1

emgemgGET

9

9. RLC-Schaltungen

emgemgGET

9

Wechselstrom-NetzwerkeRichtungskonvention nicht genauso wie in Gleichstromnetzwerken:

• Richtung kehrt sich ständig um.

• Polarität von Spannung und Strom ist bei Phasenverschiebung nicht immer in gleicher Richtung.

• Rückspeisung der Quelle

2

emgemgGET

9

ue

uC

uR ∼ i

C = 22 nF

R = 720 Ω

Messung der Phasenverschiebung zwischender Eingangsspannung ueund dem Strom i

000000 HzFrequenz Hz Funktion

101

102

103 104

105

106

emgemgGET

9 Grundschaltelemente R, L, C im Wechselstromkreis

IRUR

ILUL

ICUC

Bezugszeiger für alle Zeigerdiagramme ist der Strom I mit ϕi = 0°Im

Re

Im

ReIm

Reϕui = 90°

ϕui = -90°ϕui =0°

ZR = R ZL = j ωL ZC = - jωC1

UR = RI ej0° UL = ωL ej90° UC = 1/ωC e-j90°

PR = RI2 QL = ωLI2 QC = - (1/ωC)I2

Blindleistungen

3

emgemgGET

9

Grundschaltelemente R, L, C im Wechselstromkreis:Grundschaltelemente R, L, C im Wechselstromkreis:

Bei der Zusammenschaltung der Grundschaltelementeentstehen:

komplexe Impedanzen Z = R + X bzw. Z = R + jXkomplexe Admittanzen Y = G + B bzw. Y = G + jB

Die in diesen Schaltungen umgesetzte Scheinleistung Sbesteht aus:

Wirkleistung P und Blindleistung Q

S = P + Q bzw. S = P + jQ

emgemgGET

9

Serien- und ParallelschaltungenSerienschaltung

1) Widerstand und Kondensator2) Widerstand und Spule

Berechung jeweils von Einzel- und Gesamtspannungen und Leistung (komplex!)

Parallelschaltung3) Widerstand und Kondensator4) Widerstand und Spule

Berechung jeweils von Einzel- und Gesamtspannungen und Leistung (komplex!)

4

emgemgGET

9

Reihenschaltung von ImpedanzenVorgehensweise zur Analyse von Wechselstromnetzwerkenanalog zu Gleichstromnetzwerken, aber:

• komplexer Strom ist Bezugsgröße für die Phase

• einzelne Spannungen zu Gesamtspannung in komplexer Ebene addieren (komplexe Rechnung oder Zeigerdiagramm)

• komplexe Scheinleistung aus komplexem Strom und komplexer Spannung berechnen(komplexe Rechnung oder Zeigerdiagramm)

emgemgGET

9 Reihenschaltung von R und L im Wechselstromkreis

IUR ULUges

Wie schon bei Gleichstrom-netzwerken ist bei Reihen-schaltungen die Bezugsgrößefür alle Berechnungen derStrom I mit ϕi = 0°

Gesucht sind die Impedanz Zges, die Spannungen UR , UL und Ugesmit ihren Phasenwinkeln.

Für Reihenschaltungen gilt:

Blindwiderstand XL = ωLZges = R + j X Wirkwiderstand R

Zges = R + j ωL

5

emgemgGET

9

Im

Re

Die Impedanz Zges in der komplexen ZahlenebeneIm

Re

Zges = R + j ωL

R

jωLZges

ϕZ = arctan( )ωLR

Zges = R2 + (ωL)2

Zges = eZges jϕZBerechnung der Spannungen:

UR = R I ej0° = R IUL = jXL I ej0° = jωL I = I ωL ej90°

Uges = UR + UL

Uges = I ej0° •(R + jωL) = I ej0° • eZges

jϕZUR

ULUges

I

ϕui = ϕZ

e j90° = cos(90°) + j sin(90°) = 0 + j(1) = j

emgemgGET

9 Reihenschaltung von R und L im Wechselstromkreis:

IUR ULUges

Berechnung der Leistungen

Wirkleistung in R: P = I2 RBlindleistung in XL: Q = I2 ωLScheinleistung in Z: S = P + jQ

S = P2+ Q2

S = I Uges

Im

Re

P

QS

ϕZ

P = S cos(ϕZ)Q = S sin(ϕZ)

Leistungsfaktor = cos(ϕZ)

6

emgemgGET

9 Reihenschaltung von R und C im Wechselstromkreis

IUR UCUges

Wie schon bei Gleichstrom-netzwerken ist bei Reihen-schaltungen die Bezugsgrößefür alle Berechnungen derStrom I mit ϕi = 0°

Gesucht sind die Impedanz Zges, die Spannungen UR , UC und Ugesmit ihren Phasenwinkeln.

Für Reihenschaltungen gilt:Zges = R + j XC

Wirkwiderstand RBlindwiderstand XC = - 1

ωC

Zges = R + = R - j1jωC

1ωC

emgemgGET

9 Die Impedanz Zges in der komplexen Zahlenebene

ϕZ = -arctan( )1ωCR

Zges = R2 + (1/ωC)2

Zges = eZgesjϕZBerechnung der Spannungen:

UR = R I ej0° = R IUC = jXC I ej0° = -j 1/ωC I = [I/ωC]e-j90°

Uges = UR + UC

Uges = I ej0° •(R - j 1/ωC) = I ej0° • eZgesjϕZ

Zges = R - j 1ωC

ImReR

-j 1/ωCZges

Im Re

UR

UC

I

Uges

ϕui= ϕZ

e− j 90° = cos(−90°) + j sin(−90°) = 0 + j(−1) = − j

7

emgemgGET

9 Reihenschaltung von R und C im WechselstromkreisBerechnung der Leistungen

Wirkleistung in R: P = I2 RBlindleistung in XC: Q = I2-j(1/ωC)Scheinleistung in Z: S = P + jQ

S = P2 + Q2

S = I Uges

P = S cos(ϕZ)Q = S sin(ϕZ)

Leistungsfaktor = cos(ϕZ)

IUR UCUges Im Re

QS

ϕZ

P

emgemgGET

9

Parallelschaltung von ImpedanzenVorgehensweise zur Analyse von Wechselstromnetzwerkenanalog zu Gleichstromnetzwerken, aber:

• komplexe Spannung ist Bezugsgröße für die Phase

• einzelne Ströme zu Gesamtstrom in komplexer Ebene addieren (komplexe Rechnung oder Zeigerdiagramm)

• komplexe Scheinleistung aus komplexem Strom und komplexer Spannung berechnen (komplexe Rechnung oder Zeigerdiagramm)

8

emgemgGET

9 Parallelschaltung von R und L im Wechselstromkreis

IRU

Wie schon bei Gleichstrom-netzwerken ist bei Parallel-schaltungen die Bezugsgrößefür alle Berechnungen dieSpannung U mit ϕu = 0°

IL

Iges

Gesucht sind die Admittanz Y, die Ströme IR , IL und Igesmit ihren Phasenwinkeln.

Y = G + jB = 1/R + 1/jωL = 1 1R ωL- j

Admittanz Y = komplexer Leitwert: Y = 1Z

Blindleitwert B = - 1ωLWirkleitwert G = 1

R

R L

emgemgGET

9 Die Admittanz Y in der komplexen Zahlenebene

Y = 1 1R ωL- j

ImRe1/R

-j 1/ωLYϕY = -arctan( )R

ωL

Y = eY jϕY

Y = 1/R2 + (1/ωL)2

Im ReBerechnung der Ströme:IR = G • Uej0° = U/RIL = jBL • Uej0° = U/ωL e-j90°

Iges = IR + IL

Iges = Uej0° •(G + jB) = Uej0° • Ye jϕY

IR

IL

U

Iges

ϕiu= ϕY

9

emgemgGET

9 Parallelschaltung von R und L im Wechselstromkreis

Berechnung der Leistungen

IRU IL

Iges

R L

Wirkleistung in G: P = U2 /RBlindleistung in BL: QL = U2/jωL = -j U2/ωLScheinleistung in Y: S = U2(1/R - j 1/ωL)

Im ReP

QS

ϕY

emgemgGET

9 Parallelschaltung von R und C im Wechselstromkreis

IRU

Wie schon bei Gleichstrom-netzwerken ist bei Parallel-schaltungen die Bezugsgrößefür alle Berechnungen dieSpannung U mit ϕu = 0°

IC

Iges

Gesucht sind die Admittanz Y, die Ströme IR , IC und Igesmit ihren Phasenwinkeln.

Y = G + jB = 1/R + jωC = 1R + jωC

Admittanz Y = komplexer Leitwert: Y = 1Z

Blindleitwert B = ωCWirkleitwert G = 1 R

R C

10

emgemgGET

9 Die Admittanz Y in der komplexen Zahlenebene

Y = + jωC 1R

ϕY = arctan(ωCR)

Y = eY jϕY

Y = 1/R2 + (ωC)2

Berechnung der Ströme:IR = G • Uej0° = U/RIC = jB • Uej0° = UωC ej90°

Iges = IR + IC

Iges = Uej0° •(G + jB) = Uej0° • Ye jϕY

Im

Re

1/R

jωCY

Im

Re

IR

ICIges

U

ϕi = ϕY

emgemgGET

9 Parallelschaltung von R und C im WechselstromkreisBerechnung der Leistungen

Wirkleistung in G: P = U2 /RBlindleistung in BL: QC = U2 jωCScheinleistung in Y: S = U2(1/R + jωC)

IRU IC

Iges

R CIm

Re

P

QS

ϕZ

11

emgemgGET

9

Realer TransformatorAls Beispiel für ein Wechselspannungs-Netzwerk mit ver-schiedenen Impedanzen dient der reale Transformator unterBerücksichtigung der Drahtwiderstände und der magnetischenStreuverluste.

Die Gegeninduktivität ist M12 = M21 = M. Die Spannung lassensich schreiben als

R1 R2L2L1

i1 i2u1 u2

u1 = L1di1dt

+ i1R1 + Mdi2dt

u2 = L2di2dt

+ i2R2 + Mdi1dt

und

Vorzeichen: laut Definition u = L di/dt

emgemgGET

9

Streuverluste im realen TransformatorDa die magnetischen Streufelder nicht zur Gegeninduktivität beitragen, können wir die Induktivitäten in je zwei Anteile aufteilen:Die Streuinduktivität Lσ und die Hauptinduktivität Lh,

wobei die Hauptinduktivitäten einen idealen Trafo ohne Verluste (Kupfer, Streuung) bilden und zur Gegeninduktivität beitragen:

mit Lh1 = ü2 Lh2 ist

L1 = L1σ + L1h L2 = L2σ + L2hund

M = L1hL2h M = L1hL1h /ü2 = L1h /ü = üL2h

u1 = L1σdi1dt

+ L1hdi1dt

+ i1R1 +L1h

üdi2dt

= L1σdi1dt

+ L1hdi1dt

+1üdi2dt

+ i1R1

u2 = L2σdi2dt

+L1h

ü2di2dt

+ i2R2 +L1h

üdi1dt

= L2σdi2dt

+L1h

ü1üdi2dt

+di1dt

+ i2R2

12

emgemgGET

9

Ersatzschaltbild mit Streuverlusten

Man kann zusammenfassen

uh1 = L1hdi1dt

+1üdi2dt

uh 2 =

L1h

ü1üdi2dt

+di1dt

und

R1 R2

L1h

i1 i2u1 u2

L1σ L2σ

uh2uh1

i2/ü

ü

in uh1 = ü uh2

in einem neuen Ersatzschaltbild

R1 R‘2L1h

i1 i‘2u1 u‘2L1σ L‘2σ

uh

u'2 = üu2

i'2 = i2 /ü

R'2 = ü 2R2

L'2σ = ü2L2σ

emgemgGET

9

Ersatzschaltbild mit Eisenverlusten

R1 R‘2L1h

i1 i‘2u1 u‘2L1σ L‘2σ

uh RFE

Durch L1h und RFE fließt der Strom i0=iµ+iFE. Dabei beschreibtiFE die Ummagnetisierungsverluste im Eisenkern und iµ denMagnetisierungsstrom.

Für das Wechselstromersatzschaltbild ersetzen wir die Induktivitäten durch ihre Impedanzen X=ωL

13

emgemgGET

9 BlindstromkompensationReihenschaltung von R und L im Wechselstromkreis

I

UR UL

UN R= 10Ω, L = 318 mH,UN = 230V, 50 Hz

Im

ReϕZ = arctan( )ωL

R

Zges = R2 + (ωL)2

UL

I

ϕui = ϕZ

Zges = (10Ω)2 + (2π •50•0,318)2

Zges = 100,4 Ω

ϕZ = arctan( )2π •50•0,31810

ϕZ = 84,28°

UN

UR

I = U/Z = 2,3 A

emgemgGET

9 Welche Maßnahme kann ergriffen werden, damit dieNetzspannung UN und der Strom I in Phase liegen?I

UR UL

UN IRL

IC

Der Strom I teilt sichjetzt auf in IRL und IC,dadurch kann - bei geeigneter Dimen-sionierung von C -die Phasenverschie-bung zwischen UNund I Null werden.

Im

Re

IRL

ϕui = ϕZ

UNRichtung von IC, senkrecht auf UN,90° voreilend

ICI

UN und I sind jetztin Phase, d.h. dem Netz wird nur Wirk-leistung entnommen.

14

emgemgGET

9

Im

Re

IRL

ϕui = ϕZ

UNRichtung von IC, senkrecht auf UN,90° voreilend

ICI I = IRL + IC

Aus dem Betrag vonIC kann die Größeder Kapazität berech-net werden.

IC = UN ωCC = IC/UNω

emgemgGET

9

Im

Re

IRL

UN

I = IRL + IC

IC

IC

I

I

unterkompensiert, dieSchaltung verhält sichnoch induktiv

überkompensiert, dieSchaltung verhält sichjetzt kapazitiv.

Im

Re

IRL

UN

I = IRL + IC

15

emgemgGET

9

Blindstromkompensation

emgemgGET

9

Zusammenfassung

Nächste Vorlesung „Ortskurven“

RC-Parallel und ReihenschaltungZeigerdiagrammLeistung, Leistungsfaktor cosφ

RL-Parallel und ReihenschaltungZeigerdiagrammLeistung, Leistungsfaktor cosφ

Realer Transformator

Blindstromkompensation