Cinématique classique

A. Cinématique du point.

A.1. On appelle référentiel un système d’axes liés à un observateur. Soit O un point fixe d’un référentiel, et M un point en mouvement, la vitesse v et l’accélération g du point M dans ce référentiel sont définies par :

d /d d /d d /d2 2t t t γ= = =v OM v OM

A.2 Les expressions de v et de g en coordonnées cartésiennes et cylindriques sont :

( ) ( )2

d d

d d

d d d d

d d d d

2

x y

x y z

x y z

rr z r z

r r r

r z

r z

r x + y

x y z

x y z

r z r r zt t

t t

r r z

r r r r z

θ

θ

θ

γ

θθ

θ θ

θ

γ θ θ θ

=

= + +

= + +

+ = + +

= =

= + +

= − + + +

re e e

v e e e

e e e

OM eOM = e e e e

e e ee

v e e e

e e e

& & &

&& && &&

& &

&

&& &

& & &&&& & &&

A.3 Cas d’un mouvement à accélération centrale.

C’est par définition un mouvement pour lequel ∧OM γ = 0γ = 0γ = 0γ = 0 . Pour un tel

mouvement, la vitesse aréolaire : = ∧C OM v

est constante. Ceci a pour conséquence que le mouvement s’effectue dans un plan fixe passant par O, en suivant la loi des aires (le rayon vecteur balaye des aires égales pendant des laps de temps égaux).

Si, dans le plan de la trajectoire, nous adoptons les coordonnées polaires, la vitesse aréolaire s’écrit :

C=C k avec 2 d dS2

d dC r

t t

θ= =

où dS est l’aire balayée par OM pendant dt. La constante C porte le nom de constante de la loi des aires.

A l’aide de la constante de la loi des aires, on peut éliminer le temps t des

expressions de 2v et de γ ; on obtient ainsi les formules de Binet :

{ d

d

r r rt

θ= = 'OMOM u u + u&& ( )r =e u }

( )

22

2 2

2

2 2 2 2 '

2 2

2 2

2

1 1d d

1 d 1 d

d d d d

d 1 1

d

1 d 1

d

d 1 1

d

r r

rr rv Cr r t t r

v r r Cr r

C

r r r

r

r r

θ

θ θ

θθ

γθ

θ θ

= + ⋅ = = −

= = − +

= − + + =

= − ⋅

+ v u u

e e u

&

&&

&

&

Ces expressions sont valables uniquement pour des mouvements à accélération centrale (donc, en mécanique classique, pour des mouvements à force centrale).

B. Cinématique du solide.

B.1. Loi de distribution des vitesses dans un solide. Désignons par A et B deux points d’un solide en mouvement par rapport à un

référentiel (R) ; les vitesses Av et Bv de ces deux points (définies par rapport à (R),

sont liées par :

B A= + ∧v v ABωωωω

Où ωωωω est un (pseudo.) vecteur, dépendant uniquement du temps, appelé vitesse

instantanée de rotation du solide. En un point A du solide, Av et ωωωω sont les

composantes d’un torseur, appelé torseur des vitesses du solide à l’instant considéré. L’axe central du torseur des vitesses est appelé axe instantané de rotation. B.2 Condition de roulement sans glissement. Un solide S roule sans glisser sur la surface d’un autre solide S0, si, à chaque instant,

la vitesse Iv du point I de S en contact avec S0 est nulle (cette vitesse étant définie

dans un référentiel lié à S0) :

0I =v

Si 0I ≠v , cette vitesse est appelée vitesse de glissement de S par rapport à Sn.

C. Changement de référentiel.

C.1. Composition des vitesses. Un mouvement peut être défini dans un référentiel « absolu », ou dans un référentiel « relatif ». Le mouvement d’entraînement est le mouvement des points du référentiel « relatif » par rapport au référentiel « absolu ». Le point P du référentiel « relatif », dont la position est occupée à l’instant considéré par le point M dont on étudie le

mouvement, porte le nom de point coïncidant. La composition des vitesses s’exprime par :

va = vr + ve

C.2 Composition des accélérations. La composition des accélérations s’exprime par :

a e r cγ γ γ γ= + + avec 2c e rγ = ∧ vωωωω

cγ est l’accélération complémentaire ou accélération de Coriolis.

C.3. Vitesse instantanée de rotation d’un solide et changement de référentiel. Soit (S) un solide, (R) et (R’) deux référentiel :

( ) ( ) ( )/ '/ / 'a e rS R R R S R= +ω ω ωω ω ωω ω ωω ω ω

Cette formule est pratique pour déterminer ωωωω . C.4. Dérivation et changement de référentiel. Soit A un vecteur, (R) et (R’) deux référentiels :

( )( ) ( ')

d d'/

dt dte

R R

R R

= + ∧

A AAωωωω

Exercices Ex. 1. Equation des coniques. On considère une droite (D) perpendiculaire à l’axe Ox, et coupant cet axe à l’abscisse positive xD = p/e, où e et p sont des constantes positives. La droite (D) et l’axe Ox définissent un plan (P).

x

H

p/e (D)

θ

Fig. 1.

O

M

1° On adopte dans ce plan (P) les coordonnées polaires, Ox étant pris comme axe polaire. Déterminer l’équation du lieu des points de (P) dont le rapport des distances à l’origine O et à la droite (D) est égal à e. Montrer, par des considérations très simples que, suivant les valeurs de e, ce lieu a ou n’a pas de points à l’infini. Ces courbes sont des coniques.

2° Exprimer les coordonnées d’un point d’une conique en coordonnées cartésiennes. Exprimer cos et sin en fonction de x, y, p et e. Obtenir l’équation des coniques en coordonnées cartésiennes.

3° Examiner le cas e = 1 en coordonnées cartésiennes. Lorsque e ≠ 1 Faire le changement de variables : Y = y ; X = x + ep/(1 - e2), écrire, en distinguant deux cas, l’équation des coniques avec ces nouvelles variables. Réponse.

1° OM = r ; MH = p/e – r cosθ . En exprimant que OM/MH = e, on obtient :

/(1 cos )r p e θ= + .

Si e < 1, pas de points à l’infini, ellipse ; si e = 1 une direction (θ = π) pour laquelle il y a des points à l’infini (parabole) ; si e > 1, il y a deux directions pour lesquelles il y a des points à l’infini : ce sont les deux asymptotes de l’hyperbole.

2° cosx r θ= , siny r θ= ; d’où ( )cos /x p exθ = − et ( )sin /y p exθ = − ;

d’où

( )2 2 2 21 2x e epx y p− + + = .

3° Si e = 1 : y = p2 – 2px (parabole). Si e ≠ 1, avec le changement de variables

indiqué : ( ) ( )2

2 2 2 2 2 21 / 1 / 1X e p Y e p− + − = ; suivant que e < 1 ou e > 1, on identifie sans

peine cette équation avec 2 2 2 2/ / 1X a Y b+ = (ellipse) ou 2 2 2 2

/ / 1X a Y b− = (hyperbole). Dans les deux cas, p = b2/a.

( )2 / 1x X ep e= − − et ( ) ( ) ( )222 2 2 2 2 / 1 / 1x X ep e X ep e= − − + −

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

222 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 / 1 / 1 1 2 / 1

2 / 1 2 2 / 1

1 / 1 1 / 1 / 1

X ep e X ep e e ep X ep e Y p

X epX ep e epX ep e Y p

X e Y p ep e p e p e e p e

− − + − − + − − + =

− + − + − − + =

− + = + − = − + − = −

Ex. 2. Trajectoire, méthode de la bande de papier. Une barre AB de longueur l a ses extrémités qui restent sans cesse en contact l’une, A, avec l’axe Ox, l’autre, B, avec l’axe Oy, perpendiculaire à Ox. 1° Quelle est la trajectoire d’un point M de AB situé à la distance AM= b < l, de A ? On

introduira l’angle ϕ que fait la barre avec Ox.

2° Quelles sont les composantes de la vitesse de ce point M ? Montrer que cette vitesse est perpendiculaire à IM, où I est le point du plan complétant le rectangle OAIB. Exprimer le module de la vitesse en fonction de IM.

1° ( )cos et sinx l b y bϕ ϕ= − =

( )22 2 2

' : / / 1d où x l b y b− + = : c’est une ellipse.

2° ( )sin ; cos x yv l b v bϕϕ ϕϕ= − − =& &

or ( )( )cos sinϕ ϕ− + −r r

b i l b jIM =

donc on a : M ϕ= − ∧v k IM&

Ex. 3. Recherche du vecteur-vitesse instantanée de rotation d’un solide.

Un cône de révolution et de demi-angle au sommet α, de hauteur h, roule sans glisser sur un plan horizontal. On désigne par u le vecteur unitaire porté par la génératrice de contact du cône et par u’ le vecteur du plan, directement perpendiculaire à u, et enfin par k le vecteur unitaire perpendiculaire au plan, et complétant le trièdre.

y

B

A

M

x O

I

ϕ

z

x

y

ψ ϕ

α

k

u

e3

O

C

Fig. 5.

On repère la position du cône par l’angle ψ que fait u avec une direction fixe du plan Ox, et on se propose de chercher, par deux méthodes, le vecteur-vitesse

instantanée de rotation ωωωω du cône dans son mouvement autour de son sommet fixe O. 1° Quel est l’axe instantané de rotation ? En déterminant, par exemple, la vitesse

du centre C de la base du cône en fonction des paramètres géométriques et de ψ,

calculer ωωωω.

2° Décomposer ωωωω en ωωωω1 + ωωωω2, où ωωωω1 correspond au mouvement de précession

autour de k, et ωωωω2 au mouvement propre autour de l’axe du cône. Relier ψ& et ϕ& en

exprimant comme ci-dessus que le cône roule sans glisser. En déduire ωωωω. Réponse

1° Tous les points de la génératrice de contact ont une vitesse nulle : cette génératrice est donc l’axe instantané de rotation cotgα ψ−ω = u& .

2° Ecrivons « à priori » 3ψ ϕ+ω = k e& & (notations de la fig. 5). Or :

3 cos sinα α= +e u k

donc ( )cos sinψ ϕ α α+ +ω = k u k& & et sin 0ψ ϕ α =& &k + k

En exprimant que ωωωω est porté par u (cf. 1°) on obtient :

/ sin et cotgα ϕ ψ α ψ= − −ω = u& & &