Συνήθεις∆ιαφορικέςΕξισώσεις · Αναλυτικό...

Συνήθεις ∆ιαφορικές Εξισώσεις

Ζούπας Ανδρέας

Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών,

Πολυτεχνική Σχολή,

Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας,

Λεωφόρος Αθηνών,

Πεδίο ΄Αρεως, Βόλος 38334

31 Ιανουαρίου 2015

Περιεχόµενα

0.1 ΄Υλη του Μαθήµατος : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Συγγράµµατα, Βιβλιογραφία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Βασικές ΄Εννοιες 61.1 Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις ΄Εννοιες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Ορισµός Συνήθους ∆ιαφορικής Εξίσωσης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Ταξινόµηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Λύσεις µίας Σ∆Ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά των Λύσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Πεδίο ∆ιευθύνσεων-Ολοκληρωτικές Καµπύλες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1.i Γραφική Προσέγγιση Λύσης-Πολύγωνο του Cauchy. . . . . . . . . . . . 171.3.1.ii Εύρεση Σ∆Ε από Γνωστή Οικογένεια Καµπυλών. . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2 Κανονικά και Ανώµαλα Σηµεία Σ∆Ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.3 Ορθογώνιες Τροχιές. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Προβλήµατα Αρχικών και Συνοριακών Τιµών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 Καλά Τοποθετηµένα Προβλήµατα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Σ∆Ε Πρώτης Τάξης. 282.1 ∆ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Ακριβείς Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Εξισώσεις Χωριζοµένων Μεταβλητών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 Πολλαπλασιαστές του Euler (Ολοκληρωτικοί Παράγοντες) . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1 Ιδιότητες Πολλαπλασιαστών Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.2 Εύρεση Ολοκληρωτικών Παραγόντων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Γραµµικές Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6 Αυτόνοµες Σ∆Ε- Ποιοτική Μελέτη Λύσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.7 Μετασχηµατισµοί Μεταβλητών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.8 Οµογενείς Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.9 Η Εξίσωση Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.10Η Εξίσωση Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.11Ανακεφαλαίωση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3 ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης. 803.1 ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.1.1 Η ϑεωρία του Picard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.1.1.i Υπολογισµός ∆ιαδοχικών Προσεγγίσεων της Λύσης. . . . . . . . . . . . 823.1.1.ii Το Θεώρηµα του Picard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.1.2 Εύρεση Ανώµαλων Σηµείων Σ∆Ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.3 Επεκτασιµότητα Λύσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2 Εξάρτηση των Λύσεων από Παραµέτρους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3 Περιβάλλουσα και Ιδιάζουσες Λύσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.3.1 Ορισµός και Εύρεση Περιβάλλουσας. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

ii

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ iii

3.3.2 Περιβάλλουσες ως Ιδιάζουσες Λύσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.3.2.i Η Εξισωση του Clairaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 Συνήθεις ∆ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης 1004.1 Σ∆Ε Ανώτερης Τάξης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.1.1 Ακριβείς Σ∆Ε Ανώτερης Τάξης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.1.2 Η Εξίσωση 𝑦(𝑛)(𝑥) = 𝑓(𝑥). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.1.3 Εξισώσεις της µορφής 𝑦(𝑛)(𝑥) = 𝑓(𝑦(𝑛−1)(𝑥)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.1.4 Η Εξίσωση της Μορφής 𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑘)(𝑥), 𝑦(𝑘+1)(𝑥), . . . , 𝑦(𝑛)(𝑥)) = 0. . . . . . . . . . 1064.1.5 Αυτόνοµες ∆.Ε. Ανώτερης Τάξης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.1.6 Οµογενείς ∆.Ε. Ανώτερης Τάξης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.2 Γραµµικές Σ∆Ε Ανώτερης Τάξης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2.1 Γενικές ΄Εννοιες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2.2 Οµογενείς Γραµµικές Σ∆Ε-Χώρος Λύσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.2.3 Ορίζουσα Wronski-Θεµελιώδες Σύνολο Λύσεων Οµογενούς Γραµµικής Σ∆Ε. . . 112

4.2.3.i Η Wronskian των Λύσεων Γραµµικής Οµογενούς Σ∆Ε. . . . . . . . . . 1124.2.3.ii Ορίζουσα Wronski και Γραµµική Ανεξαρτησία Λύσεων Οµογενούς Γραµ-

µικής Σ∆Ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2.3.iii Γενική Λύση-Θεµελιώδες Σύνολο Λύσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.2.4 Υποβιβασµός Τάξης Οµογενούς Γραµµικής Σ∆Ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.2.4.i Μέθοδος d’ Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.2.5 Εφαρµογή Γενικής Θεωρίας : Οµογενείς Γραµµικές Εξισώσεις 2ης Τάξης. . . . . 1174.2.5.i Υπολογισµός ∆εύτερης Λύσης από Γνώση Μίας Λύσης µε τη ϐοήθεια της

Wronskian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.2.5.ii Ο Γραµµικός Οµογενής Μετασχηµατισµός 𝑦(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑌 (𝑥). . . . . . . 1204.2.5.iii Η Κανονική Μορφή. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.2.6 Μη Οµογενείς Γραµµικές Σ∆Ε- Μέθοδος Μεταβολής των Σταθερών (Lagrange). . 1204.2.6.i Μη-Οµογενείς Γραµµικές ∆.Ε., Γενική λύση Μη-Οµογενούς Γραµµικής

∆.Ε.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2.6.ii Εφαρµογή: Μέθοδος Μεταβολής των Σταθερών για Γραµµικές Σ∆Ε 2ης

Τάξης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5 Γραµµικές Σ∆Ε µε Σταθερούς Συντελεστές. 1215.1 Οµογενείς Γραµµικές Σ∆Ε 2ης Τάξης µε Σταθερούς Συντελεστές. . . . . . . . . . . . . 121

5.1.1 Χαρακτηριστική Εξίσωση - Πραγµατικές Ρίζες, Μιγαδικές Ρίζες, ∆ιπλή Ρίζα. . . . 1215.2 Οµογενείς Γραµµικές Σ∆Ε Τάξης 𝑛 > 2 µε Σταθερούς Συντελεστές. . . . . . . . . . . . 121

5.2.1 Χαρακτηριστική Εξίσωση - Πραγµατικές Ρίζες, Μιγαδικές Ρίζες, Ρίζες Πολλαπλό-τητας 𝑘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3 Μη Οµογενείς Γραµµικές Σ∆Ε Τάξης 𝑛 > 2 µε Σταθερούς Συντελεστές. . . . . . . . . . 1215.4 Μέθοδος των Προσδιοριστέων Συντελεστών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.5 ∆ιαφορικοί Τελεστές-Απλές Εισαγωγικές ΄Εννοιες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.6 ∆ιαφορικές Εξισώσεις Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.6.1 Σχέση Σ∆Ε Euler µε Γραµµικές Σ∆Ε µε Σταθερούς Συντελεστές . . . . . . . . . 122

6 Εφαρµογές Σ∆Ε σε Βασικά Προβλήµατα Μηχανικής 1236.1 Αυτόνοµα ∆υναµικά Συστήµατα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.2 Κινήσεις Υπό την Επίδραση ∆ύναµης που είναι Συνάρτηση της Ταχύτητας . . . . . . . 124

6.2.1 Τριβές Ανάλογες µε ∆υνάµεις της Ταχύτητας. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2.2 Κίνηση Σώµατος σε Κεκλιµένο Επίπεδο µε Αντίσταση Αέρα . . . . . . . . . . . . 130

6.3 Ταλαντώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.3.1 Ελεύθερη Αρµονική Ταλάντωση χωρίς Τριβή. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.3.2 Ελεύθερη Αρµονική Ταλάντωση µε Τριβή. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.3.3 Εξαναγκασµένη Αρµονική Ταλάντωση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

΄Εκδοση: 31 Ιανουαρίου 2015

iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

6.3.3.i Εξαναγκασµένη Αρµονική Ταλάντωση χωρίς Τριβή. . . . . . . . . . . . 1326.3.3.ii Εξαναγκασµένη Αρµονική Ταλάντωση µε Τριβή. . . . . . . . . . . . . . 132

7 Μετασχηµατισµός Laplace. 1337.1 Εισαγωγή-Ορισµός Μετασχηµατισµού Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2 Βασικές Ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.3 Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Laplace- Βασικές Ιδιότητες. . . . . . . . . . . . . . . . 1347.4 Μετασχηµατισµός Laplace Στοιχειωδών Συναρτήσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.5 Επίλυση ΠΑΤ Γραµµικών Σ∆Ε µε Μετασχηµατισµό Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.5.1 Γραµµικές Σ∆Ε µε Σταθερούς Συντελεστές. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.5.2 Γραµµικές Σ∆Ε µε Συντελεστές Πολυώνυµα της Μεταβλητής. . . . . . . . . . . . 134

7.6 Μετασχηµατισµός Laplace και Ασυνεχείς Συναρτήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.7 Επίλυση ΠΑΤ Γραµµικών Σ∆Ε Σταθερών Συντελεστών µε Ασυνεχή µη Οµογενή ΄Ορο. . . 1357.8 Εξαναγκασµένη Κίνηση Αποσβεννύµενου Αρµονικού Ταλαντωτή µε τη µέθοδο του Με-

τασχηµατισµού Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.9 Ανακεφαλαίωση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.9.1 Βασικοί Πίνακες Σχετικοί µε το Μετασχηµατισµό Laplace. . . . . . . . . . . . . 1367.9.2 Μετασχηµατισµός Laplace Ασυνεχών Συναρτήσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8 Επίλυση Σ∆Ε µε ∆υναµοσειρές 1418.1 Βασικοί Ορισµοί-Γενικά περί της Μεθόδου των Σειρών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2 Επίλυση µε Γενικές ∆υναµοσειρές. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.3 Μέθοδος Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141


Αναλυτικό Πρόγραµµα-΄Υλη Μαθήµατος2014-2015

0.1 ΄Υλη του Μαθήµατος:

Αντικείµενο του µαθήµατος είναι η µελέτη Συνήθων ∆ιαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Συνήθης∆ιαφορική Εξίσωση ϑα συµβολίζουµε µε (Σ∆Ε) ενώ, τον όρο Πρόβληµα Αρχικών Τιµών ϑα συµβο-λίζουµε µε (ΠΑΤ). Η ύλη είναι αυτή που καθορίζεται από το αναλυτικό πρόγραµµα σπουδών τουµαθήµατος όπως έχει αναρτηθεί στην ιστοσελίδα:

http://www.mie.uth.gr/n_syllabus.asp?id=18

µε πολύ µικρές διαφοροποιήσεις, όχι ουσιαστικού αλλά τεχνικού περισσότερο περιεχοµένου.

1η Ενότητα: Εισαγωγικές ΄Εννοιες.

• Εισαγωγή, Ορισµός Σ∆Ε, Ταξινόµηση.

• Ορισµός Λύσης, Γενική Λύση, Ιδιάζουσα Λύση, Πλήρης Λύση.

• Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά Λύσεων: Πεδίο ∆ιευθύνσεων-ολοκληρωτικές καµπύλες, ΓραφικήΠροσέγγιση Λύσης- Πολύγωνο Cauchy, Εύρεση Σ∆Ε από γνωστή οικογένεια καµπυλών, Κανο-νικά και Ανώµαλα Σηµεία Σ∆Ε, Ορθογώνιες τροχιές.

• Προβλήµατα Αρχικών και Συνοριακών Τιµών.

• Καλά τοποθετηµένα προβλήµατα.

2η Ενότητα: Σ∆Ε Πρώτης Τάξης.

• Ακριβείς Εξισώσεις,

• Σ∆Ε 1ης Ταξης χωριζοµένων Μεταβλητών,

• Μέθοδος Ολοκληρωτικού Παράγοντα Euler, Ιδιότητες πολλαπλασιαστών Euler, Εύρεση Ολο-κληρωτικών Παραγόντων.

• Γραµµικές Σ∆Ε,

• Αυτόνοµες Σ∆Ε-Ποιοτική µελέτη λύσεων

• Μετασχηµατισµοί µεταβλητών,

1

http://www.mie.uth.gr/n_syllabus.asp?id=18

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

• Οµογενείς Σ∆Ε,

• Σ∆Ε Bernoulli,

• Σ∆Ε Ricatti

• Εφαρµογές-Μαθηµατικά Μοντέλα Φυσικών Φαινοµένων,

1. Χρόνος υποδιπλασιασµού2. Πληθυσµιακά Μοντέλα3. Εφαρµογές στη Μηχανική

Οι περισσότερες από τις πιο πάνω εφαρµογές περιλαµβάνουν εξισώσεις της κατηγορίας των αυ-τόνοµων Σ∆Ε και της Σ∆Ε Bernoulli. Περισσότερες εφαρµογές των Σ∆Ε ειδκότερα στη µηχανικήϐρίσκονται στην Ενότητα 6.

3η Ενότητα:

• ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης, Θεώρηµα Picard, Υπολογισµός διαδοχικών προσεγγίσεωνλύσης

• Περιβάλλουσα λύσεων

4η Ενότητα: Σ∆Ε Ανώτερης Τάξης.

• Γενική Θεωρία Εξισώσεων ν-οστής Τάξης,

1. Ακριβείς Σ∆Ε ανώτερης τάξης,

2. Η εξίσωση 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑥),

3. Εξισώσεις της µορφής 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑦(𝑛−1))

4. Η εξίσωση της µορφής 𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑘)(𝑥), 𝑦(𝑘+1)(𝑥), . . . , 𝑦(𝑛)(𝑥)) = 0,5. Αυτόνοµες Σ∆Ε ανώτερης τάξης,6. Οµογενείς Σ∆Ε ανώτερης τάξης

• Γραµµικές Σ∆Ε Ανώτερης Τάξης,

1. Οµογενείς Σ∆Ε Ανώτερης Τάξης,2. Αλγεβρικές ιδιότητες Λύσεων, Ορίζουσα Wronski,3. Μη-Οµογενείς Σ∆Ε Ανώτερης Τάξης,4. Μέθοδος Μεταβολής Σταθερών, Μέθοδος ∆ιαφορικών Τελεστών,5. Μέθοδος Υποβιβασµού Τάξης,6. Εφαρµογή: Γραµµικές Σ∆Ε ∆εύτερης Τάξης : Ο γραµµικός οµογενής µετασχηµατισµός

𝑦 = 𝑔𝑌 , Η κανονική µορφή

Παρατήρηση: Η µέθοδος των τελεστών δεν µελετήθηκε αναλυτικά. Μεγάλη έµφαση δόθηκεστη χρήση της ορίζουσας Wronski για τη Μελέτη και Επίλυση των Γραµµικών Σ∆Ε δεύτερηςτάξης, οµογενών και µη οµογενών.


0.1. ΄Υλη του Μαθήµατος : 3

5η Ενότητα: Γραµµικές Σ∆Ε µε Σταθερούς Συντελεστές

• Οµογενείς, Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο, Γενική λύση οµογενούς-περιπτώσεις

• Μη Οµογενείς-Μέθοδος Προσδιοριστέων Συντελεστών

• Σ∆Ε Euler, Σχέση Σ∆Ε Euler µε γραµµικές οµογενείς Σ∆Ε µε σταθερούς συντελεστές.

6η Ενότητα: Εφαρµογές Σ∆Ε σε Βασικά Προβλήµατα Μηχανικής.

• Αυτόνοµα δυναµικά συστήµατα,

• Κινήσεις υπό την επίδραση δύναµης που είναι συνάρτηση της ταχύτητας,

1. Τριβές ανάλογες µε δυνάµεις της ταχύτητας2. Κίνηση σωµατος σε κεκλιµένο επίπεδο µε αντίσταση αέρα

• Εφαρµογές σε Προβλήµατα ∆υναµικής και Ταλαντώσεων.

1. Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς τριβή και µε τριβή2. Εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση χωρίς τριβή και µε τριβή, συντονισµός.

7η Ενότητα: Μετασχηµατισµός Laplace

• Ορισµός-Ιδιότητες,

• Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Laplace,

• Μετασχηµατισµός Laplace στοιχειωδών συναρτήσεων,

• Εφαρµογή στην Επίλυση ΠΑΤ (Γραµµικών Σ∆Ε µε σταθερούς συντελεστές και Γραµµικών Σ∆Εµε Συντελεστές Πολυώνυµα της Μεταβλητής.)

• Ο Μετασχηµατισµός Laplace Ασυνεχών Συναρτήσεων-Εφαρµογές σε ΠΑΤ.

• Εξαναγκασµένη Κίνηση Αποσβεννύµενου Αρµονικού Ταλαντωτή µε τη µέθοδο του Μετασχηµα-τισµού Laplace.

8η Ενότητα: Επίλυση Σ∆Ε µε ∆υναµοσειρές.

• Οµαλά Σηµεία, Ιδιάζοντα σηµεία, ϑεώρηµα Fuchs,

• Επίλυση µε Γενικές ∆υναµοσειρές,

• Μέθοδος Frobenius

Παρατήρηση. Για το Ακαδηµαϊκό έτος 2014 − 2015 στην ύλη του µαθήµατος δεν ϑα περιλαµβά-νεται η ενότητα των Συστηµάτων Σ∆Ε.


4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

0.2 Συγγράµµατα, Βιβλιογραφία

Ως συγγράµµατα του µαθήµατος έχουν προταθεί τα ϐιβλία

1. Συνήθεις ∆ιαφορικές εξισώσεις του ∆. Σουρλά [4].

2. Συνήθεις ∆ιαφορικές Εξισώσεις του Σ. Τραχανά [2].

3. Συνήθεις ∆ιαφορικές Εξισώσεις του ∆. Τσουµπελή [3].

Σε κάθε περίπτωση όµως, ¨οδηγό¨ για το µάθηµα και τις απαιτήσεις του αποτελούν οι διαλέξεις τουδιδάσκοντα στο αµφιθέατρο. Γίνεται προσπάθεια ώστε όλες οι ενότητες του µαθήµατος να περιληφθούνσε σηµειώσεις οι οποίες αναρτώνται στην ιστοσελίδα του µαθήµατος

http://www.mie.uth.gr/n_ekp_yliko.asp?id=18

Το µάθηµα έχει ακολουθήσει σε σηµαντικότατο ϐαθµό την ανάπτυξη του ϑέµατος από τα ϐιβλία

α) Συνήθεις ∆ιαφορικές εξισώσεις του ∆. Σουρλά [4],

ϐ) Συνήθεις ∆ιαφορικές Εξισώσεις του Σ. Τραχανά [2],

γ) Συνήθεις ∆ιαφορικές Εξισώσεις του Γ. ∆άσιου [1],

ενώ, πολύτιµη ήταν η ϐοήθεια των ηλεκτρονικών σηµειώσεων:

• http://www.physics.upatras.gr/UploadedFiles/course_16_4956.pdf (Τα πρώ-τα τέσερα κεφάλαια του προτεινόµενου συγγράµµατος)

• http://www.physics.upatras.gr/UploadedFiles/course_16_5940.pdf (∆ιαφά-νειες, µέρος των οποίων είναι υλικό σχετικό µε το µάθηµα.)

• http://www.physics.upatras.gr/UploadedFiles/course_16_679.pdf (Τµήµα τουπροτεινόµενου συγγράµµατος σχετικό µε τις ταλαντώσεις.)

Τέλος, µεγάλο τµήµα της έκδοσης του 2007 του προτεινόµενου συγγράµµατος µπορεί να ϐρεθείστην ηλεκτρονική διεύθυνση:

• https://mathbooksgr.files.wordpress.com/2011/12/diaforikes_sourlas_2007.pdf

΄Οµως η ϐιβλιογραφία δεν περιορίζεται µόνο σε αυτά τα συγγράµµατα και σηµαντικότατη ήταν ηϐοήθεια των [7], [5], [9], [10] και [8]

Ενότητες Συγγραµµάτων που Αντιστοιχούν στην ΄Υλη. Από την αναλυτική παράθεση της ύληςστην προηγούµενη ενότητα στην µπορείτε να προσδιορίσετε και τις ενότητες των προτεινόµενων συγ-γραµµάτων που αντιστοιχούν στην ύλη του µαθήµατος. ΄Οµως, κανένα από τα συγγράµµατα δενκαλύπτει πλήρως την ύλη του µαθήµατος. Μεγαλύτερη συνέφεια υπάρχει σαφώς µε το προτεινόµενοσύγγραµµα [4].

Τονίζεται για άλλη µία ϕορά ότι ¨οδηγός¨ για το µάθηµα και τις απαιτήσεις του αποτελούν οιδιαλέξεις του διδάσκοντα στο αµφιθέατρο. Αυτό, διότι ο τρόπος παρουσίασης και ανάπτυξης τωνενοτήτων είναι πολύ πιθανόν να είναι διαφοροποιηµένος, σε αρκετές περιπτώσεις, σε σχέση µε τοναντίστοιχο του συγγράµµατος.


http://www.mie.uth.gr/n_ekp_yliko.asp?id=18http://www.physics.upatras.gr/UploadedFiles/course_16_4956.pdfhttp://www.physics.upatras.gr/UploadedFiles/course_16_5940.pdfhttp://www.physics.upatras.gr/UploadedFiles/course_16_679.pdfhttps://mathbooksgr.files.wordpress.com/2011/12/diaforikes_sourlas_2007.pdfhttps://mathbooksgr.files.wordpress.com/2011/12/diaforikes_sourlas_2007.pdf

0.2. Συγγράµµατα, Βιβλιογραφία 5

Σηµειώσεις του ∆ιδάσκοντα.

Πληροφορίες για την ΄Υλη µπορείτε να πάρετε και από τις σηµειώσεις που ακολουθούν, οι οποίες είναιόµως ηµιτελείς. ΄Οµως, τόσο ο πίνακας περιεχοµένων όσο και σηµειώσεις στα διάφορα κεφάλαιααποτελούν τον καλύτερο ίσως οδηγό για τις απαιτήσεις του µαθήµατος. Σε κάποια Κεφάλαια υπάρχειστο τέλος ενότητα ανακεφαλαίωσης η οποία περιέχει συνήθως ϐασικές έννοιες και χρήσιµους πίνακες.

Απορίες:

Απορίες ή παρατηρήσεις µπορούν να σταλλούν στην παρακάτω ηλεκτρονική διεύθυνση:

[email protected].

Παρατηρήσεις-Σχόλια Αναγνωστών:

Σχόλια και παρατηρήσεις είναι όχι µόνο ευπρόσδεκτα αλλά ϑεωρούνται και αναγκαία. Χωρίς σχόλιακαι αλληλεπίδραση µε τους αναγώστες οποιαδήποτε είδους ϐελτίωση είναι πρακτικά αδύνατη. Τυχόνσχόλια µπορούν να σταλούν στην παρακάτω ηλεκτρονική διεύθυνση:

[email protected].


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Βασικές ΄Εννοιες

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

1.1 Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις ΄Εννοιες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1 Ορισµός Συνήθους ∆ιαφορικής Εξίσωσης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Ταξινόµηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Λύσεις µίας Σ∆Ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά των Λύσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Πεδίο ∆ιευθύνσεων-Ολοκληρωτικές Καµπύλες. . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1.i Γραφική Προσέγγιση Λύσης-Πολύγωνο του Cauchy. . . . . . . . . . . 171.3.1.ii Εύρεση Σ∆Ε από Γνωστή Οικογένεια Καµπυλών. . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2 Κανονικά και Ανώµαλα Σηµεία Σ∆Ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.3 Ορθογώνιες Τροχιές. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Προβλήµατα Αρχικών και Συνοριακών Τιµών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 Καλά Τοποθετηµένα Προβλήµατα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Το κεφάλαιο αυτό έχει επηρεαστεί κυρίως από τους [1], [8], [9], [6], και [10].

1.1 Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις ΄Εννοιες.

1.1.1 Ορισµός Συνήθους ∆ιαφορικής Εξίσωσης.

Ξεκινάµε µε το τι ορίζουµε ως συνήθη διαφορική εξίσωση. Τον όρο ∆ιαφορική Εξίσωση ϑα τονσυµβολίζουµε συνήθως µε ∆.Ε..

Ορισµός 1.1.1 (Συνήθης ∆ιαφορική Εξίσωση).Μία σχέση της µορφής

𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦(1)(𝑥), . . . , 𝑦(𝑛)(𝑥)) = 0, 𝑛 ∈ R (1.1.1)

όπου 𝑦(𝑘)(𝑥) = dk𝑦(𝑥)d𝑥k

, 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑛 και 𝐹 είναι µία πραγµατική συνάρτηση 𝑛 + 2 µεταβλητώνονοµάζεται Συνήθης ∆ιαφορική Εξίσωση και ϑα τη συµβολίζουµε µε Σ∆Ε.

6

1.1. Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις ΄Εννοιες. 7

Η συνάρτηση 𝑦(𝑥) ονοµάζεται ΄Αγνωστη Συνάρτηση. Αν 𝑦(𝑥) : Ι ⊂ R → R τότε 𝐹 : Ι × Ω → Rόπου Ω ⊂ R𝑛+1. ∆ηλαδή, η Σ∆Ε ϑεωρείται συνάρτηση τόσο της µεταβλητής 𝑥 όσο και των 𝑛 + 1συναρτήσεων, 𝑦(𝑥), 𝑦(1)(𝑥), . . . , 𝑦(𝑛)(𝑥). Η µορφή (1.1.1) ονοµάζεται Πεπλεγµένη Μορφή της Σ∆Ε.Αν η ∆.Ε. (1.1.1) µπορεί να λυθεί ως προς τη µεταβλητή 𝑦(𝑛), τότε η εξίσωση

𝑦(𝑛) = 𝐺(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦(1)(𝑥), . . . , 𝑦(𝑛−1)(𝑥)) (1.1.2)

ονοµάζεται κανονική µορφή της Σ∆Ε.

Συµβολισµός: Για λόγους οικονοµίας χώρου, καποιες ϕορές την παραγώγιση τη συµβολίζουµε ωςεξής :

𝑦′(𝑥) =d𝑦(𝑥)

d𝑥

𝑦′′(𝑥) =d2𝑦(𝑥)

d𝑥2

...

Ενώ µπορεί να τη συµβολίσουµε και ως εξής

�̇�(𝑥) =d𝑦(𝑥)

d𝑥

𝑦(𝑥) =d2𝑦(𝑥)

d𝑥2

...

Ο τελευταίος τρόπος συµβολισµού συνηθίζεται, χωρίς αυτό να είναι αποκλειστικό, να χρησιµοποιείταιόταν η µεταβλητή είναι ο χρόνος 𝑡. ∆ηλαδή, �̇�(𝑡) = d𝑦(𝑡)d𝑡 , 𝑦(𝑡) =

d2𝑦(𝑡)d𝑡2

Η γενική µορφή Σ∆Ε (1.1.1) είναι προφανώς σε πεπλεγµένη µορφή και έτσι (όπως ακριβώς συµ-ϐαίνει µε τις πραγµατικές πεπλεγµένες συναρτήσεις) µπορεί να αντιστοιχεί σε παραπάνω από µία Σ∆Εκανονικής µορφής. Αν ϐοηθά, µπορείτε να σκέφτεστε την πεπλεγµένη µορφή ως µία συντοµογραφίαγια να συµβολίσουµε παραπάνω από µία Σ∆Ε κανονικής µορφής.

Αν η 𝐹 δεν περιέχει καθόλου παραγώγους τότε είναι απλώς µία Αλγεβρική Εξίσωση ως προς τηνάγνωστη συνάρτηση 𝑦(𝑥).

Παράδειγµα 1.1:Η Σ∆Ε

(𝑦′)2 = 𝑦

είναι επί της ουσίας ένας σύντοµος τρόπος γραφής δύο διαφορετικών µεταξύ τους ∆.Ε.. Των Σ∆Ε𝑦′ =

√𝑦 και 𝑦′ = −√𝑦 όπου κάθε µία από τις δύο ορίζεται για 𝑦 > 0.

Τις Σ∆Ε µπορούµε να τις κατηγοριοποιήσουµε σύµφωνα µε κάποια χαρακτηριστικά τους πουόντας κοινά µεταξύ των ∆.Ε. που ανήκουν στην ίδια κατηγορία τους προσδίδουν ιδιότητες που σχετί-Ϲονται συνήθως µε την ευκολία ή δυσκολία µελέτης και επίλυσης τους. Τις πλέον συνήθεις κατηγο-ϱιοποιήσεις παρουσιάζουµε αµέσως.

1.1.2 Ταξινόµηση

Το πρώτο χαρακτηριστικό ως προς το οποίο ταξινοµούµε τις Σ∆Ε αλλά και όλες τις ∆.Ε. γενικότεραείναι η τάξη τους.


8 Κεφάλαιο 1. Βασικές ΄Εννοιες

Τάξη Σ∆Ε. Η µεγαλύτερης τάξης παραγώγιση της άγνωστης συνάρτησης που εµφανίζεται στη ∆.Ε.ονοµάζεται Τάξη της ∆.Ε..

Γραµµικές, Μη-Γραµµικές Σ∆Ε. Η Σ∆Ε ονοµάζεται Γραµµική αν η 𝐹 είναι γραµµική συνάρτησητων 𝑦(𝑥), 𝑦(1)(𝑥),. . ., 𝑦(𝑛)(𝑥), δηλαδή της άγνωστης συνάρτησης και των παραγώγων της. Σε αυτή τηνπερίπτωση η πιο γενική µορφή µιας γραµµικής Σ∆Ε είναι

𝑓𝑛(𝑥)𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑓𝑛−1(𝑥)𝑦

(𝑛−1)(𝑥) + . . .+ 𝑓1(𝑥)𝑦(1)(𝑥) + 𝑓0𝑦(𝑥) = 𝑔(𝑥) (1.1.3)

όπου

• Οι συναρτήσεις 𝑓𝑖(𝑥), 𝑖 = 1, 2, . . . 𝑛 ονοµάζονται συντελεστές της γραµµικής ∆.Ε..

• Αν 𝑔(𝑥) = 0 ταυτοτικά τότε η γραµµική Σ∆Ε ονοµάζεται Οµογενής

• Αν η 𝑔(𝑥) δεν µηδενίζεται ταυτοτικά τότε η γραµµική Σ∆Ε ονοµάζεται Μη Οµογενής

Προφανέστατα, αν µία Σ∆Ε δεν είναι γραµµική ϑα ονοµάζεται Μη Γραµµική.Μία Σ∆Ε η οποία µπορεί να εκφραστεί ως πολυώνυµο των µεταβλητών 𝑦(𝑥), 𝑦(1)(𝑥), . . . , 𝑦(𝑛)(𝑥)

ονοµάζεται Πολυωνυµική. Σε αυτή την περίπτωση ορίζεται ο ϐαθµός της Σ∆Ε:

Βαθµός Σ∆Ε. Η δύναµη στην οποία είναι υψωµένη η µέγιστης τάξης παράγωγος µίας πολυωνυµικήςΣ∆Ε ονοµάζεται ϐαθµός της ∆.Ε..

Προσοχή ! Κάθε γραµµική Σ∆Ε είναι πρώτου ϐαθµού. ΄Οµως κάθε πρώτου ϐαθµού δεν είναιγραµµική. Π.χ. η,

𝑦(2)(𝑥) + (𝑦(1)(𝑥))3 = 3𝑥5

είναι πρώτου ϐαθµού αλλά µη γραµµική.

Σηµείωση: Το µάθηµα στη συντριπτική πλειοψηφία της ύλης του, µελετά Σ∆Ε πρώτου ϐαθµούκαι γραµµικές Σ∆Ε.

1.2 Λύσεις µίας Σ∆Ε

΄Εστω ότι έχουµε την Σ∆Ε (1.1.1). Τι εννοούµε όταν λέµε ότι µία συνάρτηση 𝑦(𝑥) είναι λύση της ;

Ορισµός 1.2.1 (Λύση Σ∆Ε).Η ϐασική προυπόθεση ώστε µία συνάρτηση 𝑦(𝑥) : Ι ⊂ R → R να ονοµάζεται λύση της Σ∆Ε (1.1.1) είναινα την ικανοποιεί ταυτοτικά. Πιο αυστηρά, χρειάζονται συνολικά οι εξής τρεις προυποθέσεις :

1. Η 𝑦(𝑥) να έχει παραγώγους µέχρι τάξης 𝑛 στο διάστηµα 𝐼, η οποία είναι λογική απαίτηση εφόσονϹητάµε να επαληθεύει µία Σ∆Ε 𝑛-τάξης.

2. (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦(1)(𝑥), . . . , 𝑦(𝑛)(𝑥)) ∈ Ι × Ω. Προφανώς, η λύση πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισµούτης 𝐹 .

3. 𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦(1)(𝑥), . . . , 𝑦(𝑛)(𝑥)) = 0, ∀𝑥 ∈ Ι. Η προφανής απαίτηση, να ικανοποιείται η Σ∆Ε(1.1.1) ταυτοτικά.


1.2. Λύσεις µίας Σ∆Ε 9

΄Υπαρξη Λύσεων: ∆εν επιδέχονται λύσης όλες οι ∆.Ε.. Για παράδειγµα η ∆.Ε.

|𝑦′|+ 1 = 0

είναι προφανές ότι δεν έχει λύση. Για την ύπαρξη λύσεων (αλλά και τη µοναδικότητα τους) ϑα ανα-ϕερθούµε σε ειδική ενότητα µετά τη µελέτη των Σ∆Ε πρώτης τάξης. Σε ότι ακολουθεί ϑα υποθέσουµεότι οι ∆.Ε. έχουν λύση(εις) εκτός και αν αναφέρεται ϱητά το αντίθετο.

Ας ϑεωρήσουµε τώρα κάποιες διαφορικές εξισώσεις άµεσα επιλύσιµες µε ολοκλήρωση. Η ∆.Ε.

𝑦′ = e𝑥

επιλύεται µε άµεση ολοκλήρωση και η λύση είναι η

𝑦(𝑥) = e𝑥 + 𝑐

όπου 𝑐 αυθαίρετη σταθερά, δηλαδή µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή. Η ∆.Ε.

𝑦′′ = e𝑥

επιλύεται και αυτή µε άµεση ολοκλήρωση και η λύση είναι η

𝑦(𝑥) = e𝑥 + 𝑐1𝑥+ 𝑐2

όπου 𝑐1 , 𝑐2 αυθαίρετες σταθερές, δηλαδή µπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιµή ανεξάρτητα η µίααπό την άλλη. Η ∆.Ε.

𝑦′′′ = e𝑥

επιλύεται και αυτή µε άµεση ολοκλήρωση και η λύση είναι η

𝑦(𝑥) = e𝑥 + 𝑐1𝑥2 + 𝑐2𝑥+ 𝑐3

όπου 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 αυθαίρετες σταθερές, δηλαδή κάθε µία µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή ανεξάρτητααπό τις άλλες. Κρίνοντας από τα παραπάνω παραδείγµατα, ϕαίνεται εύκολο να υποθέσουµε ότι εφόσονη λύση µίας Σ∆Ε 𝑛 τάξεως, όταν αυτή υπάρχει, προκύπτει, τυπικά, από 𝑛 διαδοχικές ολοκληρώσειςτότε και η λύση ϑα εξαρτάται πάντα (;) από 𝑛 αυθαίρετες σταθερές ολοκλήρωσης, δηλαδή από 𝑛 τοπλήθος πραγµατικές παραµέτρους. ΄Ετσι ϑα περιµέναµε η λύση κάθε Σ∆Ε πρώτης τάξης να εξαρτάταιαπό µία σταθερά. Μία τέτοια γενίκευση ϑα ήταν όµως λάθος. Για παράδειγµα, η ∆.Ε.

(𝑦′)2 + 𝑦2 = 0

έχει µία µόνο λύση, την 𝑦 = 0, παρόλο που ϑα περιµέναµε, αν η υπόθεση µας ήταν σωστή, ναεξαρτάται από µία αυθαίρετη σταθερά. Επίσης, η ∆.Ε.

(𝑦′ − 𝑦)(𝑦′ − 3𝑦) = 0

έχει λύση την(𝑦 − 𝑐1e𝑥)(𝑦 − 𝑐2e3𝑥) = 0

η οποία εξαρτάται από δύο σταθερές.



΄Οµως, υπάρχουν µεγάλες οικογένειες Σ∆Ε 𝑛 τάξεως για τις οποίες η παραπάνω υπόθεση εξάρτησηςτης λύσης από 𝑛 αυθαίρετες σταθερές αποδεικνύεται αληθής ! Επίσης, οι περισσότερες Σ∆Ε πουσυναντάµε ανήκουν συνήθως σε αυτές τις οικογένειες. Για αυτό το λόγο δίνουµε ειδικό ϐάρος στηλύση µίας Σ∆Ε 𝑛 τάξεως που εξαρτάται από 𝑛 αυθαίρετες σταθερές ολοκλήρωσης, δηλαδή από 𝑛το πλήθος πραγµατικές παραµέτρους και η εύρεση αυτών αποτελεί τον πρωταρχικό µας στόχο. Αςπροσέξουµε τώρα, ότι και κάθε συνάρτηση που προκύπτει από τη λύση µε τις 𝑛 παραµέτρους ανδώσουµε σε κάθε µία από αυτές τις παραµέτρους συγκεκριµένη τιµή λύνει την Σ∆Ε. Για όλουςτους προηγούµενους λόγους κρίνεται χρήσιµο να εισάγουµε τις έννοιες της Γενικής Λύσης και τηςΕιδικής Λύσης. ΄Ετσι ονοµάζουµε:• Γενική Λύση: Αν για κάθε τιµή των παραµέτρων 𝑐𝑖 , 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 η συνάρτηση

𝑦(𝑥, 𝑐1 , 𝑐2 , . . . , 𝑐𝑛), 𝑥 ∈ Ιλύνει την (1.1.1) τότε η οικογένεια αυτών των συναρτήσεων ονοµάζεται Γενική Λύση της (1.1.1).Η γενική λύση είναι οικογένεια συναρτήσεων ακριβώς διότι εξαρτάται από τις παραµέτρους. Γιατην ακρίβεια είναι µία 𝑛-παραµετρική οικογένεια συναρτήσεων και για αυτό το λόγο ονοµάζεταιπολλές ϕορές και 𝑛-παραµετρική οικογένεια λύσεων.

• Ειδική ή Μερική Λύση: Κάθε λύση που προκύπτει δίνοντας σε κάθε παράµετρο 𝑐𝑖 , 𝑖 =1, 2, . . . , 𝑛 συγκεκριµένη τιµή ονοµάζεται Ειδική ή Μερική Λύση της Σ∆Ε (1.1.1).

Αν περιοριστούµε λοιπόν στις Σ∆Ε που δέχονται γενική λύση το παρακάτω συµπέρασµα είναι προφα-νές.

Σηµαντικό Συµπέρασµα: Μία Σ∆Ε έχει άπειρες λύσεις !Παράδειγµα 1.2: Η Σ∆Ε

𝑥𝑦′′ − (𝑥+ 2)𝑦′ +(︂1 +

2

𝑥

)︂𝑦 = 0 (1.2.1)

έχει γενική λύση την (οικογένεια) 𝑐1𝑥+ 𝑐2𝑥e𝑥. Αν τώρα δώσουµε στις παραµέτρους 𝑐1 και 𝑐2 τις τιµές1 και 0 αντίστοιχα, τότε λαµβάνουµε την ειδική λύση

𝑦𝑐 = 𝑥,

ενώ αν τους δώσουµε τις τιµές 2 και 3.3 τότε λαµβάνουµε την ειδική λύση𝑦𝑐 = 2𝑥+ 3.3𝑥e

𝑥.

΄Ασκηση 1.1. Να επαληθευτεί ότι η 𝑐1𝑥+ 𝑐2𝑥e𝑥 αποτελεί όντως λύση της Σ∆Ε (1.2.1).

Σηµαντική Παρατήρηση: Προφανώς, η γενική λύση αποτελείται από το σύνολο των ειδικών λύσε-ων.

Αν τώρα η λύση δίνεται σε πεπλεγµένη µορφή, την ορίζουµε ως Γενικό Ολοκλήρωµα και Ολο-κλήρωµα µίας Σ∆Ε σε αντιστοιχία µε τη γενική λύση και τη λύση µίας Σ∆Ε. ΄Ετσι ορίζουµε :• Γενικό Ολοκλήρωµα Σ∆Ε: Αν η λύση της Σ∆Ε (1.1.1) δίνεται σε πεπλεγµένη µορφή:

𝑆(𝑥, 𝑦(𝑥, 𝑐1 , 𝑐2 , . . . , 𝑐𝑛)) = 0, 𝑥 ∈ Ι, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 (1.2.2)ή πιο απλά στη µορφή

𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑐1 , 𝑐2 , . . . , 𝑐𝑛) = 0, 𝑥 ∈ Ι, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 (1.2.3)τότε ονοµάζεται Γενικό Ολοκλήρωµα της Σ∆Ε (1.1.1).

• Ολοκλήρωµα Σ∆Ε: Κάθε λύση που προκύπτει από την (1.2.2) για συγκεκριµένες τιµές τωνπαραµέτρων 𝑐𝑖 , 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 ονοµάζεται Ολοκλήρωµα της Σ∆Ε (1.1.1).

Προφανώς Το γενικό Ολοκλήρωµα αποτελείται από το σύνολο των ολοκληρωµάτων.


1.2. Λύσεις µίας Σ∆Ε 11

Σηµασία Γενικού Ολοκληρώµατος: Εννοείται ότι η λύση µίας Σ∆Ε είναι συνάρτηση και δεν µπορείνα είναι ισότητα όπως η (1.2.3). Αυτό που εννοούµε είναι ότι η συνάρτηση 𝑦(𝑥) που ορίζεται από τησχέση (1.2.3) είναι λύση της Σ∆Ε!

Παρατηρείστε ότι δώσαµε τον ορισµό της γενικής λύσης για την περίπτωση των Σ∆Ε πεπλεγµένηςµορφής. Σε περίπτωση όµως που η πεπλεγµένη Σ∆Ε αντιστοιχεί σε παραπάνω από µία Σ∆Ε κανονικήςµορφής, τότε έχουµε τόσες διαφορετικές οικογένειες λύσεων όσες και οι κανονικές µορφές των Σ∆Ε.

Η εµπειρία µας µας έχει δείξει ότι αρκετές ϕορές ακόµη και όταν υπάρχει η γενική λύση, αυτήδεν περιλαµβάνει το σύνολο των λύσεων µίας Σ∆Ε. Σε αυτή την περίπτωση είναι χρήσιµο να εισάγουµετην έννοια της Ιδιάζουσας και της Πλήρους λύσης. ΄Ετσι δίνουµε τους παρακάτω ορισµούς

• Ιδιάζουσα Λύση: Οποιαδήποτε λύση δεν λαµβάνεται από τη γενική λύση µε κατάλληλη επιλογήτων τιµών των παραµέτρων 𝑐𝑖 ονοµάζεται Ιδιάζουσα Λύση της Σ∆Ε. Αν είναι σε πεπλεγµένηµορφή ονοµάζεται Ιδιάζον Ολοκλήρωµα της Σ∆Ε.

• Πλήρης Λύση: Η οικογένεια λύσεων που περιέχει το σύνολο των λύσεων µίας Σ∆Ε ονοµάζεταιΠλήρης Λύση της Σ∆Ε. Αν είναι σε πεπλεγµένη µορφή ονοµάζεται Πλήρες Ολοκλήρωµα τηςΣ∆Ε.

Συµπέρασµα: Σύµφωνα µε την προηγούµενη συζήτηση η γενική και η πλήρης λύση δεν ταυτίζονταιπάντα !

Για αυτό το λόγο σε αρκετά συγγράµµατα ϑα δείτε να ονοµάζεται γενική λύση αυτό που εµείς ονο-µάζουµε πλήρη λύση ενώ αυτό που εµείς ονοµάζουµε γενική λύση ονοµάζεται απλώς 𝑛-παραµετρικήοικογένεια λύσεων.

Παράδειγµα 1.3 (∆ιαφορά Πλήρους µε Γενική Λύση):Η Σ∆Ε

(𝑦′(𝑥))2 − 𝑥𝑦′(𝑥) + 𝑦(𝑥) = 0 (1.2.4)

έχει γενική λύση την

𝑦𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥− 𝑐2

Είναι εύκολο όµως να δει κανείς ότι και η

𝑦𝑠(𝑥) =𝑥2

4

είναι λύση. ΄Οµως, πολύ εύκολα µπορεί να δειχθεί ότι δεν υπάρχει τιµή της παραµέτρου 𝑐 τέτοιαώστε να ισχύει ότι 𝑦𝑔 = 𝑦𝑠. Με άλλα λόγια η 𝑦𝑠 δεν είναι ειδική λύση της Σ∆Ε. ΄Αρα, Η Πλήρηςλύση και η γενική λύση της Σ∆Ε πιο πάνω δεν ταυτιζονται.

΄Ασκηση 1.2. Να επαληθευτεί ότι τόσο η 𝑦𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥− 𝑐2 όσο και η 𝑦𝑠(𝑥) = 𝑥2

4 αποτελούν όντως λύσειςτης Σ∆Ε (1.3.5).

Στη γενική περίπτωση το πρόβληµα του να ϐρούµε τις ιδιάζουσες λύσεις µίας Σ∆Ε, αν υπάρχουναυτές, είναι ένα αρκετά δύσκολο και σύνθετο πρόβληµα. ΄Οµως, υπάρχουν περιπτώσεις όπου είναιεφικτή µία συστηµατική µελέτη εύρεσης των ιδιαζουσών λύσεων. Μία τέτοια περίπτωση είναι αυτή τουπαραδείγµατος (1.3) που µόλις παρουσιάσαµε στο οποίο παρατηρούµε ότι η ιδιάζουσα λύση παρου-σιάζεται ως λύση µίας Σ∆Ε η οποία είναι σε πεπλεγµένη µορφή. Αυτό δεν είναι τυχαίο και ακριβώς σεαυτό το χαρακτηριστικό οφείλεται η ύπαρξη της. Θυµηθείτε πως έχουµε πει ότι η Σ∆Ε (1.1.1) λόγωτου πεπλεγµένου της µορφής της µπορεί να αντιστοιχεί σε παραπάνω από µία Σ∆Ε σε κανονική µορ-ϕή. ΄Οµως για να γίνει αυτό πρέπει να ισχύουν όλες οι προυποθέσεις του ϑεωρήµατος πεπλεγµένωνσυναρτήσεων (Αν τη ϑεωρήσουµε ως πεπλεγµένη συνάρτηση µε µεταβλητές τις παραγώγους). Σε αυτή



την περίπτωση στα υποσύνολα του πεδίου ορισµού της Σ∆Ε (1.1.1) στο οποίο ισχύουν οι προυποθέσειςτου ϑεωρήµατος, η (1.1.1) είναι ισοδύναµη µε ένα πλήθος Σ∆Ε κανονικής µορφής. ΄Οµως, στα σηµείαστα οποία δεν ισχύουν οι προυποθέσεις του ϑεωρήµατος πεπλεγµένων συναρτήσεων, δηλαδή, στασηµεία στα οποία δεν µπορεί να λυθεί ως προς τη µέγιστης τάξης παράγωγο και εποµένως δενµπορεί να δοθεί σε κανονική µορφή η Σ∆Ε, στα σηµεία δηλαδή στα οποία ισχύει

𝜕

𝜕(𝑦(𝑛)(𝑥))

(︁𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦(1)(𝑥), . . . , 𝑦(𝑛)(𝑥))

)︁= 0

οι λύσεις που παίρνουµε είναι Ιδιάζουσες Λύσεις.Παράδειγµα 1.4 (Πεπλεγµένες Συναρτήσεις και Ιδιάζουσες Λύσεις ):Η Σ∆Ε

(𝑦′(𝑥))2 − 𝑥𝑦′(𝑥) + 𝑦(𝑥) = 0του προηγούµενου παραδείγµατος (παράδειγµα (1.3)), δεν ικανοποιεί τις απαιτήσεις του ϑεωρήµατοςπεπλεγµένων συναρτήσεων στα ¨σηµεία¨

𝜕

𝜕𝑦′(𝑥)

(︀(𝑦′(𝑥))2 − 𝑥𝑦′(𝑥) + 𝑦(𝑥)

)︀= 0

⇒ 2𝑦′(𝑥)− 𝑥 = 0 (1.2.5)∆ηλαδή, στα ¨σηµεία¨ που ικανοποιούν την Σ∆Ε (1.2.5) η οποία καθορίζει τα σηµεία του επιπέδου(𝑥, 𝑦) στα οποία η Σ∆Ε (1.3.5) δεν µπορεί να λυθεί ως προς την 𝑦′. Είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείςότι η λύση

𝑦𝑠(𝑥) =𝑥2

4

δηλαδή η ιδιάζουσα λύση, είναι λύση της 2𝑦′(𝑥)− 𝑥 = 0Με την έννοια της ιδιάζουσας λύσης που µόλις παρουσιάσαµε σχετίζεται άµεσα και αυτή της

περιβάλουσας µίας οικογένειας λύσεων µε την οποία, όµως, ϑα ασχοληθούµε στο κεφάλαιο (3)που πραγµατεύεται τα Ϲητήµατα ύπαρξης και µοναδικότητας λύσεων των Σ∆Ε. ΄Οµως, µία εικόνα γιατο τι σηµαίνει περιβάλουσα µπορεί να δει κανείς και στο παράδειγµα (1.7) της ενότητας (1.3.1.ii).

Κλείνουµε αυτή την ενότητα τονίζοντας ότι για τις γραµµικές Σ∆Ε η Γενική και η Πλήρης Λύσηταυτίζονται πάντα σε οποιοδήποτε διάστηµα ∆ ισχύει 𝑓𝑛(𝑥) ̸= 0, ∀𝑥 ∈ ∆

1.3 Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά των Λύσεων.

Για κάποιον που αντιµετωπίζει πρώτη ϕορά το ϑέµα των διαφορικών εξισώσεων ίσως να µη ϕαίνεταικαι πολύ πιθανό ότι η γεωµετρία παίζει σηµαντικό ϱόλο στη µελέτη και λύση των ∆.Ε.. ΄Οµως, ηπραγµατικότητα είναι διαφορετική και για την ακρίβεια, η σύγχρονη γεωµετρία µε όλες τις γενικεύσειςτης παίζει ίσως το σηµαντικότερο ϱόλο στη µελέτη των Σ∆Ε. Από την άλλη, η ανάγκη επίλυσης πολλώναπό τα προβλήµατα που προέκυψαν κατά τη µελέτη ∆.Ε. έδωσε ώθηση και ϑεµελίωσε αρκετούς απότους κλάδους των σύγχρονων µαθηµατικών.

Υπάρχει όµως και ένας πολύ σηµαντικός λόγος πρακτικότητας για να εξερευνήσει κάποιος αυτήτη σχέση, διότι είναι γεγονός ότι µέσα από τη γεωµετρική σκοπιά µπορεί πολλές ϕορές να δοθεί απλώςµία γεωµετρική προσέγγιση κάποιας λύσης και αυτό ανάλογα µε το πρόβληµα που προσπαθούµε ναεπιλύσουµε να είναι αρκετό.

Η πρώτη και σηµαντική γεωµετρική έννοια που συναντά κανείς όταν ασχολείται µε Σ∆Ε είναι αυτήτου πεδίου διευθύνσεων. Η όλη µελέτη ϑα γίνει για Σ∆Ε πρώτης τάξης. Αυτό δεν αποτελεί ϐλάβητης γενικότητας διότι αφενός αυτή η µελέτη περιλαµβάνει όλες τις ϐασικές έννοιες και αφετέρου είναιϹήτηµα µίας απλής γενίκευσης να παραστήσουµε κάθε Σ∆Ε ανώτερης τάξης ως ένα σύστηµα Σ∆Επρώτης τάξης.


1.3. Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά των Λύσεων. 13

1.3.1 Πεδίο ∆ιευθύνσεων-Ολοκληρωτικές Καµπύλες.

Εδώ ϑα δώσουµε έµφαση στη γεωµετρική σηµασία της λύσης µίας Σ∆Ε Πρώτης Τάξης και ϑεωρούµεµία Σ∆Ε πρώτης τάξης σε κανονική µορφή

𝑦′(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)), 𝑥 ∈ I (1.3.1)

Πεδίο ∆ιευθύνσεων. ΄Εστω ότι ϐρισκόµαστε στο επίπεδο 𝑥𝑦 και ας σχεδιάσουµε τους δύο άξονες,τον ¨οριζόντιο¨ άξονα 𝑥 και τον ¨κατακόρυφο¨ άξονα 𝑦. Ας δούµε πως µπορούµε να ερµηνεύσουµε,σε αυτή την περίπτωση, τη ∆.Ε. (1.3.1). Σε κάθε σηµείο του επιπέδου 𝑥𝑦 µε συντεταγµένες έστω(𝑥

𝑘, 𝑦

𝑘), 𝑥

𝑘∈ I µπορούµε από τη σχέση (1.3.1) να υπολογίσουµε την τιµή της παραγώγου 𝑦′(𝑥

𝑘).

Υποκινούµενοι από τη γεωµετρική ερµηνεία της παραγώγου (αντιστοίχηση τιµής παραγώγου συνάρ-τησης σε ένα σηµείο µε κλίση εφαπτοµένης του γραφήµατος της συνάρτησης σε αυτό το σηµείο)διαλέγουµε στο συγκεκριµένο σηµείο (𝑥

𝑘, 𝑦

𝑘) την ευθεία που περνά από αυτό το σηµείο µε κλίση

𝑘 = 𝑦′(𝑥𝑘). Αυτή τη διαδικασία την κάνουµε σε κάθε σηµείο του χωρίου 𝑉 του επιπέδου 𝑥𝑦 στο οποίο

ορίζεται η 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)). Τότε λέµε ότι έχουµε καθορίσει ένα Πεδίο ∆ιευθύνσεων στο χωρίο 𝑉 .

Παρατήρηση-1: ∆εν είναι ανάγκη να έχουµε µία Σ∆Ε για να ορίσουµε ένα πεδίο διευθύνσεων σεκάποιο χωρίο του επιπέδου. Αρκεί σε κάθε σηµείο αυτού του χωρίου να διαλέξουµε κάποια ευθείαπου περνά από αυτό το σηµείο.

΄Οταν ϑέλουµε να σχεδιάσουµε ένα πεδίο διευθύνσεων, σχεδιάζουµε για ευκολία ένα µικρό ευθύ-γραµµο τµήµα µε κλίση ίση µε τη δοσµένη κλίση στο κάθε σηµείο. Το ευθύγραµµο αυτό τµήµα ϑατο ονοµάζουµε για ευκολία στοιχείο διευθύνσεως σε αυτό το σηµείο.

Παρατήρηση-2: Γνωρίζουµε ότι δύο λείες καµπύλες του επιπέδου που περνούν από το ίδιο σηµείοορίζουν σε αυτό το σηµείο την ίδια διεύθυνση αν εφάπτονται. ΄Ετσι, οι ευθείες στον ορισµό του πεδίουδιευθύνσεων µπορούν επί της ουσίας να αντικατασταθούν από αυθαίρετες λείες καµπύλες : µόνο ηεφαπτοµένη της καµπύλης σε αυτό το σηµείο παιζει ϱόλο. Παράδειγµα ϐλέπουµε στο σχήµα (1.1).

Σχήµα 1.1: Πεδίο ∆ιευθύνσεων και Εφαπτοµένη Καµπύλη.

Ορίζουµε τώρα την έννοια της ολοκληρωτικής καµπύλης.

Ορισµός 1.3.1 (Ολοκληρωτική Καµπύλη).Μία καµπύλη η οποία σε κάθε σηµείο της είναι εφαπτοµένη σε ένα πεδίο διευθύνσεων ονοµάζεταιολοκληρωτική Καµπύλη του πεδίου διευθύνσεων.

Με άλλα λόγια η ολοκληρωτική καµπύλη έχει σε κάθε σηµείο της µία από τις ευθείες (αντίστοιχαένα από τα στοιχεία διεύθυνσης) που ορίζουν το πεδίο διευθύνσεων ως εφαπτοµένη.



Παρατήρηση: Προφανώς, µία ολοκληρωτική καµπύλη ενός πεδίου διευθύνσεων χωρίς κάθετες(κατακόρυφες) διευθύνσεις είναι το γράφηµα µίας συνάρτησης (σκεφτείτε το).

Το όνοµα ολοκληρωτική οφείλεται στο γεγονός ότι σε κάποιες περιπτώσεις αυτές οι καµπύλεςµπορούν να ϐρεθούν µε τη χρήση ολοκλήρωσης.Παράδειγµα 1.5 (΄Αµεσα Ολοκληρώσιµο Πεδίο ∆ιευθύνσεων):Θεωρούµε πεδίο διευθύνσεων στο επίπεδο 𝑥𝑦 το οποίο παραµένει αναλλοίωτο ως προς µετατοπίσειςκατά µήκος του άξονα 𝑦 (δηλαδή, ολες οι διευθύνσεις οι παράλληλες στο άξονα 𝑦 έχουν την ίδιακλίση) και το οποίο δεν έχει κατακόρυφες διευθύνσεις. Θεωρούµε γνωστή τη συνάρτηση της κλίσηςτου πεδίου η οποία προφανώς είναι συνάρτηση µόνο του 𝑥, έστω 𝑣(𝑥). Να ϐρεθούν οι ολοκληρωτικέςκαµπύλες αυτού του πεδίου.

Απάντηση. Εφόσον το πεδίο δεν έχει κατακόρυφες διευθύνσεις οποιαδήποτε ολοκληρωτική καµπύλητου ϑα είναι το γράφηµα κάποιας συνάρτησης 𝜑(𝑥). Σαφώς, η παράγωγος αυτής της συνάρτησης είναιη κλίση του γραφήµατος. ΄Ετσι, αυτό το γράφηµα είναι µία ολοκληρωτική καµπύλη αν και µόνο αν σεκάθε σηµείο, αυτή η κλίση ( η τιµή της παραγώγου δηλδή) είναι ίση µε την κλίση του ευθύγραµµουτµήµατος του πεδίου.

΄Αρα, έχουµε µία συνάρτηση 𝜑(𝑥) η οποία, επειδή το γράφηµα της είναι ολοκληρωτική καµπύλητου πεδίου, έχει ως παράγωγο τη γνωστή συνάρτηση 𝑣(𝑥), η οποία επιπροσθέτως δεν απειρίζεταιπουθενά διότι το πεδίο δεν έχει άπειρες διευθύνσεις. Αυτό σηµαίνει ότι η συνάρτηση 𝜑(𝑥) ικανοποιείτη σχέση

d𝜑(𝑥)

d𝑥= 𝑣(𝑥)

και εποµένως

𝜑(𝑥) =

∫︁𝑣(𝑥)𝑑𝑥+ 𝐶

όπου για να είναι ολοκληρώσιµη η 𝑣(𝑥) χρειάζεται να υποθέσουµε και τη συνέχεια της.

Τονίζουµε όµως ότι στη γενική περίπτωση το πρόβληµα της εύρεσης ολοκληρωτικών καµπυλών δενανάγεται στη διαδικασία της ολοκλήρωσης. Για την ακρίβεια το πρόβληµα εύρεσης ολοκληρωτικώνκαπυλών ανάγεται στην επίλυση µίας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης.

Ας υποθέσουµε ότι µας έχει δοθεί ένα πεδίο διευθύνσεων στο 𝑥𝑦 επίπεδο και ότι αυτό δεν έχεικατακόρυφες διευθύνσεις, δηλαδή δεν είναι ποτέ παράλληλο στον άξονα 𝑦. Τότε η κλίση 𝑣(𝑥, 𝑦)οτυ πεδίου στο σηµείο (𝑥, 𝑦) είναι πεπερασµένη και οι ολοκληρωτικές καπύλες του πεδίου είναιγραφήµατα συναρτήσεων 𝑦 = 𝜑(𝑥). ΄Εστω τώρα ότι το πεδίο ορισµού της 𝜑 είναι ένα διάστηµα I τουάξονα 𝑥. Τότε ισχύει το εξής (προφανές) αποτέλεσµα.Θεώρηµα 1.3.2 (Ολοκληρωτικές Καµπύλες και Επίλυση Σ∆Ε Πρώτης Τάξης).Μία αναγκαία και ικανή συνθήκη έτσι ώστε το γράφηµα µία συνάρτησης 𝜑 να είναι κάποια ολοκληρωτικήκαµπύλη είναι ότι πρέπει να ισχύει η παρακάτω σχέση για κάθε 𝑥 ∈ I

d𝜑

d𝑥= 𝑣(𝑥, 𝜑(𝑥)) (1.3.2)

△Γενικεύοντας τώρα, κατανοούµε ότι όταν µας Ϲητείται να ϐρούµε µία µονοπαραµετρική οικο-

γένεια λύσεων της, (1.3.2) αυτό που µας Ϲητείται στην πραγµατικότητα είναι να ϐρούµε µία οι-κογένεια καµπύλων κάθε µέλος της οποίας είναι µία ολοκληρωτική καµπύλη της (1.3.2) ήισοδύναµα κάθε µέλος της οποίας σε κάθε σηµείο του έχει κλίση η οποία δίνεται από τη σχέση (1.3.2).Εξειδικεύουµε τώρα τον ορισµό της ολοκληρωτικής καπύλης για τις Σ∆Ε πρώτης τάξης (επί της ουσίαςπροσθέτουµε στον ορισµό που έχουµε δώσει τη ϕράση Σ∆Ε!).



Ορισµός 1.3.3 (Ολοκληρωτική Καµπύλη Σ∆Ε).Αν η 𝑦 = 𝜑(𝑥), αντίστοιχα η Φ(𝑥, 𝑦) = 0, ορίζει την 𝑦 ως τη συνάρτηση του 𝑥 που ικανοποιεί τη∆.Ε. (1.3.2) σε κάποιο διάστηµα I, τότε το γράφηµα αυτής της συνάρτησης ονοµάζεται ΟλοκληρωτικήΚαµπύλη της Σ∆Ε (1.3.2).

΄Αρα, µία κάποια ολοκληρωτική καµπύλη της (1.3.2) αναπαριστά γεωµετρικά µία ειδική λύση της(1.3.2). Με άλλα λόγια η ειδική λύση 𝑦(𝑥) είναι η αναλυτική έκφραση της ολοκληρωτικής καµπύλης.Είναι προφανές ότι αν γνωρίζουµε όλες τις ολοκληρωτικές καµπύλες µίας Σ∆Ε τότε ϑεωρούµε ότιτην έχουµε λύσει, δηλαδή ότι γνωρίζουµε τη γενική λύση ή αλλιώς τη µονοπαραµετρική οικογένειαλύσεων.

΄Ετσι, για Σ∆Ε πρώτης τάξης η γενικότερη δυνατή µορφή λύσης που είναι αυτή του γενικού ολο-κληρώµατος

Φ(𝑥, 𝑦, 𝑐) = 0 (1.3.3)

και ανήκει στην περίπτωση 𝑛 = 1 της (1.2.3), αναπαριστά αναλυτικά τη µονοπαραµετρική οικογένειακαµπυλών του 𝑥𝑦 επιπέδου, κάθε µέλος της οποίας είναι ολοκληρωτική καµπύλη της Σ∆Ε.

∆ίνουµε και έναν ορισµό ο οποίος είναι σχετικά πρώιµος αλλά ϑα συναντήσουµε τη σχετική έννοιαάµεσα. Λέµε ότι η λύση 𝑦 = 𝜑(𝑥) ικανοποιεί την αρχική συνθήκη (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜) αν 𝜑(𝑥0) = 𝑦𝑜 . ∆ηλαδή,αν η ολοκληρωτική καµπύλη περνά από το σηµείο 𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 του 𝑥𝑦 επιπέδου.

Σύνοψη: Υπενθυµίζουµε τη σχέση µεταξύ Σ∆Ε και πεδίων διευθύνσεως : Κάθε εξίσωση της µορφής(1.3.1) καθορίζει ένα πεδίο διευθύνσεων στο επίπεδο: η ευθεία που επισυνάπτουµε στο σηµείο (𝑥, 𝑦)έχει κλίση 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)). Το πεδίο αυτό ονοµάζεται πεδίο διευθύνσεων της 𝑓 ή πεδίο διευθύνσεων τηςΣ∆Ε (1.3.1).

Σε περιπτώσεις που είναι δύσκολο να να ϐρούµε άµεσα λύση µίας διαφορικής εξίσωσης µε τηµορφή στοιχειωδών συναρτήσεων µπορούµε µέσω του πεδίου διευθύνσεων αυτής να αντλήσουµε πλη-ϱοφορία για τη συµπεριφορά των λύσεων της ή να δώσουµε ακόµη και µία εκτίµηση ή γραφικήπροσέγγιση για τη µορφή τους από τη γνώση του πεδίου διευθύνσεων και µόνο.

Η σχεδίαση του πεδίου διευθύνσεων είναι γενικά µία κουραστική υπόθεση. Η λογική ϐάσει τηςοποίας σχεδιάζουµε ένα πεδίο διευθύνσεων είναι ουσιαστικά η εξής : Να έχουµε ¨αρκετά¨ στοιχειώδηευθύγραµµα τµήµατα ώστε να µπορούµε να σχεδιάσουµε την ολοκληρωτική καµπύλη που περνά απόένα συγκεκριµένο σηµείο. ∆ηλαδή, ξεκινώντας από αυτό το σηµείο να µην υπάρχει µεγάλη αµφιβολίαως προς το ποιο στοιχείο διευθύνσεως είναι εφαπτόµενο της καµπύλης κάθε ϕορά. Αν σε κάποιαπεριοχή υπάρχει πολύ µεγάλη αµφιβολία, απλώς κατασκευάζουµε περισσότερα στοιχεία διευθύνσεωςσε αυτή την περιοχή µέχρι να είµαστε πιο σίγουροι. Υπάρχει όµως µία έννοια που µπορεί να µαςϐοηθήσει σε αυτή τη σχεδίαση.

Ισοκλινείς Καµπύλες. Για τη σχεδίαση ενός πεδίου διευθύνσεων µπορούµε να διευκολυνθούµεαρκετά από τη χρήση των λεγόµενων ισοκλινών καµπυλών της Σ∆Ε. Αυτές ορίζονται ως εξής :

Ορισµός 1.3.4 (Ισοκλινής Καµπύλη Σ∆Ε).Κάθε καµπύλη που ορίζεται από τη σχέση

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 (1.3.4)

ονοµάζεται Ισοκλινής Καµπύλη της Σ∆Ε (1.3.1).

Είναι σαφές ότι ισοκλινείς καµπύλες είναι ο γεωµετρικός τόπος του πεδίου διευθύνσεων που έχουντην ίδια διεύθυνση. Αυτή τους η ιδιότητα µας διευκολύνει στη σχεδίαση του πεδίου διευθύνσεων ωςεξής : Χαράζοντας τις ισοκλινείς γνωρίζουµε ότι σε κάθε σηµείο τους η κλίση των πεδίων διευθύνσεωντου πεδίου διευθύνσεων ϑα είναι η ίδια, δηλαδή όλα αυτά τα στοιχεία διευθύνσεων ϑα είναι παράλλη-λα µεταξύ τους. ΄Αρα, χαράζοντας το πρώτο ευθύγραµµο τµήµα όλα τα υπόλοιπα πάνω στην ισοκλινή



σχεδιάζονται πάρα πολύ εύκολα. Την ίδια διαδικασία επαναλαµβάνουµε για κάθε ισοκλινή. ΄Ετσι κά-ϑε ολοκληρωτική καµπύλη ϑα τέµνει την κάθε ισοκλινή µε κλίση ίση µε τη δοσµένη σε κάθε σηµείο.Προσέξτε εδώ, ότι δεν απαιτούµε η ίδια ολοκληρωτική καµπύλη να έχει παντού την ίδια κλίση (αυτόϑα έδινε ευθεία) αλλά Ϲητάµε, γενικά, τα σηµεία πάνω σε διαφορετικές ολοκληρωτικές καµπύλες τηςοικογένειας (ένα σε κάθε καµπύλη) που έχουν την ίδια κλίση. Αυτά τα σηµεία ενώνοντας παίρνουµετις ισοκλινείς καµπύλες. Οι ισοκλινείς είναι καµπύλες ¨ όλης της οικογένειας¨ και όχι µόνο µίας απόαυτές !

Παράδειγµα 1.6 (Παράδειγµα (5.2), Σελίδα 39, ([8] ) ):Να κατασκευαστει το πεδίο διευθύνσεων της Σ∆Ε

𝑦′ = 𝑥+ 𝑦 (1.3.5)

Λύση. Για ευκολία ϑα κατασκευάσουµε το πεδίο για ακέραιες τιµές των 𝑥 και 𝑦 από −5 ως 5. Οι

HHHHHy

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-4 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-3 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-2 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 51 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 62 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 73 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 84 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 95 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Πίνακας 1.1: Τιµές Πεδίου κλίσεων της Σ∆Ε 𝑦′ = 𝑥+ 𝑦

τιµές δίνονται στον πίνακα (1.1). Οι ισοκλινείς αυτής της Σ∆Ε είναι οι

𝑥+ 𝑦 = 𝑐 ⇒ 𝑦 = −𝑥+ 𝑐

οι οποίες ειναι ευθείες µε κλίση (-1). Με τη ϐοηθεία τους και τις τιµές του πίνακα (1.1) σχεδιάζουµε τοπεδίο διευθύνσεων το οποίο δίνεται στο σχήµα (1.2). Τέλος, σχεδιάζουµε την ολοκληρωτική καµπύληπου περνά από το σηµείο (0,0). Τονίζουµε ότι η καµπύλη αυτή είναι το γράφηµα της ειδικής λύσης𝑦 = e𝑥 − 𝑥− 1.

Παρατήρηση: Πολλές ϕορές η επίλυση της σχέσης

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐

για την εύρεση των ισοκλινών µπορεί να αποδειχθεί πολύ πιο δύσκολη από ότι στο παράδειγµα πουµόλις δώσαµε, όπου µπορέσαµε να επιλύσουµε ως προς την 𝑦 πάρα πολύ εύκολα. Σε αυτή τηνπερίπτωση προαφανώς καταφεύγουµε σε άλλες µεθόδους για τη µελέτη της λύσης.



Σχήµα 1.2: Πεδίο ∆ιευθύνσεων και Ισοκλινείς Καµπύλες της Εξίσωσης (1.3.5)

1.3.1.i Γραφική Προσέγγιση Λύσης-Πολύγωνο του Cauchy.

Τη διαδικασία που µόλις παρουσιάσαµε την τυποποιούµε για τη σχεδίαση µία προσεγγιστικής λύ-σης που περνά από ένα σηµείο 𝑃𝑜 = (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜). Υποθέτουµε ότι µπορούµε να ϐρούµε σχετικά εύκολατην αναλυτική έκφραση για τις ισοκλινείς καµπύλες της Σ∆Ε

𝑦′(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦) (1.3.6)

Βήµα 1: Σχεδιάζουµε καταρχάς ένα πλήθος ισοκλινών καµπυλών που αντιστοιχούν στις τιµές 𝑐1 , 𝑐2 , . . .και επάνω σε κάθε µία σχεδιάζουµε τις αντίστοιχες διευθύνσεις 𝑘𝑖 = 𝑐𝑖 , 𝑖 = 1, 2, . . .. Φροντί-Ϲουµε έτσι ώστε η ισοκλινής 𝑓 = 𝑐1 να περνά από το σηµείο 𝑃𝑜 .

Βήµα 2: Σχεδιάζουµε τις ευθείες που διέρχονται από το σηµείο 𝑃𝑜 και έχουν κλίσεις 𝑐1 και 𝑐2 .∆ηλαδή, αντιστοιχούν στις κλίσεις των δύο διαδοχικών ισοκλινών 𝑓 = 𝑐1 και 𝑓 = 𝑐2 . Τα σηµείατοµής των δύο αυτών ευθειών µε την ισοκλινή 𝑓 = 𝑐2 τα ονοµάζουµε 𝑃1 και 𝑃2 αντίστοιχα.

Βήµα 3: Το µέσο του τόξου 𝑃1𝑃2 το ονοµάζουµε 𝑃3 και σχεδιάζουµε το ευθύγραµµο τµήµα 𝑃𝑜𝑃3 ,το οποίο αποτελεί τη προσέγγιση της λύσης µεταξύ των δύο ισοκλινών 𝑓 = 𝑐1 και 𝑓 = 𝑐2 .

Βήµα 4: Με αρχικό σηµείο το σηµείο 𝑃3 πλέον επαναλαµβάνουµε τα ϐήµατα 2 και 3 και έτσι ϕτά-νουµε στο σηµείο 𝑃6 µε το ευθύγραµµο τµήµα 𝑃3𝑃6 να αποτελεί τη συνέχιση της προσέγγισηςµεταξύ των ισοκλινών 𝑓 = 𝑐2 και 𝑓 = 𝑐3 .

Βήµα 5: Αντίτοιχα κατασκευάζουµε το σηµείο 𝑃9 , κ.ο.κ.Η πολυγωνική γραµµή 𝑃0𝑃3𝑃6𝑃9 . . . είναι η γραφική προσέγγιση της λύσης της (1.3.6) που περνάαπό το σηµείο 𝑃0 και ονοµάζεται πολύγωνο του Cauchy. Στο σχήµα (1.3) δίνουµε µία γραφικήαναπαράσταση της όλης διαδικασίας.

1.3.1.ii Εύρεση Σ∆Ε από Γνωστή Οικογένεια Καµπυλών.

Αν γνωρίζουµε την αναλυτική έκφραση µίας µονοπαραµετρικής οικογένειας καµπυλών µπορούµε ναπροσδιορίσουµε την Σ∆Ε της οποίας γενική λύση είναι αυτό ;

Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό δεν έχει µόνο τεχνικό ενδιαφέρον αλλά είναι χρήσιµη σε σχεση µεϹητήµατα που έχουν να κάνουν µε τη γεωµετρία των καµπύλων στο επίπεδο, όπως ϑα δούµε άµεσα.΄Ετσι το όλο ϑέµα έχει ως εξής :



Σχήµα 1.3: Κατασκευή Πολύγωνου Cauchy.

Ερώτηµα:΄Εστω ότι έχουµε τη µονοπαραµετρική οικογένεια λύσεων

Φ(𝑥, 𝑦, 𝑐) = 0 (1.3.7)

που αναπαριστά µία µονοπαραµετρική οικεγένεια καµπυλών του επιπέδου. Πως µπορούµε να ϐρούµετην Σ∆Ε της οποίας αυτή αποτελεί το γενικό ολοκλήρωµα ;

Απάντηση:

Βήµα-1 Παραγωγίζουµε την (1.3.7) ως προς 𝑥, οπότε :

𝜕Φ

𝜕𝑥+

𝜕Φ

𝜕𝑦

d𝑦

d𝑥= 0 (1.3.8)

΄Οµως τώρα η σχέση που προκύπτει παρόλο που περιέχει παραγώγους περιέχει και την αυθαίρετηπαράµετρο 𝑐 την οποία πρέπει να απαλείψουµε για να πάρουµε την Σ∆Ε που Ϲητάµε. ΄Ετσι,

Βήµα-2 Απαλοίφουµε από τις (1.3.7) και (1.3.8) τη σταθερά 𝑐 για να λάβουµε έτσι την τελική έκφραση

𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0 (1.3.9)

η οποία είναι και η Ϲητούµενη Σ∆Ε.

Παρατήρηση: Από τη συζήτηση που έχει προηγηθεί είναι προφανές ότι το σύνολο λύσεων της (1.3.9)µπορεί να περιέχει και λύσεις άλλες εκτός της οικογένειας (1.3.7).

Παράδειγµα 1.7: ΄Εστω η οικογένεια

(𝑥− 𝑐)2 + 𝑦2 = 2 (1.3.10)

καµπυλών του επιπέδου. ∆ηλαδή, κύκλοι ακτίνας√2 µε κέντρα πάνω στον άξονα των 𝑥. Να ϐρεθεί η

διαφορική εξίσωση της οποίας αποτελεί το γενικό ολοκλήρωµα.



Λύση. Παραγωγίζοντας ως προς 𝑥 την (1.3.10) παίρνουµε

2(𝑥− 𝑐) + 2𝑦𝑦′ = 0 (1.3.11)

Από τις (1.3.10) και (1.3.11) απαλοίφουµε τη σταθερά 𝑐 ως εξής,

(𝑥− 𝑐)2 + 𝑦2 = 2

2(𝑥− 𝑐) + 2𝑦𝑦′ = 0

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭⇒(𝑥− 𝑐)2 = 2− 𝑦2

(𝑥− 𝑐) = −𝑦𝑦′

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭⇒ (1.3.12)

(𝑥− 𝑐)2 = 2− 𝑦2

(𝑥− 𝑐)2 = (𝑦𝑦′)2

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭⇒ 𝑦2(𝑦′)2 = 2− 𝑦2 ⇒ 𝑦2(𝑦′)2 + 𝑦2 = 2 (1.3.13)

και αυτή είναι η Ϲητούµενη Σ∆Ε στη µορφή 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0. Είναι όµως εύκολο να διαπιστώσει κανείςότι η ∆.Ε. 𝐹 = 0 έχει και ιδιάζουσες λύσεις. Πραγµατικά, ϑεωρούµε τα σηµεία στα οποία 𝜕𝐹𝜕𝑦′ = 0δηλ.,

𝜕(𝑦2(𝑦′)2 + 𝑦2 − 2)𝜕𝑦′

= 0 ⇒ 2𝑦2𝑦′ = 0

και ϐλέπουµε πως καταλήγουµε µε τη Σ∆Ε

𝑦′ = 0 (1.3.14)

οι λύσεις της οποίας είναι

𝑦 = 𝑐 (1.3.15)

΄Οµως, για να αποτελούν αυτές λύσεις της (1.3.13) πρέπει η σταθερά 𝑐 να ικανοποιεί τη σχέση

𝑐2 = 2 ⇒ 𝑐 = ±√2 (1.3.16)

΄Αρα, οι ιδιάζουσες λύσεις είναι οι

𝑦 = ±√2 (1.3.17)

Αυτές είναι όντως ιδιάζουσες λύσεις διότι η γενική λύση (1.3.10) δεν µπορεί, για καµία τιµή τηςσταθεράς 𝑐 να δώσει ως λύση την 𝑦 = ±

√2

Τέλος, παρατητούµε ότι οι ευθείες 𝑦 = ±√2 είναι εφαπτόµενες σε όλα τα σηµεία τους σε όλους

τους κύκλους της µορφής (1.3.10), δηλαδή σε όλους τους κύκλους που έχουν κέντρο στον άξονα𝑥 και ακτίνα

√2. Λέµε σε αυτή την περίπτωση ότι οι ευθείες 𝑦 =

√2 είναι οι περιβάλουσες της

οικογένειας (1.3.10).



Παρατήρηση: Σηµειώστε ότι για να προσδιορίσουµε τη σταθερά 𝑐 απαιτήσαµε να ικανοποιεί ηµορφή της ιδιάζουσας λύσης τη Σ∆Ε. Αυτή είναι µία ενέργεια την οποία πρέπει να κάνουµε πάνταόταν ψάχνουµε ιδιάζουσες λύσεις διότι υπάρχει περίπτωση η όλη διαδικασία να µας οδηγήσει σεαποτελέσµατα τα οποία δεν είναι λύσεις της Σ∆Ε.

1.3.2 Κανονικά και Ανώµαλα Σηµεία Σ∆Ε.

Μέχρι στιγµής έχουµε µελετήσει Σ∆Ε της µορφής (1.3.1) τέτοιες ώστε σε κάθε σηµείο (𝑥, 𝑦) να ορίζεταιένα και µόνο ένα στοιχείο διεύθυνσης. ΄Αρα, από κάθε σηµείο περνά µία και µόνο µία ολοκληρωτικήκαµπύλη. Αυτή όµως δεν είναι και η γενικότερη δυνατή περίπτωση διότι ανάλογα µε τη µορφή της𝑓(𝑥, 𝑦) µπορεί ενα σηµείο (𝑥, 𝑦) είτε να ϐρίσκεται πάνω σε περισσότερες από µία ολοκληρωτικέςκαµπύλες είτε να µη ϐρίσκεται πάνω σε καµία ολοκληρωτική καµπύλη. Για να καλύψουµε αυτές τιςπεριπτώσεις ορίζουµε τα οµαλά (κανονικά) και ανώµαλα σηµεία µίας Σ∆Ε της µορφής (1.3.1).

Ορισµός 1.3.5 (Οµαλό Σηµείο Σ∆Ε).Λέµε ότι το σηµείο (𝑥, 𝑦) του επιπέδου είναι Οµαλό (Κανονικό) Σηµείο της Σ∆Ε (1.3.1), αν ϐρίσκεταιπάνω σε µία και µόνο µία ολοκληρωτική της καµπύλη.

Ορισµός 1.3.6 (Ανώµαλο Σηµείο Σ∆Ε).Λέµε ότι το σηµείο (𝑥, 𝑦) του επιπέδου είναι Ανώµαλο Σηµείο της Σ∆Ε (1.3.1), αν

ΑΣ-1: Αν δεν είναι κανονικό σηµείο, δηλαδή είτε δεν ϐρίσκεται πάνω σε καµία ολοκληρωτική καµπύλητης Σ∆Ε είτε ϐρίσκεται πάνω σε πρισσότερες από µία ολοκληρωτικές καµπύλες της.

ΑΣ-2: Αν σε κάθε κύκλο µε οσοδήποτε µικρή ακτίνα που διαγράφουµε µε κέντρο το σηµείο αυτό ϐρί-σκεται τουλάχιστόν ένα κανονικό σηµείο.

Παρατήρηση: Τη συνθήκη (ΑΣ-2) την απαιτούµε έτσι να αποφύγουµε να χαρακτηρίσουµε ως ανώµαλασηµεία µίας Σ∆Ε, σηµεία τα οποία δεν έχουν σχέση µε το πρόβληµα. για παράδειγµα στη Σ∆Ε 𝑦′ =√4− 𝑥2 απαιτείται να ϑεωρήσουµε µόνο τα σηµεία µε |𝑥| ≤ 2. Αν δεν είχαµε τη συνθήκη (ΑΣ-2) τότε ϑα

χαρακτηρίζαµε ως ανώµαλο, για παράδειγµα, το σηµείο (5, 8) το οποίο όµως δεν έχει καµία σχέση µε τηΣ∆Ε.

Για να κατανοήσουµε την έννοια του ανώµαλου σηµείου δίνουµε το εξής παράδειγµα το οποίοείναι δανεισµένο από το παράδειγµα (5.3), σελίδα 42 της [8]

Παράδειγµα 1.8 (Σ∆Ε µε Ανώµαλο Σηµείο ):΄Εστω η Σ∆Ε

𝑦′ =2(𝑦 − 1)

𝑥, 𝑥 ̸= 0 (1.3.18)

να κασκευαστεί το πεδίο διευθύνσεων της.

Λύση. Καταρχάς παρατηρούµε ότι εξαιρείται το σηµείο 𝑥 = 0 και σηµειώνουµε ότι αυτό δεν είναιτυχαίο διότι στο 𝑥 = 0 απειρίζεται η 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2(𝑦

Συνήθεις∆ιαφορικέςΕξισώσεις · Αναλυτικό...

Documents

Transcript of Συνήθεις∆ιαφορικέςΕξισώσεις · Αναλυτικό...