Métodos de reamostragem - Unicampcnaber/aula_Boot.pdf · 2012. 6. 8. · Bootstrap n~ao-param...
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Motivacao Exemplos Exemplos
Metodos de reamostragem
Prof. Caio Azevedo
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Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Notacoes
Seja X = (X1, ...,Xn) uma amostra iid de X ∼ F (, θ), θ ∈ Θ pode
ser vetor.
Seja x = (x1, ..., xn) os valores observados da amostra definida
acima.
Estimador : θ = f (X), estimativa :θ = f (x).
Variancia: Var(θ) e erro-padrao: EP(θ) =
√Var(θ) associados ao
estimador.
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Motivacao Exemplos Exemplos
Notacoes cont.
Estimadores para a variancia Var(θ) e o erro-padrao
EP(θ) =
√Var(θ) associados ao estimador.
Estimativas para a variancia Var(θ) e o erro-padrao
EP(θ) =
√Var(θ) do associados ao estimador.
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Exemplo N(µ, σ2)
Seja X1, ...,Xn uma amostra iid de X ∼ N(µ, σ2), (µ, σ2)
desconhecidos e x1, ..., xn valores observados.
Estimador para µ, µ = 1n
∑ni=1 Xi = X . Estimativa
µ = 1n
∑ni=1 xi = x .
Variancia do estimador: Var(µ) = σ2
n . Estimador para a variancia do
estimador Var(θ) = σ2
n .
Estimativa para a variancia do estimador Var(θ) = σ2
n .
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Exemplo N(µ, σ2)
Seja X1, ...,Xn uma amostra iid de X ∼ N(µ, σ2), (µ, σ2)
desconhecidos.
Dispomos de valores observados relativos a uma amostra selecionada
a partir de uma populacao de interesse.
Estimadores otimos (consistentes e nao-viciados),
µ =1
n
n∑i=1
Xi = X , σ2 =1
n − 1
n∑i=1
(Xi − X
)2= S2.
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Cont.
Sabemos que µ ∼ N(µ, σ2/n) e (n−1)σ2
σ2 ∼ χ2(n−1).
Podemos constuir intervalos de confianca (IC) e testar hipoteses de
interesse, com base no resultado acima.
Mesmo que X1, ...,Xn nao tenham distribuicao normal
(aproximadamente) se a sequencia a qual elas pertencem satisfizer o
TCL, os resultados acima sao validos, assintoticamente.
Questao: suponha que queremos fazer inferencia com respeito a
θ = σµ , σ =
√σ2, sem usar resultados assintoticos e sob suposicao de
normalidade.
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Cont.
Estimador natural de θ, θ = σµ , σ =
√σ2.
Qual a distribuicao exata de θ? Qual a expressao para o erro-padrao
associado a este estimador?
Podemos obter uma aproximacao empırica (nao assintotica) de θ
atraves da suposicao de normalidade.
Replicas de Monte Carlo.
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Procedimento
Com base na amostra observada x, estima-se µ e σ2 atraves do
estimadores propostos.
Com as estimativas µ e σ2, gera-se R vezes amostras de tamanho
m, ou seja temos para r = 1, ...,R, m valores simulados de uma
N(µ, σ2), Xr1, ...,Xrm.
Para cada conjunto r de valores simulados, calcula-se
µ∗r = 1m
∑mi=1 xri , (σ∗)2
r = 1m−1
∑mi=1 (xri − µ∗r )2 e θ∗r =
√(σ∗)2
r
µ∗r
.
Assim, os valores θ∗1 , ..., θ∗R serao uma amostra aleatoria de θ.
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Resultados
Uma estimativa (refinada) de θ e θ∗ = 1R
∑Rr=1 θ
∗r (podemos utilizar,
tambem, a estimativa pontual baseada na amostra observada).
Uma estimativa da variancia do estimador proposto e
var(θ) = 1R−1
∑Rr=1
(θ∗ − θ∗r
)2
. Estimativa do vıcio
B(θ) = (θ∗ − θ)
Sejam θ∗(1), θ∗(2), ...., θ
∗(R) as estatısticas de ordem da amostra gerada.
Quantis empıricos podem ser obtidos atraves de um dos algoritmos
propostos por Hyndman and Fan (1996).
Funcao “quantile” no R.
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Amostras Bootstrap 1
n = 10 m = 10 media = −0.09 dp = 183.54
valores
de
nsi
da
de
−10000 −5000 0
0e
+0
04
e−
04
8e
−0
4
n = 30 m = 30 media = 8.37 dp = 164.02
valores
de
nsi
da
de
0 2000 4000 6000 8000 10000
0e
+0
04
e−
04
8e
−0
4
n = 50 m = 50 media = 3.37 dp = 9.24
valores
de
nsi
da
de
−200 −100 0 100 200 300 400
0.0
00
0.0
10
0.0
20
n = 100 m = 100 media = 1.91 dp = 0.44
valores
de
nsi
da
de
2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
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Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap 2
n = 200 m = 200 media = 2.62 dp = 0.54
valores
de
nsi
da
de
1 2 3 4 5 6 7 8
0.0
0.2
0.4
0.6
n = 500 m = 500 media = 1.97 dp = 0.19
valores
de
nsi
da
de
1.5 2.0 2.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
n = 800 m = 800 media = 2.09 dp = 0.16
valores
de
nsi
da
de
1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
n = 1000 m = 1000 media = 2.02 dp = 0.14
valores
de
nsi
da
de
1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
0.0
1.0
2.0
3.0
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Motivacao Exemplos Exemplos
Exemplo beta(a, b)
Suponha uma amostra aleatoria de uma distribuicao beta(a,b).
Com base na amostra observada x, estima-se a e b atraves do
estimadores do metodo dos momentos.
Com as estimativas a e b, gera-se R vezes amostras de tamanho m,
ou seja temos para r = 1, ...,R, m valores simulados de uma
beta(a, b), Xr1, ...,Xrm.
Para cada conjunto r de valores simulados, calcula-se
µ∗r = 1m
∑mi=1 xri , (σ∗)2
r = 1m−1
∑mi=1 (xri − µ∗r )2 e θ∗r =
√(σ∗)2
r
µ∗r
.
Assim, os valores θ∗1 , ..., θ∗R serao uma amostra aleatoria de θ.
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Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap 1
n = 10 m = 10 media = 1.16 dp = 0.29
valores
de
nsi
da
de
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.0
0.5
1.0
1.5
n = 30 m = 30 media = 1.44 dp = 0.22
valores
de
nsi
da
de
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
n = 50 m = 50 media = 0.99 dp = 0.1
valores
de
nsi
da
de
0.8 1.0 1.2 1.4
01
23
4
n = 100 m = 100 media = 1.25 dp = 0.09
valores
de
nsi
da
de
1.0 1.2 1.4 1.6
01
23
4
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Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap 2
n = 200 m = 200 media = 0.97 dp = 0.05
valores
de
nsi
da
de
0.8 0.9 1.0 1.1
02
46
8
n = 500 m = 500 media = 1.18 dp = 0.04
valores
de
nsi
da
de
1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35
02
46
81
0
n = 800 m = 800 media = 1.09 dp = 0.03
valores
de
nsi
da
de
1.00 1.05 1.10 1.15 1.20
02
46
81
01
4
n = 1000 m = 1000 media = 1.09 dp = 0.02
valores
de
nsi
da
de
1.00 1.05 1.10 1.15 1.20
05
10
15
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Motivacao Exemplos Exemplos
Bootstrap parametrico
Sob a suposicao de um modelo parametrico F (,θ) e com a amostra
selecionada, estima-se θ atraves de algum metodo apropriado.
Com a estimativa θ, gera-se R vezes uma amostra aleatoria de
tamanho m (m ≤ n) da amostra x = (x1, ..., xn).
Para cada amostra r r = 1, ...,R obtem-se a estimativa desejada θ∗r .
Estimativa Bootstrap θ∗ = 1R
∑Rr=1 θ
∗r
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Motivacao Exemplos Exemplos
Caso geral
Suponha agora que nao conhecemos a distribuicao (mesmo uma boa
aproximacao) geradora da amostra
Nao queremos fazer nenhuma suposicao a respeito da distribuicao.
Caso conhecamos ou queiramos fazer alguma suposicao, por algum
motivo, e difıcil de gerar da variavel aleatoria em questao.
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Motivacao Exemplos Exemplos
Bootstrap nao-parametrico
Seleciona-se R vezes uma amostra aleatoria (com reposicao) de
tamanho m (m ≤ n) da amostra x = (x1, ..., xn).
Para cada amostra r r = 1, ...,R obtem-se a estimativa desejada θ∗r .
Estimativa Bootstrap θ∗ = 1R
∑Rr=1 θ
∗r
Bootstrap parametrico: conhecemos a distribuicao dos dados F e
simulamos valores a partir dessa distribuicao usando estimativas dos
parametros relacionados a ela.
Bootstrap nao-parametrico: nao conhecemos a distribuicao dos
dados F e simulamos valores a partir da fda empırica.
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Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap Nao-parametrico Normal (1)
n = 10 m = 10 media = 2.09 dp = 58.83
valores
de
nsi
da
de
−4000 −3000 −2000 −1000 0 1000
0.0
00
00
.00
10
n = 30 m = 30 media = 13.86 dp = 673.85
valores
de
nsi
da
de
−30000 −20000 −10000 0 10000 20000 30000
0.0
00
00
0.0
00
10
n = 50 m = 50 media = 2.29 dp = 1.23
valores
de
nsi
da
de
−40 −30 −20 −10 0 10 20
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
0
n = 100 m = 100 media = 2.66 dp = 1.12
valores
de
nsi
da
de
0 10 20 30 40 50
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
0
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Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap Nao-parametrico Normal (2)
n = 200 m = 200 media = 2.76 dp = 0.62
valores
de
nsi
da
de
2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
n = 500 m = 500 media = 2.32 dp = 0.27
valores
de
nsi
da
de
2.0 2.5 3.0 3.5
0.0
0.5
1.0
1.5
n = 800 m = 800 media = 2.13 dp = 0.18
valores
de
nsi
da
de
1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
n = 1000 m = 1000 media = 2.07 dp = 0.15
valores
de
nsi
da
de
1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
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Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap Nao-parametrico Beta (1)
n = 10 m = 10 media = 0.54 dp = 0.16
valores
de
nsi
da
de
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
n = 30 m = 30 media = 0.89 dp = 0.11
valores
de
nsi
da
de
0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
01
23
n = 50 m = 50 media = 1.12 dp = 0.12
valores
de
nsi
da
de
0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8
0.0
1.0
2.0
3.0
n = 100 m = 100 media = 1.16 dp = 0.08
valores
de
nsi
da
de
0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
01
23
4
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Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap Nao-parametrico Beta (2)
n = 200 m = 200 media = 1.03 dp = 0.05
valores
de
nsi
da
de
0.9 1.0 1.1 1.2
01
23
45
67
n = 500 m = 500 media = 1.05 dp = 0.03
valores
de
nsi
da
de
0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20
02
46
81
01
2
n = 800 m = 800 media = 1.05 dp = 0.03
valores
de
nsi
da
de
0.95 1.00 1.05 1.10 1.15
05
10
15
n = 1000 m = 1000 media = 1.08 dp = 0.02
valores
de
nsi
da
de
1.00 1.05 1.10 1.15 1.20
05
10
15
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Motivacao Exemplos Exemplos
Comparacoes
Bootstrap parametrico: conhecemos a distribuicao dos dados F e
simulamos valores a partir dessa distribuicao usando estimativas dos
parametros relacionados a ela. Dependente: qualidade das
estimativas e do metodo de simulacao escolhido.
Bootstrap nao-parametrico: nao conhecemos a distribuicao dos
dados F e simulamos valores a partir da fda empırica. Com ou sem
reposicao.
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Motivacao Exemplos Exemplos
Exemplo: correlacao entre media e variancia amostrais
Sabemos que a corre(X , σ2) = 0, se X ∼ N(µ, σ2).
Contudo, isso nao esperado para outras variaveis aleatorias.
Ademais, o TCL sugere que a distrbuicao conjunta e marginais de X
e σ2, sejam normais.
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Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap de uma normal, n=10
n = 10 m = 10 media amostral
valores
de
nsi
da
de
−2 −1 0 1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
n = 10 m = 10 variancia amostral
valores
de
nsi
da
de
0 2 4 6 8
0.0
00
.10
0.2
0
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−2 −1 0 1
02
46
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n = 10 m = 10 correlacao entre a media e a variancia amostrais
media amostral
vari
an
cia
am
ost
ral
n = 10 m = 10 Densidade bivariada
media amostral
var
am
ost
ral
0.02
0.04
0.06
0.08 0.1
0.12
0.12
0.14
0.16
−2 −1 0 1
02
46
8
Prof. Caio Azevedo
Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap de uma normal, n=30
n = 30 m = 30 media amostral
valores
de
nsi
da
de
−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
n = 30 m = 30 variancia amostral
valores
de
nsi
da
de
2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
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n = 30 m = 30 correlacao entre a media e a variancia amostrais
media amostral
vari
an
cia
am
ost
ral
n = 30 m = 30 Densidade bivariada
media amostral
var
am
ost
ral
0.05
0.1 0.15
0.2 0.25
0.3
−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
24
68
10
Prof. Caio Azevedo
Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap de uma normal, n=50
n = 50 m = 50 media amostral
valores
de
nsi
da
de
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.4
0.8
1.2
n = 50 m = 50 variancia amostral
valores
de
nsi
da
de
2 3 4 5 6 7 8
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
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n = 50 m = 50 correlacao entre a media e a variancia amostrais
media amostral
vari
an
cia
am
ost
ral
n = 50 m = 50 Densidade bivariada
media amostral
var
am
ost
ral
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
0.6
0.0 0.5 1.0 1.5
23
45
67
8
Prof. Caio Azevedo
Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap de uma normal, n=100
n = 100 m = 100 media amostral
valores
de
nsi
da
de
0.5 1.0 1.5
0.0
0.5
1.0
1.5
n = 100 m = 100 variancia amostral
valores
de
nsi
da
de
3 4 5 6 7 8 9
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
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0.5 1.0 1.5
45
67
89
n = 100 m = 100 correlacao entre a media e a variancia amostrais
media amostral
vari
an
cia
am
ost
ral
n = 100 m = 100 Densidade bivariada
media amostral
var
am
ost
ral
0.1
0.2 0.3
0.4 0.5 0.6 0.7
0.5 1.0 1.5
45
67
89
Prof. Caio Azevedo
Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap de uma gama, n=10
n = 10 m = 10 media amostral
valores
de
nsi
da
de
8 10 12 14 16 18 20 22
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
0
n = 10 m = 10 variancia amostral
valores
de
nsi
da
de
0 20 40 60 80 100
0.0
00
0.0
10
0.0
20
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00
n = 10 m = 10 correlacao entre a media e a variancia amostrais
media amostral
vari
an
cia
am
ost
ral
n = 10 m = 10 Densidade bivariada
media amostral
var
am
ost
ral
5e−04
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
0.0035 0.004
0.0045
10 12 14 16 18 20 22
02
04
06
08
01
00
Prof. Caio Azevedo
Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap de uma gama, n=30
n = 30 m = 30 media amostral
valores
de
nsi
da
de
8 10 12 14
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
n = 30 m = 30 variancia amostral
valores
de
nsi
da
de
10 20 30 40 50 60
0.0
00
.02
0.0
4
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8 9 10 11 12 13 14 15
10
20
30
40
50
60
n = 30 m = 30 correlacao entre a media e a variancia amostrais
media amostral
vari
an
cia
am
ost
ral
n = 30 m = 30 Densidade bivariada
media amostral
var
am
ost
ral 0.002
0.004 0.006
0.008
0.01
0.012 0.014 0.02
8 9 10 11 12 13 14 15
10
20
30
40
50
60
Prof. Caio Azevedo
Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap de uma gama, n=50
n = 50 m = 50 media amostral
valores
de
nsi
da
de
10 12 14 16 18
0.0
00
.10
0.2
00
.30
n = 50 m = 50 variancia amostral
valores
de
nsi
da
de
20 40 60 80 100 120 140 160
0.0
00
0.0
10
0.0
20
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40
n = 50 m = 50 correlacao entre a media e a variancia amostrais
media amostral
vari
an
cia
am
ost
ral
n = 50 m = 50 Densidade bivariada
media amostral
var
am
ost
ral
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
10 12 14 16 18
20
60
10
01
40
Prof. Caio Azevedo
Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Amostras Bootstrap de uma gama, n=100
n = 100 m = 100 media amostral
valores
de
nsi
da
de
8 9 10 11 12 13
0.0
0.2
0.4
0.6
n = 100 m = 100 variancia amostral
valores
de
nsi
da
de
20 30 40 50 60 70
0.0
00
.02
0.0
4
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9 10 11 12 13
20
30
40
50
60
n = 100 m = 100 correlacao entre a media e a variancia amostrais
media amostral
vari
an
cia
am
ost
ral
n = 100 m = 100 Densidade bivariada
media amostral
var
am
ost
ral
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
9 10 11 12 13
20
30
40
50
60
Prof. Caio Azevedo
Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Resumo
Queremos estimar θ relativo ou nao a F (, θ). Para isso, dispoe-se de
uma amostra observada de F (; θ).
Define-se um estimador θ, eg, maxima verossimilhanca, momentos,
mınimos quadrados. Sejam Var(θ) e EP(θ) a variancia e o
erro-padrao desse estimador (se conhecidas).
Parametrica (usando-se F (; θ)) ou nao parametricamente (usando a
fda empırica da amostra observada), simula-se R vezes valoes,
xr1, ..., xrm.
Em cada uma das r amostras, calcula-se θ∗1 , ..., θ∗R , estimativas
bootstrap.
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Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Resumo cont.
Estimativa (refinada) bootstrap θ∗ = 1R
∑Rr=1 θ
∗r
Definimos VarB(θ) = 1R−1
∑Rr=1(θ∗r − θ∗)2 e EPB(θ) =
√VarB(θ),
estimativas bootstrap para variancia e o erro-padra do estimador em
questao.
Prof. Caio Azevedo
Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Intervalos de confianca
Usar o erro-padrao bootstrap, sob a suposicao de normalidade
(mesmo assintotica) do estimador utilizado.
(θ − z 1+γ2EPB(θ), θ + z 1+γ
2EPB(θ))
P(Z < z 1+γ2
) = 1+γ2 ,Z ∼ N(0, 1), EPB() erro-padrao bootstrap
(estimativa).
Usar quantis empıricos das estimativas bootstrap.
(κ 1−γ2, κ 1+γ
2),
κα quantil de ordem α das estimativas bootstrap.
Prof. Caio Azevedo
Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Exemplo: Poisson
Dados relativos ao numero de acidentes em um ano em 20
autoestradas estadunidenses.
x = (1, 2, 5, 0, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 8, 0, 5, 0, 2, 1, 2, 3).
Objetivos, fazer inferencias sobre µ e θ = σµ .
Considere µ = X , σ =√S2 = S e θ = S
X.
Ha indıcios de superdispersao x = 1, 90 < s2 = 4, 31.
Prof. Caio Azevedo
Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Frequencias relativas e observadas0
.00
0.0
50
.10
0.1
50
.20
0.2
50
.30
Frequencias relativas esperadas e observadas
numero de acidentes
fre
qu
en
cia
re
lativ
a
0 1 2 3 5 8
●
●
●
●
●
●
●
●
Observada
Esperada
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Motivacao Exemplos Exemplos
Distribuicao empırica do estimador
Histogram of v.mu.r
valores
de
nsi
da
de
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Prof. Caio Azevedo
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Resultados
Estimativas intervalares e pontuais
Metodo Estimativa EP IC(95%)
Assintotico 1,90 0,31 [1,30;2,50]
Assintotico com EP bootstrap 1,90 0,46 [1,01;2,79]
Bootstrap 1,91 0,46 [1,10;2,80]
Prof. Caio Azevedo
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Motivacao Exemplos Exemplos
Teste de Hipotese
Estabeleca as hipoteses de interesse H0,H1.
Escolha uma estatıstica do teste (digamos T) apropriada.
Observacao: Nao e necessario conhecer a distribuicao da estatistica
sob H0.
Calcule o valor observado da estatıstica tobs .
Gere R amostras da distribuicao sob H0.
Para cada amostras, calcule t∗r , r = 1, ...,R.
Calcule a proporcao de vezes que os valores t∗r foram “mais
extremos” que tobs .
Rejeite H0 de acordo com o nıvel de signficancia α.
Prof. Caio Azevedo
Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Observacao
“Mais extremo”, depende de H1.
Para H0 : θ = θ0 vs H1 : θ < θ0, mais extremo signfica menor.
Para H0 : θ = θ0 vs H1 : θ > θ0, mais extremo signifca maior.
Para H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0, mais extremo significa
|bootstrap| > |observado|.
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Motivacao Exemplos Exemplos
Cont. Exemplo: Poisson
Suponha que queiramos testar H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0, θ e a
media da Poisson.
Definse a estatıstica T = X−θ0√X/n
. Valor observado t = −0, 324 (para
θ0 = 2).
Gera-se R vezes amostras (bootstrap nao parametrico) e calcula-se
T para cada amostra t∗1 , ..., t∗R .
Dois p-valores p1 =∑R
r=1 11(|t∗r |>|t|)R e p2 =
∑Rr=1 11(|t∗r |>|t|)+1
R+1 .
p1 = 0, 7642 e p2 = 0, 7642.
Prof. Caio Azevedo
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Motivacao Exemplos Exemplos
Teste de ajuste a uma distribuicao
Seja X = (X1, ...,Xn) uma amostra iid, supostamente de X ∼ F ().
Seja F1() uma outra FDA.
Para H0 : F = F1 vs H1 : F 6= F1.
Repetir o processo acima usando a estatıstica
D = max(Fn(x)− F (x)), em que Fn() e fda empırica.
Outas estatısticas podem ser usadas.
No exemplo da Poisson, H0 : F ∼ Poisson(1, 9), p1 = 0, 5526 e
p2 = 0, 5527
Prof. Caio Azevedo
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Motivacao Exemplos Exemplos
Exemplo: Correlacoes entre notas, Matematica e Musica
Dados relativos as notas de n = 12 criancas em testes de
Matematica e musica.
Matematica: x = (60, 58, 73, 51, 54, 75, 48, 72, 75, 83, 62, 52).
Musica: y = (80, 62, 70, 83, 62, 92, 79, 88, 54, 82, 64, 69).
Objetivos, fazer inferencias sobre ρ = correlacao(X ,Y ).
Testes parametricos baseados na correlacao de Pearson amostral e
testes nao-parametricos baseados nas correlacoes de Kendall e
Spearman.
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Motivacao Exemplos Exemplos
Histograma das amostras bootstraps
correlacao amostral
valores
de
nsi
da
de
−0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
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Motivacao Exemplos Exemplos
Resultados
Estimativas intervalares e pontuais: ρ = 0, 169(0, 300).
Metodo IC(95%)
Normal [-0,422; 0,754 ]
Basico [-0,365; 0,808 ]
Percentil [-0,470;0,703 ]
BCa [-0,572;0,652]
Prof. Caio Azevedo
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Motivacao Exemplos Exemplos
Teste de nulidade H0 : ρ = 0 vs H1 : ρ 6= 0
p-valores: 0,5992(Pearson) ; 0,6793 (Kendall) ; 0,6635 (Spearman).
p-valor bootstrap via estatıstica ρ√n−2√1−ρ
: 0,7250.
Prof. Caio Azevedo
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Motivacao Exemplos Exemplos
Exemplo: Modelo linear generalizado
Seja Yi ∼ gama(µi , φ), i = 1, ..., n, independentes,
E(Yi ) = µi = exp(X′iβ),V(Yi ) = µi
φ .
Estimar (β, φ).
Hipoteses de interesse H0 : βj = 0 vs H1 : βj 6= 0; H0 : φ = 1 vs
H1 : φ 6= 1.
Conjuntos de dados relativos ao desempenho de 5 tipos de turbina
de aviao. Tempo (em unidade de milhoes de cilcos) ate a perda de
velocidade.
Prof. Caio Azevedo
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Motivacao Exemplos Exemplos
Boxplot dos dados das turbinas
●
●
1 2 3 4 5
51
01
52
02
5
tipo de turbina
tem
po
Prof. Caio Azevedo
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Motivacao Exemplos Exemplos
Analise descritiva
Medidas descritivas.
Tipo Media DP CV(%) Min Max
1 10,69 3,27 30,58 3,03 16,84
2 6,05 2,46 40,66 3,19 12,75
3 8,64 2,94 34,03 3,46 13,41
4 9,80 3,13 31,95 5,88 25,46
5 14,71 3,83 26,08 6,43 21,51
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Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Analise Inferencial
Modelo: Yij ∼ gama(µi , φ), i = 1, 2, 3, 4, 5, j = 1, 2, ..., 10
µi = µ+ αi , α1 = 0
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Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Analise Inferencial
Estimativas de maxima verossimilhanca.
Parametro Est. EP Wald p-valor (t)
µ 2,37 0,14 16,42 < 0,0001
α2 -0,57 0,20 -2,79 0,0076
α3 -0,22 0,20 -1,05 0,3006
α4 -0,09 0,20 -0,43 0,6704
α5 0,32 0,20 1,56 0,1254
φ = 5, 81(1, 13), [3, 59; 8, 01]
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Motivacao Exemplos Exemplos
Analise Inferencial Bootstrap
Estimativas de maxima verossimilhanca (bootstrap).
Parametro Est. EP IC(%95)
µ 2,36 0,15 [2,04;2,62]
α2 -0,58 0,21 [-0,96;-0,16]
α3 -0,22 0,19 [-0,58;0,18]
α4 -0,10 0,23 [-0,51;0,38]
α5 0,32 0,18 [-0,02;0,68]
φ = 6, 85(1, 73), [4, 52; 11, 19]
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Motivacao Exemplos Exemplos
Verificacao do ajuste do modelo
Resıduos componente do desvio: sob as validades do modelo devem
apresentar distribuicao aproximadamente normal padrao.
Comparar os quantis dos resıduos, com os resıduos teoricos da
N(0,1).
Visualmente, muitas vezes, e complicado avaliar a proximidade dos
quantis.
Solucao: criar bandas de confianca empıricas.
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Motivacao Exemplos Exemplos
Grafico QQplot
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−2 −1 0 1 2
−4
−3
−2
−1
01
23
Normal Q−Q Plot
Percentis da N(0,1)
Co
mp
on
en
te d
o D
esv
io
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Motivacao Exemplos Exemplos
Procedimento para a construcao do grafico de envelope
1 Ajustar o modelo de regressao, obtendo as estimativas β, φ e os
resıduos componente do desvio, r1, ..., rn.
2 Com as estimativas originais, obtidas no passo 1, gerar n valores,
Y ∗1 , ...,Y∗n , ajustar novamento o modelo de regressao e calcular os
resıduos componenente do desvio.
3 Repetir o passo 2, m vezes, obtendo-se assim,
r∗ij , i = 1, ..., n; j = 1, ...,m
4 Colocamos cada grupo de n resıduos em ordem crescente,
r∗(i)j , i = 1, ..., n; j = 1, ...,m
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Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Continuacao
1 Para cada um dos m grupos, obtemos os limites r∗(i)I = minj r∗(i)j e
r∗(i)S = maxj r∗(i)j . Assim, os limites correspondentes ao i-esimo
resıduo serao dados por r∗(i)I e r∗(i)S .
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Metodos de reamostragem
Motivacao Exemplos Exemplos
Grafico QQplot com bandas de confianca
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−2 −1 0 1 2
−3
−2
−1
01
2
Normal Q−Q Plot
Percentis da N(0,1)
Co
mp
on
en
te d
o D
esv
io
Normal Q−Q PlotNormal Q−Q PlotNormal Q−Q Plot
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