Μαθηματικά Ε΄ 6.38. ΄΄ Κοινά πολλαπλάσια, Ε.Κ.Π. ΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής

Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 6 - Κεφάλαιο 38

΄΄ Κοινά πολλαπλάσια, Ε.Κ.Π. ΄΄

http://e-taksh.blogspot.gr

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού ονομάζονται οι αριθμοί που προκύπτουν όταν

τον πολλαπλασιάσουμε με άλλους φυσικούς αριθμούς.

Τι είναι τα πολλαπλάσια ;

Πώς τα βρίσκουμε;

Μπορούμε να βρούμε τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού, πολλαπλασιάζοντάς τον

διαδοχικά με το 1 , 2, 3 , 4 , 5 … 1.000 ….

Τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού είναι άπειρα , διότι άπειροι είναι και οι αριθμοί με

τους οποίους μπορώ να τον πολλαπλασιάσω.

Ποια είναι τα κοινά πολλαπλάσια;

Παράδειγμα

Π3 = 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18, ……

Π5 = 0 , 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , …..


Κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών είναι τα πολλαπλάσια

που είναι ίδια(κοινά) σε όλους τους αριθμούς.

Τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών είναι άπειρα.


Π3 =0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36…

Π4 = 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36 …

Οι αριθμοί 0 , 12 , 24 , 36 είναι πολλαπλάσιακαι του 3 και του 4.

Είναι τα κοινά πολλαπλάσια (Κ.Π.) του 3 και του 4.

Επομένως:

Κ.Π. (3,4)= 0 , 12 , 24 , 36 …..48 ..

Τι είναι το Ε.Κ.Π. ;

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών

ονομάζω τομικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών, όχι όμως το

μηδέν.


Π3 =0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36…

Π4 = 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36 …

Κ.Π. (3,4)= 0 , 12 , 24 , 36 …..48 ..

Ε.Κ.Π. (3,4) = 12


ΤΡΟΠΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΤΟΥ Ε.Κ.Π.

1ος Τρόπος

Γράφουμε όλα τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού με τη σειρά και βρίσκουμε το

μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσιά τους.


Π3 =0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36…

Π4 = 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36 …

Κ.Π. (3,4)= 0 , 12 , 24 , 36 …..48 ..

Ε.Κ.Π. (3,4) = 12

2ος Τρόπος

Με πολλαπλάσια του μεγαλύτερου αριθμού

Επιλέγουμε το μεγαλύτερο από τους αριθμούς και εξετάζουμε αν διαιρείται

ακριβώς από όλους τους άλλους.

Αν διαιρείται με όλους, τότε είναι αυτός το Ε.Κ.Π.

Αν δε διαιρείται τότε τον διπλασιάζουμε , τριπλασιάζουμε,

τετραπλασιάζουμε κτλ μέχρι να βρούμε τον αριθμό που διαιρείται ακριβώς από

τους άλλους.

Αυτός ο αριθμός θα είναι το Ε.Κ.Π. τους.

Παράδειγμα:

Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. (16, 24 , 36)

Μεγαλύτερος είναι το 36.

Δε διαιρείται με το 16 ούτε με το 24.

Διπλασιάζω το 36 → 36χ2=72

Το 72 διαιρείται με το 24 (3χ24=72) , όχι όμως και με το 16.

Τριπλασιάζω το 36 → 36χ3=108

Το 108 δε διαιρείται με το 16 ούτε με το 24.

Τετραπλασιάζω το 36 → 36χ4=144

Το 144 διαιρείται και με το 16 και με το 24.

Επομένως το 144 είναι το Ε.Κ.Π.

Άρα Ε.Κ.Π. (16,24,36) = 144


3ος Τρόπος

Με διαδοχικές διαιρέσεις.

Γράφω οριζόντια τους αριθμούς και δεξιά τους φέρνω μια κατακόρυφη γραμμή .

Δεξιά της γραμμής γράφω πρώτους αριθμούς

(2,3,5,7,11…) που διαιρούν έστω και έναν από τους αριθμούς που έχουν δοθεί.

Τότε αριστερά της γραμμής, κάτω από τους

αριθμούς που έχουν δοθεί, βάζω τα πηλίκα(όταν η διαίρεση είναι τέλεια) ή τον ίδιο

αριθμό(όταν η διαίρεση δεν είναι τέλεια).

Συνεχίζω την ίδια διαδικασία μέχρι όλα τα πηλίκα να γίνουν 1,

οπότε το Ε.Κ.Π. είναι το γινόμενο των πρώτων παραγόντων δεξιά της

γραμμής.


Δημιουργία υλικού: Παύλος Κώτσης (Δάσκαλος)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38

ΚΟΙΝΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ – Ε.Κ.Π.

Σειρά μου να ρωτάω τώρα που

ασχολούμαστε πάλι με αριθμούς.

Αν και το γνωρίζω, πες μου κατ’

αρχήν τι εννοούμε όταν μιλάμε για

πολλαπλάσια ενός αριθμού;

Για παράδειγμα, τα πολλαπλάσια του αριθμού 5 είναι τα εξής:

5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , 60 , 65 , 70 , ..........

Όπως καταλαβαίνεις, τα πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι άπειρα !

Καλώς την και πάλι! Σιγά τα δύσκολα! Λοιπόν...

Πολλαπλάσια ενός αριθμού λέμε τους αριθμούς που είναι πολλές φορές μεγαλύτεροι από τον αρχικό αριθμό.

Με πολύ απλά λόγια, πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι οι αριθμοί που ανήκουν στην προπαίδειά του.

Και το Ε. Κ. Π. πάλι,

τι είναι; Αν πάρεις μερικούς αριθμούς και βρεις τα πολλαπλάσιά τους, θα διαπιστώσεις ότι, γι αυτούς τους αρχικούς αριθμούς, υπάρχουν κάποια πολλαπλάσια που είναι ίδια (κοινά).

Αν από αυτά τα κοινά πολλαπλάσια, πάρουμε μόνο το μικρότερο, τότε λέμε ότι έχουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών αριθμών. Για συντομία, το συμβολίζουμε Ε. Κ. Π. , από τα αρχικά των λέξεων.

Λέμε, για παράδειγμα, ότι το ελάχιστο κοινό από τα

πολλαπλάσια των αριθμών 2 και 3 είναι ο αριθμός 6.

Αυτό το γράφουμε ως εξής:

Ε. Κ. Π. (2, 3) = 6


Xristos

Πλαίσιο κειμένου

Παύλος Κώτσης

Δημιουργία υλικού: Παύλος Κώτσης (Δάσκαλος)

Πώς μπορούμε να

υπολογίσουμε το Ε.Κ.Π.

κάποιων αριθμών;

Υπάρχουν αρκετοί τρόποι να υπολογίσουμε το Ε.Κ.Π. δύο ή και περισσότερων αριθμών. Οι απλούστεροι είναι οι εξής:

1. Βρίσκουμε χωριστά τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού. Σε αυτά τα πολλαπλάσια εντοπίζουμε όσα είναι κοινά. Επιλέγουμε το μικρότερο από τα κοινά και αυτό θα είναι το Ε.Κ.Π.

2. Επιλέγουμε το μεγαλύτερο από τους αρχικούς αριθμούς και ελέγχουμε αν είναι πολλαπλάσιο και των υπόλοιπων. Αν είναι, τότε αυτός θα είναι και το Ε.Κ.Π. Αν όχι τον διπλασιάζουμε και ελέγχουμε πάλι με τον ίδιο τρόπο. Αν και πάλι δεν είναι πολλαπλάσιο όλων των άλλων, τον τριπλασιάζουμε και ελέγχουμε ξανά. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία όσες φορές χρειαστεί.

Παράδειγμα υπολογισμού του Ε.Κ.Π. με τον πρώτο τρόπο:

Θέλουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 5 και 6:

Πολλαπλάσια του 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, ......

Πολλαπλάσια του 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ......

Κοινά πολλαπλάσια και του 5 και του 6: 30, 60, .......

Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια είναι το 30. Άρα, Ε.Κ.Π. (5, 6) = 30

Παράδειγμα υπολογισμού του Ε.Κ.Π. με τον δεύτερο τρόπο:

Θέλουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 2 , 5 και 6:

Παίρνουμε τον μεγαλύτερο, δηλαδή το 6. Ελέγχουμε, αν είναι πολλαπλάσιο και των άλλων δύο. Είναι πολλαπλάσιο του 2 αλλά όχι του 5. Συνεπώς δεν είναι το Ε.Κ.Π.

Διπλασιάζουμε το 6 και γίνεται 12. Ελέγχουμε πάλι αν είναι πολλαπλάσιο και των άλλων δύο. Είναι πολλαπλάσιο του 2 αλλά όχι του 5. Συνεπώς ούτε το 12 είναι το Ε.Κ.Π.

Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία, θα διαπιστώσουμε κάποια στιγμή πως όταν πενταπλασιάσουμε το 6 και γίνει 30 τότε αυτός ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο και του 2 και του 5. Άρα λέμε πως Ε.Κ.Π (2, 5, 6) = 30

Πολύ εύκολα έτσι; Σήμερα νιώθω πολύ

έξυπνος και πολύ τυχερός. Νιώθω πως θα μου

συμβεί κάτι καλό !!!


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ – Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο)

ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟ Ε.Κ.Π.

Α΄ τρόπος α. Βρίσκουμε μερικά πολλαπλάσια των αριθμών.

β. Σημειώνουμε τα κοινά πολλαπλάσιά τους.

γ. Επιλέγουμε το μικρότερο από αυτά.

Β΄ τρόπος Παίρνουμε τον μεγαλύτερο αριθμό. Εξετάζουμε αν είναι πολλαπλάσιο

ταυτόχρονα των άλλων. Εάν είναι, αυτός είναι και το Ε.Κ.Π. Εάν δεν

είναι, παίρνουμε τον διπλάσιό του και εξετάζουμε το ίδιο πράγμα. Εάν

δεν είναι και πάλι πολλαπλάσιο των άλλων, παίρνουμε τον τριπλάσιό του

και ελέγχουμε ξανά. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο, μέχρι να βρούμε ένα

πολλαπλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού που να είναι πολλαπλάσιο

ταυτόχρονα και των άλλων αριθμών. Αυτό θα είναι και το Ε.Κ.Π.

Παράδειγμα: Θέλουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 2, 3 και 4.

α. Παίρνουμε το 4. Είναι πολλαπλάσιο του 2, αλλά όχι και του 3.

β. Παίρνουμε το διπλάσιο του 4, το 8. Είναι πολλαπλάσιο του 2, αλλά όχι

και του 3.

γ. Παίρνουμε το τριπλάσιο του 4, το 12. Αυτό είναι πολλαπλάσιο και του

2 και του 3.

Άρα: Ε.Κ.Π. (2, 3, 4) = 12.


Γ΄ τρόπος Παράδειγμα: Θέλουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 4, 6, 12 και 20.

o Γράφουμε τους αριθμούς στην ίδια σειρά. Δεξιά από τον τελευταίο

τραβάμε μία κατακόρυφη γραμμή.

o Εξετάζουμε αν ένας τουλάχιστον αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2,

και γράφουμε το 2 δεξιά της γραμμής.

(Αν δεν διαιρείται κανείς, πάμε στο 3, αν δεν διαιρείται πάλι κανείς

πάμε στο 5, μετά στο 7, στο 11, …)

Στο παράδειγμά μας όλοι διαιρούνται με το 2, έτσι το γράφουμε στα

δεξιά και κάτω από το 4, το 6, το 12 και το 20 γράφουμε τα πηλίκα

της διαίρεσης κάθε φορά.

(Αν κάποιος αριθμός δεν διαιρείται ακριβώς με το 2, τον ξαναγράφουμε

από κάτω τον ίδιον.)

o Στην δεύτερη γραμμή που βρήκαμε, υπάρχουν πάλι αριθμοί που

διαιρούνται ακριβώς με το 2. Κάνουμε το ίδιο με τα προηγούμενα.

o Στην τρίτη γραμμή δεν υπάρχει αριθμός που να διαιρείται με το 2,

αλλά υπάρχουν αριθμοί που διαιρούνται με το 3. Γράφουμε το 3 στα

δεξιά και κάνουμε ό,τι και με το 2.

(Όπου υπάρχει το 1, απλώς το ξαναγράφουμε.)

o Στην τέταρτη γραμμή δεν υπάρχει αριθμός που να διαιρείται με το 3,

υπάρχει όμως αριθμός που διαιρείται ακριβώς με το 5. Γράφουμε το 5

στα δεξιά και κάνουμε ό,τι και προηγουμένως.

o Έτσι καταλήγουμε σε μία νέα γραμμή, όπου όλοι οι αριθμοί είναι

μονάδες (το 1), που σημαίναι πως τελειώσαμε τους υπολογισμούς.

o Παίρνουμε τότε τους αριθμούς που βάλαμε δεξιά (το 2, το 2, το 3 και

το 5) και τους πολλαπλασιάζουμε. Το γινόμενό τους είναι το Ε.Κ.Π.

Δηλαδή: Ε.Κ.Π. (4, 6, 12, 20) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Ο τρίτος τρόπος, σχηματικά:


https://etaksi2011.files.wordpress.com/2012/04/snap8.jpg


Xristos


velipsi

Παρουσίαση :Βελισσάριος Κ. ΨυχογυιόςΔάσκαλος


Για να βρούμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσότερων αριθμών: 1. Υπολογίζουμε μερικά πολλαπλάσιά τους. 2. Βρίσκουμε τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών. 3. Επιλέγουμε το μικρότερο από αυτά. Αυτός ο αριθμός είναι το Ε.Κ.Π. των αριθμών.

Ο Γιάννης με την οικογένειά του ταξίδευαν σε αυτό το τμήμα της Εγνατίας. Στο 33ο χμ. από την Καβάλα έσκασε ένα λάστιχο του αυτοκινήτου. Σε πόσα χιλιόμετρα θα βρουν χώρο στάθμευσης που να έχει και τηλεφωνικό θάλαμο μαζί, για να ζητήσουν βοήθεια;

Αν ήθελαν να βρουν και Σ.Ε.Α., σε πόσα χιλιόμετρα θα τα έβρισκαν όλα;

Ποια είναι η μεγαλύτερη απόσταση που πρέπει να διανύσει κάποιος για να βρει χώρο

στάθμευσης; ...........................

Εργασία Συμπληρώνω τα πολλαπλάσια των αριθμών 2 και 5, μέχρι το 30. Πολλαπλάσια Κοινά Πολλαπλάσια του 2 πολλαπλάσια του 5

...... ...... ...... ...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......

Ποια είναι τα Κ.Π. των αριθμών 2 και 5; .......................... Ποιο είναι το Ε.Κ.Π. των αριθμών 2 και 5; .......................

Τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών είναι ατέλειωτα (άπειρα). Το Ε.Κ.Π. είναι μικρότερο (Ελάχιστο) από τα Κοινά Πολλαπλάσιά τους.

Συμπέρασμα


— σελ. 99 α —

β. μαθητή , σελ. 99 α

ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟ Ε.Κ.Π. Α΄ τρόπος α. Βρίσκουμε μερικά πολλαπλάσια των αριθμών. β. Σημειώνουμε τα κοινά πολλαπλάσιά τους. γ. Επιλέγουμε το μικρότερο από αυτά. Β΄ τρόπος Παίρνουμε τον μεγαλύτερο αριθμό. Εξετάζουμε αν είναι πολλαπλάσιο ταυτόχρονα των άλλων. Εάν είναι, αυτός είναι και το Ε.Κ.Π. Εάν δεν είναι, παίρνουμε τον διπλάσιό του και εξετάζουμε το ίδιο πράγμα. Εάν δεν είναι και πάλι πολλαπλάσιο των άλλων, παίρνουμε τον τριπλάσιό του και ελέγχουμε ξανά. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο, μέχρι να βρούμε ένα πολλαπλάσιο του μεγαλύ-τερου αριθμού που να είναι πολλαπλάσιο ταυτόχρονα και των άλλων αριθμών. Αυτό θα είναι και το Ε.Κ.Π.

Παράδειγμα: Θέλουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 2, 3 και 4. α. Παίρνουμε το 4. Είναι πολλαπλάσιο του 2, αλλά όχι και του 3. β. Παίρνουμε το διπλάσιο του 4, το 8. Είναι πολλαπλάσιο του 2, αλλά όχι και του 3. γ. Παίρνουμε το τριπλάσιο του 4, το 12. Αυτό είναι πολλαπλάσιο και του 2 και του 3. Άρα: Ε.Κ.Π. (2, 3, 4) = 12. Γ΄ τρόπος Παράδειγμα: Θέλουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 4, 6, 12 και 20.

Γράφουμε τους αριθμούς στην ίδια σειρά. Δεξιά από τον τελευταίο τραβάμε μία κατακόρυφη γραμμή.

Εξετάζουμε αν ένας τουλάχιστον αριθμός διαιρείται ακρι-βώς με το 2, και γράφουμε το 2 δεξιά της γραμμής. (Αν δεν διαιρείται κανείς, πάμε στο 3, αν δεν διαιρείται πά-λι κανείς πάμε στο 5, μετά στο 7, στο 11, ...) Στο παράδειγμά μας όλοι διαιρούνται με το 2, έτσι το γρά-φουμε στα δεξιά και κάτω από το 4, το 6, το 12 και το 20 γράφουμε τα πηλίκα της διαίρεσης κάθε φορά. (Αν κάποιος αριθμός δεν διαιρείται ακριβώς με το 2, τον ξαναγράφουμε από κάτω τον ίδιον.)

Στην δεύτερη γραμμή που βρήκαμε, υπάρχουν πάλι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς με το 2. Κάνουμε το ίδιο με τα προηγούμενα.

Στην τρίτη γραμμή δεν υπάρχει αριθμός που να διαιρείται με το 2, αλλά υπάρχουν αριθμοί που διαιρούνται με το 3. Γράφουμε το 3 στα δεξιά και κάνουμε ό,τι και με το 2. (Όπου υπάρχει το 1, απλώς το ξαναγράφουμε.)

Στην τέταρτη γραμμή δεν υπάρχει αριθμός που να διαιρείται με το 3, υπάρχει όμως αριθμός που διαιρείται ακριβώς με το 5. Γράφουμε το 5 στα δεξιά και κάνουμε ό,τι και προηγουμένως.

Έτσι καταλήγουμε σε μία νέα γραμμή, όπου όλοι οι αριθμοί είναι μονάδες (το 1), που σημαίναι πως τελειώσαμε τους υπολογισμούς.

Παίρνουμε τότε τους αριθμούς που βάλαμε δεξιά (το 2, το 2, το 3 και το 5) και τους πολλαπλα-σιάζουμε. Το γινόμενό τους είναι το Ε.Κ.Π.

Δηλαδή: Ε.Κ.Π. (4, 6, 12, 20) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

— σελ. 99 β —

4 6 12 20 2

2 3 6 10 2

1 3 3 5 3

1 1 1 5 5

1 1 1 1


ε.

α. Συμπληρώνω τους πίνακες των 15 πρώτων πολλαπλασίων του 2, του 3 και του 5. Π2: πολλαπλάσια του 2, Π3: πολλαπλάσια του 3, κλπ. Κ.Π.(2,3): κοινά πολλαπλάσια του 2 και του 3, κλπ.

Π 2 2 4 6

Π 3 3

Π.... 5 10 Κ.Π. (2, 3) = ....., ......, ......, ......, ......, κλπ. Ε.Κ.Π. (2, 3) = ......... Κ.Π. (2, 5) = ....., ......, ......, κλπ. Ε.Κ.Π. (2, 5) = ......... Κ.Π. (3, 5) = ....., ......, ......, κλπ. Ε.Κ.Π. (3, 5) = ......... Κ.Π. (2, 3, 5) = ....., (......), κλπ. Ε.Κ.Π. (2, 3, 5) = .......

β. Βρίσκω το λάθος, όπου υπάρχει , και το διαγράφω:

Κ.Π. (3, 5, 15) = 15, 30, 50, 60, 150, 196 Κ.Π. (10, 100, 1.000) = 1.000, 2.500, 4.000, 5.100

Ε.Κ.Π. (6, 8, 24) = 48 Ε.Κ.Π. (10, 50, 100) = 500

γ. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των αριθμών 2, 3 και 4, με δύο τρόπους.

I. Αναλυτικά (βρίσκοντας μερικά πολλαπλάσιά τους, μετά τα κοινά πολλαπλάσια, κλπ.). ΙΙ. Σύμφωνα με τον β΄ τρόπο της συμπληρωματικής σελίδας 2 του βιβλίου (σ. 99).

Ι. 2 : ............................................................................... Κ.Π. (2, 3, 4) =........................... 3 : ............................................................................... Ε.Κ.Π. (2, 3, 4) = .......................

4 : ...............................................................................

ΙΙ. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................

δ. Βρίσκω τρεις αριθμούς οι οποίοι έχουν Ε.Κ.Π. τον αριθμό 30.

Με τι κριτήρια θα τους επιλέξω;

............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Η δασκάλα της τάξης παίζει με τα παιδιά στο προαύλιο το παιχνίδι των σχηματισμών. Όταν χωρίζονται σε τριάδες, τετράδες ή εξάδες, δεν περισσεύει κανένα. Πόσα παιδιά μπορεί να είναι σε αυτήν την τάξη;

β. μαθητή , σελ. 99 β


στ.

4 5 2

Στον κεντρικό σταθμό υπεραστικών λεωφορείων όλα τα δρομολόγια ξεκινούν στις 6:00 π.μ. και σταματούν στις 10:00 μ.μ. (22:00). Το

λεωφορείο για την Σπάρτη φεύγει κάθε 4 ώρες, για το Αγρίνιο κάθε 8 ώρες και για την Πάτρα κάθε 2 ώρες. Πόσες φορές σε μια ημέρα θα συναντηθούν τα λεωφορεία και για τις τρεις πόλεις στην έξοδο του σταθμού συγχρόνως; ζ. Μπορούμε να κάνουμε τα τρία παρακάτω κλάσματα ομώνυμα, βρίσκοντας άλλα, ισοδύναμα με τα αρχικά, τα οποία θα έχουν ίδιους (κοινούς) παρονομαστές;

Αρχικά κλάσματα: 5

2, 4

3, 10

7

1. Ο κοινός παρονομαστής πρέπει να είναι κοινό πολλαπλάσιο και των τριών παρονομαστών. Για να μην βρούμε όμως κλάσματα με μεγάλους όρους, πρέπει να πάρουμε ως κοινό παρονομαστή το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. 2. Υπολογίζουμε το Ε.Κ.Π. του 5, του 4 και του 10. Βρίσκουμε ότι Ε.Κ.Π. (5, 4, 10) = 20 . 3. Βάζουμε «καπελάκια» πάνω από τα κλάσματα ( ). 4. Μέσα στα καπελάκια βάζουμε έναν αριθμό ο οποίος αν πολλαπλασιαστεί με τον παρονομαστή του κάθε κλάσματος, να μας δώσει το Ε.Κ.Π. Εννοείται πως σε κάθε καπελάκι μπαίνει διαφορετικός αριθμός.

Άρα: Πάνω από το 5

2μπαίνει το 4 (αφού 4 . 5 = 20),

πάνω από το 4

3 μπαίνει το 5 (αφού 5 . 4 = 20),

και πάνω από το10

7μπαίνει το 2 (αφού 2 . 10 = 20).

5. Έτσι, γράφουμε: 5

2, 4

3, 10

7

6. Κατόπιν πολλαπλασιάζουμε και αριθμητή και παρονομαστή κάθε κλάσματος με τον

αριθμό που είναι σε κάθε καπελάκι και παίρνουμε τα ισοδύναμα κλάσματα: 20

8, 20

15, 20

14,

τα οποία έχουν κοινό παρονομαστή (το 20) και μάλιστα τον μικρότερο από τους κοινούς παρονομαστές που θα μπορούσαμε να έχουμε (αφού το 20 είναι το Ε.Κ.Π. των 5, 4 και 10). η. Να κάνετε ομώνυμα τα κλάσματα:

i. 3

2, 5

3, 10

5, 15

5

ii. 2

1, 4

3, 8

2, 5

4

τ.εργ. σελ. 24


● Μπορούμε να βρούμε άλλα ισοδύναμα κλάσματα που να μην έχουν παρονομαστή το Ε.Κ.Π. των αρχικών παρονομαστών;

τ.εργ. σελ. 25



Xristos


Φώτης Τουλιόπουλος

ΤΑΞΗ: ΣΤ΄ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http://sites.google.com/site/scholarxeio ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: [email protected]) ___________

Τι είναι Ε.Κ.Π. και πώς το βρίσκουμε;

Πρώτα απ’ όλα τι είναι τα Πολλαπλάσια ενός αριθμού;

Απάντηση: Είναι οι αριθμοί που προκύπτουν (δημιουργούνται) όταν πολλαπλασιάσουμε το συγκεκριμένο αριθμό με οποιοδήποτε ακέραιο αριθμό. Παράδειγμα: Τα πολλαπλάσια του 4 είναι το 4, 8, 12, 16… (γιατί προκύπτουν όταν πολλαπλασιάσουμε το 4x1=4 4x2=8 4x3=12 4x4=16 Σημείωση: Τα πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι άπειρα… δηλαδή δεν έχουν τέλος!

Τι είναι τα Κοινά Πολλαπλάσια ενός αριθμού; Απάντηση: Κοινό πολλαπλάσιο (Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων αριθμών λέγεται κάθε ακέραιος, εκτός από το 0, που το συναντάμε κοινό στα πολλαπλάσια των δύο ή περισσοτέρων αριθμών. Παράδειγμα: Τα ΚΠ των αριθμών 2, 3, 6 φαίνονται από την παρακάτω έντονη γραφή: Π2 2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26…

Π3 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33…

Π6 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 …

Σημείωση: Τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών αυτών θα μπορούσανείναι άπειρα… δηλαδή δεν έχουν τέλος!

Τι είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο ενός αριθμού; Απάντηση: Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια κάποιων ακέραιων αριθμών λέγεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο(Ε.Κ.Π.). Παράδειγμα: Στην παραπάνω περίπτωση το μικρότερο κοινό τους πολλαπλάσιο είναι το 6. Έτσι γράφουμε: Ε.Κ.Π.(2,3,6)=6 Πώς μπορούμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. κάποιων αριθμών γρήγορα;

Ένας σύντομος και σχετικά εύκολο τρόπος να βρούμε το Ε.Κ.Π. είναι η μέθοδος των διαδοχικών διαιρέσεων (όπως ακριβώς την εφαρμόζουμε για την ανάλυση σύνθετων αριθμών σε γινόμενο πρώτων αριθμών-παραγόντων) Παράδειγμα: Ας βρούμε το Ε.Κ.Π. των 2,3,5,4 Α. Τοποθετούμε τους αριθμούς οριζόντια και χαράζουμε μια κατακόρυφη γραμμή στα δεξιά τους:

2 3 5 4


mailto:[email protected]

Β. Ξεκινάμε να διαιρούμε με τον μικρότερο πρώτο αριθμό που μπορεί να διαιρεί έστω ένα από τους τέσσερις αριθμούς τοποθετώντας τον παράλληλα στα δεξιά της κατακόρυφης γραμμής: εδώ είναι το 2. Γράφουμε το πηλίκο της μεταξύ τους διαίρεσης κάτω από τον αριθμό. Όσοι από τους αριθμούς δεν διαιρούνται ακριβώς με το δύο του κατεβάζουμε από κάτω όπως είναι και περιμένουμε να έρθει η σειρά τους! 2 3 5 4 2

1 3 5 2

Γ. Συνεχίζουμε να διαιρούμε με τον μικρότερο πρώτο αριθμό που μπορεί να διαιρεί έστω ένα από τους τέσσερις αριθμούς τοποθετώντας τον παράλληλα στα δεξιά της κατακόρυφης γραμμής μέχρι να καταλήξουμε και στους τέσσερις σε πηλίκο 1:

2 3 5 4 2 1 3 5 2 2 1 3 5 1 3 1 1 5 1 5 1 1 1 1

Δ. Τελικό βήμα: όλοι οι πρώτοι αριθμοί που έχουν καταγραφεί στα δεξιά της κατακόρυφης γραμμής πολλαπλασιάζονται μεταξύ του και το τελικό γινόμενο θα είναι το Ε.Κ.Π.! Έτσι: 2 x 2 x 3 x 5 = 60 Σημειώνουμε: το Ε.Κ.Π.(2,3,5,4)=60


Σε ποιά προβλήματα χρειαζόμαστε το Ε.Κ.Π. ή τους Κ.Π.;

Όταν ένα πρόβλημα μας ζητάει βρούμε ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός (πλήθος πραγμάτων) που μπορούμε να τον παρατάξουμε σε 2-άδες, 4-άδες, 5άδες κ.τ.λ. αναζητούμε το Ε.Κ.Π. των 2, 4, 5.

Π.χ.: Θέλουμε να στοιχίσουμε σε σειρές τις καρέκλες της κεντρικής αίθουσας εκδηλώσεων. Έχουμε την δυνατότητα τα τις στοιχίσουμε ή σε 6-άδες, ή σε 7-άδες ή σε 9-άδες. Αλήθεια πόσες το λιγότερο καρέκλες πρέπει να έχουμε;

Λύση:

6 7 9 2 3 7 9 3 1 7 3 3 1 7 1 7 1 1 1

Το Ε.Κ.Π.(6,7,9)= 2 x 3 x 3 x 7 = 126 Άρα οι καρέκλες μας πρέπει να είναι το λιγότερο 126 για να μπορούν να χωριστούν σε 6-άδες, ή σε 7-άδες ή σε 9-άδες.

Π.χ.: Το σχολειό μας αποφάσισε να στείλει δώρα στα παιδιά της UNICEF. Αφού αγοράσαμε τα δώρα έπρεπε να τα περιτυλίξουμε. Έτσι, ο Αλέξης χρειάζεται 20 δευτερόλεπτα για να τυλίξει ένα δώρο, η Χριστινά 15 δευτ. και η Αντιγόνη 25 δευτ. Σε πόσα δευτερόλεπτα θα ολοκληρώσουν όλοι μαζί το τύλιγμα ενός δώρου και πόσα δώρα ως τότε θα έχει τυλίξει κάθε μαθητής;

Λύση:

20 15 25 2 10 15 25 2 5 15 25 3 5 5 25 5 1 1 5 5 1 1 1

Το Ε.Κ.Π.(20,15,25)= 2 x 2 x 3 x 5 x 5= 300 Άρα μετά από 300 δευτερόλεπτα (ή αλλιώς μετά από 300:60 = 5 λεπτά) θα ολοκληρώσουν όλοι μαζί το τύλιγμα ενός δώρου και ως τότε θα έχει τυλίξει ο καθένας από: Αλέξης 300:20 = 15 δώρα

Χριστίνα 300:15 = 20 δώρα Αντιγόνη 300:25 = 12 δώρα


Όταν ένα πρόβλημα μας ζητάει βρούμε ποιος μπορεί να είναι ο αριθμός (πλήθος πραγμάτων) που μπορούμε να τον παρατάξουμε σε 2-άδες, 4-άδες, 5άδες κ.τ.λ. αναζητούμε το Κ.Π. των 2, 4, 5.

Π.χ.: Το σχολειό μας έχει μια μαθητική χορωδία. Σ’ αυτήν οι μαθητές μας μπορούν να παραταχθούν είτε σε 4-άδες είτε σε 6-άδες. Πόσοι μπορεί να είναι οι μαθητές της χορωδίας;

Λύση:

Π4 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52,…

Π6 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 …

Οι μαθητές, λοιπόν, μπορεί να είναι ή 12 ή 24 ή 36 ή 48… (μπορεί να βρίσκαμε και άλλα πολλαπλάσια μεγαλύτερα αλλά είναι αδύνατο να αποτελείται από τόσα πολλά άτομα μια μαθητική χορωδία) ώστε να έχουν τη δυνατότητα να παραταχθούν είτε σε 4-άδες είτε σε 6-άδες.


eva-edu

Πολλαπλάσια του 2: 2x0=0 Πολλαπλάσια του 3:3x1=3

2x1 =2 3x2=6

2x2=4 3x3=9

2x3=6 3x4=12

2x4=8 3x5=15

2x5=10 3x6=18

2x6=12 3x7=21

2x7=14 3x8=24

2x8=16 3x9=27

Τα πολλαπλάσια του 2 είναι τα 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

Τα πολλαπλάσια του 3 είναι τα 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24

Βλέπουμε ότι μερικά από τα πολλαπλάσια των δύο αριθμών

είναι ίδια . Όταν τα πολλαπλάσια είναι ίδια και στους δύο αριθμούς τα

λέμε κοινά.

Ποια πολλαπλάσια είναι κοινά;

Το μικρότερα από αυτά τα κοινά το ονομάζουμε Ελάχιστο Κοινό

Πολλαπλάσιο ή Ε.Κ.Π.


eva-edu

Ασκήσεις

Να βρεις τα κοινά πολλαπλάσια

Τα πολλαπλάσια του 4 είναι τα: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40

Τα πολλαπλάσια του 2 είναι τα: 0,2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24

Τα κοινά πολλαπλάσια είναι τα …………………………………………………

Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο είναι το:…………………………………………..

Να βρεις τα κοινά πολλαπλάσια

Τα πολλαπλάσια του 4 είναι τα: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40

Τα πολλαπλάσια του 3 είναι τα: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33

Τα κοινά πολλαπλάσια είναι τα …………………………………………………

Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο είναι το:…………………………………………..


Εγκύκλιος Παιδεία

ΚΟΙΝΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ, Ε.Κ.Π. Κοινό πολλαπλάσιο(Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων αριθμών λέγεται κάθε ακέραιος, πλην του μηδενός, που είναι πολλαπλάσιο όλων αυτών των αριθμών. Δες στον παρακάτω πίνακα κάποια από τα πολλαπλάσια των αριθμών 2, 3, και 6

Όπως βλέπεις υπάρχουν κοινά πολλαπλάσια και στους 3 αριθμούς(6, 12, 18, 24). Και θα ήταν και άλλα αν συνεχίζαμε τα πολλαπλάσια, αφού είναι άπειρα. Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια και των τριών αριθμών λέγεταιΕλάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο(Ε.Κ.Π.) και στον παραπάνω πίνακα είναι βέβαια το 6. Έτσι γράφουμε: Ε.Κ.Π.(2,3,6)=6 Ας εξετάσουμε τώρα πώς βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων αριθμών. Ο 1ος τρόπος είναι αυτός που είδαμε στον παραπάνω πίνακα, δηλαδή να γράψουμε όλα τα πολλαπλάσια των αριθμών, στη συνέχεια να ξεχωρίσουμε τα κοινά πολλαπλάσια τους και τέλος το Ε.Κ.Π αυτών. Ο 2ος τρόπος είναι να εξετάσουμε τον μεγαλύτερο από αυτούς αν είναι το Ε.Κ.Π τους, αν δηλαδή διαιρείται ακριβώς από τους άλλους δύο. Αν αυτό είναι δυνατό, τότε αυτός(μεγαλύτερος) είναι και το Ε.Κ.Π. αυτών. Αν δεν διαιρείται και από τους δύο, τότε τον διπλασιάζουμε, τοντριπλασιάζουμε κ.ο.κ έως ότου βρούμε κάποιο πολλαπλάσιό του που θα διαιρείται από τους άλλους δύο και αυτός τότε θα είναι το Ε.Κ.Π. αυτών. Παράδειγμα Ε.Κ.Π(4,6,8)=24. Επειδή ο μεγαλύτερος από αυτούς ο 8 δε διαιρείται από τους άλλους δύο, τον διπλασιάζουμε(16) και επειδή πάλι δε διαιρείται από αυτούς, τον τριπλασιάζουμε(24)και βλέπουμε ότι αυτός διαιρείται και από το 4(24:4=6) και από το 6(24:6=4) Άρα το Ε.Κ.Π.(4,6,8)=24 Βρες το Ε.Κ.Π.των αριθμών 6, 8, 10 και 12


http://egpaid.blogspot.com/

http://2.bp.blogspot.com/_QMD3uDrxxgM/SdpKOeLs4tI/AAAAAAAADMM/CgsgasC18sg/s1600-h/%CF%83%CE%AC%CF%81%CF%89%CF%83%CE%B70001.jpg

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄

67

Μάθημα 17ο Ε.Κ.Π. – Μ.Κ.Δ.

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο

Α΄ Τρόπος

Βρίσκω τα πολλαπλάσια του 2 , 3 , 6. 2 : 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , 26 , 28 , 30 ………… 3 : 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 ……………. …………………………… 6 : 6 , 12 , 18 , 24 , 30 ………………………………………………………………………… Τα κοινά πολλαπλάσια του 2 , 3 , 6 είναι το 6 , 12 , 18 , 24 , 30 ……………………

Το Ε. Κ. Π. ( 2 , 3 , 6 ) = 6

Β΄ Τρόπος

Τοποθετώ στη σειρά τους αριθμούς από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, σε μία σειρά. Στα δεξιά των αριθμών κάνω μία κάθετη γραμμή και ξεκινώ διαιρώντας τους αριθμούς αυτούς με τους πρώτους αριθμούς. Πρώτοι ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με τη μονάδα και τον εαυτό τους. Κάτω από κάθε αριθμό τοποθετώ τον αριθμό που δείχνει πόσες φορές διαιρείται αυτός ο αριθμός, με τον πρώτο αριθμό. Αν κάποιος αριθμός δε διαιρείται, τότε κατεβαίνει στην κάτω σειρά όπως είναι. Στο τέλος πολλαπλασιάζω τους πρώτους αριθμούς και το γινόμενο των αριθμών αυτών είναι το Ε.Κ.Π.. Σταματάω τις διαιρέσεις όταν στο κάτω μέρος των αριθμών, όλοι οι αριθμοί έχουν γίνει 1.

2 3 6 2 ( στο 2 μία φορά, στο 6 τρεις ) 1 3 3 3 ( στο 3 μία φορά ) 1 1

Ε.Κ.Π. ( 2, 3, 6 ) = 2 · 3 = 6

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Μ.Κ.Δ.

Για να βρω το Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσότερων αριθμών, βρίσκω τους διαιρέτες των αριθμών αυτών και μετά από τους κοινούς διαιρέτες επιλέγω τον μεγαλύτερο.

π.χ. Να βρω το Μ.Κ.Δ. ( 48, 36 ) :

Διαιρέτες του 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Διαιρέτες του 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Κοινοί διαιρέτες : 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Μ.Κ.Δ. ( 48, 36 ) = 12



68

Ασκήσεις

1. Να βρεις το Ε.Κ.Π. των παρακάτω αριθμών :

Ε.Κ.Π. ( 3, 5 ) Ε.Κ.Π. ( 4, 5 ) Ε.Κ.Π. ( 2, 5, 10 ) Ε.Κ.Π. ( 3, 5, 10 )

2. Η Παναγιώτα μετράει τις κούκλες που έχει. Αν τις βάλει σε δυάδες ή τριάδες, δεν

περισσεύει καμία. Αν οι κούκλες που έχει είναι λιγότερες από 25 και περισσότερες από 20, πόσες κούκλες έχει ;

3. Ο πατέρας της Κατερίνας θέλει να βάλει το λάδι που έχει σε δοχεία. Αν αδειάσει όλο το

λάδι σε δοχεία των 5, 10 και 15 κιλών δεν περισσεύει τίποτα. Αν το λάδι είναι λιγότερο από 45 κιλά και περισσότερο από 25, πόσα κιλά λάδι έχει ;

4. Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των παρακάτω αριθμών :

Μ.Κ.Δ. ( 12, 18, 24 ) Μ.Κ.Δ. ( 42, 56 ) Μ.Κ.Δ. ( 24, 48 ) Μ.Κ.Δ. ( 7, 28, 49 )

5. Η τάξη μας μάζεψε σε έναν έρανο που έγινε 120 κιλά αλεύρι, 72 κιλά ζάχαρη και 96 κιλά

ρύζι για να τα προσφέρουν σε ανθρώπους που έχουν ανάγκη. Πόσα ομοιόμορφα δέματα μπορούν να φτιάξουν και πόσα αντικείμενα από κάθε είδος θα περιέχει το κάθε δέμα ;

6. Η Ναταλία έχει 42 γαρίφαλα και 56 τριαντάφυλλα. Πόσες ομοιόμορφες ανθοδέσμες

μπορεί να φτιάξει και πόσα γαρίφαλα και πόσα τριαντάφυλλα θα βάλει σε κάθε μία ;

7. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρακάτω αριθμών:

2 4 6 3 4 9 3 6 10

Ε.Κ.Π.( 2, 4, 6 ) = ….… Ε.Κ.Π.( 3, 4, 9 ) = ….… Ε.Κ.Π.( 3, 6, 10 ) = ……

8. Οι μαθητές της Ε΄ τάξης ενός σχολείου είναι λιγότεροι από 50. Πόσοι είναι ακριβώς, αν, όταν παραταχθούν σε τριάδες, σε πεντάδες ή σε εξάδες, δεν περισσεύει κανένας;



69

9. Να γράψεις τους διαιρέτες των παρακάτω αριθμών :

α) 105 : …………………………………………………………………………………………

β) 30 : …………………………………………………………………………………………

γ) 24 : …………………………………………………………………………………………

δ) 33 : …………………………………………………………………………………………

10. Όταν ρώτησαν κάποιον για την ηλικία του, απάντησε ως εξής : « Είμαι λιγότερο από 60 χρονών και αν η ηλικία μου διαιρεθεί με το 6 ή με το 8 ή με το 16 προκύπτει υπόλοιπο 2». Ποια ήταν η ηλικία του ;

Ανακεφαλαίωση

Διαιρέτες Οι αριθμοί που διαιρούν έναν αριθμό

Μ.Κ.Δ. Ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες

Παραγοντοποίηση αριθμών Ανάλυση του αριθμού σε γινόμενο πρώτων αριθμών

Πολλαπλάσια Η προπαίδεια

Ε.Κ.Π. Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια

Πολλαπλασιασμός φυσικού με το 10, 100, 1000

Προσθέτω μηδενικά στο τέλος του αριθμού, όσα και τα μηδενικά του 10, 100, 1.000 κλπ

Πολλαπλασιασμός δεκαδικού με το 10, 100, 1000

Μετακινώ την υποδιαστολή τόσες θέσεις προς τα δεξιά, όσα και τα μηδενικά του 10, 100, 1.000 κλπ

Διαίρεση φυσικού με το 10, 100, 1000 Κόβουμε, με υποδιαστολή, από το τέλος και προς τα αριστερά, τόσα δεκαδικά ψηφία όσα είναι τα μηδενικά.

Διαίρεση δεκαδικού με το 10, 100, 1000 Μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά τόσες θέσεις όσα είναι τα μηδενικά.


Κοινά Πολλαπλάσια, Ε.Κ.Π. (15/12)

Πολλαπλάσια - Κοινά Πολλαπλάσια

Πολλαπλάσιο ενός αριθμού είναι το γινόμενο του αριθμού αυτού με κάποιον άλλον

αριθμό.

π.χ. Π7 : 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105...

Παραπάνω γράψαμε μερικά πολλαπλάσια του 7 (πολλαπλασιάζαμε δηλαδή το 7 με

κάποιους αριθμούς)

Κοινά Πολλαπλάσια 2 ή περισσοτέρων αριθμών, λέμε τα πολλαπλάσια που έχουν κοινά

αυτοί οι αριθμοί.

π.χ. Π3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60...

Π4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80...

Π6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90...

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 3, 4 και 6 έχουν κάποια κοινά πολλαπλάσια.

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Στη μετατροπή ετερώνυμων κλασμάτων σε ομώνυμα, θα χρησιμοποιούμε πολύ συχνά

το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο, δηλαδή το πιο μικρό από τα κοινά πολλαπλάσια

κάποιων αριθμών.

Στα παραπάνω πολλαπλάσια των αριθμών 3, 4 και 6 μικρότερο είναι το 12. Αυτό είναι το

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των αριθμών αυτών. Ε.Κ.Π.3,4,6 = 12

Αν έχουμε να λύσουμε προβλήματα, όπου χρειάζεται το Ε.Κ.Π., θα σπαταλήσουμε πολύ

χρόνο, αν το βρούμε με τον παραπάνω τρόπο. Παρακάτω υπάρχουν δυο πιο σύντομοι

τρόποι :

Α΄ τρόπος (σύντομος)

o Παίρνουμε τον μεγαλύτερο από τους τρεις αριθμούς, τον αριθμό 6. o Εξετάζουμε αν ο αριθμός αυτός διαιρείται ακριβώς από τους άλλους δύο. Στο

παράδειγμά μας το 6 δεν διαιρείται ακριβώς ούτε από το 3 ούτε από το 4. o Διπλασιάζουμε τον μεγαλύτερο αριθμό, δηλαδή το 6 γίνεται 12. Εξετάζουμε πάλι αν

διαιρείται ακριβώς από τους δύο άλλους. Το 12 διαιρείται και από το 3 και από το 4. o Άρα το 12 είναι το Ε.Κ.Π. του 3, του 4 και του 6.


http://sainia.gr/mathimatika-e/925-koina-pollaplasia-e-k-p

Β΄ τρόπος (αναλυτικός)

Γράφουμε στη σειρά τους 3 αριθμούς και αμέσως μετά τραβάμε μια κάθετη γραμμή. Ο

πρώτος ακέραιος αριθμός είναι το 1. Αυτός όμως διαιρεί όλους τους αριθμούς αλλά δίνει

πηλίκο τους ίδιους αριθμούς. Γι' αυτό δεν θα τον χρησιμοποιήσουμε και θα

προχωρήσουμε στον επόμενο ακέραιο, το 2. Εξετάζουμε αν το 2 διαιρεί ακριβώς κάποιον

από τους αριθμούς. Διαιρεί το 4 και το 6. Γράφουμε λοιπόν το 2 δεξιά της γραμμής και

λέμε :

Το 3 διαιρείται ακριβώς από το 2 ; Δε διαιρείται, ξαναγράφουμε από κάτω το 3.

Πάμε στον επόμενο αριθμό : το 4 διαιρείται ακριβώς από το 2 ; Διαιρείται και δίνει πηλίκο

2. Γράφουμε αυτό το 2 κάτω από το 4.

Πάμε στον επόμενο αριθμό : το 6 διαιρείται ακριβώς από το 2

; Διαιρείται και δίνει πηλίκο 3. Γράφουμε αυτό το 3 κάτω από το 6.

Τώρα θα εξετάσουμε αν στη νέα τριάδα αριθμών υπάρχει κάποιος που εξακολουθεί να

διαιρείται με το 2. Όντως υπάρχει. Γράφουμε τότε δεξιά της κάθετης γραμμής και στην ίδια

ευθεία με τους τρεις αριθμούς πάλι το 2 και λέμε :

Το 3 διαιρείται ακριβώς από το 2 ; Δε διαιρείται, ξαναγράφουμε από κάτω το 3.



Πάμε στον επόμενο αριθμό : το 3 διαιρείται ακριβώς από το 2 ; Δε διαιρείται,

ξαναγράφουμε από κάτω το 3.

Τώρα θα εξετάσουμε αν στη νέα τριάδα αριθμών υπάρχει κάποιος που εξακολουθεί να

διαιρείται με το 2. Αυτή τη φορά δεν υπάρχει. Εξετάζουμε αν διαιρείται κάποιος από τους

τρεις αριθμούς με τον ακέραιο που είναι μετά το 2, δηλαδή το 3. Υπάρχουν αριθμοί που

διαιρούνται ακριβώς με το 3. Γράφουμε τότε δεξιά της κάθετης γραμμής και στην ίδια

ευθεία με τους τρεις αριθμούς το 3 και λέμε :


http://sainia.gr/images/1E/mathimatika/koina_poll_EKP/ekp.jpg

Το 3 διαιρείται ακριβώς από το 3 ; Διαιρείται και δίνει πηλίκο 1. Γράφουμε αυτό το 1 κάτω

από το 3.

Πάμε στον επόμενο αριθμό : το 1 διαιρείται ακριβώς από το 3 ; Δε διαιρείται,

ξαναγράφουμε από κάτω το 1.



Παρατηρούμε ότι η τριάδα των αριθμών αποτελείται μόνο από 1. Άρα έχουμε τελειώσει

αυτό το στάδιο της δουλειάς μας.

Πάμε στους αριθμούς που γράψαμε κάθετα. Αυτοί είναι 2, 2 και 3. Τους

πολλαπλασιάζουμε : 2 Χ 2 Χ 3 = 12.

Αυτό είναι και το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3, 4 και 6.


Τόλη Παναγιώτα

Όνομα: …………………………………………………………

Ημερομηνία: …………………………………………………

16. Πολλαπλάσια ενός αριθμού- Ε.Κ.Π.

1. Να υπολογίσεις με το νου και να κυκλώσεις το σωστό.

Ε.Κ.Π. (6,10) α) 10 β)24 γ) 30

Ε.Κ.Π. (4,12) α) 12 β) 16 γ) 24

Ε.Κ.Π. (8,5) α) 20 β) 40 γ) 80

2. Να βρεις το Ε.Κ.Π. των αριθμών:

45 60 42 168 11 55 88

Ε.Κ.Π.(45,60)=…………… Ε.Κ.Π.(42,168)=…………… Ε.Κ.Π.(11,55,88)=……………

3. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός χρημάτων σε € που μπορεί να μοιραστεί σε

22 , 21 ή 14 παιδιά και να μην περισσέψει κανένα €;

ΛΥΣΗ

Απάντηση: ………………………………………………………………………………………………………………………


Τόλη Παναγιώτα

4. Πόσα το λιγότερο γαρίφαλα πρέπει να έχει ένας ανθοπώλης ώστε να μπορεί

να τα κάνει ανθοδέσμες των 5, 8, 9 ή 10 και να μην περισσεύει κανένα;

ΛΥΣΗ

Απάντηση: ………………………………………………………………………………………………………………………

5. Τρία λεωφορεία των αστικών συγκοινωνιών ξεκινούν στις 6.15΄το πρωί από

την ίδια αφετηρία για τρεις διαφορετικές διαδρομές. Το πρώτο λεωφορείο για

μία διαδρομή χρειάζεται 40 λεπτά, το δεύτερο 30 λεπτά, και το τρίτο 45

λεπτά. Έπειτα από πόσο χρόνο θα ξαναβρεθούν και τα τρία λεωφορεία στην

αφετηρία; Τι ώρα θα είναι;

ΛΥΣΗ

Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………………………


Πολλαπλάσια ενός αριθμού – ΕΚΠ (1)

Μαθαίνω απέξω κι ανακατωτά…

Πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι οι αριθμοί που παράγονται

από τον πολλαπλασιασμό του αριθμού με οποιονδήποτε άλλο

φυσικό αριθμό.

Παράδειγμα: πολλαπλάσιο του 2 είναι το 4 γιατί 2 επί 2 κάνει 4.

Τα πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι άπειρα.

Κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών είναι οι

αριθμοί που είναι πολλαπλάσια και των δύο αριθμών.

Παράδειγμα: κοινά πολλαπλάσια του 3 και του 5 είναι:

Π 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33 κλπ

Π5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 κλπ

ΚΠ (3,5): 15, 30 κλπ

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) είναι το μικρότερο από τα

κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών.

Παράδειγμα: ΕΚΠ (3,5): 15

Εξάσκηση

1. Σημειώνω Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν είναι λανθασμένη.

Το ΕΚΠ δύο ή περισσότερων αριθμών είναι το μεγαλύτερο κοινό

πολλαπλάσιό τους.

ΕΚΠ (1,9) = 9

Μπορούμε να υπολογίσουμε όλα τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή

περισσότερων αριθμών.

ΕΚΠ ( 2,3,6) = 6

ΚΠ (4,8) = 8, 16, 24, …

ΕΚΠ (5, 10) = 10, 20


2. Συμπληρώνω στον πίνακα τα πολλαπλάσια των αριθμών 3,5 και 6. Στη συνέχεια με βάση τον πίνακα βρίσκω:

Π3 12 21

Π5 25

Π6 18 48

ΚΠ (3,5)=………………………………………………………………………………………………………………………

ΚΠ (3,6)=………………………………………………………………………………………………………………………

ΚΠ (3,5, 6 )=…………………………………………………………………………………………………………………

ΕΚΠ (3,5)=……………………………………………………………………………………………………………………

ΕΚΠ (3,6)=……………………………………………………………………………………………………………………

ΕΚΠ (3,5,6)=…………………………………………………………………………………………………………………

3. Συμπληρώνω τα κενά του πίνακα. Στη συνέχεια βρίσκω τα ΚΠ και το ΕΚΠ των τριών αριθμών.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Π2

Π… 8 20

Π… 30 60

ΚΠ ( ……, ……., …….) = ………………………………………………………………………………………………..…….

ΕΚΠ ( ……, ……., …….) = …………………………………………………………………………………………………….

4. Η δασκάλα ρώτησε τους μαθητές πού θα ήθελαν να πάνε εκπαιδευτική εκδρομή. → Ο αριθμός των παιδιών που θέλουν να επισκεφθούν την Κνωσό είναι ίσος με το ΕΚΠ (2,3). → Ο αριθμός των παιδιών που θέλουν να επισκεφθούν το λαογραφικό μουσείο με τα είδη κεραμικής είναι ίσος με το ΕΚΠ (3,4)

Πόσα παιδιά θέλουν να επισκεφθούν την Κνωσό;

Σκέφτομαι τι θα κάνω: ………………………………………………………………………………… Υπολογίζω: ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

Απαντώ: ……………………………………………………………………………………………………………………….


Πόσα παιδιά θέλουν να επισκεφθούν το λαογραφικό μουσείο; Σκέφτομαι τι θα κάνω: ………………………………………………………………………………… Υπολογίζω: ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

Απαντώ: ……………………………………………………………………………………………………………………….

Πόσα παιδιά έχει η τάξη; ……………………………………………………………………………………..

Nansy Tzg


Όνομα: ……………………………………………………………………………………………………………………………….


Χρυσούλα Παγκάλου

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ

ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ( Ε.Κ.Π.)

Πολλαπλάσια ενός αριθμού

Πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι οι αριθμοί που προκύπτουν (τα αποτελέσματα-γινόμενα)

αν πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με άλλους ακέραιους αριθμούς.

π.χ. τα πολλαπλάσια του 5 είναι 5x0=0, 5x1=5, 5x2=10, 5x3=15 κλπ.

Κοινά πολλαπλάσια δυο ή περισσότερων αριθμών

Κοινά πολλαπλάσια ονομάζουμε τα πολλαπλάσια που είναι ίδια σε δυο ή περισσότερους

αριθμούς.

π.χ. Να βρεθεί το σύνολο των κοινών πολλαπλάσιων των αριθμών 3 και 4.

(Γράφω από κάτω τα αποτελέσματα της προπαίδειας του 3 και του 4:

Π3 = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... }

Π4 = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ... }

Το σύνολο των κοινών πολλαπλάσιων των αριθμών 3 και 4 είναι:

Π3,4 = { 0, 12, 24, 36, ... }

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσοτέρων αριθμών ονομάζεται

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο και συμβολίζεται με τη συντομογραφία Ε.Κ.Π.



π.χ. Στα πολλαπλάσια που βρήκαμε στο παραπάνω παράδειγμα των αριθμών 3 και 4 τα

κοινά πολλαπλάσιά τους είναι οι αριθμοί (εκτός του 0) 12, 24, 36 κλπ.

Αφού ο μικρότερος αριθμός από αυτούς είναι το 12, τότε το ελάχιστο κοινό

πολλαπλάσιο των αριθμών 3 και 4 είναι το 12.

Άρα Ε.Κ.Π. (3,4) = 12

ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ

ΔΥΟ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (Ε.Κ.Π.)

Α) Ε.Κ.Π. (3, 5, 15): Παίρνω το μεγαλύτερο από τους αριθμούς. Εδώ είναι ο αριθμός

15. Ελέγχω αν αυτός ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο των άλλων αριθμών, δηλαδή,

διαιρείται και με το 3 και με το 5. Βλέπω ότι πράγματι διαιρείται ακριβώς και με το 3,

αφού 15:3=5 και με το 5, αφού 15:5=3 και φυσικά και με τον εαυτόν του, όπως κάθε

αριθμός, αφού 15:15=1, οπότε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3, 5 και 15 είναι το 15.

Β) Αν έχω να βρω το Ε.Κ.Π. (3, 5, 6, 15), παίρνω και πάλι το μεγαλύτερο αριθμό, αλλά

παρατηρώ ότι δε διαιρείται ακριβώς με το 6, οπότε τότε παίρνω το διπλάσιο του 15

που είναι το 30 και βλέπω ότι ο αριθμός 30 διαιρείται ακριβώς και με το 3 (30:3=10)

και με το 5 (30:5=6) και με το 6 (30:6=5) και με το 15 (30:15=2). Άρα το Ε.Κ.Π. των

αριθμών 3, 5, 6 και 15 είναι το διπλάσιο του 15, δηλαδή το 30.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν επομένως δε διαιρείται ακριβώς ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς,

των οποίων ψάχνω το Ε.Κ.Π. με τους άλλους, τότε τον διπλασιάζω και δοκιμάζω, αν δε

διαιρείται και πάλι, τότε τον τριπλασιάζω κλπ. Συνεχίζουμε έτσι μέχρι να βρούμε ένα

πολλαπλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού που είναι παράλληλα και πολλαπλάσιο των

υπόλοιπων αριθμών.



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΜΠΕΔΩΣΗ

1. Να βρείτε

το Ε.Κ.Π. αφού βρείτε τα πολλαπλάσιά τους πρώτα:

α) Ε.Κ.Π. ( 2, 3) = .......

Π2 =…………………………………………………………………………………………………………………………..

Π3 =……………………………………………………………………………………………………………………………

β) Ε.Κ.Π. ( 4, 6 , 8) = ...........

Π4 =……………………………………………………………………………………………………………………………

Π6 =……………………………………………………………………………………………………………………………

Π8 =………………………………………………………………………………………………………………………………

γ) Ε.Κ.Π. ( 3, 5, 15) = ..............

Π3 =………………………………………………………………………………………………………………………………….

Π5 =…………………………………………………………………………………………………………………………………..

Π15 =…………………………………………………………………………………………………………………………………..

2. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3, 5, 9, 15 και το Ε.Κ.Π. των

αριθμών 2, 4, 6, 8 με το σύντομο τρόπο, εξετάζοντας το μεγαλύτερο από

αυτούς αν είναι πολλαπλάσιο ή το διπλάσιό του το τριπλάσιό του κλπ.

Ε. Κ. Π. ( 3, 5, 9, 15 ) = ………………..

Ε.Κ.Π. (2, 4, 6, 8 ) = ……………………..


Φύλλο Εργασίας

Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρακάτω αριθμών σε κάθε μια από τις παρακάτω

περιπτώσεις:

α) Ε.Κ.Π. (2, 3) = .......

Π2 = .......................................................................................

Π3 = .......................................................................................

β) Ε.Κ.Π. (4, 6 , 8) = ...........

Π4 = ......................................................................................

Π6 = .......................................................................................

Π8 = .......................................................................................

γ) Ε.Κ.Π. (3, 5, 15) = ..............

Π3 = .......................................................................................

Π5 = .......................................................................................

Π15 = .....................................................................................

Δραστηριότητα 1η: “Βρίσκω το Ε.Κ.Π.”


Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρακάτω αριθμών:

Ε.Κ.Π. (2, 5, 10) = .....................................................................

Ε.Κ.Π. (3, 6, 9) = ......................................................................

Ε.Κ.Π. (5, 10, 15) = ....................................................................

Ε.Κ.Π. (4, 9, 12) = .....................................................................

Ε.Κ.Π. (6, 8, 10, 12) = ................................................................

Ε.Κ.Π. (15, 25, 75) = ..................................................................

Ε.Κ.Π. (3, 8, 12) = .....................................................................

Ε.Κ.Π. (6, 5, 15) = .....................................................................

Ε.Κ.Π. (4, 8, 3) = ......................................................................

… συνέχεια



Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3, 5, 9, 15 και το Ε.Κ.Π. των

αριθμών 2, 4, 6, 8 με το σύντομο τρόπο:

Ε. Κ. Π. (3, 5, 9, 15) = ..............................................................

Ε.Κ.Π. (2, 4, 6, 8) = .................................................................

Τέλος

Πηγή: http://ioannaprangiou.weebly.com/



ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΘΥΜΑΜΑΙ

Ε.Κ.Π

Ένας τρόπος για να βρω το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π) δυο ή

περισσότερων αριθμών είναι ο εξής:

Εξετάζω αν ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς ,διαιρείται ακριβώς από τους

υπόλοιπους. Αν διαιρείται , τότε αυτός είναι το Ε.Κ.Π.. Αν δεν διαιρείται , τότε

διπλασιάζω τον αριθμό αυτό και εξετάζω πάλι αν διαιρείται ακριβώς (ο διπλάσιος )

από τους υπόλοιπους .Αν ναι ,τότε αυτός είναι το Ε.Κ.Π.. Αν όχι , τότε τριπλασιάζω ,

τετραπλασιάζω , … κ.ο.κ.(πάντα τον αρχικό μεγαλύτερο αριθμό) μέχρι να φτάσω σε

κάποιον που να διαιρείται ακριβώς από τους υπόλοιπους. Αυτός θα είναι το Ε.Κ.Π

π.χ Θέλω να βρω το Ε.Κ.Π των αριθμών 2 ,5 ,8 .Εξετάζω αν το 8 διαιρείται ακριβώς με

το 2 και το 5.Με το 2 διαιρείται , αλλά με το 5 όχι. Διπλασιάζω το 8 και γίνεται

16.Εξετάζω αν το 16 διαιρείται ακριβώς με το 2 και το 5.Με το 2 διαιρείται , αλλά με

το 5 όχι. Τριπλασιάζω το 8 και γίνεται 24.Εξετάζω αν το 24 διαιρείται ακριβώς με το

2 και το 5. Με το 2 διαιρείται , αλλά με το 5 όχι. Τετραπλασιάζω το 8 και γίνεται 32 ,

όμως ούτε και το 32 διαιρείται ακριβώς και με τους άλλους δύο(με το 2 διαιρείται

ενώ με το 5 όχι).Έτσι , πενταπλασιάζω το 8 και γίνεται 40.Παρατηρώ όμως ότι το 40

διαιρείται ακριβώς και με το 2 και με το 5.Άρα,το 40 είναι το Ε.Κ.Π .

Μ.Κ.Δ.

Ένας τρόπος για να βρω το Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (Μ.Κ.Δ.) δυο ή

περισσότερων αριθμών είναι ο εξής: γράφω τους αριθμούς στη σειρά τον έναν δίπλα

στον άλλο.

Κάτω από το μικρότερο γράφω τον ίδιο(τον εαυτό του)και κάτω από καθένα από

τους άλλους , το υπόλοιπο της διαίρεσής τους με το μικρότερο. Στη συνέχεια,

γράφω το μικρότερο από τη δεύτερη σειρά αριθμών ,κάτω από τον εαυτό του και

κάτω από τους άλλους ,το υπόλοιπο της διαίρεσής τους με το μικρότερο(της δεύτερης

σειράς).

Η ίδια διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να φτάσω σε μια σειρά αριθμών όπου όλοι θα

είναι 0 , εκτός από έναν. Αυτός θα είναι ο Μ.Κ.Δ. .

π.χ Θέλω να βρω το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 12 28 38 .Γράφω τους αριθμούς στη σειρά

και κάτω από το 12 (είναι ο μικρότερος) γράφω τον εαυτό του. Κάτω από το 28

γράφω το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το 12 που είναι το 4(το υπόλοιπο).Κάτω από

το 38 γράφω το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το 12 που είναι το 2(το υπόλοιπο).Η

νέα σειρά αριθμών είναι: 12 4 2 . Γράφω το 2 κάτω από τον εαυτό του(είναι ο

μικρότερος).Κάτω από το 12 γράφω το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το 2 που είναι

το 0(το υπόλοιπο) και κάτω από το 4 γράφω το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το 2

που είναι το 0(το υπόλοιπο).Έτσι έφτασα στη σειρά των αριθμών 0 0 2 όπου όλοι

είναι μηδέν εκτός από έναν (το 2).Άρα το 2 είναι ο Μ.Κ.Δ. . 12 28 38

[αριθμητική παρουσίαση της διαδικασίας] 12 4 2 0 0 2

Μιχάλης Αραχωβίτης

Δάσκαλος


ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ

ÃÉÁ ÔÇÍ Å’ ÔÁÎÇ ÄÇÌÏÔÉÊÏÕ

Ðåñéå÷üìåíá:

36. ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá ......................................... óåë. 195

37. ÊñéôÞñéá äéáéñåôüôçôáò ôïõ 2, ôïõ 5 êáé ôïõ 10 .......... óåë. 198

38. ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð. ......................................... óåë. 202

39. Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç åôåñþíõìùí êëáóìÜôùí .... óåë. 205

40. Äéá÷åßñéóç ðëçñïöïñßáò - Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá ....... óåë. 209

6ï Åðáíáëçðôéêü ........................................................ óåë. 213

41. ÌÝôñçóç ãùíéþí ........................................................ óåë. 216

42. Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ãùíßåò ............................. óåë. 219

43. Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ðëåõñÝò ........................... óåë. 224

44. Êáèåôüôçôá - ýøç ôñéãþíïõ........................................ óåë. 228

45. Äéáßñåóç ãåùìåôñéêþí ó÷çìÜôùí - Óõììåôñßá ........... óåë. 232

7ï Åðáíáëçðôéêü ........................................................ óåë. 234

ÊñéôÞñéï áîéïëüãçóçò ................................................. óåë. 238

Áðáãïñåýåôáé ç áíáðáñáãùãÞ ôïõ ðáñüíôïòâéâëßïõ ìå ïðïéïíäÞðïôå ôñüðï, ÷ùñßò ôçíÝããñáöç Üäåéá ôïõ åêäüôç.

Äéåýèõíóç åêðáéäåõôéêÞò óåéñÜò:ÆÕÑÌÐÁÓ ÁÍÄÑÅÁÓ

Õðåýèõíïé Ýêäïóçò:ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ

ÓõíôáêôéêÞ ïìÜäá:ÁËÁÌÁÍÇ ÃÅÙÑÃÉÁÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓÃÅÑÏÍÔÏÐÏÕËÏÓ ÓÔÅÖÁÍÏÓÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇÌÏÉÑÁÓ ÐÁÍÁÃÉÙÔÇÓÌÏÕÓÏÕËÇÓ ÉÙÁÍÍÇÓÏÑÓÏÐÏÕËÏÓ ÉÙÁÍÍÇÓÐËÏÕÌÁÊÇÓ ÊÙÍÓÔÁÍÔÉÍÏÓÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ×ÁÍÉÙÔÇ ÉÙÁÍÍÁ

Êáëëéôå÷íéêÞ äéåýèõíóç:FORWARD CREATIVE BUREAU210 9585645

DTP - ÃñáöéêÜ:Á×ÉËËÉÁ ÓÏÕËÔÁÍÁ

ÅéêïíïãñÜöçóç:ÊÁËÁÍÔÙÍÇÓ ÅËÅÕÈÅÑÉÏÓÆÏÕËÁÊÇÓ ÅÌÌÁÍÏÕÇËÔÓÉÏÌÐÁÍÉÄÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ

Copyright:Ç. ÌáíéáôÝáòÅêäïôéêÝò Åðé÷åéñÞóåéò Á.Å.ÈçóÝùò 50, ÊáëëéèÝáôçë. 210 9546555


195

36. ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá

ëýóç

Ïé áñéèìïß ðïõ Ý÷ïõí ðïëëáðëÜóéï

ôïí áñéèìü 1.500 åßíáé ïé:

2, 3, 5, 150, 500

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20

¢óêçóç á

Ðïéïé áðü ôïõò ðáñáêÜôù áñéèìïýò Ý÷ïõí ùò

ðïëëáðëÜóéï ôïí áñéèìü 1500;

2, 3, 5, 150, 500, 200, 1000, 800


196

ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá

• ¸÷åé 4 ìáýñåò, 8 ìðëå êáé 12 êüêêéíåò Ýôóé þóôå

íá åðáíáëáìâÜíåôáé ìå ôïí êáíüíá:

2 ìáýñåò - 4 ìðëå - 6 êüêêéíåò

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20

• ¼ëá ìáæß ôá ìõñìÞãêéá êïõâÜëçóáí 72 óðüñïõò óå ìßá þñá,

äéüôé (2 + 3 + 7) ÷ 6 = 12 ÷ 6 = 72 .

• Ôï ìõñìÞãêé Á êïõâÜëçóå 12 óðüñïõò, äéüôé 2 ÷ 6 = 12.

Ôï ìõñìÞãêé Â êïõâÜëçóå 18 óðüñïõò, äéüôé 3 ÷ 6 = 18.

Ôï ìõñìÞãêé Ã êïõâÜëçóå 42 óðüñïõò, äéüôé 7 ÷ 6 = 42.

• Ôï ìõñìÞãêé Á Ý÷åé ìåôáöÝñåé 180 óðüñïõò = 12 ÷ 15

Ôï ìõñìÞãêé Â Ý÷åé ìåôáöÝñåé 270 óðüñïõò = 18 ÷ 15

Ôï ìõñìÞãêé Ã Ý÷åé ìåôáöÝñåé 630 óðüñïõò = 42 ÷ 15, äéüôé

Ý÷ïõí “åñãáóôåß” 1080 : 72=15 þñåò

A Â Ã

óõíÝ÷åéá áðÜíôçóçòÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20


197

ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá

¢óêçóç â

Óå Ýíá åñãïóôÜóéï, ï áñéèìüò ôùí åñãáôþí åßíáé ìåãáëýôåñïò ôïõ 130

êáé ìéêñüôåñïò ôïõ 200. Áí ï áñéèìüò ôùí åñãáôþí äéáéñåèåß ìå ôï 11,

äåí áöÞíåé õðüëïéðï. Áí ï áñéèìüò ôùí åñãáôþí äéáéñåèåß ìå ôï 5 Þ

ìå ôï 10, áöÞíåé õðüëïéðï 2. Ðüóïé åßíáé ïé åñãÜôåò ôïõ åñãïóôáóßïõ;

ëýóç

Ïé áñéèìïß ðïõ åßíáé ìåãáëýôåñïé ôïõ 130 êáé ìéêñüôåñïé ôïõ 200, ðïõ üôáí äéáéñåèïýí ìå ôï 11

áöÞíïõí õðüëïéðï 0, åßíáé:

132, 143, 154, 165, 176, 187, 198

Áðü áõôïýò ôïõò áñéèìïýò áõôüò ðïõ üôáí äéáéñåèåß ìå ôï 5 Þ ìå ôï 10 áöÞíåé õðüëïéðï 2 åßíáé ï 132.

¢ñá ïé åñãÜôåò åßíáé 132.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 21

Ïé áñéèìïß ïé ìåãáëýôåñïé ôïõ 60 êáé ìéêñüôåñïé ôïõ 100, ðïõ üôáí äéáéñåèïýí ìå ôï 8

äßíïõí õðüëïéðï 0, åßíáé ïé: 64, 72, 80, 88, 96.

Áðü áõôïýò ôïõò áñéèìïýò, áõôüò ðïõ äéáéñåßôáé êáé ìå ôï 6 êáé ìå ôï 7 êáé áöÞíåé õðüëïéðï

4 åßíáé ï 88.

¢ñá ôá ðáéäéÜ ôïõ ó÷ïëåßïõ åßíáé 88.


198

37. ÊñéôÞñéá äéáéñåôüôçôáò ôïõ 2, ôïõ 5 êáé ôïõ 10

Ï êõñéïò ÄçìÞôñçò ìðïñåß íá ÷ùñßóåé ôá ðáéäéÜ, óå ßóåò ïìÜäáò ÷ùñßò íá ðåñéóóåýåé

êáíÝíá ðáéäß, óôá ðáñáêÜôù áèëÞìáôá:

• ìðÜóêåô: óå 12 ïìÜäåò, ôùí 5 ðáé÷ôþí óå êÜèå ìßá áðü áõôÝò.

• âüëåú: óå 10 ïìÜäåò, ôùí 6 ðáé÷ôþí óå êÜèå ìßá áðü áõôÝò.




1.606 1.610 300 305 990 1.000

11.078 11.082 5.000 5.005 19.160 19.170


199


Ðåñéóóüôåñá ðïëëáðëÜóéá Ý÷åé ôï 2 êáé ëéãüôåñá ôï 10, äéüôé

ôá ðïëëáðëÜóéá:

• ôïõ 2 åßíáé: (1.000.000 – 1.000) : 2 = 499.500

• ôïõ 5 åßíáé: (1.000.000 – 1.000) : 5 =199.800

• ôïõ 10 åßíáé: (1.000.000 – 1.000) : 10 = 99.900

¢óêçóç â

Ðïéïò áñéèìüò, ðïõ äéáéñåßôáé áêñéâþò ìå ôï 10,

âñßóêåôáé ðéï êïíôÜ óôïõò áñéèìïýò:

7.714, 501, 237, 23.999

ëýóç

Ôï 10 åßíáé äéáéñÝôçò åíüò áñéèìïý, áí

ôï øçößï ôùí ìïíÜäùí åßíáé 0.

7.714 → 7710

501 → 500

237 → 240

23999 → 24000

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò åôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23

ÊñéôÞñéá äéáéñåôüôçôáò ôïõ 2, ôïõ 5 êáé ôïõ 10


200

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò æôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23


Áí ôï õðüëïéðï ìéáò äéáßñåóçò ìðïñåß íá åßíáé 0 Þ 1 Þ 2 Þ 3 Þ 4, ôüôå ï äéáéñÝôçò åßíáé ï

áñéèìüò 5.

•

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23

• To 450 äéáéñåßôáé ìå ôï 5, Üñá 450: 5 = 90

Ìðïñþ íá Ý÷ù 5 óåéñÝò ìå 90 öõôÜ ç êÜèå ìßá, 30 áðü êÜèå åßäïò.

• Ôï 450 äéáéñåßôáé ìå ôï 10, Üñá 450 : 10 = 45

Ìðïñþ íá Ý÷ù 10 óåéñÝò ìå 45 öõôÜ ç êÜèå ìßá, 15 áðü êÜèå åßäïò.

ÕðÜñ÷ïõí êáé Üëëïé äõíáôïß óõíäõáóìïß.


201

¢óêçóç â

Äýï áñéèìïß Ý÷ïõí ãéíüìåíï 4.050. Ôï ðçëßêï ôïõò åßíáé 50 êáé ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò 459. Ðïéïé åßíáé

ïé áñéèìïß áõôïß;

ëýóç

Ïé áñéèìïß áõôïß åßíáé ôï 450 êáé ôï 9, äéüôé:

450 ÷ 9 = 4.050

450 : 9 = 50

450 + 9 = 459

Ãéá íá êáôáëÞîïõìå óôïõò áñéèìïýò 450 êáé 9, êÜíáìå áíÜëõóç ôïõ áñéèìïý 4.050 óå ãéíüìåíï

ðáñáãüíôùí.

ÄçëáäÞ:

Ðáñáôçñïýìå üôé: 450 : 9 = 50 êáé 450 + 9 = 459

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò çôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23

Ïé áñéèìïß, ðïõ ôï ãéíüìåíü ôïõò åßíáé ßóï ìå 96, ôï

ðçëßêï ôïõò åßíáé 6 êáé ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò 28, åßíáé ï

áñéèìüò 24 êáé ï áñéèìüò 4.



202


38. ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð.



203

ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð.


Ôñåéò áñéèìïß ðïõ Ý÷ïõí Å.Ê.Ð. ôïí áñéèìü 60 åßíáé ïé:

10, 12, 5

Ôñåéò áñéèìïß ðïõ Ý÷ïõí Å.Ê.Ð. ìéêñüôåñï áðü ôïí áñéèìü 50 åßíáé ïé:

5, 10, 25

¢óêçóç á

Ôá ðáéäéÜ åíüò ó÷ïëåßïõ êÜíïõí ðñüâåò ãéá ôçí ðáñÝëáóç. Ìðïñïýí üëïé ïé ìáèçôÝò íá óôïé÷é-

èïýí êáôÜ ôåôñÜäåò, åîÜäåò Þ ïêôÜäåò ÷ùñßò íá ðåñéóóåýåé êáíÝíá ðáéäß.

Ðüóá åßíáé ôá ðáéäéÜ ôïõ ó÷ïëåßïõ, üôáí ãíùñßæù ðùò ï áñéèìüò ôùí ðáéäéþí åßíáé ìåôáîý ôïõ 80

êáé ôïõ 100;

ëýóç

Ôï Å.Ê.Ð. (4, 6, 8) = 24

Ôá ðïëëáðëÜóéá ôïõ 24: 24, 48, 72, 96, 120, ...

¢ñá óýìöùíá ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò ðïõ Ý÷ù,

êáôáëáâáßíù üôé ôï ó÷ïëåßï Ý÷åé 96 ðáéäéÜ.


Ôï Å.Ê.Ð. (3, 4, 6) = 12

Ôá ðïëëáðëÜóéá ôïõ 12: 12, 24, 36, ...

Ôá ðáéäéÜ ó’ áõôÞ ôçí ôÜîç åßíáé 24 (áöïý äåí õðÜñ÷åé ôÜîç ìå ðåñéóóüôåñá

áðü 30 ðáéäéÜ).


204

ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð.


ÓðÜñôç: 06:00 10:00 14:00 18:00 22:00

Áãñßíéï: 06:00 14:00 22:00

ÐÜôñá: 06:00 08:00 10:00 12:00 14:00

16:00 18:00 20:00 22:00

Ôá ëåùöïñåßá ãéá ôéò ôñåéò ðüëåéò, óôçí Ýîïäü

ôïõò, èá óõíáíôçèïýí óôéò: 06:00, 14:00, 22:00.

¢ñá ôñåéò öïñÝò

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 25

• 15.000

• 15.000

• 15.000

• 17.500

• 22.500

¢óêçóç â

Íá âñåèïýí ôá êïéíÜ ðïëëáðëÜóéá ôùí áñéèìþí 2, 3, 4.

Íá âñåèåß ôï åëÜ÷éóôï êïéíü ðïëëáðëÜóéï ôùí 2, 3, 4 êáé íá ãñáöïýí ôá êëÜóìáôá 2

3,

3

4 êáé

1

2 óå

éóïäýíáìá êëÜóìáôá.

ëýóç

Ð2 = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28,

30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48

Ð3 = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42,

45, 48, ...

Ð4 = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...

Ê.Ð. { 2, 3, 4 } = 12, 24, 36, 48

Å.Ê.Ð. { 2, 3, 4 } = 12

2 8

3 12=

3 9

4 12=

1 6

2 12=

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò æôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 25

Ê.Ð. { 5, 4, 10 } = 20, 40, 60

Å.Ê.Ð. { 5, 4, 10 } = 20

Éóïäýíáìá êëÜóìáôá:

2 8

5 20= ,

3 15

4 20= ,

7 14

10 20=


205

39. Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç åôåñþíõìùí êëáóìÜôùí


5 2 7

10 10 10+ =

5 2 3

10 10 10− =


Ôçí 1ç åâäïìÜäá Ýöôéáîáí ôï 1

12 ôïõ ðáæë, äçëáäÞ

5

60.

Ôçí 2ç åâäïìÜäá Ýöôéáîáí ôá 3

10 ôïõ ðáæë, äçëáäÞ

18

60.

¸öôéáîáí, ëïéðüí, (1ç - 2ç åâäïìÜäá) ôá: 5 18 23

60 60 60+ = ôïõ ðáæë.

• Ôï ìÝñïò ôïõ ðáæë ðïõ Ýìåéíå ãéá íá ôï ïëïêëçñþóïõí ôçí 3ç åâäïìÜäá åßíáé:

60 23 37

60 60 60− =

• Ôçí 1ç åâäïìÜäá ôá: 5

60

Ôçí 2ç åâäïìÜäá ôá: 18

60

Ôçí 3ç åâäïìÜäá ôá: 37

60


206

¢óêçóç á

Ç ¢ííá êáé ç ÅëÝíç ðÞñáí ìßá ôïýñôá. Ç ¢ííá ´Ýöáãå ôï 1

3 ôçò

ôïýñôáò êáé ç ÅëÝíç ôï 1

4 ôçò ôïýñôáò. Ðüóç ôïýñôá Ýöáãáí êáé ôá

äýï ðáéäéÜ ìáæß.

ëýóç

ÐñïóèÝôù ôá êïììÜôéá ðïõ Ýöáãáí.

Âñßóêù ôï Å.Ê.Ð. (3, 4) = 12

1 1 4 3 7

3 4 12 12 12+ = + =

¸öáãáí ôá 7

12 ôçò ôïýñôáò.


Ï Ãéþñãïò Ýöáãå ôï:

1 1 1 10 8 5 23

4 5 8 40 40 40 40+ + = + + = ôçò ðßôóáò.

¢óêçóç â

ÓõìðëÞñùóå ôá êåíÜ: • + =1 2

4 5• + + =

1 3 5

3 4 6

ëýóç

• Å.Ê.Ð.(4, 5) = 20

1 2 5 8 13

4 5 20 20 20+ = + =

• Å.Ê.Ð.(3, 4, 6) = 12

1 3 5 4 9 10 23

3 4 6 12 12 12 12+ + = + + =

Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç åôåñþíõìùí êëáóìÜôùí


207


• 1 2 3

3 7 10+ = åßíáé ëÜèïò

1 2 7 6 13

3 7 21 21 21+ = + = óùóôü.

• 1 2 7 10

3 7 10 20+ + = åßíáé ëÜèïò

1 2 7 70 60 147 277

3 7 10 210 210 210 210+ + = + + = óùóôü

• 5 3 2

6 4 2− = åßíáé ëÜèïò

5 3 10 9 1

6 4 12 12 12− = − = óùóôü

ÕðÜñ÷åé ëÜèïò, äéüôé ç áöáßñåóç äýï êëáóìÜôùí ãßíåôáé ìåôáôñÝðïíôáò ôá êëÜóìáôá óå ïìþíõ-

ìá êáé ü÷é áöáéñþíôáò ôïõò áñéèìçôÝò ãéá íá ðñïêýøåé ï áñéèìçôÞò êáé áöáéñþíôáò ôïõò ðáñï-

íïìáóôÝò ãéá íá ðñïêýøåé ï ðáñïíïìáóôÞò ôïõ áðïôåëÝóìáôïò.


1ç åðéëïãÞ ìå ãñÞãïñç åêôßìçóç:1 1

4 18+

2ç åðéëïãÞ ìå áêñéâÞ õðïëïãéóìü:2 4 1 4 5

114 7 7 7 7

+ = + = <

Ðñïôåßíù ôñßá äéáöïñåôéêÜ áèñïßóìáôá:2 1 1 5 8 12

, ,9 18 3 12 21 35+ + +

• 9 2 1 2 3 1 3 12 3

, ,20 5 20 5 10 10 7 35 35

− = − = − =



208

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 27 Ôá

7

9 ôùí ÷ñçìÜôùí ðïõ å÷åé ç Ìáñßá åßíáé 70 .

• Íá õðïëïãßóåôå ðüóá ÷ñÞìáôá Ý÷åé.

ÐëÞñùóå ãéá Ýíá ðáé÷íßäé −7 3

9 12ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò.

• Ðüóá ÷ñÞìáôá ôçò ðåñßóóåøáí;

Ëýóç

• Ôá 7

9 ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò åßíáé 70 , ïðüôå ôï

1

9 åßíáé: 70 : 7 = 10 .

¢ñá ôï óýíïëï ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò, ôá 9

9 äçëáäÞ, åßíáé 9 ÷ 10 = 90

• Ôá 7 3 28 9 19

9 12 36 36 36− = − = ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò êüóôéóå ôï ðáé÷íßäé,

äçëáäÞ :19 19χ90 1710x90 € € € 47,50€

36 36 36

= = =

¢ñá ôçò ðåñßóóåøáí: ( )90 47,50 € 42,50€− =

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò æôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 27 ÊÜèå ðáéäß Ýöáãå:

1 1 2 1 3 1

6 12 12 12 12 4+ = + = =

• Ï ìéêñüôåñïò áñéèìüò ôùí ðáéäéþí ðïõ ìðïñåß íá âñÝèçêáí óôï

ðÜñôé åßíáé 4.

• Ìßá Þôáí ç ðßôóá ó’ áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç.



1

ΚΣΕ: ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΚΑΛΑΜΑΡΙ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ 1073/1191/1

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΗΣ Ε’ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

Κοινά Πολλαπλάσια, Ε.Κ.Π.

Δημιουργός: Αράπογλου Δημήτριος, δάσκαλος

Θεσσαλονίκη 2008

ΕΝΤΥΠΟ Α

ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

1ο φύλλο εργασίας (έλεγχος – αρχική αξιολόγηση)

Συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα με τις αριθμητικές ακολουθίες:

14 21 28

21 24 27

16 20 24

24 32 40

36 45 54

Πώς βρήκες τους επόμενους όρους σε κάθε αριθμητική ακολουθία;

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

Πώς βρήκες τους προηγούμενους όρους στις δυο τελευταίες ακολουθίες;

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………


2

2ο φύλλο εργασίας

Προσπαθήστε να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα:

Τα παιδιά του Ε1 θέλουν να σχηματίσουν ομάδες για μια εργασία. Ο δάσκαλός τους λέει

πως αν σχηματίσουν τετράδες ή εξάδες όλες οι ομάδες θα έχουν τον ίδιο αριθμό παι-

διών ενώ αν σχηματίσουν πεντάδες η μια ομάδα θα έχει ένα παιδί λιγότερο (4). Πόσα

παιδιά έχει το Ε1;


Ανέλυσε τους παρακάτω αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:

8 9 12 21

8= 9= 12= 21=


α) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της παραγοντοποίησης βρες το Ε.Κ.Π. των παρακάτω

αριθμών:

4 6 8 12 6 9 12 8 12 16

Ε.Κ.Π.(4,6)=…………Ε.Κ.Π.(8,12)=………… Ε.Κ.Π.(6,9,12)=………..…Ε.Κ.Π.(6,9,12)=……

5 8 20 30 6 7 12 5 6 60

Ε.Κ.Π.(5,8)=………Ε.Κ.Π.(20,30)=………… Ε.Κ.Π.(6,7,12)=………...…Ε.Κ.Π.(5,6,60)=……


3

β) Απ’ το CD με το λογισμικό του Δημοτικού, επιλέξτε Μαθηματικά Ε’ τάξης κάντε κλικ

στο «Διαιρέτες – Πολλαπλάσια», κλικ στο «Εξερευνώ και Μαθαίνω» και τέλος στην ε-νότητα «Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο δύο αριθμών». Διαλέξτε το πλήθος των αριθ-

μών και γράψτε τους αριθμούς στα παράθυρα που ανοίγουν.

Με “enter” σε κάθε αριθμό ανοίγει το παράθυρο όπου θα βάλετε τον πρώτο αριθμό που

διαιρεί το αριθμό σας και έτσι θα συνεχίσετε μέχρι το τέλος.

Κάνοντας κλικ στο Ε.Κ.Π. θα δείτε το Ε.Κ.Π. των αριθμών και από κάτω, σχηματικά,

τους κοινούς παράγοντες και πώς το γινόμενο κοινών και μη κοινών παραγόντων μας δίνει το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο.


4

ΕΝΤΥΠΟ Β’

«Κοινά πολλαπλάσια, Ε.Κ.Π.»

Συγγραφέας: Αράπογλου Δημήτριος, δάσκαλος

1. ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

1.1 ΤΙΤΛΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

«Κοινά Πολλαπλάσια, Ε.Κ.Π.». Βιβλίο μαθητή, σελ. 98

1.2 ΕΜΠΛΕΚΟΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ

Μαθηματικά, Γλώσσα, Γεωγραφία.

1.3 ΤΑΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΟΠΟΙΕΣ ΑΠΕΥΘΥΝΕΤΑΙ

Ε’ Δημοτικού

1.4 ΣΥΜΒΑΤΟΤΗΤΑ ΜΕ ΤΟ Α.Π.Σ. ΚΑΙ Δ.Ε.Π.Σ.

Το θέμα είναι απολύτως συμβατό με το Α.Π.Σ. και το Δ.Ε.Π.Π.Σ, εφόσον αποτελεί θέμα

ενότητας στο βιβλίο μαθηματικών της Ε΄ τάξης και οι στόχοι που τίθενται άπτονται

πλήρως του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών και της γλώσσας.

Γλώσσα: Προφορικός λόγος, διαχείριση πληροφορίας, διαλογικές μορφές επικοινωνίας.

Γεωγραφία: Γεωγραφία Ελλάδας, ανάγνωση χάρτη, υπόμνημα χάρτη.

Μαθηματικά: Αριθμοί και πράξεις, μετρήσεις, μοτίβο, πολλαπλάσια, πρόβλημα.

1.5. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ & ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΗ ΥΛΙΚΟΤΕΧΝΙΚΗ

ΥΠΟΔΟΜΗ

Προτείνεται η οργάνωση των μαθητών σε ομάδες 3-4 ατόμων. Οι δραστηριότητες κατά

ένα μεγάλο μέρος τους πρέπει να διεξαχθούν στην αίθουσα πληροφορικής. Ένας βιντε-οπροβολέας θα ήταν πολύ χρήσιμος, ιδιαίτερα για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων

της κάθε ομάδας.

Λογισμικό : Λογισμικό γενικής χρήσης excel, λογισμικό Δημοτικού Σχολείου (C.D.)

1.6 ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

Κύριος διδακτικός στόχος

Οι μαθητές θα πρέπει να μπορούν να λύνουν προβλήματα της καθημερινής ζωής που

απαιτούν την εύρεση κοινών πολλαπλασίων ή το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών.

Αναλυτικά

Α. Ως προς το γνωστικό αντικείμενο (μαθηματικά, γεωγραφία, γλώσσα)

Να βρίσκουν τα κοινά πολλαπλάσια χρησιμοποιώντας την προπαίδεια, την αριθμο-

γραμμή, τον πίνακα πολλαπλασίων, τον υπολογισμό με αφετηρία το μεγαλύτερο

από τους δοθέντες αριθμούς.

Να χρησιμοποιούν την έννοια της διαιρετότητας στον έλεγχο του Ε.Κ.Π. ή των Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών

Να κατανοήσουν και να μπορούν να εντοπίσουν στην καθημερινή ζωή καταστά-

σεις όπου επιβάλλεται η εύρεση του Ε.Κ.Π. ή των Κ.Π.

Να εξάγουν λογικά συμπεράσματα μέσω της παρατήρησης των δεδομένων και να

επικοινωνούν αναπτύσσοντας δεξιότητες επικοινωνίας και έκφρασης στον προφο-

ρικό λόγο.


5

Β. Ως προς τη χρήση των Νέων Τεχνολογιών

Να μπορούν να χειριστούν με άνεση έναν πίνακα δεδομένων στο excel, να καταλάβουν την έννοια απλών συναρτήσεων και την πρακτικότητά τους στην εξαγωγή αποτελεσμά-

των κάθε φορά που βάζουμε νέα δεδομένα.

Να εξοικειωθούν με το εκπαιδευτικό λογισμικό, τις διάφορες εντολές του και να μπο-

ρούν να βρίσκουν βοήθεια από τις οδηγίες του Λογισμικού.

Γ. Ως προς τη μαθησιακή διαδικασία

Να αναπτύξουν δεξιότητες συνεργασίας και επικοινωνίας

Να μπορούν να αναπτύσσουν και να αξιολογούν επιχειρήματα που βασίζονται στην α-

νάλυση δεδομένων

Να μπορούν να διερευνούν ένα σύνολο δεδομένων και να ανιχνεύουν σχέσεις μεταξύ

τους προκειμένου να εκτιμήσουν, προβλέψουν και διατυπώσουν λογικές υποθέσεις.

1.7 ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

Να κάνουν νοερούς υπολογισμούς πολλαπλασιασμού και διαίρεσης.

Να κατανοούν τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση ως αντίστροφες πράξεις.

Να μπορούν να βρίσκουν τα πολλαπλάσια ενός ή περισσότερων αριθμών και να

σχηματίζουν πίνακα πολλαπλασίων.

Να μπορούν να συμπληρώσουν την αριθμογραμμή και να αναγνωρίζουν ελλιπείς

αριθμητικές ακολουθίες.

Να συνεργάζονται σε ομάδες των 2 ή περισσότερων για την επίτευξη μιας δρα-

στηριότητας.

Να είναι εξοικειωμένοι με τα βασικά εργαλεία του υπολογιστικού φύλλου excel.

Να είναι εξοικειωμένοι με το εκπαιδευτικό λογισμικό.

1.8 ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ

Η διάρκεια της δραστηριότητας εξαρτάται από το επίπεδο, την τυχόν προηγούμενη ε-

μπειρία και των αριθμό των μαθητών, καθώς και από το βάθος στο οποίο επιλέγει να

προχωρήσει ο εκπαιδευτικός. Υπολογίζεται ότι θα χρειαστούν τουλάχιστο 2 διδακτικές

ώρες.

Αν και το βιβλίο του δασκάλου προτείνει 1 διδακτική ώρα, πρέπει να αναφερθεί ότι το εκπαιδευτικό λογισμικό δεν συμβαδίζει με το βιβλίο του μαθητή: Στο βιβλίο του μαθητή

η μέθοδος εύρεση του Ε.Κ.Π. που προτείνεται είναι εύρεση των πολλαπλασίων δύο ή

περισσότερων αριθμών, ο εντοπισμός των κοινών πολλαπλασίων και του μικρότερου

αυτών, του Ε.Κ.Π.

Αντίθετα το εκπαιδευτικό λογισμικό παρουσιάζει μια παραλλαγή της μεθόδου της παρα-

γοντοποίησης.

1.9 ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Συνολικά το σενάριο αποτελείται από οκτώ επιμέρους φάσεις:

Φάση α’: Έλεγχος προαπαιτουμένων γνώσεων.

Φάση β’: Ερώτηση αφόρμησης.

Φάση γ’: Προβληματισμός και έρευνα.

Φάση δ’: Επισημοποίηση της νέας γνώσης - συμπεράσματα.

Φάση ε’: Εφαρμογή και εμπέδωση της νέας γνώσης. Φάση στ’: Εύρεση του Ε.Κ.Π. με παραγοντοποίηση.

Φάση ζ’: Διερεύνηση του Εκπαιδευτικού Λογισμικού.


6

2. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Α’ ΦΑΣΗ: Μοιράζεται στις ομάδες των μαθητών το 1ο φύλλο εργασίας με το οποίο κα-λούνται να θυμηθούν τον πολλαπλασιασμό των αριθμών και τη σχέση πολλαπλασια-

σμού και διαίρεσης.

Β’ ΦΑΣΗ: Ο δάσκαλος θέτει την ερώτηση της αφόρμησης παίρνοντας αφορμή από τα

αποτελέσματα του 1ου φύλλου εργασίας.

Γ’ ΦΑΣΗ: Οι μαθητές προβληματίζονται με τη δραστηριότητα του Βιβλίου του Μαθητή

και καθοδηγούνται, όπου είναι απαραίτητο από το δάσκαλο της τάξης.

Δ’ ΦΑΣΗ: Συγκεντρώνονται τα συμπεράσματα, η νέα γνώση παίρνει μορφή και γίνεται

κανόνας. Καθώς οι μαθητές λύνουν τις εργασίες α, β, γ, δ, απ’ το τετράδιο του μαθητή

διαπιστώνεται πως το Ε.Κ.Π. είναι ο μεγαλύτερος απ’ τους αριθμούς ή κάποιο πολλα-

πλάσιό του.

Ε’ ΦΑΣΗ: Παρουσιάζεται στα παιδιά το λογιστικό φύλλο «Ε.Κ.Π.» και ζητείται απ’ αυτά

να λύσουν με διάφορους τρόπους τις εργασίες α, β, γ, και δ απ’ το Τετράδιο του μαθη-

τή.

ΣΤ’ ΦΑΣΗ: Οι μαθητές θυμούνται την ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγό-

ντων και συμπληρώνουν το 3ο φύλλο εργασίας. Στη συνέχεια ο δάσκαλος προχωρά στη

μέθοδο της παραγοντοποίησης και ζητά απ’ τους μαθητές να συμπληρώσουν τις εργα-

σίες ε και στ απ’ το Βιβλίο του Μαθητή καθώς και το 4ο φύλλο εργασίας.

Ζ’ ΦΑΣΗ: Τέλος οι μαθητές διερευνούν το εκπαιδευτικό λογισμικό και ψάχνουν να

βρουν κοινά σημεία με τις μεθόδους εύρεσης του Ε.Κ.Π.

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

Η αξιολόγηση περιλαμβάνει:

Α) την αρχική αξιολόγηση στην αρχή της διδασκαλίας (φύλλο εργασίας 1) που θα φέ-

ρει στην επιφάνεια προϋπάρχουσες γνώσεις ή ιδέες των μαθητών για το θέμα,

Β) τη διαμορφωτική αξιολόγηση που θα διεξαχθεί κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας μέ-

σω παρατήρησης της συμμετοχής και του ενδιαφέροντος των μαθητών, μέσω των ερω-τήσεών τους και γενικότερα μέσω παρατήρησης της εργασίας τους στην ομάδα,

Γ) την τελική αξιολόγηση στο τέλος της διδασκαλίας με το κατάλληλο φύλλο αξιολόγη-

σης. (4ο Φύλλο).


Μαθηματικά Ε΄ 6.38. ΄΄ Κοινά πολλαπλάσια, Ε.Κ.Π. ΄΄

Education

Transcript of Μαθηματικά Ε΄ 6.38. ΄΄ Κοινά πολλαπλάσια, Ε.Κ.Π. ΄΄