Denne teksten er hentet fra Matematiske sammenhenger: Algebra og funksjonslære.Skrevet av Marit Johnsen Høines, Reinert Rinvold og Bjørg Kristin SelvikUtgitt av Caspar forlag as – www.caspar.no

KAPITTEL 1 13

at πr2 10= . Algebraen lar oss omforme denne ligningen til at

r = 10π

. Dessuten er algebraen et språk som lar oss uttrykke ting vi

ikke kan uttrykke ved tall alene. Formelen for arealet av sirkelenuttrykker en sammenheng mellom tall eller størrelser eller en regel.

1.5 PrealgebraGrunnlaget for å regne med symboler er elevenes erfaringer i å regnemed tall. En del av elevenes problemer med algebra skyldes vanskerde har med tallregning. Det er viktig å arbeide med disse spørsmå-lene før elevene kommer til algebraen. Ellers vil problemene forster-kes når elevene begynner å regne med symboler. Vi kaller tiltak for åforberede elevene på algebra for prealgebra. (Prefikset pre- betyrfør.)

Et slikt problem er knyttet til rekkefølgen av regneoperasjonene ien utregning. En undersøkelse i England blant 22 elever i 12–13 årsalderen (Linchevski og Herscovics 1994), viste at 17 av elevene gasvaret 110 på regnestykket

5 6 10+ ⋅ = ? (1.1)

Det viser at de utførte addisjonen først. Derimot utførte bare 3 avelevene subtraksjonen først i regnestykket

17 3 5− ⋅ = ?

De 19 andre elevene hadde det riktige svaret 2. Elevene fikk ogsåregnestykket

8 5 7⋅ +( ) = ?

Da regnet alle riktig.Elevene som regnet oppgave (1.1) feil ble gjort oppmerksom på

at andre elever hadde utført multiplikasjonen først og fått svaret65. Elevene kom da på at de hadde lært at de skulle utføre multi-plikasjonen først når det ikke står parenteser. Etterpå regnet detilsvarende oppgaver riktig.

Grunnen til at så mange regnet oppgave (1.1) feil hengersammen med en tendens til å utføre regnestykker skritt for skritt fravenstre mot høyre. Denne tendensen er trolig sterkere for addisjonenn for subtraksjon. Vi kan se det samme fenomenet i lange utreg-ninger hvor elevene kunne forenklet regningen ved å ta et overblikkover oppgaven. Et eksempel er regnestykket som ble gitt til desamme 22 elevene

17 59 59 18 18+ − + − = ?

Denne teksten er hentet fra Matematiske sammenhenger: Algebra og funksjonslære.Skrevet av Marit Johnsen Høines, Reinert Rinvold og Bjørg Kristin SelvikUtgitt av Caspar forlag as – www.caspar.no

ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE14

Bare 5 av dem så umiddelbart at svaret ble 17 siden de andretallene nuller hverandre ut. De andre regnet fra venstre mot høyreskritt for skritt. Det viste seg også at 6 av elevene så bort fra minus-tegnet foran 59 og adderte 59 og 18!

Vær klar over at enkle kalkulatorer som ofte benyttes på barne-trinnet understøtter tankegangen om å regne steg for steg fra ven-stre mot høyre. Mer avanserte kalkulatorer utfører regnestykkenemed riktig prioritet mellom operasjonene. En mulig løsning kanvære å slutte å bruke den enkleste typen kalkulatorer. I alle fall mådu som lærer være oppmerksom på dette.

1.6 PotensregningI tillegg til de fire regningsartene er potensregning et viktig grunnlagfor algebra og funksjonslære. Derfor kan vi si at det hører med tilprealgebraen å gjøre seg fortrolig med denne femte regningsartenfør du kaster deg ut i algebraen!

En måte å betrakte multiplikasjon på er gjennom gjentatt addi-sjon. Å multiplisere 8 med 5, er det samme som å addere 8 femganger, altså 8 5 8 8 8 8 8⋅ = + + + + . På tilsvarende måte definerespotensregning gjennom gjentatt multiplikasjon. I stedet for8 8 8 8 8⋅ ⋅ ⋅ ⋅ skriver vi 85. Dette leses som «åtte opphøyd i femte». Vikaller 85 for en potens. Tallet 8 kalles for potensens grunntall, og 5kalles for eksponenten.

Ut fra denne definisjonen er det lett å begrunne to kjente reglerfor potensregning. Den første av disse sier at om vi multipliserer topotenser med samme grunntall, så er svaret en potens hvor ekspo-nenten er summen av eksponentene til faktorene. Et eksempelillustrerer hvorfor det må være slik:

7 7 7 7 7 7 7 7 72 4 2 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = +( ) ( )

Subtraksjon av eksponenter svarer på tilsvarende måte til divisjon.Det overlates til leseren å skrive ut en begrunnelse for at

7 7 76 2 6 2: = −

Etter hvert som tallbegrepet har blitt utvidet, har også definisjonenav potenser blitt utvidet til å omfatte nye typer av tall. Det førstenaturlige spørsmålet vi kan stille oss er hva et tall opphøyd i nullbør være. For noen er det kanskje rart at vi har lov å stille slikespørsmål, men det kan vi! Matematikken er nemlig en menneskeligaktivitet hvor folk etter hvert har blitt enige om en del hensiktsmes-sige definisjoner. Hvis vi i begrunnelsen for addisjonsregelen haddehatt ingen sjutall til venstre istedenfor to, så ville vi til sammen hatt4 sjutall. Vi kunne tenke oss å skrive dette som