6Η ΜΑΘ 23 - to-frontistirio.grΠαίρνουμε τα πολλαπλάσια των...

εκπαιδευτικός οργανισμός

δ.τσιαρας και σια ε.ε.

Η σωστή ενέργεια

Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο για να προσθέσουμε και να αφαι-ρέσουμε κλάσματα, πρέπει να είναι ομώνυμα.

Τώρα μπορούμε να λύσουμε και προβλήματα με κλάσματα αρκεί να ακο-λουθούμε τα βήματα που θα μας οδηγήσουν στη σωστή λύση του προβλήμα-τος.

Κεφάλαιο 23ο

Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

23ο Κεφάλαιο 4



Προσθέτω και αφαιρώ κλάσματα

Για να προσθέσουμε κλάσματα που είναι ομώνυμα προσθέτουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή.

Για παράδειγμα, έχουμε να προσθέσουμε τα κλάσματα 2 5και

3 3. Τα κλάσματα εί-

ναι ομώνυμα, δηλαδή έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Οπότε θα προσθέσουμε τους α-ριθμητές των κλασμάτων και ως παρονομαστή θα αφήσουμε τον ίδιο.

Έχουμε: 2 5 2 + 5 7

+ = =3 3 3 3

Για να αφαιρέσουμε κλάσματα που είναι ομώνυμα αφαιρούμε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή.

Για παράδειγμα, έχουμε να αφαιρέσουμε τα κλάσματα 7 3και

5 5. Τα κλάσματα είναι

ομώνυμα, δηλαδή έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Οπότε θα αφαιρέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και ως παρονομαστή θα αφήσουμε τον ίδιο.

Έχουμε: 7 3 7 - 3 4

- = =5 5 5 5

Για να προσθέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα. Έπειτα προσθέτουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήνουμε τον ίδιο παρονο-μαστή.

Για να μετατρέψουμε ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα, ακολουθούμε τα εξής βήματα. 1. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. 2. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με

κάθε παρονομαστή. 3. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλά-

σματος με το αντίστοιχο πηλίκο.

Μαθηματικά



5

Για παράδειγμα, θα προσθέσουμε τα ετερώνυμα κλάσματα 4 2και

3 4. Έχουν δια-

φορετικούς παρονομαστές γι’ αυτό πρώτα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα και μετά να τα προσθέσουμε:

Είναι: 4 2

+3 4

.

Θα ακολουθήσουμε τα εξής βήματα:

1. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών

Π3 : 0, 3, 6, 9, 12 , 15, 18, ...

Π4 : 0, 4, 8, 12 , 16, 20, ...

Ε.Κ.Π. (3, 4) = 12.

2. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή.

12 : 3 = 4 και 12 : 4 = 3

3. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το αντίστοιχο πηλίκο.

⋅

⋅

4 4 4 16= =

3 3 4 12

⋅

⋅

2 2 3 6= =

4 4 3 12

Τα κλάσματα 16 6

+12 12

είναι ομώνυμα, οπότε μπορούμε να προσθέσουμε τους α-

ριθμητές και να αφήσουμε τον ίδιο παρονομαστή.

Είναι: 16 6 16 + 6 22

+ = =12 12 12 12

Το κλάσμα 2212

δεν είναι ανάγωγο, απλοποιείται.

Για να απλοποιήσουμε κλάσματα, διαιρού-με τους όρους των κλασμάτων με τον Μ.Κ.Δ. των όρων του. Το κλάσμα που προκύπτει είναι ανάγωγο,δηλαδή δεν υπάρχει άλλος αριθμός εκτός από το 1 που να είναι κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή.




Παίρνουμε τους διαιρέτες του αριθμητή και του παρονομαστή.

Δ22 : 0 , 2 , 11, 22

Δ12 : 0 , 2 , 3, 4, 6, 12

Μ.Κ.Δ. (22, 12) = 2

Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 2.

Έχουμε: 22 22 : 2 11

= =12 12 : 2 6

, ανάγωγο.

Για να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα. Έπειτα προσθέτουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή.

Για παράδειγμα θα αφαιρέσουμε τα κλάσματα 9 2

και15 5

.

Ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Παίρνουμε το μεγαλύτερο παρονομαστή, το 15 και ελέγχουμε αν διαιρείται ακριβώς από το 5.

Έχουμε: 15 : 5 = 3 (διαιρείται ακριβώς).

Άρα Ε.Κ.Π. (15, 5) = 15

2. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή.

15 : 15 = 1 και 15 : 5 = 3


⋅

⋅

9 9 1 9= =

15 15 1 15

⋅

⋅

2 2 3 6= =

5 5 3 15


και15 15

είναι ομώνυμα. Μπορούμε να τα αφαιρέσουμε.

Είναι: 9 6 9 - 6 3

- = =15 15 15 15

.

Το κλάσμα 3

15 δεν είναι ανάγωγο, θα το απλοποιήσουμε.




7

Παίρνουμε τους διαιρέτες του 3 και του 15.

Δ3 : 0 , 3

Δ15 : 0 , 3 , 5, 15

Μ.Κ.Δ. (3, 15) = 3


3 3 : 3 1= =

15 15 : 3 5, ανάγωγο.

1. Να προστεθούν τα κλάσματα 2 6 5

, και3 3 3

.

Λύση

Τα κλάσματα είναι ομώνυμα. Θα προσθέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και

θα αφήσουμε τον ίδιο παρονομαστή.

Είναι: 2 6 5 2+6+ 5 13

+ + = =3 3 3 3 3

.


3 είναι ανάγωγο, δεν απλοποιείται άλλο.

2. Να αφαιρεθούν τα κλάσματα 12 10και

15 15.

Λύση

Τα κλάσματα είναι ομώνυμα. Θα αφαιρέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και

θα αφήσουμε τον ίδιο παρονομαστή.

Είναι 12 10 12 -10 2

- = =15 15 15 15

Το κλάσμα 2

15 είναι ανάγωγο, δεν απλοποιείται άλλο.

3. Να γίνει η πρόσθεση των κλασμάτων 4 2 1

, και2 4 8

.

Λύση

Ας δούμε μερικά παραδείγματα…




Τα κλάσματα 4 2 1

, και2 4 8

είναι ετερώνυμα.

Για να τα προσθέσουμε θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα.

Θα ακολουθήσουμε την εξής διαδικασία:

1. Παίρνουμε το μεγαλύτερο παρονομαστή το 8, και ελέγχουμε αν διαιρείται ακρι-

βώς από το 2 και το 4.

Έχουμε: 8 : 2 = 4, 8 : 4 = 2 (διαιρείται ακριβώς)

Άρα Ε.Κ.Π. (2, 4, 8) = 8.

2. ∆ιαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή.

8 : 2 = 4, 8 : 4 = 2 και 8 : 8 = 1


⋅

⋅

4 4 4 16= =

2 2 4 8,

⋅

⋅

2 2 2 4= =

4 4 2 8,

⋅

⋅

1 1 1 1= =

8 8 1 8

Άρα τα κλάσματα 16 4 1

, και8 8 8

έγιναν ομώνυμα και μπορούμε να τα προσθέ-

σουμε.

16 4 1 16+4+1 21+ + = =

8 8 8 8 8, ανάγωγο.

4. Να γίνει η αφαίρεση των κλασμάτων 5 1και

6 3.

Λύση

Για να αφαιρέσουμε τα κλάσματα 5 1και

6 3 πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα.

Θα ακολουθήσουμε την εξής διαδικασία:

1. Παίρνουμε το μεγαλύτερο από τους παρονομαστές το 6 και ελέγχουμε αν διαι-

ρείται από το 3.

Έχουμε: 6 : 3 = 2, διαιρείται ακριβώς.

Άρα Ε.Κ.Π. (6, 3) = 6.

2. ∆ιαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή.




9

6 : 6 = 1 και 6 : 3 = 2


⋅ ⋅

⋅ ⋅

5 5 1 5 1 1 2 2= = και = =

6 6 1 6 3 3 2 6

Τα κλάσματα 5 2και

6 6 έγιναν ομώνυμα και μπορούμε να τα αφαιρέσουμε.

Έχουμε: 5 2 5 - 2 3

- = =6 6 6 6

Το κλάσμα 3

6 δεν είναι ανάγωγο, μπορούμε να το απλοποιήσουμε.

Παίρνουμε τους διαιρέτες του αριθμητή και του παρονομαστή.

∆3 : 0 , 3

∆6 : 0 , 2, 3 , 6

Μ.Κ.∆. (3, 6) = 3

∆ιαιρούμε τους όρους του κλάσματος με το 3.

3 3 : 3 1

= =6 6 : 3 2

, προέκυψε ανάγωγο κλάσμα.

Λύνω απλά προβλήματα με δεκαδικούς, μεικτούς και κλάσματα ακολουθώντας μια σειρά από βήματα

Για να λύσουμε προβλήματα με κλάσματα, αρκεί να διαβάσουμε καλά το πρόβλη-

μα ώστε να βρούμε ποιες πράξεις πρέπει να κάνουμε ώστε να φτάσουμε στη σωστή λύση του προβλήματος.

Για παράδειγμα θα λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα με κλάσματα.

Η Χρύσα από τα 56

μιας σοκολάτας, έφαγε τα 46

. Περίσσεψε καθόλου σοκολά-

τα;

Λύση




Έχουμε ένα πρόβλημα με κλάσματα.

Εφόσον έχουμε το συνολικό μέγεθος, το οποίο είναι τα 56

της σοκολάτας και θέ-

λουμε να βρούμε πόσο περίσσεψε, όταν έφαγε τα 46

, θα κάνουμε αφαίρεση.


6 6 είναι ομώνυμα. Θα αφαιρέσουμε τους αριθμητές και παρο-

νομαστή θα αφήσουμε τον ίδιο.

Έχουμε: 5 4 5 - 4 1

- = =6 6 6 6

.

Άρα έμεινε το 16

της σοκολάτας.

Το παραπάνω πρόβλημα θα μπορούσε να λυθεί και με αφαίρεση δεκαδικών αριθ-μών.

Έχουμε: →5

50 66

- 48 0,8320

-182

→4

40 66

- 36 0,6640

- 364

Άρα η Χρύσα είχε το 0,83 μιας σοκολάτας και έφαγε το 0,66. Για να βρούμε πόση σοκολάτα της έμεινε θα κάνουμε αφαίρεση.

Για να γίνουν δεκαδικοί αριθμοί τα κλάσματα αρκεί να διαιρέσουμε τον αριθμητή του κλάσματος με τον παρονομαστή του.




11

Έχουμε: 0,83 – 0,66 = 0,17.

Άρα της έμειναν της Χρύσας τα 0,17 της σοκολάτας.

Συμπέρασμα: Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε καταλήξει στο ίδιο αποτέλε-

σμα.

Γιατί αν στο κλάσμα 16

κάνουμε τη διαίρεση 1 : 6, θα πάρουμε

τον αριθμό 0,17.

Μπορούμε λοιπόν να εργαστούμε με όποιον τρόπο θέλουμε, γνωρίζοντας ότι το αποτέλεσμά μας θα είναι είτε κλάσμα, είτε ένας δεκαδικός αριθμός.

Υπάρχει και μία άλλη κατηγορία προβλημάτων, στην οποία οι αριθμοί του προβλή-ματος δεν είναι στην ίδια μορφή. Μπορεί να υπάρχει ένα κλάσμα και ένας μεικτός αριθ-μός. Σ’ αυτή την περίπτωση πρέπει να τους μετατρέψουμε στην ίδια μορφή. Συνήθως μετατρέπουμε τον μεικτό σε κλάσμα.

Για παράδειγμα θα λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα μ’ ένα κλάσμα κι έναν μεικτό αριθμό.

Η Σοφία έφαγε το 218

από τις 168

πίτσες που παρήγγειλε η μητέρα της. όση

πίτσα έμεινε;

Λύση

Στα δεδομένα του προβλήματος υπάρχουν δύο διαφορετικοί αριθμοί, ένας μεικτός αριθμός και ένα κλάσμα. Θα μετατρέψουμε τον μεικτό σε κλάσμα.




Έχουμε: ⋅

⋅

+2 (1 8) + 2 8 + 2 10

1 = = =8 8 10 8

Άρα η Σοφία έφαγε τα 10 16

από τα8 8

από τις πίτσες. Για να βρούμε πόση πίτσα

έμεινε, θα αφαιρέσουμε τα κλάσματα.

Είναι: 16 10 16 -10 6

- = =8 8 8 8

Άρα έμειναν τα 68

της πίτσας.

Σε κάποιο άλλο πρόβλημα στα δεδομένα θα υπάρχουν 2 μεικτοί αριθμοί. Θα πρέπει να τους κάνουμε κλάσμα. Για παράδειγμα θα λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα με δεδομένο 2 μεικτούς αριθμούς.

Η Αγγελική και η Άννα μοιράστηκαν καραμέλες. Η Αγγελική πήρε τα 324

ενώ η

Άννα τα 245

. Πόσες καραμέλες πήραν και τα δύο κορίτσια μαζί;

Λύση

Στα δεδομένα του προβλήματος υπάρχουν 2 μεικτοί αριθμοί. Θα τους μετατρέψου-με σε κλάσματα.

Για να μετατρέψουμε έναν μεικτό αριθμό σε κλάσμα υπάρ–χουν 2 τρόποι: 1ος τρόπος: Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του κλάσμα-τος επί τον ακέραιο αριθμό και στο γινόμενο προσθέτουμε τον αριθμητή, αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή. 2ος τρόπος: Η ακέραιη μονάδα του μεικτού δηλώνει πόσες φο-ρές θα προσθέσουμε το κλάσμα που θα δηλώνει μια ακέραιη μονάδα και θα έχουν ως όρους του τον αριθμό του παρονομα-στή. Σ’ αυτό το άθροισμα προσθέτουμε το κλάσμα του μεικτού αριθμού.




13

Θα πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή επί τον ακέραιο αριθμό και στο γινόμενο θα προσθέσουμε τον αριθμητή, αφήνοντας τον παρονομαστή ίδιο.

Έχουμε: ⋅

⋅

+3 (2 4) + 3 8 + 3 11

2 = = =4 4 4 4

⋅

⋅

+2 (4 5)+ 2 20 + 2 22

4 = = =5 5 5 5

Για να βρούμε πόσες καραμέλες πήραν μαζί και τα δύο κορίτσια θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα ώστε να τα προσθέσουμε.

Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών.

Π4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20 , 24, ...

Π5 : 0, 5, 10, 15, 20 , 25, ...

Ε.Κ.Π. (4, 5) = 20

Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή.

20 : 4 = 5 και 20 : 5 = 4

Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το Ε.Κ.Π.

⋅ ⋅

⋅ ⋅

11 11 5 55 22 22 4 88= = και = =

4 4 5 20 5 5 4 20


και20 20

είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε:

55 88 55 + 88 143

+ = =20 20 20 20




∆ραστηριότητεςτου βιβλίου

∆ραστηριότητα 1η

∆ιαβάζοντας στην ιστοσελίδα της ∆.Ε.Η. (www.dei.gr) στοιχεία σχετικά με την

παραγωγή ενέργειας για το 2003 διαπιστώνουμε ότι η ενέργεια στη χώρα μας από ανανεώσιμες πηγές ήταν πολύ μικρή. Παρακάτω παρουσιάζονται τα στοιχεία για την ενέργεια που παράχθηκε το 2003 σε θερμοηλεκτρικούς σταθμούς:

Το 0,15 της ενέργειας παράχθηκε με τη χρήση πετρελαίου.

Τα

920

παράχθηκαν με τη χρήση λιγνίτη.

Το 14

παράχθηκε με τη χρήση φυσικού αερίου.

Η υπόλοιπη ενέργεια παράχθηκε σε υδροηλεκτρικούς σταθμούς.

Είναι εύκολο να υπολογίσουμε αμέσως αυτό το μέρος της ενέργειας; ...............

..................................................................................................................

Τι πρέπει να κάνουμε πριν προχωρήσουμε στις πράξεις για την επίλυση του προβλήματος; .............................................................................................

Για να υπολογίσουμε πιο μέρος της ενέργειας παράχθηκε στους θερμοηλε-

κτρικούς σταθμούς, θα πρέπει να προσθέσουμε την ενέργεια που παράχθηκε

με τη χρήση πετρελαίου (το 0,15), την ενέργεια που παράχθηκε με τη χρή-

ση φυσικού αερίου (το 1

4) και την ενέργεια που παράχθηκε με τη χρήση




15

Έχουμε 3 κλάσματα ετερώνυμα. Για να τα προσθέσουμε θα πρέπει να τα

κάνουμε ομώνυμα.

Είναι:

1,5 9 1, ,

10 20 4

Παίρνουμε τον μεγαλύτερο από τους παρονομαστές το 20 αι εξετάζουμε

αν διαιρείται ακριβώς από το 10 και το 4.

20 : 10 = 2, 20 : 4 = 5 (διαιρούνται ακριβώς)

Άρα Ε.Κ.Π. (10, 20, 4) = 20

∆ιαιρούμε το Ε.Κ.Π. με όλους τους παρονομαστές.

20 : 10 = 2, 20 : 20 = 1 και 20 : 4 = 5

λιγνίτη (τα 9

20).

Παρατηρούμε ότι έχουμε αριθμούς διαφορετικής μορφής, δεκαδικό και

κλάσματα. Θα πρέπει να τους μετατρέψουμε σε αριθμούς της ίδιας μορφής

ώστε να τους προσθέσουμε.

Μπορούμε να εργαστούμε με δύο τρόπους:

1ος τρόπος: Θα μετατρέψουμε τον δεκαδικό αριθμό 0,15 σε κλάσμα. Θα

κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα ώστε να τα προσθέσουμε.

Κάθε αριθμός θεωρείται ως κλάσμα βάζοντας για παρονομαστή τη μονάδα.

Είναι 0,15

1

Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με

το 10.

Έχουμε: ⋅

⋅

0,15 0,15 10 1,5= =

1 1 10 10

Το κλάσμα 9

20 δεν μπορούμε να το απλοποιήσουμε άλλο, είναι ανάγωγο

γι’ αυτό θα παραμείνει όπως είναι.

Το κλάσμα 1

4 δεν μπορούμε να το απλοποιήσουμε άλλο, είναι ανάγωγο

γι’ αυτό θα παραμείνει όπως είναι.




Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με τα αντίστοιχα πηλί-

κα.

Είναι:

⋅

⋅

1,5 1,5 2 3= =

10 10 2 20,

⋅

⋅

9 9 1 9= =

20 20 1 20,

⋅

⋅

1 1 5 5= =

4 4 5 20

Τώρα μπορούμε να κάνουμε την πρόσθεση των κλασμάτων:

3 9 5 (3+ 9 + 5) 17+ + = =

20 20 20 20 20

Για να βρούμε ποιο μέρος της ενέργειας παράχθηκε σε υδροηλεκτρικούς

σταθμούς, αρκεί να αφαιρέσουμε από το 20

20 είναι μια ακέραιη μονάδα,

δηλαδή η ολική ποσότητα της ενέργειας από το 17

20.

Είναι:

20 17 3- =

20 20 20.

Άρα για θερμοηλεκτρικούς σταθμούς παράχθηκε ενέργεια

17

20, ενώ για υ-

δροηλεκτρικούς σταθμούς παράχθηκε ενέργεια 3

20.

2ος τρόπος: Θα μετατρέψουμε τα κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς.

Το 0,15 θα παραμείνει όπως είναι.

Το 9

20 για να γίνει δεκαδικός θα κάνουμε τη διαίρεση του αριθμητή με

τον παρονομαστή.

90 20- 80 0, 45100

-1000

Άρα 9

= 0, 4520

της ενέργειας.




17

Το 1

4 για να γίνει δεκαδικός θα κάνουμε τη διαίρεση του αριθμητή με τον

παρονομαστή.

10 4- 8 0,2520

- 200

Άρα 1

= 0,254

της ενέργειας.

Για να βρούμε τη συνολική ενέργεια σε θερμοηλεκτρικούς σταθμούς θα

προσθέσουμε τους 3 δεκαδικούς αριθμούς.

Έχουμε: 0,15 + 0,45 + 0,25 = 0,85 της ενέργειας.

Για να βρούμε πόση ενέργεια παράχθηκε σε υδροηλεκτρικούς σταθμούς θα

αφαιρέσουμε από τη συνολική ενέργεια δηλαδή το 1, την ακέραιη μονάδα

το 0,85.

Έχουμε: 1 – 0,85 = 0,15 της ενέργειας.

Άρα για θερμοηλεκτρικούς σταθμούς παράχθηκε το 0,85 της ενέργειας, ενώ

για υδροηλεκτρικούς σταθμούς παράχθηκε το 0,15 της ενέργειας.

∆ραστηριότητα η 2

Τα παιδιά θέλησαν να φυτέψουν στον κήπο του σχολείου φράουλες (ωριμάζουν στις αρχές Ιουνίου) και ρώτησαν αν υπάρχει καθόλου ελεύθερος χώρος.

Ο δάσκαλος του είπε: «Σωστή ενέργεια! Λοιπόν, το 0,1 το παρτεριού έχει γαρίφα-

λα, το

14 έχει μαργαρίτες και τα

25 έχουν γκαζόν. Αν υπάρχει ελεύθερος χώρος

είναι δικός σας!»




Πώς θα βρούμε αν υπάρχει χώρος; ..............................................................

Γράψτε με τη σειρά τις ενέργειες που πρέπει να κάνουν τα παιδιά για να βρουν τη λύση στο πρόβλημά τους: ...............................................................

Κάντε τις πράξεις. Μετά χωρίστε το σχεδιάγραμμα του παρτεριού σε όσα μέρη πρέπει να βάψετε με κίτρινο το

μέρος με τις μαργαρίτες, με μοβ το μέρος με τα γαρίφαλα, με πράσινο το μέ-ρος με το γκαζόν και με κόκκινο το μέρος με τις φράουλες.

Για να βρούμε αν υπάρχει ελεύθερος χώρος θα πρέπει να προσθέσουμε τα

μέρη του κήπου που είναι φυτεμένα με γαρίφαλα, μαργαρίτες και γκαζόν και

να το αφαιρέσουμε από την ακέραιη μονάδα, δηλαδή τον συνολικό κήπο.

Αρχικά θα μετατρέψουμε το δεκαδικό 0,1 σε μορφή κλάσματος, ώστε να

μπορούμε να το προσθέσουμε με τα άλλα κλάσματα.

Εφόσον δημιουργηθούν 3 κλάσματα θα προσθέσουμε και τα 3 μαζί, για να

βρούμε πόσος κήπος είναι καλυμμένος από γαρίφαλα, μαργαρίτες και γκα-

ζόν.

Το αποτέλεσμα που θα βρούμε και που θα είναι ένα κλάσμα, θα το αφαιρέ-

σουμε από την ακέραιη μονάδα, την οποία θα δημιουργούσε ένα κλάσμα με

αριθμητή και παρονομαστή τον αριθμό που θα υπάρχει στον παρονομαστή

του αποτελέσματος.

Μετατρέπουμε το 0,1 σε κλάσμα.

Κάθε αριθμός θεωρείται ως κλάσμα, βάζοντας για παρονομαστή το 1.

Είναι: 0,1

1.

Θα πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος

με το 10.

Είναι ⋅

⋅

0,1 0,1 10 1= =

1 1 10 10




19

Τώρα έχουμε 3 κλάσματα: 1 1 2

, και10 4 5

Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα. Για να τα προσθέσουμε πρέπει να τα κάνουμε

ομώνυμα.


Π10 : 0, 10, 20 , 30, 35, ...

Π4 : 0, 4, 8, 12, 15, 16, 20 , ...

Π5 : 0, 5, 10, 15, 20 , 25

Άρα Ε.Κ.Π. (10, 4, 5) = 20

∆ιαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων

20 : 10 = 2, 20 : 4 = 5 και 20 : 5 = 4

Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο.

⋅

⋅

1 1 2 2= =

10 10 2 20,

⋅

⋅

1 1 5 5= =

4 4 5 20,

⋅

⋅

2 2 4 8= =

5 5 4 20

Τα κλάσματα είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε.

Είναι: 2 5 8 2 + 5+ 8 15

+ + = =20 20 20 20 20

Άρα είναι καλυμμένο το 15

20 του κήπου του σχολείου.

Θα αφαιρέσουμε από τα 20

20 (τον συνολικό κήπο) το

15

20.

Έχουμε: 20 15 5

- =20 20 20

ελεύθερος χώρος για φράουλες

Γαρί–

φαλα

Μαργαρίτες Γκαζόν Φράουλες




Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα..

Π.χ. 3 1

+4 5

Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα. Θα τα κάνουμε ομώνυμα.


Π4 : 0, 4, 8, 12, 14, 20 , 24, ...

Π5 : 0, 5, 10, 15, 20 , 25, ...

Άρα Ε.Κ.Π. (4, 5) = 20

Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμά-των.

20 : 4 = 5 και 20 : 5 = 4

Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με τοαντίστοιχο πηλίκο.

⋅

⋅

3 3 5 15= =

4 4 5 20




21

⋅

⋅

1 1 4 4= =

5 5 4 20

Άρα τα κλάσματα έγιναν ομώνυμα 15 4

+20 20

και μπο-

ρούμε να τα προσθέσουμε.

Προσθέτουμε ομώνυμα κλάσματα προσθέτοντας τουςαριθμητές του και αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή.

Π.χ. 11 2 11+ 2 13

+ = =18 18 18 18

Αφαιρούμε ομώνυμα κλάσματα αφαιρώντας τους αριθ-μητές τους και αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή.

Π.χ. 11 2 11- 2 9

- = =18 18 18 18

Όταν πρέπει να λύσω ένα πρόβλημα που έχει κλάσμα-τα ή μεικτούς αριθμούς:

Ελέγχω, αν οι αριθμοί του προβλήματος είναι στην ίδιαμορφή.

Αν δεν είναι στην ίδια μορφή, τους μετατρέπω σε αριθ-μούς μίας μορφής.

Αποφασίζω ποιες πράξεις πρέπει να κάνω.

Εκτελώ τις πράξεις και ελέγχω το αποτέλεσμα.




Η Μυρτώ κούρεψε τα 3

5 του γκαζόν και ο αδερφός της ο

Λευτέρης το 14

. Κούρεψαν όλο το γκαζόν; Αν όχι, πόσο

έμεινε;

λύση

Για να βρούμε αν τα παιδιά κούρεψαν όλο το γκαζόν θα προσθέσουμε τα κλάσματα, που το καθένα από αυτά εκφράζει το μέρος του γκαζόν που κούρεψε κάθε παιδί.

Έτσι έχουμε: 3 1

+5 4

Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα. Για να τα προσθέσουμε πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα.


Π5 : 0, 5, 10, 15, 20 , 25, ...

Π4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20 , 24, ...

Άρα Ε.Κ.Π. (5, 4) = 20.

Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων.

20 : 5 = 4 και 20 : 4 = 5


⋅

⋅

3 3 4 12= =

5 5 4 20,

⋅

⋅

1 1 5 5= =

4 4 5 20


και20 20

είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε.

Είναι: 12 5 12 + 5 17

+ = =20 20 20 20




23

Για να βρούμε πόσο γκαζόν έμεινε ακούρευτο θα αφαιρέσουμε από το κλάσμα «ακέ-

ραιη μονάδα» το 1720

.

Έχουμε: 20 17 3

- =20 20 20

, του γκαζόν έμεινε ακούρευτο.

Απάντηση: Τα παιδιά κούρεψαν τα 1720

του γκαζόν και μένουν ακόμη 320

για

κούρεμα.

Ένα δοχείο χωράει 3 λίτρα. Κάποια στιγμή έχει 314

λίτρα

νερό. Πόσο νερό χρειάζεται ακόμα για να γεμίσει;

λύση

Οι αριθμοί του προβλήματος δεν είναι στην ίδια μορφή. Θα μετατρέψουμε τον ακέραιο σε κλάσμα αλλά σε κλάσμα θα μετατρέψουμε και τον μεικτό.

Για τον ακέραιο 3 έχουμε:

1ος τρόπος:

Κάθε αριθμός θεωρείται ως κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα. Άρα ο ακέραιος 3

ισούται με το κλάσμα 31

.

2ος τρόπος:

Θα μετατραπεί σε κλάσμα με παρονομαστή το 4.

4 4 4 4 + 4 + 4 123 = 1+1+1= + + = =

4 4 4 4 4

Για τον μεικτό 3

14

έχουμε:

⋅

⋅+ 3 (1 4) + 3 4 + 3 7

1 = = =4 4 4 4

Θα αφαιρέσουμε τα κλάσματα. Δηλαδή θα αφαιρέσουμε το νερό που υπάρχει από τη συνολική χωρητικότητα του δοχείου ώστε να βρούμε τη διαφορά τους.




1ος τρόπος:


1 4 είναι ετερώνυμα, θα τα κάνουμε ομώνυμα.

Εφόσον το πρώτο κλάσμα έχει παρονομαστή τη μονάδα, Ε.Κ.Π. (1, 4) = 4.


4 : 1 = 4 και 4 : 4 = 1


⋅

⋅

3 3 4 12= =

1 1 4 4,

⋅

⋅

7 7 1 7= =

4 4 1 4


και4 4

είναι ομώνυμα.

Έχουμε: 12 7 12 - 7 5

- = =4 4 4 4

2ος τρόπος:


και4 4

είναι ομώνυμα. Αρκεί να αφαιρέσουμε τους αριθμητές

τους.

Είναι: 12 7 12 - 7 5

- = =4 4 4 4

Για να μετατρέψουμε το κλάσμα 54

σε μεικτό και επειδή ο αριθμητής είναι μεγαλύ-

τερος από τον παρονομαστή θα έχουμε:

5 4 1 1= + = 1

4 4 4 4

Απάντηση: Το δοχείο χρειάζεται ακόμη για να γεμίσει 1

14

λίτρα νερού.




25

Στο κεφάλαιο αυτό μελετήσαμε την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων

καθώς και τη λύση απλών προβλημάτων με κλάσματα. Σχεδίασε ένα σύ-ντομο πρόβλημα που να λύνεται έτσι.

Απάντηση

Για να προσθέσουμε κλάσματα ομώνυμα, προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή.

Π.χ. 2 5 2 + 5 7

+ = =3 3 3 3

Για να αφαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα, αφαιρούμε τους αριθμητές και αφή-νουμε τον ίδιο παρονομαστή.

Π.χ. 5 4 5 - 4 1

- = =4 4 4 4

Για να προσθέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών και έπειτα να προσθέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων.

Π.χ. 2 4

+105

Παίρνουμε τα πολλαπλάσια του 5 και του 10.

Π5 : 0, 5, 10 , 15, 20, ...

Π10 : 0, 10 , 20, 30, ....




Άρα Ε.Κ.Π. (5, 10) = 10.


Είναι: 10 : 5 = 2 και 10 : 10 = 1


⋅

⋅

2 2 2 4= =

5 5 2 10,

⋅

⋅

4 4 1 4= =

10 10 1 10


και10 10

είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε:

Έχουμε: 4 4 4 + 4 8

+ = =10 10 10 10

Για να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών, και έπειτα να αφαιρέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων.

Π.χ. 6 2

-5 4


Π5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Π4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...

Άρα Ε.Κ.Π. (5, 4) = 20


20 : 5 = 4 και 20 : 4 = 5.

Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με τα αντίστοιχα πηλίκα.

⋅

⋅

6 6 4 24= =

5 5 4 20,

⋅

⋅

2 2 5 10= =

4 4 5 20


και20 20

είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσου-

με:

Έχουμε: 24 10 24 -10 14

- = =20 20 20 20




27

Η Μαρία έφαγε τα 315

της τούρτας ενώ η Ελένη έφαγε τα 45

της τούρ-

τας. Πόση τούρτα έφαγαν και τα δύο κορίτσια μαζί; Περίσσεψε καθόλου τούρτα;

Λύση

Για να βρούμε πόση τούρτα έφαγαν και τα δύο κορίτσια, θα προσθέσουμε τα

κλάσματα 3

15 και

45

. Πρώτα θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα.


Π15 : 0, 15 , 30, 45, ...

Π5 : 0, 5, 10, 15 , 20, ...

Άρα Ε.Κ.Π. (15, 5) = 15


15 : 15 = 1 και 15 : 5 = 3


⋅

⋅

3 3 1 3= =

15 15 1 15,

⋅

⋅

4 4 3 12= =

5 5 3 15

Οπότε έχουμε: 3 12 3 +12 15

+ = =15 15 15 15

.

Άρα τα κορίτσια έφαγαν και τα 1515

της τούρτας.

Δηλαδή έφαγαν ολόκληρη την τούρτα.

Σημειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις:

Σωστό Λάθος

Η ισότητα 2 7 9+ =5 5 10

είναι σωστή.




Για να λύσω ένα πρόβλημα που οι αριθμοί του είναι φυσι-κοί, δεκαδικοί ή κλάσματα πρέπει πρώτα να τους μετατρέ-ψω όλους στην ίδια μορφή.

Απάντηση

Σωστό Λάθος

Λάθος. Η ισότητα 2 7

+5 5

δεν δίνει αποτέλεσμα 9

10.


5 5 είναι ομώνυμα Αρκεί να προσθέσουμε

τους αριθμητές τους και παρονομαστή να αφήσουμε τον ίδιο.

2 7 2 + 7 9+ = =

5 5 5 5

Σωστό. Για να λύσουμε ένα πρόβλημα που οι αριθμοί του είναι φυσικοί, δεκαδικοί ή κλάσματα πρέπει πρώτα να τους μετα-τρέψουμε όλους στην ίδια μορφή. Δηλαδή όλοι οι αριθμοί να γίνουν είτε φυσικοί, είτε δεκαδικοί είτε κλάσμα, ώστε να μπο-ρούμε να τα προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ανάλογα με τις ανάγκες του προβλήματος.




29

Τετράδιο Εργασιών

Άσκηση 1η

Να βρεις το συνολικό μήκος των δύο διαδρόμων στους οποίους μπορούν να κινού-

νται τα παιδιά ανάμεσα στα θρανία της Στ΄ τάξης όταν ο ένας είναι 538

μ. και ο

άλλος 7112

μ.

λύση

ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

Πρέπει να μετατρέψουμε τους μεικτούς σε κλάσματα, να τα κάνουμε ομώνυμα και έπειτα να τα προσθέσουμε.

Θα μετατρέψουμε τους μεικτούς σε κλάσματα:

⋅

⋅+ 5 (3 8) + 5 24 + 5 29

3 = = =8 8 8 8

Ασκήσεις




⋅

⋅+ 7 (1 12) + 7 12 + 7 19

1 = = =12 12 12 12

Τα κλάσματα που προέκυψαν είναι ετερώνυμα. Για να βρούμε το συνολικό μήκος των δύο διαδρόμων θα πρέπει να προσθέσουμε τα κλάσματα. Πρώτα πρέπει να τα κάνου-με ομώνυμα.

Είναι 29 19

+8 12

Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών

Π8 : 0, 8, 16, 24 , 32, ...

Π12 : 0, 12, 24 , 36, ...

Άρα Ε.Κ.Π. (8, 12) = 24

Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων

24 : 8 = 3 και 24 : 12 = 2


⋅

⋅

29 29 3 87= =

8 8 3 24,

⋅

⋅

19 19 2 38= =

12 12 2 24

Τα κλάσματα που προέκυψαν είναι ομώνυμα.

Είναι: 87 38 87 + 38 125

+ = =24 24 24 24

μ. μήκος

Για να κατανοήσουμε καλύτερα τα μέτρα που εκφράζει το κλάσμα αρκεί να κάνουμε τη διαίρεση.

→125

125 2424

-120 5,2μ.50

- 482

Απάντηση: Άρα το συνολικό μήκος των δύο διαδρόμων είναι 5,2 μ.




31

Άσκηση 2η

Να υπολογίσεις την παρακάτω αριθμητική παράσταση:

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 7 11 7 2+ + + - 24 8 12 24 6

λύση

ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

Σύμφωνα με τη σειρά των πράξεων πρώτα θα ε-κτελέσουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση.

Θα μετατρέψουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα ώστε να τα προσθέσουμε.

Θα μετατρέψουμε τον μεικτό σε κλάσμα.

Θα μετατρέψουμε τα κλάσματα ομώνυμα ώστε να κάνουμε την αφαίρεση.

Πρώτα θα εκτελέσουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση.

Μέσα στην παρένθεση έχουμε πρόσθεση κλασμάτων.

Θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα.


Π4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24 , 28, ...

Σειρά πράξεων: 1. Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις. 2. Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις. 3. Προσθέσεις και αφαιρέσεις.




Π8 : 0, 8, 18, 24 , 32, ...

Π12 : 0, 12, 24 , 36, ...

Π24 : 0, 24 , 48, ...

Άρα Ε.Κ.Π. (4, 8, 12, 24) = 24.


24 : 4 = 6, 24 : 8 = 3, 24 : 12 = 2, 24 : 24 = 1


,⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3 3 6 18 7 7 3 21 11 11 2 22 7 7 1 7= = , = = = = , = =

4 4 6 24 8 8 3 24 12 12 2 24 24 24 1 24

Θα μετατρέψουμε το μεικτό σε κλάσμα.

Έχουμε: ⋅

⋅+ 2 (2 6) + 2 12 + 2 14

2 = = =6 6 6 6

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω έχουμε:

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

3 7 11 7 2+ + + - 2

4 8 12 24 6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

18 21 22 7 14+ + + - =

24 24 24 24 6

18 + 21+ 22 + 7 14= - =

24 668 14

-24 6

Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα παίρνοντας τα πολλαπλάσια των παρονομα-στών.

Π24 : 0, 24 , 48, ...

Π6 : 0, 6, 12, 18, 24 , 30, ...

Άρα Ε.Κ.Π. (24, 6) = 24

Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές

24 : 24 = 1 και 24 : 6 = 4


Είναι: ⋅

⋅

68 68 1 68= =

24 24 1 24,

⋅

⋅

14 14 4 56= =

6 6 4 24




33

Οπότε έχουμε: 68 56 12

- =24 24 24


απλοποιείται. Θα πάρουμε τους διαιρέτες του 12 και του 24.

Δ12 : 0, 2, 3, 4, 6, 12

Δ24 : 0, 2, 3, 4, 6, 8, 12 , 24

Άρα Μ.Κ.Δ. (12, 24) = 12

Έχουμε: 12 12 : 12 1

= =24 24 : 12 2

, ανάγωγο.




Προβλήματ

α

Πρόβλημα 1ο

Ποιο είναι το συνολικό βάρος που μεταφέρει το φορητό υπολογιστή του που ζυγίζει 425

κιλά, μια επιπλέον μπαταρία βάρους 14

κιλά και την τσάντα του που ζυγίζει

16

κιλά; Να λύσεις το πρόβλημα με αριθμητική παράσταση.

λύση

ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

Πρώτα θα καταστρώσουμε την αριθμητική παρά-σταση.

Θα μετατρέψουμε το μεικτό αριθμό σε κλάσμα.

Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα.

Θα εκτελέσουμε την πρόσθεση.

Για να καταστρώσουμε την αριθμητική παράσταση, αρκεί να προσθέσουμε το μεικτό αριθμό και τα κλάσματα.

Έχουμε: 4 1 1

2 + +5 4 6

Μετατρέπουμε το μεικτό αριθμό σε κλάσμα

⋅

⋅+ 4 (2 5) + 4 10 + 4 14

2 = = =5 5 5 5

Η παράσταση γίνεται:




35

14 1 1+ +

5 4 6

Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια του 5, του 4 και του 6.

Π5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, ...

Π4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 52, 56, 60, ...

Π6 : 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...

Άρα Ε.Κ.Π. (5, 4, 6) = 60.

Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές.

60 : 5 = 12, 60 : 4 = 15, 60 : 10 = 6


⋅

⋅

14 14 12 168= =

5 5 12 60,

⋅

⋅

1 1 15 15= =

4 4 15 60,

⋅

⋅

1 1 10 10= =

6 6 10 60

Τώρα μπορούμε να προσθέσουμε τα κλάσματα:

168 15 10 168 +15 +10 193+ + = =

60 60 60 60 60

Μπορούμε να μετατρέψουμε το αποτέλεσμα σε μεικτό εφόσον ο αριθμητής είναι μεγα-λύτερος από τον παρονομαστή.

Είναι: 193 60 60 60 13 13

= + + + = 360 60 60 60 60 60

Απάντηση: Το συνολικό βάρος είναι: 13

360

.


Σε πολυσύχναστο χιονοδρομικό κέντρο μια συγκεκριμένη μέρα τα 415

των α-

θλούμενων είναι γυναίκες, τα 25

παιδιά και το 13

άντρες. Οι γυναίκες, οι άντρες ή

τα παιδιά ήταν περισσότερα;

λύση




ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

Θα πρέπει να συγκρίνουμε τα κλάσματα, εφόσον τα κάνουμε ομώνυμα.

Θα κάνουμε τα κλάσματα 4 2 1

, και15 5 3

ομώνυμα.


Π15 : 0, 15 , 30, 45, ...

Π5 : 0, 5, 10, 15 , 20, 25, ...

Π3 : 0, 3, 6, 9, 12, 15 , 18, 21, ...

Άρα Ε.Κ.Π. (15, 5, 3) = 15


15 : 15 = 1, 15 : 5 = 3 και 15 : 3 = 5


⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

4 4 1 4 2 2 3 6 1 1 5 5= = , = = , = =

15 15 1 15 5 5 3 15 3 3 5 15

Μπορούμε να συγκρίνουμε τα κλάσματα.

4 6 5, ,

15 15 15

Για να συγκρίνουμε ομώνυμα κλά-σματα συγκρίνουμε τους αριθμητές. Το κλάσμα με τον μεγαλύτερο α-ριθμητή είναι το μεγαλύτερο.




37

Η διάταξη κατά αύξουσα σειρά είναι η εξής:

4 5 6 4 1 2< < δηλαδή < <

15 15 15 15 3 5

Απάντηση: Περισσότερα είναι τα παιδιά.


Κόψτε 3 κάρτες με τους αριθμούς 1, 2 και 4 όπως αυτές που απεικονίζονται στο διπλανό σχήμα 1 2 4

Χρησιμοποιώντας όλες τις κάρτες και το μολύβι σου για γραμμή του κλάσματος ε-πάνω στο θρανίο να σχηματίσετε με την ομάδα σας τα εξής:

• Το μικρότερο δυνατό κλάσμα ................................................................................... • Το μεγαλύτερο δυνατό κλάσμα ................................................................................

• Ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 13

.............................................................................

• Ένα κλάσμα ισοδύναμο με 3 ....................................................................................

λύση

ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

Το μικρότερο δυνατό κλάσμα είναι αυτό που έχει όσο το δυνατό μικρότερο αριθμητή και όσο το δυνα-τό μεγαλύτερο παρονομαστή.

Το μεγαλύτερο δυνατό κλάσμα είναι αυτό που έχει όσο το δυνατό μεγαλύτερο αριθμητή και όσο το δυ-νατό μικρότερο παρονομαστή.

Για να είναι ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 1

3 πρέ-

πει ο παρονομαστής να είναι 3 φορές μεγαλύτερος από τον αριθμητή.

Για να είναι ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 3, πρέπει ο αριθμητής να είναι 3 φορές μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.




• Για να δημιουργήσουμε το μικρότερο δυνατό κλάσμα αρκεί να βάλουμε αριθμητή τον μικρότερο αριθμό, το 1 και σαν παρονομαστή τον μεγαλύτερο δυνατό συνδυα-σμό, που είναι το 42.

Άρα το μικρότερο δυνατό κλάσμα είναι το 1

42.

• Για να δημιουργήσουμε το μεγαλύτερο δυνατό κλάσμα αρκεί να βάλουμε αριθμητή τον μεγαλύτερο συνδυασμό, δηλαδή το 42 ενώ σαν παρονομαστή το μικρότερο α-ριθμό, δηλαδή το 1.

Άρα το μεγαλύτερο δυνατό κλάσμα είναι το 421

.

• Για να δημιουργήσουμε ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 13

θα πρέπει να έχουμε πα-

ρονομαστή έναν αριθμό, 3 φορές μεγαλύτερο από τον αριθμητή.

Π.χ. 1 4 = 4 και 3 4 = 12.

Άρα ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 13

είναι το 4

12.

• Για να δημιουργήσουμε ένα κλάσμα ισοδύναμο με 3, δηλαδή 31

, θα πρέπει να έ-

χουμε αριθμητή έναν αριθμό 3 φορές μεγαλύτερο από τον παρονομαστή.

Δηλαδή 3 4 = 12 και 1 4 = 4.

Άρα ένα κλάσμα ισοδύναμο με 3 είναι το 124

.




39

Σε μία εκπαιδευτική εκδρομή τα παιδιά της Στ΄ τάξης επισκέφτηκαν ένα κατάστη-μα με κατοικίδια ζώα και πουλιά. Μόλις μπήκαν στο κατάστημα ο ιδιοκτήτης τους είπε:

– Παιδιά βοηθήστε με. Πριν από λίγο ήρθε ένας πελάτης, ο οποίος μου παρήγγειλε να του ετοιμάσω ένα πλήρες ενυδρείο και μου άφησε έναν κατάλογο με τα ψάρια που θέλει.

– Πού είναι η δυσκολία; ρώτησαν τα παιδιά.

– Να, ετοίμασα το ενυδρείο, αλλά, όταν πήγα να διαλέξω τα ψάρια απελπίστηκα.

– Εδώ είναι το χαρτί με τα ψάρια που θέλει ο πελάτης. Απάντησε ο καταστημα-τάρχης. Τα παιδιά ξαφνιάστηκαν όταν είδαν τον κατάλογο. Είναι δυνατόν να ζητάει ο πε-λάτης κλάσμα ψαριού; Αφού το σκέφτηκαν λίγο, ο Κώ-στας, ο Θωμάς και ο Δημήτρης ρώτησαν:

– Πόσα ψάρια χωράει το ενυδρείο που παρήγγειλε ο πελάτης;

– Είκοσι, απάντησε ο καταστηματάρχης.

– Το βρήκαμε! Είπαν τότε οι τρεις φίλοι.

Τι βρήκαν;

Συμπλήρωσε τον πίνακα:

Είδος ψαριού Κλάσμα στο χαρτί Αριθμός ψαριών Τι σκέφτηκα για

να το βρω

Χρυσόψαρο

Ψάρια

1 χρυσόψαρα5

1 μαύρες ρίγες4

3 κόκκινα μαύρα10




Ψάρι με μαύρες ρίγες

Κόκκινο ψάρι

Μαύρο ψάρι

λύση

ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και μάλιστα με παρονομαστή το 20 επειδή 20 είναι όλα τα ψάρια και θα τα προσθέσουμε.

Από το 20 θα αφαιρέσουμε το παραπάνω αποτέ-λεσμα.

Έχουμε τα κλάσματα 1 1 3

, και5 4 10

. Θα τα κάνουμε ομώνυμα με παρονομαστή το 20

επειδή είναι ο συνολικός αριθμός των ψαριών.

Είναι: ⋅

⋅

1 1 4 4= =

5 5 4 20 (Πολλαπλασιάζουμε με το 4 τους όρους

του κλάσματος)

⋅

⋅

1 1 5 5= =



⋅

⋅

3 3 2 6= =



Προσθέτουμε τα κλάσματα και έχουμε:

4 5 6 4 + 5 + 6 15+ + = =

20 20 20 20 20

Το σύνολο των ψαριών είναι 2020

. Άρα θα αφαιρέσουμε το σύνολο από το άθροισμα

των ψαριών που έχουμε.




41

Είναι: 20 15 5

- =20 20 20

Άρα τα μαύρα ψάρια είναι τα 520

δηλαδή 5.

Είδος ψαριού Κλάσμα στο

χαρτί

Αριθμός ψα-

ριών

Τι σκέφτηκα για να το βρω

Χρυσόψαρο 1

5

4 Πολλαπλασιάσαμε τους όρους

του κλάσματος με το 4.

Ψάρι με μαύρες ρί-

γες

1

4



Κόκκινο ψάρι 3

10



Μαύρο ψάρι – 5 Αφαιρέσαμε από το 20

20 το

15

20




• Ποια ασυνήθιστα κατοικίδια ζώα γνωρίζεις;

• Τι μας προσφέρουν τα κατοικίδια;

Απάντηση

• Ασυνήθιστα κατοικίδια ζώα είναι τα ερπετά. Δηλαδή τα φίδια, οι σαύρες, οι χελώνες, τα ποντίκια, σπάνια πουλιά κ.λπ.

• Με το να έχουμε κατοικίδια γινόμαστε πιο υπεύθυνοι και πιο πειθαρχημένοι άνθρω-ποι εφόσον τα ζώα χρειάζονται τη φροντίδα μας. Ουσιαστικά εξαρτώνται από εμάς. Βέβαια οι άνθρωποι εξοικειώνονται με τα ζώα και παίρνουν κι άλλες πληροφορίες για τα όντα της φύσης.




43

Λυμένες ασκήσεις

εκτόςβιβλίου

Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο

μπουκάλι χώρεσε το 15

του βαρελιού, ενώ το δεύτερο χώρεσε το 0,3 του βα-

ρελιού. Άδειασε όλο το βαρέλι στα μπουκάλια ή του περίσσεψε για να γεμίσει κι άλλα μπουκάλια;

λύση

ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

Στο πρόβλημα έχουμε αριθμούς που δεν είναι στην ίδια μορ-φή.

Θα μετατρέψουμε τους αριθμούς στην ίδια μορφή.

Για να βρούμε πόσο κρασί έβαλε στα μπουκάλια θα κά-

νουμε πρόσθεση.

Για να βρούμε αν του έμεινε κι άλλο κρασί θα αφαιρέσου-

με την «ακέραιη μονάδα» το προηγούμενο αποτέλεσμα.

Μετατροπή των αριθμών στην ίδια μορφή θα μετατρέψουμε το δεκαδικό σε κλάσμα. Το 0,3 θεωρείται κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα.

Έχουμε 0,31

. Θα πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με

το 5 ώστε να δημιουργήσουμε κατευθείαν ομώνυμο κλάσμα με το 15

.

Είναι: ⋅

⋅

0,3 0,3 5 1,5= =

1 1 5 5




Τα κλάσματα 1,5 1

και5 5

είναι ομώνυμα, οπότε μπορούμε να τα προσθέσου-

με.

Έχουμε: 1,5 1 1,5 +1 2,5

+ = =5 5 5 5

Θα αφαιρέσουμε από την «ακέραιη μονάδα» δηλαδή το 5 2,5με το

5 5 για να

βρούμε πόσο κρασί έχει ακόμη το βαρέλι.

Είναι: 5 2,5 2,5

- =5 5 5

Απάντηση: Το βαρέλι έχει ακόμα 2,55

κρασί. Άρα έχει γεμίσει το μισό βαρέλι

σε μπουκάλια και του μένει να γεμίσει το άλλο μισό (επειδή 2,5 1

= = 0,55 2

).

Να γίνουν οι πράξεις: 8 16+ +5 5 5

.

λύση

ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

Τα κλάσματα είναι ομώνυμα, αρκεί να προσθέσουμε τους α-ριθμητές και να αφήσουμε παρονομαστή τον ίδιο.

Είναι: 8 6 1 8 + 6 +1 15

+ + = =5 5 5 5 5


μπορεί να απλοποιηθεί. Θα πάρουμε τους διαιρέτες των όρων

του κλάσματος.




45

Δ15 : 0, 3, 5 , 15

Δ5 : 0, 5

Άρα Μ.Κ.Δ. (15, 5) = 5

Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον Μ.Κ.Δ.

Έχουμε: 15 15 : 5 3

= = = 35 5 : 5 1

Να υπολογιστούν τα κλάσματα 14 2-20 10

.

λύση

ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

Για να κάνουμε την αφαίρεση των κλασμάτων πρέπει να κάνου-με τα κλάσματα ομώνυμα. Οπότε θα αφαιρέσουμε τους αριθμη-τές και παρονομαστή θα αφήσουμε τον ίδιο.

Έχουμε 14 2

-20 10

Θα βρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών.


Π20 : 0, 20 , 40, 60, ...

Π10 : 0, 10, 20 , 30, 40, ...

Άρα Ε.Κ.Π. (20, 10) = 20

Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές

20 : 20 = 1 και 20 : 10 = 2





Είναι: ⋅

⋅

14 14 1 14= =

20 20 1 20,

⋅

⋅

2 2 2 4= =

10 10 2 20


και20 20

είναι ομώνυμα. Μπορούμε να τα αφαιρέσουμε.

Έχουμε: 14 4 14 - 4 10

- = =20 20 20 20


απλοποιείται. Θα πάρουμε τους διαιρέτες των όρων του.

Δ10 : 0, 2, 5, 10

Δ20 : 0, 2, 4, 5, 10 , 20

Άρα Μ.Κ.Δ. (10, 20) = 10.


Είναι: 10 10 : 10 1

= =20 20 : 10 2

Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις:

α) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4 3 7 2+ + -8 8 8 4

β) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 6 52 - +5 10 20

λύση

ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

Πρώτα θα εκτελέσουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση και

έπειτα θα κάνουμε την πρόσθεση και την αφαίρεση αντίστοι-

χα σε κάθε άσκηση.




47

α) ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 3 7 2+ + -

8 8 8 4 Μέσα στην παρένθεση τα κλάσματα

είναι ομώνυμα.

4 + 3 + 7 2= - =

8 4 Προσθέτουμε τους αριθμητές και α-

φήνουμε τον ίδιο παρονομαστή.

14 2= -

8 4 Τα κλάσματα δεν είναι ομώνυμα. Θα

τα κάνουμε με το Ε.Κ.Π.

Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών

Π8 : 0, 8 , 16, 24, ...

Π4 : 0, 4, 8 , 12, 16, ...

Άρα Ε.Κ.Π. (8, 4) = 8.

Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με κάθε παρονομαστή.

8 : 8 = 1 και 8 : 4 = 2

Πολλαπλασιάζουμε τους όρους με τα αντίστοιχα πηλίκα.

⋅ ⋅

⋅ ⋅

14 14 1 14 2 2 2 4= = , = =

8 8 1 8 4 4 2 8

Άρα έχουμε 14 4 14 - 4 10

- = =8 8 8 8


απλοποιείται. Θα πάρουμε τους διαιρέτες των όρων του.

Δ10 : 0, 2 , 5, 10

Δ8 : 0, 1, 2 , 4, 8

Άρα Μ.Κ.Δ. (10, 8) = 2.


Είναι: 10 10 : 2 5

= =8 8 : 2 4

, ανάγωγο κλάσμα.

β)

⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

uur

su

+3 6 5

2 - + :5 10 20

Μέσα στην παρένθεση θα μετατρέψουμε το μεικτό σε κλάσμα




( )⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2×5 + 3 6 5= - +

5 10 20 Κάνουμε πράξεις

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

10 +3 6 5= - +

5 10 20 Κάνουμε πράξεις

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

13 6 5= - +

5 10 20 Μέσα στην παρένθεση θα κάνουμε ομώνυμα

τα κλάσματα. Ε. Κ.Π. (5,10) =10

⋅ ⋅

⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

13 2 6 1 5= - +

5 2 10 1 20 Κάνουμε πράξεις

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

26 6 5= - +

10 10 20 Αφαιρούμε τους αριθμητές και παρανομαστή

αφήνουμε τον ίδιο

⋅ ⋅

⋅ ⋅

20 2 5 1= +

10 2 20 1 Πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα με το 2 και το

1 ώστε να προκύψουν ομώνυμα

40 5= +

20 20 Προσθέτουμε τους αριθμητές και παρανομα-

στή αφήνουμε τον ίδιο

45=

20 Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με το 5,

ώστε να γίνει ανάγωγο

=45 : 5 9

=20 : 5 4

Ο Μανώλης φύτεψε στον κήπο τους 35

τριανταφυλλιές ροζ. Ο Μπάμπης

φύτεψε 2 124

τριανταφυλλιές άσπρες. Η Δέσποινα φύτεψε 0,2 τριαντα-

φυλλιές κόκκινες. Πόσες τριανταφυλλιές φύτεψαν και τα 3 παιδιά μαζί;

λύση




49

Θα μετατρέψουμε τους αριθμούς του προβλήματος στην ίδια μορφή.

Θα προσθέσουμε τους αριθμούς που θα προκύψουν.

Θα μετατρέψουμε τον μεικτό και τον δεκαδικό σε κλάσμα.

⋅

⋅+ 1 (22 4)+1 88 +1 89

22 = = =4 4 4 4

Το δεκαδικό 0,2 θα τον κάνουμε κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα. Θα πολλαπλασιάσουμε τους όρους του με το 5 ώστε να γίνουν ομώνυμα με το 35

.

Είναι: ⋅

⋅

0,2 0,2 5 1= =

1 1 5 5

Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα ώστε να τα προσθέσουμε:

Έχουμε: 9 3 1

+ +4 5 5


Π4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20 , 24, ...

Π5 : 0, 5, 10, 15, 20 , 25, ...

Άρα Ε.Κ.Π. (4, 5, 5) = 20


20 : 4 = 5 και 20 : 5 = 4

Πολλαπλασιάζουμε τους όρους με τα αντίστοιχα πηλίκα.

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

9 9 5 45 3 3 4 12 1 1 4 4= = , = = , = =

4 4 5 20 5 5 4 20 5 5 4 20




Προσθέτουμε τα κλάσματα:

45 12 4 45 +12 + 4 61

+ + = =20 20 20 20 20

Απάντηση: Τα παιδιά φύτεψαν τα 6120

.




51

1. Να γίνουν οι πράξεις: 2 3 5 1+ + +7 7 7 7

.

2. Να υπολογιστούν τα κλάσματα: 35 15-10 5

.

3. Να υπολογιστεί η παράσταση:

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4 2 5 2+ + -11 11 11 33

4. Η κ. Φωτεινή αγόρασε μέλι και γέμισε 3 βαζάκια. Το πρώτο βαζάκι χώρε-

σε τα 26

, το δεύτερο το 14

και το τρίτο τα 212

. Περίσσεψε καθόλου μέ-

λι;

5. Ο Ηλίας έφαγε τα 415

από το γλυκό του ταψιού που έκανε η μαμά του. Η

αδελφή του έφαγε τα 0,4 του γλυκού. Πόσο γλυκό περίσσεψε για τους γο-νείς τους;




Απαντήσεις των άλυτων ασκήσεων

1. 11

7

2. 5 1=

10 2

3. 3133

4. Περίσσεψαν τα 3

12 από το μέλι που αγόρασε.

5. Έμειναν για τους γονείς τους τα 5

15 του γλυκού.

6Η ΜΑΘ 23 - to-frontistirio.grΠαίρνουμε τα πολλαπλάσια των...

Documents

Transcript of 6Η ΜΑΘ 23 - to-frontistirio.grΠαίρνουμε τα πολλαπλάσια των...