Autovetor e Autovalor de um Operador Linear

Definicao

Seja T : V→ V um operador linear. Um vetor v ∈ V, v 6= 0, edito um autovetor de T se existe um numero real λ tal que

T (v) = λv.

O numero real λ acima e denominado autovalor de T associadoao autovetor v.

Autovetor e Autovalor de um Operador Linear

Exemplo 1

T : R2 → R2, T (x, y) = (4x+ 5y, 2x+ y).T (5, 2) = (30, 12) = 6 · (5, 2).∴ 6 e um autovalor associado ao autovetor (5, 2) do operador T .

Exemplo 2

T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x, y, 0).T (x, y, 0) = 1 · (x, y, 0).∴ qualquer vetor (x, y, 0) e um autovetor de T e seu autovalorassociado e 1.

Autovetor e Autovalor de um Operador Linear

Exemplo 1

T : R2 → R2, T (x, y) = (4x+ 5y, 2x+ y).T (5, 2) = (30, 12) = 6 · (5, 2).∴ 6 e um autovalor associado ao autovetor (5, 2) do operador T .

Exemplo 2

T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x, y, 0).T (x, y, 0) = 1 · (x, y, 0).∴ qualquer vetor (x, y, 0) e um autovetor de T e seu autovalorassociado e 1.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores

I Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy).

I Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x, y) 6= (0, 0) com

T (x, y) = λ · (x, y).

I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0

.

I O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nulase, e so se,

det

[(a− λ) b

c (d− λ)

]= 0.

I Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, seexistirem.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores

I Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy).

I Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x, y) 6= (0, 0) com

T (x, y) = λ · (x, y).

I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0

.

I O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nulase, e so se,

det

[(a− λ) b

c (d− λ)

]= 0.

I Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, seexistirem.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores

I Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy).

I Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x, y) 6= (0, 0) com

T (x, y) = λ · (x, y).

I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0

.

I O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nulase, e so se,

det

[(a− λ) b

c (d− λ)

]= 0.

I Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, seexistirem.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores

I Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy).

I Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x, y) 6= (0, 0) com

T (x, y) = λ · (x, y).

I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0

.

I O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nulase, e so se,

det

[(a− λ) b

c (d− λ)

]= 0.

I Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, seexistirem.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores

I Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy).

I Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x, y) 6= (0, 0) com

T (x, y) = λ · (x, y).

I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0

.

I O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nulase, e so se,

det

[(a− λ) b

c (d− λ)

]= 0.

I Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, seexistirem.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovetores

I Queremos agora encontrar os autovetores de T associados aum determinado autovalor λ.

I Isto e, queremos encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal queT (x, y) = λ · (x, y).

I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0

.

I Os autovetores de T associados a λ sao as solucoesnao-nulas do sistema linear homogeneo acima.Obs.: Obrigatoriamente ha tais solucoes pois o λ foicalculado para que isto aconteca.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovetores

I Queremos agora encontrar os autovetores de T associados aum determinado autovalor λ.

I Isto e, queremos encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal queT (x, y) = λ · (x, y).

I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0

.

I Os autovetores de T associados a λ sao as solucoesnao-nulas do sistema linear homogeneo acima.Obs.: Obrigatoriamente ha tais solucoes pois o λ foicalculado para que isto aconteca.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovetores

I Queremos agora encontrar os autovetores de T associados aum determinado autovalor λ.

I Isto e, queremos encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal queT (x, y) = λ · (x, y).

I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0

.

I Os autovetores de T associados a λ sao as solucoesnao-nulas do sistema linear homogeneo acima.Obs.: Obrigatoriamente ha tais solucoes pois o λ foicalculado para que isto aconteca.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovetores

I Queremos agora encontrar os autovetores de T associados aum determinado autovalor λ.

I Isto e, queremos encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal queT (x, y) = λ · (x, y).

I Isto e o mesmo que encontrar (x, y) 6= (0, 0) tal que{ax+ by = λxcx+ dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d− λ)y = 0

.

I Os autovetores de T associados a λ sao as solucoesnao-nulas do sistema linear homogeneo acima.Obs.: Obrigatoriamente ha tais solucoes pois o λ foicalculado para que isto aconteca.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo

1. Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].

2. Calcule a matriz A− λI, onde I e a matriz identidaden× n.

3. Calcule p(λ) = det(A− λI).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .

4. Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacaocaracterıstica de T .

5. Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo

1. Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].

2. Calcule a matriz A− λI, onde I e a matriz identidaden× n.

3. Calcule p(λ) = det(A− λI).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .

4. Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacaocaracterıstica de T .

5. Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo

1. Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].

2. Calcule a matriz A− λI, onde I e a matriz identidaden× n.

3. Calcule p(λ) = det(A− λI).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .

4. Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacaocaracterıstica de T .

5. Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo

1. Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].

2. Calcule a matriz A− λI, onde I e a matriz identidaden× n.

3. Calcule p(λ) = det(A− λI).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .

4. Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacaocaracterıstica de T .

5. Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo

1. Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].

2. Calcule a matriz A− λI, onde I e a matriz identidaden× n.

3. Calcule p(λ) = det(A− λI).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .

4. Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacaocaracterıstica de T .

5. Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI.

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Exemplo 1

Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dadopor T (x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y).

Exemplo 2

Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dadopor T (x, y) = (−y, x).

Exemplo 3

Determine os autovetores e os autovalores de T : R3 → R3 dadopor T (x, y, z) = (4x+ 2y,−x+ y, y + 2z).

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Exemplo 1

Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dadopor T (x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y).

Exemplo 2

Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dadopor T (x, y) = (−y, x).

Exemplo 3

Determine os autovetores e os autovalores de T : R3 → R3 dadopor T (x, y, z) = (4x+ 2y,−x+ y, y + 2z).

Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Exemplo 1

Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dadopor T (x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y).

Exemplo 2

Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dadopor T (x, y) = (−y, x).

Exemplo 3

Determine os autovetores e os autovalores de T : R3 → R3 dadopor T (x, y, z) = (4x+ 2y,−x+ y, y + 2z).

Propriedades de Autovalores e Autovetores

TeoremaSeja λ um autovalor do operador T : V→ V. O conjunto

Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}

(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetornulo) e um subespaco vetorial de V denominado autoespacoassociado a λ.

Prova

I T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.I u, v ∈ Sλ ⇒ T (u+ v) = T (u) + T (v) = λu+ λv = λ(u+ v).

Logo, u+ v ∈ Sλ.

I u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.

I Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V.

Propriedades de Autovalores e Autovetores

TeoremaSeja λ um autovalor do operador T : V→ V. O conjunto

Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}

(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetornulo) e um subespaco vetorial de V denominado autoespacoassociado a λ.

Prova

I T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.

I u, v ∈ Sλ ⇒ T (u+ v) = T (u) + T (v) = λu+ λv = λ(u+ v).Logo, u+ v ∈ Sλ.

I u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.

I Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V.

Propriedades de Autovalores e Autovetores

TeoremaSeja λ um autovalor do operador T : V→ V. O conjunto

Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}

(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetornulo) e um subespaco vetorial de V denominado autoespacoassociado a λ.

Prova

I T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.I u, v ∈ Sλ ⇒ T (u+ v) = T (u) + T (v) = λu+ λv = λ(u+ v).

Logo, u+ v ∈ Sλ.

I u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.

I Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V.

Propriedades de Autovalores e Autovetores

TeoremaSeja λ um autovalor do operador T : V→ V. O conjunto

Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}

(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetornulo) e um subespaco vetorial de V denominado autoespacoassociado a λ.

Prova

I T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.I u, v ∈ Sλ ⇒ T (u+ v) = T (u) + T (v) = λu+ λv = λ(u+ v).

Logo, u+ v ∈ Sλ.

I u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.

I Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V.

Propriedades de Autovalores e Autovetores

TeoremaSeja λ um autovalor do operador T : V→ V. O conjunto

Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}

(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetornulo) e um subespaco vetorial de V denominado autoespacoassociado a λ.

Prova

I T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.I u, v ∈ Sλ ⇒ T (u+ v) = T (u) + T (v) = λu+ λv = λ(u+ v).

Logo, u+ v ∈ Sλ.

I u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.

I Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V.