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ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

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  • : . .

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  • 1

    1)

    i. ^ `/ 1 3x Z x E ii. ^ `/ 3 7x N x

    iii. ^ `2/ 2 5 3 0x Z x x iv. ^ `/ 4 5F F' d` v. ^ `2/ 4 0F F( ]

    vi. ^ `2/F F F67 \ 2) 2 2 225 4 9 2P x x x x

    i. ^ `/ 0x R P x ii. B= ^ `/ 0x Q P x

    iii. ^ `/ 0x N P x 3) N ^ `3, 2, 1,0,1,2$ ^ `0,3,6,9,12,....% ^ `2,4,6,8,....* ^ `0,1,2,3,4,....' 4) ^ `^ `, ,1, , 1, 2D E$ D $ 1$ ^ `,D E $ 2$ ^ `1,2 $ 5) ^ `3,5, 1,7,16$ , ^ `2,3,5, 1,6,7,8% . 6) ^ `2/ 0A x x x \ ^ `2/ 0B x x x \ . 7) ^ `/ 3 27 2 ,F F NDL F N N$ ` ` ^ `/ 5 45 2 1,\ \ NDL \ N N% ` ` ^ `/ 7 56z z* d` , , NDL$% $% $* %* 8) y ^ `21, , 2A x ^ `4, ,1B y ^ `2, ,3A x ^ `4,2, 1B y

  • 2

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    i. $% ii. $%

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    vi. $% vii. $ %

    viii. $% 12) ^ `/ 0 10x N x ^ `/ 1 5x N x d d ^ `/ 3 8x N x d d

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    viii. $ % 13) R > 2,f @,6f

    i. $% ii. $%

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    vi. $% vii. $ %

    iii. % $ 14) ^ `/ 0 20F F: d d` , ^ `/F F DUWLR9$ : ^ `/ 3F F SROODSODVLR WRX% : $% $% $% c c$ %

  • 3

    15) ^ `1,2,3,.......,9: , ^ `2,4,6$ ^ `1, 2,5,9% $% $% $ %

    $ % c%$ c$% c$%

  • 4

    1) , , ,c c c c$ % $ % $% 2) 3) 1 2,0 0 30 $%* ( )c$% c$%* $%* c c c$ % * c c c$ % * 4) 5) NDL$% $% . 6) 7) 8)

  • 5

    9)

    2( )15

    P A , 4( )5

    P A B 5( )12

    P * . ( )P B

    10)

    1( )10

    P A B 3( )10

    P A B 3( )5

    P A B

    ( )P A ( )P B ( )P A Bc c ( )P A Bc c ( )P A Bc c

    11) 4( )7

    P A 1( )3

    P B .

    1( )4

    P A B ( )P Ac ( )P Bc ( )P A B ( )P A Bc c ( )P A Bc c ( )P A Bc

    12) 1( )7

    P A B , 3( )7

    P A B 3( )5

    P Ac ( )P A ( )P B ( )P A Bc 13) A B A B Ac Bc A B A Bc

    14) ( ) 2 ( )P A P Ac , 1( )2

    P B 15

    P A B

    ( )P A ( )P A B ( )P A B ( )P Bc ( )P A Bc ( )P A B B A

    15) 2 ( )P A P B 3( ) ( )2

    P A B P A

    16) 14

    13

  • 6

    17) 18) ( ) , ( ) , ( )P A z P B y P A B z 19) 20)

    21) ( ), ( ), ( ), ( ), ( )P A P B P P P c* %* * . 22)

    23)

  • 7

    $% . $% . 24) ( ) 0,5P A ( ) 0,3P B 0.2 ( ) 0.5P A Bd d 25) ( ) 0,7P A ( ) 0,6P B 0.6P A B d 0.3P A B t 0,7P A B t

    26) 2( )3

    P A

    1( )2

    P B

    1( )2

    P A B d

    1 ( )6

    P A Bd

    27) 5( )10

    P A , 7( )10

    P B 1 1( )5 2

    P A Bd d

    28) 1( )3

    P A 3( )4

    P A B

    5 3( )12 4

    P Bd d . 29)

    ( ) ( )( ) ( )2

    P A P BP A B P A B d d . 30)

  • 8

    31) 32) 33) 34) ^ `1 2 3, ,Z Z Z: 2 12P PZ Z 3 14P PZ Z 1 2 3, ,P P PZ Z Z . 35) ^ `1 2 3 4 5, , , ,Z Z Z Z Z: , 1, 2,3, 4,5LZ L 1 13P Z , 2 3

    1( ) ( )6

    P PZ Z

    4 5 12 2P PZ Z . 4 5,P PZ Z ^ `1 2 3, ,A Z Z Z ^ `3 4 5, ,B Z Z Z

  • 9

    1)

    2 6 3 12 0x x 3 18 3 0y y z

    2)

    5 10 15 3 38 : 5 1 7

    A

    34 1543 15

    B

    3) ,D E ,J G 3 1G D E G J$ .

    4) D JE G 5 85 8D J DE G E

    5 8 0EG E G z . 5)

    > @2 3 1 3 ( 2) 2( 1)A x x x x 6 3(2 3) (2 3)B x x > @3( 2 ) 2(4 )x y y x*

    6) 4 5(6 )$ 73( 5)% 84( 11)* 105( 15)'

    3 7

    6 3

    (2 )(2 )

    (

    7)

    44 52 7 2 1 01 1 1 1 675 : 5

    3 1 232 1 12

    3 5 2

    13

    24 12

    202 5

  • 10

    8) , 0x y z

    2 3 5 4

    2

    12 186

    x y x yxy

    4 2 3

    2 3 2

    42( ) 54( )6( )xy x yx y

    9) 2 6( 3) 2 ( 2)$ : 28 ( 6) 9 : ( 3) 10) 2y x 0x z

    5 32 3

    3 13 4 :x x x yy y

    $

    11)

    3 65 5$ 129% : 59 2

    3

    1717

    *

    3 9 18( 6) ( 6) ( 6)' 7 8

    10

    ( 2) ( 2)2

    ( 12)

    ( 3 8)2 27

    x

    2

    54 2 816

    x

    13)

    3 37 5$ 812% : 84 10

    10

    1612

    * 5 5 54 3 2 4 4

    4

    6 53(

    14) D E 22 1D E 15)

    2 2

    3 2

    4 44

    D DE ED DE

    4 2

    2

    5 43 2

    x xx x

    2 2

    2 2

    5 64 1

    x x x xx x

    16) 2 2

    2 1

    15 2 42 4

    x x

    x x

    2 2

    2 3

    3 8 954 3

    x x

    x

    x .

    322009 1 $ y % .

  • 11

    17) D E 1D E E D 2D E 2 2D E

    18)

    2 2 2 31 2 1 1x x x x x

    2 2

    2 2D E D E DE

    3 3 3 2 2( ) 3 ( )( ) (4 3 )D E D D E D D E D E D D E 3 2 22 2 27 ( 2 )(4 )F D D F F D F D

    19)

    2 2 2 2(2 )(2 ) ( ) ( ) 2 3a a a a aE E E E E 2 2 2 2( ) ( ) 2( )y x y x yF 2( 1) ( 1)( 1) 2( 1)x x x x

    2 2( 3 ) ( 3 ) ( )( )

    8a E E D E D E D

    20)

    23D 2 2D D

    21) 1 2D D 2 3 4

    2 3 4

    1 1 1D D DD D D

    22) 2D E 2 2 ( 2)D E D E ! 23) 4D E 24 (4 )E D E D 24)

    ( 6)x x 2( 8)x (4 3 )D D E ( )E D E

    25) 2 2 13 2(3 2 )D E D E 26) 0D ; 3

    2DD

    , 4 ,5

    DD

    43

    DD

    , 1

  • 12

    27) : 22 6 9 0D D t 4 3 22 1 2D D D t

    28) ,x y

    2 22 4 4 2x y x xy 2 22 9 9 6 (1 )x y x y

    29) F ( 2) 2(3 2)F F F t

    2( 3) 2

    4F F t

    30) D E D Ed 1 1D ED E d

    31) !! 1 1 4D E D E t

    32) , 0D E ; 1 1 4D E D E t

    33) 2 1D E E 4 3E E E

    4 2 1D E 2 22D E 2( 2) 2D E 1 DE

    34) 2 4Dd d 2 4E d d 2 3D E D E 2 2D E DE

    35)

    5 8 0 3 3

    3S 3 5 11 3

    36)

    2 2y y yF F F$ 3 23

    2 6B

    D DD

    5 3

    3

    F FF F

    *

    3 22F F F F'

  • 13

    37) 1 2 6x x 3 4 6 3x x ) 2 4F ) 4 3 1x x x ) 3 4 6 3F F 3 2 F 4 3F F 1 2 1F F 3 2 3F F F

    2 2

    2F F

    F

    38)

    4x 0x 6x 2 1 5F 3 5 4F

    39)

    4 6F 3 7F 2 4F ! 5 3F d 6 5F t 2 3 1F t 5 3 7F t 1 2 7F d

    40) 3 2 9D E D E 2D E 8D E . 41) D E 3 1 2 4F F 2 6 10 2F F F

  • 14

    42) 4 2F F$ ) 3 6 2 8F F% 5 4 8 4F F F*

    43)

    2 2 22D E DE D E )

    24 912x x t

    ) DE DE D E D E t

    ) 3

    2

    2

    2

    F FF

    F

    ) 23

    3F F FF

    ) 24 1

    4 1D

    D d

    44) 2x d 3y d 2 3 5x y d

    45) 3F d 14

    \ d 3 4 10F \ d . 46) 3D E 3 2 6D E D E$ 47) 2 2D D 0D d . 48) F \ F F F F 4 3 4 3 4 3 4 3F F F F . 49) 2 2D E D E , 0D E z D E

    50) 1F 1 11 1

    F FF F $

    .

    51) 3D z 3 11 13

    DD

    d d

    1D d .

  • 15

    52) 2 21 4F F$ 53) ( , 3) (5, )x d x d x

    54) 2 3F 2 5 2 6F F

    55) 2

    2

    5 6

    3 2 6

    x x

    x x x

    x

    56) \ D F E F 57)

    0D ! D E E D 3 3D D 2 2 0D D D E D E D E D E d D \ 2 3 0D D ! 3 3 0F F 0 0D E D 0E 0 0D E D !

    58)

    i. 81 ii. 3 27

    iii. 4 256

    iv. 44 21

    v. 3 37

    vi. 55 2

    59) 1 3F 2 22 1 6 9

    1 3F F F FF F $

    .

  • 16

    60) 2 22 2 2 1A x x x . 61)

    i. 5 153

    ii. 3 37 45 5

    iii. 3 13

    3 32 8

    7

    7 7

    62) 0; 2 2( ) ( 1)

    ( 1)( 1)D E DE

    D E

    63) 23 2 23 2 7 4 3 7 4 3 3$ 64) :

    i. 2 22 3 2D E D E D E D E , 0D E t ii. 2 2D E D E D , 0D E ; 1D E

    65) 2 2 0x y 2 4xd d 2 2 2 24 4 8 2 17K x y x x y x y . 66)

    4 3 22 2 2$

    5 6 34 83 3%

    7 34 2 74D D D*

    6 531 1 3 23 2

    '

    67)

    3 35 2 11 25$ ) 3 27 12 3* ) 223 2 3 2'

    68) 2 1D D 2 1E E D E

  • 17

    69) :

    i. 3 15 1827

    D E , 0D E ;

    ii. 4 2 12 95 5

    5

    D E D EDE , 0D E t

    70)

    3 33 2 4 2 3 4 2 3

    18 32 5072 8

    8 2 2 2 2

    5 13 9

    4 318 8 8

    8 4 56 93 D E DE , 0D E t 71)

    3 2

    63

    7 5

    65 3

    66 3

    85 1

    67 5

    12 3 1

    38

    3 3 5 10

    3 2 1

    72)

    5 35 3 5 3

    $

    1 1 13 5 5 1 2 5 4

    %

    3 4 36 2 2 2*

    ) 43 21 13

    19 35

    2 4 84 2 '

    73) 8 18 50 72 5 103 4D D D 2 7 4 232 12 18DE D E E D 54 14 5

    4 3DE DE 3 4 5 650 32D E D E

    3

    2 1 233 3F F \

    3

    2F 3\ 3 6 5 12 3

    12

    3 4 5 650 32D E D E

  • 18

    74) 5 4 3 103 3 3 3D 62 443 5 5 5

    5E .

    1D E

    10ED E D

    75) :

    2 2 2 2$ 3 3 ( 5 2) ( 5 2)%

    31

    $ %

    76)

    i. 4 9 2 3D E D E d , 0D E t

    ii. 2

    2

    D ED E

    d , 0D E t

    iii. 2

    2

    4 23

    DD

    ;

    iv. 10 7 3 2 2

    77) 3 26 15 3 2 3 1 .

    78) 3 4 3

    33 2 233

    8 : 1 22 4x x y y

    xx xy y

    $

    3 2x . 79) 2F F

    6 23 F F

    0t z 2DE DE

    ! 3 3 6D D

    0D t 0E ! E D DEE

  • 19

    3 1)

    8 3 3 5 2F F 2 2 8 3 5 5 2 3F F F F 2 3 2 3

    10 2 5F F F

    2 5 7 2 36 2 6 3

    F F F F

    ) x + 3 213 3x x

    2 3 1 14 2 2

    3 12 34 3

    x x

    2( 3)( 3) ( 1)( 1) 0x x x x x x 2) 1 2 3 2x xO O 1

    3x .

    3) 4 7 93 2 9

    x x 1 32 7 2x x xO O

    O 4)

    2 22 7 20x x 3 34 5 2 3x x x x 22 1 16x x x 2 3 21 0x x x x 3 22 2 0x x x

    5) 2 ( ) ( 1) 0x xO O O 6)

    2 2 4O O F O 2 24 16O F O F O 2 1 1O F OF 24 1 2O F F O ( ) 3 5( ) 6O O F F O F 2 1

    3 6 6 2F O FO O O

    2 23 4 3O F F O O

  • 20

    7)

    2 2

    2

    2 ( 2)3

    F FF F

    $ ,

    2

    3 2

    96 9F

    F F F%

    , 2

    2

    8 153 15F FF F *

    8) 2( 2) 6(1 ) (2 2 )( 1)( 1) 2x xO O O O . 2 ( 1) 2( ) (1 2 )x x xO O 9)

    2 5 1213 6 2 4 12 6x x xx x x

    21

    2 4x

    x x

    24 5 30

    1 3 3 1 9 1F

    F F F

    2 22 1

    2 1 2F F F F

    5 4 3 23 5 3 5F F F F 10) 22 2 2 2 24D E J D E 8 4 4 8F F \ \ 6 6 1D E 4 2 2 45 9F F \ \ 2 2 22 2 1 2D DE DJ E J EJ 4 4 9 9D E DE D E 2 22 9 5 3F F F 2 1 ( 1)F \ F\ F \ 11) ( 1)( 1) 3( 1)x xO O P 2( 1) 2[1 (5 )]x xP O P

    2 2 22 1x

    x x x x xO P

    P O

    12)

    2 1 5

    34

    x 2 5 3 1 19x

    5 1 16 4 20 15 3 83 6 12

    x x x 3 6 2 382 3 6x x x

    1 5 2x x 3 2 7x x 2 4 3 0x x 13) 3 1 3 3 2 9O F O F O O

  • 21

    14) 2 ( 1) 2 4 (3 2) 3O F F O F O 15) 6 2 2 0DF F E

    16)

    i. 6

    32x

    ii. 3 2 5 21 0x

    iii. 9 2 2 3

    17x

    iv. 4 2 4 10

    52 9x x

    v. 2 6 311

    2 20 5x x

    vi. 2 26 9 3 12x x x

    vii. 1

    02x

    x

    viii. 5 5x x ix. 2 8 2 8x x x. 2 24 4 1 10 25 0x x x x

    xi. 1 2 4 8x x x xii. 2 4 4 2x x x

    xiii. 2 10 25 0x x 17)

    3 2 4x 2 6 8x x x 3 10 2 5 0x x 2 1 5x x x

    18)

    5 1 1

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  • 22

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    21)

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  • 23

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  • 24

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  • 25

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    ) 2 2 2( 1) 7( 1) 10 0F F 22 26 66 5 0F FF F

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  • 26

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  • 27

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  • 28

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  • 29

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  • 30

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  • 31

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  • 32

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  • 33

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  • 34

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  • 35

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  • 36

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  • 37

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  • 38

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  • 39

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    fC x[

    x[ 30)

    2( ) 3 4f x x x 2 5 4( )

    2x xf xx

    2

    2 6, 2( )

    3 10, 2x

    g xDQ F

    F F DQ F t

    ( ) 3f x x

    4 2( ) 5 4f x x x ( ) 2 2 1f x x x 31) 1 2f x x x 2 5g x x fC gC . 32) f(x) 2 3 4F F 33) f(x) 2 3 10F F 34) f(x) 2 5 6F F 2( ) 2 15g x x x . 35) 2( ) 2f x x xO 2( ) 8g x x xP -2, 2).

    f(xg(x). fC

    36) f(-2), f (1) f(4) f(x) = 2 f f f . ( ) 2f x t .

  • 42

    37) 1 : 2 3y xH

    21: 12

    y xH . 38)

    1( ) 2, 42

    f x x F ! 1( ) , 5 43xf xF d

    39)

    i. 4........ 2

    2............ 2 32 8.... 3

    x xf x x

    x x

    d t

    E E ii. 1 2 22

    g x x

    40)

    2 6, 1

    ( ) 2, 1 23, 2

    x xf x x

    x x

    d d !

    41) ( )3xf x O -1, -2).

    f(2).

    42) : 3 1y xH O O x[ 45q .

    O . H .

    43) 1f x x xO P yy xx

    f.

    44) -1) 3 2y x . 45) 2( 6) 1y O F O 3 1y x 46) 2 5y x 1). y ax E 47) 3 5y xO O 8 2 1y xO O

  • 43

    48)

    1 52

    y O F ( 1) 3y O F ( 3) 2y O O F (4 3 ) 1y O F 2 3 5 5y O F 4 3y F

    49)

    : 3 1y xH O 1: 32

    y x]

    2 2y xO 18

    y xO

    22 4y xO 43 1y xO 50) ( 3) 3y O F ( 5) 1y O F

    51) 12

    -5).

    52) 3y xO xx 23

    :

    4,6

    53) 11: 32

    y xH 6) 2 : y axH E 1H 1H 2H 54) 4) -1,-5). 55) 2 3f x x x D y\

  • 44

    D 1f 4f f x[ .

    56) ( 1) 2 4y O F O

    -2, -5).

    57) ( ) 2f x OF 58) 2 1,4 2O O P$ 5 , 1O P% x[ .

    O P : 4y xH D

    D H H

    59) 1 12

    y O F O -4,5). y 6).

    60)

    ( ) 2f xF ! 1( ) 12

    f x xd 1 1 ( ) 22x f x x

    61) 2 6( ) 3 2

    3x xf xx

    O yy -1. f f.

  • 45

    62)

    i. x xM ii. 3f x x

    iii. 3g x x 63)

    i. x xM ii. 3f x x

    iii. 3g x x 64)

    i. x xM ii. 3 2f x x iii. 3 2g x x 65) 23 2x xM f M :

    i. ii.

    iii. iv.

    66)

    i. 3

    13x xf xx

    ii. 5 32 2 3f x x x

    iii. 3 36

    4x

    f xx x

    iv. 4 1xf x

    xx

    v. 2

    5 2

    2 3............ 02

    2 3............ 02

    x x xxf x

    x x xx

    t

    E

    vi. 6 22( )

    1xf x

    x

    67) :f o\ \ 4g x f f x x f x

    68) :f o\ \ 2f y x f y x f x f y

  • 46

    ,x y\ . i. 0f

    ii. f 69) 2: 4 ,6 3f D D D o \ 2, 40

    i. D ii. 2 0f f.

    70)

    i. 1 32xf x

    ii. 2 12 4 3f x x x iii. 3 5f x xx iv. 24f x x x v. 25 4 3f x x x ,2' f

    vi. 6 2 3......... 15 4 ......... 1x x

    f xx x

    t E

    vii. 7 ( ) 3f x x 71) O 7 3 2 7f x xO

    i. ii. iii.

    72) 6( )1

    f xx

    1( )( )

    g xf x

    73) f \ 3,1$ 2 1f x ! . 74) 22 3 4f x x x x D y\ 6 .

    i. D ii. f

    iii. f 75) 4 2( ) 5f x x x . f 0,f

  • 47

    f f ,0f 76)

    i. 1 6 5 2f x x ii. 22 3 4f x x

    iii. 23 ( ) 2f x x iv. 4 3 2f x x v. 5 47 3 2f x x

    vi. 26 5 9f x x vii. 27 4 7f x x x

    viii. 8 ( ) 2 3f x x ix. 9 ( ) 3 4f x x x. 210 ( ) 4 2f x x x

    77) > @: 1,9f o \ 18f x xx

    i. f

    ii. f . 78) 7 2f x x x

    i. f ii. f

    iii. f 79) > @: 0,9f o \ f x x xD E f 1,20 4, 51 .

    i. D E ii. f

    iii. f 80) > @: 1,2f o \ 2 1 1f x xO O

    i. f ii. f 8 7 O

    iii. 81) ( ) ( 6)f x x x . f 2( ) ( 3) 9f x x f.

  • 48

    1) O

    i. 28 2f x xO ii. 23f x xO

    2) O

    i. 23f x xO @,0f ii. 21f x xO > 0,f

    iii. 23 2f x xO @,0f iv. 29 5 2f x xO > 0,f

    3) 2 26 11f x xD D 3,180

    i. D ii. f

    4) P

    i. 1 5f x xP ,0f

    ii. 2 5 2 3f x xP ,0f

    iii. 3 3 6f x xP 0,f

    iv. 4 3 1f x xP 0,f

    5) P

    i. 1 1 3f x xP

    ii. 2 6 4 6f x xP

    6) 2 3 4f xx

    D D

    1,D0 i. D

    ii.

  • 49

    7)

    2 ........... 1

    2............... 1 12 .............. 1

    xx

    f x x

    xx

    d

    E E

    ;

    i. f

    ii. a. b. f

    8)

    i. 21 6 4f x x x ii. 22 4 2f x x x

    9)

    i. 21 2 4 3f x x x ii. 22 3 4f x x

    iii. 23 6 9f x x x 10) 2 6 5f x x x .

    i. fC ii. f

    iii. fC iv. f

    11) 23 6 3f x x x

    i. fC ii. f

    iii. fC iv. f

    12)

    i. 21 4f x x ii. 22 2 3f x x x

    13)

    i. 21 4 5f x x x ii. 22 2f x x x

  • 50

    14) 2 2 2 2 1f x x xO O O 1x .

    i. O ii. f

    15) 2 3 2f x x xO O O f :

    i. x[ ii. y\

    iii. 4 16) 2 2( ) ( ) ( 1)f x x a E F D 17) 22 6 4f x x xO O 0 8f x

    i. O ii. fC

    18) 2( ) ( 1) 2 3f x O F 2( ) (2 2 ) 3 1g x O F F O 19) 40cm .

    i. xcm x

    ii.

    20) 2( )f x x EF J min 7f 21) 2( ) 2( 1)f x x x kO f(x -1. 22) fC

    2( )f x x ax E -18) -4), f.

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