algebra a

EΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΦΡΑΝΤΖΕΣΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

1

Σύνολα

Ορισμός κατά Cantor: Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων,που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανοησή μας,είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Τα αντικείμενα αυτά ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου.

Παρατήρηση: Συμωνα με τον παραπάνω ορισμό,τα στοιχεία ενός συνόλου πρέπει να είναι:

· διακεκριμένα,δηλαδή κάθε στοιχείο του συνόλου να είναι διαφορετικό από τα άλλα,

· καλά ορισμένα,δηλαδή όταν έχουμε ένα σύνολο και ένα στοιχείο,να μπορούμε να απαντήσουμε αν το στοιχείο αυτό ανήκει ή όχι στο σύνολο.

Συμβολισμοί

1. Ένα σύνολο συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα,ενώ τα στοιχεία του με μικρά γράμματα.

2. Για να δηλώσουμε ότι ένα στοιχείο χ ανήκει σε ένα σύνολο Α,γράφουμε: χεΑ

3. Για να δηλώσουμε ότι ένα στοιχείο χ δεν ανήκει σε ένα σύνολο Α,γράφουμε: χ Ï Α

4. Σύνολο Φυσικών Αριθμών: ¥

Σύνολο Ακέραιων Αριθμών:

Σύνολο Ρητών Αριθμών: ¤

Σύνολο ‘Αρρητων Αριθμών: _¤

Σύνολο Πραγματικών Αριθμών: ¡

Παράσταση Συνόλου

A. Με αναγραφή των στοιχείων του: · Γράφουμε όλα τα στοιχεία ανάμεσα σε δύο άγκιστρα,από μία φορά το

καθένα,χωριζοντάς τα με κόμμα. · Όταν ένα σύνολο έχει πολλά ή άπειρα στοιχεία,τότε γράφουμε μερικά

μόνο από αυτά.αποσιωπώντας τα υπόλοιπα,αρκεί να είναι σαφές ποια είναι τα στοιχεία που παραλείπονται.


2

π.χ Το σύνολο των περιττών φυσικών: Α={1,3,5,7,9,11,.......}

Το σύνολο των ακεραίων από το 1 μέχρι το 100: Β={1,2,3,4,5,6,.....,100}

B. Με περιγραφή των στοιχείων του: Αντί να γράφουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου,συνήθως περιγράφουμε μία ιδιότητά τους.Συγκεκριμένα,αν από ένα σύνολο Ω επιλέξουμε τα στοιχεία

εκείνα που έχουν μία ορισμένη ιδιότητά τους Ι,τότε δημιουργούμε το σύνολο: {χεΩ/χ έχει την ιδιότητα Ι}

π.χ Το σύνολο των άρτιων: Α={χε¢ /χ είναι άρτιος}

Το σύνολο των ρητωών απο το 1 μέχρι το 10: Β={χε¤ /1≤χ≤10}

‘Ισα Σύνολα

Δύο σύνολα Α,Β ονομάζονται ίσα όταν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία: Α=Β

Κενό Σύνολο:

Το σύνολο που δεν περιέχει κανένα κοινό σημείο.Συμβολίζεται Æ ή { }.

Υποσύνολο ενός Συνόλου

Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β,όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β.Συμβολισμός ΑÍΒ.

Συνέπειες του παραπάνω ορισμού είναι:

· ΑÍΑ για κάθε σύνολο Α. · Αν ΑÍΒ και ΒÍΓ ,τότε ΑÍΓ. · Αν ΑÍΒ και ΒÍΑ ,τότε Α=Β. · Αν ΑÍΒ και Α ÷ Β,τότε το Α λέγεται γνήσιο υποσύνολο του Β και

συμβολίζεται Α Ì Β. · Ισχύει ¥ Í ¢ Í ¤ Í ¡


3

‘Ενωση Δύο Συνόλων:

Α È Β={χεΩ/χεΑ ή ΧεΒ} Η ένωση δύο συνόλων είναι το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία και των δύο συνόλων μαζί.Κάθε στοίχείο πέριέχεται μία φορά ακόμα και αν ανήκει και στα δύο σύνολα.

Για την ένωση των συνόλων ισχύουν οι ιδιότητες:

· Α È Æ =Α και ΑÈ Α=Α. · Α È Β=Β È Α (αντιμεταθετική ιδότητα). · (ΑÈ Β) È Γ=Α È (ΒÈ Γ)=Α È ΒÈ Γ (προσεταιριστική ιδιότητα). · ΑÍΑÈ Β και ΒÍΑ È Β. · Αν ΑÍΒ,τότε ΑÈ Β=Β.

Τομή Δύο Συνόλων

Α Ç Β={χεΩ/χεΑ και χεΒ} Η τομή δύο συνόλων είναι το σύνολο εκείνο που αποτελείται μόνο από τα κοινά στοιχεία και των δύο συνόλων.

Για την τομή των συνόλων ισχύουν οι ιδιότητες:

· Α Ç Æ =Α και Α Ç Α=Α. · Α Ç Β=Β Ç Α (αντιμεταθετική ιδότητα). · (ΑÇ Β)Γ=Α(ΒÇ Γ)=Α Ç ΒÇ Γ (προσεταιριστική ιδιότητα). · Α Ç ΒÍΑ και ΑÇ ΒÍΒ. · Αν ΑÍΒ,τότε ΑÇ Β=Α. · Αν ΑÇ Β=Æ ,τότε τα σύνολα Α,Β ονομάζονται ξένα μεταξύ τους.


4

Συμπλήρωμα Συνόλου

Α’={χεΩ/χÏ Α} Το συμπλήρωμα τουΑ(ή συμπληρωματικό) είναι εκείνο το σύνολο

που περιέχει όλα τα στοιχεία του βασικού συνόλου Ω που δεν περιέχονται στοΑ

Για τα συμπληρωματικά σύνολα ισχλυουν οι ιδιότητες:

· Ω’= Æ και Æ ΄=Ω. · Α Ç Α’=Æ και ΑÈ Α’=Ω. · (Α’)’=Α.

Διαφορά Συνόλων

Α-Β={χεΑ/χÏ Β} και Β-Α={χεΒ/χÏ Α} Η διαφορά δύο συνόλων είναι εκείνο το

σύνολο που τα στοιχεία του ανήκουν στο ένα από τα δύο σύνολα αλλά δεν ανήκουν στο άλλο.


5

Θέματα για Λύση

1.Να παρασταθούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα:

ι) { }/ 2 5A c c= Î £¥ p ιι) { }/ 3 2c cB = Î -¢ p p ιιι) { }2/ 9c cG = Î =¢

ιν) { }2/ 4c cD = Î =¥ ν) { }2/ 2 6 0c c cE = Î + - =¥

2.Ομοίως:

ι) { }/ 1 3c cA = Î -¥ p ιι) { }/ 2 5c cB = Î + £¥ ιιι) { }/ 3 5 1c cG = Î + =¢

ιν) { }3/16 9 0c c cD = Î - =¤

3.Δίνεται η παράσταση : 2 2 2( ) ( 25)(4 9)( 2)c c c cR = - - -

Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα:

ι) { }/ ( ) 0c cA = ÎÂ R = ιι) { }/ ( ) 0c cB = Î R =¤ ιιι) { }/ ( ) 0c cG = Î R =¢

ιν) { }/ ( ) 0c cD = Î R =¥

4.’Εστω βασικό σύνολο { }1,2,3,4,5W= και τα υποσύνολα { }1,2,3A = και { }3,4B =

.Να βρείτε τα σύνολα:

AÈB , AÇB , ΄B , ( ) 'AÈB , ( ) 'AÇB , 'A ÇB , 'AÇB

5.Δίνονται τα σύνολα { }1,2,3,4,5A = , { }4,5,6,7B = , { }1,4,7G = .Να βρείτε τα

σύνολα: AÈB , AÈG , BÇG , ( )AÇB ÈG , ( )AÇG ÇB , ( )AÈB ÇG

6.Να βρείτε τα σύνολα AÈB και AÇB στις παρακάτω περιπτώσεις:

ι)Α=[1,4] και Β=(3,5) ιι)Α=[2,7] και Β=[7,10] ιιι)Α=[-1,2] και Β=(2,3)

ιν)Α=[-3,1] και Β=(-1,1)

7.Δίνονται τα σύνολα Α={l Î¥ / η εξίσωση 2χ -4χ+λ+1=0 έχει πραγματικές ρίζες}

και Β={l Î¡ /η εξίσωση 2χ +(λ+1)χ+2λ-1=0 έχει μία διπλή ριζα}.ι) Να βρείτε τα

σύνολα AÈB και AÇB ιι)Με βασικό σύνολο το Ω={0,1,2,3,4,5} να βρείτε τα σύνολα Α’, Α’È Β’ , ΑÇ Β’ και (ΒÇ Α’)’ .


6

Πιθανότητες

Πείραμα Τύχης: ονομάζεται κάθε πείραμα το οποίο όσες φορές κι αν το επαναλάβουμε κάτω από τις ίδιες συνθήκες δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτελεσμά του.

π.χ η ρίψη ενός κέρματος,η ρίψη ενός ζαριού,η κλήρωση του τζόκερ κ.τ.λ.

Δειγματικός Χώρος Ω: ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων που μπορούν να εμφανιστούν κατά την εκτέλεση του πειράματος.Δηλαδή

Ω={ω1,ω2,.....,ων}

όπου ω1,ω2,.....,ων τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος τύχης.

π.χ στην ρίψη ενός κέρματος Ω={Κ,Γ} όπου Κ:κορώνα και Γ:γράμματα

στην ρίψη ενός ζαριού Ω={1,2,3,4,5,6}

Ενδεχόμενο ή Γεγονός: ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία του ένα ή περισσότερα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος.

Παρατήρηση:

· Κάθε ενδεχόμενο είναι υποσύνολο του δειγματικού χώρου του πειράματος. · Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος σε μία συγκεκριμένη εκτέλεση του

είναι στοιχείο του ενδεχομένου,τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο πραγματοποιείται ή συμβαίνει.Γι’αυτό τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται και ευνο’ι’κές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του.

π.χ στη ρίψη ενός ζαριού τα σύνολα Α={1} ,Β={2,4} ,Γ={1,3,5} απότελούν ενδεχόμενα του πειράματος.

Απλό Ενδεχόμενο: ονομάζεται το ενδεχόμενο που έχει ένα μόνο στοιχείο,ενώ σύνθετο όταν έχει περισσότερα από ένα στοιχεία.

π.χ στο παραπάνω παράδειγμα το ενδεχόμενο Α είναι απλό ενώ τα Β και Γ σύνθετα.


7

Βέβαιο Ενδεχόμενο: ονομάζεται το ενδεχόμενο που πραγματοποιείται πάντα και ταυτίζεται με το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος.

π.χ στη ρίψη ενός κέρματος το ενδεχόμενο Α={Κ,Γ} είναι βέβαιο(αφού ρίχνοντας το ζάρι θα φέρουμε ή κορώνα ή γράμματα)

Αδύνατο Ενδεχόμενο: ονομάζεται το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται ποτέ και ταυτίζεται με το κενό σύνολο Æ .

π.χ στην ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο Α={7} είναι αδύνατο.

Ενδεχόμενα και Διαγράμματα Venn

Aν Α Ç Β= Æ τα ενδεχόμενα Α,Β ονομάζονται ασυμβίβαστα ή ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα.


8

Θέματα για Λύση 1.Σε ένα κουτί υπάρχουν δύο μαύρες και δύο κόκκινες σφαίρες.Βγάζουμε διαδοχικά(χωρίς επανατοποθέτηση)μία μία τις σφαίρες μέχρι να βρούμε : α)μία μαύρη σφαίρα, β)και τις δύο μαύρες σφαίρες. Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος και στις δύο περιπτώσεις. 2.Ρίχνουμε πρώτα ένα νόμισμα και μετά ένα ζάρι.Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. 3.’Εστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω.Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να εκφράσετε με την βοήθεια των συνόλων τα ενδεχόμενα: ι)δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α,Β. ιι)δεν πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα Α και Β. ιιι)πραγματοποιείται το Α και όχι το Β. ιν)πραγματοποιείται το Β και όχι το Α. ν)πραγματοποιείται ένα μόνο από τα Α,Β 4.Ένα κιβώτιο έχει τρείς όμοιες ασφάλειες από τις οποίες οι δύο είναι ελλατωματικές.Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης στις παρακάτω περιπτώσεις: ι)Ελέγχουμε τις ασφάλειες μία προς μία,χωρίς επανατοποθέτηση,μέχρι να βρούμε την πρώτη ελλατωματική. ιι) Ελέγχουμε τις ασφάλειες μία προς μία,χωρίς επανατοποθέτηση,μέχρι να βρούμε όλες τις ελλατωματικές. 5.Ελέγχονται τρεις κινητήρες α,β και γ ενός αεροσκάφους και σημειώνεται για τον καθένα η ένδειξη (Κ),όταν ο κινητήρας έχει βλάβη.Να βρείτε: ι)τον δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης. ιι)τα ενδεχόμενα: Α:δύο ακριβώς κινητήρες δεν έχουν βλάβη. Β:δύο τουλάχιστον κινητήρες έχουν βλάβη. Γ:δύο το πολύ κινητήρες έχουν βλάβη. Δ:Το πολύ ένας κινητήρας έχει βλάβη. Ε:το πολύ ένας κινητήρας δεν έχει βλάβη. 6.Μία βιομηχανία ελέγχει τηλεοράσεις από την γραμμή παραγωγής με τη σειρά που εξέρχονται.Ο έλεγχος σταματά όταν βρεθούν δύο ελλατωματικές τηλεοράσεις ή όταν έχουν ελεγχθεί τέσσερις τηλεοράσεις.Να υπολογίσετε τα ενδεχόμενα: Κ:να βρεθεί ακριβώς μία ελλατωματική τηλεόραση. Λ:να βρεθούν ακριβώς δύο ελλατωματικές τηλεοράσεις. Μ:να βρεθούν δύο τουλάχιστον μη ελλατωματικές τηλεοράσεις. Ν:να βρεθούν το πολύ δύο μη ελλατωματικές τηλεοράσεις. 7.’Ενας αθλητής είναι μέλος ενός αθλητικού συλλόγου.Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α:ο αθλητής παίζει ποδόσφαιρο. Β:ο αθλητής παίζει μπάσκετ. Να διατυπώσετε περιφραστικά καθένα από τα παρακάτω ενδεχόμενα: ι)Α’ και Β’ ιι)Α È Β και Α Ç Β ιιι)Α-Β και Β-Α ιν)(ΑÈ Β)’ και (ΑÇ Β)’ ν)(Α-Β) È (Β-Α) νι)ΑÈ Β’ νιι)Α’È Β νιιι)Α’Ç Β’ .


9

8.Εξετάζουμε τις οικογένειες που έχουν τέσσερα παιδιά και καταγρ’αφουμε το φύλλο των παιδιών κατα σειρά ηλικίας τους.Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: τουλάχιστον ένα παιδί είναι αγόρι. Β:το πολύ δύο παιδιά είναι αγόρια. Γ:το πρώτο παιδί είναι αγόρι. ι)Να διατυπώσετε περιφραστικά τα ενδεχόμενα: α)Α’ β)Β’ γ)Γ’ δ) Α È Β ε) Α Ç Β στ) Α Ç Γ ζ) Β Ç Γ η) (ΑÈ Γ)’ ιι)Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος και στη συνέχεια να γράψετε τα παραπάνω ενδεχόμενα. 9.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β μπρεί να είναι ασυμβίβαστα. ι)Ένα τμήμα έχει 30 μαθητές,όπου οι 20 γνωρίζουν αγγλικά και οι 15 γαλλικά.Επιλέγουμε ένα μαθητή και θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Α:ο μαθητής ξέρει αγγλικά Β:ο μαθητής ξέρει γαλλικά ιι)Ένα τμήμα έχει 30 μαθητές,όπου το 40% ασχολείται με τον αθλητισμό και το 50% με την μουσική. Επιλέγουμε ένα μαθητή και θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Α:ο μαθητής ασχολείται με τον αθλητισμό Β:ο μαθητής ασχολείται με την μουσική. 10.Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης τέτοια ,ώστε Α ÍΒ,να αποδείξετε ότι: ι)ΑÇ Β=Α ιι)ΑÈ Β=Β ιιι)Α-Β=Æ ιν)Β’ÍΑ’ .


10

Η ‘Εννοια Της Πιθανότητας

Σχετική Συχνότητα fA: ενός ενδεχομένου Α ονομάζεται το πηλίκο kν ,όπου ν

είναι ο αριθμός εκτελέσεων του πειράματος και κ είναι ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές πραγματοποιήθηκε το ενδεχόμενο Α.

fA= kν

‘Εστω f1,f2,….,fλ ,οι σχετικές συχνότητες των ενδεχομένων {ω1},{ω2},.....{ωλ}

αντίστοιχα με f1=k1ν , f2= 2k

ν ,......., fλ= λkν ,τότε ισχύουν:

· 0≤ fi≤1 για κάθε i=1,2,…,λ

· λ

f=f +f +.....+fλi 1 2ι=1å

Κλασσικός Ορισμός Πιθανότητας ‘Εστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείτε από ισοπίθανα και απλά ενδεχόμενα.Ως πιθανότητα Ρ(Α) του ενδεχομένου Α ονομάζουμε το πηλίκο

πλήθος ευνο'ι'κών περιπτώσεων Ν(Α)Ρ(Α)= = Ν(Ω)πλήθος δυνατών περιπτώσεων

Συνέπειες του ορισμού

· 0≤ Ρ(Α)≤1 · Ρ(Æ )=0 · Ρ(Ω)=1

Αξιωματικός Ορισμός τηε Πιθανότητας ‘Εστω Ω={ω1,ω2,....,ων} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων.Σε κάθε απλό ενδεχόμενο {ωi}, i=1,2,……,ν,αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό,που τον συμβολίζουμε με Ρ(ωi),έτσι ώστε να ισχύουν:

· 0≤ Ρ(ωι)≤1 για κάθε i=1,2,…,ν

· v

P(ω )=1ii=iå

Τον αριθμό Ρ(ωι) τον ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου {ωι}. Ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α={α1,α2,....,ακ}÷ Æ , με κ≤ν,ορίζουμε το άθροισμα

Ρ(α1)+Ρ(α2)+....+Ρ(ακ) Ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ορίζουμε τον αριθμό Ρ(Æ )=0.


11

ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ · Ρ(Α È Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Ç Β) Προσθετικός Νόμος · Αν ΑÇ Β=Æ τότε Ρ(Α È Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) · Ρ(Α’)=1-Ρ(Α) · Αν Α ÍΒ τότε Ρ(Α)≤Ρ(Β) · Ρ(Α-Β)=Ρ(ΑÇ Β’)=Ρ(Α)-Ρ(ΑÇ Β) · Ρ(Β-Α)=Ρ(Α’Ç Β)=Ρ(Β)-Ρ(ΑÇ Β)

Τύποι De Morgan ‘Εστω Α,Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω,τότε ισχύουν οι ισότητες:

· (ΑÇ Β)’=Α’È Β’ · (ΑÈ Β)’=Α’Ç Β’


12

Θέματα για Λύση 1.Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι.Να βρείτε τις πιθανότητες των ενεχομένων: ι)Α:ηένδειξη να είναι άρτια ιι)Β:η ένδειξη να είναι περιττή ιιι)η ένδειξη είναι άρτια και ταυτόχρονα μεγαλύτερη του 4. 2.Από μία τράπουλα 52 φύλλων παίρνουμε ένα φύλλο στη τύχη.Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: ι)Α: το φύλλο να είναι κόκκινο ιι)Β:το φύλλο να είναι άσσος ιιι)Γ:το φύλλο σεν είναι άσσος ιν)το φύλλο είναι κόκκινο και δεν είναι άσσος. 3.Σε ένα κουτί έχουμε 4 πράσινες,10 κόκκινες και 6 άσπρες σφαίρες.Αν πάρουμε μία σφαίρα στην τύχη,να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: ι)Α:η σφαίρα είναι κόκκινη ιι)Β:η σφαίρα δεν είναι πράσινη ιιι)Γ:η σφαίρα είναι κόκκινη ή δεν είναι πράσινη 4.Aπό τις οικογένειες 30 μαθητών μίας τάξης,25 έχουν βίντεο,5 έχουν DVD και 4 έχουν και βίντεο και DVD.Επιλέγουμε τυχαία μία οικογένεια.Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: ι)Α:η οικογένεια έχει μόνο βίντεο. ιι)Β:η οικογένεια έχει μόνο βίντεο ή μόνο DVD. ιιι)Γ:η οικογένεια έχει μία τουλάχιστον συσκευή. ιν)Δ:η οικογένεια δεν έχει καμία συσκευή. 5.Από τους επιβάτες ενός λεωφορείου οι 12 είναι άνδρες και οι 18 γυναίκες.’Εξι από τους άνδρες και οκτώ από τις γυναίκες είναι πάνω από 40 ετών.Επιλέγουμε τυχαία έναν επιβάτη του λεωφορείου.Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: ι)Α:ο επιβάτης είναι πάνω από 40 χρονών. ιι)Β:ο επιβάτης είναι κάτω από 40 χρονών. ιιι)Γ:ο επιβάτης είναι άνδρας. 6.Ένα δείγμα 50 οικογενειών ρωτήθηκε ως προς τον αριθμό των παιδιών τους.Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Αριθμός Παιδιών

0 1 2 3 4 5 ή περισσότερα

Αριθμός Οικογενειών

6 14 13 9 5 3

Επιλέγουμε τυχαία μία από τις 50 οικογένειες.Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: ι)Α: η οικογένεια δεν έχει παιδιά. ιι)Β: η οικογένεια έχει παιδιά αλλά όχι περισσότερα από 3. ιιι)Γ: : η οικογένεια έχει περισσότερα από 3 παιδιά. ιν)Δ: η οικογένεια δεν έχει 3 ή 4 παιδιά. ιν)Ε: η οικογένεια έχει λιγότερα από 2 ή περισσότερα από 4 παιδιά. 7.Μία κληρωτίδα περιέχει 50 κλήρους αριθμημένους από το 1 εως το 50.Τραβάμε τυχαία ένα κλήρο.Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: ι)Α: ο αριθμός να είναι πολλάπλάσιος του 6 ή του 4.


13

ιι)Β:ο αριθμός να είναι πολλαπλάσιος μόνο του 6 ή μόνο του 4. 8.Για την εισαγωγή ενός υποψηφίου σε κάποια αρχιτεκτονική σχολή είναι απαραίτητο να επιτύχει στις γραπτές εξετάσεις σε εννέα πανελλαδικά μαθήματα,καθώς και στο σχέδιο.Θεωρούμε τα επόμενα ενδεχόμενα: Α:να επιτύχει στις γραπτές εξετάσεις Β:να επιτύχει στο σχέδιο

με πιθανότητες Ρ(Α)= 14

και Ρ(Β)= 13

αντίστοιχα.Αν η πιθανότητα να αποτύχει

και στις γραπτές εξετάσεις και στο σχέδιο είναι ίση με 35

,να βρείτε τις

πιθανότητες των ενδεχομένων: ι) ο υποψήφιος αποτυγχάνει στα γραπτά. ιι)ο υποψήφιος αποτυγχάνει στο σχέδιο. ιιι)ο υποψήφιος επιτυγχάνει μόνο στα γραπτά. ιν) ο υποψήφιος επιτυγχάνει μόνο στο σχέδιο. ιν)ο υποψήφιος δεν καταφέρνει να εισαχθεί σε κάποια αρχιτεκτονική σχολή. 9.’Εστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω .Αν Ρ(Α’)=λΡ(Β) και

Ρ(Β’)=λΡ(Α),όπου λε * {1},∗¡ ,να αποδείξετε ότι Ρ(Α)=Ρ(Β)= 1

λ+1.

10.’Εστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω.Να αποδείξετε ότι: ι)Ρ(ΑÇ Β)≤Ρ(Α) ιι)Ρ(ΑÇ Β)≤Ρ(ΑÈ Β) 11.Έστω Ρ(Α’)≤0,28 και Ρ(Β’)≤0,71.Να αποδείξετε ότι : ι) Ρ(ΑÇ Β)≤1,01-Ρ(ΑÈ Β) ιι)τα ενδεχόμενα Α,Β δεν είναι ξένα. 12.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω που αποτελείται από 2004 στοιχεία,τα οποία είναι ισοπίθανα.Θεωρούμε τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α’ του Ω,με 0<Ρ(Α)<1.

ι)Να αποδείξετε ότι Ρ(Α) 14 5Ρ(Α') Ρ(Α)∗ ″ .

ιι)Αν στη σχέση του ερωτήματος (ι) ισχύει η ισότητα,τότε: α)να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Α, β)αν κάποιο ενδεχόμενο Β του Ω έχει 1453 στοιχεία,να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα. 13.’Εστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)=0,6 και Ρ(Β)=0,8. ι)Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. ιι)Να αποδείξετε ότι: α) Ρ(ΑÈ Β) ≥0,6 β) Ρ(ΑÇ Β)≤0,8 γ) Ρ(ΑÇ Β)≥0,4. 14.Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι Ω={α,β,γ,δ,ε}.

ι)Αν Ρ(α)=Ρ(β) = 1

12 ,Ρ(γ)= 41 και Ρ(δ)= 3

1 ,να βρείτε την πιθανότητα Ρ(ε).

ιι)Αν Ρ(α)=2Ρ(β), Ρ(β)=2Ρ(γ), Ρ(γ)=2Ρ(δ) και Ρ(δ)=2Ρ(ε), να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α={α,γ,ε} και Β={β,γ,δ}. 15. ’Εστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α’)=0,5 και Ρ(Β’)=0,3.Να αποδείξετε ότι: ι)0,2≤ Ρ(ΑÇ Β)≤0,5 ιι)0,7 ≤Ρ(ΑÈ Β) ≤1 ιιι)Ρ(Α’Ç Β’)≤0,4 ιν) 0,2≤ Ρ(Β-Α)≤0,5 .


14

ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Αντιμεταθετικη α+β=β+α αβ=βα

Προσεταιριστικη α+(β+γ)=(α+β)+γ α(βγ)=(αβ)γ

Επιμεριστικη α(β+γ)=αβ+αγ α(β+γ)=αβ+αγ

Ουδετερο Στοιχειο α+0=α α1=α

Αντιθετος - Αντιστροφος Αριθμος

α+(-α)=0 1a

a =1 με α ÷0

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ

a γ1. = αδ=βγ , (β,δ 0)β δ

Û ÷

a γ α β2. = = , (β ,γ,δ 0)β δ γ δ

Û ÷

a γ α+β γ+δ3. = = , (β,δ 0)β δ β δ

Û ÷

a γ α γ α+γ4 . = τότε = = , (β ,δ , (β+δ ) 0)β δ β δ β+δ

÷

a γ α+β γ+δ5. = τότε = , (β,δ , 0,α β και γ δ)β δ α-β γ-δ

÷ ÷ ÷


15

ΔΥΝΑΜΕΙΣ

Ορισμος : Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικος τότε

ν

α α α ........ α , ν 2α = α ,ν=1

1 ,ν=0

ì × × × ″ïïïïíïïïïî

Προσοχή : Αν α=0 τότε η δύναμη 00 δεν ορίζεται (είναι απροσδιόριστη μορφή).

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

μ ν μ+να α =α× μ μ μα β =(α β )× × μ

μ-νν

α =αα

μ ν μ ν(α ) = α ×

ν ν

να α=β β

æ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø -ν

ν1α = με α 0α

÷

μμννα = α με α 0 ή α και μ άρτιος″ Î Â

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Ορισμός: Ταυτότητα ονομάζεται η ισότητα που επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

2 2 21.(α+β ) =α +2αβ +β

2 2 22.(α-β) =α -2αβ+β

3 3 2 2 33.(α+β) =α +3α β+3αβ +β

3 3 2 2 34.(α-β) =α -3α β+3αβ -β

2 25.(α-β )(α+β )=α -β


16

2 2 2 26.(α+β+γ) =α +β +γ +2αβ+2αγ+2βγ

3 3 2 27.α +β =(α+β )(α -αβ+β )

3 3 2 28 .α -β = (α -β )(α +αβ +β ) ν ν ν-1 ν-2 ν-3 2 ν-19.α -β =(α-β )(α +α β+α β +.......+β )

ν ν ν-1 ν-2 ν-3 2 ν-2 ν-110.α +β =(α-β)(α -α β+α β -.......-αβ +β ) ισχύει μόνο όταν ν περιττός

ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ

Ορισμός: Παραγοντοποίηση ονομάζεται η διαδικάσια με την οποία μετατρέπουμε μία αλγεβρική παράσταση σε γινόμενο παραγόντων.

1.ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ

‘Οταν θέλουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα κάποιον αριθμό,αυτός είναι ο Μ.Κ.Δ όλων των συντελεστών που έχουν τα μονωνυμά μας.Στην περίπτωση που θέλουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα μεταβλητή τότε αυτή πρέπει να υπάρχει σε όλα τα μονώνυμα και κοινό παράγοντα παίρνουμε την μικρότερη δύναμη της μεταβλητής.Πολλές φορές κοινό παράγοντα βγάζουμε και το πρόσημο (-).

2.ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ

‘Οταν όλοι οι όροι δεν έχουν κοινό παράγοντα τους χωρίζουμε σε ομαδες (οι ομάδες πρέπει να έχουν το ίδιο πλήθος όρων) και από κάθε όμαδα βγάζουμε κοινο παράγοντα με τρόπο τέτοιο ώστε όλες οι ομάδες που παραγοντοποιήσαμε να έχουν μεταξύ τους κοινό παράγοντα.Στο τέλος βγάζουμε κοινό παράγοντα από όλες τις ομάδες.

3.ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

Σ’αυτήν την περίπτωση χρησιμοποιούμε την ταυτότητα

2 2(α-β)(α+β)=α -β

4.ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Σ’ αυτην την περίπτωση χρησιμόποιούμε τις γνωστές μας ταυτότητες,με πιο συνηθισμένες τις:

2 2 2(α+β ) =α +2αβ +β και 2 2 2(α-β ) =α -2αβ+β


17

5.ΑΘΡΟΙΣΜΑ-ΔΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ

Σ’ αυτην την περίπτωση χρησιμόποιούμε τις γνωστές μας ταυτότητες:

3 3 2 2α +β =(α+β )(α -αβ+β ) και 3 3 2 2α -β =(α-β )(α +αβ+β )

6.ΤΡΙΩΝΥΜΟ

α)Αν το τριώνυμο έχει την μορφή 2x +(a+β)χ+α β× δηλαδή ο όρος 2x δεν έχει

συντελεστή,τότε βρίσκουμε 2 αριθμούς που να έχουν άθροισμα (α+β) (δηλαδή τον συντελεστή του χ ,μαζί με το προσημό του) και γινόμενο αβ (δηλαδή τον σταθερό όρο) και το τριώνυμο παραγοντοποιείται ως εξής:

2x +(a+β)χ+α β× =(χ+α)(χ+β)

β)Αν το τριώνυμο έχει την μορφή 2αx +βχ+γ τότε βρίσκουμε τις ρίζες τους και αν:

· ‘Εχει 2 ρίζες 1 2χ ,χ γίνεται : 2αx +βχ+γ =α(χ- 1χ )(χ- 2χ )

· ‘Εχει μία ρίζα 1χ γίνεται : 2αx +βχ+γ = 21α (χ - χ )

· Αν δεν έχει ρίζες τότε δεν παραγοντοποιείται.


18


1.Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτς παραστάσεις:

ι) 3 2 2a b a b+ ιι) 2 5 2 3 46 3y yc w c w- ιιι) 3 25 8 5 8c c c- + - ιv) 3 25 8 5 8c c c- + -

v) 3 2 2 3y y yc c c- + - νι) 8 4x y- νιι) 2 4 664 36x y w- νιιι) 38 27x + ιχ) 324 3a -

χ) 4 4ab a b+

2.Ομοίως: ι) 236 12 1a a+ + ιι) 29 12 4w w- + ιιι) 24 8 4c c- + ιν) 4 2 29 6 1y x yc + +

ν) 2 7 12x x+ + νι) 2 5 4x x- + νιι) 2 5 6x x- - νιιι) 24 24 28x x- - + ιχ) 23 12 15x x- - χ) 2 30x x+ -

3.Ομοίως: ι) 3 24 ( )a a b g- - ιι) 5 3 28 8c c c- + - ιιι) 2 2 2 2a b g bg- - +

ιν) 2 2 3 3 2a b a b ab+ + + + ν) 2 2( 9) 6 9c c c- - - - νι) 3 3 3 3 1c a c a+ - -

4.Αν ο αριθμός χ2 είναι άρρητος να αποδείξετε ότι και ο χ είναι άρρητος.

5.Ο αριθμός α είναι ακέραιος,να αποδείξετε ότι:

α)αν ο αριθμός (α+3)2 είναι άρτιος,τότε ο αριθμός α είναι περιττός.

β)αν οαριθμός (α-6)2 είναι άρτιος,τότε και ο αριθμός α είναι άρτιος.

6.Αν ισχύει ότι α(α-3)+β(β+3)=2αβ,να αποδείξετε ότι α=β ή α-β=3.

7.Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

ι) 23α 3

24 4

ab

ab b

+

+ ιι) 22 6

2 2 312 4

b ab

a b ab

-

- ιιι) 3 320 20

2 215 15 15

y

x xy y

c -

+ + ιν) 2 5 62 6 9

x

x x

c - +

- +

ν) 2 22 824 8

y

x y x

c -

+

8. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:


19

ι) 2 2χ +χ χ +5χ+6

Α= 2 2χ -4 χ -1× ιι)

2 2χ +y +2xy Β= 2 2x -y ιιι)

2 2α +4α+4 a +2a Γ= : 2 2αχ-αy a x-a y

ιν) 2 3χ -8χ+16 x -16xΔ= :2 2 2x +2xy+yαχ +αχy


20

ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Ορισμός: Ο αριθμός α είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό β,συμβολικά α>β ,όταν η διαφορά α-β είναι θετικός αριθμός.Δηλαδή:

α>β Û α-β>0

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

1. Αν α>β και β>γ τότε και α>γ Μεταβατική ιδιότητα 2. Αν α>β τότε α° γ>β° γ

Δηλαδή: Μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε και στα δύο μέλη της ανίσωσης τον ίδιο αριθμό και η φορά της να μην αλλάξει.

3. Αν α>β και γ>ο τότε aγ>βγ

α β>γ γ

ìïïïíïïïî

ενώ αν γ<ο aγ<βγα β<γ γ

ìïïïíïïïî

Δηλαδή: Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα μέλη μιάς ανίσωσης με θετικό αριθμό η φορά της ανίσωσης δεν αλλάζει,ενω με αρνητικό αριθμό αλλάζει.

4. Αν α>β και γ>δ τότε α+γ>β+δ Δηλαδή: Δύο ανισώσεις ομόστροφες (της ίδιας φοράς) μπορούμε να τις προσθέσουμε και η φορά να παραμείνει ίδια.

5. Αν α>β και γ>δ και α,β,γ,δ>ο τότε αγ>βδ Δηλαδή: Δύο ανισώσεις μπορούμε να τις πολλαπλασιάσουμε κατά μελη αν είναι ομόστροφες και αν εχουν θετικά μελη.

6. ν να > β α > β αν α,β>οÛ

Απόδειξη Ανισοτήτων

· 1ος Τρόπος Ξεκινάμε από την ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε,μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος και προσπαθούμε να σχηματίσουμε τέλεια τετράγωνα ή να κάνουμε παραγοντοποίηση.Έτσι καταλήγουμε σε μία ανισότητα που προφανώς ισχύει. Προσοχή! Σε όλα τα παραπάνω πρέπει να δουλεύουμε με ισοδυναμίες. πχ: Να αποδείξετε ότι (χ2+1)(y2+4)≥(xy+2)2


21

Λύση Κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων και μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος : x2y2+4x2+y2+4≥x2y2+4xy+4 Û x2y2+4x2+y2+4-x2y2-4xy-4≥0Û 4x2+y2-4xy≥0Û (2x-y)2≥0 Iσχύει για κάθε χ,yε¡ .

· 2ος Τρόπος Χρησιμοποιούμε τις υποθέσεις της άσκησης και τις ιδιότητες των ανισοτήτων και προσπαθούμε να κατασκευάσουμε τη ζητούμενη ανισότητα.Συνήθως με αυτόν τον τρόπο χρειάζεται να προσθέσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη ανισότητες.

πχ: Αν ισχύει α>β>0,να αποδείξετε ότι 1 17 7a - >β -a β

Λύση Οι αριθμοί α,β είναι θετικοί άρα α>βÛ α7>β7 (1)

Οι αριθμοί α,β είναι ομόσημοι(και οι δύο θετικοί)άρα 1 1 1 1

α>β < - >-α β α β

Û Û (2)

Από (1)+(2) έχουμε : 1 17 7a - >β -a β

Παρατήρηση

Αν η ανίσωση περιέχει κλάσματα,δεν κάνουμε απαλοιφή παρονομάστων αν δεν είμαστε σίγουροι για το πρόσημό τους.

Απόδειξη Διπλής Ανίσωσης

Για να αποδείξουμε μία ανίσωση της μορφής Α≤Β≤Γ αποδεικνύουμε ξεχωριστά ότι

Α≤Β και Β≤Γ.

π.χ: Να αποδείξετε ότι 2 2 3 3α +β α -βαβ για α β2 α-β′ ′ ÷

Λύση

· 2 2α +β 2 2 2 2 2αβ 2αβ α +β α +β 2αβ 0 (α-β) 02′ Û ′ Û , ″ Û ″ Ισχύει

· 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2α +β α -β α +β (α-β)(α +αβ+β ) α +β 2 2α +αβ+β2 α-β 2 α-β 2′ Û ′ Û ′ Û

2- 0 (α-β) 02 2 2 2 2 2α +β 2α +2αβ+2β α 2αβ+β ″ Û ″′ Û Ισχύει.


22

Σύγκριση Δύο Αριθμών

Για να συγκρίνουμε δύο αριθμούς α,β μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

· Σχηματίζουμε την διαφορά τους α-β και προσπαθούμε να βρούμε το προσημό της.Στηριζόμαστε στις ιδιότητες:

1. Αν α-β>0 τότε α>β. 2. Αν α-β<0,τότε α<β. 3. Αν α-β=0 τότε α=β.

· Αν οι α,β είναι θετικοί μπορούμε να τους συγκρίνουμε σχηματίζοντας το πηλίκο αβ

,το οποίο συγκρίνουμε με τημ μονάδα.Στηριζόμαστε στις ιδιότητες:

1. Αν αβ

>1 τότε α>β.

2. Αν αβ

<1 τότε α<β.

3. Αν αβ

=1 τότε α=β.

Διαστήματα

· α≤χ≤β ↑ χε[α,β] · α<χ<β ↑ χε(α,β) · α≤χ<β ↑ χε[α,β) · α<χ≤β↑ χε(α,β] · χ≥α ↑ χε[α, +⁄ ) · χ>α ↑ χε(α,+ ⁄ ) · χ≤α ↑ χε(-⁄ ,α] · χ<α ↑ χε(-⁄ ,α)


23


1. ι)Αν 2a f και 1b p να αποδείξετε οτι 2 2ab b a+ +p ιι)Αν 3a -p και 2b p να αποδείξετε οτι 6 2 3ab a b- -f

2. ι) Αν ισχύει 3a bp p να δειχθεί οτι 9 3( )ab a b+ +p

ιι) Αν 2a b-p p να δειχθεί οτι 2 2 ( 2)a b a b- -f

ιιι) Αν 4a b -p p να δειχθεί οτι 24 (4 )b a b a- - p

3.Να αποδείξετε οτι:

ι) ( 4 ) (2 )a a b b a b+ ³ - ιι) ( ) ( 2 )b a b a a b ab- - - £

ιιι) ( )( ) (4 5 )a b a b b a b- + ³ - ιν) 24 ( 2 ) ( )b a b a b- £ -

4.Ομοίως: ι) 22( 1) ( 1) 8c c- ³ + - ιι) 2 225 2( 3) 8 (2 1)c c c- - ³ - +

ιιι)2( 2) 1

6 3 2c c+

³ + ιν)2( 5)2

2 8c c -³ -

5.Ομοίως: ι) 2 4 5 0a a- + f ιι) 22 10 25 0a a- + f ιιι) 2 1 0a a- + f

ιν) 4 27 16 0a a- + f

6.Να βρείτε τους αριθμούς α ,β για τους οποίους ισχύει :

ι) 2 2 20 4(2 )a b b a+ + £ - ιι) 2 2( 1) 4 3(2 3)a b a b+ + £ - + .

7.Αν ισχύει 1 2ap p και 3 2b- -p p να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή καθεμίας από τις παραστάσεις: ι) 4 3a b- ιι) 3 5a b+

ιιι) 2 2a b+ ν) 1 1a b- .


24

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ

Ορισμός: α , αν α 0α =

-α , αν α o

ì ″ïïíïïî p

Παρατήρηση: Γεωμετρικά η απόλυτη τιμή ενός αριθμού εκφράζει την απόσταση του αριθμού απο το μηδεν.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ 1. |χ|=|-χ| ″0 2. |χ| ″ χ και |χ| ″ -χ

3. |χ| 2 = χ 2 4. Αν θ>0 τότε χ =θ χ=θ ή χ=-θÛ

5. χ = θ χ = θ ή χ = -θÛ

6. |αβ|=|α| |β|

7. α α=β β

8. α - β α+β α + β′ ′ Τριγωνική Ανίσωση

9. χ θ -θ χ θ με θ>0′ Û ′ ′

10. χ θ χ θ ή χ -θ με θ>0″ Û ″ ′

Απόσταση δύο αριθμων α,β: d(α,β)=|α-β|=|β-α|

Απλοποίηση Παράστασης με Απόλυτες Τιμές

· ‘Οταν οι παραστάσεις που βρίσκονται μέσα στα απόλυτα διατηρούν σταθερό πρόσημο,τότε κάνουμε απαλοιφή των απολύτων χρησιμοποιώντας τον ορισμό.

ζ α , αν α 0α = -α , αν α<0

″

π.χ Να απλοποιήσετε την παράσταση Α=|-χ2-2|-|χ2-4χ+4|

Λύση

Παρατηρούμε ότι: -χ2-2=-(χ2+2)<0 και χ2-4χ+4=(χ-2)2≥0.

‘Αρα η παράσταση γίνεται Α=-(-χ2-2)-( χ2-4χ+4)= χ2+2- χ2+4χ-4=4χ-2.


25

· Αν έχουμε περιορισμούς για τις μεταβλητές,τότε προσπαθούμε να βρούμε το πρόσημο των παραστάσεων που βρίσκονται μέσα στα απόλυτα.Στη συνέχεια κάνουμε απάλοιφή των απολύτων,συμφωνα με τον ορισμό.

π.χ Αν ισχύει α<2<β,να απλοποιήσετε την παράσταση :

Α=|α-2|+|2β-4|-|α-β|-|3α-2β-4|

Λύση

· α<2 Û α-2<0 · β>2 Û 2β>4 Û 2β-4>0 · α<β Û α-β<0 · α<2 Û 3α<6 (1) και β>2Û -2β<-4 (2).Από (1)+(2) έχουμε 3α-2β<2 Û

3α-2β-4<-2 άρα 3α-2β-4<0.

‘Ετσι λοιπόν η παράσταση γίνεται Α=-(α-2)+(2β-4)-[-(α-β)]-[-(3α-2β-4)]=

-α+2+2β-4+α-β+3α-2β-4=3α-β-6.

· ‘Οταν μία παράσταση έχει δύο ή περισσότετρες απόλυτες τιμές,τότε για να απαλλαγούμε από αυτές εργαζόμαστε ως εξής:

1. Βρίσκουμε τις τιμές της μεταβλητής που μηδενίζουν κάθε παράσταση που βρίσκεται μέσα σε απόλυτο.

2. Τοποθετούμε τις παραπάνω τιμές σε άξονα και από κάτω σχηματίζουμε πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις που έχουμε μέσα στα απόλυτα.

3. Διακρίνουμε περιπτώσεις για τις τιμές της μεταβλητής,όσα είναι τα διαστήματα στα οποία έχει χωριστεί ο άξονας.

π.χ Να απλοποιήσετε την παράσταση Α=2χ+|χ+3|-|2-χ|

Λύση

Βρίσκουμε αρχικά τις τιμές της μεταβλητής που μηδενίζουν τις παραστάσεις με τα απόλυτα: χ+3=0Û χ=-3 και 2-χ-0Û χ=2.

Στη συνέχεια κάνουμε πίνακα προσήμων:

χ -⁄ -3 2 + ⁄ χ+3 - 0 + +

2-χ + + 0 -


26

Τελικά διακρίνουμε περιπτώσεις:

· Αν χ<-3: Α=2χ-(χ+3)-(2-χ)=2χ-χ-3-2+χ=2χ-5 · Αν -3≤χ≤2: Α=2χ+(χ+3)-(2-χ)=2χ+χ+3-2+χ=4χ+1 · Αν χ>2: Α=2χ+(χ+3)-[-(2-χ)]=2χ+χ+3+2-χ=2χ+5


27


1.Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

ι) 2 21 4x x+ - - - ιι) 2 24 4 6 9x x x x+ + - - -

ιιι) 2( 1)( 1) 3 10 25x x x x- + + - - +

2.Αν 2 4xp p να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις :

ι)|χ-4|+ |χ-2| ιι)|3χ-6|-|2χ-8| ιιι)5χ+|χ-4|-|8-4χ|

3.Αν 4 1x- -p p να αποδείξετε οτι οι παρακάτςω παραστάσεις είναι

ανεξάρτητες του χ : ι)|χ+4|-2|χ+1|+3|χ| ιι)|2χ-3|-|1-3χ|+|-χ|

4.Να γράψτε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές :

ι)|χ+1|+|χ+3| ιι)|χ-2|-||2χ+4| ιιι)|χ|+|χ-1|+|3-χ|

ιν)|χ+4|-2χ +|χ-3|.

5.Δίνεται η παράσταση Α=χ-d(χ,-3)+d(5,χ)

Να γράψετε την παράσταση Α:

α)χρησιμοποιώντας το συμβολο της απόλυτης τιμής.

β)χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής(δηλαδή να βγάλετε τα απόλυτα).

6. Να γράψτε την παρακάτω παραστάση χωρίς απόλυτες τιμές:

Α=|χ-|χ||+|χ+|χ||

7.Να αποδείξετε ότι:

a)|χ+y|≤|x-2|+|y+2|

β)d(α,β)≤d(α,3)+d(3,β)

8.Δίνεται η παράσταση :

Α=|χ-3|-|χ+1|+|y-1|-|y+2|

όπου -1≤χ≤3 και -2≤y≤1

a)Na απλοποιήσετε την παράσταση Α.

β)Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης Α.


28

9.Να αποδείξετε ότι:

α)|α+1|2-4α=|α-1|2

β)(|α|-|β|)2+2|αβ|=α2+β2

10.Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό χ ισχύει:

α) 3|χ +2χ| =|χ|2|χ| +2

β) 23|χ|+χ =|χ||χ|+3

11. Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό χ ισχύει:

α) 2χ

12χ +1′ β)

24χ +9|χ|

12″

12.Αν ισχύει |α+β|=|α-β| να αποδείξετε ότι α=0 ή β=0.

13.Αν ισχύει |2α+β|=|2α|+|β|,όπου α,β ÷ 0,να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι.

14. Αν ισχύει |3α-2β|=|3α|+|2β|,όπου α,β ÷ 0,να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι ετερόσημοι.


29

ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Ορισμοί: α) Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με a και είναι ο μη αρνητικός αριθμός α που ,όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει α.

β) Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με ν α και είναι ο μη αρνητικός αριθμός α που,όταν υψωθεί στην ν δίνει α.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ

· Αν α ″ο ,τότε a 2 =α

· Αν α πραγματικός ,τότε 2α = α

· α β αβ με α,β 0× < ″ ΠΡΟΣΟΧΗ : α±β α± β÷

· α α=β β

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Ν-ΟΣΤΗΣ ΡΙΖΑΣ

· Αν α ″ο ,τότε νν( α) =α

· Αν α ′ ο και ν άρτιος,τότε να α =|α| ΠΡΟΣΟΧΗ : Αν α ′ ο και ν

περιττός η παραπάνω ρίζα δεν ορίζεται.

· νν ναβ= α β με α,β ″0. ΠΡΟΣΟΧΗ : νν να β α β° ÷ °

· ν

νν

α α=ββ

με α,β ″0.

· μ μνν α = α με α ″0.

· νμ μνρ ρα = α με α ″0. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: α) Οι ιδιότητες 3,4 εφαρμόζονται και όταν έχουμε ρίζες διαφορετικής τάξης , αφόυ τις μετατρέψουμε στην ίδια τάξη. β) Στην ιδιότητα 5, για να μπορέσουμε να μετατρέψουμε τις δύο ρίζες σε μία, πρέπει μεταξύ των ριζών να μην παρεμβάλλεται κανένας αριθμός.Αν υπάρχει αριθμός, τον βάζουμε στην ακριβώς επόμενη ρίζα, αφού πρώτα όμως τον υψώσουμε σε δύναμη ίση με την τάξη της ρίζας.

γ) Στην ιδιότητα 6 αν α ′ ο και νρ άρτιος,τότε νμ μνρ ρα = α αν ρ άρτιος.Αν ρ περιττός τότε δεν μπορει να γίνει απλοποίηση γιατι η ρίζα που μένει δεν ορίζεται.


30


1.Να αποδείξετε οτι:

ι) 75 48 27 4 3- + = ιι) 2 45 80 245 3 5+ - =

ιιι)3 18 72 50 10 2+ - = ιν)3 32 128 18 7 2- + =

2.Να βρείτε τις τιμες των παραστάσεων:

ι) Α=( 12 48 27+ - ) 3 ιι) Β= ( 32 50 18) 8- +

ιιι) Γ= ( 20 45)( 80 5)+ -

3.Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

ι) Α= 2( 3 2)- ιι) Β= 2( 6 7)- ιιι)Γ= 2( 3 2)-

4. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

ι) 7 4 3- ιι) 6 2 5+ ιιι) 11 6 2- ιν) 5 2 6+

5.Αν χεR να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

ι) 2 2 225 9x x x+ - ιι) 2 216 4 3x x x+ -

6.Αν 0 1xp p να απλοποιήσετε την παράσταση:

2 2 2 1A x x x= - - +

7.Ομοίως αν 2 3yp p : Β= 2 24 4 6 9y y y y- + + - +

8.Ομοίως αν 1 3x- p p : Α= 2 22 1 6 9

1 3x x x x

x x+ + - +

-+ -

9.Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

ι) 3 5 62 2 ιι) 3 5 74 123 3 ιιι)4 11

8 3

66

ιν) 6 923 137 7

10.Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρανομαστή: ι)12

ιι) 105

ιιι)3

12

ιν)8 5

129

ν) 15 2-

νι) 36 2+


31

νιι) 35 2+

νιιι) 35 3-

ιχ)33

13 2-

χ)3 3

14 2+

11.Αν 0a f να γράψετε με την μορφή μιας ρίζας τις παρακάτω παραστάσεις:

ι) 4 23a a a ιι) 3 5 74 4a a ιιι) 5 3 6 3a a ιν) 5 6 34 8a a

12.Να γράψετε ως μία ρίζα τις παρακάτω παραστάσεις:

ι) 3 6a a ιι) 6 4a a ιιι) 3 9a a ιν) 3 44 a a

13.Να συγκρίνετε τους αριθμούς: ι) 5 και 3 2+ ιι) 5 2- και 3 10-

14.Να αποδείξετε οτι: ι) 46 6 4p ιι) 6 2 2 3+ +f .


32

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ø ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ Κάνουμε τις πραξεις που σημειώνονται (κυρίως επιμεριστική ιδιότητα),χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους, κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και φέρνουμε την εξίσωση στην μορφή αχ+β=0 και αν :

· α) a o÷ η εξίσωση έχει μοναδική λύση την βχ=- α

· β) α=0 η εξίσωση γίνεται 0χ==-β και έχει :

( ι)άπειρες λύσεις αν β=0 : 0χ=0 (ιι)καμία λύση αν β÷0 :0χ=αριθμός

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. 3 (χ +1 ) -2 χ =2 (χ -2 ) + 1 3 χ + 3 -2 χ =2 χ -4 +1Û Û3χ -2 χ -2 χ = -4 + 1-3 -χ = -6 χ =6Û Û 2. 3 - (χ + 1) = χ - 2 (χ - 1) Û 3 - χ - 1 = χ - 2χ + 2 Û-χ - χ + 2 χ = 2 - 3 + 1 Û 0 χ = 0 ́ Α π ε ιρ ες Λ ύ σ ε ις 3. 2+3(χ -1)=3χ-2 Û 2 +3 χ -3 =3 χ -2 Û 3 χ -3 χ = -2 + 3 -2 Û0χ=-1 Α δύνατη

Ø ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

1.Μορφή |Α(χ)|=θ όπου θ :θετικός Σε εξισώσεις που περιέχουν απόλυτες τιμες και αριθμούς ,όλες οι απόλυτες τιμές πρέπει μέσα να έχουν την ίδια παράσταση Α(χ) (αν αυτό δεν συμβαίνει πρέπει να βγάλουμε κοινο παράγοντα,στην αρχή μέσα στο απόλυτο, και στη συνέχεια έξω από αυτό κάποιον αριθμό ή και το (-) ακόμη,προσοχη το (-) βγαίνει κοινός παράγοντας μόνο μέσα στο απόλυτο μετά το «τρώει» το απόλυτο).Στην συνέχεια κάνουμε όλες τις πράξεις που σημειώνονται,χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και καταλήγουμε στην μορφή |Α(χ)|=θ όπου χρησιμοποίουμε την ιδιότητα Α(χ)= ° θ και λύνουμε δύο εξισώσεις. ΠΡΟΣΟΧΗ: ι) Αν καταλήξουμε στην μορφή |χ|=0 τότε χ=0 ιι)Αν καταλήξουμε στην μορφή |χ|=αρνητικός η εξίσωση είναι αδύνατη.


33

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να λυθεί η εξίσωση : 4-5 |χ -3| | 3 9 | 3 | 6 2 | 6

12 2c

c, ,

, < , ,

Λύση

4-5 |χ -3| | 3 9 | 3 | 6 2 | 612 2

cc

, ,, < , , Û

4-5 |χ -3| |3(χ -3 )|-3- =|-2(χ -3)|-612 2

Û

4-5 |χ -3 | 3 |(χ -3 )|-3 - =2 |(χ -3 )|-612 2

Û

4 -5|χ -3 | 3 |χ -9 |-312 -12 =12 2|χ -3 |-12 612 2

× × × × Û

4 -5 | χ -3 | -6 (3 |χ -3 | -3 )= 2 4 |χ -3 | -7 2 Û4 -5 |χ -3 |-18 |χ -3 |+18 =2 4 |χ -3 |-7 2 Û-5 |χ -3 |-18 |χ -3 |-2 4 |χ -3 |= -7 2 -18 -4 Û -4 7 |χ -3 |= -9 4 Û |χ-3 |=2Û χ -3 = 2 ή χ -3 = -2 Û χ =5 ή χ =1

2.Μορφή |Α(χ)|=|Β(χ)|

Σε εξίσώσεις που περιέχουν δύο διαφορετικά απόλυτα,κάνουμε όλες τις πράξεις και φτάνουμε στην μορφή |Α(χ)|=|Β(χ)|.Τότε εφαρμόζουμε την ιδιότητα των απολύτων και λύνουμε δύο εξισώσεις Α(χ)=Β(χ) ή Α(χ)=-Β(χ).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να λυθεί η εξίσωση 2 |3 -χ | -|2 χ +5 |=0

Λύση 2 | 3 -χ | -| 2 χ + 5 |= 0 Û 2 | 3 -χ | = | 2 χ + 5 | Û 2 (3 -χ )= 2 χ + 5 ή

2 (3 -χ )= -(2 χ +5 ) Û (6-2χ=2χ+5 4χ=1 1χ=4

) ή (6 -2 χ = -2 χ -5 Û

0 χ = 1 α δ ύ να τη )

3.Μορφή |Α(χ)|=Β(χ)

Για να λύσουμε εξισώσεις αυτής της μορφής διακρίνουμε περιπτώσεις για το πρόσημο της παράστασης Α(χ) και βγάζουμε το απόλυτο δηλαδή :

α)Αν Α(χ) ″ 0 λύνουμε την εξίσωση Α(χ)=Β(χ) και συναληθεύουμε τις λύσεις με τον περιορισμό Α(χ) ″ 0.


34

β)Αν Α(χ)<0 λυνουμε την εξίσωση Α(χ)=-Β(χ) και συναληθεύουμε τις λύσεις με τον περιορισμό Α(χ)<0.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να λυθεί η εξίσωση | x -4 | = 5 -2 x

Λύση

Αν χ-4 0 χ 4,τότε:|χ-4|=5-2χ χ-4=5-2χ 3χ=9 χ=3Η λύση απορρίπτεται γιατι χ 4

″ Û ″

Û Û Û

″

Αν χ-4<0 χ<4,τότε:|χ-4|=5-2χ (χ-4)=5-2χ χ+4=5-2χ χ=1Η λύση είναι δεκτή γιατι χ<4

Û

Û , Û , Û

4.Μορφή |Α(χ)|+|Β(χ)|=0

Επειδή |Α(χ)| ″0 και |Β(χ)| ″0 η παραπάνω εξίσωση έχει λύσεις τις κοινές λύσεις των εξισώσεων:

Α(χ)=0 και Β(χ)=0

Αν οι παραπάνω εξισώσεις δεν έχουν κοινή λύση ,η αρχικη είναι αδύνατη.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να λυθεί η εξίσωση 2 2| χ 9 | | χ 3χ|=0, ∗ ∗

Λύση

2 2

2 2

2

| χ 9| | χ 3χ|=0χ 9 0 και χ 3χ 0χ 9 και χ(χ+3)=0 χ= 3 και χ=0 ή χ=-3Αρα η λύση της εξίσωσης είναι η κοινή λύση χ=-3

, ∗ ∗ Û

, < Û ∗ < Û

< Û Û

°

Ø ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Βήμα 1: Κάνουμε όλες τις πράξεις που σημειώνονται,χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. π.χ 2 2 2 2 2λ (χ-1)=4(χ-λ+1) λ χ-λ =4χ-4λ+4 λ χ-4χ=λ -4λ+4Û Û

Βήμα 2: Παραγοντοποιούμε και τα δύο μέλη πχ 2 2 2χ(λ -4)=(λ-2) χ(λ-2)(λ+2)=(λ-2)Û (1)


35

Βήμα 3: Αρχίζουμε την διερεύνηση α)Βρίσκουμε για ποιές τιμές της παραμέτρου δεν μηδενίζεται ο συντελεστής του χ και λέμε ότι τότε έχει μοναδική λύση την οποία και βρίσκουμε.

πχ 2

Α ν (λ-2)(λ+2) 0 λ-2 0 λ 2 κα ι λ+2 0 λ -2 (λ-2) λ-2η εξ ίσω ση έχει μοναδική λύση την χ= χ =

(λ-2 )(λ+2 ) λ+2

÷ Û ÷ Û ÷ ÷ Û ÷

Û

β)Εξετάζουμε μία μία τις τιμές της παραμέτρου που εξαιρέσαμε πριν ,και διαπιστώνουμε αν η εξίσωση γίνεται αόριστη ή αδύνατη. (τις τιμές της παραμέτρου τις τοποθετούμε στην εξίσωση (1) )

πχ Α ν λ=2 : 0 χ = 0 η εξ ίσ ω σ η ε ίνα ι α ό ρ ισ τηΑ ν λ= -2 : 0 χ = 16 η εξ ίσ ω σ η ε ίνα ι α δ ύνα τη

Ø Η ΕΞΙΣΩΣΗ νΧ α< Για μία εξίσωση της μορφής νχ =α έχουμε της εξής περιπτώσεις:

· Αν ν άρτιος και α>0, τότε νχ= α° .

· Αν ν άρτιος και α<0, τότε είναι αδύνατη.

· Αν ν περιττός και α>0,τότε νχ= α .

· Αν ν περιττός και α<0, τότε νχ=- |α| .

Πολλές φορές η μορφή νχ =α προκύπτει αφού φέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και κάνουμε παραγοντοποίηση. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ :

1. 3 3x 64 x= 64 x=4< Û Û (περίπτωση 3) 2. 4 4x 8 1 x = 8 1 x = 3< Û ° Û ° (περίπτωση 1) 3. 6x 8 1< , αδύνατη (περίπτωση 2) 4. 5 5x -3 2 x = - | - 3 2 | x = - 2< Û Û (περίπτωση 4)

5. 7 4 4 3 4 3 3 3x +8x 0 x ( 8) x =0 x=0 ή χ +8=0 χ =-8 χ=- |-8| χ=-2x< Û ∗ Û Û Û Û Û

(περίπτωση με παραγοντοποίησης)

Ø ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση 2αχ +βχ+γ=0 παριστάνει ένα τριώνυμο μόνο αν α 0÷ .Αν α=0

παριστάνει μία εξίσωση 1ου βαθμού ή παριστάνει μία αδύνατη εξίσωση. Για να λύσουμε μία εξίσωση 2ου βαθμού,κάνουμε όλες τις πράξεις και μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος όπου και κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων.


36

· Αν η εξίσωση δεν έχει πρωτοβάθμιο όρο (β=0) τότε 2 2 2 γαχ +γ=0 αχ =-γ χ =- με α 0

αΔ ιακρίνουμε τις περιπτώ σεις :

γ γΑν - 0,τότε χ= - .α αγΑν - 0, τότε είναι αδύνατη .α

Û Û ÷

″ °

;

· Αν η εξίσωση δεν έχει σταθερό όρο (γ=0) τότε, 2αχ +βχ=0 χ (αχ+β )=0

χ=0 ή αχ+β =0 αχ=-β

β χ= - με α 0α

Û Û

Û

Û

÷

· Αν η εξίσωση έχει την μορφη 2αχ +βχ+γ=0

Ακολουθούμε τον παρακάτω πίνακα: 2Δ =β 4 αγ, ΠΛΗΘΟΣ ΛΥΣΕΩΝ ΤΥΠΟΣ ΛΥΣΕΩΝ

Δ>0 2 ρίζες πραγματικες και ανισες 1,2

-β Δχ 2α°

<

Δ=0 1 διπλή πραγματική ρίζα 1,2

-βχ 2α

<

Δ<0 Καμία πραγματική ρίζα - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ :

· Αν Δ>0 οι λύσεις που προκύπτουν είναι πάντα συζυγείς αριθμοί. · Αν Δ<0 είναι λάθος αν πούμε ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες(έχει ρίζες αλλά όχι

πραγματικές). · Απο τον παραπάνω πίνακα βλέπουμε ότι η διακρίνουσα είναι αυτή που

καθορίζει το πλήθος λύσεων ενός τριωνύμου γι’ αυτό σε ασκήσεις που ζητείται να βρούμε την τιμή μιας παραμέτρου ώστε το τριώνυμο να : α) έχει 2 λύσεις πραγματικες και άνισες, τότε απαιτούμε Δ>0 και λύνουμε την ανίσωση β) έχει 1 λύση διπλή πραγματική, τότε απαιτούμε Δ=0 και λύνουμε την εξίσωση. γ) μην έχει πραγματικές ρίζες, τότε απαιτούμε Δ<0 και λύνουμε την ανίσωση.


37

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1.

24 χ + 8 χ = 0 4 χ (χ + 2 )= 0 4 χ = 0 ή χ + 2 = 0 χ = 0 ή χ = -2

Û Û

2.

3χ2-9=0 Û 3χ2=9Û χ2=3Û χ=°3

3.

2 2

2 2

1,2

1 2

2χ -1=(χ -6)(χ+6) 2χ -1=χ -36 χ -2χ -35=0Δ =β -4αγ Δ =(-2) -4 1 (-35)=4+140=144

-β± Δ 2± 144 2±12χ =2α 2 1 2

14 -10χ = =7 ή χ = =-52 2

Û Û

Û × ×

< <×

4

2

2 2 2

Ν α β ρείτε γ ια ποιές τ ιμές του μ ,η εξίσω ση : χ +(μ+1)χ+μ+4 =0έχει μ ία δ ιπλή ρ ίζα .

Λ Υ Σ ΗΑ φού η εξ ίσω ση έχει μ ία δ ιπλή ρ ίζα απα ιτούμε Δ =0΄Α ρα (μ+1) 4 1 (μ+4 )=0 μ +2μ+1 -4μ-16=0 μ -2 μ-1, × × Û Û

2

1,2

5=0 Δ ΄ =(-2 ) -4 1 (-15 )=6 4

2 64 2 8μ 5 ή -32 1 2

× ×

° °< < <

×

‘Aθροισμα και Γινόμενο Ριζών Τριωνύμου

‘Εστω η εξίσωση αχ2+βχ+γ-0 με α÷ 0 και ρίζες -β+ Δχ =1 2α και -β- Δχ =2 2α ,τότε:

· το άθροισμα των ριζών είναι S= βχ +χ =-1 2 α

· το γινόμενο των ριζών είναι Ρ= γχ χ =1 2 α×

Οι παραπάνω τύποι ονομάζονται τύποι του Vieta.


38

Η εξίσωση αχ2+βχ+γ-0 με α÷ 0 που έχει ρίζες τους αριθμούς χ1 και χ2 με S= χ1+ χ2 και Ρ= χ1 χ2 μπορεί να μετασηματιστεί σε Q

x2-Sx+P=0

Παρατηρήσεις:

· ‘Οταν γνωρίζουμε το αθροισμα S= χ1+ χ2 και το γινομενο Ρ= χ1 χ2 των ριζών ενός τριωνύμου, και μας ζητείται η τιμή μίας παραστασης που περιέχει τα χ1και χ2,τότε: ι)Κάνουμε πράξεις(ομώνυμα,παραγοντοποίηση κ.λ.π) και ιι)χρημοποιούμε τις ταυτότητες:

χ1

2+χ22=(χ1+χ2)2-2χ1χ2

χ13+χ2

3=(χ1+χ2)(χ12-χ1χ2+χ2

2)

π.χ Δίνεται η εξίσωση χ2+3χ-5=0.

α)Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες χ1,χ2 πραγματικές και άνισες.

β)Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

ι) χ1+ χ2 ιι) χ1 χ2 ιιι) χ12+χ2

2 ιν) χ13+χ2

3 ν) 1 1

+χ χ1 2

νι) χ χ2 1+χ χ1 2

Λύση

α) Δ=32-4 ×1 ×(-5)=9+20=29>0 άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

β) ι) β 3χ +χ =- =- =-31 2 α 1 ιι) γ -5

Ρ=χ ×χ = = =-51 2 α 1

ιιι) χ12+χ2

2=(χ1+χ2)2-2χ1χ2=(-3)2-2×(-5)=19

ιν) χ13+χ2

3=(χ1+χ2)(χ12-χ1χ2+χ2

2)=(-3)[19-(-5)]=-72

ν) χ +χ1 1 -3 31 2+ = = =-5 5χ χ χ χ1 2 1 2×

νι) 2 2χ χ χ +χ 19 192 1 1 2+ = = =--5 5χ χ χ χ1 2 1 2×


39

· Η εξίσωση αχ2+βχ+γ-0 με α÷ 0 έχει: 1. αντίθετες ρίζες αν Δ≥0 και S=0 2. αντίστροφες ρίζες αν Δ≥0 και Ρ=1

π.χ Δίνεται η εξίσωση 3χ2+(λ+2)χ+λ-1=0.

Να βρείτε το λ ώτε η εξίσωση να έχει :

ι)ρίζες αντίθετες ιι)ρίζες αντίστροφες

Λύση

ι)Δ=(λ+2)2-4 ×3(λ-1)=λ2+4λ+4-12λ+12=λ2-8λ+16=(λ-4)2≥0

Επίσης πρέπει S= β λ+2- =0 - =0 λ+2=0 λ=-2α 3Û Û Û .

ιι) Δ=(λ+2)2-4 ×3(λ-1)=λ2+4λ+4-12λ+12=λ2-8λ+16=(λ-4)2≥0

Επίσης πρέπει Ρ= γ λ-1

=1 =1 λ-1=3 λ=4α 3

Û Û Û


40

Ø ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΤΡΙΩΝΥΜΑ Μορφή α[Α(χ)]2 +βΑ(χ)+γ=0 με α÷0 Θέτουμε Α(χ)=y οπότε προκύπτει η εξίσωση αy2+βy+γ=0 ,την οποία αφού την λύσουμε ,γυρίζουμε στην εξίσωση Α(χ)=y και βρίσκουμε τις τιμές του χ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθεί η εξίσωση (χ2+1)2-7(χ2+1)+10=0 ΛΥΣΗ Θέτουμε χ2+1=y οπότε η εξίσωση γίνεται y2-7y+10=0

2

1 ,2

Δ =(-7) 4 1 10 49 40 9

7± 9 7±3y = = = 5 ή 22 1 2

, × × < , <

×

Tώρα έχουμε να λύσουμε τις εξισώσεις 2 2

2 2

χ + 1= 5 κ α ι χ 1 2χ 4 κ α ι χ 1 χ = 2 κ α ι χ = 1

Û ∗ < Û

< Û < Û

° °

Μορφή αχ2+β|χ|+γ=0 Για αυτήν τη μορφή χρησιμοποιούμε την ιδιότητα της απόλυτης τιμής |χ|2=χ2 ,οπότε η εξίσωση παίρνει την μορφή α|χ|2+β|χ|+γ=0 και θέτουμε y=|χ|.Αφού βρούμε τις τιμές του y γυρίζουμε και λύνουμε την εξίσωση y=|χ| και βρίσκουμε και τις τιμές του χ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθεί η εξίσωση χ2-6|χ|+8=0 ΛΥΣΗ Θέτουμε y=|x| και η εξίσωση γίνεται |χ|2 -6|χ|+8=0 Δ=(-6)2-4 × 1× 8=4

1,26 4 6 2 4 ή 2

2 2y ° °

< < <

Οπότε τώρα έχουμε να λύσουμε τις εξισώσεις |χ|=4 ή |χ|=2

χ= 4° ή χ= 2°

Μορφή αχ2ν+βχν+γ=0 με α÷0

Για αυτήν την μορφή ο μετασχηματισμός είναι ω=χν και η εξίσωση γίνεται αω2+βω+γ=0.Αφου την λύσουμε γυρίζουμε και λύνουμε την ω=χν για να βρούμε τις τιμές του χ.


41

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθεί η εξίσωση χ4-2χ2-8=0 (ονομάζεται ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝΗ και προκύπτει για ν=2) ΛΥΣΗ Θέτουμε ω=χ2 και έχουμε ω2-2ω-8=0 Δ=(-2)2-4× 1× (-8)=36

1,22 36 2 6ω 4 ή -2

2 2° °

< < <

‘Αρα έχουμε χ2 =4 Û ή χ2 =-2 Αδύνατη

Χ= ° 2

Ø ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσουμε μία κλασματική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

· Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές. · Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π και βάζουμε περιορισμούς(όλοι οι παράγοντες του

Ε.Κ.Π πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός). · Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους

με το Ε.Κ.Π . · Κάνουμε τις πράξεις και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει με μία από

τις μεθοδους που αναφέρθηκαν. · Συναληθεύουμε τις λύσεις με τους περιορισμούς.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να λυθεί η εξίσωση 2

χ χ+10 2- =χ+2 χ -4 χ-2

ΛΥΣΗ χ χ-10 2 χ χ-10 2- = - = Περιορισμοι: χ+2 0 και χ-2 02χ+2 χ-2 χ+2 (χ-2)(χ+2) χ-2χ -4

χ χ-10 2(χ-2)(χ+2) -(χ-2)(χ+2) =(χ-2)(χ+2)χ+2 (χ-2)(χ+2) χ-2

2(χ-2)χ-(χ-10)=2(χ+2) χ -2χ-χ+10=2χ+42χ -5χ+6=

Û Û ÷ ÷

Û

Û Û

20 άρα Δ=(-5) 4 1 6 1

5± 1 5±1χ = = = 3 ή 21,2 2 2

, × × <

Η λύση χ=2 όμως απορρίπτεται λόγω των περιορισμών.


42


1.Να λυθούν οι εξισώσεις: ι)

ιι) ιιι) 3 2 5 44 6 12

c c c+ - +- = -

ιν) 5 14 7 3( 3)2 4 2

c c c-- = - -

2.Να λυθούν οι εξισώσεις: ι) ιι) 2

1 3 52 3 3 2c c c c

+ =- -

ιιι) 2

1 15 6 3 2

c cc c c c

-- =

- + - - ιν) 2

3 4 2( 1)1 2 3 2

c c cc c c c+ + +

= -- - - +

ν) 2 2 2

1 1 13 2 2 4c c c c c

- =- + + - -

3.Nα λυθούν οι εξισώσεις:

ι) ιι) 1 4

23

x - -= ιιι)

3 35

2 3x x+ +

= -

ιν)4 2 4 10

52 9x x- - - +

= - ν)3 6 2 3

82 3 6

x x x- - -+ = -

νι)10 5 5 20 4 4 6 6x x x- - = - + - + - νιι) 2 1 4x x+ = +

νιιι) 3 7x x+ = - ιχ) 2 3 4 5 0x x+ - - = χ)1 3 2

04 6

x x+ -- =


ι) 3 1x - = ιι) ||χ|-2|=5 ιιι) |5-|2χ-1||=4 ιν) ||χ-1|+4|=7

ν) |1-|3-2χ||=6 νι) ||χ+3| -2|=|χ-5| νιι) 7 2 3 6 4x- - - =

ι) ιι) 2 24 4 4 0x x x- + + + = ιιι) 3 2 0x x x x- + + =

ιν) 23 0x x x+ + + =


5 4 5 2 112 3 5c c cc - -+ = -

2 _ 3 2 310 2 5c c c- -

- = -

2

2

4 3 3 82 2 4

c cc c c

-- =

+ - -

2 3 6 18 0x- - =

2 23 9 0x x x- + - =


43

ι)|2χ-8|=2χ-8 ιι)|2|χ-4|-χ+3=0 ιιι) χ-2|χ+4|=1

6.Nα λυθούν για τις διάφορες τιμές του λ οι παρακάτω εξισώσεις:

ι) ιι) 2( 6) 9( 1 )l lc l c+ = - - -

ιιι) 2(2 1) 2(1 2 ) ( 1)l c lc l c+ - + = - ιν) 22( 2 ) (4 ) 0l c l lc+ - + =

ν) 2 ( 2) ( 1) 0l lc l l c- + - + = νι) 2 2 22 ( 1) 2 ( 1)l c l l c l lc- - = - -

νιι) 23( ) 2 ( ) ( 1)l c l c l l c- = + - + νιιι) 2 2( 8)( 1) 2 (3 ) 2l c l c l- + = - - +

7.Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: ι) ιι) 4 81x = ιιι) 6 21x = -

ιν) 5 32x = - ν) 7 48 0x x+ = νι) 5 325 16x x= ν) 5 22 16 0x x+ =

νι) 4 28 0x x+ = .

8.Να λυθούν οι εξισώσεις : ι) ιι)2 4 4 0c c, ∗ <

ιιι) 2 2 8 0c c, ∗ ∗ < ιν) 2 3 4 0c c, ∗ < ν) 2 5 6 0c c, ∗ , <

νι) 2 6 5 0c c∗ ∗ < νιι) 2 5 7 0c c∗ ∗ < νιιι) 22 8 10 0c c∗ , <

ιχ) 29 6 1 0c c, ∗ < χ) 23 5 2 0c c, ∗ , < χι) 24 12 9 0c c∗ ∗ <

χιι) 22 7 6 0c c∗ ∗ < χιιι) 22 6 11 0c c, ∗ , <

9.Ομοίως: ι) 2 16 0c , < ιι) 22 18 0c , < ιιι) 23 12 0c, ∗ <

ιν) 236 16 0c, < ν) 2 3 0c c∗ < νι) 22 8 0c c, < νιι) 25 30 0c c, <

νιιι) 27 35 0c c, ∗ < ιχ) 22 8 0c c, < χ) 23 27 0c c, , <

10.Ομοίως : ι) 2( 2)( 5 4) 0c c c, ∗ ∗ < ιι) 2 2( 4 )( 7 6) 0c c c c∗ , ∗ <

ιιι) 2 2(3 48)( 4 32) 0c c c, , , ∗ < ιν) 2 2( 9 8)( 5 7) 0c c c c, ∗ , ∗ , <

11.Ομοίως: ι) (3 10) 3( 2)c c c∗ < ∗ ιι) 1 (3 5 ) ( 2)c c c c, , < ∗

ιιι) 4( 2) 4 ( 3)( 3)c c c∗ < , , ∗ ιν) 2( 1) 4 5(2 1)c c, < , ∗

ν) 2 2( 2) ( 1)( 1) ( 3) 6c c c c c, , , ∗ < ∗ , νι) 2 3 ( 1)( 1) 36 3 2

c c c c∗ ∗ , ,, <

2 ( 1) ( 1 )l c lc+ = - - -

3 64x =

2 2 3 0cc ∗ , <


44

νιι) 2

24(1 7 ) 3 (7 1) 2 1025 5

c c cc

, ,, < ∗

νιιι) 2(3 2) (2 1) 2 61

3 6 2c c c c, , ∗ ,

, < ,

12.Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

ι) 2 (2 ) 6 0x a b c ab, ∗ ∗ < ιι) 22 (3 2) ( 2) 0c a c a a, , ∗ , <

ιιι) 2 (2 ) ( ) 0c a b c a a b, ∗ ∗ , ∗ < ιν) 22 ( 3) 1 0c a c a, ∗ , ∗ , <

13.Να αποδείξετε οτι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες τις οποίες και να βρείτε:

ι) 2 2 22 2 1 0c ac a b b, ∗ , ∗ , < ιι) 2 2 2( ) 0abc a b b, ∗ ∗ < με α,β÷ 0

ιιι) 2 1( ) 1 0c a ca

, ∗ ∗ < με α÷ 0.

14. Η εξίσωση έχει διακρίνουσα 4. ι)Να βρείτε τις τιμές του λ ιι)για την μικρότερη τιμήτου λ που βρήκατε να λύσετε την παραπάνω εξίσωση.

15.Δίνονται οι εξισώσεις 2 12 0c c, , < (1) και 2 2(2 9) 6 0c l c l l∗ , ∗ , <

(2).Η μικρότερη ρίζα της (1) είναι και ρίζα της (2).Να βρείτε: ι)το λ ιι) τις ρίζες της (2).

16.Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης 2 18 21 0ac c, ∗ < είναι 6.Να βρείτε: ι)τον αριθμό α ιι)το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης.

17.Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης 2 16 20 0ac c∗ , < είναι 10. Να βρείτε:

ι)τον αριθμό α ιι)το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης.

18.Αν 1 2,c c οι ρίζες της εξίσωσης 2 3 1 0c c, ∗ < ,να βρείτε τις τιμές των

επόμενων παραστάσεων: α) 1 2c c∗ β) 1 2c c γ) 2 21 2c c∗ δ) 3 3

1 2c c∗ ε)

1 2

1 1c c

∗ στ) 2 1

1 2

c cc c

∗ .

19.Αν 1 2,c c οι ρίζες της εξίσωσης 2 5 4 0c c∗ , < ,να βρείτε τις τιμές των


1 2 2 1c c c c∗ ε)

21 2( )c c, στ) 2 2

1 2

1 1c c

∗ .

2 ( 1) 1 0lc l c, , , <


45

20. Αν 1 2,c c οι ρίζες της εξίσωσης 22 3 4 0c c∗ , < ,να βρείτε τις τιμές των


1 2c c∗ ε)

1 2( 1)( 1)c c∗ ∗ στ) 1 2(2 3)(2 3)c c, , .

21. Αν 1 2,c c οι ρίζες της εξίσωσης 22 3 4 0c c∗ , < ,να βρείτε τις τιμές των


2 1

c cc c

∗ ε)

1 2c c∗ στ) 1 2c c, .

22.Να βρείτε εξίσωση δευτέρου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς: α)2 και

4 β) -3 και 5 γ) -6 και 1 δ) -4 και -1 ) 12

και -2 στ) 23

, και 6.

23. Να βρείτε εξίσωση δευτέρου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς: α)λ-2 και λ+2 β) 1+α και 1-α γ)μ και 2μ .

24. Αν 1 2,c c οι ρίζες της εξίσωσης 2 3 1 0c c, , < , να βρείτε εξίσωση δευτέρου

βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς :

ι) 12c και 22c ιι) 21c και 2

2c ιιι)1

1c

και 2

1c

ιν) 1

2c και 2

2c .

25. Αν 1 2,c c οι ρίζες της εξίσωσης 2 5 2 0c c, ∗ , < , να βρείτε εξίσωση δευτέρου


ι) 13c και 23c ιι) 1c, και 2c, ιιι) 1

1c

και 2

1c

ιν) 21c και 2

2c .

26. Αν 1 2,c c οι ρίζες της εξίσωσης 2 4 2 0c c, , < , να βρείτε εξίσωση δευτέρου


ι) 21

1c

και 22

1c

ιι) 2

1

2

cc

και 2

2

1

cc

ιιι) 21 1 2c c c, και 2

2 1 2c c c,

ιν) 1

1

3 13

cc

∗,

και 2

2

3 13

cc

∗,

.

27.Δίνεται η εξίσωση : 2 ( 1) 2 6 0x l c l∗ , ∗ , <

ι)Να δείξετε οτι έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του λ.

ιι)Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να έχει ρίζες: α) αντίθετες β)αντίστροφες.


46

28. Δίνεται η εξίσωση : 22 ( 5) 3 0x l c l, ∗ , ∗ , < .Να βρείτε το λ ώστε το

άθροισμα των ριζών της εξίσωσης να είναι ίσο με το γινόμενό τους.

29. Δίνεται η εξίσωση : 2 ( 1) 0x l c l∗ ∗ ∗ < .Να βρείτε το λ ώστε μία ρίζα της εξίσωσης να είναι διπλάσια της άλλης.

30. Δίνεται η εξίσωση : 2 4( 1) 8 1 0x l c l, ∗ ∗ , < . α)Αν 1 2,c c οι ρίζες της

εξίσωσης ι)Να αποδείξετε οτι η παράσταση Α=( 1c -2)( 2c -2) είναι ανεξάρτητη του

λ.ιι)Να βρείτε το λ ώστε 2 21 2 1 1 2 2 64c c c c c c∗ ∗ ∗ < .

31.Να λυθούν οι εξισώσεις :

ι) ιι) 2 5 | | 4 0x c∗ ∗ < ιιι) 2 4 3 | |x c, <

ιν) 23 | | 2 3(| | 1)c c c∗ , < , ∗ ν ) 2 | 6 | 40 0c c∗ , , <

32. Να λυθούν οι εξισώσεις :

ι) 4 25 4 0c c, ∗ < ιι) 4 28 9 0c c, , < ιιι) 4 24 17 4 0c c, ∗ <

ιν) 4 27 10 0c c∗ ∗ < ν) 4 25 6 0c c, ∗ <


ι) 6 37 8 0c c∗ , < ιι) 6 38 7 1 0c c, ∗ ∗ < ιιι) 8 417 16 0c c, ∗ <

ιν) 8 416 15 1 0c c, , ∗ <


ι) 6 8 0c c, ∗ < ιι) 4 3 0c c, ∗ < ιιι) 5 4 0c c∗ ∗ <


ι) 2( 5) 2( 5) 3 0c c∗ , ∗ , < ιι) 2(2 1) 2(2 1) 15 0c c, ∗ , , <

ιιι) 2 2 2( 1) 7( 1) 10 0c c∗ , ∗ ∗ < ιν) 2( 1) 3 | 1| 4 0c c, , , , <

ιν) 2( 5) 3 | 5 | 10 0c c, , , , < ν) 25 (2 1) 4 |1 2 |c c, , < ,

2 2 | | 3 0x c∗ , <


47

36.Ομοίως:

ι) 2

3 612 2c c c

, <∗ ∗

ιι) 2

4 1 11 1 1

cc c c

,< ,

, ∗ ,

ιιι) 2

10 24 2 2

c cc c c

,, <

, , ∗ ιν) 2 2

4 41 1

c cc c c c

< ,, , ∗

ν) 2 2

4 41 1

c cc c c c

< ,, , ∗

νι) 2 2

5 20 142 4 2

c cc c c c c

,, < ,

∗ , ∗

37.Ομοίως:

ι) 1 211c

c

<,

ιι) 1 41 1 41

c

cc c

∗ <, ,

ιιι) 2

21 1 11 1

c c cc

c c

, <,, ∗

ιν)

2 41 17

1 2 31

c c

c

∗ ,, <

,.


48

ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ

Ø ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1Ου ΒΑΘΜΟΥ

‘Οταν έχουμε να επιλύσουμε μία ανίσωση πρώτου βαθμού,ακολουθούμε διαδικασία ανάλογη με την διαδικασία επίλυσης των εξισώσεων 1ου βαθμού:

· Κάνουμε όλες τις πράξεις που σημειώνονται(απαλοιφή παρονομαστων,επιμεριστικη )

· Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους · Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου (προσοχή αν συντελεστής του

αγνώστου είναι αρνητικός ,μέτα την διαίρεση αλλάζει η φορά της ανίσωσης ενώ αν είναι θετικός η φορά παραμένει ίδια).


Να λυθεί η ανίσωση: x-3 5 1014 2 4

x x∗ ∗, ; , ,

ΛΥΣΗ 2x-4 x+5 10+x 2x-4 x+5 10+x- <-1- 4 -4 <4 (-1)-4

4 2 4 4 2 42x-4-2(x+5 )<-4 -(10+x) 2x-4-2x-10<-4-10-x2x-2x+x<-10+10-4+4 x<0

Û × × × × Û

Û Û

Û

ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

· 0χ < αρνητικού αριθμού Αδύνατη · 0χ′ αρνητικού αριθμού Αδύνατη · 0χ> αρνητικού αριθμού Ισχύει για κάθε πραγματικό χ · 0χ″ αρνητικού αριθμού Ισχύει για κάθε πραγματικό χ · 0χ<0 Αδύνατη · 0χ>0 Αδύνατη · 0χ ′0 Ισχύει για κάθε πραγματικό χ · 0χ ″0 Ισχύει για κάθε πραγματικό χ · 0χ> θετικού αριθμού Αδύνατη · Οχ< θετικού αριθμού Ισχύει για κάθε πραγματικό χ · 0χ″ θετικού αριθμού Αδύνατη · 0χ′ θετικού αριθμού Ισχύει για κάθε πραγματικό χ


49

ΚΟΙΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Για να βρούμε κοινές λύσεις δύο ή περισσοτέρων ανισώσεων,τις λύνουμε ξεχωριστά και συναληθεούμε σε άξονα πραγματικών αριθμών. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

7-χ χ4-5(x -2 ) 13 -3 (x+1) και 1-4 2

″ f

ΛΥΣΗ · Για την πρώτη ανίσωση έχουμε : 4-5 (x-2) 13 -3(x+1) 4-5χ+10 13-3χ -3 -5χ+3χ 13-3-4-10-2χ -4 χ 2

″ Û ″ Û ″ Û

″ Û ′

· Για την δεύτερη ανίσωση έχουμε :

7-χ χ 7 -χ χ1- > 4 1-4 >4 4 -(7 -χ )>2 χ 4 -7+χ >2 χ4 2 4 2

χ -2χ >7 -4 -χ >3 χ <-3

Û × × × Û Û Û

Û Û

-3 0 2

‘Αρα οι κοινές λύσεις είναι χ<-3 ή χ (- ,-3 )Î ⁄ .

ΔΙΠΛΗ ΑΝΙΣΩΣΗ Α(χ) ′ Β(χ) ′ Γ(χ)

Σ’αυτήν την περίπτωση λύνουμε ξεχωριστά τις ανισώσεις Α (χ) Β(χ ) κα ι Β(χ ) Γ(χ )′ ′ και βρίσκουμε τις κοινές λύσεις.


Να λυθεί η ανίσωση :

-4<2(χ-1)-3(4-χ)<11

ΛΥΣΗ

Λύνουμε πρώτα την ανίσωση 2(χ-1)-3(4-χ)>-4Û 2χ-2-12+3χ>-4

Û 2χ+3χ>-4+14Û 5χ>10Û χ>2.

Στη συνέχεια λύνουμε την δεύτερη ανίσωση 2(χ-1)-3(4-χ)<11Û


50

2χ-2-12+3χ<11Û 5χ<25Û χ<5

Οι κοινές λύσεις βρίσκονται από την συναλήθευση των δύο ανισώσεων:

0 2 5

Και είναι 2<χ<5 ή (2 ,5 )x Î

Ø ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

Ανισώσεις της μορφής |Α(χ)|<θ ή |Α(χ)| ′ θ με θ>0 Οι ανισώσεις αυτής της μορφής λύνονται χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των απολύτων |χ|<θÛ και |χ|′ θ -θ<χ<θ -θ′ χ′ θ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθεί η ανίσωση : |1-2χ|<7 ΛΥΣΗ |1-2χ|<7 Û -7<1-2χ<7Û -7-1<1-2χ-1<7-1 -8<-2χ<6 Û - 8 2 6

- 2 2 2x,

= =, ,

Û 4>χ>-3 Û -3<χ<4

Προσοχή: εδώ αλλάξαμε την φορά της ανίσωσης γιατί διαιρέσαμε με αρνητικό αριθμό

Ανισώσεις της μορφής Α(χ)>θ ή Α(χ) ″θ με θ″0

Οι ανισώσεις αυτής της μορφής λύνονται χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των απολύτων |χ|>θÛ και |χ| ″θÛ χ>θ ή χ<-θ και χ″θ ή χ′-θ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθεί η ανίσωση : |2χ+4|>8 ΛΥΣΗ 2χ+4>8 ή 2χ+4<-8 2χ>8-4 ή 2χ<-8-4 2χ>4 ή 2χ<-12 χ>2 ή χ<-6


51

Ειδικές Μορφές

· |Α(χ)|< αρνητικού αριθμού ή |Α(χ)| ′αρνητικου αριθμου είναι αδύνατες

· |Α(χ)|>αρνητικού αριθμού ή |Α(χ)| ″ αρνητικού αριθμού Ισχύουν για κάθε πραγματικό αριθμό χ.

· |Α(χ)|<0 είναι αδύνατη · |Α(χ)| ′0 ισχύει μόνο η ισότητα Α(χ)=0 · |Α(χ)|>0 ισχύει για κάθε ζ |x R - x/A (x )=0Î

· |Α(χ)| ″0 Ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό χ.

Μορφή α<|Α(χ)|<β με α,β πραγματικούς Λύνουμε τισ ανίσωσεις α<|Α(χ)| και |Α(χ)|<β χωριστά και στο τέλος συναληθεύουμε τις λύσεις. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθεί η ανίσωση : 1<|χ+5|<3 ΛΥΣΗ

|χ+5|>3 Û και |χ+5|>1 Û

-3<χ+5<3 Û και χ+5>1 ή χ+5<-1 Û

-8<χ<-2 και χ>-4 ή χ<-6

-8 -6 -4 -2

Οι κοινές λύσεις είναι : -8<χ<-6 ή -4<χ<-2


52

Ø ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2ου ΒΑΜΟΥ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου αχ2 +βχ+γ βρίκουμε την διακρίνουσα Δ=β2-4αγ και αν:

· Δ>0 ,το τριώνυμο έχει δυο ρίζες χ1,χ2 και το προσημό του φαίνεται παρακατω

χ -⁄ χ1 χ2 +⁄ αχ2+βχ+γ Ομόσημο του α Ετερόσημο του α Ομόσημο του α

· Δ=0 ,τότε το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα χ1,2 και το προσημό του φαίνεται παρακάτω

χ -⁄ χ1,2 +⁄ αχ2+βχ+γ Ομόσημο του α Ομόσημο του α

· Δ<0, τότε το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες και το προσημό του φαινεται παρακάτω

χ -⁄ +⁄ αχ2+βχ+γ Ομόσημο του α

ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΕΩΝ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία ανίσωση της μορφής αχ2 +βχ+γ<ο ή αχ2 +βχ+γ>0 ή αχ2

+βχ+γ ″0 ή αχ2 +βχ+γ ′0: · Βρίσκουμε την Δ και τις ρίζες(αν έχει) · Κάνουμε τον πίνακα για το πρόσημο του τριωνύμου · Διαλέγουμε τα κατάλληλα διαστήματα για το χ,ανάλογα με τι μας έχει

ζητηθεί.


53

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Να λυθούν οι ανισώσεις ι) χ2+3χ-10>0 ιι) -χ2+2χ-1<0 ιιι) 3χ2+2χ+4>0 ιν) χ2+4χ+16<0 ν) 2χ2-4χ+3>0 νι)χ2+2χ+1 ′0 ΛΥΣΕΙΣ ι) χ2+3χ-10>0 , Δ=32-4 × 1 × (-10)=49

‘Αρα 1,2

3 49 3 72 2

x , ° , °< < χ1=-5 και χ2=2

χ -⁄ -5 2 +⁄ Χ2+3χ-10 + - +

‘Αρα . (- ,-5 ) (2 ,+ )x Î ⁄ È ⁄

ιι) -χ2+2χ-1<0 , Δ=22-4(-1)(-1)=4-4=0

‘Αρα 1,2

2 12( 1)

x ,< <

,

χ -⁄ 1 +⁄

-Χ2+2χ-1 - - ‘Αρα (- ,1 ) (1 ,+ )x Î ⁄ È ⁄ . ιιι) 3χ2+2χ+4<0 , Δ=22-4×3×4=4-48=-44<0 ‘Αρα το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες και διατηρεί προσημο,το οποίο επειδή α=3>0είναι και θετικό.

χ -⁄ +⁄ 3Χ2+2χ+4 +

‘Αρα η παραπάνω ανίσωση είναι αδύνατη. ιν) χ2+4χ+16<0 , Δ=42-4 × 1 ×4=16-16=0

‘Αρα 1,24 2

2 1x ,

< < ,×

χ -⁄ -2 +⁄ Χ2+4χ+16 + +

‘Αρα η παραπάνω ανίσωση είναι αδύνατη. ν) 2χ2-4χ+3>0 , Δ=(-4)2 -4×2×3=16-24<0 ‘Αρα το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες και διατηρεί πρόσημο το οποίο επειδή α=2>0 είναι θετικό.

χ -⁄ +⁄ 2Χ2-4χ+3 +

‘Αρα η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε πραγματικό αριθμό δηλαδή x Î Â

νι) χ2+2χ+1 ′0 , Δ=22-4 × 1 × 1=4-4=0


54

‘Αρα 1,2

2 12 1

x ,< < ,

×

χ -⁄ -1 +⁄ Χ2+2χ+1 + +

Παρατηρούμε ότι το τριώνυμο δεν μπορεί να είναι αρνητικό πουθενά,μοναδική λύση είναι το χ=-1 (για χ=-1 ισχύει χ2+2χ+1=0) ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΠΟΥ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ

· Αν θέλουμε αχ2+βχ+γ>0 (δηλαδή το τριώνυμο να διατηρεί θετικό πρόσημο) απαιτούμε: Δ<0 (ώστε το πρόσημο να διατηρείται) και α>0 (για είναι θετικό)

· Αν θέλουμε αχ2+βχ+γ<0 (δηλαδή το τριώνυμο να διατηρεί αρνητικό πρόσημο) απαιτούμε: Δ<0 (ώστε το πρόσημο να διατηρείται) και α<0 (για είναι αρνητικό)

· Αν θέλουμε αχ2+βχ+γ ″0 απαιτούμε: Δ ′ 0 και α>0

· Αν θέλουμε αχ2+βχ+γ′0 απαιτούμε: Δ ′ 0 και α<0

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1.Να βρείτε για ποιές τιμές του λ ισχύει (λ-2)χ-2λχ+2λ-3′0 Για καθε χεR. ΛΥΣΗ Πρέπει Δ′0 και (λ-2)<0 (-2λ)2-4(λ-2)(2λ-3) ′0 λ<2 (1) 4λ2-4(2λ2-3λ-4λ+6) ′ 0 -4λ2+28λ-24′ 0 -λ2+7λ-6′0(απλοποιήσαμε με το +4) Δ΄=72-4(-1)(-6)=49-24=25

‘Αρα 1,2

7 25 7 5λ2( 1) 2

, ° , °< <

, , με λ1=1 και λ2=6

λ -⁄ 1 6 +⁄

-λ2+7λ-6 - + - ‘Αρα λ′1 ή λ″6 (2)Συναληθεύοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε 1 2 6


55

‘Αρα οι κοινές λύσεις είναι λ′1 ή λε(-⁄ ,1].

2.Να βρείτε για ποιές τιμές του λ ισχύει 4χ2+4(2λ-1)χ+4-3λ>0 για κάθε χεR.

ΛΥΣΗ

Πρέπει Δ<0

[4(2λ-1)]2-4(4-3λ)4<0 και 4>0 που ισχύει πάντα

16(2λ-1)2-16(4-3λ)<0

(2λ-1)2 –(4-3λ)<0 (απλοποιήσαμε με το +16)

4λ2-4λ+1-4+3λ<0

4λ2-λ-3<0

Δ’=(-1)2-4(-3)4=1+48=49

1 49 1 7

λ1,2 2 4 8° °

< <×

6 8

λ και λ 11 28 8,

< < < <

λ -⁄ 34

, 1 +⁄

4λ2-λ-3 + - +

‘Αρα 34

, <λ<1 ή λε ( 34

, ,1) .

ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ

Α(χ)Β(χ)......Φ(Χ)<0 ‘Η Α(χ)Β(χ).....Φ(χ)>Ο

Για να επιλύσουμε ανισώσεις αυτών των μορφών ακολουθούμε τα εξής βήματα:

· Βρίσκουμε τις ρίζες (αν υπάρχουν) των παραγόντων Α(χ),Β(χ),.......Φ(χ) . · Διατάσσουμε τις ρίζες σ’έναν άξονα απότην μικρότερη προς την μεγαλύτερη. · Κάτω από τον άξονα σχηματίζουμε πίνακα με τα πρόσημα των παραγόντων

στα διαστήματα που δημιουργήθηκαν από τις ρίζες. · Στην τελευταία γραμμή βρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου

Α(χ)Β(χ).......Φ(χ) εφαρμόζοντας των κανόνα των προσήμων.


56

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθει η ανίσωση : (χ-2)(χ2+6χ+9)(χ2-3χ-4)(χ2-χ+2)<0 ΛΥΣΗ Βρίσκουμε τις ρίζες όλων των παραγόντων:

· χ-2=0Û χ=2 · χ2+6χ+9=0 ,Δ=0 και χ=-3 · χ2-3χ-4=0 ,Δ=25 και χ=-1 ή χ=4 · χ2-χ-2=0 ,Δ=-7<0 δεν έχει πραγματικές ρίζες

Σχηματίζουμε τον πίνακα προσήμων: χ -⁄ -3 -1 2 4 +⁄

χ-2 - - - 0 + + χ2-3χ-4 + + 0 - - 0 +

χ2+6χ+9 + 0 + + + + χ2-χ-2 + + + + +

Π - - + - + ‘Αρα χε (-⁄ ,-3) È (-3,-1) È (2,4) . Ø ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Μορφή A (x ) A (x )>0 ή <0

B (x ) B (x )

Γνωρίζουμε ότι το πηλίκο δύο αριθμών ακολουθεί το ίδιο πρόσημο με το γινομενό τους ,άρα προκύπτουν οι ισοδυναμίες:

· A (x ) >0 Α (χ )Β (χ )>0 B (x )

Û , Β(χ) 0÷

· A(x) <0 Α(χ)Β(χ )<0B(x)

Û , Β(χ) 0÷

Προσοχή : Αν η λύση περιέχει κλειστά διαστήματα ( A(x) A(x) 0 ή 0B(x) B(x)

″ ′ )

πρέπει να εξαιρούμε τις ρίζες του παρονομαστή. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθούν οι ανισώσεις:

ι) x-3 02x 3 10x;

, , ιι)

2 9)(x+2)(x 02x 2 3x,

″∗ ,

ΛΥΣΗ ι) Πρέπει πρώτα να πάρουμε τον περιορισμό :

2x 3 10 0 5 κα ι χ -2x x, , ÷ Û ÷ ÷


57

Στη συνέχεια έχουμε 2x-3 0 (χ-3)(2x 3 10x 3 10) 0

xx; Û

, ,, , ;

Βρίσκουμε τις ρίζες των παραγόντων του γινομένου και φτιάχνουμε τον πίνακα προσήμων χ-3=0 Û χ=3 και χ2-3χ-10=0Û χ=5 ή χ=-2

χ -⁄ -2 3 5 +⁄ χ2-3χ-10 + 0 - - 0 +

Χ-3 - - 0 + + Π - + - +

‘Αρα χε (-⁄ ,-2) U (3,5). ιι) Πρέπει πρώτα να πάρουμε τον περιορισμό χ2+2χ-3 ÷ 0 Û χ ÷ 1 και χ÷ -3 .

Στη συνέχεια έχουμε 2 22 9)(x+2)(x 02x 2 3

(x+2)(x 9)(x 2 3) 0x

x,″ Û

∗ ,, ∗ , ″

Βρίσκουμε τις ρίζες των παραγόντων του γινομένου και φτιάχνουμε τον πίνακα προσήμων

χ -⁄ -3 -2 1 3 +⁄ χ+2 - - 0 + + + Χ2-9 + 0 - - - 0 +

Χ2+2χ-3 + 0 - - 0 + + Π - - + - +

‘Αρα χε(-⁄ ,-3) U (-3,-2] U (1,3]. Η διπλή γραμμή στις τιμές -3 και 1 σημαίνει ότι οι τιμές αυτές δεν είναι δεκτές γιατί μηδενίζουν τον παρανομαστη . Ειδικές Περιπτώσεις Αν η κλασματική ανίσωση περιέχει και άλλα κλάσματα ή ακόμα και κάποιον αριθμό

εκτός της παράστασης A(x)B(x)

δεν κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών

Βρίσκοντας το Ε.Κ.Π. Για να λύσουμε μία τέτοια ανίσωση εργαζόμαστε ως εξής:

· Παίρνουμε περιορισμούς (οι παρονομαστές διάφοροι του μηδενός). · Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος της ανίσωσης και κάνουμε

ομώνυμα.

· Το πρώτο μέλος παίρνει τώρα την μορφή A(x)B(x)

,οπότε λύνουμε την

ανίσωση που προέκυψε όπως αναφέρθηκε πρίν.


58

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Να λυθούν οι ανισώσεις : ι) 2x-1 12x 4

″,

ιι) 4 10

2x+1 1x 1x

x″ , ,,

ΛΥΣΗ

ι)Πρέπει χ2-4÷0 Û χ÷ ° 2

-1 0 022x-1 2x-1 2x-1 x 412 2 2 2x 4 x -4 x 4 x 4

″ Û , ″,

″ Û, , ,

2 22x-1-x +4 -x 2 3 2 20 0 (-x 2 3)(x 4) 02 2x -4 x 4x x∗ ∗

″ Û ″ Û ∗ ∗ , ″,

χ -⁄ -2 -1 2 3 +⁄ -χ2+2χ+3 - - 0 + + 0 -

Χ2-4 + 0 - - 0 + + Π - + - + -

‘Αρα οι λύσεις είναι χε(-2,-1] U (2,3]

Η διπλή γραμμή στις τιμές -2 και 2 σημαίνει ότι οι τιμές αυτές δεν είναι δεκτές γιατί μηδενίζουν τον παρανομαστη .

ιι) Πρέπει χ2-1 0 χ 1

4 10 4 102x +1 1 x+ 1 1(x +1)(χ -1)x 1

x xx x″ , Û ″ ,, ,,

Û

χ(χ+1)(χ -1)

4(χ-1) 10(x+1)(χ -1) (x-1)(χ+1)″ ,

χ(χ+1)- + 0(χ-1)4(χ-1) 10

(x+1)(χ-1) (x-1)(χ+1) ″

04 (χ -1)-10 +χ(χ+1)(x+1)(χ -1) ″

20

4χ-4-10+χ +χ(x+1)(χ-1) ″

20

χ +5χ-14(x+1)(χ-1) ″

Βρίσκουμε τις ρίζες των παραγόντων του γινομένου και φτιάχνουμε τον πίνακα προσήμων

2 0(χ +5χ -14)(χ -1)(χ+1) ″ χ-1=0 χ=1 και χ+1=0 χ=-1

΄Αρα χ2+5χ-14=0 χ=-7 ή χ=2

÷ Û ÷ °

Û

Û Û Û

Û Û

Û


59

χ -7 -1 1 2 χ2+5χ-14 + o - - - o +

χ-1 - - - o + + χ+1 - - o + + + Π + - + - +

‘Αρα οι λύσεις είναι χ (- ,-7 ] (-1 ,1 ) [2 ,+ ]Î ⁄ È È ⁄

Η διπλή γραμμή στις τιμές -1 και 1 σημαίνει ότι οι τιμές αυτές δεν είναι δεκτές γιατί μηδενίζουν τον παρανομαστη .

-⁄ +⁄


60


1.Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: ι)3( 2) 5( 1) 3 2( 3)c c c- - + ³ - -

ιι) 4 3 223 6 4c c c- -- -p ιιι) 3 53 2

2 2c cc -

+ - -f

ιν) 3 5 1014 2 4

c c c- + +- - -p

2.Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισοτήτων και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν:

ι)3( 1) 2 1c c c- + +p και 2( 3) 2c c+ - ³

ιι) 112c c-

- p και 4 414 8c c- +

- ³

ιιι) 1 2 132 2c-

- ³ και 20 3 3067 7

c c+ +- ³

ιν) 4 3 65 15c c-

- f και 54 2 4c c- £

3.Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:

ι)3 5 1 7 5c c c- £ + £ - ιι) 2( 1) 3 3( 1)c c c- £ - +p

ιιι) 5 4( 2) 2( 3) 5(2 ) 4c c c c- - - + + -p p

ιν) 4 2 3 22( 1)3 2c cc- +£ - p

ν) 5 5( 3) 13 6

c c c+ --p p

4.Να λυθούν οι ανισώσεις:

ι) 1

3 13

x -- ³ ιι)

2 4 44 5

3x

x+ +

+ - £ ιιι) 15 2 9

8 2 72

xx

- -£ - -

ιν) 1 2 2 5 5 6x x x- + - - -f ν)6 3 4 8 3

2 1 28 5

x xx

- - +- + - ³


61

5.Ομοίως:

ι) 1 5 3x+p p ιι) 3 2 1 5x- £p ιιι)5 3 1 8x£ - p ιν) 4 6 2 10x£ - £

6.Ομοίως:

ι) 4 1 0x x- - + f ιι) 4 2 3x x- - ³ ιιι) 33 22

x x-- £ +

7.Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

ι) 2( )3

xf xx-

=-

ιι) 5 2( )13

xf xx-

=+

ιιι) 5 2( )2 2 1

xf xx x

-=

- - - ιν) ( ) 4 20f x x= +

ν) ( ) 6f x x= - νι) 3( )5

xf xx-

=-

νιι) 3( )3xf x

x-

=-

νιιι) ( ) 2 6f x x x= - + - ιχ) 2 2

1 6( )2 9

xf xx x x

+= -

- - χ) 1( ) 5

3f x x

x= - -

+

8.Να λυθούν οι ανισώσεις:

ι) 2 2 3 0x x∗ , f ιι) 2 3 4 0x x, ∗ ∗ ′ ιιι) 2 4 12 0x x, ∗ ∗ f ιν) 23 4 4 0x x, ∗ ∗ ″ ν) 2 4 4 0x x, ∗ ″ νι) 22 4 2 0x x, ∗ p νιι) 2 8 16 0x x, ∗ , ″ νιιι) 2 2 3 0x x, ∗ , ″ ιχ) 23 3 1 0x x, ∗ , ′

χ) 23 6 3 0x x, ∗ p .

9.Ομοίως:

ι) 2 5 0c c, p ιι) 2 3 0c c∗ ″ ιιι) 22 5 0c c, ″ ιν) 2 6 0c c, , ″ ν) 2 9 0c , ′

νι) 2 7c c,f νιι) 22 4c c, ′ νιιι) 2c c′, .

10.Ομοίως:

ι) 2c c′, ιι) 4( 5) ( 4)( 4) 0c c c, , , ∗ ″ ιιι) 22( 3)( 3) ( 1) 4c c c, ∗ , , ,p

11.Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων:

ι) 2 2 3 0c c, , p και 2 2 0c c, ∗ ∗ ″ ιι) 2 2 0c c∗ , ″ και 2 2 8 0c c∗ , p

ιιι) 2 4 5 0c c∗ , f και 2 4 0c , ″ ιν) 2 6 0c c∗ , ′ και 2 2 1 0c c, ∗ f

ν) 2 5 4 0c c, ∗ ″ και 2 2 8 0c c, ∗ ∗ ″ .


62

12.Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:

ι) 23 2 8c c′ , ′ ιι) 4( 1) ( 7) 2(2 5)c c c c∗ ∗ ∗p p

13.Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες το τριώνυμο 2 14 50c c, ∗ παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 5 και μικρότερες του 26.

14.Νa βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

ι) 2( ) 4 5f x c c< , , ιι) 2( ) 9f x c< , ιιι)2

2( )7

xf xx x

∗<

,

ιν) 2

2

3 10( )4 3

x xf xx x

, , ∗<

∗ ∗ .

15.Να βρείτε τα διαστήματα του χ,στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πανω από τον άξονα χ΄χ:

ι) 2( ) 3 10f x x x< , , ιι) 2( ) 3 4 4f x x x< , ∗ ∗ .

16. Να βρείτε τα διαστήματα του χ,στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω απο τον άξονα χ΄χ:

ι) 2( ) 3 4f x x x< ∗ , ιι) 2( ) 2 3 5f x x x< , ∗ ∗ .

17. Να βρείτε τα διαστήματα του χ,στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πανω από την γραφική παράσταση της g:

ι) 2( ) 4 6f x x x< ∗ , και ( ) 2 3g x x< ,

ιι) 2( ) 4 8f x x x< , ∗ ∗ και 2( ) 3 4g x x x< , ∗ .

18.Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση 2 ( 3) 6 0x l c∗ , ∗ < έχει 2 ρίζες

πραγματικές και άνισες.

19 .Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση 2 ( 5) 3 7 0x l c l, ∗ ∗ , , < να μην έχει ρίζες πραγματικές.

20.Να βρείε τις τιμες του λ ώστε το τριώνυμο 2( 1) 4 2 0, 1xl c l l, ∗ ∗ ∗ < ÷ θετικό.

21. Να βρείτε τις τιμες του λ ώστε το τριώνυμο 2 ( 3) 0, 0xl l c l l∗ , ∗ < ÷

να είναι αρνητικό.


63

22 . Να βρείτε τις τιμες του λ ώστε η ανίσωση 24 4(2 1) 4 3 0c l c l∗ , ∗ , ″

να αληθεύει πάντα.

23.Ομοίως : 2( 2) 2 2 3 0l c lc l, , ∗ , f .

24.Να λυθούν οι ανισώσεις :

ι) 2( 2)( 2 3) 0c c c, ∗ , f ιι) 2( 3)( 4 3) 0c c c, , ∗ ′

ιιι) 2 2( 4)( 3 10) 0c c c, , ∗ ∗ ″ ιν) 2 2( 3 4)( 3 2) 0c c c c∗ , , ∗ p

25.Ομοίως:

ι) 2 2( 6)( 2) 0c c c c c, , , ∗ p ιι) 2 2(9 )(2 ) 0c c c, , p

ιιι) 2 2(16 )(4 2 )( 2 1) 0c c c c, , , ∗ , ″

26.Να λύσετε τις ανισώσεις:

ι) 2 04

cc

,″

∗ ιι) 5 0

1c

c,

″∗

ιιι) 1 04

cc

,″

, ιν) 2

3 04 5

cc c

,∗ ,

p ν)225 0

2c

c,∗

f

νι)2 2 3 0

2c c

c, ,

″,

.

27.Ομοίως:

ι) 2

2

( 2)(9 )2 3

c cc c, ,

∗ ,″ 0 ιι)

2 2

2

( 1)( 6)2 8

c c cc c

, , ∗ ∗, ,

′ 0 ιιι)2

2

( 3)( 1) 04

c c cc

∗ , ∗ ,″

,

28.Ομοίως:

ι)2 5 4

2cc

,″

, ιι) 8

2 1c

cc∗

″∗

ιιι) 2

2

2 4 5 12

c cc, ∗

″∗

ιν) 2

3 133 3

cc c c c

∗ ′∗ ∗

ν) 1 2 11 1

cc c

,″ ∗

∗ ,.


64

Aκολουθίες

‘Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R.

a: Ν*↑ R

H τιμή μία ακολουθίας στο ν συμβολίζεται με αν

Αναδρομικός Τύπος Ακολουθίας: Ονομάζεται μία σχέση που συνδέει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους της ακολουθίας πχ αν+1,αν.αν-1, με την βοήθεια της οποία μπορούμε να βρούμε οποιονδήποτε άλλο όρο της ακολουθίας.

Αριθμητική Πρόοδος(Α.Π)

‘Ορισμός: Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος ,αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου αριθμού ω. Ο αριθμός ω ονομάζεται διαφορά της προόδου.

αν+1=αν+ωÛ αν+1-αν=ω

ν-οστός όρος Α.Π : αν=α1+(ν-1)ω

Διαδοχικοί Όροι Α.Π : Τρείς αριθμοί α,β,γ ονομάζονται διαδοχικοί όροι Α.Π αν και μόνο αν ισχύει:


1. Ο αριθμητικός Μέσος δύο οποιωνδήποτε αριθμών α,β είναι το ημιάθροισμά

τους δηλαδή α+β2

.

2. O αριθμητικός μέσος των α1,α2,α3,.........,αν είναι ο α +α +......+αν1 2

2.

‘Αθροισμα ν πρώτων όρων Α.Π :

Αν γνωρίζουμε τον πρώτο και τον ν-οστό όρο,καθώς και το πλήθος των

όρων ν χρησιμοποιούμε τον τύπο: ν

= (α +α )ν ν12S

α+γ2β=α+γ β=

2Û


65

Αν γνωρίζουμε τον πρώτο όρο,την διαφορά ω και το πλήθος των όρων

ν,χρησιμοποιούμε τον τύπο : ν

= [2α +(ν-1)ω]ν 12S .

Παρατηρήσεις για την επίλυση Ασκήσεων

· ‘Οταν μας ζητείτε να δείξουμε οτι μία ακολουθία είναι Α.Π i)Αν γνωρίζουμε τον ν-οστό όρο αν ,βρίσκουμε τον όρο αν+1 και αποδεικνύουμε ότι η διαφορά αν+1-αν είναι σταθερή δηλάδή δεν εξαρτάται από το ν. Αν γνωρίζουμε το άθροισμα νS έχουμε :

ii)

ν-1S

ν 1 2 ν-1 ν ν ν-1 ν ν ν ν-1S = α +α +....+α +α S =S +α α S -SÛ Û <6444447444448

Έτσι βρίσκουμε τον όρο αν και συνεχίζουμε όπως ακριβώς παραπάνω.

π.χ : ι)Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αν=3ν-5 είναι Α.Π

ιι)Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας (αν) είναι 2S =2ν -νν ,να αποδείξετε ότι είναι Α.Π.

Λύση

ι) Θέτοντας όπου ν το ν+1 έχουμε αν+1=3(ν-1)-5=3ν-2.Στη συνέχεια βρίσκουμε την διαφορά αν+1-αν =3ν-2-(3ν-5)=3ν-2-3ν+5=3

‘Αρα είναι Α.Π με ω=3 και για ν=1: α1 =-2

ιι) Ισχύει ∋ ( 22=2 ν-1 -(ν-1)=2ν -5ν+3ν-1S άρα

2α -5ν-3) =4ν-3ν= ν νν-12α S -S =2ν -ν-(2ν αν Û Û και τότε

αν+1=4(ν+1)-3=4ν+1 άρα αν+1-αν=4ν+1-(4ν-3)=4

΄Αρα είναι Α.Π με ω=4 και α1 =1

· ‘Οταν ζητείται ο πρώτος όρος και η διαφορά μίας Α.Π δεδομένων κάποιων σχέσεων μεταξύ διαφόρων όρων της Α.Π Σ’αυτήν την περίπτωση αντικαθιστούμε τους γνωστούς όρους από την σχέση αν=α1+(ν-1)ω οπότε προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τα α1,ω. π.χ Δίνεται μία Α.Π της οποίας ο 7ος όρος είναι 9,ενώ το άθροισμα του 4ου και του 9ου είναι 16.Να βρείτε τον πρώτο όρο και την διαφορά. Λύση


66

1

3+3ω +8ω +11ω ω1 1

α =α +6ω α +6ω=9 α +6ω=9 α7 1 1 1 1α +α =16 α +α =16 2α =16 =294

< ,Û ÞÛ

ì ü ì ü ì ü ì üï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïí ý í ý í ý í ýï ï ï ï ï ï ï ïï ïî þï ï ï ïî þ î þï ïî þ

· Αριθμητική Παρεμβολή ‘Οταν θέλουμε να παρεμβάλλουμε ν αριθμούς μεταξύ δύο άλλων,έστω α,β,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π:

i. Θεωρούμε τον πρώτο όρο της προόδου τον α,δηλαδή α1=α,τότε αν+2=β ii. Χρησιμοποιούμε τον τύπο αν=α1+(ν-1)ω ώστε να προσδιορίσουμε τη

διαφορά ω. iii. Προσθέτουμε την διαφορά ω στον προηγούμενο όρο και βρίσκουμε

τον επόμενο.

π.χ

Να παρεμβάλλεται 7 αριθμούς μεταξύ των αριθμών 2 και 50 ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.

Λύση

‘Εστω 2,χ1, χ2, χ3,........, χ7,50 τότε α1=2 και α9=α1+8ω Û 50=2+8ω Û 8ω=48 Û

ω=6.

‘Αρα οι όροι είναι 2,8,14,20,26,32,38,44,50.

· Αθροίσματα όρων Α.Π με περιττή ή άρτια τάξη i. Οι όροι περιττής τάξης α1, α3,α5,......αποτελούν μία νέα Α.Π με

διαφορά ω’=2ω ii. Οι όροι άρτιας τάξης α2, α4,α6,......αποτελούν μία νέα Α.Π με διαφορά

ω’=2ω . · Προσδιορισμός διαδοχικών όρων Α.Π,όταν γνωρίζουμε το αθροισμα τους

i. ‘Οταν γνωρίζουμε το άθροισμα περιττού πλήθους διαδοχικών όρων Α.Π συμβολίζουμε τον μεσαίο όρο με χ και οι υπόλοιποι όροι: .....,χ-3ω,χ-2ω,χ-ω,χ,χ+ω,χ+2ω,χ+3ω,......

ii. ‘Οταν γνωρίζουμε το άθροισμα άρτιου πλήθους διαδοχικών όρων Α.Π συμβολίζουμε τους δύο μεσαίους όρους με χ-ω, χ+ω και οι υπόλοιποι όροι: .....,χ-5ω,χ-3ω,χ-ω,χ+ω,χ+3ω,χ+5ω,......

π.χ

ι)Να βρείτε πέντε ακέραιους αριθμούς που αποτελούν διαδοχικούς όρους Α.Π και έχουν άροισμα 20 και γινόμενο -560.


67

ιι)Να βρείτε τέσσερις ακέραιους που αποτελούν διαδοχικούς όρους Α.Π και έχουν άθροισμα 4 και γινόμενο 105.

Λύση

ι)Συμβολίζουμε τους όρους: χ-2ω,χ-ω,χ,χ+ω,χ+2ω και συμφωνα με τις υποθέσεις της άσκησης έχουμε χ-2ω+χ-ω+χ+χ+ω+χ+2ω=20 Û 5χ=20 Û χ=4.

Επίσης (χ-2ω)(χ-ω)χ(χ+ω)(χ+2ω)=-560Û (4-2ω)(4-ω)4(4+ω)(4+2ω)=-560 Û

4(16-ω2)(16-4ω2)=-560Û 16(16-ω2)(4-ω2)=-560Û (16-ω2)(4-ω2)=-35Û ω4-20ω2+99=0.

Θέτουμε ω2=κ και έχουμε κ2-20κ+99=0 λύνοντας το τριώνυμο βρίσκουμε

κ=11 ή κ=9 άρα 2ω 11 ω= 11< Û ° που απορρίπτεται γιατί οι αριθμοί που προκύπτουν δεν είναι ακέραιοι.

2ω 9 ω= 3< Û ° . Για ω=3 και χ=4 προκύπτουν -2,1,4,7,10 Για ω=-3 και χ=4 προκύπτουν 10,7,4,1,-2 Επομένως σε κάθε περίπτωση οι ζητούμενοι αριθμοί είναι -2,1,4,7,10 ιι)Συμβολίζουμε τους όρους χ-3ω,χ-ω,χ+ω,χ+3ω και έχουμε χ-3ω+χ-ω+χ+ω+χ+3ω=4 Û 4χ=4 Û χ=1 Επίσης (χ-3ω)(χ-ω)(χ+ω)(χ+3ω)=105Û (χ2-9ω2)(χ2-ω2)=105 Û 9ω4-10ω2-104=0 Λύνοντας την εξίσωση όπως ακριβώς και παραπάνω προκύπτει

ω2=269

, Αδύνατη και ω2=4 Û ω=° 2

Για ω=2 και χ=1 προκύπτουν οι όροι -5,-1,3,7 Για ω=-2 και χ=1 προκύπτουν οι όροι 7,3,-1,-5 Σε κάθε περίπτωση οι όροι που προκύτουν είναι -5,-1,3,7


68

Γεωμετρική Πρόοδος

‘Ορισμός: Μία ακολουθία ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος ,αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο με πολλαπλασιασμό του επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό λ.Ο αριθμός λ ονομάζεται λόγος της προόδου.

ν+1

ν=λ

αα

Û α =λ ανν+1 ×

ν-οστός όρος Α.Π : αν=α1λν-1 Σε μία Γ.Π υποθέτουμε πάντα α1÷ 0(γιατί αλλιώς όλοι οι όροι θα είναι 0) και αφού λ÷ 0 προκύπτει ότι αν÷ 0(κανένας όρος δεν είναι 0)

Διαδοχικοί Όροι Α.Π : Τρείς αριθμοί α,β,γ ονομάζονται διαδοχικοί όροι Γ.Π αν και μόνο αν ισχύει:

β2=αγ

· Ο θετικός αριθμός αγ ονομάζεται γεωμετρικός μέσος των α,γ.

· Δύο ετερόσημοι αριθμοί δεν έχουν γεωμετρικό μέσο. · Δύο ίσοι αριθμοί έχουν γεωμετρικό μέσο την απόλυτη τιμή τους. · Αν έχουμε 4 διαδοχικούς όρους Γ.Π α,β,γ,δ τότε ισχύει β2=αγ και γ2=βδ άρα

ισχύει και αγ=βδ.

‘Αθροισμα ν πρώτων όρων Α.Π : νλ -1

S =α με λ 1ν 1 λ-1÷

Αν δεν γνωρίζουμε το πλήθος ν των όρων της Γ.Π αλλά τα α1 , λ και τον αν έχουμε :

νν α λ -αλ -1 α -α α λ-αν+1 1 ν 11 1S =α = = =ν 1 λ-1 λ-1λ-1 λ-1

Παρατηρήσεις για την επίλυση Ασκήσεων

· ‘Οταν μας ζητείτε να δείξουμε οτι μία ακολουθία είναι Γ.Π Αν γνωρίζουμε τον ν-οστό όρο αν ,βρίσκουμε τον όρο αν+1 και αποδεικνύουμε

ότι ο λόγος ν+1

ν

αα

είναι σταθερός δηλάδή δεν εξαρτάται από το ν.

Αν γνωρίζουμε το άθροισμα νS έχουμε : ν-1S

ν 1 2 ν-1 ν ν ν-1 ν ν ν ν-1S = α +α +....+α +α S =S +α α S -SÛ Û <6444447444448

Έτσι βρίσκουμε τον όρο αν και συνεχίζουμε όπως ακριβώς παραπάνω.


69

π.χ ι)Ο ν-οστός όρος μίας ακολουθίας δίνεται από τον τύπο ν+13

α =ν ν-12.Να δείξετε

ότι είναι Γ.Π και να βρείτε τα α1,λ.

ιι)Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μίας ακολουθίας είναι Sν=2(3ν-1). Να δείξετε ότι είναι Γ.Π και να βρείτε τα α1,λ.

Λύση

ι)Θέτουμε όπου ν το ν+1 και έχουμε ν+23

α = νν+1 2.Στη συνέχεια εξετάζουμε τον λόγο

3ν-(ν-1) -13 2 σταθερός2

ν+23ν+2 ν-1να 3 2 ν+2-(ν+1)ν+1 2= 3 2ν+1 ν+1 να 3 3 2ν

ν-12

< × < <×

< < ××

‘Αρα είναι Γ.Π με λ= 32 και α1=9

ιι)Θέτουμε όπου ν το ν-1 και έχουμε Sν-1=2(3ν-1-1) και έτσι βρίσκουμε

αν=Sν-Sν-1=2(3ν-1)- 2(3ν-1-1)= ν3 4ν ν2 3 2 33 3

× , × < × .

‘Ετσι έχουμε

4 ν+13αν+1 3 34 ναν 33

< < .’Αρα είναι Γ.Π με λ=3 και α1=4.

· Γεωμετρική Παρεμβολή ‘Εστω ότι έχουμε δύο μη μηδενικοί αριθμοί α,β με α÷ β και θέλουμε να τοποθετήσουμε ανάμεσα τους,ν το πλήθος αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους Γ.Π,τότε: § Θεωρούμε χ1,χ2,....,χν τους αριθμούς που ψάχνουμε. § Σχηματίζουμε την Γ.Π α, χ1,χ2,....,χν,β. § Διαπιστώνουμε α1=α και αν+2=β και έτσι έχουμε αν+2=α1λν+1 Û β=αλν+1

Û λ=

βν+1 ,αν ν άρτιοςαβν+1 ,αν ν περιττόςα

°

ì üï ïï ïï ïï ïï ïí ýï ïï ïï ïï ïï ïî þ


70

§ Αντικαθιστούμε το λ στον τύπο αν=α1λν-1 και βρίσκουμε τους υπόλοιπους όρους.

π.χ Μεταξύ των αριθμών 29

και 162 να βρείτε 5 αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να

αποτελούν διαδοχικούς όρους Γ.Π

Λύση

‘Εστω χ1,χ2,χ3,χ4,χ5 οι όροι που ζητάμε τότε οι αριθμοί 29

, χ1,χ2,χ3,χ4,χ5,162 είναι

διαδοχικοί όροι Γ.Π με α1=29

α7=162 ,έτσι έχουμε:

α7=162Û α1λ6=162 Û29

λ6=162Û λ6=729 Û λ= ° 3 .

Για λ=3 : 29

,23

,2,6,18,54,162

Για λ=-3 : 29

,- 23

,2,-6,18,-54,162

· Αθροίσματα ‘Ορων Γ.Π που έχουν άρτια ή περιττη τάξη ‘Εστω (αν) μία Γ.Π με λόγο λ,τότε: § Οι όροι α1,α3,α5,.....,με περιττή τάξη αποτελούν μία νέα Γ.Π με λόγο

λ’=λ2. § Οι όροι α2,α4,α6,.....,με άρτια τάξη αποτελούν μία νέα Γ.Π με λόγο

λ’=λ2. § Οι όροι α1

κ,α2κ,α3

κ,..... αποτελούν μία νέα Γ.Π με λόγο λ’=λκ · Προσδιορισμός διαδοχικών όρων Γ.Π,όταν γνωρίζουμε το γινόμενό τους

§ ‘Οταν γνωρίζουμε το γινόμενο περιττού πλήθους διαδοχικων όρων μίας Γ.Π,συμβολίζουμε με χ τον μεσαίο όρο και αν λ ο λόγος της Γ.Π

έχουμε : χ χ χ 2....., , , ,χ,λχ,λ χ,....3 2 λλ λ

§ ‘Οταν γνωρίζουμε το γινόμενο άρτιου πλήθους διαδοχικων όρων μίας

Γ.Π,συμβολίζουμε με χλ και χλ τους δύο μεσαίους όρους και τότε

είναι λ2 ο λόγος της Γ.Π,οπότε έχουμε χ χ χ 3....., , , ,λχ,λ χ,....5 3 λλ λ


71

π.χ

ι) Να βρείτε 3 αριθμούς που αποτελούν διαδοχικούς όρους Γ.Π και έχουν γινόμενο 8,ενώ το άθροισμα των αντιστρόφως τους είναι 21/8.

ιι)Να βρείτε 4 αριθμούς που αποτελούν διαδοχικούς όρους Γ.Π και έχουν γινόμενο 64,ενώ ο τρίτος είναι ίσος με το τετράγωνο του δεύτερου.

Λύση

ι) ‘Εστω

χ,χ,χλ

λ οι ζητούμενοι αριθμοί τότε έχουμε

χ 3χ χλ=8 χ 8 χ=2λ

× × Û < Û

Επίσης: 12 2+4λ+4=21λ -17λ+4=0 λ=4 ή λ= 4

λ 1 1 21 λ 1 1 21+ + = + + = 4λ 4λ

χ χ λχ 8 2 2 2λ 8Û ÛÛ Û

Για χ=2 και λ=4: 12

,2,8

Για χ=2 και λ= 14

: 8,2, 12

Σε κάθε περίπτωση οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 12

,2,8

‘Αθροισμα Απείρων ‘Ορων Γ.Π: 1aS=1-λ

με |λ|<1


72


1. Να βρείτε τον 15ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31, …..

2. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι: α8 = 22 και α14 = 40. Να προσδιορισθεί ο

εικοστός όρος της προόδου.

3. Ο πρώτος όρος αριθμητικής προόδου είναι 2 και ο ενδέκατος όρος είναι 92. Να

βρεθεί η πρόοδος και το άθροισμα των 20 πρώτων όρων της.

4. Σε μια αριθμητική πρόοδο δίνονται α1 = 23, ω = - 2 και αν = 5. να βρεθεί το ν και

το Sν.

5. Σε αριθμητική πρόοδο δίνονται: α1 = 3, ω = 4 και Sν = 136. Να βρεθούν οι ν και

αν.

6. Σε αριθμητική πρόοδο δίνονται: α1 = 1, αν = 25 και Sν = 91. Να βρεθούν οι ν και ω.

7. Δείξτε ότι σε κάθε αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει:

α1 – 4α2 + 4α3 – α5 = 0

8.Σε μία Α.Π ισχύει : α4+α12=0 και α7+α19=-30.

Να βρείτε:

α)τον πρώτο όρο και την διαφορά της προόδου,

β)τον όρο αν για τον οποίο ισχύει αν=ν.

9. Σε μία Α.Π ισχύει α3+α4+α12=10 και ο όρος α13 είναι τριπλάσιος από τον όρο α8.

Να βρείτε:


β)τον όρο α23

γ) τον όρο αν για τον οποίο ισχύει αν=2ν.


73

10. Να προσδιορισθεί ο λ Î R ώστε ο λ + 1 να είναι αριθμητικός μέσος των λ2 + 3

και 1 – λ.

11.Δίνονται δύο αριθμοί που ο ένας είναι τριπλάσιος του άλλου και έχουν

αριθμητικό μέσο τον 16.Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.

12.Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β οι αριθμοί :3α+β, 2(α-β), α-5β, με την σειρά που

δίνονται είναι διαδοχικοί όροι Α.Π

13.Αν οι αριθμοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π να αποδείξετε ότι το ίδιο ισχύει και

για τους αριθμούς (β+γ)2-α2 , (α+γ)2-β2, (α+β)2-γ2.

14.Δίνονται οι θετικοί αριθμοί α,β,γ ώστε οι αριθμοί :

α+β α γ γ+β, + ,

β+γ β+γ β+α β+α

να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.Να αποδείξετε ότι και οι αριθμοί:

α2 , β2 , γ2

είναι διαδοχικοί όροι Α.Π

15.Να υπολογίσετε τα αθροίσματα:

ι)1+4+7+....+94 ιι)-5-1+3+7+....+135 ιιι)-6-9-12-.....-114

16.Να βρείτε το άθροισμα:

ι)των πρώτων 50 θετικών πολλαπλασίων του 3.

ιι)των πρώτων 40 θετικών πολλαπλασίων του 5.

ιιι)των άρτιων αριθμών μεταξύ 21 και 153.

ιν)των πολλαπλασίων του 5 μεταξύ 31 και 206.

17.Σε μία Α.Π ο 16ος όρος είναι 50,ενώ το άθροισμα του 6ου και του 11ου όρου είναι

40.Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 31 όρων της.


74

18.Σε μία Α.Π με α1=45 και α6+α11=0.Να βρείτε το άθροισμα των θετικών τηε όρων.

19. Σε μία Α.Π με ω=4 ισχύει α21=3α16.Να βρείτε το άθροισμα των άρνητικών της

όρων.

20.Σε μία Α.Π με α6=8 και α11=23.Να βρείτε:


β)πόσοι όροι της προόδου έχουν άθροισμα 14,

γ)το άθροισμα S=α15+α16+...+α25

21.Ο ν-οστός όρος μία ακολουθίας είναι: αν=5ν-8,να δείξετε ότι η ακολουθία αυτή

είναι Α.Π,της οποίας να βρείτε τον πρώτο όρο και την διαφορά.

22. Αν για κάθε ν ÎN*, το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας (αν) είναι:

Sν = 2ν2 – 5ν, δείξτε ότι η (αν) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τους α1 και ω.

23. Αν για κάθε ν Î N* είναι Sν = 3ν2 – ν (άθροισμα ν πρώτων όρων), να βρείτε το

νιοστό όρο της ακολουθίας (αν) και να αποδείξετε ότι είναι αριθμητική πρόοδος.

24.Μεταξύ των αριθμών 6 και 50 θέλουμε να παρεμβάλουμε10 αριθμούς,ώστε όλοι

μαζί να απολτελούν διαδοχικούς όρους Α.Π.Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.

25.Δίνονται πέντε διαδοχικοί όροι Α.Π που έχουν άθροισμα 55,ενώ το άθροισμα

των τετραγώνων τους είναι 695.

26.Να βρείτε 4 διαδοχικούς ακέραιους όρους Α.Π,που έχουν άθροισμα 20,ενώ το

άθροισμα των αντιστρόφων τους είναι 2524

.

27. Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + ….. + (x + 60) = 1050

β) 1 + 7 + 13 + ….. + x = 280, x >0


75

28. Στο αμφιθέατρο του Μαθηματικού τμήματος υπάρχουν 20 σειρές καθισμάτων.

Το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο. Η 1η σειρά

έχει 16 καθίσματα, η 7η σειρά έχει 28 καθίσματα.

α) Πόσα καθίσματα έχει η 10η σειρά;

β) Πόσα καθίσματα υπάρχουν από την 4η ως και τη 10η σειρά;

γ) Αν στην πρώτη σειρά του αμφιθεάτρου υπάρχουν 6 κενές θέσεις, στη δεύτερη 9

κενές θέσεις, στην τρίτη 12 κενές θέσεις κλπ, από ποια σειρά και πέρα θα υπάρχουν

μόνο κενά καθίσματα;

δ) Πόσοι είναι οι παρόντες φοιτητές;

29.Ο κατασκευαστής μίας πολυκατοικίας 12 ορόφων με πυλωτή καθόρισε ως τιμή

πώλησης του πρώτου ορόφου 1200€/m2 και για κάθε επόμενο όροφο 100€/m2

ακριβότερα από τον προηγούμενο του όροφο.

α)Πόσο πωλείται το διαμέρισμα ανά m2 στον δέκατο όροφο;

β)Πόσο πωλείται ένα διαμέρισμα 82 m2 στον δωδέκατο όροφο;

γ)Αν ο κάθε όροφος έχει 200 m2,πόσα χρήματα θα εισπράξει ο κατασκευαστής απ’ο

την πώληση όλων των διαμερισμάτων;

30.Σε μία Γ.Π είναι α1=48 και α5=3.Να βρείτε τον λόγο λ και τους 5 πρώτους όρους.

31.Σε μία Γ.Π είναι α6=-108 και α3=4.Να βρείτε:

α)τον πρώτο όρο και το λόγο

β)τον όρο α5

32. Σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι: α1 = 6, λ = 2 και αν = 3072. Να βρεθεί το ν.

33. Να προσδιορισθεί ο x Î R ώστε οι αριθμοί: 1x - , 4 1x5 + , 3x + να είναι

διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.


76

34.Αν οι αριθμοί α , αβ , 2β3-β2γ , είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π,με α,β,γ ÷ 0,να

αποδείξετε ότι και οι όροι α , β ,γ ,είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π.

35.Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 7 όρων της γεωμετρικής προόδου:

192,96,48,......

36.Να υπολογίσετε τα παρακάτω άθροίσματα:

α)5+10+20+....+640

β)4-8+16-.....-8192

37. Να βρεθούν οι αριθμοί x, ψ, z αν γνωρίζουμε ότι έχουν άθροισμα 147, οι x, ψ, z

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, ενώ οι x, z, ψ είναι διαδοχικοί όροι

γεωμετρικής προόδου.

38. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 3 + 32 + 33 + ….. + 3x = 120, x Î N*

β) 1 + x + x2 + x3 + ….. + x39 = 0

39. Να βρεθεί γεωμετρική πρόοδος αν οι τρεις πρώτοι όροι της έχουν άθροισμα 21

και ο πρώτος όρος της με τον τέταρτο όρο της έχουν άθροισμα 27.

40.Ο ν-οστός όρος μίας ακολουθίας είναι αν=3 2ν.

α)Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι Γ.Π της οποίας να βρείτε τον πρώτο

όρο και τον λόγο.

β)Να βρείτε το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της.

41. Ο ν-οστός όρος μίας ακολουθίας είναι αν=χ 24-ν,όπου χεR .

α)Να αποδείξετε ότι η ακλολουθία αυτή είναι Γ.Π

β)Αν το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της είναι 127,να βρείτε το χ.


77

42.Μεταξύ των αριθμών 2 και 486 να βρείτε 4 αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να είναι

διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

43. Να βρεθούν τρεις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν

το άθροισμα τους είναι 42 και το γινόμενό τους είναι 512.

44. Να βρείτε 4 αριθμούς που είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικοί προόδου όταν το

γινόμενό τους είναι 4096 και ο τέταρτος ισούται με το γινόμενο των δύο μεσαίων.

45. Ένας αριθμός βακτηριδίων τριπλασιάζεται σε αριθμό κάθε μία ώρα.

α) Αν αρχικά υπάρχουν 10 βακτηρίδια, να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων ύστερα

από 6 ώρες.

β) Στο τέλος της έκτης ώρας ο πληθυσμός των βακτηριδίων ψεκάζεται με μια ουσία

η οποία σταματά τον πολλαπλασιασμό τους και συγχρόνως προκαλεί την καταστροφή

33 . 10 βακτηριδίων ανά ώρα.

i. Να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων που απομένουν 20 ώρες μετά τον ψεκασμό.

ii. Μετά από πόσες ώρες από τη στιγμή του ψεκασμού θα καταστραφούν όλα τα

βακτηρίδια;

46.Παρατηρήθηκε ότι η ποσότητα του πετρελαίου που διαρρέει στην θάλασσα από

ένα βυθισμένο πλοίο διπλασιάζεται κάθε μέρα.Το πετρέλαιο που διέρρευσε κατά την

διάρκεια της πρώτης μέρας ήταν 20 τόνοι.

α)Πόσοι τόνοι πετρελαίου θα διαρρεύσουν κατα την διάρκεια της 7ης μέρας;

β)Πόσοι τόνοι πετρελαίου θα διαρρεύσουν συνολικά κατά τις πρώτες 5 ημέρες;

γ)Αν η διαρροή σταματήσει στο τέλοες της 7ης ημέρας και το κόστος καθαρισμού του

πετρελαίου είναι 1000€ ανά τόνο,πόσο θα στοιχίσει ο καθαρισμός της θάλασσας από

την πύπανση που προκάλεσε το πλοίο.


78

47.Να υπολογίσετε τα αθροίσματα απείρων όρων σε καθεμία από τις παρακάτω

Γ.Π:

α)4,2,1,... β)9,-3,1.... γ)18,12,8,...

48.Δίνεται Γ.Π με α1=18 και λόγο λ,με |λ|<1.Αν το άθροισματων πρώτων 3 όρων

είναι 27,τότε να βρείτε:

α)το λόγο λ

β)το άθροισμα των απείρων όρων της.

49.Να λυθεί η εξίσωση : 1 1 2|x|

1+ + +.....=22+|x| 3(2+|x|)

50.α)Να αποδείξετε ότι x 12 2x +1

′

β)Να λύσετε την εξίσωση : 2 3

x x x 2+ + +......=2 2 2 3x +1 x +1 x +1

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø


79

Συναρτήσεις

Ορισμός: Συνάτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε μία διαδικασία(κανόνα)με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο στοιχείο του συνόλου Β.

‘Εστω μία συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β,τότε:

· Το σύνολο Α ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης. · Το y ή f(x) ονομάζεται τιμή της f στο χ. · Το χ ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή,ενώ το y εξαρτημένη μεταβλητή. · Το σύνολο Β=f(A) ονομάζεται σύνολο τιμών της συνάρτησης. · Η παραπάνω συνάρτηση συμβολίζεται ως εξής:

f:Α ↑Β χ↑f(x)

Πραγματική Συνάρτηση Πραγματικής Μεταβλητής

Μία συνάρτηση f:Α ↑Β ονομάζεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής,όταν ισχύει:

και ΒA Í Í¡ ¡

Με την παραδοχή A Í ¡ δηλ.ωνουμε ότι οι τιμές της μεταβλητής χ είναι πραγματικοί αριθμοί(πραγματικής μεταβλητής),ενώ με την παραδοχή Β Í ¡ δηλώνουμε ότι οι τιμές f(x) είναι πραγματικοί αριθμοί(πραγματική συνάρτηση).

Εύρεση Πεδίου Ορισμού Συνάρτησης

· Πολυώνυμική Συνάρτηση :f(χ)=ανχν+αν-1χν-1+......+α1χ+α0 έχει πεδίο ορισμού όλο το ¡ ,δηλαδή Α= ¡ .

· Ρητή Συνάρτηση: P(x)f(x)=

Q(x) όπου Ρ(χ) και Q(x) πολυώνυμα,έχει πεδίο

ορισμού όλο το ¡ εκτός από τις τιμές που μηδενίζουν τονπαρονομαστή, δηλαδή: Α={χε¡ /Q(x) 0÷ }


80

· ‘Αρρητη Συνάρτηση: f(x)= A(x) ,έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ζ |A= x /A(x) 0Î ″¡

· Συνάρτηση με ρίζα στον παρονομαστή: 1

f(x)=A(x)

,έχει πεδίο ορισμού το

σύνολο: ζ |A= x /A(x)>0Î¡


Αν έχουμε συνάρτηση με συνδιασμό των παραπάνω τύπων,τότε για να βρούμε το πεδίο ορισμού της,βρίσκουμε ξεχωριστά τους περιορισμούς που αναφέρθηκαν και τους συναληθεύουμε.

Παραδείγματα: Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

ι) x-5

f(x)= 2x +2x-3 ιι) f(x)= 2x-6+x-1 ιιι)

3-x-2f(x)=2x+8

ιν) 1f(x)= x+2- x-3

Λύση

ι)Πρέπει χ2+2χ-3÷ 0 Û χ÷ 1 και χ÷ -3.

‘Αρα Α=¡ -{-3,1}

ιι)Πρέπει 2χ-6≥0Û 2χ≥6Û χ≥3

‘Αρα χε[3,+ ⁄)

ιιι)Πρέπει 3-χ≥0Û χ≤3 και 2χ+8>0 Û 2χ>-8 Û χ>-4

Η συναλήθευση των δύο περιορισμών μας δίνει -4<χ≤3.

‘Αρα Α=(-4,3].

ιν)Πρέπει χ+2≥0Û χ≥-2 και χ-3÷ 0 Û χ÷ 3.

Από την συναλήθευση των περιορισμών παίρνουμε Α=[-2,3) È (3,+ ⁄).

Πολύκλαδη Συνάρτηση

Πολύκλαδη ονομάζεται η συνάρτηση που περιγράφεται από δύο ή περισσότερους τύπους(κλάδους)π.χ:

3x-2, aν χ 1f(x)= 2-x +2x+8, αν χ<1

ì üï ïï ïï ïí ýï ïï ïï ïî þ

′


81

Για να βρούμε το πεδίο ορισμού σε μία τέτοια συνάρτηση,απλά ενώνουμε τα διαστήματα στα οποία ορίζεται ο κάθε κλάδος,πχ:

Α=(-⁄,1] È (1,+ ⁄)=¡


82


1.Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

ι ) 3 2( )12 4

xf xx

+=

+ ιι) 2

1( )4

f xx

=-

ιιι) 2

2

9( )3 4

xf xx x

-=

+ -

ιν) 3 6( )1

xf xx+

=-

ν) 3( )1

xf xx

=-

νι) 2

2 3 4( )3 4 3

xf xx x x

-= -

+ - -

νιι) 2 2

2 3 4( )4 9 4 3

xf xx x x-

= -- + +

νιιι) 3 2

5 3( )4 4xf x

x x x+

=- +

ιχ) 4

5 3( )27

xf xx x

+=

- χ) 6 2

2( )16

xf xx x-

=-

2..Ομοίως:

ι) 2( )3

xf xx-

=-

ιι) 5 2( )13

xf xx-

=+

ιιι) 5 2( )2 2 1

xf xx x

-=

- - - ιν) ( ) 4 20f x x= +

ν) ( ) 6f x x= - νι) 3( )5

xf xx-

=-

νιι) 3( )3xf x

x-

=-

νιιι) ( ) 2 6f x x x= - + - ιχ) 2 2

1 6( )2 9

xf xx x x

+= -

- - χ) 1( ) 5

3f x x

x= - -

+

3.Ομοίως:

ι) 2f(x)= x -4x-5

ιι) 2f(x)= 9-x

ιιι)

x+2f(x)=2x -7x ιν)

2x-1f(x)=2-2x +x+6

ν)

2f(x)= 2x -4x+3 νι)

5-x

f(x)=29x -6x+1

4.Ομοίως:

ι)

2-x +3x+10f(x)=

x-2 ιι)

32 2f(x)= x -x-2+ -x +2x+15 ιιι)

2-x -3x+10f(x)= 2x +4x+3

ιν)

3 2x +2x-3f(x)= 2x -16


83

5.Δίνεται η συνάρτηση:

2x-5, 0f(x)= 2-x +3, 0

x

x

ì üï ïï ïï ïí ýï ïï ïï ïî þ

″

;

α)Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f;

β)Να βρείτε τις τιμές:

ι)f(-3) ιι)f 52

æ ö÷ç ÷ç ÷è ø ιιι)f(-1) ιν)f(0) ν)f

12

æ ö÷ç ÷ç ÷è ø νι)f( - 3 ).

6. Δίνεται η συνάρτηση:

3x-1, x<1f(x)= -x+3 1 x 2

0 2x

ì üï ïï ïï ïï ïí ýï ïï ïï ïï ïî þ

′ ′=

a)Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f ;

β)Να διατάξετε από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη τις τιμές:

f(-1), f 12

æ ö÷ç ÷ç ÷è ø, f(5), f(2).

7.Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2-4x+5.

α)Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f;

β)Να βρείτε τις τιμές :

ι)f(-2) ιι)f(0) ιιι)f(5).

γ)Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

ι)f(-3a) ιι)f(2a2) ιιι)f(a-β)

δ)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=2


f(x)=ax- x+3

για την οποία ισχύει f(6)=9.


84

a)Na βρείτε τον αριθμό α και το πεδίο ορισμού της f.

β)Να βρείτε τις τιμές f(-2) και f(13).

9.Δίνεται συνάρτηση f: ↑¡ ¡ για την οποία ισχύει:

f(x+2)=3f(2)-2(x-3)

για κάθε χ Î ¡ .Να βρείτε:

α)την τιμη f(2)

β)τον τύπο f(χ) της συνάρτησης.

10. Δίνεται συνάρτηση f: ↑¡ ¡ για την οποία ισχύει:

f(2χ-1)=4χ2-6χ -f(3)

για κάθε χ Î ¡ .Να βρείτε:

α)την τιμη f(3)

β)τον τύπο f(χ) της συνάρτησης.


85

Καρτεσιανές Συντεταγμένες-Απόσταση Σημείων

Ορισμός: ‘Ενα ζεύγος δύο κάθετων αξόνων χ’χ και y’y με κοινή αρχή ‘ενα σημείο Ο

το ονομάζουμε καρτεσιανο σύστημα συντεταγμένων και το συμβολίζουμε με Οχy,ενώ το επίπεδο στο οποίο ορίστηκε αυτό το σύστημα,το ονομάζουμε καρτεσιανό επίπεδο.

· Ο άξονας χ’χ ονομάζεται άξονας τετμημένων και ο y’y άξονας τεταγμένων.

· Για το σημείο Μ(α,β) οι αριθμοί α,β ονομάζονται συντεταγμένες του σημείου

Μ και εδικότερα το α τετμημένη και το β τεταγμένη του σημείου Μ.

· Αν οι άξονες χ’χ και y’y έχουν το ίδιο μήκος το σύστημα Οxy ονομάζεται ορθοκανονικό.

Σημεία των Αξόνων

· Κάθε σημείο του άξονα χ’χ έχει y=0,δηλαδή οι συντεταγμένες του είναι της

μορφής Μ(χ,0).

· Κάθε σημείο του άξονα y’y έχει χ=0, δηλαδή οι συντεταγμένες του είναι της

μορφής Μ(0,y).

‘Αρα ένα σημείο Μ(x,y) ,βρίσκεται:

· στον χ’χ αν y=0

· στον y’y αν χ=0.

Η αρχή των αξόνων Ο είναι κοινό σημείο και για τους δύο άξονες και έχει συντεταγμένες (0,0).


86

Τεταρτημόρια

Οι άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε 4 τεταρτημόρια,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Αν το Μ(χ,y) είναι σημείο του:

· 1ου τεταρτημορίου,τότε χ,y>0.

· 2ου τεταρτημορίου,τότε χ<0 και y>0.

· 3ου τεταρτημορίου,τότε χ,y<0.

· 4ου τεταρτημορίου,τότε χ>0 και y<0.

Συμμετρικά Σημεία

Εστω Μ(α,β) ένα σημείο του επιπέδου,τότε:

· το Μ’(-α,β)είναι το συμμετρικό του ως προς τον άξονα y’y.

· το Μ’’(α,-β) είναι το συμμετρικό του ως προς τον χ’χ.

· το Μ’’’(-α,-β) είναι το συμμετρικό του ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0,0).

· το Μ’’’’(β,α) είναι το συμμετρικό του ως προς την διχοτόμο της πρώτης και

τρίτης γωνίας των αξόνων y=x.

Aπόσταση Δύο Σημείων

‘Εστω Α(χ1,y1) και Β(χ2,y2) δύο σημεία του επιπέδου,τότε η απόστασή τους(δηλαδη το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν) είναι:

ΑΒ= 2 2(x -x ) +(y -y )2 1 2 1


87


1.Το σημείο Α(2κ+4,3-κ) βρίσκεται πάνω στον άξονα χ΄χ.Να βρείτε τις συντεταγμένες του.

2.Να βρείτε το α ώστε τα παρακάτω σημεία να ταυτίζονται με την αρχή των αξόνων: ι)Α( 2 9a - , 2 2 3a a+ - ) ιι)Β(|α|-2, 2 5 6a a- + )

ιιι)Γ( |2α-5|-3 ,|α-3|-2).

3.Να βρείτε τα συμμετρικά των παρακάτω σημείων Α(3,5) Β(-1,2) Γ(-1,-2) ως προς:ι)τον άξονα χ΄χ ιι)τον άξονα yy’ ιιι)την αρχή των αξόνων ιν)την διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

4.Δίνονται τα σημεία Α(2χ-7,3-y) και Β(-5,1).Να βρείτε τα χ ,y ώστε τα Α,Β να είναι συμμετρίκα ως προς: ι)τον άξονα χ΄χ ιι)τον άξονα yy’ ιιι)την αρχή των αξόνων ιν)την διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

5.Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων:

ι)Α(2,4) Β(5,8) ιι)Α(-3,-4) Β(3,4) ιιι)Α(-5,1) Β(7,6) ιν)Α(-7,-3) Β(-3,0)

6.Να βρειτε τα χ ώστε για τα σημεία Α(-1,-2) και Β(χ,1) να ισχύει ΑΒ=5.

7.Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές Α(1,4) ,Β(5,2) και Γ(-2,-2) είναι ορθογώνιο.

8.Δίνονται τα σημεία Α(-2,3) και Β(1,5).

α)Να βρείτε την απόσταση ΑΒ.

β)Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

γ)Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΟ.

9.Να βρείτε ποιά σημεία του άξονα χ’χ απέχουν από το σημείο Α(2,6) απόσταση 10.

10. Να βρείτε ποιά σημεία του άξονα y’y απέχουν από το σημείο Α(-2,1) απόσταση ίση με 13 .


88

Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Ορισμός: ‘Εστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A Í ¡ .Στο καρτεσιανό επίπεδο Οχy,το σύνολο των σημείων Μ(χ,f(x)),για κάθε χεΑ το ονομάζουμε γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

H γραφική παράσταση της συνάρτησης f συμβολίζεται με Cf.

Παρατήρηση: ‘Ενα σημείο Μ(α,β) ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f ,μόνο όταν ισχύει: f(α)=β

Πότε μία γραφική παράσταση ειναι γραφική παράσταση συνάρτησης;

Για μία συναρτηση f κάθε χ του πεδίου ορισμού αντιστοιχεί σε ένα και μόνο πραγματικό αριθμό f(x).’Αρα δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τετμημένη.Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία(δηλαδή κάθετη στον χ’χ)τέμνει την γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο. π.χ η παρακάτω γραφική παράσταση δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης(είναι γραφική παράσταση εξίσωσης).

Σημεία τομής Γραφικής παράστασης με τους ΄Αξονες

Για να βρούμε σημεία τομής μίας γραφικής παράστασης:

· με τον άξονα χ’χ: Θέτουμε στην εξίσωση y=f(x) όπου y=0 δηλαδή λύνουμε την εξίσωση f(x)=0 και οι λύσεις της (αν υπάρχουν) είναι οι τετμημένες των σημείων τομής.

· με τον άξονα y’y: Θέτουμε στην εξίσωση y=f(x) όπου χ=0.Ο αριθμός y=f(0) είναι η τεταγμένη του σημείου τομής. Προσοχή: Αν το 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης,η συνάρτηση δεν έχει κοινό σηνείο με τον άξονα y’y.


89

Παρατήρησεις: · Η Cf μπορεί να τέμνει τον χ’χ ακόμα και σε άπειρα σημεία,τον y’y τον τέμνει όμως το πολύ σε ένα σημείο(γιατι αλλιώς δεν ισχύει ο ορισμός της συνάρτησης). · Η Cf βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ αν f(x)>0 kαι κάτω από τον χ’χ αν f(x)<0.

π.χ ι)Να βρεθούν τα σημεία τομής με τους άξονες της συνάρτησης f(x)=2x-4.

ιι)Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της παραπάνω

συνάρτησης βρίσκεται:

α)πάνω από τον χ’χ’ β)κάτω από τον χ’χ

Λύση

ι) Η συναρτησή μας έχει πεδίο ορισμού το ¡ .

· Σημεία Τομής με χ’χ: Λύνουμε την εξίσωση f(x)=0 Û 2x-4=0 Û 2x=4 Û

x=2.’Aρα η γραφική παράσταση τέμνει τον χ’χ στο σημείο Α(2,0). · Σημεία Τομής με y’y: Για χ=0 έχουμε f(0)=-4.’’Aρα η γραφική παράσταση

τέμνει τον y’y στο σημείο B(0,-4).

ιι) Η Cf βρίσκεται πάνω από τον χ’χ αν f(x)>0Û 2x-4>0 Û 2x>4Û x>2.

Η Cf βρίσκεται κάτω από τον χ’χ αν f(x)<0Û 2x-4<0 Û 2x<4Û x<2.

‘Αρα η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ αν χε(2,+ ⁄ ) και κάτω απ’ο τον χ΄χ αν χε(-,⁄ 2).

Σχετική Θέση Γραφικών Παραστάσεων δύο Συναρτήσεων

Αν f,g δύο συναρτήσεις και Cf,Cg οι γραφικές τους παραστάσεις,τότε:

· Για τα χ εκείνα που ισχύειf(x)=g(x),οι Cf,Cg τέμνονται. · Για τα χ εκείνα που ισχύειf(x)>g(x),η Cf βρίσκεται πάνω από την Cg. · Για τα χ εκείνα που ισχύειf(x)<g(x),η Cg βρίσκεται πάνω από την Cf.

π.χ Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

f(x)=x2+8x-12 και g(x)=-x2+2x+8.

Λύση

Λύνουμε την εξίσωση f(x)=g(x) Û x2+8x-12=-x2+2x+8 Û 2x2+6x-20 Û

x=2 ή χ=-5 .


90

Για χ=2 έχουμε f(2)=8 και για χ=-5 έχουμε f(-5)=-27

’Αρα οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων τέμνονται στα σημεία Α(2,8) και Β(-5,-27).


91


1. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες:

ι) 2( ) 3 4f x c c= - - ιι) ( ) | 2 5 |f x x= - ιιι) 6( )2

xf xx+

=-

ιν) 3

5( ) xf xx-

=

ν) ( ) 4f x x= - νι) ( ) | 1| | 2 |f x x x= - - - 2.Δίνεται η συνάρτηση :

2x-6, x 2f(x)= 2x -3x-10, x<2

″ì üï ïï ïí ýï ïï ïî þ

Να βρείτε: α)το πεδίο ορισμού της f. β)τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες.

3. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες:

ι)f(x)=|χ-2|-|2χ+1| ιι)f(x)=χ4-5χ2+4 ιιι)f(x)=χ5+27χ2 ιν)f(x)=χ5-16χ. 4.Η γραφική παράσταση της συνάρτησης:

a 3af(x)= -2 x+1x -1

διέρχεται από το σημείο Μ(2,- 23 ).Να βρείτε :

α)το πεδίο ορισμου τυης συνάρτησης. β)τον αριθμό α. γ)τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες.

5. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 2 5f x x= - και ( ) 3g x x= - .

Να βρείτε: ι)τα κοινά σήμεία των fC , gC ιι)τα διαστήματα στα οποία:

α)η gC βρίσκεται πάνω απο τον άξονα χ΄χ β)η fC βρίσκεται πάνω από την gC .


92

6. Δίνεται η συνάρτηση ( ) | 2 | 5f x x= - - .Να βρείτε: ι)τα σημεία τομής της fC με

τους άξονες. ιι)τα διαστήματα στα οποία η fC βρίσκεται: α)πάνω από τον χχ’

β)κάτω από τον χχ’.

7.Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x)=x2-λx+2 και g(x)=μx2+x+8

Η Cf τέμνει τον άξονα χ’χ σε σημεί με τετμημένη 2,ενώ η Cg διέρχεται από το σημείο Κ(-2,2).Να βρείτε: α)τους αριθμούς λ και μ. β)τα κοινά σημεία των Cf και Cg.


93

Η συνάρτηση f(x)=ax+β Ορισμός: Η γωνία ω που γράφει ο άξονας χ’χ ,αν στραφεί κατά την θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ευθεία ε ονομάζεται γωνία της ε με τον χ’χ.

Αν ω=0ο,ηευθεία ε είναι παράλληλη με τον χ’χ.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι : 00≤ω<180ο Συντελεστής Διεύθυνσης ή Κλίση Ευθείας: ονομάζεται η εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον χ’χ άξονα. Αν Α(χ1,y1) και Β(χ2,y2) είναι δύο σημεία του επιπέδου,η κλίση της ευθείας που ορίζουν δίνεται από τον τύπο:

α= y -y2 1x -x12

Γραφική Παράσταση f(x)=ax+β · Είναι ευθεία.

· Τέμνει τον χ’χ στο σημείο βA - ,0α

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø.

· Τέμνει τον y’y στο σημείο Β(0,β). · ‘Εχει κλίση α=εφω

Αν α=0 έχουμε την f(x)=β έχουμε την σταθερή συνάρτηση που η γραφική της παράσταση είναι παράλληλη στον χ’χ ‘αξονα.

(ω>0) (ω<0) ( ω=0) Η ευθεία y=0 παριστάνει τον χ’χ άξονα.


94

Γραφική Παράσταση f(x)=ax · Είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0). · ‘Εχει κλίση α=εφω. · Είναι παράλληλη με την ευθεία y=ax+β.

Αν α=1 (ω=45ο ) έχουμε την y=x που είναι η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων.

Αν α=-1 (ω=135ο ) έχουμε την y=-x που είναι η διχοτόμος της δεύτερης και τέταρτης γωνίας των αξόνων.

Συνθήκη Παραλληλίας –Καθετότητας Δύο Ευθειών Αν ε1:y=a1x+β1 και ε2:y=a2x+β2 δύο ευθείες του επιπέδου,τότε αν:

· α1=α2 οι ευθείες είναι παράλληλες. · α1=α2 και β1=β2 οι ευθείες συμπίπτουν. · α1α2 =-1 οι ευθείες είναι κάθετες.

π.χ ι)Να βρεθεί το λ,ώστε οι ευθείες ε1:y=(2λ2+4)χ-7 και ε2:y=(λ2+4λ)χ+13 να είναι παράλληλες.

ιι) Να βρεθεί το λ,ώστε οι ευθείες ε1:y=(λ+1)χ-3 και ε2:y= λ-22

χ+4 να είναι κάθετες.

Λύση

ι)Πρέπει 2λ2+4=λ2+4λ Û λ2-4λ+4=0 Û λ=2

ιι)Πρέπει λ+1λ-22

=-1 Û (λ+1)(λ-2)=-2 Û λ2-λ-2=-2 Û λ2-λ=0 Û λ(λ-1)=0 Û

λ=0 ή λ=1.


95


1. Η ευθεία y=(λ+2)χ +2λ+8 διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

ι)να βρείτε το λ ιι)να σχεδιάσετε την ευθεία.

2. Η ευθεία y=(2λ-6)χ+λ-1 είναι παράλληλη στον άξονα χχ’.


3.Η ευθεία y=(3-λ)χ+λ+1 σχηματίζει με τον άξονα χχ’ γωνία 045 .


4.Να σχεδιάσετε τις γραφικες παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων:

ι)f(x)= 5

2 1

cc-ì

í- +î

22

xx>£

ιι) 2 2 3

( )2 8 3

xf x

x x- < <ì

= í- + ³î

ιιι)f(χ)=|χ|-2 ιν)f(χ)=|χ+2| -|χ-1|

5.Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι παρακάτω ευθείες είναι παράλληλες:

ι) ε:y=(3λ-5)χ+2 ζ:y=4χ-1 ιι)ε: y=(λ-3)χ-1 ζ:y=(5-λ)χ+4

ιιι)ε: y=( 2 4l l+ )χ -7 ζ: y=(λ+10)χ+21 ιν)ε: y=λ(λ-3)χ+2 ζ: y=(4—3λ)χ

ν) ε: y=|λ+2|χ-1 ζ: y=χ-5 νι) ε: y=|λ-3|χ-2 ζ: y=|3λ+7|

6. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι παρακάτω ευθείες είναι κάθετες:

ι) ε:y=(λ+1)χ ζ: y=(λ+3)χ-2 ιι) ε:y=(λ+8)χ ζ: y=(λ+8)χ -4

ιιι)ε: y=(λ-1)χ -2 ζ: 2 62

y lc

-= + ιν)ε: y=(λ-2)χ-1 ζ: y= 3

3lc +

-

ν) ε: y= 22 4l c - ζ: y= 43 5l c - .

7.Δίνονται οι ευθείες ε: y=λ(λ+3)χ+5 και ζ: y=(λ+8)χ+2λ+1.Να βρείτε για ποιές τιμές του λ οι ευθείς : ι)είναι διακεκριμένες και παράλληλες ιι)ταυτίζονται.

8.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απο τα παρακάτω σημεία:

ι)Α(-4,0) Β(0,2) ιι)Α(0,-2) Β(3,1) ιιι)Α(0,3) Β(2,1) ιν)Α(0,-1) Β(4,-1)


96

9.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας:

ι)που είναι παράλληλη στην ευθεία ε:y=-3χ+2 και διέρχεται απο το σημείο Α(2,-1)

ιι) που είναι παράλληλη στην ευθεία ε:y=2χ+5 και διέρχεται απο το σημείο Α(2,-13).

10.Να βρείτ την εξίσωση της ευθείας πο είναι κάθετη στην ευθεία ε:y=2χ+7 και διέρχεται απο το σημείο Α(-4,-1).


97

Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης

Κατακόρυφη Μετατόπιση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f,με:

· f(x)=φ(x)+c,όπου c>0,προκύπτει από μία κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω.(Σχήμα 1)

· f(x)=φ(x)-c,όπου c>0,προκύπτει από μία κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω.(Σχήμα 2)

(Σχήμα 1)

(Σχήμα 2)

Οριζόντια Μετατόπιση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f,με:

· f(x)=φ(x-c),όπου c>0,προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά.(Σχήμα 3)

· f(x)=φ(x+c),όπου c>0,προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά.(Σχήμα 4)


98

(Σχήμα 3)

(Σχήμα 4)


Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f,με :

· f(x)=φ(x+c)+d, όπου c,d>0 προκύπτει από την γραφική παράσταση της φ με οριζόντια μετατόπιση προς τα αριστερά κατα c μονάδες και με κατακόρυφη μετατόπιση κατά d μονάδες προς τα πάνω.

· f(x)=φ(x+c)-d, όπου c,d>0 προκύπτει από την γραφική παράσταση της φ με οριζόντια μετατόπιση προς τα αριστερά κατα c μονάδες και με κατακόρυφη μετατόπιση κατά d μονάδες προς τα κάτω.

· f(x)=φ(x-c)+d, όπου c,d>0 προκύπτει από την γραφική παράσταση της φ με οριζόντια μετατόπιση προς τα δεξιά κατα c μονάδες και με κατακόρυφη μετατόπιση κατά d μονάδες προς τα πάνω.

· f(x)=φ(x-c)-d, όπου c,d>0 προκύπτει από την γραφική παράσταση της φ με οριζόντια μετατόπιση προς τα δεξιά κατα c μονάδες και με κατακόρυφη μετατόπιση κατά d μονάδες προς τα κάτω.


99

Μονοτονία Συνάρτησης

Ορισμοί:

1. Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ,όταν για οποιαδήποτε χ1,χ2 με ισχύει:

αν χ1<χ2, τότε f(χ1)<f(χ2)

Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στοΔ,τότε καθώς το χ κινείται στο Δ από

αριστερά προς τα δεξιά(δηλαδή αυξάνει),η γραφική παράσταση ανεβαίνει.

(Σχήμα 1)

2. Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ,όταν για οποιαδήποτε χ1,χ2 με ισχύει:

αν χ1<χ2, τότε f(χ1)>f(χ2)

Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στοΔ,τότε καθώς το χ κινείται στο Δ από

αριστερά προς τα δεξιά(δηλαδή αυξάνει),η γραφική παράσταση κατεβαίνει.

(Σχήμα 2)

(Σχήμα 1) (Σχήμα 2)

3. Μία συνάρτηση γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα ονομάζεται γνησίως μονότονη.


100

Μέλέτη Μονοτονίας

· Κατασκευαστικός Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία χ1,χ2 εΔ με χ1<χ2 και με κατάλληλες πράξεις κατασκευάζουμε τα f(χ1),f(χ2) (παράδειγμα ι).

· Με τη διαφορά f(χ1)-f(χ2) Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία χ1,χ2 εΔ με χ1<χ2 και στη συνέχεια βρίσκουμε το πρόσημο της διαφοράς f(χ1)-f(χ2). Αν f(χ1)-f(χ2)>0,τότε η φ είναι γνησίως αύξουσα Αν f(χ1)-f(χ2)<0,τότε η φ είναι γνησίως φθίνουσα (παράδειγμα ιι). · Με το λόγο μεταβολής λ Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία χ1,χ2 εΔ με χ1 ÷ χ2 και υπολογίζουμε

τον λόγο μεταβολής f(x )-f(x )1 2λ= x -x1 2.

Αν λ>0,τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν λ<0,τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. (παράδειγμα ιιι)

Παραδείγματα: Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία οι παρακάτω συναρτήσεις:

ι) f(x)=2- x-5 ιι)f(x)=x2+4x-5 στο (-2,+ ⁄ )

ιιι) 3x+1f(x)= x-2 στο ( - ⁄ ,2).

Λύση

ι)Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμου της f.Πρέπει 5-χ≥0 Û χ≤5

‘Αρα Α=(- ⁄ ,5]

Θεωρούμε δύο τυχαία χ1,χ2ε(- ⁄ ,5] με χ1<χ2 και θα κατασκευάσουμε τα f(χ1)-f(χ2).

χ <χ -χ >-χ 5-χ >5-χ 5-χ > 5-χ - 5-χ <- 5-χ 2- 5-χ <2- 5-χ1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2Û Û Û Û Û

1 2f(χ )<f(χ )Û ‘Αρα f γνησίως αύξουσα στο Α=(- ⁄ ,5].

ιι) Θεωρούμε δύο τυχαία χ1,χ2ε(- 2,+ ⁄ ) με χ1<χ2 και θα βρούμε το πρόσημο της διαφοράς f(χ1)-f(χ2):

f(χ1)-f(χ2)=χ12+4x1-5 -( χ2

2+4x2-5 )= χ12- χ2

2+4x1-4x2=( χ1-χ2)( χ1+χ2)+4(χ1-χ2)=


101

( χ1-χ2)( χ1+χ2+4).’Ομως ισχύει:

· χ1<χ2 Û χ1-χ2<0(1) · χ1,χ2ε(- 2,+ ⁄ ) άρα χ1>-2 και χ2>-2 δηλαδή χ1+χ2>-4 Û

χ1+χ2+4>0(2)

Από (1),(2) Þ ( χ1-χ2)( χ1+χ2+4)<0 Û f(χ1)-f(χ2)<0Û f(χ1)<f(χ2).

‘Αρα η f είναι γνησίως αλυξουσα στο (-2,+ ⁄ ).

ιιι) Θεωρούμε δύο τυχαία χ1,χ2ε( - ⁄ ,2) με χ1 ÷ χ2 και υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής.

f(x )-f(x )1 2λ= x -x1 2=

3x +1 3x +11 2 (3x +1)(x -2)-(3x +1)(x -2)- 1 2 2 1x -2 x -2 (x -2)(x -2)1 2 1 2= =x -x1 2x -x1 2

3x x -6x +x -2-3x x +6x -x +21 2 1 2 1 2 2 1 =(x -2)(x -2)(x -x )1 2 1 27x -7x -7(x -x )2 1 1 2= =(x -2)(x -2)(x -x ) (x -2)(x -2)(x -x )1 2 1 2 1 2 1 2

-7(x -2)(x -2)1 2

.’Ομως χ1<2 Û χ1-2<0 και χ2<2 Û χ2-2<0 άρα (χ1-2)( χ2-2) >0.

Τελικά λ<0 και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (⁄ -,2).


Αν μία συνάρτηση ορίζεται σε ένωση δύο διαστημάτων Δ1È Δ2,τότε μελετάμε την μονοτονία σε καθένα απο τα διαστήματα Δ1 και Δ2 ξεχωριστά.

Προσοχή:

· Αν f γνησίως φθίνουσα στα Δ1 και Δ2,τότε δεν είναι υποχρεωτικά γνησίως φθίνουσα στο Δ1È Δ2.

· Αν f γνησίως αύξουσα στα Δ1 και Δ2,τότε δεν είναι υποχρεωτικά γνησίως αύξουσα στο Δ1È Δ2.

Η παραπάνω συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα (α,β) και (β,γ) ,όμως δεν είναι αύξουσα στο (α,β) È (β,γ) και αυτό γιατί:


102

αν χ1ε(α,β) και χ2ε(β,γ) δεν ισχύει πάντα f(x1)<f(x2).

Aκρότατα Συνάρτησης

Ορισμοί:

1. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ελάχιστο στο χ0εΑ,όταν f(x)≥f(x0) για κάθε χ0εΑ

Η τιμή f(x0) ονομάζεται ελάχιστο της συνάρτησης f.

2. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει μέγιστο στο χ0εΑ,όταν

f(x)≤f(x0) για κάθε χ0εΑ Η τιμή f(x0) ονομάζεται μέγιστο της συνάρτησης f.

Παρατήρηση για τις Ασκήσεις

‘Οταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση έχει μέγιστο το Μ ή ελάχιστο το μ,τότε :

· Αποδεικνύουμε ότι f(x)≤M ή f(x)≥μ αντίστοιχα. · Λύνουμε και τις εξισώσεις f(x)=M ή f(x)=μ αντίστοιχα,και έτσι βρίσκουμε

και τις θέσεις των ακροτάτων.

π.χ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2x

f(x)= 2x +1 έχει ελάχιστη τιμή το -1 και

μέγιστη τιμη το 1.

Λύση

H συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού Α= ¡

Πρέπει να δείξουμε ότι:


103

2 22x 2x 2x+x +1 (x+1)f(x) -1 -1 +1 0 0 02 2 2 2x +1 x +1 x +1 x +1

″ Û ″ Û ″ Û ″ Û ″ Ισχύει για

κάθε χε¡ .

Eπίσης -

1 0 02 22x 2x 2x-x 1 -(x-1)

( ) 1 1 02 2 2 2x +1 x +1 x +1 x +1f x ′ Û , ′ Û ′′ Û ′ Û

Ισχύει για κάθε χε¡ .

Εύρεση Θέσεων ακροτάτων

Λύνουμε τις εξισώσεις:

= = =0 =0 x=-12 22x 2x 2x+x +1 (x+1) 2f(x)=-1 -1 +1=0 0 (x+1)2 2 2 2x +1 x +1 x +1 x +1

Û ÛÛ Û Û Û

-=1 =0 =0 =0 x=1

2 22x 2x 2x-x 1 -(x-1) 2( )=1 1=0 -(x-1)2 2 2 2x +1 x +1 x +1 x +1f x Û , Û Û ÛÛ Û

‘Αρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο χ=-1 την τιμή -1 και μέγιστο στη θέση χ=1 την τιμή 1.

‘Αρτια –Περιττή Συνάρτηση

Ορισμόι:

1) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι άρτια ,όταν: · για κάθε χεΑ και –χεΑ και · f(-x)=f(x) κάθε χεΑ.

2) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι περιττή ,όταν: · για κάθε χεΑ και –χεΑ και · f(-x)=f(x) κάθε χεΑ.

Για να ικανοποιείται η συνθήκη για κάθε χεΑ και –χεΑ,πρέπει το πεδίο ορισμού Α να είναι συμμετρικό ως προς το 0.Τέτοια σύνολα είναι:

· (-α,α) · [-α,α] · (-⁄ ,-α)È (α,+ ⁄ ) · (-⁄ ,-α]È [α,+ ⁄ ) · (-β,-α) È (α,β)


104

· [-β,-α] È [α,β] · ζ |,a a, ,¡ · *¡

Αν μία συνάρτηση είναι άρτια,τότε η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμεετρίας τον y’y.

Αν μία συνάρτηση είναι περιττή,τότε η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

Πως εξετάζουμε μία συνάρτηση ως προς τις συμμετρίες της;

Για να εξετάσουμε αν μία συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή,ακολουθούμε τα επόμενα βήματα:

· Βρίσκουμε το πεδίο ορισμου Α της συνάρτησης · Εξετάζουμε αν το Α είναι συμμετρικό ως προς το 0,δηλαδή αν ισχύει ότι για

κάθε χεΑ και –χεΑ. · Βρίσκουμε το f(-x),θέτοντας στον τύπο της συνάρτησης όπου χ το –χ και

έχουμε: Ø αν f(-x)=f(x),τότε η συνάρτηση f είναι άρτια, Ø αν f(-x)=-f(x),τότε η συνάρτηση f είναι περιττη. Ø f(-x) ÷ f(x) και f(-x) ÷ -f(x) δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Παρατήρηση: Για να αποδείξω ότι μια συνάρτηση δεν άρτια ή περιττή, αποδεικνύω ότι ι)υπάρχει χεΑ τέτοιο ώστε -χ Ï Α ή ότι ιι) υπάρχει χεΑ ώστε f(-x) ÷ f(x) ή

f(-x) ÷ -f(x).

Προσοχή δεν δείχνω και τα δύο,αρκεί το ένα μόνο.


105


1.Να σχεδιάσετε στο ίδιο συστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

f(x)=|x| , g(x)=|x|+2 , h(x)=|x|-2

2.Να σχεδιάσετε στο ίδιο συστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

f(x)=|x| , g(x)=|x-2| , h(x)=|x+2|

3. Να σχεδιάσετε στο ίδιο συστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

a)f(x)=|x| και g(x)=|x+2|+1

β)f(x)=|x| και g(x)=|x-1|-2.

4. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις:

ι) 3( ) 5f x x x= + ιι) ( ) 2f x x x= + ιιι) ( ) 12 3 4f x x x= - - ιν) ( ) 4 3f x x= - -

5.Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ¡ να λύσετε τις ανισώσεις i)f(x-4)p f(3x) ii)f(|x|)p f(2).

6. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο ¡ να λύσετε τις ανισώσεις ι)f(|χ-2|)f f(4) ιι)f(|2χ-3|)f f(5).

7.Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων :

ι) 2( ) 3 2f x x= - ιι) 2( ) 1f x x= - ιιι) 4( ) 2 6f x x= - + ιν) 2( ) 3( 5) 11f x x= - + ν)2( ) 5 2( 1)f x x= - +

8.Δίνεται η συνάρτηση 24x -4x+5

f(x)= 24x +3.Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το 2

3

και μέγιστο το 2.

9. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές:

ι) 4 2( ) 2f x x x= + ιι) 3( ) 3f x x x= + ιιι) 2( ) 5 4f x x x= - ιν) ( )f x x x=


106

ν) 2( )4

xf x

x=

- νι)

2

3( )9

x xf x

x x+

=-

νιι) ( ) 3 3f x x x= - + +

νιιι) 2 4 1( )3 3

x xf xx x+ -

= ++ -

ιχ) 2 2( ) 4 2 4 4f x x x x x= - + + + +

10. Για την συνάρτηση :f ®¡ ¡ ισχύει ( ) ( ) ( )f y x f y f x- = - για κάθε ,x yÎ¡ .

ι)Να βρείτε το f(0) ιι)να δείξετε οτι είναι περιττή.

11. Για την συνάρτηση :f ®¡ ¡ ισχύει ( ) ( ) 2 ( ) ( )f y x f y x f x f y+ + - = + για κάθε ,x yÎ¡ . ι)Να βρείτε το f(0) ιι)να δείξετε οτι είναι άρτια.

12.Η συνάρτηση f: ↑¡ ¡ είναι περιττή.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:

g(x)=xf(x)-|f(x)|

είναι άρτια.

13. Η συνάρτηση f: ↑¡ ¡ είναι περιττή.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:

g(x)=f(f(x))-x4f(x)

είναι περιττή.


107

Η συνάρτηση f(x)=ax2

· Πεδίο Ορισμού: Α=¡ · Συμμετρίες: Είναι άρτια ,δηλαδή η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική

ως προς τον yy’. · Μονοτονία: Είναι γνησίως φθίνουσα στο (-⁄ ,0] και γνησίως αύξουσα στο

[0,+ ⁄ ). · Ακρότατα: Παρουσιάζει στη θέση χ=0 ελάχιστο το f(0)=0. · Συμπεριφορά στις ακραίες θέσεις του πεδίου ορισμού:

‘Οταν το χ μεγαλώνει απεριόριστα,δηλαδή χ +↑ ⁄ και f(x) +↑ ⁄ . Aντίστοιχα όταν το χ μικραίνει απεριόριστα,δηλαδη χ -↑ ⁄ και f(x) +↑ ⁄ .

· Γραφική Παράσταση: Η γραφική παράσταση της f(x)=ax2,ονομάζεται παραβολή και το σημείο Ο(0.0) ονομάζεται κορυφή της παραβολής.

Η συνάρτηση f(x)=-ax2

· Πεδίο Ορισμού: Α=¡ · Συμμετρίες: Είναι άρτια ,δηλαδή η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική

ως προς τον yy’. · Μονοτονία: Είναι γνησίως αύξουσα στο (-⁄ ,0] και γνησίως φθίνουσα στο

[0,+ ⁄ ). · Ακρότατα: Παρουσιάζει στη θέση χ=0 μέγιστο το f(0)=0. · Συμπεριφορά στις ακραίες θέσεις του πεδίου ορισμού:

‘Οταν το χ μεγαλώνει απεριόριστα,δηλαδή χ +↑ ⁄ και f(x) -↑ ⁄ .

Aντίστοιχα όταν το χ μικραίνει απεριόριστα,δηλαδη χ -↑ ⁄ και f(x) -↑ ⁄ . · Γραφική Παράσταση: Η γραφική παράσταση της f(x)=ax2,ονομάζεται

παραβολή και το σημείο Ο(0.0) ονομάζεται κορυφή της παραβολής.


108


· Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=ax2 και g(x)=-ax2 με α ÷ 0 είναι δύο παραβολές συμμετρικές ως προς τον χχ’.

· Καθώς μεγαλώνει το |α| η παραβολή πλησιάζει τον άξονα yy’ (δηλαδή γίνεται

πιο κλειστή)

Η συνάρτηση af(x)= με α>0x

· Πεδίο Ορισμού: Α=(- ⁄ ,0) È (0,+ ⁄ ) · Συμμετρίες: Είναι περιττή ,δηλαδή η γραφική της παράσταση είναι

συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0,0). Επίσης έχει άξονες συμμετρίας τις ευθείες: y=x και y=-x

· Μονοτονία: Είναι γνησίως φθίνουσα στο (-⁄ ,0) και γνησίως φθίνουσα στο (0,+ ⁄ ).

· Ακρότατα: Δεν παρουσιάζει ακρότατα. · Συμπεριφορά στις ακραίες θέσεις του πεδίου ορισμού:

Ø ‘Οταν το χ μεγαλώνει απεριόριστα,δηλαδή χ +↑ ⁄ και f(x) ↑ 0 Aντίστοιχα όταν το χ μικραίνει απεριόριστα,δηλαδη χ -↑ ⁄ και f(x) ↑ 0. Σε αυτήν την περίπτωση λέμε ότι έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον χχ’(προσπαθει δηλαδή να τον ακουμπήσει,χωρίς να τα καταφέρνει ποτέ).

Ø ‘Οταν το χ τείνει στο 0 ερχόμενο από αρνητικούς αριθμούς,δηλαδή

χ 0,↑ ,τότε f(x) ↑ ,⁄ . ‘Οταν το χ τείνει στο 0 ερχόμενο από θετικούς αριθμούς,δηλαδή

χ 0∗↑ , τότε f(x) ↑ ∗⁄ .


109

Σε αυτήν την περίπτωση λέμε ότι έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον χχ’(προσπαθει δηλαδή να τον ακουμπήσει,χωρίς να τα καταφέρνει ποτέ).

· Γραφική Παράσταση: Η γραφική παράσταση της af(x )= με α>0x

ονομάζεται υπερβολή και καθένα από τα δύο «κομματια» που την αποτελούν,ονομάζονται κλάδοι της υπερβολής,οι οποίοι βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.

Η συνάρτηση af(x)=- με α>0x

· Πεδίο Ορισμού: Α=(- ⁄ ,0) È (0,+ ⁄ ) · Συμμετρίες: Είναι περιττή ,δηλαδή η γραφική της παράσταση είναι

συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0,0). Επίσης έχει άξονες συμμετρίας τις ευθείες: y=x και y=-x

· Μονοτονία: Είναι γνησίως φθίνουσα στο (-⁄ ,0) και γνησίως φθίνουσα στο (0,+ ⁄ ).

· Ακρότατα: Δεν παρουσιάζει ακρότατα. · Συμπεριφορά στις ακραίες θέσεις του πεδίου ορισμού:

Ø ‘Οταν το χ μεγαλώνει απεριόριστα,δηλαδή χ +↑ ⁄ και f(x) ↑ 0 Aντίστοιχα όταν το χ μικραίνει απεριόριστα,δηλαδη χ -↑ ⁄ και f(x) ↑ 0. Σε αυτήν την περίπτωση λέμε ότι έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον χχ’(προσπαθει δηλαδή να τον ακουμπήσει,χωρίς να τα καταφέρνει ποτέ).

Ø ‘Οταν το χ τείνει στο 0 ερχόμενο από αρνητικούς αριθμούς,δηλαδή

χ 0,↑ ,τότε f(x) ↑ ∗⁄ .

‘Οταν το χ τείνει στο 0 ερχόμενο από θετικούς αριθμούς,δηλαδή

χ 0∗↑ , τότε f(x) -↑ ⁄ .


110

Σε αυτήν την περίπτωση λέμε ότι έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον χχ’(προσπαθει δηλαδή να τον ακουμπήσει,χωρίς να τα καταφέρνει ποτέ).

· Γραφική Παράσταση: Η γραφική παράσταση τηςa

f(x)=- με α>0x

ονομάζεται

υπερβολή και καθένα από τα δύο «κομματια» που την αποτελούν,ονομάζονται κλάδοι της υπερβολής,οι οποίοι βρίσκονται στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο.


111


1.Na βρείτε για ποιές τιμές του λ,η συνάρτηση :

α)f(x)=(8-2λ)χ2 παρουσιάζει ελάχιστο.

β)f(x)=(|λ|-3)χ2 παρουσιάσει μέγιστο.

2.Να βρείτε για ποιές τιμές του λ,η συνάρτηση:

α)f(x)=(3-λ)x2 είναι γνησίως αύξουσα στο (-⁄ ,0].

β)f(x)=(|λ|-1)χ2 είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+ ⁄ ).

γ)f(x)=(λ2+3λ+2)χ2 είναι γνησίως φθίνουσα στο (⁄ -,0]

δ)f(x)=(6λ2+7λ+1)χ2 είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+ ⁄ )

3. Να βρείτε για ποιές τιμές του μ,η συνάρτηση:

a) 3μ+6f(x)= χ είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+ ⁄ ).

β) 2μ 5μ-14f(x)= χ

, είναι γνησίως φθίνουσα στο (-⁄ ,0).

γ) 24μ 4μ+1f(x)= χ

, είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+ ⁄ )

δ) 2μ 4μ+10f(x)= χ

, είναι γνησίως αύξουσα στο (-⁄ ,0).

4. Να βρείτε για ποιές τιμές του μ,η γραφική παράστασητης συνάρτησης:

α) 1-|μ+3|f(x)= χ βρίσκεται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.

β) 2μ +4μ+3f(x)= χ βρίσκεται στο 2ο λαι 4ο τεταρτημόριο.

5.Στο ίδιο συστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήεις:

a)f(x)=x2 g(x)=x2+1 h(x)=(x-1)2

β)f(x)=-x2 g(x)=-x2-2 h(x)=-(x+1)2


112

6. Στο ίδιο συστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήεις:

a) 4 4 4

f(x)= g(x)= -3 h(x)=x x x+1

7.Η γραφική παράσταση της συνάρτησης :

|a-1|-1f(x)= x

διέρχεται απ’ο το σημείο Μ(-2,-1) και η συνάρτηση g(x)=ax2 παρουσιάζει μέγιστο.

α)Να βρείτε το α.

β)Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και g.

8.Δίνεται η συνάρτηση:

2x -2 x<1f(x)= 2 x 1

x


′

″

α)Να βρείτε το πεδίο ορισμου της f.

β)Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση.

γ)Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης να βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα.


2x x [-2,1)f(x)= 1 x [1,+ )

x


Î

Î ⁄

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμου της f και να κάνετε την γραφική παράσταση.

β) Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης να βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα.


113

Η Συνάρτηση f(x)=ax2+βx+γ με α>0

· Πεδίο Ορισμου: Α=¡

· Συμμετρίες: ‘Εχει άξονα συμμετρίας την ευθεία χ=- β2α .

· Μονοτονία: Είναι γνησίως φθίνουσα στο (-⁄ ,- β2α ] και

γνησίως αύξουσα στο [- β2α ,+⁄ ).

· Ακρότατα: Στη θέση χο=- β2α έχει ελάχιστο το f(- β

2α )= Δ- 4α .

To σημείο K(- β2α , Δ

- 4α ) ονομάζεται κορυφή της παραβολής.

· Σημεία τομής με τους άξονες-Γραφική Παράσταση: Ø Μετον χχ’: Αναλογα με το πρόσημο της διακρίνουσας Δ,η γραφική

παράσταση της f(x)=ax2+βx+γ με α>0 έχει την μορφή των επόμενων σχημάτων:

Ø Με τον yy’: Το σημείο (0,γ)

π.χ Να μελετήσετε την συνάρτηση f(x)=x2-4x+3.

Λύση

· Πεδίο Ορισμού: Α=¡

· Συμμετρίες: ‘Εχει άξονα συμμετρίας την ευθεία χ=- β2α = -4

- =221×

· Μονοτονία: Είναι γνησίως φθίνουσα στο (-⁄ ,2] και γνησίως αύξουσα στο [2,+⁄ ).

· Ακρότατα: Στη θέση χο=2 έχει ελάχιστο το f(2)=-1 · To σημείο K(2,-1) ονομάζεται κορυφή της παραβολής · Σημεία τομής με τους άξονες:

Ø Με τον χχ’: Θέτουμε όπου y=0 και λύνουμε την εξίσωση f(x)=0 Û

x2-4x+3=0 Û x=1 ή χ=3 ‘Αρα τα σημεία είναι Α(1,0) και Β(3,0).

Ø Με τον yy’: Θέτουμε όπου χ=0 και έχουμε f(0)=3.Το σημείο τομής είναι το Γ(0,3).


114

· Γραφική Παράσταση:

Η Συνάρτηση f(x)=ax2+βx+γ με α<0


· Συμμετρίες: ‘Εχει άξονα συμμετρίας την ευθεία χ=- β2α .

· Μονοτονία: Είναι γνησίως αύξουσα στο (-⁄ ,- β2α ] και

γνησίως φθίνουσα στο [- β2α ,+⁄ ).

· Ακρότατα: Στη θέση χο=- β2α έχει μέγιστο το f(- β

2α )= Δ- 4α .

To σημείο K(- β2α , Δ

- 4α ) ονομάζεται κορυφή της παραβολής.

· Σημεία τομής με τους άξονες-Γραφική Παράσταση: Ø Μετον χχ’: Αναλογα με το πρόσημο της διακρίνουσας Δ,η γραφική

παράσταση της f(x)=ax2+βx+γ με α>0 έχει την μορφή των επόμενων σχημάτων:


115

π.χ Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)=-x2-2x+3

Λύση


· Συμμετρίες: ‘Εχει άξονα συμμετρίας την ευθεία χ=- β2α =-1

· Μονοτονία: Είναι γνησίως αύξουσα στο (-⁄ ,-1] και γνησίως φθίνουσα στο [-1,+⁄ ).

· Ακρότατα: Στη θέση χο=- β2α έχει μέγιστο το f(-1)=4.

To σημείο K(-1,4) ονομάζεται κορυφή της παραβολής. · Σημεία τομής με τους άξονες:

Ø Με τον χχ’: Θέτουμε όπου y=0 και λύνουμε την εξίσωση f(x)=0 Û -x2-2x+3=0 Û x=1 ή χ=-3 ‘Αρα τα σημεία είναι Α(1,0) και Β(-3,0).

Ø Με τον yy’: Θέτουμε όπου χ=0 και έχουμε f(0)=3.Το σημείο τομής είναι το Γ(0,3).

· Γραφική Παράσταση:


116

Θέματα για Λύση. 1.Να βρείτε τον άξονα συμμετρίας και την κορυφή των παραβολών: α)f(x)=x2+4x-2 β) f(x)=-x2+6x-4 γ) f(x)=-4x2+4x-1 2.Na μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f(x)=x2-2x-3 β) f(x)=2x2+4x+3 γ) f(x)=-3x2-4 3.Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2-6x+5. a)Na βρείτε την κορυφή της και τον άξονα συμμετρίας της. β)Να βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα. γ)Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες. δ)Να κανετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης. 4. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=-2x2+8x-6. a)Na βρείτε την κορυφή της και τον άξονα συμμετρίας της. β)Να βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα. γ)Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες. δ)Να κανετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης. 5.Η παραβολή f(x)=x2+βχ+γ έχει κορυφή το σημείο Κ(3,-5).Να βρείτε τους αριθμούςβ και γ. 6.Η παραβολή f(x)=λχ2+(λ+2)χ-2(2λ-1) έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία χ=-1. α)Να βρείτε τον αριθμό λ, β)την κορυφή της παραβολής. 7. Η παραβολή f(x)=-χ2+(λ+2)χ-2λ εφάπτεται στον άξονα χχ’.Να βρείτε: α)τον αριθμό λ, β)τη μονοτονία και τα ακρότατα. 8.Να βρείτε για ποιές τιμές του λ,η κορυφή υης παραβολής:

f(x)=x2+(λ-2)x-λ+1 είναι σημείο του άξονα: α)χχ’ β)yy’.


117

algebra a

Documents

Transcript of algebra a