor Dominante

Croma x Luminância

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Energia

Comprimento de onda

Distintas distribuições espectrais, porémmesma percepção cromática

(nm)

Diferença mínima paraque duas cores sejamperceptualmente distintas

Percepção de CoresMetâmeras

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v

Percepção de CoresDistinguibilidade

Cor fora do fecho convexo é distinguivel.

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Quanto maior for saturação, maior é o contraste.

Percepção de CoresGrau de Saturação

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Percepção de CoresCores Multiculturais (Berlin e Kay)

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Exercícios• Explique os pseudo-códigos de conversão HSV-RGB

apresentados em Listing 3-2 e 3-3 do livro-texto.• Compare os modelos de cor RGB e HSV, destacando as

vantagens e desvantagens de cada um.• Como a percepção humana influencia no uso de cores para

visualização? Sugestão: leitura da seção “Applications of Colorin Visualiztion” do Capítulo 4 do livro de Colin Ware.

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Escalares:

Vetores:

Tensores:Escalares (tensores de rank

0) + vetores (tensores de rank1) + outros arranjos matriciais

de escalares

Tipos de DadosTensores

RXf ⊂)(

dRXf ⊂)(

Generalização de “quantidades geométricas” em Rd

Difusão de líquido em distintas direções

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Tensor Métrico

u

r

∂∂

v

r

∂∂

222 2

)()(

dvv

r

v

rdudv

v

r

u

rdu

u

r

u

rds

dvv

rdu

u

rdv

v

rdu

u

rdsds

dvv

rdu

u

rds

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂⋅

∂∂+

∂∂=⋅

∂∂+

∂∂=

E F G

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Tensores Covariantes Superfície parametrizada em (u,v) Superfície paramet rizada em (u’,v’)

'''

'''

'''

''

''

v

r

v

rG

v

r

u

rF

u

r

u

rE

dvv

rdu

u

rds

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

''

''

''

''''

''

v

v

u

vv

u

u

u

GF

FE

v

v

u

vv

u

u

u

GF

FE

t

∑∑= = ∂

∂∂∂=

d

j

d

ij

s

i

r

rsij x

x

x

xTT

1 1

v

r

v

rG

v

r

u

rF

u

r

u

rE

dvv

rdu

u

rds

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂=

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Tensores Contravariantes e Mistos

∑∑= = ∂

∂∂∂=

d

j

d

is

j

r

irsij

x

x

x

xTT

1 1

∑∑= = ∂

∂∂∂=

d

j

d

ij

s

r

ir

si

j x

x

x

xTT

1 1

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Tensor de Curvatura

22

22

2

)()(

dvv

n

v

rdudv

v

n

u

rdu

u

n

u

rdnds

dvv

n

v

rdudv

v

r

u

ndudv

v

n

u

rdu

u

n

u

rdnds

dvv

ndu

u

ndv

v

rdu

u

rdnds

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−=⋅

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−=⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂+

∂∂−=⋅

e f g

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Curvaturas

Curvatura máxima

Curvatura mínima

−=

gf

fe

GF

FE

aa

aa

2212

2111

Autovalores e autovetorescorrespondem, respectivamente, aos extremos de curvatura e às direções principais.

1k

2k

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Curvaturas Gaussiana e Média

Curvatura Gaussiana (K=k1k2) Curvatura Média (H=(k1+k2)/2)

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Exercício

Mostre que os componentes da segunda forma fundamental, e, f e g, transformam segundo a regra de tensor covariante de rank 2 na mudança de espaço de variáveis.

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Classificação

Contínuos

Dados

Discretos

Amostrados

Não-estruturados Estruturados Multi-dimensionais

TextuaisAssociativos

Amostragem Aquisição

),,,( ikiiis fcp φ=Ω

),,( fCDC =Ω

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Dados DiscretosSão dados de natureza intrinsicamente discreta, representável por uma função “descontínua”.

Um paradigma: mapeá-los em amostras de uma função contínua.

Desafio:o que significam os valores interpolados?

),,,( ikiiis fcp φ=Ω

),,( iiiD fcp=Ω

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Reconstrução de Atributos

DC

f(C)

Amostras (pi, ci) Atributos (fi)

Reconstrução ( )kiφ

Domínio Contradomínio

falta de valores

Combinação convexa, por componente, de dois vetores não preserva a magnitude do vetor!

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Reamostragem de Atributos

Novo atributo como soma ponderada dos atributos das células vizinhas conhecidos. Fator de ponderação: proporção da área/volume das células adjacentes.

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Gradiente de AtributosDiferença finita central:

Diferença finita ascendente:

Diferença finita descendente:

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Exercícios1. Cite dois contextos em que é

comum fazer a interpolação de dados discretos.

2. Dê um exemplo que mostre que a combinação convexa, por componente, de dois vetores unitários, não preserva a magnitude unitária.

3. Na figura ao lado, o mapeamento do intervalo de temperaturas em cores RBG foi por componentes da cor ou vetores de cor? Justifique.

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Representação de Dados

Contínuos

Dados

Discretos

Amostrados

Multi-dimensionais

TextuaisAssociativos

Amostragem Aquisição

),,,( ikiiis fcp φ=Ω

),,( fCDC =Ω

),,( iiiD fcp=Ω

Não-estruturados Estruturados

Visualização: Reconstrução e reamostragem de amostras/atributos